山西省高平市重点达标名校2024届中考押题数学预测卷含解析

山西省高平市重点达标名校2024年中考押题数学预测卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（）
A．B．1 C．D．
2．若抛物线y＝x2－(m－3)x－m能与x轴交，则两交点间的距离最值是（）
A．最大值2，B．最小值2 C．最大值22D．最小值22
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC的度数为（）
A．100°B．105°C．110°D．115°
4．某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画册，第二次用240元在同一家商店买与上一次相同的画册，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本画册？设第一次买了x本画册，列方程正确的是（）
A．120240
4
20
x x
-=
+
B．
240120
4
20
x x
-=
+
C．120240
4
20
x x
-=
-
D．
240120
4
20
x x
-=
-
5．下列各组数中，互为相反数的是（）
A．﹣2 与2 B．2与2 C．3与1
3
D．3与3
6．已知反比例函数
2
y
x
-
=，下列结论不正确的是（）
A．图象经过点（﹣2，1）B．图象在第二、四象限
C．当x＜0时，y随着x的增大而增大D．当x＞﹣1时，y＞2
7．小明和小亮按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列说法中正确的是（）
A．小明不是胜就是输，所以小明胜的概率为1
2
B．小明胜的概率是
1
3
，所以输的概率是
2
3
C．两人出相同手势的概率为1
2
D．小明胜的概率和小亮胜的概率一样
8．如图，菱形ABCD中，E. F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是（）
A．12 B．16 C．20 D．24
9．下列等式正确的是（）
A．x3﹣x2=x B．a3÷a3=a
C．231
(2)(2)
2
-÷-=-D．（﹣7）4÷（﹣7）2=﹣72
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=2
3
，那么AB的长是（）
A．3 B．4
3
C5D13
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是_____．
12．如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得到△A1B1O，则翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为______．
13．因式分解：9x ﹣x 2=_____．
14．如果关于x 的方程2x 2x m 0-+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______． 15．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为__________．
16．学校乒乓球社团有4名男队员和3名女队员，要从这7名队员中随机抽取一男一女组成一队混合双打组合，可组成不同的组合共有_____对.
17．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的点，AD CD =．若∠CAB=40°，则∠CAD=_____．
三、解答题（共7小题，满分69分） 18．（10分）如图，已知抛物线213
22
y x x n =--（n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C 。

（1）如图1，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；
（2）如图1，在（1）的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以BC 为边，以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；
（3）如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ，交y 轴交于点E ，若AE:ED ＝1:4，求n 的值.
19．（5分）某区对即将参加中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方
图的一部分．
请根据图表信息回答下列问题：
视力频数（人）频率
4.0≤x＜4.3 20 0.1
4.3≤x＜4.6 40 0.2
4.6≤x＜4.9 70 0.35
4.9≤x＜
5.2 a 0.3
5.2≤x＜5.5 10 b
（1）本次调查的样本为，样本容量为；在频数分布表中，a＝，b＝，并将频数分布直方图补充完整；若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？
20．（8分）将一个等边三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点B（6，0）．点C、D分别在OB、AB边上，DC∥OA，CB=23．
（I）如图①，将△DCB沿射线CB方向平移，得到△D′C′B′．当点C平移到OB的中点时，求点D′的坐标；
（II）如图②，若边D′C′与AB的交点为M，边D′B′与∠ABB′的角平分线交于点N，当BB′多大时，四边形MBND′为菱形？并说明理由．
（III）若将△DCB绕点B顺时针旋转，得到△D′C′B，连接AD′，边D′C′的中点为P，连接AP，当AP最大时，求点P的坐标及AD′的值．（直接写出结果即可）．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在
DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？22．（10分）如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．
（1）求证：△GBE∽△GEF．
（2）设AG=x，GF=y，求Y关于X的函数表达式，并写出自变量取值范围．
（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．
23．（12分）为了提高中学生身体素质，学校开设了A：篮球、B：足球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）．
这次调查中，一共调查了________名学生；请补全两
幅统计图；若有3名喜欢跳绳的学生，1名喜欢足球的学生组队外出参加一次联谊活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），求一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率．
24．（14分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在BC上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE 为菱形．
（1）求证：AC=CE；
（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；
（1）已知⊙O的半径为1．
①若AB
AC
=
5
3
，求BC的长；
②当AB
AC
为何值时，AB•AC的值最大？
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、B
【解题分析】
根据题意求出AB的值，由D是AB中点求出CD的值，再由题意可得出EF是△ACD的中位线即可求出.
