2024-2025学年河南省驻马店市高三数学普通高中联合教学质量检测试题(含解析)

2024-2025学年河南省驻马店市高三数学普通高中联合教学质量
检测试题
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，
，若，则（ ）
{}
0,A a ={}1,2,34B a a =--A B A = a =A ．2
B ．1
C ．
D ．-2
4
3
2．已知等差数列的前和为，，，则（ ）
{}n a n S n 13a =1
2n n S n a +=1991i i S ∑==
A ．
B ．
C ．
D ．33
5099100297200200303
3．在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则
α4,5P y ⎛⎫- ⎪
⎝⎭（ ）
sin(π)α-=A ．B ．
C ．
D ．45
-
35
-
3545
4．在
展开式中，含的项的系数是6，则（ ）
()()()()()()12345x x x x x x a +-+-+-5x a =A ．6B ．3
C ．3
D ．6
--5．已知平面向量
，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
()()
1,2,,1a b m ==-
2m <a
b
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知过抛物线的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若，
2
2(0)y px p =>||3||AF BF =AB 的中点到轴的距离为，则p 的值为（ ）
y 5
2A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为{1,2,3,4,5,6,7,8}Ω=A =偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正B =C =确的是（ ）
A ．事件与互斥，与相互对立
B
C A C B ．()58
P A B ⋃=
C ．但不满足两两独立()()()()
P ABC P A P B P C =,,A B C D ．且两两相互独立
()()()()
P ABC P A P B P C =,,A B C 8．若，，，
(){
}2
max 23,32g x x x =--(){}2
max 23,32h x x x =+-()()(){}min ,f x g x h x =其中
表示，，中的最大者，表示，，中的最小者，下列
{}max ,,x y z x y z {}min ,,x y z x y z 说法不正确的是（ ）A ．函数为偶函数
()
f x B ．当
时，有
[]1,3x ∈()f x x ≤
C ．不等式的解集为()1f f x ⎡⎤≤⎣⎦1,⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ D ．当
时，有[][]
3,22,3x ∈--⋃()()f f x f x ⎡⎤≤⎣
⎦二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式
，
z Z z ()
cos sin r i θθ+其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角（也被称r z θx OZ 为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现
z
，我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上()()cos sin cos sin n
n
r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦
()*N n ∈信息，若复数满足，则可能的取值为（ ）
z 5
32z =z A ．B ．ππ2cos isin 1010⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭2π2π2cos isin 55⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭C ．D ．ππ2cos isin 22⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭6π6π2cos isin 55⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭10．已知函数
，下列说法正确的是（ ）()23f x x ax b
=-++A ．若关于的不等式
的解集是
或，则x ()0
f x <{2
x x <-8}x >2a
a
b
=B ．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为(){}
0x f x =22
a b -4
9
C ．若，则11739f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22
1111a b +++D ．若，且关于x 的不等式
的解集中有且仅有三个正整数，则实数的
46b a =-()0
f x >a 取值范围是78,33⎛⎤ ⎥
⎝⎦
11．已知菱形ABCD 的边长为，将沿AC 翻折，使点与点重合，如2,60ADC ︒
∠=ACD D B 图所示.记点为翻折过程中点的位置（不包含在点处的位置），则下列结论正确的是P D B （ ）
A ．不存在点，使得P A
B PC
⊥B ．无论点在何位置，总有面PBD
P AC ⊥C ．当三棱锥的体积最大时，直线AB 与平面PBC 所成角的余
P ABC -
D ．当时，为PB 上一点，则的最小值为22PB =M AM CM +三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知数列满足
，设为数列的前项和，则
{}n a 1111,22n n n
a a a +=-
=n S {}n a n n S =．
13．若函数的最小值为，则实数的取值范围为
.
