数学九年级上册 期末试卷培优测试卷

数学九年级上册 期末试卷培优测试卷
一、选择题
1．如图，P 为平行四边形ABCD 的对称中心，以P 为圆心作圆，过P 的任意直线与圆相交于点M ，N ．则线段BM ，DN 的大小关系是（ ）
A ．BM ＞DN
B ．BM ＜DN
C ．BM=DN
D ．无法确定 2．小广,小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是( )
A ．方差
B ．平均数
C ．众数
D ．中位数
3．如图，点P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点
B ，∠P=30°，OB=3，则线段BP 的长为（ ）
A ．3
B ．33
C ．6
D ．9
4．关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（ ）
A ．这组数据的平均数是6
B ．这组数据的中位数是1
C ．这组数据的众数是6
D ．这组数据的方差是10.2
5．如图，ABC △内接于⊙O ，30BAC ∠=︒，8BC = ，则⊙O 半径为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12 6．二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（ ）
A ．(1,3)
B ．(1,3)-
C ．(1,3)-
D ．(1,3)-- 7．如图在△ABC 中，点D 、
E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，不一定能使△ADE 与△ABC 相
似的条件是（ ）
A ．∠AED=∠
B B ．∠ADE=∠
C C ．A
D D
E AB BC = D ．AD AE AC AB
= 8．如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，点P 是对角线BD 上一动点，设PD 的长度为x ，PE 与PC 的长度和为y ，图2是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点，则a +b 的值为（ ）
A ．73
B ．234+
C ．1433
D ．2233
9．13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A ．方差
B ．众数
C ．平均数
D ．中位数
10．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．233π-
B ．233π-
C ．3π-
D ．3π-
11．如图，BC 是
A 的内接正十边形的一边，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，则下列结
论正确的有（ ） ①BC BD AD ==；②2BC DC AC =⋅；③2AB AD =；④51BC AC -=
．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表：
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 ﹣2 …
则下列判断中正确的是（ ）
A ．抛物线开口向上
B ．抛物线与y 轴交于负半轴
C ．当x=﹣1时y ＞0
D ．方程ax 2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺指针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…，若点A （53
，0）、B （0，4），则点B 2020的横坐标为_____．
14．已知二次函数222y x x -=-，当-1≤x≤4时，函数的最小值是__________．
15．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．
16．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图像上部分点的横坐标x 和纵 坐标y 的对应值如下表
x
… －1 0 1 2 3 … y … －3 －3 －1 3
9 … 关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0一个负数解x 1满足k ＜x 1＜k +1（k 为整数），则k ＝
________．
17．如图，已知O 的半径为2，ABC ∆内接于O ，135ACB ∠=，则
AB =__________．
18．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=-1，x 2=2 ，则二次函数y=x 2+mx+n 中，当y ＜0时，x 的取值范围是________；
19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表，
x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
则方程ax 2+bx+c ＝0的一个解的范围是_____．
20．某一时刻，一棵树高15m ，影长为18m ．此时，高为50m 的旗杆的影长为_____m ．
21．如图，抛物线2143115y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．
22．如图，123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF 的长为______．
23．某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这m n 个数据的平均数等于______.
24．如图，已知PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 为切点．C 是⊙O 上一个动点．且不与A ，B 重合．若∠PAC ＝α，∠ABC ＝β，则α与β的关系是_______．
三、解答题
25．某校九年级（2）班A 、B 、C 、D 四位同学参加了校篮球队选拔.
（1）若从这四人中随杋选取一人，恰好选中B参加校篮球队的概率是______；
（2）若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中B、C两位同学参加校篮球队的概率.
