贵州省贵阳市东方高级中学2019-2020学年高一数学文上学期期末试卷含解析

贵州省贵阳市东方高级中学2019-2020学年高一数学文
上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图所示的韦恩图中A，B是非空集合，定义集合A*B为阴影部分表示的集合，则 A*B （）
A．?U（A∪B）B．A∪（?U B）C．（?U A）∪（?U B）D．（A∪B）∩?U（A∩B）
参考答案：
D
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【专题】规律型．
【分析】先判断阴影部分表示元素的性质，再根据交集、并集与补集的意义判定即可．【解答】解：∵图中阴影部分表示属于集合A或集合B，且不同时属于A又属于B的元素组成的集合，
即表示属于集合（A∪B），且不属于集合（A∩B）的元素组成的集合，
故选D．
【点评】本题考查Venn图表示集合的关系及运算．
2. 函数的值域为( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
3. （4分）已知sinα+cosα=﹣，则sin2α=（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．
专题：计算题．
分析：把已知的等式两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，整理后即可求出sin2α的值．
解答：把sinα+cosα=﹣两边平方得：
（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+sin2α=，
则sin2α=﹣．
故选D
点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．
4. 某校为了解高一新生数学科学习情况，用系统抽样方法从编号为001，002，003，…，700的学生中抽取14人，若抽到的学生中编号最大的为654，则被抽到的学生中编号最小的为（）
A．002 B．003 C．004 D．005
参考答案：
可以把700人分成14组，每组50人，则654是第14组的第4个，
则最小编号为第一组第4个，为004。

故选C。

5. （4分）已知f（x）=sin2x+|sin2x|（x∈R），则下列判断正确的是（）
A．f（x）是周期为2π的奇函数
B．f（x）是值域为周期为π的函数
C．f（x）是周期为2π的偶函数
D．f（x）是值域为周期为π的函数
参考答案：
B
考点：三角函数的周期性及其求法．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：利用绝对值的代数意义化简函数f（x），并画出此分段函数的图象，根据函数的图象即可得到函数的最小正周期和值域．
解答：若2kπ≤2x≤2kπ+π，即kπ≤x≤kπ+时，sin2x≥0，
f（x）=sin2x+|sin2x|=2sin2x；
若2kπ+π≤2x≤2kπ+2π，即kπ+≤x≤kπ+π时，sin2x＜0，
f（x）=sin2x+|sin2x|=0，
作出函数图象，如下图：
根据图象可知f（x）为周期函数，最小正周期为π，
函数的值域为．
故选：B
点评：本题主要考查函数的周期性及其求法，涉及的知识有绝对值的代数意义，以及正弦函数的图象与性质，利用了分类讨论及数形结合的数学思想，根据题意正确画出已知函数的图象是解本题的关键．
6. 方程x2+y2+2ax﹣4y+（a2+a）=0表示一个圆，则a的取值范围是（）
A．[4，+∞） B．（4，+∞）C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）
参考答案：
D
【考点】二元二次方程表示圆的条件．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件进行求解即可．
【解答】解：方程x2+y2+2ax﹣4y+（a2+a）=0表示一个圆，
则4a2+16﹣4（a2+a）＞0，
解得a＜4，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆的一般方程的应用，根据二元二次方程表示圆的条件是解决本题的关键．
7. 设集合U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，则?U A等于( )
A．{x|x＜0或x＞2} B．{x|x≤0或x≥2}C．{x|0＜x＜2} D．{x|0≤x≤2}
参考答案：
D
【考点】补集及其运算．
【专题】集合．
【分析】首先将集合A化简，然后求补集．
【解答】解：A={x|x＞2或x＜0}，则则?U A={x|0≤x≤2}，
故选D
【点评】本题考查了集合得运算；首先将每个集合化简，如果是描述法数集，可以利用数轴直观解答．
8. 中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
参考答案：
B
【分析】
由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案。

