2025届北京市第二十五中学高三下学期一模考试数学试题含解析

2025届北京市第二十五中学高三下学期一模考试数学试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+，则y x -的值为（ ）
A ．1
2
-
B ．23
-
C ．13
-
D ．1-
2．曲线2
4x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-
B ．23y x =-
C ．3y x =-+
D ．25y x =-+
3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知3,1,30a b B ===，则A 为( )
A ．60
B ．120
C ．60或150
D ．60或120
4．已知函数()(1)x
f x x a e =--，若22lo
g ,a b c ==则（ ）
A ．f (a )<f (b ) <f (c )
B ．f (b ) <f (c ) <f (a )
C ．f (a ) <f (c ) <f (b )
D ．f (c ) <f (b ) <f (a )
5．已知抛物线2
:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =，则||BF =（ ）
A ．
7
2
B ．3
C ．
52
D ．2
6．向量1,tan 3
a α⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()cos ,1b α=，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
（ ） A ．
1
3
B ．22
3
-
C ．23
-
D ．13
-
7．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态､紧跟时代脉搏的热门APP ｡该款软件主要设有“阅读文章”､
“视听学习”两个学习模块和“每日答题”､“每周答题”､“专项答题”､“挑战答题”四个答题模块｡某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有（ ） A ．60 B ．192
C ．240
D ．432
8．函数cos ()cos x x
f x x x
+=
-在[2,2]ππ-的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若[]1,6a ∈，则函数2x a
y x
+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ）
A ．
45 B ．35 C ．25 D ．15
10．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A ．5101900-米
B ．510990-米
C ．4109900
-米
D ．410190
-米
11．若202031i i
z i
+=+，则z 的虚部是（ ）
A ．i
B ．2i
C ．1-
D ．1
12．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则23z x y =+的最小值为（ ）
A ．2
B ．24
C ．16
D ．14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若412
cos ,cos 513
B C ==，1b =，则a =__________.
14．已知3cos 24sin(
)4π
αα=-，α∈(4
π
，π)，则sin 2α＝_______． 15．抛物线2
4y x =上到其焦点的距离为1的点的个数为________．
16．直线2y ex b =+是曲线()0y lnx x =>的一条切线 2.7182(8e =⋅⋅⋅为自然对数的底数)，则实数b =__________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设函数
.
(I )求的最小正周期；
(II )若
且
，求
的值.
18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B ﹣a sin A ＝1
2
a sin C ． （Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin （2B +
3
π
）的值． 19．（12分）设椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知椭圆离心率为12，过点F 且与x 轴
垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若
BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 斜率的取值范围.
20．（12分）如图，己知圆2
22
1:(0)2r x y r r ⎛⎫Γ+-=> ⎪⎝
⎭和双曲线2222:1(0)y x b b Γ-=>，记1Γ与y 轴正半轴、x 轴
负半轴的公共点分别为A 、B ，又记1Γ与2Γ在第一、第四象限的公共点分别为C 、D .
（1）若2r ，且B 恰为2Γ的左焦点，求2Γ的两条渐近线的方程； （2）若2r
，且(,5)AC AD m +=-，求实数m 的值；
（3）若B 恰为2Γ的左焦点，求证：在x 轴上不存在这样的点P ，使得 2.019PA PC -=.
