2015届九年级数学中考一轮复习教学案：第12课时二次函数的图像与性质(一)

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(九年级数学教案)二次函数的图象与性质1

二次函数的图象与性质1
九年级数学教案
教学目标:
1、会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.
2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.
重点:二次函数的图象与性质
难点:二次函数的图象与性质
本节知识点
1.能通过配方把二次函数化成+k的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标;
2.会利用对称性画出二次函数的图象.
教学过程
我们已经发现,二次函数的图象,可以由函数的图象先向平移个单位,再向平移个单位得到,因此,可以直接得出:函数的开口,对称轴
是,顶点坐标是.那么,对于任意一个二次函数,如,你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗?
[实践与探索]
例1.通过配方,确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图.
解
因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,8).
由对称性列表:
x … -2 -1 0 1 2 3 4 … … -10 0 6 8 6 0 -10 … 描点、连线,如图26.2.7所示.
回顾与反思(1)列表时选值,应以对称轴x=1为中心,函数值可由对称性得到,.
(2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描点,最后用平滑曲线顺次连结各点.
探索对于二次函数,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗?请你完成填空:对称轴,顶点坐标.
例2.已知抛物线的顶点在坐标轴上,求的值.
分析顶点在坐标轴上有两种可能:(1)顶点在x轴上,则顶点的纵坐标等于0;(2)顶点在y轴上,则顶点的横坐标等于0.
解,
则抛物线的顶点坐标是.
当顶点在x轴上时,有, 解得. &nb。

九年级第一轮复习二次函数的图象及其性质(一)2

数学新课标（RJ）
第13课时
二次函数的图象及其性质(一)
目标引领
1、理解二次函数的性质； 2、会用待定系数法求二次函数解析式。
独立自学
认真看《全品》P28，思考： 1、二次函数的解析式有哪些形式？分别说一说； 2、二次函数的每一种形式的适用条件及求法如何？
引导探究
当堂诊学
考向探究
考向探究
回归教材
考点聚焦
当堂诊学
例2 [2015· 锦州] 在同一坐标系中，一次函数 y＝ax＋2
与二次函数 y＝x2＋a 的图象可能是( C )
图 13－1
回归教材Βιβλιοθήκη 考点聚焦考向探究当堂诊学
解析
当 a＜0 时，二次函数图象的顶点在 y 轴负半轴上，
一次函数的图象经过第一、二、四象限；当 a＞0 时，二次函数图象的顶点在 y 轴正半轴上，一次函数的图象经过第一、二、三象限．故选 C.
回归教材
考点聚焦
考向探究
目标升华
本节课学习了哪些内容？谈谈你本节课的收获。
当堂训练 ——检测收获
专注、高效限时10分钟
作业布置
《全品》作业手册：课时作业（十三） 16—19
回归教材
考点聚焦
考向探究
当堂诊学
解析
①y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，故它的对称轴是直线 x＝1，正确； ②∵直线 x＝1 两旁部分增减性不一样，∴设 y1＝－x12＋2x1，y2＝ x22＋2x2，则当 x2＞x1 时，有 y2＞y1，错误； ③当 y＝0，则 x(－x＋2)＝0，解得 x1＝0，x2＝2，故它的图象与 x 轴的两个交点是(0，0)和(2，0)，正确； ④∵a＝－1＜0， ∴抛物线开口向下． ∵它的图象与 x 轴的两个交点是(0，0)和(2，0)． ∴当 0＜x＜2 时，y＞0，正确．

中考数学一轮复习第12课时二次函数(1)教案

教学难点：
二次函数最值和单调性，二次函数的最值和增减性的应用
教学方法：
自主探究合作交流讲练结合
教学媒体：
电子白板
【教学过程】：
一、知识梳理
1.二次函数：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：__________(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
2.二次函数的解析式三种形式。
3.二次函数的平移
问题3（1）已知抛物线，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是（）
A．将c沿x轴向右平移个单位得到c′B．将c沿x轴向右平移4个单位得到c′
C ．将c沿x轴向右平移个单位得到c′D．将c沿x轴向右平移6个单位得到c′
（2）将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是．
C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2 D．对称轴是直线x=﹣1，最大值2
2.（20 17•台湾）已知坐标平面上有两个二次函数y=a（x+1）（x﹣7），y=b （x+1）（x﹣15）的图形，其中a、b为整数．判断将二次函数y=b（x+1）（x﹣15）的图形依下列哪一种方式平移后，会使得此两图形的对称轴重叠（）
（1）一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________
（2）顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.
（3）交点式:已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.
③图象不经过第一象限；④当x＞2时，y随x的增大而减小．

中考数学一轮复习二次函数的图象及其性质教案

第14讲二次函数的图象及其性质一、复习目标1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．2．会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．3．会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律．二、课时安排 1课时三、复习重难点把实际问题转化成二次函数问题并利用二次函数的性质来解决。

