最新人教版高中数学必修4第三章《两角差的余弦公式》教学设计
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
先复习两个向量数量积的定义与坐标运算公式；
定义式： ；
坐标式： ．
（学生活动）在平面直角坐标系中作单位圆，以 轴非负半轴为始边作角 ， ，它们的终边与单位圆 的交点分别为 、 ，则 ， ；
试用 、 两点的坐标表示 的余弦值。
（教师活动）引导学生经历用向量方法探索求 ，结合图形，明确应选择哪几个向量，它们怎么用坐标表示？怎样利用数量积计算公式得到推导结果？
计
教
学
设
计
一
以境激情
一个斜坡的高为6m,斜坡的长度为10m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°，大小为10N,在力F的作用下，物体沿斜坡运动了3m,求力F作用在物体上的功。
我们已经知道
由此我们能否得到 的值呢？
对于 你们同意这个观点吗？说说理由？
通过学生熟知的物理中力的做功，引出本节课题.
（2）由于是具体角，拆分过程容易进行.
（3）拆分的多样性，决定变换的多样性.
（学生活动）求出 的值.
（1）通过诱导公式转化为 ；
（2）转化为先利用 求 ，再用同角关系求
（教师活动）
讲评例题2：
已知 是第三象限角，求 的值.
引导学生分析问题，形成如下思路：结合余弦公式,欲求 的值,必先知道 的值,然后利用公式 即可求解.,注意角 所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.
使学生独立完成证明，培养学生独立思考的数学思维品质和对数学知识前后联系，建立数学知识网络的能力.
（教师活动）对学生的计算过程的每一步进行点评，是学生认识到两角差余弦公式使用时注意利用特殊角的正弦值余弦值.
（教师活动）先请一位同学讲思路老师在黑板上演示，然后再向全体同学讲解：
（学生活动）学生认真审题，求解问题
（教师活动）对学生表述的步骤是否规范作出必要的点评和要求。引导学生一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.
根据终边相同的角的性质，
活动4：
（教师活动）引导学生说出两角差的余弦公式的结构特点.
（学生活动）发现公式左边是差角的余弦，右边是单角同名三角函数值乘积之和.
活动5：例题分析
（教师活动）
讲评例1.利用两角差的余弦公式求 的值．
这是通过应用理解公式最基础的练习，在讲评过程中引导学生注意以下几个要点：
（1）三角变换关注角的拆分，易于理解.
通过设问，激发学生自觉回顾三角函数和向量的相关知识，为公式的探索提供思路.
通过带有指向性的问题，使学生意识到，向量方法可能是解决问题的工具，引导学生建立向量使用的数学环境，培养学生自主探索和数形结合的能力.
在教师的引导下，通过求ห้องสมุดไป่ตู้个已知向量的夹角问题以及三角函数定义的应用得出新的结论，使学生体会和认识严格的推导过程是获取数学结论的方法。
（2）通过公式的灵活应用，使学生掌握两角差的余弦公式的作用.
2．过程与方法
（1）利用两角差的余弦公式推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法.
（2）在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想.
3．情感态度与价值观
通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、应用的获取知识的方式。从应用中去体会数学的严谨，形成理性思维，体会向量及两角差的余弦公式的运用价值。
对题目进行解析，使学生形成解决这类问题的基本思路.
在讲评例题的过程中注重在表述规范性上作出点评和要求，提高学生的数学表达能力.
三
反馈练习
活动6：课堂练习
（学生活动）
（教师活动）对学生的证明过程进行点评，使学生认识到该诱导公式是两角差余弦公式的特殊情形.
（学生活动）
学生上台演板，运用公式解决以下问题：
培养学生用自己的语言描述公式特征的表达能力。加深对公式的印象，掌握公式特点，为下一步公式的应用做好铺垫.
学生到此刻，能够利用本课新发现的两角差的余弦公式解决这个问题，呼应前面，同时让学生获得了成果的数学体验.
通过正、余弦之间的转化；非特殊角与特殊角之间的转化，进一步巩固公式的应用，渗透化归的数学思想.
《两角差的余弦公式》是三角恒等变换这一章中的一个重要内容，只有对两角差的余弦公式有了认识，才能够以此为基础推导其他三角恒等变换公式。这是一个逻辑推理过程也是一个认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程.