【题目详解】
∠ACB=90°，∠A=30°， BC=AB. BC=2, AB=2BC=2
2=4,
D 是AB 的中点, CD=AB=
4=2.
E,F 分别为AC,AD 的中点, EF 是△ACD 的中位线.
EF=CD=
2=1.
故答案选B. 【题目点拨】
本题考查的知识点是三角形中位线定理，解题的关键是熟练的掌握三角形中位线定理. 2、D 【解题分析】
设抛物线与x 轴的两交点间的横坐标分别为：x 1，x 2， 由韦达定理得： x 1+x 2=m-3，x 1•x 2=-m ，
则两交点间的距离d=|x 1-x 22221212()4(3)429x x x x m m m m +-=-+=-+2(1)8m -+,
∴m=1时，d min 2． 故选D. 3、B 【解题分析】
根据圆内接四边形的性质得出∠C 的度数，进而利用平行线的性质得出∠ABC 的度数，利用角平分线的定义和三角形内角和解答即可． 【题目详解】
∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A=130°， ∴∠C=180°-130°=50°， ∵AD ∥BC ，
∴∠ABC=180°-∠A=50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=25°，
∴∠BDC=180°-25°-50°=105°，
故选：B．
【题目点拨】
本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数．
4、A
【解题分析】
分析：由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．
详解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，
根据题意得：120240
4 x x20
-=
+
.
故选A.
点睛：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答即可.
5、A
【解题分析】
根据只有符号不同的两数互为相反数，可直接判断.
【题目详解】
-2与2互为相反数，故正确；
2与2相等，符号相同，故不是相反数；
3与1
3
互为倒数，故不正确；
3与3相同，故不是相反数.
故选：A.
【题目点拨】
此题主要考查了相反数，关键是观察特点是否只有符号不同，比较简单.
6、D
【解题分析】
A选项：把（-2，1）代入解析式得：左边=右边，故本选项正确；
B选项：因为-2＜0，图象在第二、四象限，故本选项正确；
C选项：当x＜0，且k＜0，y随x的增大而增大，故本选项正确；D选项：当x＞0时，y＜0，故本选项错误．
故选D．
7、D
【解题分析】
利用概率公式，一一判断即可解决问题.
【题目详解】
A、错误．小明还有可能是平；
B、错误、小明胜的概率是1
3
，所以输的概率是也是
1
3
；
C、错误．两人出相同手势的概率为1
3
；
D、正确．小明胜的概率和小亮胜的概率一样，概率都是1
3
；
故选D．
【题目点拨】
本题考查列表法、树状图等知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8、D
【解题分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AD，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解.
【题目详解】
E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是ADC的中位线，
∴2236
AD EF
==⨯=，
∴菱形ABCD的周长44624
AD
==⨯=．
故选：D.
【题目点拨】
本题主要考查了菱形的四边形都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键.
9、C
【解题分析】
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及有理数的乘方运算法则分别计算得出答案．
【题目详解】
解：A、x3-x2，无法计算，故此选项错误；
B、a3÷a3=1，故此选项错误；
C、（-2）2÷（-2）3=-1
2
，正确；
D、（-7）4÷（-7）2=72，故此选项错误；
故选C．
【题目点拨】
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及有理数的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．10、A
【解题分析】
根据锐角三角函数的性质，可知cosA=AC
AB
=
2
3
，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3.
