2021届陕西省西安中学高三上学期期中考试数学试题(文)(解析版)

陕西省西安中学2021届高三上学期期中考试数学试题（文）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1. 设3
1i
z i
=
+（i 为虚数单位），则z =（ ）
A.
2
B.
C.
12
D. 2
『答案』A 『解析』设3(1)11111(1)(1)222
i i i i i z i i i i i +-+=
====-++--+，
||2
z ∴=， 故选：A ．
2. 已知集合2{|28}M x x x =∈-<Z ，{1,3}P =，{0,7}Q =，则(
)M
Q P =
A. {0,1,7}
B. {1,0,7}-
C. {0,1,3,7}
D. {1,0,2,7}-
『答案』D
『解析』由题意，不等式228x x -<，解得24x -<<，所以{}1,0,1,2,3M =-，所以
{}1,0,2M
P =-，所以(
){}{}{}0,71,0,21,0,2,7M
Q P ⋃=⋃-=-．故选D ．
3. 已知向量(),1a t =，()1,2b =.若a b ⊥，则实数t 的值为（ ） A. －2
B. 2
C. 1
2
-
D.
12
『答案』A
『解析』∵向量()1a t =，
，()1,2b =，若a b ⊥，则20a b t ⋅=+=， ∴实数2t =-， 故选：A.
4. 已知4log 0.9a =，0.14b =，40.1c =，则（ ） A. a b c <<
B. a c b <<
C. c a b <<
D. b a c <<
『答案』B
『解析』因为4log 0.90=<a ，0.114=>b ，400.11<=<c ，
所以a c b <<， 故选：B.
5. 相关变量,x y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（ ）
A. 1201r r <<<
B. 2101r r <<<
C. 1210r r -<<<
D. 2110r r -<<<
『答案』D
『解析』由散点图得负相关，所以12,0r r <，因为剔除点()10,21后，剩下点数据更具有线
性相关性，r 更接近1，所以2110r r -<<<.选D.
6. 已知α满足123cos πα⎛⎫
+=- ⎪
⎝⎭
，则cos2α＝（ ） A.
7
9
B.
718
C. 79
-
D. 718
-
『答案』A
『解析』因为﹣sin α123cos πα⎛⎫
=+=-
⎪⎝⎭
，
所以sin 1
3
α=
， 则cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣21799
⨯=. 故选：A.
7. 执行如图程序框图，则输出结果为（ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
『答案』B
『解析』按照程序框图运行程序，输入1n =，1S =，20T =，
则10T =，112S =+=，2n =，不满足T S ≤，循环； 5T =，224S
=+=，3n =，不满足T S ≤，循环；
5
2
T =
，437S =+=，4n =，满足T S ≤，输出4n =. 故选：B. 8. 函数ln ||
cos x y
x x
x
的部分图象大致为（ ） A. B.
C. D.
『答案』A
『解析』()ln cos x
f x x x x
=+
，定义域为{}|0x x ≠，()()ln cos x f x x x f x x ⎡⎤
-=-+=-⎢⎥⎣
⎦，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除,B C 两
个选项.()ln π
ππ0π
f =-+
<，排除D 选项，故选A. 9. 已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则
(1)(2)f +f (3)(2020)f f ++
+=（ ）
A. 50
B. 2
C. 0
D. 50-
『答案』C
『解析』因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，
所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -
所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，
在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==
在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020
(3)(2020)12344
f f f f f f ⎡⎤++
+=
⨯+++⎣⎦ 50500=⨯=
故选C.
10. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为
( )
A. 4072
B. 2026
C. 4096
D. 2048
『答案』A
『解析』由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则杨辉三角形的前n 项和为S n 1212
n
-==-2n ﹣1，
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n ()12
n n +=
，
可得当n ＝10，所有项的个数和为55， 则杨辉三角形的前12项的和为S 12＝212﹣1， 则此数列前55项的和为S 12﹣23＝4072， 故选A ．
11. 设点P 是函数()()()201x
f x e f x f ''=-+图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角
为α，则角α的取值范围是（ ） A. 30,
4π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B. 30,
,24πππ⎡⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭
C. 3,24
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
D. 30,
,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
『答案』B 『解析』
()()()2e 01x f x f x f ''=-+，
()()2e 0x f x f ''∴=-，()()020f f ''∴=-，()01f '=，()()2e 1x f x x f '∴=-+，()2e 11x f x '∴=->-.
点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，tan 1α∴>-.
[)0,απ∈，30,,24ππαπ⎡⎫⎛⎫
∴∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭
.
