2021年山西省吕梁市第四高级中学高三数学文模拟试题含解析

2021年山西省吕梁市第四高级中学高三数学文模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某甲上大学前把手机号码抄给同学乙.后来同学乙给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复.则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是（）.
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
2. 的三内角A，B，C所对边长分别是，设向量
，若，则角的大小为
（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
3. 设，，若对于任意，总存在，使得
成立，则的取值范围是（）
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
B
4. 双曲线的焦点坐标为（）A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
将双曲线化成标准方程，可得，，即可得焦点坐标．
【详解】将双曲线化成标准方程为：，得，，所以
，所以，又该双曲线的焦点在x轴上，所以焦点坐标为
．
故选：A
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，将双曲线的方程化为标准形式是关键，属于基础题．
5. 数列的通项公式为，当该数列的前项和达到最小时，等于( )
(A)（B） (C) (D)
参考答案：
6. 已知向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），则|+2|=（）
A．2B．2C．D．
参考答案：
C
【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．
【分析】利用向量的数量积运算即可得出．
【解答】解：向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），
可得|﹣|2=5，即||2+||2﹣2?=5，解得?=0．
|+2|2=||2+4||2﹣4?=1+16=17．
|+2|=．
故选：C．
7. 在数列中，若对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题：
①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；
③若数列满足，，（），则该数列不是比等差数列；④若
是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列．
其中所有真命题的序号是
（A）①②（B）②③（C）③④（D）①③
参考答案：
D
略
8. 函数的零点所在的一个区间是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
参考答案：
C
9. 设P为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）上且在第一象限内的点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，PF2⊥F1F2，x轴上有一点A且AP⊥PF1，E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M．若
|PM|=2|MF2|，则双曲线的离心率是（）
A．1B．2C．3D．4
参考答案：
A
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】求出A的横坐标，利用E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M，|PM|=2|MF2|，得出
3c=，即可得出结论．【解答】解：由题意，P（c，），∴=，
∴直线PA的方程为y﹣=﹣（x﹣c），
令y=0，可得x=，
∵E是AP的中点，线段EF1与PF2交于点M，|PM|=2|MF2|，
∴3c=，
∴e4﹣6e2+1=0，
∵e＞1，∴e=1+，
故选A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查中等坐标的运用，属于中档题．
10. 设是等差数列的前项和，若，则等
于（）
8 7 6 5
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对于定义在区间D上的函数f(x)，若满足对，且x1<x2时都有，则称函数f(x)为区间D上的“非增函数”.若f(x)为区间[0，1]上的“非增函数”且f(0) = l，
f(x)+f(l—x) = l，又当时，f(x)≤-2x+1恒成立.有下列命题：
①;
②当时，f(x1)f(x-)
③
时，都有
④ 函数f(x)的图像关于点对称
其中你认为正确的所有命题的序号为____________
参考答案：
略
12. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的
的值为 ．
参考答案： 126
13. 设满足约束条件 ，则
的最大值为______.
参考答案： 略
14. 函数
对于
总有
≥0
成立，则= ．
参考答案：
4
略
15. 已知等差数列{a n }中，a 3=
，则cos （a 1+a 2+a 6）= ．
参考答案：
【考点】等差数列的性质．
【分析】由已知结合等差数列的通项公式求得a 1+a 2+a 6，则cos （a 1+a 2+a 6）可求．
【解答】解：∵数列{a n }为等差数列，且a 3=， ∴a 1+a 2+a 6=3a 1+6d=3（a 1+2d ）=3a 3=3×=
，
∴cos（a 1+a 2+a 6）=cos =
．
故答案是：
．
16. 若正数满足，则的最小值为 ．
参考答案：
3
17. 已知 的一个内角为120o
，并且三边长构成公差为4的等差数列，则
的面积
为_______________ 参考答案：
本题主要考查等差数列、余弦定理及三角形面积公式应用。

不妨设角，则
，于是
，解得，所以
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为米的扇形
绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元．
（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；
（2）如何选取点的位置，能使总造价最小．
参考答案：
（1）（2）
试题解析：解：（1）过作的垂线，垂足为；过作的垂线，垂足为．
在中，，则
在中，，··············4分
由题意易得························6分
因此，················7分
···········9分（2）
令，，因为，所以，··············12分
设锐角满足，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．···············14分
所以当，总造价最小，最小值为，此时，，，因此当米时，能使总造价最小．············16分
考点：利用导数求函数最值
【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
19. 已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，设是公比为q的等比数列
的前三项，
（1）若k=7，
（i）求数列的前n项和T n；
（ii）将数列和的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为S n，求的值
（2）若存在m>k,使得成等比数列，求证k为奇数。

参考答案：
⑴因为，所以成等比数列，又是公差的等差数列，
所以，整理得，
又，所以，
，，
所以，……………………………4分
①用错位相减法或其它方法可求得的前项和为；………6分
②因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前项的和，所以.
所以．……………10分
⑵由，整理得，
因为，所以，所以.
因为存在m＞k,m∈N*使得成等比数列，
所以，……………………………………12分
又在正项等差数列{a n}中，，……13分
所以，又因为，
所以有，…………………………14分
因为是偶数，所以也是偶数，
即为偶数，所以k为奇
数. ……………………………………16分
略
20. 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，过点A作圆的切线交BC的延长线于点F．（1）求证：△ABE∽△ADC；（2）若BD=4CD=4CF=8，求△ABC的外接圆的半径．
参考答案：
【考点】相似三角形的判定．
【专题】选作题；推理和证明．
【分析】（1）证明三角形中两对对应角相等，即可证明结论；
（2）利用切割线定理，结合三角形相似的性质，即可求△ABC的外接圆的半径．
【解答】（1）证明：∵AE是直径，∴…（1分）
又∵∠AEB=∠ACD…（2分）
∴△ABE∽△ADC…（4分）
（2）解：∵过点A作圆的切线交BC的延长线于点F，
∴AF2=FC?FB
∴FA=2，…（5分）
∴AD=2…（7分）
∴AC=2…（8分）
∴AB=6，…（9分）
由（1）得
∴AE=6
∴△ABC的外接圆的半径为3．…（10分）
【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=
（1）求角C的大小，
（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．
参考答案：
略
22. （08年全国卷2理）（本大题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度
内至少支付赔偿金10000元的概率为.
(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p；
(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）.
参考答案：
解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则．
（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当，
，
又，
故．
（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出，
盈利，
盈利的期望为，
由知，，
．
（元）．
故每位投保人应交纳的最低保费为15元．。