2010年高考数学 考点11 平面向量

考点11 平面向量
1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在Rt ABC ∆中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ⋅等于（ ）
A 、-16
B 、-8
C 、8
D 、16
【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理.
【思路点拨】由于C ∠=90，因此选向量CA ，CB 为基底.
【规范解答】选D.AB AC ⋅=(CB-CA)·(-CA)=-CB ·CA+CA 2=16. 【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离（长度）.
2.（2010·安徽高考理科·Ｔ3）设向量()1,0=a ， 则下列结论中正确的是（ ） A 、=a b B 、 C 、-a b 与b 垂直 D 、a ∥b 【命题立意】本题主要考查向量的长度、数量积的坐标运算，考查向量平行、垂直的坐标判定方法，考查考生的向量坐标运算求解能力。

【思路点拨】利用向量的坐标运算逐项验证。

【规范解答】选 C.向量， ， 由22||101a =+=， ，所以||||a b ≠，故A 错误； 由
111112(1,0)(,)10222222a b •=•=⨯+⨯=≠，故B 错误； 由11111111()(,)(,)()022222222a b b -•=-•=⨯+-⨯=，所以()a b b -⊥，故C 正确；
由1011
2
2≠，故D 错误； 3.（2010·辽宁高考理科·Ｔ8）平面上O,A,B 三点不共线，设,OA OB =
=a b ，则△OAB 的面积等于( ) (A)
()222•-•a b a b (B) ()222•+•a b a b (C) ()2221
2•-•a b a b (D) ()22
21
2•+•a b a b 【命题立意】本题考查了平面向量的数量积，夹角公式，考查了三角恒等变换和三角形的面积公式以及运算能力。

11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭
b 2•=a b 11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭
b ()1,0=a 22112||()()22b =+=
【思路点拨】
【规范解答】选C ，cos ||||
a b a b a b <>= ∴22
2()sin 1cos 1()21||||(||||)a b a b a b a b a b a b <>=-<>=-=- 2
2
2
222
222
11()||||sin ||||122(||||)1() =(||||)(||||)2(||||)1 =||||()2OAB a b S a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ∴=<>=---
4.（2010·北京高考文科·Ｔ4）若,a b 是非零向量，且a b ⊥，||||a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是( )
（A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数
（C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数
【命题立意】本题考查向量与一次函数的相关知识。

【思路点拨】把a b ⊥转化为0a b ⋅=，再代入到()f x 中去。

【规范解答】选A 。

函数222()()f x x a b b a x a b =⋅+--⋅，,0a b a b ⊥∴⋅=，22()()f x b a x ∴=-。

||||a b ≠，220b a ∴-≠，()f x ∴为一次函数且是奇函数。

【方法技巧】一次函数y kx b =+，当0b ≠时为非奇非偶函数；当0b =时为奇函数
5.（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)=（，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ）
A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0=
B. a ⊙b = b ⊙a
C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b
D. (a ⊙b )222
2()a b a b +⋅= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、
解决问题的能力.
【思路点拨】根据所给定义逐个验证.
cos<a ，b > sin<a ，b > S △OAB 化简整理
【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-， 而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B.
【方法技巧】自定义型信息题
1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.
2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性
6.（2010·天津高考文科·Ｔ9）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =BD ，1AD =， 则AC AD ⋅=（ ）
（A ）23 （B ）32 （C ）33
（D ）3 【命题立意】考查平面向量的概念、平面向量的运算以及向量的运算性质。

：
【思路点拨】根据向量的概念及运算法则进行运算。

【规范解答】选D ，由图可得：
.()...0 3.AC AD AB BC AD AB AD BC AD AD =+=+=+
2003(). 3.||3BA AD AD AD =+++==
【方法技巧】对于此类向量运算题，要注意向量加减法运算的灵活应用，适当的时候，结合三角形进行化简可以降低难度。

7.（2010·广东高考文科·Ｔ5）若向量a =(1,1)，b =(2，5)，c =(3，x)满足条件(8a —b )·c =30，则x=( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.
【思路点拨】 先算出8a b -，再由向量的数量积列出方程，从而求出.x
【规范解答】选C . 8a b -8(1,1)(2,5)(6,3)=-=，所以(8)(6,3)(3,)a b c x -⋅=⋅
30=.即：18330x +=，解得：4x = ，故选C .
8. （2010·湖南高考理科·Ｔ4） 若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则a 与b 的夹角为（ ）
A. 300
B. 600
C. 1200
D. 1500
【命题立意】条件简洁明了，内涵丰富，考查学生合情推理的能力.
【思路点拨】要求向量a 和b 的夹角，因此由已知条件产生目标cos θ.
【规范解答】选C.∵(2a+b)·b=0，∴2a ·b+b 2=0，∴2|a||b|cos θ+|b|2=0,又∵|a|=|b|≠0， ∴cos θ=-21,∴θ=1200. 【方法技巧】求向量的夹角常借助数量积. 9.（2010·浙江高考理科·Ｔ16）已知平面向量()≠≠,β,βαα
00满足β=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的取值范围是__________________ .
【命题立意】本题考查向量的相关知识，考查向量的模、夹角等。