故选A.
点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=
A
的邻边
斜边
，然后带入数值即可
求解.
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、1 3
【解题分析】
将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．【题目详解】
解：将三个小区分别记为A、B、C，
列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，
所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为3
9
＝
1
3
．
故答案为：13
． 【题目点拨】
此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12、（134633
+896）π． 【解题分析】
由圆弧的弧长公式及正△ABO 翻滚的周期性可得出答案．
【题目详解】
解：如图
作3B E ⊥x 轴于E, 易知OE=5, 33B E ,33)B =,
观察图象可知3三次一个循环,一个循环点M 的运动路径为MN NH HM ++'=
120?·3120?·1120?·1180180180πππ++=234()3
π, 201736721÷=⋅⋅⋅
∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为2342313463(896)ππ+=+, 故答案：13463(896)π+ 【题目点拨】
本题主要考查圆弧的弧长公式及三角形翻滚的周期性，熟悉并灵活运用各知识是解题的关键．
13、x （9﹣x ）
【解题分析】
试题解析：()2
99x x x x -=-． 故答案为()9x x -．
点睛：常见的因式分解的方法：提取公因式法，公式法，十字相乘法.
【解题分析】
析：本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值．
解答：解：∵x的方程x2-2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1?m=0
4-4m=0
m=1
故答案为1
15、1
【解题分析】
根据多边形内角和定理：（n﹣2）•110 （n≥3）可得方程110（x﹣2）＝1010，再解方程即可．
【题目详解】
解：设多边形边数有x条，由题意得：
110（x﹣2）＝1010，
解得：x＝1，
故答案为：1．
【题目点拨】
此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•110 （n≥3）．
16、1
【解题分析】
利用树状图展示所有1种等可能的结果数．
【题目详解】
解：画树状图为：
共有1种等可能的结果数．
故答案为1．
【题目点拨】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
【解题分析】
连接BC ，BD, 根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠CBD ，从而可得到∠BAD 的度数．
【题目详解】
如图，连接BC ，BD ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=40°，
∴∠ABC=50°，
∵AD CD =，
∴∠ABD=∠CBD=12
∠ABC=25°， ∴∠CAD=∠CBD=25°．
故答案为25°． 【题目点拨】
本题考查了圆周角定理及直径所对的圆周角是直角的知识点，解题的关键是正确作出辅助线.
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）213222y x x =--；（2）点P 的坐标为1147535521(,),(,),(,)282828-- ；（3）278
. 【解题分析】
（1）利用三角形相似可求AO•OB ，再由一元二次方程根与系数关系求AO•OB 构造方程求n ；
（2）求出B 、C 坐标，设出点Q 坐标，利用平行四边形对角线互相平分性质，分类讨论点P 坐标，分别代入抛物线解析式，求出Q 点坐标；
（3）设出点D 坐标（a ，b ），利用相似表示OA ，再由一元二次方程根与系数关系表示OB ，得到点B 坐标，进而找到b 与a 关系，代入抛物线求a 、n 即可．
【题目详解】
（1）若△ABC 为直角三角形
∴△AOC ∽△COB
∴OC 2=AO•OB
当y=0时，0=12x 2-32
x-n 由一元二次方程根与系数关系
-OA•OB=OC 2
n 2=12
n
-＝−2n
解得n=0（舍去）或n=2
∴抛物线解析式为y=213
222y x x =--； （2）由（1）当213222
x x --=0时 解得x 1=-1，x 2=4
∴OA=1，OB=4
∴B （4，0），C （0，-2）
∵抛物线对称轴为直线x=-2b a ＝−3
32=1222
-
⨯ ∴设点Q 坐标为（32，b ） 由平行四边形性质可知
当BQ 、CP 为平行四边形对角线时，点P 坐标为（112
，b+2） 代入y=
12x 2-32
x-2 解得b=238，则P 点坐标为（112，398） 当CQ 、PB 为为平行四边形对角线时，点P 坐标为（-52