【详解】设第一天的步数为，依题意知此人每天的步数构成公比为的等比数列，
所以，解得，
由，，解得,故选B。

【点睛】本题主要考查学生的数学抽象和数学建模能力。

9. 下面四个命题：
①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；
②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；
③“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”；
④“平面α∥平面β”的充分不必要条件是“α内存在不共线的三点到β的距离相等”；
其中正确命题的序号是( )
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ②④
参考答案：
B
【分析】
逐项分析见详解.
【详解】①“a平行于b所在的平面”不能推出“直线a∥直线b”，如：正方体上底面一条对角线平行于下底面，但上底面的一条对角线却不平行于下底面非对应位置的另一条对角线，故错误；
②“直线l⊥平面α内所有直线”是“l⊥平面α”的定义，故正确；
③“直线a、b不相交”不能推出“直线a、b为异面直线”，这里可能平行；“直线a、b为异面直线”可以推出“直线a、b不相交”，所以是必要不充分条件，故正确；
④“α内存在不共线的三点到β的距离相等”不能推出“平面α∥平面β”，这里包含了平面相交的情况，“平面α∥平面β”能推出“α内存在不共线的三点到β的距离相等”，所以是必要不充分条件，故错误.
故选：B.
【点睛】本题考查空间中平行与垂直关系的判断，难度一般.对可以利用判定定理和性质定理直接分析的问题，可直接判断；若无法直接判断的问题可采用作图法或者排除法判断.
10. 下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是( )
A．y=﹣3|x| B．y=C．y=log3x2 D．y=x﹣x2
参考答案：
A
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】先分别判定函数的奇偶性，再判定函数在区间（0，+∞）上单调性，即可得到结论．
【解答】解：对于A，∵﹣3|﹣x|=﹣3|x|，∴函数是偶函数；在区间（0，+∞）上，y=﹣3x是减函数，故满足题意；
对于B，函数的定义域为[0，+∞），函数非奇非偶，不满足题意；
对于C，∵log3（﹣x）2=log3x2，∴函数是偶函数；在区间（0，+∞）上，y=2log3x是增函数，故补满足题意；
对于D，（﹣x）﹣（﹣x）2≠x﹣x2，函数非奇非偶，不满足题意；
故选A．
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设均为正数，且，，.则的大小关系为 .
参考答案：
a<b<c
12. 等比数列{ a n }的首项为a1 = a，公比为q，则++ … += 。

参考答案：
13. 在等差数列中，，，则前9项之和
__________．
参考答案：
99
在等差数列中，，
，
∴，，
∴，又，
∴数列的前项之和，
，
．
14. 等腰梯形中，上底，腰，下底，以下底所在直线为轴，则由斜二测画法画出的直观图的面积为．参考答案：
15.
设S n=1+2+3+…+n，n∈N*，则函数的最大值为．
参考答案：
由题意求出S n的表达式，将其代入代简后求其最值即可．解：由题意S n=1+2+3+…+n=
∴===≤等号当且仅当时成立
故答案为
16. 已知x，y满足，则z=2x﹣y 的最小值．
参考答案：
﹣1
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x﹣y得y=2x﹣z，
作出y=2x，的图象，平移函数y=2x，
由图象知当曲线经过点A时，
曲线在y轴上的截距最大，此时z最小，
由得，即A（1，3），
此时z=21﹣3=﹣1，
故答案为：﹣1．
17. 已知向量a=(2m+1, 3), b=(－1, 5), 若a与b的夹角为锐角, 则m的取值范围为.
参考答案：
a-n=1+(－2)
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）在长方体中，，、
分别为、的中点；
①求证：平面；②求证：平面；
参考答案：
（本题满分12分）证明：①设的中点为，连结、，
，又面而面，所以面
同理，面，面所以面，又因为面面，面面，而面
所以面
②在长方体中，
由条件得，则，
所以，又面，
面所以，而，
同时面，面，所以面
略
19. 在△ABC中，设求的值。

参考答案：
解：∵∴，
即，
∴，而∴，
∴
略
20. 计算的值
参考答案：
解：原式
略
21. 一个盒子中装有4个编号依次为1、2、3、4的球，这4个球除号码外完全相同，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为X，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为Y
（1）列出所有可能结果．
（2）求事件A=“取出球的号码之和小于4”的概率．
（3）求事件B=“编号X＜Y”的概率．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）用列举法求得所有可能的结果共有16个．
（2）用列举法求得事件“取出球的号码之和小于4”包含的结果有3个，由此求得“取出球的号码之和小于4”的概率．
（3）用列举法求得事件B=“编号X＜Y”包含的结果有6个，由此求得事件B=“编号X＜Y”的概率．
【解答】解：（1）所有可能的结果共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、
（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4），共计16个．
（2）事件“取出球的号码之和小于4”包含的结果有（1，1）、（1，2）、（2，1），共计3个，
故“取出球的号码之和小于4”的概率为．
（3）事件B=“编号X＜Y”包含的结果有（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4），共计6个，
故事件B=“编号X＜Y”的概率为=．
22. 已知{a n}是等比数列，，，且成等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设{b n}是等差数列，且, , 求.
参考答案：
(1) .(2) .
【分析】
（1）根据成等差数列可得，化为关于的方程，解方程求得，从而可得，根据等比数列通项公式得到结果；（2）利用两个数列的关系得到和，根据等差数列通项公式求出基本量和，从而可得数列的首项和公差，利用等差数列求和公式得到结果.
【详解】（1）设等比数列的公比为
成等差数列
，即，整理为：
解得：（舍）或
，解得：
（2）由（1）可得：，
设等差数列的公差为，则，解得：
由题意可知：是以为首项，为公差的等差数列
【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、等差数列前项和的求解问题.解决此类问题的关键是能够求解出等差和等比数列的基本量，属于常规题型.。