(完整word版)离散数学试卷及答案(11)

一、 填空 20% （每小题 2分）
1、 称为命题。

2、命题P →Q 的真值为0，当且仅当 。

3、一个命题含有4个原子命题，则对其所有可能赋值有 种。

4、所有小项的析取式为 。

5、令P （x ）：x 是质数，E （x ）：x 是偶数，Q （x ）：x 是奇数，D （x ，y ）：x 除尽y. 则
)))(),(()((y E y x D y x E x →∀→∀的汉语翻译为。

6、设S={a ，b, c} 则S 6的集合表示为 。

7、P （P (Φ)）= 。

8、B A ⊕= 。

9、设R 为集合A 上的关系，则t （R ）= 。

10、若R 是集合A 上的偏序关系，则R 满足 。

二、 选择 20% （每小题 2分）
1、 下列命题正确的有（ ）。

A 、 若f g ,是满射，则f g ο是满射；
B 、若f g ο是满射，则f g ,都是满射；
C 、若f g ο是单射，则f g ,都是单射；
D 、若f g ο单射，则f 是单射。

2、 设f ，g 是函数，当（ ）时，f=g 。

A 、)()( x g x f domf x =∈∀都有；
B 、g f domf domg ⊆⊆ 且；
C 、的表达式相同与g f ；
D 、rangef rangef domf domg ==,。

3、 下列关系，（ ）能构成函数。

A 、}10,|,{212121=+∈><=x x N x x x x f 且；
B 、},,|,{2
212121x x R x x x x f =∈><=；
C 、},,|,{122121的素数的个数为小于x x N x x x x f ∈><=；
D 、}|,{R x x x f ∈><=。

4、 下列函数（ ）满射；（ ）单射；（ ）双射（ ）；
一般函数（ ）。

A 、2)(,:2
+=→x x f N N f ； B 、)3(mod )(,:x x f N N f =→（x 除以3的余数）； C 、⎩⎨
⎧∈∈=→奇数集
偶数集
x x x f N f 01)(},
1,0{:；D 、52)(,:-=→x x f R R f 。

5、 集合A={1，2，3，4}上的偏序关系为，则它的Hass 图为（ ）。

6、 设集合A={1，2，3，4，5}上偏序关系的Hass 图为
则子集B={2，3，4}的最大元（ ）；最小元（ ）；极大元（ ）；极小元（ ）；上界（ ）；上确界（ ）；下界（ ）；下确界（ ）。

A 、 无，4，2、3，4，1，1，4，4；
B 、无，4、5，2、3，4、5，1，1，4，4；
C 、无，4，2、3，4、5，1，1，4，4；
D 、无，4，2、3，4，1，1，4，无。

7、 设R ，S 是集合A 上的关系，则下列（ ）断言是正确的。

A 、 S R ,自反的，则S R ο是自反的；
B 、若S R ,对称的，则S R ο是对称的；
C 、若S R ,传递的，则S R ο是传递的；
D 、若S R ,反对称的，则S R ο是反对称的 8、 设X 为集合，|X|=n ，在X 上有（ ）种不同的关系。

A 、n 2； B 、2n ； C 、n
22； D 、2
2n 。

9、 下列推导错在（ ）。

①)(y x y x >∃∀ P ②)(y z y >∃ US ① ③)(z C z > ES ② ④)(x x x >∀
UG ③
A 、②；
B 、③；
C 、④；
D 、无。

10、“没有不犯错误的人”的逻辑符号化为（ ）。

设H （x ）：x 是人， P （x ）：x 犯错误。

A 、))()((x P x H x →∃；
B 、)))()(((x P x H x ⌝∧∃⌝；
C 、)))()(((x P x H x ⌝→∃⌝；
D 、))()((x P x H x →∀。

三、 命题演绎28%
1、（10分）用反证法证明R S S Q R P Q P ∨⇒→∧→∧∨)()()(。

2、（8分）用CP 规则证明)()(),(S Q P S Q R R Q P →→⇒→→→→。

3、（10分）演绎推理：所有的有理数都是实数，所有的无理数也是实数，虚数不是实数。

因此，
虚数既不是有理数，也不是无理数。

四、 8%
将)))()(()),(((x R z zQ y x yP x wff
→∃→∃⌝∃化为与其等价的前束范式。

五、8%
A={a,b,c,d}，R={<a,b>,<b,c>,<b,d>,<c,b>}为A 上的关系，利用矩阵乘法求R 的传递闭包，并画出t （R ）的关系图。

六、证明16%
1、 （8分）设A={1，2，3，4}，在 P （A ）上规定二元关系如下：
∈><=t s t s R ,|,{ P （A ）|)}||(|t s =∧
证明R 是P （A ）上的等价关系并写出商集P （A ）/R 。