21．（12分）如图在直角ABC ∆中，B 为直角，2AB BC =，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD 的中点． （Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；
（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．
22．（10分）某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：
满意 不满意
男 40 40 女 80
40
（1）是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？
（2）为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动．据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如下：
支付方式
现金支付
购物卡支
付
APP 支付
频率
10%
30%
60%
将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X，求X的分布列和数学期望．
附表及公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
．
)
2
k0.15
2.072
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D
【解析】
使用不同方法用表示出AF，结合平面向量的基本定理列出方程解出．
【详解】
解：
1
3
AF AD DF AB AD =+=+，
又
11
()()()()
22
AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=++-
1
23
1
y
x
x y
⎧
+=
⎪
∴⎨
⎪-=⎩解得
5
9
4
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，所以1
y x
-=-
故选：D
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．2、A
【解析】
将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程. 【详解】
曲线2
4x y =，即2
14
y x =
， 当2x =时，代入可得2
1124
t =⨯=，所以切点坐标为()2,1，
求得导函数可得1
2
y x '=
， 由导数几何意义可知1
212
k y ='=
⨯=， 由点斜式可得切线方程为12y x -=-，即1y x =-， 故选：A. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 3、D 【解析】
由正弦定理可求得sin A =，再由角A 的范围可求得角A . 【详解】
由正弦定理可知
sin sin a b A B =1sin 30=，解得sin A =，又0180A <<，且>a b ，所以60A ︒=或120︒。

故选：D. 【点睛】
本题主要考查正弦定理,注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题. 4、C 【解析】
利用导数求得()f x 在(),a +∞上递增，结合y c =与22,log ,x
y y x y x ===图象，判断出,,a b c 的大小关系，由此
比较出()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】 因为()
()e x f x x
a ，所以()f x 在(,)a +∞上单调递增；
在同一坐标系中作y c =与22,log ,x
y y x y x ===图象，
22log a b c ==，可得a c b <<，故()()()f a f c f b <<.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 5、D 【解析】
根据抛物线的定义求得6AF =，由此求得BF 的长. 【详解】
过B 作BC l ⊥，垂足为C ，设l 与x 轴的交点为D .根据抛物线的定义可知BF BC =.由于3FA FB =，所以
2AB BC =，所以6
CAB π
∠=
，所以26AF FD ==，所以1
23
BF AF =
=. 故选：D
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 6、D 【解析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案. 【详解】
//a b ∴
1
cos tan sin 3
ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫
∴+=-=- ⎪⎝⎭
故选：D 【点睛】
本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题. 7、C
【解析】
四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法．注意按“阅读文章”分类． 【详解】
四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法，由于“阅读文章”不能放首位，因此不同的方法数
为31232
42243240A C A A A +=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查排列组合的应用，考查捆绑法和插入法求解排列问题．对相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法． 8、A 【解析】
因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1<<f x .故选A ． 9、B
【解析】函数2x a y x +=在区间[)2,+∞内单调递增， 222
'10a x a y x x
-∴=-=≥，在[)2,+∞恒成立， 2
a x ∴≤在[)2,+∞恒成立， 4a ∴≤， [][]1,6,1,4,a a ∈∴∈∴函数2x a y x +=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是413
615
-=-，故选B. 10、D 【解析】
根据题意，是一个等比数列模型，设11100,,0.110n a q a ===，由1
10.110010n n a -⎛⎫
==⨯ ⎪
⎝⎭
，解得4n =，
再求和. 【详解】
根据题意，这是一个等比数列模型，设11
100,,0.110
n a q a ==
=， 所以1
10.110010n n a -⎛⎫
==⨯ ⎪
⎝⎭
，
解得4n =，
所以
()
4
4
44111001101111100
1190a q S q
⎛⎫⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=
=-=
--
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题. 11、D 【解析】
通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi +的形式，即可得到复数的虚部. 【详解】
由题可知()()()()
20202
2
131313123211111i i i i i i i z i i i i i i +-+++-=====++++--， 所以z 的虚部是1. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题. 12、D 【解析】
做出满足条件的可行域，根据图形即可求解. 【详解】
做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
的可行域，如下图阴影部分，
根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，
由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42
x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ， 所以23z x y =+的最小值为14. 故选：D.
【点睛】
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、5639
【解析】
先求得sin ,sin B C 的值，由此求得sin A 的值，再利用正弦定理求得a 的值.
【详解】 由于412cos ,cos 513B C ==，所以2235sin 1cos ,sin 1cos 513
B B
C C =-==-=，所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+312455651351365
=⨯+⨯=.由正弦定理得56
sin 56653sin sin sin 39
5
a b b A a A B B ⋅=⇒===. 故答案为：
5639 【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.
14、19
- 【解析】
先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得sin cos αα+=
，平方可得sin 2α. 【详解】
∵3cos 24sin()4π
αα=-，∴3(cos sin )(cos sin )sin )αααααα+-=-，
则sin cos 3
αα+=，平方可得1sin 29α=-． 故答案为：19
-
. 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换，倍角公式的合理选择是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
15、1
【解析】
设抛物线上任意一点的坐标为()00,x y ，根据抛物线的定义求得0x ，并求出对应的0y ，即可得出结果.
【详解】
设抛物线上任意一点的坐标为()00,x y ，
抛物线24y x =的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得011x +=，解得00x =，此时00y =.
