河南省十所名校2013年高三数学第三次联考试题 文

2013年河南省十所名校高三第三次联考试题
数学（文科）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合 题目要求的．
1．设全集U 是实数集R ，集合M ＝{x ｜2x ≥2x}，N ＝{x ｜2log (1)x －
≤0}，则M ∩N ＝ A ．{1，2} B ．{ 2 } C ．{1} D ．[1，2]
2．i 为虚数单位，若复数12z i ＋＝55i ，则｜z ｜＝ A ．1 B ．2 C ．5 D ．25
3．双曲线244x 2－y ＝的离心率为
A ．6
B ．5
C ．62
D ．52
4．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为
A ．117
B ．118
C ．118．5
D ．119．5
5．在△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若CM ＝－2CA ＋λCB ，则λ＝
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．“m ＝－1”是“函数f （x ）＝ln （mx ）在（－∞，0）上单调递减”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．公差不为0的等差数列{n a }的前21项的和等于前8项的和．若80k a a ＋＝，则k ＝
A ．20
B ．21
C ．22
D ．23
8．在如图所示的程序框图中，若U ＝1lg 3·31log 10，V ＝12log 22，则输出的S ＝
A ．2
B ．12
C ．1
D ．14 9．在几何体的三视图如
图所示，则该几何体的体积为
A ．2
B ．22
C ．43π．23
π 10．e ，π分别是自然对数的底数和圆周率，则下列不等式中不成立的是 A ．e ＞3π B ．log e π＋log e π＞1 C ．log e π＋2(log )e π＞2 D ．e e －e ＞e π－π
11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若22a b ＋＝20142c ，则2tan tan tan (tan tan )
A B
C A B ⋅＋的值为
A ．0
B ．1
C ．2013
D ．2014
12．四面体ABCD 中，AD 与BC 互相垂直，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ．则下列结论中错误的是
A ．若分别作△BAD 和△CAD 的边AD 上的高，则这两条高所在直线异面
B ．若分别作△BAD 和△CAD 的边AD 上的高，则这两条高长度相等
C ．AB ＝AC 且DB ＝DC
D ．∠DAB ＝∠DAC
第Ⅱ卷 非选择题
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题。

每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题．考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．圆2x 2＋y －2x ＋my －2＝0关于抛物线2x ＝4y 的准线对称，则m ＝_______________
14．不等式组0130x y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩
－－≤≥＋－≤对应的平面区域为D ，直线y ＝k （x ＋1）与区域D 有公共点，
则k 的取值范围是______________.
15．已知函数f （x ）＝1x a -，若存在ϕ∈（4π，2
π），使f （sin ϕ）＋f （cos ϕ）＝0，则实数a 的取值范围是________________.
16．设{n a }是等差数列，{n b }是等比数列，记{n a }，{n b }的前n 项和分别为n S ，n T ．若
a 3＝
b 3，a 4＝b 4，且5342S S T T --＝5，则5353
a a
b b ＋＋＝______________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数f （x ）＝sin 2
ωx ＋3sin ωxcos ωx （ω＞0）的最小正周期为π （Ⅰ）求ω的值及函数f （x ）的单调增区间；
（Ⅱ）求函数f （x ）在[0，23
π]上的值域．
18．（本小题满分12分）
一河南旅游团到安徽旅游．看到安徽有很多特色食品，其中水果类较有名气的有：怀远石榴、砀山梨、徽州青枣等19种，点心类较有名气的有：一品玉带糕、徽墨酥、八公山大救驾等38种，小吃类较有名气的有：符离集烧鸡、无为熏鸭、合肥龙虾等57种．该旅游团的游客决定按分层抽样的方法从这些特产中买6种带给亲朋品尝．
（Ⅰ）求应从水果类、点心类、小吃类中分别买回的种数；
（Ⅱ）若某游客从买回的6种特产中随机抽取2种送给自己的父母， ①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2种特产均为小吃的概率．
19．（本小题满分12分）
如图所示的几何体ABCDFE 中，△ABC ，△DFE 都是等
边三角形，且所在平面平行，四边形BCED 是边长为2
的正方形，且所在平面垂直于平面ABC ．
（Ⅰ）求几何体ABCDFE 的体积；
（Ⅱ）证明：平面ADE ∥平面BCF ；
20．（本小题满分12分）已知圆C ：23x 2＋y ＝的半径等于椭
圆E ：2221x a b
2
y ＋＝（a ＞b ＞0）的短半轴长，椭圆E 的右焦点F 在圆C 内，且到直线l ：y ＝x －6的距离为
3－22
，点M 是直线l 与
圆C 的公共点，设直线l 交椭圆E 于不同的两点
A （x 1，y 1），
B （x 2，y 2）．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）求证：｜AF ｜－｜BF ｜＝｜BM ｜－｜AM ｜．
21．（本小题满分12分）
设m 为实数，函数f （x ）＝－2x e ＋2x ＋m ，x ∈R
（Ⅰ）求f （x ）的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当m ≤1且x ＞0时，2x e ＞22x ＋2mx ＋1.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知⊙O 的半径为1，MN 是⊙O 的直径，过M 点
作⊙O 的切线AM ，C 是AM 的中点，AN 交⊙O 于B 点，
若四边形BCON 是平行四边形；
（Ⅰ）求AM 的长；
（Ⅱ）求sin ∠ANC ．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos （θ－
3π）＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22 cos （θ－4
