大学物理_--切向加速度和法向加速度1
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讨论： (1) 角加速度对运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周
运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。
(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、 角位移与角加速度的关系式为
t 0
t t 2 / 2
0
0
22 0 (0 )与匀变速直线运动的几个关系式
v v0 at
x
x0
v0t
at 2
/
2
v2 v02 2a( x x0 )
比较知：两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把
平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。
三、 线量与角量之间的关系
讨论下列几种运动情况：
1. a 0 , an 0 2. a C , an 0 3. a 0 , an C 4. a 0 , an 0
匀速直线运动； 匀变速直线运动； 匀速率圆周运动； 变速曲线运动；
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
例：手球运动员以初速度v0与水平方向成α0 角抛出一球，如图所示。当球到达M点处，
0
lim
Δ t 0
vn t
n0
有
dv dt
dv dt
0
dv n dt
n0
即 a a0 ann0
其中：
a
dv dt
an
dv n dt
a 由于速度大小变化产生的加速度；
an 由于速度方向变化产生的加速度。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
v
vt0
aτ
dv dt
d2s dt 2
b
an
v2 R
(v 0
bt)2 R
a
aτ2 an2
(v0 bt)2 (bR)2 R
（2）令a = b ，即
a (v0 bt)2 (bR)2 b R
s
τ
n
o
R
得
t v0 / b
（3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经
第二节
自然坐标系 切向加速度 法向加速度
一、自然坐标系
•问题的提出： 在直角坐标系中，加速度公式无法看
出哪一部分是由速度大小变化产生的加速 度，哪一部分是由速度方向变化产生的加 速度，所以引入自然坐标系来描写。 1.自然坐标系
自然坐标系是建立在物体运动的轨 迹上的，有两个坐标轴，切向坐标和法 向坐标。
与水平线夹角为θ，求(1)球在M点速度的大
小；(2)球在M点处的切向加速度和法向加速
度大小；(3)M点处的曲率半径。
解：
v
a
g
v
an
想一想：何处曲 率半径最大？何 处最小？
二. 圆周运动的角量描述
设质点在oxy平面内绕o 点、沿半径为R的轨道作圆 周运动，如图。以ox轴为参 考方向，则质点的
北京：v 356
(m / s), a 2.58102 n
(m / s2)
上海：v 398 (m / s), a 2.89 102 (m / s2 ) n
广州：v 428 (m / s), a 3.10 102 (m / s2 ) n
例题 一质点沿半径为R的圆周按规律 s v0t bt2 / 2
y
B：t+t
A：t
o
x
角位置为
角位移为
规定反时针为正
平均角速度为 t
角速度为 lim d
t t0
dt
角加速度为
d
dt
d 2
dt 2
为何不用 矢量？
角 速 度 的 单位： 弧度/秒(rad•s-1) ； 角加速度的单位： 弧度/平方秒(rad •s-2) 。
方向：与过P点运动平面上半径为R的圆相切。
P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为
a 2r n
2R cos
(7.27 105 )2 6.73106 cos
3.37 102 cos (m / s2 )
P点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。
例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别 是北纬3957、3112和 2300，则三地的v 和 an 分别为：
运动，v0、b都是正的常量。求：
（1） t 时刻质点的总加速度的大小；
（2） t 为何值时，总加速度的大小为b ；
（3）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行
了多少圈。
s
解：先作图如右，t = 0 时，
质点位于s = 0 的p点处。
τ
n
o
P
在t 时刻，质点运动到位
R
置 s 处。
（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:
§2切向加速度、法向加速度/一、自然坐标系
•切向坐标 沿运动
轨迹的切线方向； •法向坐标 n 沿运动 轨迹的法线方向。
二、切向加速度、 法向加速度
nn
物体沿平面作曲线运动，速度变化为 v 建立自然坐标系。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
将 v 分解为 v 和 vn
v v0 vnn0 （1）
率满足 v kRt， k为常数，求：切向加 速度、法向加速度和加速度的大小。
解： 切向加速度
a