四、教学过程（一）知识梳理二次函数的概念定义一般地，如果____________ (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c的结构特征①等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2; ②二次项系数a ≠0二次函数的图象及画法图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象是以____________为顶点，以直线______________为对称轴的抛物线用描点法画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c的图象的步骤 (1)用配方法化成________________的形式； (2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (3)在对称轴两侧利用对称性描点画图二次函数的性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)a >0 a <0图象开口方向抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸对称轴直线x ＝－b2a直线x ＝－b2a顶点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b24a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b24a增减性在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>－b2a 时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>－b2a 时，y 随x 的增大而减小，简记左增右减函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)a >0a <0最值抛物线有最低点，当x ＝－b2a时，y 有最小值，y 最小值＝4ac －b24a抛物线有最高点，当x ＝－b2a 时，y有最大值，y 最大值＝4ac －b24a二次项系数a 的特性 ||a 的大小决定抛物线的开口大小；||a 越大，抛物线的开口越小，||a 越小，抛物线的开口越大常数项c 的意义c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标，即x ＝0时，y ＝c用待定系数法求二次函数的解析式方法适用条件及求法1.一般式若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将已知三个点的坐标代入，求出a 、b 、c 的值2.顶点式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为y ＝a (x －h )2＋k ，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式3.交点式若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为y ＝a(x －x1)(x －x2)，将第三点(m ，n)的坐标(其中m 、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式（二）题型、技巧归纳考点1二次函数的定义技巧归纳：利用二次函数的定义，二次函数中自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0. 考点2二次函数的图象与性质技巧归纳：(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法：①配方法；②顶点公式法，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a .(2)画抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的草图，要确定五个方面，即①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y 轴交点；⑤与x 轴交点．考点3二次函数的解析式的求法技巧归纳：二次函数的关系式有三种： 1．一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ；2．顶点式y ＝a(x －m)2＋n ，其中(m ，n)为顶点坐标；3．交点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中(x 1,0)，(x 2,0)为抛物线与x 轴的交点．一般已知三点坐标用一般式求关系式；已知顶点及另一个点坐标用顶点式；已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式．此题属于第三种情形．（三）典例精讲例1若是二次函数，则m ＝( )A ．7B ．－1C ．－1或7D ．以上都不对[解析] 让x 的次数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．由题意得：m2－6m －5＝2，且m ＋1≠0. 解得m ＝7或－1，且m≠－1， ∴m ＝7，故选A.例2 (1)用配方法把二次函数y ＝x 2－4x ＋3变成y ＝(x －h)2＋k 的形式； (2)在直角坐标系中画出y ＝x 2－4x ＋3的图象；(3)若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数y ＝x 2－4x ＋3图象上的两点，且x 1<x 2<1，请比较y 1、y 2的大小关系(直接写结果)；(4)把方程x 2－4x ＋3＝2的根在函数y ＝x 2－4x ＋3的图象上表示出来．解：(1)y ＝x 2－4x ＋3＝(x 2－4x ＋4)＋3－4＝(x －2)2－1.(2)由(1)知图象的对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，－1)，列表：x … 0 1 2 3 4 … y…3－13…描点作图如下图． (3)y 1>y 2.(4)如图，点C ，D 的横坐标x 3，x 4即为方程x 2－4x ＋3＝2的根例3 已知抛物线经过点A (－5，0)，B (1，0)，且顶点的纵坐标为92，求二次函数的解析式．解：解法一：∵抛物线与x 轴的两个交点为A(－5，0)，B(1，0)，由对称性可知，它的对称轴为直线x ＝－5＋12＝－2，∴抛物线的顶点为P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，92，已知抛物线上的三点A(－5，0)，B(1，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，92，设一般式，设y ＝ax 2＋bx ＋c ，把A(－5，0)，B(1，0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，92的坐标代入，得∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，25a －5b ＋c ＝0，4a －2b ＋c ＝92，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，c ＝52，∴ 所求抛物线的关系式为y ＝－12x 2－2x ＋52.（四）归纳小结本部分内容要求熟练掌握二次函数的概念、图象及画法及其性质。

二次函数的图像和性质复习课教案

yxOyx O二次函数的图像和性质复习课（一）一、复习目标1.掌握并理解二次函数的性质。

2.会用二次函数的性质解决相关的问题。

二、复习重、难点重点：二次函数的性质及应用。

难点：综合应用二次函数的性质解题。

三、课前准备重点知识扫描1.二次函数的定义：形如（a 、b 、c 为常数，a ）的函数是二次函数。

2.二次函数的图像：它是一条，图像是对称图形。

3．二次函数的图像和性质4．求二次函数的解析式的方法（1）若知道抛物线上任意三个点的坐标，则设为一般式：，（2）若知道抛物线的顶点坐标（h , k ），则设为顶点式：，二次函数顶点式： )0()(2≠+-=a k h x a y一般式:)0(2≠++=a c bx ax y图象a ＞0a ＜0 a ＞0a ＜0开口对称轴直线 x ＝直线 x ＝顶点坐标( , )( , )最值当x ＝时，=最小y当x ＝时，=最大y当x ＝时，=最小y当x ＝时，=最大y增减性当x 时y 随x 的增大而减小；当x 时y 随x 的增大而增大。