【思路点拨】利用向量的几何意义，作出图形，数列结合的方法求α的取值范围。

【规范解答】如图所示，0,120αβα<->=，060APB ∴∠=，又||1β=，
∴点P 在以AB 为弦半径为
33的圆上的优弧APB 上运动。

因此23||(0,]3α∈。

【答案】23||(0,
]3α∈
10.（2010·浙江高考文科·Ｔ13）已知平面向量,,1,2,(2),αβαβααβ==⊥-则2αβ+的值是 。

【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。

【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0，再利用向量求模公式求解。

【规范解答】由题意可知()-20ααβ⋅=，结合2214α
β==，，解得12αβ⋅=， 所以2αβ+2=224442410ααββ+⋅+=++=，开方可知答案为10.
【答案】10
【方法技巧】（1）0a b a b ⊥⇔⋅=；（2）||a a a =⋅。

11.（2010·天津高考理科·Ｔ１5）如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥,3BC BD =,
α
β
βα
-B
P 0
60
1AD =,则AC AD •= 【命题立意】考查平面向量的概念、平面向量的运算以及向量的运算性质。

【思路点拨】根据向量的概念及运算法则进行运算。

【规范解答】由图可得：
()03AC AD AB BC AD AB AD BC AD AD •=+•=•+•=+
2003(). 3.||3BA AD AD AD =+++==
【答案】3
【方法技巧】对于此类向量运算题，要注意向量加减法运算的灵活应用，适当的时候，结合三角形进行化简可以降低难度。

12.（2010·江苏高考·Ｔ１5）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。

【命题立意】本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。

【思路点拨】（1）将平行四边形两条对角线的长转化为向量的模长问题解决；
（2）利用向量的坐标运算解决.
【规范解答】（1）方法一：由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则
(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=
所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=
故所求的两条对角线的长分别为42、210。

方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则:
E 为B 、C 的中点，E （0，1）
又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210；
（2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++。

由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=，
从而511,t =-所以115t =-。

或者：2· AB OC tOC =，(3,5),AB =2115||AB OC t OC ⋅==- 13.（2010·陕西高考理科·Ｔ１1）已知向量(2,1),(1,),(1,2)a b m c =-=-=- ,若()a b +∥c ， 则m ＝_____________.
【命题立意】本题考查平面向量的坐标运算及平行的条件，属送分题。

【思路点拨】()a b +∥c ⇒关于m 的方程⇒m
【规范解答】(2,1),(1,),(1,1),a b m a b m =-=-∴+=-由()a b +∥c 得: 11, 1.12
m m -=∴=-- 【答案】1-
附：高考各科的答题技巧
解题方法1：调理大脑思绪，提前进入数学情境
考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

解题方法2：沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神
良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进
入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。

解题方法3：“内紧外松”，集中注意，消除焦虑怯场
集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。

解题方法4：一“慢”一“快”，相得益彰
有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。

应该说，审题要慢，解答要快。

审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。

而思路一旦形成，则可尽量快速完成。

因此，对于掌握高考数学选择题的答题技巧，能帮助我们更好解决问题，取得高分。

下面我们分享一些学霸、名师对于选择、填空的答题技巧，跟大家分享一下。

1、排除选项法
选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案,那么我们就可以采用排除法,从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案,那么留下的一个自然就是正确的答案。

2、赋予特殊值法
即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。

用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。

3、通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果
这类方法在近年来的高考题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解
由于目前只有一个人进行维护。

所以各方面的精力有限，对于各项资源，我们虽然进行了相关的核查，但是仍然无法保证全平台的资源的合法有效性。

甚至于有些资源分享本身来自于网盘之类的第三方平台链接，随着时间的推移，这样的资源的有效性更加无法得到长期的保障。

所以这里作为站长我还是存在一定的私心。

希望能够通过广大的爱好者们，来共同的下载监督资源，我们一起做好，做大，做强。

我相信任何一个伟大的平台发展的历程总是离不开那些支持者默默努力和付出。

所以希望各位来到我们平台的小伙伴可以对我们平台上的资源能够做到取其精华，去其糟粕的目的。

顺祝各位无论在考试还是查阅出卷或分享中能有一个好的成绩和成功的第一步！
我们追求一群喜欢分享的小伙伴，我们认同己所不欲勿施于人的处世方针。

不管小伙伴在我们平台遇到任何的问题，请您务必及时的联系我们的客服人员反馈您的问题，我们相信没有问题是解决不了的。

再次感谢大家，生活美满幸福，成绩节节攀升！。