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，矩形DEFG的顶点G、F分别在边AC、BC上，D、E 在边AB上．
（1）求证：△ADG∽△FEB；
（2）若AD＝2GD，则△ADG面积与△BEF面积的比为．
27．解方程
（1）x2－6x－7＝0；
（2） (2x－1)2＝9．
28．解下列一元二次方程．
（1）x2＋x－6＝0；
（2）2(x－1)2－8＝0．
29．已知关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
30．解下列方程：
（1）（y﹣1）2﹣4＝0；
（2）3x2﹣x﹣1＝0．
31．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y 轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点．
（1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时：
①求二次函数的表达式；
②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值；
（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n
32．超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．
（1）请写出y与x之间的函数表达式；
（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
分析：连接BD，根据平行四边形的性质得出BP=DP，根据圆的性质得出PM=PN，结合对顶角的性质得出∠DPN=∠BPM，从而得出三角形全等，得出答案．
详解：连接BD，因为P为平行四边形ABCD的对称中心，则P是平行四边形两对角线的交点，即BD必过点P，且BP=DP，∵以P为圆心作圆，∴P又是圆的对称中心，
∵过P的任意直线与圆相交于点M、N，∴PN=PM，∵∠DPN=∠BPM，
∴△PDN≌△PBM（SAS），∴BM=DN．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及三角形全等的证明，属于中等难度的题型．理解平行四边形的中心对称性是解决这个问题的关键．
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差．
【详解】
平均数，众数，中位数都是反映数字集中趋势的数量，方差是反映数据离散水平的数据，也就会说反映数据稳定程度的数据是方差
故选A
考点：方差
解析：A
【解析】
【分析】
直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP 的长．
【详解】
连接OA ，
∵PA 为⊙O 的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
故BP=6-3=3．
故选A ．
【点睛】
此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
先把数据从小到大排列，然后根据算术平均数，中位数，众数的定义得出这组数据的平均数、中位数、众数，再利用求方差的计算公式求出这组数据的方差，再逐项判定即可．
【详解】
解：数据从小到大排列为：1，2，6，6，10，
中位数为：6；
众数为：6；
平均数为：()1
12661055
⨯++++=； 方差为：()()()()()2222211525656510510.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦
． 故选：C ．
【点睛】
本题考查的知识点是平均数，中位数，众数，方差的概念定义，熟记定义以及方差公式是解此题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
连接OB ，OC ，根据圆周角定理求出∠BOC 的度数，再由OB ＝OC 判断出△OBC 是等边三角形，由此可得出结论．
【详解】
解：连接OB ，OC ，
∵∠BAC ＝30°，
∴∠BOC ＝60°．
∵OB ＝OC ，BC ＝8，
∴△OBC 是等边三角形，
∴OB ＝BC ＝8．
故选：C.
【点睛】
本题考查的是圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】
∵2
(1)3y x =-+，
∴二次函数图像顶点坐标为：(1,3).
故答案为A.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）． 7．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意根据相似三角形的判定定理依次对各选项进行分析判断即可．
【详解】
解：A 、∠AED=∠B ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故A 选项错误；
B 、∠ADE=∠
C ，∠A=∠A ，则可判断△ADE ∽△ACB ，故B 选项错误；
C 、
AD DE AB BC =不能判定△ADE ∽△ACB ，故C 选项正确； D 、AD AE AC AB
=，且夹角∠A=∠A ，能确定△ADE ∽△ACB ，故D 选项错误． 故选：C ．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
由A 、C 关于BD 对称，推出PA ＝PC ，推出PC +PE ＝PA +PE ，推出当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，推出BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，分别求出PE +PC 的最小值，PD 的长即可解决问题．
【详解】
解：∵在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，
∴易证AE ⊥BC ，
∵A 、C 关于BD 对称，
∴PA ＝PC ，
∴PC +PE ＝PA +PE ，
∴当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，即AE 的长．
观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，
∴BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，
∴在Rt △AEB 中，BE ＝
∴PC +PE 的最小值为
∴点H 的纵坐标a ＝
∵BC ∥AD ， ∴AD PD BE PB
= ＝2，
∵BD ＝
∴PD ＝23⨯=
∴点H 的横坐标b ＝
3，
∴a +b ＝33
=； 故选C ．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
由于有13名同学参加歌咏比赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【详解】
共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小红需要知道自己的成绩是否进入前六．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选D．
【点睛】
本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出
△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．
【详解】
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB=2，
∴△ABD3，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，
在△ABG 和△DBH 中，
2
{34
A A
B BD ∠=∠=∠=∠，
∴△ABG ≌△DBH （ASA ），
∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF -S △ABD
=2602123602
π⨯-⨯
=
23
π 故选B ． 11．C
解析：C
【解析】
【分析】
①③，根据已知把∠ABD ，∠CBD ，∠A 角度确定相等关系，得到等腰三角形证明腰相等即可;②通过证△ABC ∽△BCD ,从而确定②是否正确,根据AD =BD =BC ,即
BC AC BC AC BC -=解得
BC=12
AC ，故④正确. 【详解】
①BC 是⊙A 的内接正十边形的一边,
因为AB =AC ,∠A =36°,
所以∠ABC =∠C =72°,
又因为BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,
∴∠ABD =∠CBD =12
∠ABC =36°=∠A , ∴AD =BD ,∠BDC =∠ABD +∠A =72°=∠C ,
∴BC =BD ,∴BC =BD =AD ,正确;
又∵△ABD 中，AD+BD ＞AB
∴2AD ＞AB, 故③错误.
