2021-2022学年四川省绵阳市开元中学高二年级下册学期期末适应性质量检测数学(理)试题【含答案】

2021-2022学年四川省绵阳市开元中学高二下学期期末适应性质量检测数学（理）试题
一、单选题
1．命题“x ∀∈R ，sin x x >”的否定是（ ） A ．0x ∃∈R ，00sin x x < B ．0x R ∃∉ ，00sin x x ≤ C ．x ∀∈R ，sin x x ≤ D ．0x ∃∈R ，00sin x x ≤
【答案】D
【分析】根据命题否定的定义即可求解.
【详解】对于全称量词的否定是特称量词，并对结果求反， 即000,sin x R x x ∃∈≤ ； 故选：D.
2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()1,3，则复数z
z
的虚部是（ ） A ．
35 B ．45
C ．3i 5
-
D ．4i 5
【答案】A
【分析】首先根据题意得到
43
i 55
z z =--，再求其虚部即可. 【详解】由题知：13i z =+，()()()2
13i 13i
86i 43i 13i 13i 13i 1055
z z ----====--+-+，
所以
z
z 的虚部为35
. 故选：A
3．设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】A
【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示求出y 和x 即可． 【详解】024201a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-+=⇒=， b ∥1224
y c y ⇒
=⇒=--， ∴1x y +=.
故选：A.
4．已知命题p ：x ∀∈R ，21x >，命题q ：函数()sin x x x f -=在R 上单调递增，则下列命题中，是真命题的为（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∨⌝
C ．q ⌝
D ．()p q ⌝∧
【答案】D
【分析】首先判断命题p 、q 的真假，再根据复合命题的真假性规则判断即可；
【详解】解：对于命题p ，当0x ≤时021x <≤，故命题p 为假命题，所以p ⌝为真命题； 对于()sin x x x f -=，()1cos 0f x x '=-≥恒成立，
所以函数()sin x x x f -=在R 上单调递增，故命题q 为真命题，所以q ⌝为假命题， 所以p q ∧为假命题，()p q ∨⌝为假命题，()p q ⌝∧为真命题； 故选：D
5．在二项式22n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（ ）
A ．-32
B ．-1
C ．1
D ．32
【答案】B
【分析】根据二项式系数的和是2n ，可解得5n =，令1x =代入结果即为展开式中各项系数的和． 【详解】∵二项式系数的和是32，则232n =，∴5n = 令1x =，则展开式中各项系数的和为()5
11-=- 故选：B ． 6．已知随机变量(3,)X B p ，且()213E X +=，则()D X =（ ）
A ．1
B ．2
C ．13
D ．23
【答案】D
【分析】由期望的性质有(21)2()1E X E X +=+，结合二项分布期望公式求参数p ，再由其方差公式求()D X .
【详解】由题设，(21))6132(1E X p E X ==+++=，则1
3
p =
， 所以122
()3(1)3333D X p p =-=⨯⨯=.
故选：D
7．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别是棱AB 、BC 的中点，则点1C 到平面1B EF 的距离等于（ ）
A ．23
B ．
22
3
C ．
23
3
D ．43
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，找到平面1B EF 的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可. 【详解】以1D 为坐标原点，分别以11D A ，11D C ，1D D 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,2,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,1,2)E ，(1,2,2)F .
设平面1B EF 的法向量为(,,)n x y z =，
1(0,1,2)B E =-1(1,0,2)B F =-
则1100n B E n B F ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩
，即2020y z x z -+=⎧⎨
-+=⎩ 令1z =，得(2,2,1)n =. 又11(2,0,0)BC =-，
∴点1C 到平面1B EF 的距离11|||24
3||2n B C h n ⋅-=
==，
故选：D .
【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.