当x 时y 随x 的增大而增大；当x 时y 随x 的增大而减小。

当x 时y 随x 的增大而减小；当x 时y 随x 的增大而增大。

当x 时y 随x 的增大而增大；当x 时y 随x 的增大而减小。

（3）若知道抛物线与x 轴的两个交点的坐标（1x ，0），（2x ，0），则设为交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y5．抛物线的平移6．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像特征与系数a 、b 、c 及ac b 42-的关系项目字母字母符号图像特征 aa ＞0 开口向上 a ＜0开口向下 bb=0对称轴是y 轴a 、b 同号对称轴在y 轴左侧左同右异a 、b 异号对称轴在y 轴右侧cc=0 经过原点 c ＞0 与y 轴的正半轴相交 c ＜0与y 轴的负半轴相交 ac b 42-ac b 42-=0与x 轴有唯一交点（顶点）ac b 42-＞0与x 轴有两个交点 ac b 42-＜0与x 轴有没有交点四、考点剖析考点1：二次函数的定义例1.下列函数是二次函数的有（）12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y xy x y A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个考点2：二次函数的图像和性质的应用例2.已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x －1）2+m 的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2考点3：二次函数图像的平移例3．抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )（Ａ）23(1)2y x =-- （Ｂ）23(1)2y x =+- （C ）23(1)2y x =++ （D ）23(1)2y x =-+ 考点4：二次函数的图像与系数关系例4．如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法：①b c ＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④ac b 42-﹤0其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 考点5：求二次函数的解析式例5．一条抛物线经过(－2，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．五、变式训练1．二次函数22(1)3y x =-+的图象的最低点的坐标是（）A .（1,3）B .（－1,3）C .（1,－3）D .（－1,－3）2．如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是．3.如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是。

二次函数的图像与性质教案

二次函数的图像与性质教案教案标题：二次函数的图像与性质教案教案目标：1. 理解二次函数的基本概念和性质；2. 掌握二次函数图像的绘制方法；3. 能够分析二次函数的图像特征和性质。

教案步骤：步骤一：引入二次函数的概念和性质（10分钟）1. 引导学生回顾一次函数的概念和性质，然后引入二次函数的概念，解释二次函数与一次函数的区别。

2. 介绍二次函数的一般形式：f(x) = ax^2 + bx + c，并解释各项的含义。

3. 解释二次函数的性质：对称性、开口方向、顶点、轴等。

步骤二：绘制二次函数的图像（20分钟）1. 通过给定不同的a、b、c值，绘制不同形态的二次函数图像。

2. 详细解释如何确定二次函数的顶点、轴和开口方向。

3. 引导学生观察图像的变化规律，总结二次函数图像与a、b、c值的关系。

步骤三：分析二次函数的图像特征和性质（15分钟）1. 引导学生观察不同形态的二次函数图像，分析其对称性、最值、零点等特征。

2. 引导学生发现二次函数图像的对称轴与一次函数图像的x轴有何关系。

3. 引导学生讨论二次函数图像的开口方向与a值的关系，并总结规律。

步骤四：应用二次函数的图像与性质（15分钟）1. 给定实际问题，引导学生建立与之对应的二次函数模型。

2. 利用二次函数图像的性质，解决实际问题，如求最值、零点等。

3. 引导学生讨论二次函数图像在不同场景中的应用，如抛物线的运动轨迹、物体的抛射问题等。

步骤五：总结与拓展（10分钟）1. 让学生总结二次函数的图像特征和性质，包括对称性、开口方向、顶点、轴等。

2. 引导学生思考二次函数的应用领域，并拓展到其他数学知识的应用，如函数的复合、函数的逆运算等。

教学资源：1. 教材：包含二次函数相关知识的教材或教学参考书。

2. 白板、彩色笔等教学工具。

3. 实际问题的案例素材。

评估方式：1. 课堂练习：通过绘制二次函数图像、分析图像特征等练习，检查学生对二次函数的理解和应用能力。

九年级下册《二次函数的图像与性质(1)》(湘教版)数学教案

九年级下册《二次函数的图像与性质（1）》（湘教版）数学教案标题：九年级下册《二次函数的图像与性质（1）》（湘教版）数学教案一、教学目标1. 知识与技能：理解并掌握二次函数的基本概念，能够绘制二次函数的图像，并通过观察和分析图像，掌握二次函数的基本性质。

2. 过程与方法：通过观察、讨论、总结等学习活动，培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力。

3. 情感态度与价值观：体验从特殊到一般，从具体到抽象的数学思维过程，感受数学的简洁美。

二、教学重点和难点重点：二次函数的基本概念、图像及其基本性质。

难点：理解并掌握二次函数的图像与性质之间的关系。

三、教学准备多媒体设备、黑板、粉笔、学生用书、练习题。

四、教学过程(一) 导入新课教师引导学生回忆一次函数的图像和性质，然后提出问题：“如果一个函数的变量x的最高次数是2，这样的函数我们称之为二次函数，那么它的图像和性质会是什么样的呢？”从而引入新课。