21,0()1
,0x mx x f x x m x x ⎧++≤⎪=⎨++>⎪⎩(0)f m 14．小王和爸爸玩卡片游戏，小王拿有2张标有A 和1张标有B 的卡片，爸爸有3张标有B 的卡片，现两人各随机取一张交换，重复n 次这样的操作，记小王和爸爸每人各有一张A 卡片的概率记为，则
，
．
n a 2a =n a =四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
已知数列满足，
{}n a 11a =11,22,n
n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记，写出，，并证明数列为等比数列；
2n n b a =1b 2b {}3n
b +(2)求
的前项和．
{}n a 2n 2n S 16.（本小题15分）
记的内角的对边分别为
外
ABC V ,,A B C ,,a b c ()sin cos 1,C c A a =+=ABC V 接圆的半径为R ．
(1)求外接圆的面积；
ABC V (2)圆经过，且与圆关于直线对称，圆被直线
M ()0,4P 222
(1)(2)x y R -+-=10x y --=M 截得弦长为8，求直线的方程．
PQ PQ 17.（本小题15分）
已知函数，．()21e x ax x f x +-=
R a ∈(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
0a =()
y f x =()()0,0f (2)求
的单调区间；
()
f x (3)当时，若对于任意，不等式成立，求a 的取值范围．0a >[]1,3x ∈()211
12
e f x ≤≤+18.（本小题17分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱P ABCD -ABCD PD ⊥,4,ABCD PD AB E ==上的动点．
PA
(1)若为棱中点，证明：面；
E PA PC ∥EBD (2)在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；
PA E B DE A --2
3PE PA 若不存在，请说明理由；
(3)分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值．,,E F Q ,,PA PC PD 1EQ FQ ==F EDP -19.（本小题17分）
已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形．22
22:1(0)x y E a b a b +=>>(1)求椭圆方程；
(2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与1:l y kx m =+E P O 1l 2l 椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直E A B A O C OP 1k 线的斜率为．
BC 2k ①求的值；
1
2k k ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值．
O P B C OAB
PAB S S △△
2024-2025学年河南省驻马店市高三数学普通高中联合教学质量
检测试题
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，
，若，则（ ）
{}
0,A a ={}1,2,34B a a =--A B A = a =A ．2B ．1
C ．
D ．-2
4
3
【正确答案】A
【详解】由，得.
A B A = A B ⊆若，则，不符合题意；
1a ={0,1},{1,1,1}A B ==--
又，所以，解得.2a a ≠-3402a a a =-⎧⎨
=-⎩2a =故选：A
2．已知等差数列的前和为，，，则（ ）
{}n a n S n 13a =1
2n n S n a +=1991i i S ∑==
A ．
B ．
C ．
D ．33
5099100297200200303
【正确答案】A
【详解】由等差数列
，可得前项和为
，
{}n a n ()()132
2
n n n n a a n a S ++=
=
又因为，所以，所以，
12n n S n a +=()()1322n n n a n n a S ++==3n a n =即得
，所以，
()312
n n n S +=
()122113131n S n n n n ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
则
.1
99121111
1213311322399100310050i i S ∑
=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故选：A.
3．在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则
α4,5P y ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭（ ）
sin(π)α-=A ．B ．
C ．
D ．45
-
35
-
3545
【正确答案】C
【详解】因为角的终边与单位圆交于点，所以
，α4,5P y ⎛⎫-
⎪⎝⎭4cos
5α=-
因为角是第二象限角，所以
，α3sin 5α==
所以
，
3
sin(π)sin 5αα-==
故选：C.4．在
展开式中，含的项的系数是6，则（ ）
()()()()()()12345x x x x x x a +-+-+-5x a =A ．6
B ．3
C ．3
D ．6
--
【正确答案】B
【详解】由题可得含的项为，
5
x ()555555523453x x x x x ax x a -+-+-=-所以.363a a -=⇒=-故选：B.5．已知平面向量
，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
()()
1,2,,1a b m ==-
2m <a
b
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线，
a b 0a b ⋅< a b 可得，解得且
，2021m m -<⎧⎨≠-⎩2m <1
2m ≠
因为是的真子集，
11,,222⎛
⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),2-∞所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.2m <a
b
故选：B.