课程标准
教
学
目
标
1．知识与技能
（1）通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能.
根据新课程标准的要求，从提高学生的数学素质和能力出发，结合学生心理发展的需求，以及人格、情感、价值观的具体要求制订.
重
难
点
重点：两角差的余弦公式的运用.
难点：用两角差余弦公式进行简化、计算及逆用公式等技能.
数学教学不仅使学生理解知识的发生过程，更重要是培养学生对知识的应用能力.
教
学
设
计
教
学
设
计
教
学
设
（学生活动）计算 ，得到 ；
另一方面，从定义式计算 ；
得出结论
活动3：
（教师活动）引导学生思考 , 的范围，完善公式的推导.
（学生活动）提出 的任意性，而向量夹角为 ，学生产生疑惑： 与向量之间的夹角 有什么关系呢？
教师活动：几何画板动态展示，引导学生结合计算机图形语言和三角函数诱导公式对公式的严密性进行论证.
使学生明确数学是一门严谨的科学，激励学生探索新知.
二
研探论证
二
研探论证
二
研探论证
活动1：
（教师活动）提出问题：究竟该如何计算？对于求角的余弦值这种问题，我们有哪些方法？
（学生活动）回忆三角函数定义、三角函数线以及平面向量数量积运算等相关知识.
活动2:
（教师活动）引导学生尝试用向量的方法来探究如何计算 .
由学生得到结论，让学生在数学课上体会成功.
由于向量工具已被引入，因此将问题归结为角度问题，选用向量方法推导公式，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，大大降低了思考难度.另外，在公式的完善过程中，学生用对比、联系、化归的观点去分析问题、处理问题，使他们在建立公式的过程中发展逻辑推理能力和对知识的迁移应用.
《两角差的余弦公式》教学设计
课题
两角差的余弦公式
项目
内容
理论依据或设计意图
教
材
分
析
教
材
地
位
及
作
用
《两角差的余弦公式》是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学4（必修）中的第三章的3.1.1节内容，教学课时为1课时。前两章学生已经学习了任意角的三角函数和平面向量等知识，对三角函数有了一定的认识，有利于学生接受两角差的余弦公式.
定义式： ；
坐标式： ．
（学生活动）在平面直角坐标系中作单位圆，以 轴非负半轴为始边作角 ， ，它们的终边与单位圆 的交点分别为 、 ，则 ， ；
试用 、 两点的坐标表示 的余弦值。
（教师活动）引导学生经历用向量方法探索求 ，结合图形，明确应选择哪几个向量，它们怎么用坐标表示？怎样利用数量积计算公式得到推导结果？
计
教
学
设
计
一
以境激情
一个斜坡的高为6m,斜坡的长度为10m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°，大小为10N,在力F的作用下，物体沿斜坡运动了3m,求力F作用在物体上的功。
我们已经知道
由此我们能否得到 的值呢？
对于 你们同意这个观点吗？说说理由？
通过学生熟知的物理中力的做功，引出本节课题.
（2）由于是具体角，拆分过程容易进行.
（3）拆分的多样性，决定变换的多样性.
（学生活动）求出 的值.
（1）通过诱导公式转化为 ；
（2）转化为先利用 求 ，再用同角关系求
（教师活动）
讲评例题2：
已知 是第三象限角，求 的值.
引导学生分析问题，形成如下思路：结合余弦公式,欲求 的值,必先知道 的值,然后利用公式 即可求解.,注意角 所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.
使学生独立完成证明，培养学生独立思考的数学思维品质和对数学知识前后联系，建立数学知识网络的能力.
（教师活动）对学生的计算过程的每一步进行点评，是学生认识到两角差余弦公式使用时注意利用特殊角的正弦值余弦值.
（教师活动）先请一位同学讲思路老师在黑板上演示，然后再向全体同学讲解：
（学生活动）学生认真审题，求解问题
（教师活动）对学生表述的步骤是否规范作出必要的点评和要求。引导学生一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.
根据终边相同的角的性质，
活动4：
（教师活动）引导学生说出两角差的余弦公式的结构特点.
（学生活动）发现公式左边是差角的余弦，右边是单角同名三角函数值乘积之和.