，b-2） 代入y=12x 2-32
x-2 解得b=558，则P 坐标为（-52，398） 综上点P 坐标为（
112，398），（-52，398）； （3）设点D 坐标为（a ，b ）
∵AE ：ED=1：4
则OE=15b ，OA=14
a ∵AD ∥AB
∴△AEO ∽△BCO
∵OC=n ∴
OB OA OC OE
＝ ∴OB=54an b 由一元二次方程根与系数关系得，1215•1442
c n an x x a a b -=-＝＝
∴b=532
a 2 将点A （-14
a ，0），D （a ，532a 2）代入y=12x 2-32x-n 22211310()?()242451332
22a a n a a a n ⎧⨯----⎪⎪⎨⎪--⎪⎩＝＝ 解得a=6或a=0（舍去）
则n=278
. 【题目点拨】
本题是代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质，解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想．
19、200名初中毕业生的视力情况 200 60 0.05
【解题分析】
（1）根据视力在4.0≤x ＜4.3范围内的频数除以频率即可求得样本容量；
（2）根据样本容量，根据其对应的已知频率或频数即可求得a ，b 的值；
（3）求出样本中视力正常所占百分比乘以5000即可得解.
【题目详解】
（1）根据题意得：20÷
0.1=200，即本次调查的样本容量为200， 故答案为200；
（2）a=200×
0.3=60，b=10÷200=0.05，
补全频数分布图，如图所示，故答案为60，0.05；
（3）根据题意得：5000×706010
200
++
=3500（人），
则全区初中毕业生中视力正常的学生有估计有3500人．
20、（Ⅰ）D′（3+3，3）;（Ⅱ）当BB'=3时，四边形MBND'是菱形,理由见解析;
（Ⅲ）P（1533
,
22
-）．
【解题分析】
（Ⅰ）如图①中，作DH⊥BC于H．首先求出点D坐标，再求出CC′的长即可解决问题；
（Ⅱ）当BB'=3时，四边形MBND'是菱形．首先证明四边形MBND′是平行四边形，再证明BB′=BC′即可解决问题；（Ⅲ）在△ABP中，由三角形三边关系得，AP＜AB+BP，推出当点A，B，P三点共线时，AP最大.
【题目详解】
（Ⅰ）如图①中，作DH⊥BC于H，
∵△AOB是等边三角形，DC∥OA，
∴∠DCB=∠AOB=60°，∠CDB=∠A=60°，
∴△CDB是等边三角形，
∵3，DH⊥CB，
∴3DH=3，
∴D（63，3），
∵C′B=3，
∴CC′=23﹣3，
∴DD′=CC′=23﹣3，
∴D′（3+3，3）．
（Ⅱ）当BB'=3时，四边形MBND'是菱形，理由：如图②中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠ABB'=180°﹣∠ABO=120°，
∵BN是∠ACC'的角平分线，
∴∠NBB′'=1
2
∠ABB'=60°=∠D′C′B，
∴D'C'∥BN，∵AB∥B′D′
∴四边形MBND'是平行四边形，
∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，∴△MC′B'和△NBB'是等边三角形，
∴MC=CE'，NC=CC'，
∵3
∵四边形MBND'是菱形，
∴BN=BM，
∴BB'=1
2
3
（Ⅲ）如图连接BP，
在△ABP中，由三角形三边关系得，AP＜AB+BP，
∴当点A，B，P三点共线时，AP最大，
如图③中，在△D'BE'中，由P为D'E的中点，得AP⊥D'E'，3∴CP=3，
∴AP=6+3=9，
在Rt△APD'中，由勾股定理得，22
AP PD
+'21．
此时P（15
2
，﹣
33
2
）．
【题目点拨】
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移和旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解（2）的关键是四边形MCND'是平行四边形，解（3）的关键是判断出点A，C，P三点共线时，AP最大．
21、（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当t＝15
11
或t＝
9
13
时，△PCQ为直角三角形；（3）当t＝2时，△ACQ的面积最大，最
大值是1．
【解题分析】
（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A的坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）先根据勾股定理可得CE，再分两种情况：当∠QPC＝90°时；当∠PQC＝90°时；讨论可得△PCQ为直角三角形时t的值；
（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据S△ACQ＝S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ＝1
FQ AD
2
⋅＝﹣
1
4
（t﹣2）2+1，
依此即可求解．
【题目详解】
解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE 上，
∴点A 坐标为（1，4），