dv dt
kR
法向加速度
v2
an
(kRt R
)2 k 2Rt 2
加速度 a
a 2
a
2 n
kR 2 k 2Rt 2 2
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
ds dt
0
vA
vA
vn v
由加速度的定义有
A
ad0ddvt dddnv0t
0
v
d0
dt
d0
dt
d
dt
n0
n0
v R
n0
a
dv dt
a0
v2 R
n0
nB o
n0
vτ
vB
0
dds
0
P0
d
d00
vA
vA
vn v
其中
AnB
vτ
vB
v 为速度增量在切线方向的分量；
vn 为速度增量在法线方向的分量； 0 切线方向的单位矢量；
n0 法线方向的单位矢量。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
将（1）式两边同除 t 后取极限，
lim v
Δt 0 t
lim
Δ t 0
v t
v R
将上式两端对时间求导，得到切向加速度与
角加速度之间的关系：
a R t
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定
义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：
a n
v2 R
R 2
法向加速度也叫向心加速度。
例题 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。
解：地球自转周期T=246060 s，角速度大小为：
P
对任意曲线， 有：
a
dv dt
v2
an
为运动轨迹的曲率半径。
挑战：证明以上两式
大小
a
a 2
a
2 n
对于平面曲线运动
dv 2
dt
v2
2
a dv dv dt dt
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
例：一质点作半径为R的圆周运动，其速
圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用 角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。
图示 一质点作圆周运动：
t+t
在t 时间内，质点的角位
B 0+
移为，则A、B间的有向
线段与弧将满足下面的关系
R
A t0
lim AB lim AB
+ O
x
t 0
t 0
两边同除以t，得到速度与角速度之间的关系：
的弧长为
s v0t bt2/2
v02/2b
它与圆周长之比即为圈数：
s
τ
n
o
n s v02
R
2R 4Rb
2 2
7.27 105 s1
T 24 60 60
如图，地面上纬度为 的P点，在与赤道平行的 平面内作圆周运动,其轨道 的半径为
r R cos
r
p
R 赤道
P点速度的大小为
v r Rcos
7.27105 6.73106 cos 4.65102 cos (m / s)
运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。
(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、 角位移与角加速度的关系式为
t 0
t t 2 / 2
0
0
22 0 (0 )与匀变速直线运动的几个关系式
v v0 at
x
x0
v0t
at 2
/
2
v2 v02 2a( x x0 )
比较知：两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把
平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。
三、 线量与角量之间的关系
讨论下列几种运动情况：
1. a 0 , an 0 2. a C , an 0 3. a 0 , an C 4. a 0 , an 0
匀速直线运动； 匀变速直线运动； 匀速率圆周运动； 变速曲线运动；
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
例：手球运动员以初速度v0与水平方向成α0 角抛出一球，如图所示。当球到达M点处，
0
lim
Δ t 0
vn t
n0
有
dv dt
dv dt
0
dv n dt
n0
即 a a0 ann0
其中：
a
dv dt
an
dv n dt
a 由于速度大小变化产生的加速度；
an 由于速度方向变化产生的加速度。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
v
vt0
aτ
dv dt
d2s dt 2
b
an
v2 R
(v 0
bt)2 R
a
aτ2 an2
(v0 bt)2 (bR)2 R
（2）令a = b ，即
a (v0 bt)2 (bR)2 b R
s
τ
n
o
R
得
t v0 / b
（3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经
第二节
自然坐标系 切向加速度 法向加速度
一、自然坐标系
•问题的提出： 在直角坐标系中，加速度公式无法看
出哪一部分是由速度大小变化产生的加速 度，哪一部分是由速度方向变化产生的加 速度，所以引入自然坐标系来描写。 1.自然坐标系
自然坐标系是建立在物体运动的轨 迹上的，有两个坐标轴，切向坐标和法 向坐标。
与水平线夹角为θ，求(1)球在M点速度的大
小；(2)球在M点处的切向加速度和法向加速
度大小；(3)M点处的曲率半径。
解：
v
a
g
v