故选：B.
12. 已知{
}
22
(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}
(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}
12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（ ） A. 77n =
B. 49n ≤
C. 64n =
D. 81n ≥
『解析』
由{}
22
(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}
(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈, ①当11x =±,10y =时, 124,3,2,1,0,1,2,3,4x x +=----,
123,2,1,0,1,2,3y y +=---,
此时A B ⊕的元素个数为9763⨯=个,
②当10x =,11y =±时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,
124,3,2,1,0,1,2,3,4y y +=----,
这种情况和第①种情况除124,4y y +=-外均相同,故新增7214⨯=个, ③当10x =,10y =时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,
123,2,1,0,1,2,3y y +=---,这种情况与前面重复,新增0个,
综合①②③可得:
A B ⊕的元素个数为6314077++=个,
故选:A.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 曲线()2
x
f x e x x =-+在点()()
00f ，处的切线方程是______.
『答案』210x y -+=
『解析』因为()2
x
f x e x x =-+，
所以()21x
f x e x '=-+，
所以()()0
02012,01f e f '=-⨯+==，
所以函数()f x 在点()()
00f ，处的切线方程是12y x -=，即210x y -+=， 故答案为：210x y -+=
14. 若x ，y 满足约束条件1020220x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪--≤⎩
，则3z x y =+的最大值是______.
『解析』约束条件所示可行解域如下图所示：
在可行解域内平移直线1
3
y x =-
，当直线13y x z =-+经过A 点时，直线在纵轴上的截距
最大，A 点的坐标是方程组222y y x =⎧⎨=-⎩的解，解得2
2y x =⎧⎨=⎩
，所以3z x y =+的最大值是
2328+⨯=.
故答案为：8
15. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，若11a =，则10S =____
『答案』1023
『解析』设等比数列的公比为q ，由14a ，22a ，3a 成等差数列，
所以21344a a a =+，即2
11144a q a a q =+，
所以2
440q q -+=，解得2q .
由于11a =，所以12n n
a ，
所以10
10101221102312
S -==-=-.
故答案为：1023
.
16. 关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
的
①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增； ③()f x 在[],ππ-有4个零点；④()f x 的最大值为2； 其中所有正确结论的编号是_________.
『答案』①④
『解析』∵()sin |||sin |f x x x =+，定义域为R ，
∴()()sin |||sin |f x x x -=-+-sin sin ()x x f x =+=， ∴函数()f x 是偶函数，故①对；
当[]0,x π∈时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin 2sin x x x =+=， ∴由正弦函数的单调性可知，函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，故②错； 当[]0,x π∈时，由()2sin 0f x x ==得0x =，x π=，
根据偶函数的图象和性质可得，()f x 在[
),0π-上有1个零点x π=- ， ∴()f x 在[],ππ-有3个零点，故③错；
当0x ≥时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin x x =+2sin ,sin 0
0,sin 0x x x ≥⎧=⎨<⎩
，
根据奇偶性可得函数()f x 的图象如图，
∴当sin 1x =时，函数()f x 有最大值()max 2f x =，故④对； 故答案为：①④．
三、解答题：(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.)
（一）必考题：共60分.
17. “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小明的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
（1）若采用样本估计总体方式，试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过5000
步的概率；
（2）已知某人一天的走路步数超过8000步时被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”.根据小明的统计完成下面的22
⨯列联表，并据此判断是否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
n a b c d =+++的
解：（1）由题知，40人中该日走路步数超过5000步的有35人，频率为7
8
，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为78
； （2）
()2
24014126840
3.84122182020
11
K ⨯⨯-⨯=
=
<⨯⨯⨯， 所以没有95%以上的把握认为二者有关.
18. 已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足1
cos 2
a c B
b =+． （1）求角C 的大小；
（2）若7a b +=，ABC 的面积等于c 边长．
解：（1）由正弦定理可知，
1
sin sin cos sin 2A C B B =⋅+，
1
sin()sin cos sin 2
B C C B B ∴+=⋅+，
即1
sin cos sin 2
B C B =
sin 0B ≠
1cos 2
C ∴=
， 0C π<<，
3
C π
∴=
（2
）
1sin 2ABC
S
ab C =
==， 12ab ∴=
7a b +=
2222cos c a b ab C ∴=+- 2()3493613a b ab =+-=-=
c ∴=19. 已知等差数列{}n a 的公差为()0
d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设1
1n n n n c b a a +=+
•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2
(1)n S n <+.
解：（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以1123
51096a d a d d
+=⎧⎨
+=+⎩.
整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩
，
所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，
()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.