π）．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 2的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知不等式2｜x －3｜＋｜x －4｜＜2a ．
（Ⅰ）若a ＝1，求不等式的解集；
（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围．
2013年河南省十所名校高中毕业班阶段性测试(三)
数学(文科)·答案
（1）B （2）A （3）D （4）B （5）C （6）A （7）C （8）B （9）D （10）D （11）C （12）A
0,1
（13）2 （14）[]
（15（16
（17）解：
2分）ω=.………………………………………………………………（3分）π,
T=∴得1
由πππ2π22π262k x k --+≤≤，k ∈Z ，得ππππ63
k x k -+≤≤，k ∈Z ， ∴()f x 的单调增区间为πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
Z ，.………………………………………（5分）
（Ⅱ）由2π03x ≤≤得ππ72π666
x --≤≤， 1πsin 2126x ⎛⎫∴-- ⎪⎝
⎭≤≤，………………………………………………………………（8分） π130sin 2622x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝
⎭≤≤， ()f x ∴在20π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.……………………………………………………（12分）
（18）解：（Ⅰ）因为193857114,++=所以从水果类、点心类、小吃类中分别抽取的数目为1961114⨯=，3862114⨯=，5763114
⨯=. 所以应从水果类、点心类、小吃类中分别买回的种数为1,2,3.…………………………（4分） （Ⅱ）①在买回的6种特产中，3种特色小吃分别记为123,,A A A ，2种点心分别记为,a b ，水果记为甲，则抽取的2种特产的所有可能情况为
{}{}{}{}{}1213111,,,,,,,,A A A A A a A b A ,
甲，{}{}{}{}23222,,,,,,,A A A a A b A 甲， {}{}{}{}{}{}333,,,,,,,,,,A a A b A a b a b 甲甲,
甲，共15种.……………………………（8分） ②记从买回的6种特产中抽取2种均为小吃为事件B ，则事件B 的所有可能结果为{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ，共3种，
所以()31155P B =
=.………………………………………………………………………（12分）
（19）解：（Ⅰ）取BC 的中点O ，ED 的中点G ，连接
,,,AO OF FG AG . 因为AO BC ⊥，且平面BCED ⊥平面ABC ，
所以AO ⊥平面BCED ，同理FG ⊥平面BCED ，
…………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知,AO FG AO FG =， 所以四边形AOFG 为平行四边形，故AG OF ， 又DE BC ，所以平面ADE 平面BCF .……………………………………………（12分）
（20）解：（Ⅰ）设点()(),00F c c >，则F 到直线l 的距离为
2分） 因为F 在圆C 内，
故1c =；………………………………………………（4分） 因为圆C 的半径等于椭圆E 的短半轴长，所以23b
=，
……………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）因为圆心O 到直线l 的距离为，所以直线l 与圆C 相切，M 是切点，故 AOM △为直角三角形，所以
7分）
9分）
所以2AF AM +=，同理可得||||2BF BM +=，…………………………………（11分） 所以AF AM +=||||BF BM +，即AF BF BM AM -=-.…………………（12分）
（21）解：（Ⅰ）()()22e 1,x f x x '=--∈R ，令()0f x '=可得0x =，
易知(,0)x ∈-∞时()0f x '>，()2e 2x f x x m =-++为增函数，
(0,)x ∈+∞时()0f x '<，()2e 2x f x x m =-++为减函数，
所以函数()f x 有极大值，无极小值，极大值为()01f m =-.………………………（6分） （Ⅱ）令22()e 221x g x x mx =---，0x >，则
()22()2e 422e 22()x x g x x m x m f x '=--=--++=-，
由（Ⅰ）知，当0x >时， ()(0)10f x f m <=-≤，所以()2()0g x f x '=->， 故()g x 在(0,)+∞上为增函数，
所以()(0)0g x g >=，故22e 221x x mx >++.………………………………………（12分）
（22）解：（Ⅰ）连接BM ，则90MBN ∠=︒，
因为四边形BCON 是平行四边形，所以BC ∥MN ，
因为AM 是O 的切线，所以MN AM ⊥，可得BC AM ⊥，
又因为C 是AM 的中点，所以BM BA =，
得45NAM ∠=︒，故2AM =.……………………………（5分）
（Ⅱ）作CE
AN ⊥于E 点，则22CE =，由（Ⅰ）可得5CN =， 故10sin 10
CE ANC NC ∠=
=.………………………………………………………………（10分） （23）解：（Ⅰ）()π22cos 2cos sin 4ρθθθ⎛
⎫=-=+ ⎪⎝⎭
， 即()22cos sin ρρθρθ=+，可得22220x y x y +--=，
故2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=.…………………………………………（5分） （Ⅱ）1C 的直角坐标方程为
由（Ⅰ）知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆，且圆心到直线1C 的距离
所以动点M 到曲线1C 的距离的最大值为
………………………………（10分） （24）解：（Ⅰ）当1a =时，不等式即为2|4||3|2<-+-x x ， 若4x ≥，则2103<-x ，4<x ，∴舍去；
若43<<x ，则22<-x ，43<<∴x ；
若3x ≤，则2310<-x
， 5分）
（Ⅱ）设|4||3|2)(-+-=x x x f ，则 310,4()2,34103,3x x f x x x x x -⎧⎪=-<<⎨⎪-⎩
≥≤，()1f x ∴≥，
12>∴a ，即a 的取值范围为………………………………………（10分）。