8．甲､乙､丙､丁四个人参加比赛，只有一人获奖，甲说：是乙或丙获奖，乙说：丙丁都未获奖，丙说：甲获奖了，丁说：乙没获奖.已知四人中有且只有一人说了假话，则获奖的人为（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁
【答案】A
【分析】根据题意，分别假设甲、乙、丙、丁获奖，验证是否符合题意,即可判断出答案. 【详解】若甲获奖，则四人中有且只有甲说了假话，符合题意； 若乙获奖，则四人中丙丁说了假话，不符合题意； 若丙获奖，则四人中乙丙说了假话，不符合题意； 若丁获奖，则四人中甲乙丙说了假话，不符合题意； 故选:A
9．若函数()()
2e x
f x x ax a =-+在区间[]3,1--内单调递减，则实数a 的取值范围是( )
A ．[)1,-+∞
B ．[)1,+∞
C ．(],1-∞-
D ．(],1-∞
【答案】C
【分析】求f (x )的导数()f x '，原问题等价于()0f x '≤在[]3,1--上恒成立，据此即可求出a 的范围.
【详解】∵()()
2e x f x x ax a =-+，∴()()()2e 2e 2x x
f x x a x x x a '⎡⎤=+-=+-⎣⎦
， ∵x ∈[]3,1--时，e 0x x <，
∴若()f x 在[]3,1--内单调递减，则20x a +-≥在[]3,1--上恒成立， 即得2a x ≤+在[]3,1--恒成立，∴1a ≤-. 故选：C.
10．某学校有四个优秀的同学甲、乙、丙、丁获得了保送到哈尔滨工业大学、东北林业大学和哈尔滨医科大学3所大学的机会，若每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，则不同的保送方案共有（ ） A ．24种 B ．36种
C ．48种
D ．64种
【答案】A
【分析】先考虑甲去的学校有2种情况，对甲去的学校分类讨论得解. 【详解】每所大学至少保送1人,且甲同学要求不去哈尔滨医科大学， 先考虑甲去的学校有2种情况，对甲去的学校分类讨论，
若该校只有1人保送，则另外3人去两所学校共有2
2
32C A ；若甲去的学校有2人保送，则另外3人去3所学校共有3
3A .
则不同的保送方案共有223
3232(C A )24A ⨯+=.
故选:A.
11．已知0a >，0b >，则“2ln
39b a a
b
>-”是“a b >”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】构造函数，利用函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】解：由()22ln
ln 2ln 33b a a
a b b
=->-，得()2ln 23ln 3a b a b +>+，令()ln 3x f x x =+，()f x 在()0,∞+上单调递增，又()()2f a f b >，则2a b >．即当0a >，0b >时，2ln
392b a a
a b b
>-⇔>．显然，2a b a b >⇒>，但由2a b >不能得到a b >． 故选：B ．
12．已知函数()(ln )x
e f x k x x x
=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是
A ．(,]e -∞
B ．(,)e -∞
C ．(,)e -+∞
D ．1(,]e
-∞
【答案】A
【分析】由f （x ）的导函数形式可以看出ex-kx=0在（0，+∞）无变号零点， 令g （x ）=ex-kx ，g′（x ）=ex-k ，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根． 【详解】∵函数()()ln x
e f x k x x x
=+-的定义域是（0，+∞），
∴()()()
()2
2
111'x
x e
kx x e x k x f x x
x
x
----=
+
=
（） ．
x=1是函数f （x ）的唯一一个极值点 ∴x=1是导函数f′（x ）=0的唯一根． ∴ex-kx=0在（0，+∞）无变号零点， 令g （x ）=ex-kx g′（x ）=ex-k
①k≤0时，g′（x ）＞0恒成立．g （x ）在（0，+∞）时单调递增的 g （x ）的最小值为g （0）=1，g （x ）=0无解 ②k ＞0时，g′（x ）=0有解为：x=lnk
0＜x ＜lnk 时，g′（x ）＜0，g （x ）单调递减；x ＞lnk 时，g′（x ）＞0，g （x ）单调递增. ∴g （x ）的最小值为g （lnk ）=k-klnk ∴k-klnk≥0 ∴0＜k≤e 综上所述，k≤e ． 故选A ．
【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．属于中档题．
二、填空题
13．复数12i z =-（其中i 为虚数单位），则3i z +=__________.
【分析】根据复数的模长概念求解即可.
【详解】3i 1i z +=+=
14．若()62601261(1)(1)x a a x a x a x =+-+-+
+-，则4a =__________.