(二) 新课讲解1. 二次函数的基本概念：教师引导学生阅读课本内容，理解二次函数的一般形式y=ax²+bx+c(a≠0)，并明确a、b、c的意义。

然后，教师举例说明如何确定二次函数的一般形式。

2. 二次函数的图像：教师利用多媒体展示几个典型的二次函数图像，引导学生观察并总结其特点。

然后，教师讲解如何绘制二次函数的图像，包括确定顶点坐标、对称轴、开口方向等。

3. 二次函数的基本性质：教师引导学生通过观察图像，总结出二次函数的基本性质，如图像是抛物线、开口方向由a决定、顶点位置和函数值最小(最大)等。

(三) 巩固练习教师给出一些二次函数的题目，让学生尝试绘制图像并分析其性质，以巩固所学知识。

(四) 小结教师引导学生回顾本节课的主要内容，总结二次函数的基本概念、图像和性质。

五、作业布置完成课本上的习题，预习下一节的内容。

六、教学反思在教学过程中，要注意引导学生主动参与，鼓励他们积极思考，通过实践操作加深对二次函数的理解。

《二次函数的图像和性质复习课》教学设计

《二次函数的图像和性质复习课》教学设计三星口九年一贯制学校王丽娟教学目标：1、通过复习，掌握各类形式的二次函数解析式的求解方法和思路，能够一题多解，发散学生的思维，提高学生的创造思维能力；2、能运用数学思想解决有关二次函数的综合问题，帮助学生提高解决综合题的能力。

3、提高学生对知识的整合能力和分析能力。

4、经历探索二次函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活．重难点：二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决实际问题。

教学方法：自主探究、合作交流。

教学过程：一、课前作业展示1、以思维导图的形式总结整理二次函数知识点。

2、实物投影学生做的思维导图，学生指出思维导图的优缺点，及改进方案。

二、自主探究（一）多媒体出示问题1、请你任意写出一个二次函数解析式。

学生写解析式，教师提示二次函数解析式的形式，师生共同总结二次函数解析式的三种形式。

2、你能给出尽可能少的条件让大家求出你所写的二次函数表达式吗？（1）学生根据自己所写表达式给出条件，其他同学求，求完订正与该同学所写二次函数表达式是否一致。

（2）学生总结求二次函数解析式需要条件有哪些，各种条件下所适用的解析式形式如何对应。

3、由你所写的二次函数解析式可以构建怎样的填空选择题？（1）学生根据自己的解析式提出问题其他同学求解；（2）学生讨论总结关于二次函数的问题类型有哪些，并对应各问题的解决要点作出总结。

三、合作交流抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-1,部分图像如图所示，下列判断中：①abc>0②b²-4ac>0③9a-3b+c=0④6a-2b+c<0⑤若点（-0.5，y1）,(-2,y2)均在不抛物线上，则y1>y2,其中正确的是________.1、多媒体展示题目学生自主解答；2、针对不会的选项小组讨论交流。

3、订正答案，不懂的选项由会的同学进行讲解。

《二次函数的图像和性质》第一课时教案 (1)

5.4二次函数的图像和性质(1)教材分析：本节内容是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质，以及二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，又是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华，还是今后学习的基础，在教材中起着非常重要的作用．教学设计：本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤和方法，然后根据表中的各对对应值，在直角坐标系中描出相应的各点，用光滑的曲线连接，画出图象．通过画出图象，让学生分析、归纳二次函数的图象与性质.学习目标：知识与技能：1.掌握二次函数的图象的作法及其性质，会根据图象用数学语言表达图象的性质．2.能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点．过程与方法：通过对二次函数图象与性质的发现，提高分析、归纳等能力，体验数学中的数形结合思想的应用.情感态度和价值观：引导学生养成全面看问题，分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性．学习重难点：重点：能在直角坐标系中，正确画出二次函数的图象，并能说出二次函数的图象的性质. 难点：作二次函数图象时要选取适当的点，选取适当数目的点.课前准备教具准备教师准备PPT 课件教学过程：知识回顾：一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线反比例函数： (k ≠0)图象:双曲线问:1．如何画出函数图象呢?2．如何得到相应的性质呢?【设计意图】：通过对一次函数和反比例函数解析式、图象的回顾，一方面巩固学生的旧知，另一方面对本节课的学习起到类比作用.合作探究一: 二次函数y=ax 2(a>0)的图象请同学们用描点法按下列要求画图： k y x请A组同学同桌合作画函数y=x2的图象；请B组同学同桌合作画函数y= 1/2x2的图象归纳: 二次函数y=ax2 (a>0)的性质合作探究二: 二次函数y=ax2 (a<0)的图象请同学们用描点法按下列要求画图：请A组的同学同桌合作在和抛物线y=x2同一坐标系中画函数y=-x2的图象，并观察；请B组同学同桌合作在和抛物线y=-1/2 x2同一坐标系中画函数y=-1/2 x2的图象，并观察.归纳: 二次函数y=ax2 (a<0)的性质【设计意图】：在探索性质时，利用课件展示给学生图形，在验证学生图形画的准确的前提下，给出学生一定的提示，从那几个方面进行探索，并先让学生自己探索，然后再与同学交流，这样即锻炼了学生的自学与归纳能力，又培养了学生的合作意识.当堂检测：1．对于函数y＝2x2，下列结论正确的是( )A．当x取任何实数时，y的值总是正的 B．x的值增大，y的值也随着增大C．x的值增大，y的值随着减小 D．图像关于y轴对称2．分别说出抛物线y=4x2与y=-5x2的开口方向，对称轴与顶点坐标.3．如何根据函数的图象，(1)根据图象，求当y=2时，对应的x的值(精确到0.1)；(2)利用图象，求的√3值(精确到0.1).4．已知二次函数y=ax2的图象如图，x1<x2，则对应的y值y1,y2大小关系为y1____y25．观察上面画的图象回答：（1）在对称轴右边，y随x的增大而______（2）在对称轴左边y随x的增大而______课堂小结:本节课学习了二次函数y=ax2的图象和性质作业:课本 P.33第1,2题板书设计:5.4二次函数的图像和性质(1) 知识回顾：合作探究一:二次函数y=ax2(a>0)的图象归纳:二次函数y=ax2(a>0)的性质合作探究二:二次函数y=ax2(a<0)的图象归纳:二次函数y=ax2(a<0)的性质。