②根据两角对应相等的两个三角形相似易证△ABC ∽△BCD , ∴
BC CD AB BC
=,又AB =AC , 故②正确, 根据AD =BD =BC ,即 BC AC BC AC BC
-=,
解得
BC=
12
AC ,故④正确, 故选C ．
【点睛】 本题主要考查圆的几何综合,解决本题的关键是要熟练掌握圆的基本性质和几何图形的性质.
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据表中的对应值，求出二次函数2y ax bx c =++的表达式即可求解．
【详解】
解：选取02（，），14（，），32（，）三点分别代入2
y ax bx c =++得 24932c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
解得：132a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴二次函数表达式为232y x x =-++
∵1a =-，抛物线开口向下；∴选项A 错误；
∵2c =函数图象与y 的正半轴相交；∴选项B 错误；
当x=－1时，2(1)3(1)220y =--+⨯-+=-<；∴选项C 错误；
令0y =，得2320x x -++=
，解得：132x +=
，232x =
∵3102
--＜，方程20ax bx c ++=的负根在0与－1之间； 故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数图象与性质，掌握性质，利用数形结合思想解题是关键．
二、填空题
13．10100
【解析】
【分析】
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B 、B2、B4…每偶数之间的B 相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．
由图象可知点B2020在第一象限
解析：10100
【解析】
【分析】
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．
【详解】
由图象可知点B2020在第一象限，
∵OA=5
3
，OB=4，∠AOB=90°，
∴AB
13
3
===，
∴OA+AB1+B1C2=5
3
+
13
3
+4=10，
∴B2的横坐标为：10，
同理：B4的横坐标为：2×10=20，B6的横坐标为：3×10=30，
∴点B2020横坐标为：2020
10
2
⨯=10100．
故答案为：10100．
【点睛】
本题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力．
14．-3
【解析】
【分析】
根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x≤4时，函数的最小值．
【详解】
解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随
解析：-3
【解析】
【分析】
根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x≤4时，函数的最小值．
解：∵二次函数2
22y x x -=-，
∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，
∵−1≤x≤4，
∴当x ＝1时，y 取得最小值，此时y ＝-3，
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15．15π．
【解析】
【分析】
根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求
解析：15π．
【解析】
【分析】
根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】
解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，
所以这个圆锥的侧面积=
12
×5×2π×3=15π． 【点睛】
本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键. 16．－3
【解析】
【分析】
首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k ．
【详解】
解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3
解析：－3
【解析】
【分析】
首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1的取值范围，可得k．
【详解】
解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3代入y＝ax2＋bx＋c得
3 1 3c
a b c a b c
-=⎧
⎪
-=++⎨
⎪-=-+⎩，解得
1
1
3
a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
，∴y=x²+x-3,
∵△=b2-4ac=12-4×1×（-3）=13，
∴
x=
1
22
b
a
-±-±
=
=−1±
2
，
∵1x<0,
∴1x=−1
＜0，
∵-4≤
-3，
∴
3
2
2 -≤≤-，
∴-
3≤−1−
2
≤ 2.5
-，
∵整数k满足k＜x1＜k+1，
∴k=-3，
故答案为:-3．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式.
17．【解析】
分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
详解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△AB
解析：
【解析】
分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
详解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴2，
故答案为：2
点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件，利用数形结合的思想解答．
18．-1＜x＜2
【解析】
【分析】
根据方程的解确定抛物线与x轴的交点坐标，即可确定y＜0时，x的取值范围. 【详解】
由题意得：二次函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标为（-1，0），（2，0），
解析：-1＜x＜2
【解析】
【分析】
根据方程的解确定抛物线与x轴的交点坐标，即可确定y＜0时，x的取值范围.
【详解】
由题意得：二次函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标为（-1，0），（2，0）， ，开口向上，
∵a=10
∴y＜0时，x的取值范围是-1＜x＜2.
【点睛】
此题考查二次函数与一元二次方程的关系，函数图象与x轴的交点横坐标即为一元二次方
程的解，掌握两者的关系是解此题的关键.