综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()11
1212111n c n n n n n n ⎛⎫=++
=++- ⎪⋅++⎝⎭，
所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 即()()22
2
11211111
n S n n n n n n =++-
=+-<+++.
20. 为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率；
（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中
的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
(参考公式：1
2
21
ˆn
i i
i n i i x y
nx y
b
x nx
==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-) 解：（1）从这5天中任选2天所包含的基本事件为()23,25，()23,30，()23,26，()23,16，
()25,30，()25,26，()25,16，()30,26，()30,16，()26,16，共10个．
设事件“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为()25,30，()25,26，
()30,26，共3个，
故由古典概型概率公式得()310
P A =
； （2）由题中数据得，另3天的平均数111312123x ++=
=，253026
273
y ++==，
所以()2222112513301226312275ˆ2111312312b ⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++-⨯， 因此5
ˆˆ271232
a
y bx =-=-⨯=-， 所以y 关于x 的线性回归方程为5
ˆ32
y
x =-；
（3）依题意得，
当10x =时，ˆ25322y
=-=，22232-<； 当8x =时，ˆ20317y
=-=，17162-<； 所以（2）中所得到
线性回归方程是可靠的．
21. 已知函数()ln f x a x =.
（1）讨论函数()()1g x x f x =--的单调性与极值；
（2）证明：当1a =且[)1,x ∈+∞时，不等式()()()121x f x x +≥-恒成立. (1)解：()ln f x a x =,()()11ln g x x f x x a x =--=--, 则()1a x a g x x x
-'=-
=, ①当0a ≤时,()0g x '>,
故()g x 在(0,)+∞上单调递增,无极值;
②当0a >时,令()0g x x a >⇒>,令()00g x x a <⇒<<, 故()g x 在(,)a +∞上单调递增,在(0,)a 上单调递减, 因此()g x 有极小值()1ln g a a a a =--,无极大值.
(2)证明：当1a =时,设()()()()121(1)h x x f x x x =+--≥, 则()()1ln 22(1)h x x x x x =+-+≥,
1
()ln 1h x x x
'=+
-, 设1
()ln 1(1)H x x x x
=+
-≥, 则22111
()0x H x x x x
-'=
-=≥, 因此()H x 在[)1,+∞上单调递增,即()h x '
在[)1,+∞上单调递增, 所以()(1)0h x h ''≥=,
的
所以()h x 在[)1,+∞上单调递增, 所以()(1)0h x h ≥=,
即1a =且[)1,x ∈+∞时不等式()()()121x f x x +≥-恒成立.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.
『选修4-4：坐标系与参数方程』
22. 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方
程为4πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l 的参数方程为1x t y t =⎧⎨=-+⎩
，(t 为参数)，直线l 和圆C
交于A 、B 两点，P 是圆C 上异于A 、B 的任意一点. （1）求圆C 的参数方程； （2）求PAB 面积的最大值.
解：（1）圆C
的极坐标方程为4πρθ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，
所以cos cos
sin sin
4
4π
πρθθ⎫
=-⎪⎭
所以2cos 2sin ρθθ=- 所以2
2cos 2sin ρρθρθ=- 所以2
2
22x y x y +=-
所以直角坐标方程为：2
2
(1)(1)2x y -++=，
可得参数方程为：()11x y θ
θθ
⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩为参数.
（2）直线l 的参数方程为1x t
y t =⎧⎨
=-+⎩
，(t 为参数)，易知直线l 为10x y --=.
圆心到直线的距离2
d =
=
，由于：r =
所以：AB == 由几何图形可知P 到直线AB
22
=
. 所以：PAB △
面积的最大值为1222
=
. 『选修4-5：不等式选讲』 23. 已知函数()11
44
f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；
（2）证明：当a ，b M ∈
时，a b -．
（1）解：()12,,411111
,
,44244
12,4x x f x x x x x x ⎧
-≤-⎪⎪
⎪=-++=-<<⎨⎪⎪
≥⎪⎩
()12422x f x x ⎧≤-⎪≤∴⎨⎪-≤⎩或1
144122x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩
或1422x x ⎧
≥
⎪⎨⎪≤⎩
1
14x ∴-≤≤-或1144x -<<或114
x ≤≤
所以不等式的解集为[]1,1M =-．
（2
）证明：要证a b -
，只需证a b ≥-，
即证()2
41ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b --+≥，即2242a ab b ++≥， 即证()2
4a b ≥+，只需证2a b ≥+ 因为a ，b M ∈，所以2a b +≤， 所以所证不等式成立．。