因此，抛物线24y x =上到其焦点的距离为1的点的个数为1.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.
16、1-
【解析】
根据切线的斜率为e ，利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系数求得b 的值.
【详解】
1y e x '==，则1x e =，所以切点为1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故切线为11y e x e ⎛⎫ ⎪⎝+-⎭=， 即2y ex =-，故1b =-.
故答案为：1-
【点睛】
本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (I )；(II )
【解析】
(I )化简得到
，得到周期. (II ) ，故，根据范围判断，代入计算得到答案. 【详解】
(I ) ，故
. (II ) ，故，， ，故，， 故，故，
.
【点睛】
本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18、（Ⅰ）
74373+【解析】 （Ⅰ）根据条件由正弦定理得2212
b a a
c -=，又c ＝2a ，所以222b a =，由余弦定理算出cos B ，进而算出sin B ； （Ⅱ）由二倍角公式算出sin 2cos2，B B ，代入两角和的正弦公式计算即可.
【详解】 （Ⅰ） b sin B ﹣a sin A ＝12a sin C ，所以由正弦定理得2212
b a a
c -=， 又c ＝2a ，所以222b a =，由余弦定理得：
2223cos 24b a c B ac +-==，又()0,B π∈，所以7sin 4
B =；
（Ⅱ）21sin 22sin cos cos 22cos 18
B B B B B ===-=，
sin 2sin 2cos cos 2sin 33316B B B πππ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝
⎭. 【点睛】
本题主要考查了正余弦定理的应用，运用二倍角公式和两角和的正弦公式求值，考查了学生的运算求解能力.
19、（Ⅰ）22143x y +=
（Ⅱ）,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
【解析】 （Ⅰ）由题意可得2
23b a
=，c e a =，222a b c =+，解得即可求出椭圆的C 的方程； （Ⅱ）由已知设直线l 的方程为y =k (x -2) ，(k ≠0)， 联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B 的坐标，再写出MH 所在直线方程，求出H 的坐标，由BF ⊥HF ,解得 H y .由方程组消去y ，解得M x ，由MOA MAO ∠≤∠,得到1M x ≥,转化为关于k 的不等式，求得k 的范围.
【详解】
（Ⅰ）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3， 所以2
23b a
=， 因为椭圆离心率e 为
12，所以12c a =， 又222a b c =+，
解得2a =，1c =
，b =
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=； （Ⅱ）设直线l 的斜率为()0k k ≠，则()2y k x =-，设(),B B B x y ，
由()22214
3y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222431616120k x k x k +-+-=， 解得2x =，或228643k x k -=+，由题意得228643
B k x k -=+，
从而21243
B k y k -=+， 由（Ⅰ）知，()1,0F ，设()0,H H y ，
所以()1,H FH y =-，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭
， 因为BF HF ⊥，所以0BF HF ⋅=， 所以222124904343H ky k k k -+=++，解得2
94 12H k y k
-=， 所以直线MH 的方程为2
19412k y x k k
-=-+， 设(),M M M x y ，由()2219412y k x k y x k k ⎧=-⎪⎨-=-+⎪⎩
消去y ，解得()22209121M k x k +=+， 在MAO ∆中，MOA MAO MA MO ∠≤∠⇔<，
即()2
2222M M M M x y x y -+≤+， 所以1M x ≥，即()
222091121k k +≥+，
解得4k ≤-
，或4
k ≥. 所以直线l
的斜率的取值范围为,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
. 【点睛】
本题考查在直线与椭圆的位置关系中由已知条件求直线的斜率取值范围问题，还考查了由离心率求椭圆的标准方程，属于难题.