活动5：例题分析
（教师活动）
讲评例1.利用两角差的余弦公式求 的值．
这是通过应用理解公式最基础的练习，在讲评过程中引导学生注意以下几个要点：
（1）三角变换关注角的拆分，易于理解.
通过设问，激发学生自觉回顾三角函数和向量的相关知识，为公式的探索提供思路.
通过带有指向性的问题，使学生意识到，向量方法可能是解决问题的工具，引导学生建立向量使用的数学环境，培养学生自主探索和数形结合的能力.
在教师的引导下，通过求ห้องสมุดไป่ตู้个已知向量的夹角问题以及三角函数定义的应用得出新的结论，使学生体会和认识严格的推导过程是获取数学结论的方法。
（2）通过公式的灵活应用，使学生掌握两角差的余弦公式的作用.
2．过程与方法
（1）利用两角差的余弦公式推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法.
（2）在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想.
3．情感态度与价值观
通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、应用的获取知识的方式。从应用中去体会数学的严谨，形成理性思维，体会向量及两角差的余弦公式的运用价值。
对题目进行解析，使学生形成解决这类问题的基本思路.
在讲评例题的过程中注重在表述规范性上作出点评和要求，提高学生的数学表达能力.
三
反馈练习
活动6：课堂练习
（学生活动）
（教师活动）对学生的证明过程进行点评，使学生认识到该诱导公式是两角差余弦公式的特殊情形.
（学生活动）
学生上台演板，运用公式解决以下问题：
培养学生用自己的语言描述公式特征的表达能力。加深对公式的印象，掌握公式特点，为下一步公式的应用做好铺垫.
学生到此刻，能够利用本课新发现的两角差的余弦公式解决这个问题，呼应前面，同时让学生获得了成果的数学体验.
通过正、余弦之间的转化；非特殊角与特殊角之间的转化，进一步巩固公式的应用，渗透化归的数学思想.
《两角差的余弦公式》是三角恒等变换这一章中的一个重要内容，只有对两角差的余弦公式有了认识，才能够以此为基础推导其他三角恒等变换公式。这是一个逻辑推理过程也是一个认识三角函数式的特征，体会三角恒等变换特点的过程.
课程标准
教
学
目
标
1．知识与技能
（1）通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能.
根据新课程标准的要求，从提高学生的数学素质和能力出发，结合学生心理发展的需求，以及人格、情感、价值观的具体要求制订.
重
难
点
重点：两角差的余弦公式的运用.
难点：用两角差余弦公式进行简化、计算及逆用公式等技能.
数学教学不仅使学生理解知识的发生过程，更重要是培养学生对知识的应用能力.
教
学
设
计
教
学
设
计
教
学
设
（学生活动）计算 ，得到 ；
另一方面，从定义式计算 ；
得出结论
活动3：
（教师活动）引导学生思考 , 的范围，完善公式的推导.
（学生活动）提出 的任意性，而向量夹角为 ，学生产生疑惑： 与向量之间的夹角 有什么关系呢？
教师活动：几何画板动态展示，引导学生结合计算机图形语言和三角函数诱导公式对公式的严密性进行论证.
使学生明确数学是一门严谨的科学，激励学生探索新知.
二
研探论证
二
研探论证
二
研探论证
活动1：
（教师活动）提出问题：究竟该如何计算？对于求角的余弦值这种问题，我们有哪些方法？
（学生活动）回忆三角函数定义、三角函数线以及平面向量数量积运算等相关知识.
活动2:
（教师活动）引导学生尝试用向量的方法来探究如何计算 .
由学生得到结论，让学生在数学课上体会成功.
由于向量工具已被引入，因此将问题归结为角度问题，选用向量方法推导公式，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，大大降低了思考难度.另外，在公式的完善过程中，学生用对比、联系、化归的观点去分析问题、处理问题，使他们在建立公式的过程中发展逻辑推理能力和对知识的迁移应用.
《两角差的余弦公式》教学设计
课题
两角差的余弦公式
项目
内容
理论依据或设计意图
教
材
分
析
教
材
地
位
及
作
用
《两角差的余弦公式》是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学4（必修）中的第三章的3.1.1节内容，教学课时为1课时。前两章学生已经学习了任意角的三角函数和平面向量等知识，对三角函数有了一定的认识，有利于学生接受两角差的余弦公式.