19．18＜x＜6.19
【解析】
【分析】
根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取
值范围即可．
【详解】
由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19
解析：18＜x＜6.19
【解析】
【分析】
根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【详解】
由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，
∴当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，
故答案为：6.18＜x＜6.19．
【点睛】
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
20．60
【解析】
【分析】
设旗杆的影长为xm，然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可．【详解】
解：设旗杆的影长BE为xm，
如图：∵AB∥CD
∴△ABE∽△DCE
∴，
由题意知AB
解析：60
【解析】
【分析】
设旗杆的影长为xm，然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可．
【详解】
解：设旗杆的影长BE为xm，
如图：∵AB∥CD
∴△ABE∽△DCE
∴AB DC
BE CE
=，
由题意知AB=50,CD=15,CE=18,
即，5015
18
x
=，
解得x＝60，
经检验，x=60是原方程的解，
即高为50m的旗杆的影长为60m．故答案为：60．
【点睛】
此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知同一时刻物高与影长成正比例.
21．【解析】
【分析】
先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC
的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】
令中y=0，得x1= 26
【解析】
【分析】
先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】 令214311515
y x x =--中y=0，得x 13x 23 ∴直线AC 的解析式为31y =-， 设P （x ，31x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1
∴PQ 2=PB 2-BQ 2， 32+（31x ）2-1， =242837533x x ， ∵43
a =0<， ∴PQ 2有最小值24283475()3326443，
∴PQ
【点睛】
此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ 、BQ 、PB 之间的关系式是解题的关键.
22．【解析】
【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键． 解析：203
【解析】
【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】
123////l l l ，
AB DE BC EF
∴=， 3,5,4AB BC DE ===，
345EF
∴=， 解得203
EF =
， 故答案为：203
． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．
23．.
【解析】
【分析】
根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案.
【详解】
平均数等于总和除以个数，所以平均数.
【点睛】
本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的 解析：
mx ny m n
++. 【解析】
【分析】 根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案.
【详解】 平均数等于总和除以个数，所以平均数mx ny m n
+=
+. 【点睛】
本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的基本求法. 24．或
【解析】
【分析】
分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC 的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.
【详解】
解：当点
解析：αβ=或180αβ+︒＝
【解析】
【分析】
分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC 的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.
【详解】
解：当点C 在优弧AB 上时，如图，
连接OA 、OB 、OC ，
∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OAC=α-90°=∠OCA ，
∵∠AOC=2∠ABC=2β，
∴2（α-90°）+2β=180°，
∴180αβ+︒＝
；
当点C 在劣弧AB 上时，如图，
∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OAC= 90°-α=∠OCA ，
∵∠AOC=2∠ABC=2β，
∴2（90°-α）+2β=180°，
∴αβ=.
综上：α与β的关系是180αβ+︒＝
或αβ=. 故答案为：αβ=或180αβ+︒＝. 【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用圆周角定理是解题的关键，同时注意分类讨论.
三、解答题
25．（1）
14；（2）P （BC 两位同学参加篮球队）16= 【解析】
【分析】
(1)根据概率公式P m n
=(n 次试验中，事件A 出现m 次)计算即可 (2)用列表法求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率.
【详解】
解：(1)()1
P B
4
=
恰好选中B参加校篮球队的概率是1 4 .
(2)列表格如下：
∴P（BC两位同学参加篮球队）
21 126 ==
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求事件的概率问题，通过题目找出全部情况的总数与符合条件的情况数目与熟记概率公式是解题的关键.
26．（1）证明见解析；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）易证∠AGD=∠B，根据∠ADG=∠BEF=90°，即可证明△ADG∽△FEB；
（2）相似三角形的性质解答即可．
【详解】
（1）证明:∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠GDE=∠FED=90°，
∴∠GDA+∠FEB=90°，
∴∠A+∠AGD=90°，
∴∠B=∠AGD，
且∠GDA=∠FEB=90°，
∴△ADG∽△FEB．
（2）解：∵△ADG∽△FEB，
∴AD EF DG BE
=,
∵AD＝2GD,
∴
2AD DG
=, ∴224ADG FEB S S ==. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，求证△ADG ∽△FEB 是解题的关键．
27．（1）x 1＝7，x 2＝－1；（2）x 1＝2，x 2＝－1
【解析】
【分析】
（1）根据配方法法即可求出答案．
（2）根据直接开方法即可求出答案；
【详解】
解：（1）x 2－6x ＋9－9－7＝0
(x －3) 2＝16
x －3＝±4
x 1＝7，x 2＝－1
（2）2x －1＝±3
2x ＝1±3
x 1＝2，x 2＝－1
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，观察所给方程的形式，分别使用配方法和直接开方法求解.