【答案】15
【分析】首先根据题意得到()6
611x x ⎡⎤=-+⎣⎦，再根据通项求解即可.
【详解】()()6
626012611(1(1)1)x a x a a x a x x ⎡⎤=-+⎣=++-+
+-⎦-，
因为()
616C 1r
r r T x -+=-，令64r -=，解得2r =.
所以()()4
4
236C 1151T x x =-=-，即15a =.
故答案为：15
15．已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X （单位：分）服从正态分布()2
105,N σ
，且
(120)0.8P X <=，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间()90,105内的概率为__________.
【答案】0.3
【分析】根据(90105)(105120)(120)(105)P X P X P X P X <<=<<=<-<求解即可.
【详解】(90105)(105120)(120)(105)0.80.50.3P X P X P X P X <<=<<=<-<=-=. 故答案为：0.3
16．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()0f x f x '->，则不等式
()()42e 34e x f x f x ->的解集为__________.
【答案】()2,+∞
【分析】首先构造函数()()e x
f x
g x =
，根据题意得到()g x 在R 上为增函数，再将()()
42e 34e x
f x f x ->转化为()()34
g x g x ->求解即可. 【详解】设()()e x
f x
g x =
，()()()
e x
f x f x
g x '=
'-，
因为()()0f x f x '->，所以()0g x '>，即()g x 在R 上为增函数. ()()()()()()4224
33434e 34e e
e
e 4
e
x x
x
x
f x f x f x f x f x f x --->⇒
>
⇒
>
-
()()34g x g x ⇒->.
因为()g x 在R 上为增函数，所以34x x ->，解得2x >. 故答案为：()2,+∞
三、解答题
17．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，22PM MC PA AD ===，，且60PAB PAD ∠∠==，底面
ABCD 为正方形.
(1)设,,AB a AD b AP c ===试用,,a b c 表示向量BM ； (2)求BM 的长.
【答案】(1)111
222
BM a b c =-++
【分析】（1）将AD BC =，BP AP AB =-代入()
1
2
BM BC BP =
+中化简即可得出答案. （2）利用2
2
BM BM =，结合向量数量积运算律计算即可. 【详解】（1）∵M 是PC 的中点， ∴()
1
2
BM BC BP =
+. ∵AD BC =，∴()
12
AD AP A BM B ⎡
⎤=
+-⎣⎦， 结合AB a =，AD b =，c AP =， 得()
1111
2222
b c BM a a b c ⎡⎤=
+-=-++⎣⎦.
（2）∵1,2AB AD PA ===，
∴1,2a b c ===，∵,60AB AD PAB PAD ⊥∠=∠=︒， ∴0a b ⋅=，21cos601a c b c ⋅=⋅=⨯⨯︒=，
∴()
2
2
2221
1112222
224BM a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=-++=++-⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭
()13
11402242
=
++--+=.
∴6
2BM =
BM 的长等于
2
18．已知曲线()32
2f x x x a =++．
(1)若1a =，过点()0,1作()f x 的切线，求切线的方程； (2)当()f x 有3个零点时，求a 的取值范围． 【答案】(1)10y -=和10x y +-= (2)32,027⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】（1）设出切点，求导，利用导数的几何意义得到切线斜率，进而表达出切线方程，代入()0,1，求出切点横坐标，进而求出切线方程；（2）利用导函数研究函数的单调性，极值情况，得到不等式组，求出a 的取值范围.