中考复习二次函数的图象与性质教案

九年级第一轮复习中考复习二次函数的图象与性质教案授课教师：一、中考要求：1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3．会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(x-h)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．会用待定系数法求二次函数的解析式；5.利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

二、知识要点：1.二次函数的图象在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+ )2+ 的形式,先确定顶点( , ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而 ;在对称轴的= ;反之当右侧,y随x的增大而 ;简记左减右增,这时当x= 时,y最小值= .a<•0时,简记左增右减,当x= 时y最大值3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法(1)一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;(2)在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k，顶点是（h，k）;4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即(1)当抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根;(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根;（3）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,•方程ax2+bx+c=0无实根.5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定(一) 热身练习针对实际中考考题及学生的实际情况，学生先独立完成，然后小组讨论，准确求解（教师注重个别学生的辅导，使绝大多数学生能够考好基本知识，不丢失基本分） 1. 二次函数52++=bx x y 配方后k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为（）（A ）0.5 （B ）0.1 （C ）—4.5 （D ）—4.12. 如图1所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是．3. 二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（）A ．（-1，8）B ．（1，8）C ．（-1，2）D ．（1，-4）4.把抛物线y =x 2+bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象为y =x 2－3x ＋5，则（）A ．b =3，c =7B ．b =6，c =3C ．b =-9，c =-5D ．b =-9，c =21 5.下列四个函数图象中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是（）(二)重点练习利用实际中考考题，通过板演让学生重点突破，教师加强个别辅导例1已知实数y x y x x y x +=-++则满足,033,2的最大值为？例2如图，抛物线254y ax ax a =-+与x 轴相交于点A 、B ，且过点(54)C ，．（1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．5,4）例3：（10广州）已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋2．（1）该抛物线的对称轴是，顶点坐标；（2（3）若该抛物线上两点A （1，1），B （2，2）的横坐标满足1＞2＞1，试比较1与y 2的大小．（三）课堂小结今天复习二次函数的图象与性质，你有什么收获？你做错的题目找到原因了吗？你订正了吗？ (四)当堂检测（主要是基础练习，强化学生基本分得分能力）1．已知抛物线103:2-+=x x y C ，将抛物线C 平移得到抛物线C '若两条抛物线C 、C ' 关于直线1=x 对称，则下列平移方法中，正确的是 ( ) A ．将抛物线C 向右平移25个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位C ．将抛物线C 向右平移5个单位D ．将抛物线C 向右平移6个单位2.已知二次函数y ＝Ax 2＋Bx ＋C 的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞03.已知二次函数c bx axy ++=2的图象如图所示,记b a c b a q b a c b a p -+++=+++-=2,2,则p 与q 的大小关系为 ( )A.q p >B.q P =C.q p <D.p 、q 大小关系不能确定4．将抛物线y ＝－(x －1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为____________________．5.抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（） A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x =6.将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，抛物线解析式是（）．A ．221216y x x =--+B ．221216y x x =-+-C ．221219y x x =-+-D ．221220y x x =-+- 7、提高题：（有能力的同学自己课后完成）（2010江西）如图，已知经过原点的抛物线y=-2x 2+4x 与x 轴的另一交点为A ，现将它向右平移m (m >0)个单位，所得抛物线与x 轴交与C 、D 两点，与原抛物线交与点P. （1）求点A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状（不要求说理）（2）在x 轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m 的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）△CDP 的面积为S ，求S 关于m 的关系式。

二次函数的性质与图像教案

二次函数的性质与图像教案一、教学目标1. 让学生理解二次函数的定义和标准形式；2. 掌握二次函数的性质，包括对称轴、顶点、开口方向等；3. 能够绘制二次函数的图像，并分析图像的性质；4. 能够运用二次函数解决实际问题。

二、教学内容1. 二次函数的定义和标准形式；2. 二次函数的性质；3. 二次函数的图像；4. 实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：二次函数的性质和图像；2. 难点：二次函数图像的分析与应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图像；3. 结合实际例子，让学生学会运用二次函数解决实际问题。

五、教学准备1. 教学课件；2. 练习题；3. 实物模型或图形软件。

教案内容请参考下述示例：一、二次函数的定义和标准形式1. 二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数称为二次函数。

