职高数学第七章复习[1]

第七章 平面向量 复习卷
第一节 平面向量的基本概念与其基本运算 1．向量的概念
(1)定义：既有大小又有方向的量．
(2)向量的表示：用a 、b 、m 等来表示，或用AB →来表示(它表示以A 为始点，
B 为终点的向量)．
(3)向量的长度(或模)：记为|a |或|AB →|.
(4)0(零向量)：长度为0的向量，其方向任意，零向量没有确定的方向． (5)e (单位向量)：|e |＝
(6) a 的相反向量：是指与a 长度相等且方向相反的向量，记为 (7) 相等向量(同一向量)：大小相等且方向相同的向量． 2．向量的加法运算
(1)加法法则：三角形法则与平行四边形法则． (2)若干个向量相加的多边形法则
A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋A 4A 5→＋…＋A n
－1A n
＝ (首尾
相接)
(3)加法运算律：
a ＋
b ＝b ＋a (交换律) (a ＋b )＋
c ＝a ＋(b ＋c )(结合律) a ＋0＝0＋a ＝a ；a ＋(－a )＝0； AB →＋BA →＝0.
3．向量的减法运算
(1)减法法则(如图所示)．
(2)a－b＝a＋(－b)
即OA→－OB→＝BA→(连接两个向量的终点，且方向指向被减向量)．
(3)向量不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|
4．实数与向量的积(数乘向量)
实数λ与向量a的乘积，叫做数乘向量，记作λa.
(1)大小：|λa|＝
(2)方向：λ＞0，λa与方向；λ＜0，λa与a方向；λ＝0，λa＝0.
(3)运算律：λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa ；λ(a＋b)＝λa＋λb，（λ，μ为实数）
5．两个向量平行(共线)的充要条件: a∥b⇔ (a≠0，λ∈R，λ存在且唯一)
练习题
1．下列说法正确的是( )
A．相等向量就是与向量长度相等的向量 B．长度相等的向量叫做相等向量
C．共线向量是指在一条直线上的向量 D．0与任一向量共线2．a的负向量是( )
A．与a方向相反的向量 B．与|a|符号相反的向量
C．与a反向且大小相等的向量 D．以上均不对
3．下列关于向量的关系式中，正确的是( )
A．AB→＋BA→＝0 B．AB→－AC→＝BC→ C．AB→＋AC→＝CB→ D．AB→－AC→＝CB→
4．－3(a－b)＋4(a－3
4
b)＝( )
A．a B．a＋b C．a－b D．2a＋b
5．AB→＋CA→＋BC→＝．
6．在菱形ABCD中，若AB→＝a，BC→＝b，则CD→＝________，CA→＝________．7．若向量a表示“向东走6km”，向量b表示“向北走6km”，则向量a＋b表示________．
8．下列命题正确的是( )
A．若|a|＝0，则a＝0 B．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b C．若a∥b，则|a|＝|b| D．若a＝0，则－a＝0
9．平行四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，则BD→＝( )
A．a－b B．b－a C．a＋b D．－a－b
10．2(a＋b)－3(2a－b)＝( )
A．4a＋5b B．－4a＋5b C．5a＋4b D．－5a＋4b 11.AB→＋CA→＋DE→－DF→＋BD→＋EF→＝________．
12．已知AB→＝(1，3)，CD→＝(3，9)，CD→＝λAB→，则λ＝________．
第二节平面向量的坐标表示
1．向量的坐标与其运算
(1)向量的坐标
在直角坐标系中，i、j分别为x，y轴正方向上的单位向量，则i、j称为基底，从而平面内任一向量a都可以表示成a＝x i＋y j，把(x，y)叫做a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x称为a在x轴上的坐标，y称为a在y轴上的坐标．
(2)在坐标平面内，把任一向量的始点移到坐标原点后，向量的终点坐标即为该向量的坐标．
即：若OA→＝a，且A(x，y)，则有a＝(x，y)．
(3)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有AB→＝(x2－x1，y2－y1)．
(4)向量的坐标运算若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；
a－b＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝(λx1，λy1)；
a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.
2．a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
3．中点坐标公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B中点记为C(x，y)，则有x
＝x1＋x2
2
，y＝
y1＋y2
2
.
4．向量的长度(模)计算公式：若a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.
5．两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2.练习题
1．若向量a＝(3，－1)，b＝(－1，2)，则－3a－2b等于( ) A．(7，1) B．(－7，－1) C．(－7，1) D．(7，－1) 2．点A(2，－1)，B(－1，3)则AB→＝( )
A．5 B． 5 C．(－3，4) D．(3，－4)
3．已知点A(2，3)，B(4，3)，则其中点D的坐标为( )
A．(2，1) B．(2，2) C．(3，3) D．(6，6)
4．已知A(1，－1)，B(1，3)，则|AB→|＝________．
5．已知a＝(2，5)，b＝(λ，3)，a∥b，则λ＝________．
6．已知点A(－2，1)和B(3，－2)且AP→＝4PB→，则点P的坐标为________．7．已知平面上三点A(1，2)、B(4，3)、C(6，1)，若AB→＝CD→，则点D坐标为________．
8．若平行四边形ABCD的三个顶点A(－3，0)，B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标．
第三节平面向量的内积
1．向量a与b的夹角：把向量a与b的始点移到同一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB称为向量a、b的夹角，记作〈a，b〉，则〈a，b〉∈[0，π]．2．向量a与b的内积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
3．两向量a、b夹角的计算公式：
cos〈a，b〉＝
a·b
|a||b|
＝
x1x2＋y1y2
x21＋y21x22＋y22
.
4．向量内积的重要结论：设a、b是两个非零向量，则有
(1)a⊥b⇔〈a，b〉＝90°⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0
(2)a与b平行，则a·b＝±|a||b|，且同向取正，反向取负．
特别地，a·a＝a2＝|a|2即|a|＝a·a.
5．向量内积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2 6．向量内积的运算律 (1)a·b＝b·a (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c
练习题
1．若四边形ABCD中，AB→＝DC→，且AB→·BC→＝0，则四边形ABCD一定是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．已知向量a＝(3，2)，b＝(1
3
，4)，则a·b＝( )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．下列等式正确的为( )
A．0·a＝0 B．0·a＝0 C．|a·b|＝|a|·|b| D．a －a＝0
4．设|a|＝3，|b|＝2，且〈a，b〉＝120°，则a·b＝( ) A．3 B．－3 C．6 D．－6
5．向量a＝(－2，3)，b＝(x，4)，且a⊥b，则x＝( )
A．6 B．－6 C.8
3
D．－
8
3
6．已知a·b＝3，|a|＝3，|b|＝2，则〈a，b〉＝________.
7．已知a＝(2，2)，b＝(0，2)，则a·(2b)＝________．
8．已知a＝(k，－2)，b＝(2k，k＋1)，求k的值，分别使：(1)a⊥b；(2)a ∥b.
9．若向量a＝(4，－3)，则下列向量中与a垂直的向量是( )
A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3
5
，
4
5
) D．(
3
5
，
－4
5
)
10．已知a＝(3，－4)，b＝(－2，3)，则a·(a＋b)＝( ) A．－13 B．7 C．6 D．26。