2、 （8分）设f 是A 到A 的满射，且f f f =ο，证明f=I A 。

一、 填空 20%（每小题2分）
1、 能够断真假的阵述句；
2、P 的真值为1，Q 的真值为0；
3、24=16；
4、永真式；
5、任意两数x 、y ,如果x 是偶数且能除尽y ，则y 一定是偶数；
6、S 110={a,b}；
7、}}}{,{}},{{},{,{ΦΦΦΦΦ；
8、)(~)~(B A B A ⋂⋃⋂；
9、Y ∞
=1
i i
R
；
10、自反性、反对称性、传递性
二、选择 20%（每小题 2分）
三、命题演绎 28% 1、（10分）证明： ⑴)(R S ∨⌝ P （附加前提） ⑵R S ⌝∧⌝ T ⑴E ⑶Q P ∨ P ⑷Q P →⌝ T ⑶E ⑸S Q → P ⑹S P →⌝ T ⑷⑸E ⑺P S →⌝
T ⑹E ⑻)()(R P R S ⌝∧→⌝∧⌝
T ⑺I
⑼R P ⌝∧ T ⑵⑻I ⑽R P → P ⑾R P ∨⌝ T ⑽E ⑿)(R P ⌝∧⌝ T ⑾E ⒀F T ⑼⑿I
2、（8分） ①P
P （附加前提） ②)(R Q P →→ P ③R Q → T ①②I ④)(S Q R →→ P ⑤)(S Q Q →→ T ③④I ⑥S Q → T ⑤E ⑦)(S Q P →→
CP
3、证明：设Q （x ）：x 是有理数，R(x)：x 是实数，N(x)：x 是无理数， C(x)：x 是虚数。

前提：))()((x R x Q x →∀ ))()((x R x N x →∀ ))()((x R x C x ⌝→∀ 结论：))()()((x N x Q x C x ⌝∧⌝→∀ ⑴))()((x R x Q x →∀ P ⑵)()(c R c Q → US ⑴ ⑶))()((x R x N x →∀ P ⑷)()(c R c N → US ⑶ ⑸))()((x R x C x ⌝→∀ P ⑹)()(c R c C ⌝→ US ⑸ ⑺)()(c C c R ⌝→ T ⑹E ⑻)()(c C c Q ⌝→
T ⑵⑺I
⑼)()(c C c N ⌝→
T ⑷⑺I ⑽))()(())()((c C c N c C c Q ⌝→∧⌝→ T ⑻⑼I ⑾)()()(c N c Q c C ⌝∧⌝→ T ⑽E ⑿))()()((x N x Q x C x ⌝∧⌝→∀ UG ⑾
四、 8% 解：
))
()(),(()))())((),((()))
())(((),(((()))())((()),(((x R z Q y x P z y x x R z Q z y x P y x x R z zQ y x P y x x R z zQ y x P y x ∨⌝∨∀∃∃⇔∨⌝∀∨∃∃⇔∨∃⌝∨⌝∀⌝∃⇔∨∃⌝→⌝∀∃
五、8% 解：
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛==⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=0000
1100
0010
1100
0000
0010
1100
0010
000000101100
0010
00000010110000102
ο
οR R R R M M M M
R R R R M M M M =⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛==00000010
1100
001000000010
1100
0010000011000010
11002
3ο
ο
2340000
11000010
11000000
00101100
0010000000101100
0010
R R R R M M M M =⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛==οο ⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=∨∨∨=∴000011101110
1110432
)(R R R R R t M M M M M
所以t （R ）={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,b>,<c,c>,<c,d>}
关系图为
六、证明16% 1、（8分）
证明：⑴∈∀s P （A ），由于||||s s =，所以R s s >∈<,，即R 自反的。

⑵∈∀t s , P （A ），若R t s >∈<,，则||||||||s t t s =⇒=，R s t >∈∴<,，R 是对称的。

⑶∈∀u t s ,, P （A ），若：R u t R t s >∈<>∈<,,且，即：||||||u t s ==
R u s u s >∈<=∴,|,||| 所以R 是传递的。

由⑴⑵⑶知，R 是等价关系。

P （A ）/R = {[Φ]R ，[{1}]R ，[{1，2}]R ，[{1，2，3}]R ，[{1，2，3，4}]R }
2、（8分）
证明：因为f 是满射，所以A a ∈∀，存在A a ∈1使得a a f =)(1，又因为f 是函数，所以
)())((1a f a f f = 即)()(1a f a f f =ο 由 f f f =ο
所以)()(1a f a f =，又a a f =)(1，所以a a f =)( 由a 的任意性知：f=I A 。