6．已知过抛物线的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若，
2
2(0)y px p =>||3||AF BF =AB 的中点到轴的距离为，则p 的值为（ ）
y 5
2A ．2B ．3C ．4D ．5
【正确答案】B
【详解】抛物线的焦点，准线
，准线交轴于点，2
2(0)y px p =>(,0)2p F :2p l x =-
x K 由对称性，不妨令点在第一象限，过分别作，垂足分别为，
A ,A
B ,AD l BE l ⊥⊥,D E 过作于，交于，令，，
B BG AD ⊥G FK H ||||BE BF n ==||||3,||AD AF n FK p ===，由，得，即，则，
||2,||AG n FH p n ==-//FH AG ||||||||FH BF AG AB =24p n n n n -=32n p =
线段中点，过作于，则
，AB M M MN l ⊥N ||||4||223AD BE p
MN n +===
由AB 的中点到轴的距离为，得，因此，所以.y 525||22p MN =+45
322p p =+
3p =故选：B
7．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为{1,2,3,4,5,6,7,8}Ω=A =偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正B =C =确的是（ ）
A ．事件与互斥，与相互对立
B
C A C B ．()58
P A B ⋃=
C ．但不满足两两独立()()()()
P ABC P A P B P C =,,A B C D ．
且两两相互独立
()()()()
P ABC P A P B P C =,,A B C 【正确答案】C
【详解】因为事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：，事件
A {}2,4,6,8
B {}1,2,3,4所含的样本点为.
C {}
2,3,5,7因为事件，都包含样本点2,3，所以，不互斥，故A 错误；
B C B C 因为所含的样本点为：
，所以，故B 错误；
A B {}1,2,3,4,6,8()63
84P A B ⋃==因为所含的样本点为：
，所以
，又，所以
ABC {}2()18P ABC =
()()()1
2P A P B P C ===.
()()()()
P ABC P A P B P C =
又事件所含的样本点为：，所以
，又，
AC {}2()18P AC =
()()111
224P A P C =⨯=所以
，所以事件不独立，即两两独立错误，所以C 正确，
()()()
P AC P A P C ≠,A C ,,A B C D 错误.故选：C 8．若，，，
(){
}2
max 23,32g x x x =--(){}2
max 23,32h x x x =+-()()(){}min ,f x g x h x =其中
表示，，中的最大者，表示，，中的最小者，下列
{}max ,,x y z x y z {}min ,,x y z x y z 说法不正确的是（ ）A ．函数为偶函数
()
f x B ．当
时，有
[]1,3x ∈()f x x ≤
C ．不等式的解集为()1
f f x ⎡⎤≤⎣⎦1,⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ D ．当
时，有[][]
3,22,3x ∈--⋃()()f f x f x ⎡⎤≤⎣
⎦【正确答案】C 【详解】若
，解得或，
2
2332x x -=-0x =1x =结合二次函数和一次函数知，()223,01
32,01x x x g x x x ⎧-=⎨
-≤≤⎩或若
，解得或，
2
2332x x +=-0x =1x =-结合二次函数和一次函数知
，()2
23,10
32,10x x x h x x x ⎧+-=⎨--≤≤⎩或所以，()()(){}min ,f x g x h x =223,132,11
23,1x x x x x x ⎧+<-⎪
=--≤≤⎨⎪->⎩画出
的图象，如图：
()
f x
结合图象及知
为偶函数，故选项A 正确；
()()
f x f x -=()
f x 当
时，，即，所以，
[]1,3x ∈2430x x -+≤231290x x -+≤224129x x x -+≤所以
，所以
成立，故选项B 正确；23x x
-<()f x x
≤对于C ，令
，则
，当时，
，解得，
()f x t
=()1
f t ≤1t <-231
t +≤21t -≤<-当时，，解得或，又，所以，
11t -≤≤2
321t -≤1t ≤-1t ≥11t -≤≤1t =±当时，
，解得，综上
，故
，
1t >231
t -≤12t <≤12
t ≤≤()12
f x ≤≤当时，
，解得，
1x <-1232
x ≤+≤ 2.52x -≤≤-
当时，或
，11x -≤≤2
1322x ≤-≤1x ≤≤1t -≤≤当时，
，解得，
1x >1232
x ≤-≤2 2.5x ≤≤