【详解】（1）因为1a =，所以()3221f x x x =++，所以()234f x x x '=+，
设所求切线的切点坐标为()32000,21x x x ++，切线斜率为()2
00034k f x x x '==+， 则所求切线方程为()()()322
00002134y x x x x x x -++=+-．
因为切线过点()0,1，
所以()()()3220000121340x x x x x -++=+-，即32
000x x +=，
解得：00x =或1-． 所以0k =或1-．
即所求的切线有两条，方程分别是1y =和1y x =-+． 即10y -=和10x y +-=．
（2）()()2
3434f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，解得143
x =-，20x =．
令0f x ，得0x >或43x <-，()f x 在()4,,0,3∞∞⎛
⎫--+ ⎪⎝
⎭上为增函数，
令()0f x '<，得403x -<<，()f x 在4,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上为减函数，
所以()f x 的极大值为432
327f a ⎛⎫-=
+ ⎪⎝⎭，极小值为()0f a =． 因为()f x 有3个零点，所以32
270
a a ⎧+>⎪⎨⎪<⎩，解得：32027a -
<<． 所以a 的取值范围是32,027⎛⎫
- ⎪⎝⎭
19．如图，在等腰梯形ADEF 中，AD EF ∥，3AD =，2DE =，1EF =．在矩形ABCD 中，1AB =．平面ADEF ⊥平面ABCD ．
(1)证明：BF CF ⊥；
(2)求直线AF 与平面CEF 所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析；
(2)π6.
【分析】（1）过点F 作AD 的垂线，则FM ⊥平面ABCD ，结合条件可得222+=BF CF BC ，即得； （2）利用坐标法，由题可得平面CEF 的一个法向量，利用线面角的向量求法即得. 【详解】（1）如图，过点F 作AD 的垂线，垂足为M ，连接MB ，MC ．
∵四边形ADEF 为等腰梯形，3AD =，2DE =，1EF =， ∴1AM MF ==，2MD =．
∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF
平面ABCD AD =，
FM ⊂平面ADEF ，FM AD ⊥，
∴FM ⊥平面ABCD ，而MB ,MC 在平面ABCD 中 ∴FM MB ⊥，FM MC ⊥．
∵四边形ABCD 为矩形，1AB =，3BC =， ∴2BM =，5CM =，3BF =，6CF =． ∵222+=BF CF BC ， ∴BF CF ⊥．
（2）以A 为坐标原点AB ，AD 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向， 以过点A 垂直于平面ABCD 且向上的方向为z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，
则()1,0,0B ，()1,3,0C ，()0,3,0D ，()0,2,1E ，()0,1,1F ． ∴()0,1,1AF =，()1,1,1CE =--，()0,1,0EF =-．
设平面CEF 的一个法向量为(),,n x y z =．
由00n EF n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，得00y x y z =⎧⎨--+=⎩． 令1x =，得()1,0,1n =．
设直线AF 与平面CEF 所成的角为θ． 则11sin cos ,2
2AF n
AF n AF n θ⋅====⨯． 又π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，∴π6θ=． ∴直线AF 与平面CEF 所成角的大小为π6
． 20．某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道甲组题和3道乙组题）不放回地依次任取3道作答.
（1）求该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；
（2）规定理科考生需作答2道甲组题和1道乙组题，该考生答对甲组题的概率均为2
3
，答对乙组题的概率均为14
，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到3道题（2道甲组题和1道乙组题），求其所得总分的分布列与数学期望.
【答案】（1）()()1|()5P AB P B A P A ==；（2）分布列见解析，()956
E X =. 【分析】（1）利用条件概率公式，即可求得该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）先明确X 的可能取值，求出相应的概率值，得到X 的分布列，进而得到数学期望.
【详解】（1）记“该考生在第一次抽到甲组题”为事件A ，“该考生第二次和第三次均抽到乙组题”为事件B ，则()47P A =,()432476535
P AB =⨯⨯=. 所以该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率为 ()()()1|5
P AB P B A P A ==. （2）X 的可能取值为：0,10,20,30，则
()()2
12113121311130,10334123343436P X P X C ⎛⎫==⨯⨯===⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，
()2
2
12223121420343349P X C C ⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()11341301123699
P X ==---=， X ∴的分布列为
则X 的数学期望为()113419501020301236996
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 21．已知函数()ln f x x x =.
（1）若1()f x m x >-在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若5()()2x g x e f x x =-，求证：当1x ≥时，()3g x >-. 【答案】（1）1m <；（2）证明见解析.