2. 二次函数的标准形式：y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）为顶点坐标。

二、二次函数的性质1. 对称轴：二次函数的对称轴为x=h。

2. 顶点：二次函数的顶点坐标为（h，k）。

3. 开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

三、二次函数的图像1. 绘制二次函数的图像：通过顶点、对称轴、关键点等方法绘制。

2. 分析二次函数的图像：观察开口方向、对称轴、顶点等。

四、实际问题中的应用1. 利用二次函数解决实际问题：如抛物线与坐标轴的交点、最值问题等。

2. 结合实际例子，让学生学会运用二次函数解决实际问题。

五、课堂练习1. 练习题：巩固二次函数的性质与图像知识。

2. 实物模型或图形软件：让学生直观地感受二次函数的图像。

六、教学过程1. 导入：通过回顾一次函数和线性函数的图像，引导学生思考二次函数图像的特点。

2. 新课：介绍二次函数的定义和标准形式，解释对称轴、顶点、开口方向等概念。

初中数学教案：《二次函数的图像与性质》

初中数学教案：《二次函数的图像与性质》一、引言二次函数是初中数学中重要的内容之一。

学生在初中阶段应该掌握二次函数的概念、图像和性质，并能够进行简单的计算和解题。

本教案将围绕《二次函数的图像与性质》展开教学，帮助学生深入理解和掌握该知识点。

二、知识讲解1. 二次函数的概念二次函数是由形如y = ax^2 + bx + c（a≠0）的代数式所确定的函数关系。

其中a、b、c为实数，且a不等于0。

这里的x和y分别表示自变量和因变量。

2. 二次函数的图像通过观察二次函数代数式中的各个参数，我们可以得到对应图像的特征：- 当a大于0时，二次函数开口向上；当a小于0时，二次函数开口向下。

- 平移：b表示平移量，当b大于0时，图像向左平移；当b小于0时，图像向右平移；- 定点：（1）对称轴：x = -b/2b是二次函数关于纵轴对称的直线；（2）顶点：坐标为（-b/2b, f(-b/2b)），是二次函数的最值点。

3. 二次函数的性质- 零点：二次函数与x轴相交的点称为零点。

通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以得到二次函数的零点。

- 最值：当a大于0时，二次函数的最小值为顶点的y坐标；当a小于0时，二次函数的最大值也为顶点的y坐标。

- 单调性：当a大于0时，二次函数在开区间(-∞, -b/2a)上是递增的，在开区间(-b/2a, +∞)上是递减的；当a小于0时，则情况相反。

三、教学重难点1. 图像和代数表达之间的转化；2. 使用顺序和方法求解二次方程；3. 熟练掌握图像特征与参数之间的联系。

四、教学过程1. 导入新知识引导学生回顾一元一次方程和一元二次方程，并对比两者之间的差异。

引出本节课要学习的内容——《二次函数的图像与性质》。

2. 知识讲解与示范介绍概念后，通过具体示例展示二次函数图像的特点与参数之间的关系。

引导学生观察实例中a、b、c对图像产生的影响，培养他们发现规律和总结归纳的能力。

3. 练习与巩固- 给予学生一组二次函数代数式，请学生绘制对应图像，并根据图像特征推测代数式中a、b、c的取值。

二次函数的图象和性质（1）教案

湘教版数学九年级二次函数的图象与性质（1）教学设计课题二次函数的图象与性质(一) 单元第一单元学科数学年级九年级学习目标1.学生会用描点法画出的图象，理解抛物线的有关概念.2.使学生经历、探索二次函数图象性质的过程.3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数的图象.难点用描点法画出二次函数的图象以及探索二次函数性质教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图复习导入师：同学们，回忆一下1、二次函数的一般形式是怎样的？2、一次函数图象是什么样的？它的图像画法步骤，你还记得吗，请列出来。