an
想一想：何处曲 率半径最大？何 处最小？
二. 圆周运动的角量描述
设质点在oxy平面内绕o 点、沿半径为R的轨道作圆 周运动，如图。以ox轴为参 考方向，则质点的
北京：v 356
(m / s), a 2.58102 n
(m / s2)
上海：v 398 (m / s), a 2.89 102 (m / s2 ) n
广州：v 428 (m / s), a 3.10 102 (m / s2 ) n
例题 一质点沿半径为R的圆周按规律 s v0t bt2 / 2
y
B：t+t
A：t
o
x
角位置为
角位移为
规定反时针为正
平均角速度为 t
角速度为 lim d
t t0
dt
角加速度为
d
dt
d 2
dt 2
为何不用 矢量？
角 速 度 的 单位： 弧度/秒(rad•s-1) ； 角加速度的单位： 弧度/平方秒(rad •s-2) 。
方向：与过P点运动平面上半径为R的圆相切。
P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为
a 2r n
2R cos
(7.27 105 )2 6.73106 cos
3.37 102 cos (m / s2 )
P点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。
例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别 是北纬3957、3112和 2300，则三地的v 和 an 分别为：
运动，v0、b都是正的常量。求：
（1） t 时刻质点的总加速度的大小；
（2） t 为何值时，总加速度的大小为b ；
（3）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行
了多少圈。
s
解：先作图如右，t = 0 时，
质点位于s = 0 的p点处。
τ
n
o
P
在t 时刻，质点运动到位
R
置 s 处。
（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:
§2切向加速度、法向加速度/一、自然坐标系
•切向坐标 沿运动
轨迹的切线方向； •法向坐标 n 沿运动 轨迹的法线方向。
二、切向加速度、 法向加速度
nn
物体沿平面作曲线运动，速度变化为 v 建立自然坐标系。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
将 v 分解为 v 和 vn
v v0 vnn0 （1）
率满足 v kRt， k为常数，求：切向加 速度、法向加速度和加速度的大小。
解： 切向加速度
a
dv dt
kR
法向加速度
v2
an
(kRt R
)2 k 2Rt 2
加速度 a
a 2
a
2 n
kR 2 k 2Rt 2 2
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
ds dt
0
vA
vA
vn v
由加速度的定义有
A
ad0ddvt dddnv0t
0
v
d0
dt
d0
dt
d
dt
n0
n0
v R
n0
a
dv dt
a0
v2 R
n0
nB o
n0
vτ
vB
0
dds
0
P0
d
d00
vA
vA
vn v
其中
AnB
vτ
vB
v 为速度增量在切线方向的分量；
vn 为速度增量在法线方向的分量； 0 切线方向的单位矢量；
n0 法线方向的单位矢量。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
将（1）式两边同除 t 后取极限，
lim v
Δt 0 t
lim
Δ t 0
v t
v R
将上式两端对时间求导，得到切向加速度与
角加速度之间的关系：
a R t
将速度与角速度的关系代入法向加速度的定
义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：
a n
v2 R
R 2
法向加速度也叫向心加速度。
例题 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。
解：地球自转周期T=246060 s，角速度大小为：
P
对任意曲线， 有：
a
dv dt
v2
an
为运动轨迹的曲率半径。
挑战：证明以上两式
大小
a
a 2
a
2 n
对于平面曲线运动
dv 2
dt
v2
2
a dv dv dt dt
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
例：一质点作半径为R的圆周运动，其速
圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用 角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。
图示 一质点作圆周运动：
t+t
在t 时间内，质点的角位
B 0+
移为，则A、B间的有向
线段与弧将满足下面的关系
R
A t0
lim AB lim AB
+ O
x
t 0
t 0
两边同除以t，得到速度与角速度之间的关系：
的弧长为
s v0t bt2/2
v02/2b
它与圆周长之比即为圈数：
s
τ
n
o
n s v02
R
2R 4Rb
2 2
7.27 105 s1
T 24 60 60
如图，地面上纬度为 的P点，在与赤道平行的 平面内作圆周运动,其轨道 的半径为
r R cos
r
p
R 赤道
P点速度的大小为
v r Rcos
7.27105 6.73106 cos 4.65102 cos (m / s)