【分析】（1）构造函数()1ln h x x x x
=+，即()min m h x <恒成立，根据导数求()h x 得最小值即可； （2）利用放缩法进行放缩，然后证明25ln 302x x x -+>，即可证明5ln 302
x e x x x -+>构造函数()253ln 2F x x x x
=-+，根据函数()F x 的单调性求得函数()F x 在区间[)1,+∞上的最小值，根据最小值大于0证得结果.
【详解】（1）由1()f x m x >-，即1ln m x x x <+在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
恒成立， 设()1ln h x x x x
=+
，()21ln 1h x x x '=+-， ()3120h x x x ''=+>恒成立，故()h x '在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， 又()211ln1101h '=+-=，故()h x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,单调递增，
故()()min 11h x h ==，即1m <；
（2）要证明当1x ≥时，()3g x >-， 即证1x ≥时，5ln 302
x e x x x -+>， 当1x ≥时，1x e x >≥恒成立，ln 0x ≥，
2ln ln x e x x x x ∴≥
故有255ln 3ln 322
x e x x x x x x -+≥-+， 若证得25ln 302x x x -+>，即可证得5ln 302
x e x x x -+>， 下面证明25ln 302
x x x -+>， 不等式两侧同时除以2x 可将不等式转化为253ln 02x x x
-+>， 令()253ln 2F x x x x =-+，则()()()22333
4231562512222x x x x F x x x x x x +-+-'=+-==， 当312
x ≤<时，()0F x '<，()F x 单调递减； 当32
x >时，()0F x '>，()F x 单调递增， 故1x ≥，()2335331ln ln 0322233222F x F ⎛⎫≥=-+=-> ⎪⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
， 故当1x ≥时，()3g x >-.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1122x t t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭ (1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；
(2)已知点P 的直角坐标为()0,4，直线 l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求PA PB +的值．
【答案】(1)40x y +-=；
2214x y -=；
【分析】（1）由曲线C 的参数方程消去t 即可得曲线C 的普通方程；由直线l
的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭cos ,sin x y ρθρθ==，即可得直线l 的直角坐标方程；
（2）根据题意得直线l
的标准参数方程为4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（m 为参数），把它代入曲线C 的直角坐标方程，利用直线l 的参数的几何意义解题即可.
【详解】（1）由曲线C 的参数方程得()22
221124x y t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴曲线C 的普通方程为2
214
x y -=． 直线 l 的极坐标方程化简为sin cos 4ρθρθ+=．
由极坐标与直角坐标的互化关系cos x ρθ=，sin y ρθ=，
得直线 l 的直角坐标方程为40x y +-=．
（2）设直线 l
的参数方程为4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（m 为参数）． 将直线 l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，
整理可得231360m ++=．
(2431364160∆=-⨯⨯=>．
设1m ，2m 是方程的两个实数根．
则12m m +=，1213603m m =>．
∴1212PA PB m m m m +=+=+=
23．已知函数()21f x x x =-+．
(1)求不等式()3f x <的解集；
(2)若关于x 的不等式()20f x x m +-+>恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
1,2
(2)()2,-+∞
【分析】（1）由绝对值不等式及一元二次不等式的解法即可求解；
（2）分离参数，将原问题转化为221m x x x -<-+-+恒成立，然后利用零点分段讨论法求出()221g x x x x =-+-+的最小值即可得答案.
【详解】（1）解：由()3f x <，有213x x -+<， 所以22x x -<，即2
22x x -<-<，即2222x x x x ⎧->-⎨-<⎩，解得12x -<<， 所以不等式()3f x <的解集为1,2；
（2）解：由已知，有2210x x x m -+-++>恒成立，即221m x x x -<-+-+恒成立，
令()221g x x x x =-+-+，则()222223,03,0123,121,2x x x x x g x x x x x x ⎧-+<⎪-+≤<⎪=⎨-+≤<⎪⎪-≥⎩
， 当0x <时，()2()233,g x x x =-+∈+∞；
当01x ≤<时，(]2()32,3g x x =-+∈；
当12x ≤<时，[)2232,3()g x x x +=-∈；
当2x ≥时，[)23(1),x g x -∈=+∞.
所以()g x 的最小值为2，
所以2m -<，即2m >-，
所以实数m 的取值范围为()2,-+∞．。