20、（1
）y =；（2
）m =
；（2）见解析． 【解析】
（1）由圆的方程求出B 点坐标，得双曲线的c ，再计算出b 后可得渐近线方程；
（2）设1122(,),(,)C x y D x y ，由圆方程与双曲线方程联立，消去x 后整理，可得12y y +， 1212(,6)PC PD x x y y +=++-，由(,5)AC AD m +=-先求出b ，回代后求得,C D 坐标，计算12m x x =+；
（3）由已知得2
2314b r =-，设1122(,),(,)C x y D x y ，由圆方程与双曲线方程联立，消去x 后整理，可解得212b y r =，2223b y r =-，求出22
21122411y b x b r
=+=+，从而可得2AC =，由2PA PC AC -≤=，可知满足要求的P 点不存在．
【详解】
（1）由题意圆方程为22(1)4x y +-=，令0y =
得x =，
∴(B ，
即c =
∴b ===1a =
，∴渐近线方程为y =．
（2）由（1）圆方程为22
(1)4x y +-=，(0,3)A ， 设1122(,),(,)C x y D x y ，由22222(1)41x y y x b ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩
得，2222(1)220b y b y b +--=(*)，
2
12221b y y b +=+，212221
b y y b =-+， 11221212(,3)(,3)(,6)AC AD x y x y x x y y +=-+-=++-(,5)m =-，
所以1265y y +-=-，即2
22651
b b -=-+，解得1b =， 方程(*)为22220y y --=，即210y y --=
，y =
221x y =+=,C D 在
第一、四象限，∴1x =
，2x =，
∴12m x x =+=． （3）由题意3(0,)2A r
，(,0)2B r -
，2c r =，2222314b c a r =-=-
，3
r >， 设1122(,),(,)C x y D x y 由22222221r x y r y x b ⎧⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩得：22221()02y r y r b ++--=，2222223(1)04b y rb y b r b +-+-=，
由2
2314b r +=得2224304r y rb b --=，解得212b y r =，2223b y r =-， 22
2
11
22411y b x b r =+=+， 所以2222221
11323()()22b AC x y r x r r =+-=+-22222122234()44414b r b x r r r -=+=++=， 2AC =，
2PA PC AC -≤=，当且仅当,,P A C 三点共线时，等号成立，
∴x 轴上不存在点P ，使得 2.019PA PC -=．
【点睛】
本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题．考查向量的加法运算，本题对学生的运算求解能力要求较高，解题时都是直接求出交点坐标．难度较大，属于困难题．
21、（Ⅰ）详见解析；
（Ⅱ）
3. 【解析】
（Ⅰ）取DB 中点N ，连结MN 、EN ，四边形EFMN 是平行四边形，由EF BE ⊥，EF DE ⊥，得EF BDE ⊥平面，从而EF EN ⊥，MF MN ⊥，求出MF CD ⊥，由此能证明MF BCD ⊥平面．
（Ⅱ）以E 为原点，BE 、EF 、ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E MF C --的余弦值．
【详解】
证明：（Ⅰ ）取DB 中点N ，连结MN 、EN ，
∵ 12MN BC =，12
EF BC =，
∴ 四边形EFMN 是平行四边形，
∵ EF BE ⊥，EF DE ⊥，BE
EF E =， ∴ EF BDE ⊥平面，
∴ EF EN ⊥，∴MF MN ⊥，
在DFC ∆中，DF FC =，
又∵ M 为CD 的中点，∴MF CD ⊥， 又∵ MF MN M =，∴MF BCD ⊥平面．
解：（Ⅱ）∵DE BE ⊥，DE EF ⊥，BE
EF E =，
∴ DE BEF ⊥平面， 以E 为原点，BE 、EF 、ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，
设2BC =，则()000E ，
，，()010F ，，，()220C -，，，()111M -，，， ∴ ()0,1,0EF =，()1,0,1FM =-，()2,1,0CF =-，
设面EMF 的法向量(),,m x y z =，
则0
0m EF y m FM x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,0,1m =，
同理，得平面CMF 的法向量()1,2,1n =，
设二面角E MF C --的平面角为θ， 则3cos 3m n
m n θ⋅==⋅，
∴ 二面角E MF C --的余弦值为33
．
【点睛】
本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．
22、（1）有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关； （2）67元，见解析.
【解析】
（1）根据表格数据代入公式，结合临界值即得解；
（2）X 的可能取值为40，60，80，1，根据题意依次计算概率，列出分布列，求数学期望即可.
【详解】
（1）由题得
22
200(40408040)50 5.556 5.02412080801209K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.
（2）由题意可知X 的可能取值为40，60，80，1．
11(40)60%35P X ==⨯=，13(60)60%210
P X ==⨯=， 12(80)30%60%65P X ==+⨯=，1(90)10%10
P X ===． 则X 的分布列为
所以，4060809067510510
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=（元）． 【点睛】 本题考查了统计和概率综合，考查了列联表，随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.。