28．（1）123;2x x =-=；（2）123;1x x ==-
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法解一元二次方方程；（2）用直接开平方法解一元二次方程.
【详解】
解：（1）x 2＋x －6＝0；
(3)(2)0x x +-=
∴123;2x x =-=
（2）2(x －1)2－8＝0．
22(1)8x -=
2(1)4x -=
12x -=±
∴123;1x x ==-
【点睛】
本题考查直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，掌握解题技巧正确计算是本题的解题关键.
29．a ＜2且a ≠1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a ﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（a ﹣1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．
【详解】
∵关于x 的一元二次方程(a ﹣1)x 2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴a ﹣1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（a ﹣1）＞0，
解得：a ＜2且a≠1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)，判别式△=b 2-4ac ，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根；注意a≠0这一隐含条件，避免漏解．
30．（1）y 1＝3，y 2＝﹣1；（2）x 1＝
16+，x 2＝16． 【解析】
【分析】
（1）先移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）（y ﹣1）2﹣4＝0，
（y ﹣1）2＝4，
y ﹣1＝±2，
y ＝±2+1，
y 1＝3，y 2＝﹣1；
（2）3x 2﹣x ﹣1＝0，
a ＝3，
b ＝﹣1，
c ＝﹣1，
△＝b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13＞0，
x ，
x 1＝16+，x 2＝16
． 【点睛】
此题考查的是解一元二次方程，掌握利用直接开方法和公式法解一元二次方程是解决此题的关键．
31．（1）①y ＝x 2﹣8x +12；②线段MQ 的最大值为9．（2）m +n 的值为定值．m +n ＝6．
【解析】
【分析】
（1）①根据点B 的坐标和二次函数图象的对称轴即可求出二次函数解析式；
②设M （m ，m 2﹣8m +12），利用待定系数法求出直线BC 的解析式，从而求出Q （m ，﹣
2m+12），即可求出MQ的长与m的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可；
（2）将B（6，0）代入二次函数解析式中，求出二次函数解析式即可求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据一次函数的性质设出直线MN的解析式，然后联立方程结合一元二次方程根与系数的关系即可得出结论．
【详解】
（1）①由题意
3660
4
2
b c
b
++=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
，
解得
8
12
b
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x+12．
②如图1中，设M（m，m2﹣8m+12），
∵B（6，0），C（0，12），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+12，
∵MQ⊥x轴，
∴Q（m，﹣2m+12），
∴QM＝﹣2m+12﹣（m2﹣8m+12）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝3时，QM有最大值，最大值为9．
（2）结论：m+n的值为定值．
理由：如图2中，
将B（6，0）代入二次函数解析式中，得
3660++=b c
解得：366=--c b
∴二次函数解析式为2
366=+--y x bx b
∴C （0，﹣36﹣6b ），
设直线BC 的解析式为y ＝kx ﹣36﹣6b ，
把（6，0）代入得到：k ＝6+b ，
∴直线BC 的解析式为y ＝（6+b ）x ﹣36﹣6b ，
∵MN ∥CB ，
∴可以假设直线MN 的解析式为y ＝（6+b ）x +b ′， 由2366(6)y x bx b y b x b
⎧=+--⎨=++⎩，消去y 得到：x 2﹣6x ﹣36﹣6b ﹣b ′＝0， ∴x 1+x 2＝6，
∵点M 、N 的横坐标为m 、n ，
∴m +n ＝6．
∴m +n 为定值，m +n ＝6．
【点睛】
此题考查的是二次函数与一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值、一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键．
32．（1）1502
y x =-
+（2）当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当x 为20时w 最大，最大值是2400元 【解析】
【分析】
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意得到()213024502
w x =--+，根据二次函数的性质得到当30x <时，w 随x 的增大而增大，于是得到结论．
【详解】
（1）根据题意得，1502
y x =-+； （2）根据题意得，()1405022502x x ⎛⎫+-
+= ⎪⎝⎭， 解得：150x =，210x =，
∵每件利润不能超过60元，
∴10x =，
答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，
()211405030200022w x x x x ⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭
()213024502x =--+， ∵102
a =-
<， ∴当30x <时，w 随x 的增大而增大， ∴当20x
时，2400w =增大，
答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元． 【点睛】
本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．。