3、二次函数图象是什么形状呢？是否可以借鉴一次函数的图像画法呢？学生回顾．通过回顾所学知识为本节课的学习做好铺垫．讲授新课一、探究二次函数y=ax2(a>0）的图象和性质1.探究：画二次函数的图象.（1）列表：在列表时对自变量x取这些值的理由是什么？观察表格中的数据，你有什么发现？（2）描点：描点时应以哪些数值作为点的坐标？在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点．（3）连线：光滑的曲线顺次连接学生填表．在教师的引导启发学生观察表达式的特点．通过学生思考和点A与点A′，点B与点B′，…，它们有什么关系？由此你能作出什么猜想?从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？y=x2的图象在y轴右边所有点都具有这样的性质吗？图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”．当x＜0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小．简称为“左降”．当x＞0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大．简称为“右升”．抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0．我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可以从图象看出的其他一些性质（除了上面已知的关于y轴对称和“右升”外），还有哪些性质？对称轴与图象的交点是___________；图象的开口向_________；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________，简称“左降；当x=_______时，函数值最_____．一般地，当a>0时，y=ax2的图象都具有上述性质．于是我们画y=ax2（a>0）的图象时，可以下观察图像，引导学生自主探究，让学生讨论、交流，达成共识．交流对函数性质的认识，并积累从图象的角度研究函数性质的经验．先画出图象在y 轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤．例 1 画二次函数212y x =的图象．二、探究二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性质探究：我们已经会画212y x =的图象，能不能从它得出二次函数212y x =-的图象呢？分析：把212y x =的图象沿着x 轴翻折并将图象 “复制”出来，就可以得到212y x =-的图象.画二次函数212y x =-的图象．在212y x =的图象上任取一点21(,)2P a a ，它关于x 轴的对称点Q 的坐标是21(,)2P a a -．如图所示，从点Q 的坐标看出，点Q 在212y x =-的图象上．由此可知，212y x =-的图象与 212y x =的图象关于x 轴对称．因此只要把212y x = 的图象沿着x 轴翻折并将图象“复制”出来，就可得到212y x =-的图象．如图的绿色曲线．观察图象，归纳与总结：一般地，抛物线y =ax 2的对称轴是_____，顶点是________．当a >0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_____，在对称轴的右学生动手画图象．对比画图．归纳二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性培养学生画图能力．体会二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性质．掌握y =ax 2(a ＜0）的图象和性质．侧，y 随x 的增大而_____．当a <0时，抛物线的开口向___，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而________．例2 画二次函数214y x =-的图象．观察函数2y x =和212y x =图象的开口大小，你能得出什么结论？观察函数2y x =-和212y x =-图象的开口大小，你又能得出什么结论？三、抛物线的概念在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y =x 2的图象相像吗？以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x 轴的正方向水平向右，y 轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y =ax 2（a <0）的图象的一段．由此受到启发，我们把二次函数y =ax 2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y =ax 2．一般地，二次函数y =ax 2的图象关于y 轴对称，抛物线与它的对称轴的交点（0，0）叫作抛物线y =ax 2的顶点．质．通过实际问题理解抛物线的概念．帮助学生理解二次函数是具有广泛应用价值的，重要的数学模型．巩固练习 1、直接运用性质填空： (1)图象的对称轴是，顶点是 ,图象的开口向； (2)图象的对称轴是，顶点是 ,图象的开口向 . 2、如图所示，已知二次函数y =ax 2的图象经过点A ．（1）求a 的值；（2）试判断点（-4，12）是否在此函数的图象上．3、已知函数221m m y mx --=的图象是开口向下的抛物线．（1）求m 的值；（2）当x =3时，函数值是多少？当y =-6时，求x 的值；（3）试说明当x <3时，函数值的变化情况，并求当x 为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 4、底面是边长为x （cm ）的正方形，高为0.5 cm 的长方体的体积为y （cm 3）．（1）求y 关于x 的函数关系式，并画出函数图象；（2）根据图象求出y =8 cm 3时，底面边长x 的值；（3）根据图象，求出x 为何值时，y ≥4.5 cm 3．学生独立完成并展示．巩固学习，让学生用自己的方法展示出来，并且让学生得到进一步的锻炼．让学生建立自己对本节内容的认知．课堂小结学生自主交流、归纳、总结．培养学生的归纳、总结能力．板书1.2 二次函数的图象与性质（1）1.探究：画二次函数的图象. （1）列表：（2）描点：（3）连线：。

初中数学教案：《二次函数的图像与性质》

初中数学教案：《二次函数的图像与性质》二次函数的图像与性质一、引入二次函数是数学中常见且重要的一种函数类型。

它的图像呈现出特殊的形状，具有一些独特的性质。

本教案将通过引导学生观察和分析二次函数的图像来探索它的性质，并通过练习加深对二次函数的理解。

二、二次函数的定义1. 数学定义二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

其中a 决定了二次函数的开口方向，b 决定了二次函数的对称轴位置，c 决定了二次函数的纵向平移。

2. 图像的性质二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状。

具体来说，当 a > 0 时，图像开口向上；当 a < 0 时，图像开口向下。

而对称轴的位置由 x = -b/2a 确定，通过计算可以找到对称轴的横坐标。

另外，二次函数的平移可以通过 c 的值来实现。

三、二次函数图像的绘制1. 绘制基准图像首先，我们以 y = x^2 作为基准图像，通过表格法计算得到一些点的坐标，然后将这些点连起来。

在辅助坐标纸上可以绘制出 y = x^2 的图像。

2. 改变 a 的值接下来，让我们固定 b 和 c 的取值，分别改变 a 的值，观察二次函数图像的变化。

当 a > 0 时，图像开口朝上；当 a < 0 时，图像开口朝下。

可以在坐标纸上绘制多个二次函数图像并进行比较。

3. 改变 b 的值现在，我们固定 a 和 c 的取值，分别改变 b 的值，观察二次函数图像的变化。

可以发现，b 的值会影响二次函数图像的对称轴位置。

通过计算可以求得对称轴的横坐标，根据变化的 b 值绘制对应的图像。

4. 改变 c 的值最后，我们固定 a 和 b 的取值，分别改变 c 的值，观察二次函数图像的变化。

c 决定了二次函数图像的纵向平移。

我们可以通过计算和绘制图像来验证这一点。

四、二次函数的性质1. 抛物线的顶点二次函数图像的顶点是抛物线的最低点或最高点，也是对称轴与抛物线的交点。

初三数学专题复习教案第12讲：二次函数

第12讲二次函数一、教学目标1.知识与技能:能够准确绘制二次函数图像；通过图像发现和研究顶点式二次函数的性质。

2.过程与方法：经历探索和发现二次函数图像的特点和性质的过程；体会数形结合的数学思想3.情感、态度与价值观：体验数学活动中的探索性和创造性。

二、教学重难点教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索顶点式二次函数的图像特点和性质。

教学难点：顶点式二次函数的图像特点和性质的得出过程。

三、教学用具：直尺三角板四、学情分析：学生已经掌握了二次函数的概念和性质，但是二次函数的性质应用和实际问题需要学生灵活理解和掌握，二次函数为载体的综合题是学生的一大难题。