设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+4，把C （3，0）代入抛物线的解析式，可得a （3﹣1）2+4＝0，解得a ＝﹣1． 故抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣1）2+4，即y ＝﹣x 2+2x+3；
（2）依题意有：OC ＝3，OE ＝4，
∴CE ＝5，
当∠QPC ＝90°时，
∵cos ∠QPC ＝=PC OC CQ CE
， ∴3325-=t t ，解得t ＝1511
； 当∠PQC ＝90°时，
∵cos ∠QCP ＝
=CQ OC CP CE
， ∴2335=-t t ，解得t ＝913． ∴当t ＝1511
或 t ＝913时，△PCQ 为直角三角形； （3）∵A （1，4），C （3，0），
设直线AC 的解析式为y ＝kx+b ，则有：
k b 43k b 0+=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-⎧⎨=⎩
．故直线AC 的解析式为y ＝﹣2x+2． ∵P （1，4﹣t ），将y ＝4﹣t 代入y ＝﹣2x+2中，得x ＝1+2
t ， ∴Q 点的横坐标为1+2t ，将x ＝1+2
t 代入y ＝﹣（x ﹣1）2+4 中，得y ＝4﹣2
4t ． ∴Q 点的纵坐标为4﹣2
4
t ， ∴QF ＝（4﹣24t ）﹣（4﹣t ）＝t ﹣2
4
t ， ∴S △ACQ ＝S △AFQ +S △CFQ ＝12FQ•AG+12
FQ•DG ， ＝
12FQ （AG+DG ），
＝1
2 FQ•AD，
＝1
2
×2（t﹣
2
4
t
），
＝﹣1
4
（t﹣2）2+1，
∴当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．
【题目点拨】
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，矩形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，勾股定理，锐角三角函数，三角形面积，二次函数的最值，方程思想以及分类思想的运用．
22、（1）见解析；（2）y=4﹣x+
4
4x
-
（0≤x≤3）；（3）当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4﹣
2
3
3
．
【解题分析】
（1）先判断出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，进而得出∠BGE=∠EGF，即可得出结论；
（2）先判断出△BEG∽△CFE进而得出CF=
4 4x -
，即可得出结论；
（3）分两种情况，①△AGQ∽△CEP时，判断出∠BGE=60°，即可求出BG；
②△AGQ∽△CPE时，判断出EG∥AC，进而得出△BEG∽△BCA即可得出BG，即可得出结论．【题目详解】
（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠F'=∠CFE，
在△BEF'和△CEF中，
，
∴△BEF'≌△CEF，
∴BF'=CF，EF'=EF，∵∠GEF=90°，
∴GF'=GF，
∴∠BGE=∠EGF，
∵∠GBE=∠GEF=90°，∴△GBE∽△GEF；（2）∵∠FEG=90°，
∴∠BEG+∠CEF=90°，∵∠BEG+∠BGE=90°，∴∠BGE=∠CEF，
∵∠EBG=∠C=90°，
∴△BEG∽△CFE，∴，
由（1）知，BE=CE=2，∵AG=x，
∴BG=4﹣x，
∴，
∴CF=
4
4x -
，
由（1）知，BF'=CF=
4
4x -
，
由（1）知，GF'=GF=y，
∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+
4 4x -
当CF=4时，即：
4
4x
-
=4，
∴x=3，（0≤x≤3），
即：y关于x的函数表达式为y=4﹣x+
4
4x
-
（0≤x≤3）；
（3）∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵△AGQ与△CEP相似，
∴①△AGQ∽△CEP，
∴∠AGQ=∠CEP，
由（2）知，∠CEP=∠BGE，
∴∠AGQ=∠BGE，
由（1）知，∠BGE=∠FGE，
∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE，
∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，∴∠BGE=60°，
∴∠BEG=30°，
在Rt△BEG中，BE=2，
∴BG=23
3
，
∴AG=AB﹣BG=4﹣23
3
，
②△AGQ∽△CPE，
∴∠AQG=∠CEP，
∵∠CEP=∠BGE=∠FGE，∴∠AQG=∠FGE，
∴EG∥AC，
∴△BEG∽△BCA，
∴，
∴，
∴BG=2，
∴AG=AB﹣BG=2，
即：当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或42
3 3
【题目点拨】
本题考核知识点：相似三角形综合. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.
