数学_2011年湖南省永州市某校高三数学试卷05：导数公式表及数学软件的应用(含答案)

2011年湖南省永州市某校高三数学试卷05：导数公式表及数学软
件的应用
一、选择题（共16小题，每小题5分，满分80分）
1. 已知函数f(x)=ax 2+c ，且f′(1)=2，则a 的值为（ ）
A 1
B √2
C −1
D 0
2. 已知函数f(x)在x =1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（ ）
A (x −1)3+3(x −1)
B 2(x −1)2
C 2(x −1)
D x −1
3. 已知函数f(x)在x =1处的导数为1，则lim
x→0f(1−x)−f(1+x)3x =( )
A 3
B −23
C 13
D −32 4. 函数y =(2x +1)3在x =0处的导数是（ ）
A 0
B 1
C 3
D 6
5. 函数y =xcos2x 在点(π4,0)处的切线方程是（ ） A 4πx +16y −π2=0 B 4πx −16y −π2=0 C 4πx +8y −π2=0 D 4πx −8y −π2=0
6. 曲线y =cosx(0≤x ≤3π2)与坐标轴围成的面积是（ ）
A 4
B 5
C 3
D 2
7. 一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的距离为s =14t 4−4t 3+16t 2，则速度为零的时刻是（ ）
A 4s 末
B 8s 末
C 0s 与8s 末
D 0s ，4s ，8s 末
8. 函数y =1+3x −x 3有（ ）
A 极小值−1，极大值1
B 极小值−2，极大值3
C 极小值−2，极大值2
D 极小值−1，极大值3
9. 已知自由下落物体的速度为V =gt ，则物体从t =0到t 0所走过的路程为（ ）
A 12gt 02
B gt 02
C 13gt 02
D 14gt 02 10. 一个弹簧不挂重物时长12cm ，挂上重物后，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上1kg 的物体后，弹簧伸长3cm ，则弹簧总长y （单位：cm ）与所挂物体质量x （单位：kg ）的函数解析式是（ ）
A y =12+x
B y =11+3x
C y =12−3x
D y =12+3x
11. 一物体在力F(x)=4x −1（单位：N ）的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x =1m 处运动到x =3m 处，则力F(x)所作的功为（ ）
A 10J
B 12J
C 14J
D 16J
12. 若函数f(x)＝x 3−3bx +3b 在(0, 1)内有极小值，则（ ）
A 0<b <1
B b <1
C b >0
D b <12
13. 函数f(x)=2x 3−3x 2−12x +5在[0, 3]上的最大值和最小值分别是（ ）
A 12，−15
B −4，−15
C 12，−4
D 5，−15
14. 若函数f(x)的导函数为f ′(x)=−2x 2+1，则f(x)可能是( )
A −2x 3+1
B −x +1
C −4x
D −23x 3+x 15. 函数y =sin(2x 2+x)导数是（ ）
A y′=cos(2x 2+x)
B y′=2xsin(2x 2+x)
C y′=(4x +1)cos(2x 2+x)
D y′=4cos(2x 2+x)
16. 函数f(x)=2x 2−lnx 的递增区间是（ ）
A (0, 12)
B (−12, 0)及(12,+∞)
C (12,+∞)
D (−∞,12)及(0, 12)
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
17. 函数y =x 3−x 2−x 的单调增区间为________．
18. 设函数f′(x)=2x 3+ax 2+x ，f′(1)=9，则a =________．
19. 物体的运动方程是s =−13t 3+2t 2−5，则物体在t =3时的瞬时速度为________． 20. 把总长为16m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2． 21. ∫(2
03x 2+k)dx =10，则k =________．
22. 已知物体的运动方程是s =t 2+3t （t 秒，s 米），则物体在时刻t =4时的速度v =________，加速度a =________．
三、解答题（共5小题，满分46分）
23. 计算下列定积分．
（1）∫|3−4x|dx
（2）∫1x−1n+12dx ．
24. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c 在x =−2处取得极值，并且它的图象与直线y =−3x +3在点(1, 0)处相切，求a ，b ，c 的值．
25. 某厂生产产品x 件的总成本c(x)=1200+275x 3（万元），已知产品单价P （万元）与产品件数x 满足：P 2=k x ，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？
26. 求由曲线y =x 2+2与y =3x ，x =0，x =2所围成的平面图形的面积．
27. 物体A 以速度v =3t 2+1在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5m 处以v =10t 的速度与A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A 的走过的路程是多少？（时间单位为：s ，速度单位为：m/s ）
2011年湖南省永州市某校高三数学试卷05：导数公式表及数学软
件的应用答案
1. A
2. A
3. B
4. D
5. C
6. C
7. D
8. D
9. A
10. D
11. C
12. A
13. D
14. D
15. C
16. C
17. (−∞,−13)，(1,+∞) 18. 6
19. 3
20. 16
21. 1
22. 12516,6732
23. 解：(1)∫|3−4x|dx =∫(0−4−x)dx +∫x 30dx =−12x 2|−40+12x 2|03=252
（2）∫1x−1n+12dx =ln(x −1)|2
n+1=ln(n +1−1)−ln(2−1)=lnn ． 24. 解：∵ f′(x)=3x 2+2ax +b
∴ f′(−2)=3×(−2)2+2a ×(−2)+b =0 ∴ 12−4a +b =0
又f′(1)=3+2a +b =−3
∴ a =1，b =−8
又f(x)过点(1, 0)
∴ 13+a ×12+b ×1+c =0
∴ c =6
25. 解：由题意知有：502=
k 100，解得：k =25×104， ∴ P =√25×104x =√x ；
∴ 总利润L(x)=x ⋅√x −1200−2
75x 3=500√x −1200−275x 3， ∴ L′(x)=250x −12−225x 2；
令L′(x)=0则有：x =25（件） ∴ 当x =25件时，总利润最大．
26. 解：联立{y =x 2+2y =3x
，解得x 1=1，x 2=2 ∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−
2X]12=1
27. 解：设A 追上B 时，所用的时间为t 0，依题意有S A =S B +5即 ∫(t 00
3t 2+1)dt =∫(t 0010t)dt +5 ∴ (t 3+t)|0t 0=5t 20|0t 0+5
∴ t 0=5(s)
∴ S A =5t 02+5=5×52+5=130(m)
答；两物体5s 相遇．相遇时物体A 的走过的路程是130m ．。