五、教学方法：六、教学资源：教本，PPT七．教学过程：考点聚焦考点一二次函数的概念一般地,形如(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.考点二二次函数的图象及画法图象二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以①为顶点,以直线②为对称轴的抛物线用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象的步骤(1)用配方法化成③的形式;(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图考点三二次函数的性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) a>0 a<0图象开口方向抛物线开口向上,并向上无限延伸抛物线开口向下,并向下无限延伸对称轴直线x=-直线x=-顶点坐标增减性在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增大而减小,简记左增右减大而增大,简记左减右增最值抛物线有最低点,当x=-时,y有最小值,y最小值=抛物线有最高点,当x=-时,y有最大值,y最大值=二次项系数a的特性的大小决定抛物线的开口大小:越大,抛物线的开口越小,越小,抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c考点四二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式Δ=b2-4ac的符号方程ax2+bx+c=0实根的个数①个Δ>0 ②的实根1个Δ③两个相等的实根没有Δ④⑤实根考点二二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a,b,c及判别式b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa>0 开口向上a<0 开口向下b b=0 对称轴为y轴ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧c c=0 经过原点c>0 与y轴正半轴相交c<0 与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac>0 与x轴有两个不同的交点b2-4ac<0 与x轴没有交点特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=a-b+c若a+b+c>0,则x=1时,y>0若a-b+c>0,则x=-1时,y>0考点五二次函数图象的平移将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,而任意抛物线y=a(x-h)2+k均可由抛物线y=ax2平移得到,具体平移方法如图14-1所示.一、二次函数的定义例1、已知函数y=(m－1)xm2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。

二次函数的图象与性质(第1课时) 教学设计

第二章二次函数《二次函数的图象与性质（第1课时）》教学设计教学目标1.经历探索二函数2x y ±=的图象的画法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.2.能够利用描点法画函数2x y ±=的图象，能根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质．能比较2x y ±=图象和性质的异同．3.发展学生的观察、归纳、猜测、验证的能力，培养学生运用数形结合的思想解决问题能力.4.运用类比的方法学习二次函数的性质，培养学生掌握学习数学知识的通性通法，发展学生核心素养.教学重点：画出函数2x y ±=的图象，并根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.教学难点：探索二次函数2x y ±=增减性. 教学过程（一）创设问题情境，引入新课［师］我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为c bx ax y ++=2（其中c b a 、、均为常数且0≠a ）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题.（二）新课讲解 1、作函数2x y =的图象［师］一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数2x y =.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？［生］记得. 列表，描点，连线.［师］非常正确，下面就请同学们跟我按下面的步骤作出2x y =的图象. （1）列表：（2）在直角坐标系中描点.（3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象.［师］同学们有没有什么疑惑？［生］老师，为什么要用光滑的曲线来连接各点呢？在作一次函数图象时我们都是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？［师］这个问题提得好.二次函数图象是到底用直线连接还是用光滑的曲线来连接更为合理呢？不知同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量1与2之间还有无数个小数，假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了.不妨取20个点试试，再取50个点试试.[生]老师，我明白了，取的点足够多时我们就能看出其本来面貌的. 2、议一议对于二次函数2x y =的图象，（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流. （2）图象与x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当0<x 时，随着值的增大，的值如何变化？当0>x 时呢？（4）当x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.［生］（1）图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影. （2）图象与x 轴有交点，交于原点，交点坐标就是（0，0）.（3）当0<x 时，图象在y 轴的左侧随着x 值的增大，y 的值逐渐减小；当0>x 时，图象在y 轴的右侧，随着x 值的增大，y 的值逐渐增大.（4）观察图象可知，当x=0时，y 的值最小，最小值为0.（5）观察图象是轴对称图形，它的对称轴是y 轴，从刚才的列表中可找到对应点（-1，1）和（1，1）；（-2，4）和（2，4）；（-3，9）和（3，9）. ［师］大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下. 3、2x y =的图象的性质［师］二次函数________2的图象是一条x y =，它的开口________,且关于______对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的________,它是图象的_________.同学们在补充一下：挑选一名学生在交互一体机上书写.其余学生在学案上完成下表：4、做一做PPT 显示：2x y-=二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数2x y =的图象有什么关系？与同伴进行交流. ［师］请大家按照画图的步骤作出函数2x y -=的图象.［生］2x y -=的图象如右图：形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与2x y =的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看作是关于x ［师］下面我们试着讨论2x y -=的图象的性质.挑选一名学生在交互一体机上书写.其余学生在学案上完成下表：［师］大家总结得非常棒.5、2x=图象的比较.y=函数与的2xy-我们观察函数2x=的图象，并完成下表：y=与2xy-（三）课堂小结分享一下本节课的收获. 先在小组内分享，再挑选学生利用板中板把自己的收获展示出来.（四）布置作业必做题：一、习题2.2 第1、2题.二、利用网络搜索生活中见到的抛物线图片. 拓展提升（选做）：已知二次函数2xy ，若x≥m 时，y最小值为0，求实数 m 的取值范围．。

九年级数学下册《二次函数的图像与性质(1)》教学教案(湘教版)

九年级数学下册《二次函数的图像与性质（1）》教学教案（湘教版）【知识与技能】.会用描点法画函数y=ax2的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2的图象和性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】.会画y=ax2的图象.2.理解,掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步认识问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?问题2如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思考探究，获取新知探究1画二次函数y=ax2的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.如图就是y=x2的图象的错误画法.误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形.如图就是漏掉点的y=x2的图象的错误画法.误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.。

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