学业分层测评 第1章 1.4 绝对值的三角不等式

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若a ，b ∈R ，则以下命题正确的是( )
A.|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |
B.|a |－|b |<|a －b |<|a |＋|b |
C.当且仅当ab >0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |
D.当且仅当ab ≤0时，|a －b |＝|a |－|b |
【解析】 由定理“两个数的和的绝对值小于或等于它们绝对值的和，大于或等于它们绝对值的差”可知选项A 正确；在选项A 中，以－b 代b ，可得|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，所以选项B 不正确；当且仅当a ，b 同号或a ，b 中至少有一个为零，即ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以选项C 不正确；当ab <0，|a －b |>|a |－|b |，所以选项D 不正确.
【答案】 A
2.已知a ，b ∈R ，ab >0，则下列不等式中不正确．．．
的是( ) A.|a ＋b |＞a －b B.2ab ≤|a ＋b | C.|a ＋b |<|a |＋|b | D.⎪⎪⎪⎪
⎪⎪b a ＋a b ≥2 【解析】 当ab >0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，C 错.
【答案】 C
3.以下四个命题：
①若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；
②若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；
③若|x |＜2，|y |＞3，则⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x y ＜23；
④若AB ≠0，则lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋|lg|B |).
其中正确的命题有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【解析】 |a ＋b |＝|(b －a )＋2a |≤|b －a |＋2|a |
＝|a －b |＋2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |，①正确；
1＞|a －b |≥|a |－|b |，∴|a |＜|b |＋1，②正确；
|y |＞3，∴1|y |＜13.
又∵|x |＜2，∴|x ||y |＜23，③正确；
⎝ ⎛⎭⎪⎫|A |＋|B |22＝14
(|A |2＋|B |2＋2|AB |) ≥14(2|AB |＋2|AB |)＝|AB |，
∴2lg |A |＋|B |2≥lg|AB |，
∴lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)，④正确.
【答案】 A
4.已知f (x )＝|2x －a |＋a .若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，则实数a 的值为( )
A.1
B.2
C.－4
D.－1
【解析】 因为不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，即－2，3是方程f (x )＝6的两个根，即|6－a |＋a ＝6，|a ＋4|＋a ＝6，所以|6－a |＝6－a ，|a ＋4|＝6－a ，即|6－a |＝|a ＋4|，解得a ＝1.
【答案】 A
5.不等式|a ＋b ||a |＋|b |
≤1成立的条件是( ) A.ab ≠0
B.a 2＋b 2≠0
C.ab ≥0
D.ab ≤0
【解析】 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |，当|a |＋|b |≠0时，|a ＋b ||a |＋|b |
≤1(*).因此(*)成立的条件是a ≠0且b ≠0，即a 2＋b 2≠0.
【答案】 B
二、填空题
6.若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.
【导学号：38000015】
【解析】 ∵|x ＋1|＋|x －2|＝|x ＋1|＋|2－x |≥|x ＋1＋2－x |＝3，
∴3≥a .
【答案】 (－∞，3]
7.|x ＋1|＋|2－x |的最小值是________.
【解析】 ∵|x ＋1|＋|2－x |≥|(x ＋1)＋(2－x )|＝3，
当且仅当(x ＋1)(2－x )≥0，即－1≤x ≤2时，取等号.
因此|x ＋1|＋|2－x |的最小值为3.
【答案】 3
8.若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2
＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.
【解析】 |2x －1|＋|x ＋2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋2|≥0＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－(x ＋2)＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2
＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1，12. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1，12
三、解答题
9.已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.
(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；
(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围.
【解】 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.
由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3.
当x ≤－1时，不等式可化为1－x －x －1≥3，即－2x ≥3，其解集为⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，－32. 当－1＜x ＜1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立，其解集为∅；
当x ≥1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3，其解集为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞. 综上所述，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞. (2)∵f (x )＝|x －1|＋|x －a |≥|a －1|，
∴要∀x ∈R ，f (x )≥2成立，
则|a －1|≥2，∴a ≤－1或a ≥3，即a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞).
10.已知|x 1－2|＜1，|x 2－2|＜1.
(1)求证：2＜x 1＋x 2＜6，|x 1－x 2|＜2.
(2)若f (x )＝x 2－x ＋1，x 1≠x 2，求证：|x 1－x 2|＜
|f (x 1)－f (x 2)|＜5|x 1－x 2|.
【证明】 (1)∵|x 1－2|＜1，|x 2－2|＜1，
∴2－1＜x 1＜2＋1，2－1＜x 2＜2＋1，
即1＜x 1＜3，1＜x 2＜3，∴2＜x 1＋x 2＜6，
|x 1－x 2|＝|(x 1－2)－(x 2－2)|
≤|x 1－2|＋|x 2－2|＜1＋1＝2，
即|x 1－x 2|＜2.
(2)∵f (x )＝x 2－x ＋1，
∴|f (x 1)－f (x 2)|＝|x 21－x 1－x 22＋x 2|
＝|(x1－x2)(x1＋x2－1)|＝|x1－x2x1＋x2－1|.
由(1)知2＜x1＋x2＜6，|x1－x2|＞0，
∴|x1－x2|＜|x1－x2x1＋x2－1|＜5|x1－x2|，
即|x1－x2|＜|f(x1)－f(x2)|＜5|x1－x2|.
[能力提升]
1.“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，
∴|x－a|＋|y－a|＜2m.
又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，
∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立，
如取x＝3，y＝1，a＝－2，
m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，
但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，
∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的充分不必要条件.
【答案】 A
2.已知函数f(x)，g(x)(x∈R)且不等式|f(x)|＋|g(x)|＜a(a＞0)的解集是M，不等式|f(x)＋g(x)|＜a的解集是N，则M与N的关系是()
A.N⊆M
B.M＝N
C.M⊆N
D.以上都不对
【解析】任意x0∈N有|f(x0)＋g(x0)|＜a，根据|f(x)|＋|g(x)|≥|f(x)＋g(x)|，因此|f(x0)|＋|g(x0)|＜a是否成立无法判定；任意x0∈M有|f(x0)|＋|g(x0)|＜a，根据|f(x)|＋|g(x)|≥|f(x)＋g(x)|有|f(x0)＋g(x0)|＜a，即x0∈N，因此M⊆N.
【答案】 C
3.不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)＞a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.
【导学号：38000016】【解析】由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，
则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，
所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)＞a对于一切x∈R恒成立，则需a＜2.
【答案】(－∞，2)
4.已知f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－1，1]，记|f(x)|的最大值为M.
求证：M≥1
2.
【证明】∵f(x)＝x2＋ax＋b，
x∈[－1，1]且|f(x)|≤M，
则M≥|f(－1)|，M≥|f(1)|，M≥|f(0)|，
∴2M≥|f(－1)|＋|f(1)|
＝|1－a＋b|＋|1＋a＋b|
≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝|2＋2b|
≥2－2|b|＝2－2|f(0)|≥2－2M，
故M≥1
2.。