23、（1）200；（2）答案见解析；（3）1
2
．
【解题分析】
（1）由题意得：这次调查中，一共调查的学生数为：40÷20%=200（名）；
（2）根据题意可求得B占的百分比为：1-20%-30%-15%=35%，C的人数为：200×30%=60（名）；则可补全统计图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【题目详解】
解：（1）根据题意得：这次调查中，一共调查的学生数为：40÷20%=200（名）；
故答案为：200；
（2）C组人数：200－40－70－30=60（名）
B组百分比：70÷200×100%=35%
如图
（3）分别用A，B，C表示3名喜欢跳绳的学生，D表示1名喜欢足球的学生；
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的有6种情况，
∴一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率为：61 122
．
【题目点拨】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（1）①2；②3 2
【解题分析】
分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证
△BEF∽△BGA得BE BG
BF BA
=，即BF•BG=BE•AB，将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；
（1）①设AB=5k、AC=1k，由BC2-AC2=AB•AC知BC=26k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=1k、
MC=1
2
BC=6k求得DM=22
CD CM
-=3k，可知OM=OD-DM=1-3k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2
可得答案．②设OM=d，则MD=1-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=16-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（1-d）2+9-d2，由（2）得AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．
详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，
∴∠D=∠BEC，
∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠A+∠D=180°，
又∠BEC+∠AEC=180°，
∴∠A=∠AEC，
∴AC=CE；
（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，
由（1）知AC=CE=CD，
∴CF=CG=AC，
∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，
∴∠G+∠AEF=180°，
又∵∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠G=∠BEF，
∵∠EBF=∠GBA，
∴△BEF∽△BGA，
∴BE BG
BF BA
=，即BF•BG=BE•AB，
∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，
∴（BC ﹣AC ）（BC+AC ）=AB•AC ，即BC 2﹣AC 2=AB•AC ；
（1）设AB=5k 、AC=1k ，
∵BC 2﹣AC 2=AB•AC ，
∴k ，
连接ED 交BC 于点M ，
∵四边形BDCE 是菱形，
∴DE 垂直平分BC ，
则点E 、O 、M 、D 共线，
在Rt △DMC 中，DC=AC=1k ，MC=
12k ，
∴，
∴OM=OD ﹣DM=1，
在Rt △COM 中，由OM 2+MC 2=OC 2得（1k ）2+k ）2=12，
解得：或k=0（舍），
∴；
②设OM=d ，则MD=1﹣d ，MC 2=OC 2﹣OM 2=9﹣d 2，
∴BC 2=（2MC ）2=16﹣4d 2，
AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（1﹣d ）2+9﹣d 2，
由（2）得AB•AC=BC 2﹣AC 2
=﹣4d 2+6d+18
=﹣4（d ﹣34
）2+814， ∴当d=34，即OM=34
时，AB•AC 最大，最大值为814， ∴DC 2=272
，
∴AC=DC=
2，
∴32AB AC =．
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．。