广州市普通高中数学必修模块综合训练

2006年广州市普通高中数学必修模块综合训练（一）
（参考答案及评分标准）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）
二、填空题：（本大题共4 个小题，每小题5分，共20分）
11、 669 12、 0.7 13、 9 ， 0 14、 22+
部分试题解答与提示：
6、解析：由余弦定理︒⨯⨯-+=120cos 22
2
2
AC BC AC BC AB ，解得AC = 3，
因此ABC ∆的面积4
3
15120sin 21S =︒⨯⨯⨯=
AC AB . 8、解析：由图形观察可知：11=a ，32=a ，63=a ，104=a ，… …
∴ 212=-a a ，323=-a a ，434=-a a ，… ，n a a n n =--1 以上各式左、右两边同时相加可得 n a a n +++=-Λ321 ， ∴ 2
)
1(321+=++++=n n n a n Λ ， ∴ 210211002=⨯=a .
9、提示：先求出过 A 点的切线方程为 )2(3
3
+±
=x y . 10、解析：本题考查指数函数的性质。

（1）当 1>a 时，2122
≤
<⇒≤a a ；
（2）当 10<<a 时，12
2
22
<≤⇒
≤-a a
， 则 a a g 2log )(= 的值域为 ]2
1,0()0,21[)(⋃-
∈a g . 11、解析：1(1)13(1)2005n a a n d n =+-=+-=，解得669n =. 12、提示：
20
6
20-= 0.7 .
14、解析：本题考查函数和基本不等式的有关的性质。

三角形 OPM 的周长为
221
2||1||21||1||2222+=⋅⋅+⋅≥+++
x
x x x x x x x （当且仅当 ||1||x x = 时，即 1||=x 时取等号）.
三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）
15、解：依题意，,)
2,()
4,2(⎪⎩⎪⎨⎧--=--+=+m m m m … … 4 分
)()(-⊥+又
,0)2)(4()2(=---++∴m m m m … … 8 分 2-=∴m 解得 … … 12 分
16、解：（1）6
sin
2sin 6
cos
2cos 2sin )(π
π
x x x x f --= … … 2 分
x x 2cos 232sin 21-=
3
sin 2cos 3cos 2sin π
πx x -= )3
2sin(π
-
=x … … 5 分
∴最小正周期T =ππ
=22 … … 7 分 （2）由题意，解不等式ππ
π
ππk x k 22
3
222
+≤
-≤+-
… …10分
得 )(12
512
Z k k x k ∈+≤≤+-
ππ
ππ
)(x f ∴的递增区间是)](12
5,
12
[Z k k k ∈++-
ππ
ππ
… … 13分 17、证明：（1）取PD 中点Q ，连EQ 、AQ ， … … 1 分
则 ∵QE ∥CD ，CD ∥AB ，∴QE ∥AB ， … … 3 分 又BE ABEQ AB CD QE ∴==
,2
1
是平行四边形则∥AQ 又BE PAD
AQ ∴⊂平面∥平面PAD …6分
（2）PA ⊥底面ABCD ∴CD ⊥PA ，又CD ⊥AD … 8 分 ∴CD ⊥平面PAD ∴AQ ⊥CD … … 9 分 若PA=AD ，
∴Q 为PD 中点，∴AQ ⊥PD ∴AQ ⊥平面PCD … … 11 分
∵BE ∥AQ ， ∴BE ⊥平面PCD … … 13 分
18、解：（1）曲线方程为（x +1）2 +（y －3）2 = 9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆. … … 2 分
∵点P 、Q 在圆上且关于直线x + my + 4 = 0对称，
∴圆心（－1，3）在直线上. 代入得 m = －1. … … 4 分 （2）∵直线PQ 与直线 y = x +4垂直，
∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y = －x +b . … … 5 分 将直线y = －x +b 代入圆方程，得2x 2 +2（4－b ）x + b 2－6 b + 1 = 0. … … 7 分 Δ = 4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<b <2+32. … … 9 分
由韦达定理得x 1+x 2 = －（4－b ），x 1·x 2=2
1
62+-b b . … … 10 分
∴ y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=21
62+-b b +4b . … … 11 分
∵OP ·
OQ =0， ∴x 1x 2+y 1y 2=0， 即b 2－6b +1+4b =0. … … 12 分 解得b =1 ∈（2－32，2+32）. … … 13 分 ∴ 所求的直线方程为y = －x +1. … … 14 分 19、解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1+q+q 2=7，
∴q = 2或q = －3， … … 2 分 ∵{}n a 的各项均为正数，∴ q = 2 ……4分 所以n a =1
2
-n . ……5分
（2）由n a =1
2
-n 得12-=m
m S . ……6分
数列{}n b 是等差数列，b 1=a 1=1，b m =a m =2m －
1， 而T m = (b 1－
21)+(b 2－21)+(b 3－21)+……+(b m －21)=（b 1+b 2+b 3+……+b m ）－2
m =2211-+m m －2
m =221
-m m=m·22-m ……9分
∵T m －S m = m·2
2
-m －(m 2－1)=(m －4) 2
2
-m +1， ……11分
∴ 当m = 3时，T 3 － S 3 = －1，∴T 3 ＜ S 3.
∴ 当m ≥ 4时，T m ＞ S m . ……14分
20、（本小题主要考查函数的性质等有关知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.） （1）证明：由 y = f (x )= ax 2+bx +c
y = g (x ) = ax +b
得ax 2+(b －a )x +(c －b ) = 0 …………… (*)
Δ = (b －a )2－4a (c －b ) ∵ f (x ) = ax 2+bx +c , f (1)=0 ∴ f (1) = a +b +c =0 ………………3分 又a ＞b ＞c ∴3a ＞a +b +c ＞3c 即a ＞0,c ＜0 ∴b －a ＜0,c －b ＜0,a ＞0 ∴Δ = (b －a )2－4a (c －b )＞0
故函数y =f (x )与y =g (x )的图象有两个交点； ………………5分 （2）解：设A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2，y 2），
则x 1、x 2是方程（*）的两根 故x 1+x 2=－
a a
b -, x 1x 2=a
b
c -, 所以｜A 1B 1｜=｜x 1－x 2｜=212214)(x x x x -+
=a
b
c a a b ---4)(2=a b c a a b )(4)(2---
又a + b + c = 0,故b = －(a +c )
因而 (b －a )2－4a (c －b ) = (－2a －c )2－4a (a +2c ) = c 2－4ac
故｜A 1B 1｜=a ac c 42-=)(4)(2a c a c - =4)2(2--a
c
……………… 8分
∵a ＞b ＞c , a + b + c = 0 ∴a ＞－(a +c )＞c ∴－2＜a c ＜－2
1
∴｜A 1B 1｜的取值范围是（
2
3
，23） ……………… 10分. (3) 证明：不妨设x 1＞x 2,则由（2）知：2
3
＜x 1－x 2＜23 ……… ①
x 1+x 2=－a a b -=1－a b 由a ＞b ＞c 得：a c ＜a b ＜1, 故0＜1－a b ＜1－a c
……… 12分
又－2＜a c ＜－21, 故23＜1－a c ＜3, 因而0＜1－a b ≤23 即 0＜ x 1 + x 2 ≤ 2
3
……… ②
由①、②得：－3＜x 2≤0,
即方程（*），也就是方程f (x )－g (x )=0的较小根的范围是（－3，0].
又a＞0,故当x ≤－3时，f(x)－g(x)＞0恒成立，
即当x ≤－3时，恒有f(x)＞g(x) ……………… 14分.。