综上，不等式的解集为，()1f f x ⎡⎤≤⎣⎦[][]1,2,2.5 2.5,2x ⎡⎤
∈---⎢⎥⎣⎦ 故C 错误；对于D ，当
，令
，
[]
2,3x ∈()[]231,3m f x x ==-∈结合偶函数的性质，当
时，
，
[][]
3,22,3x ∈--⋃()[]1,3m f x =∈则等价于，()()f f x f x ⎡⎤≤⎣
⎦()0f m m -≤结合选项B ，当时，有成立，故D 正确.[][]
3,22,3x ∈--⋃()()f f x f x ⎡⎤≤⎣
⎦故答案：C
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式
，
z Z z ()
cos sin r i θθ+
其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角（也被称r z θx OZ 为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现
z ，我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上
()()cos sin cos sin n
n r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦()*N n ∈信息，若复数满足，则可能的取值为（ ）
z 5
32z =z A ．B ．ππ2cos isin 1010⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭2π2π2cos isin 55⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭C ．D ．ππ2cos isin 22⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭6π6π2cos isin 55⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭【正确答案】BD 【详解】设
，其中，则，
()
cos s i in z r θθ=+0r >()55cos5isin 532z r θθ==+故，而，故，
5
cos532,sin 50r θθ==cos50θ>52π,Z k k θ=∈故，故
，2r =π2cos is 2in 552πk k z +=⎛
⎫ ⎪
⎝⎭故BD 正确，AC 错误；故选：BD.10．已知函数
，下列说法正确的是（ ）()23f x x ax b
=-++A ．若关于的不等式
的解集是
或，则x ()0
f x <{2
x x <-8}x >2a
a
b
=B ．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为(){}
0x f x =22
a b -4
9
C ．若，则11739f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22
1111a b +++D ．若，且关于x 的不等式
的解集中有且仅有三个正整数，则实数的
46b a =-()0
f x >a 取值范围是78,33⎛⎤ ⎥
⎝⎦【正确答案】ACD
【详解】对于A 选项，因为关于的不等式的解集是或，
x ()0f x <{|2x x <-8}x >则和是两根. 由韦达定理， ，
2-82
30x ax b -++=283,28a b -+=-⨯=-
解得，. 则，所以A 选项正确.
2a =16b =24216a
a b ===对于B 选项，运用集合
有且仅有两个子集，则方程有一个根，
(){}0x f x =2
30x
ax b -++=所以判别式，即，可得.
2
(3)4(1)0a b ∆=-⨯-⨯=2
940a b +=2
4
9b a -=把代入得：
249b a -=22
a b -2222424()(0)9981a b b b b b --=-=++≤-所以当
时，取得最大值.所以B 选项错误.2
9b =-
22a b -481对于C 选项，若，则，即. 117()3
9f =11799a b -++=
2a b +=令，则. 所以1a t =+1b t =-2222
111111(1)1(1)1a b t t +=+++++-+22112222
t t t t =+++-+.
22222(2)(2)4t t t +=+-242(2)4t t +=+令，则.
22(2)u t u =+≥22
22(2)448u u
u u u =-+-+对求最大值，
.
2
248u u u -+2
22
8484
u y u u u
u =
=
-+
+-根据均值不等式
时取等号.
8u
u +
≥=8
u u =所以
C 选项正确. y ≤=
对于D 选项，当时，.
46b a =-2
()346f x x ax a =-++-因为不等式的解集中有且仅有三个正整数，令，
()0f x >2
()364g x x ax a =-+-则的解集中有且仅有三个正整数.
()0g x <由二次函数对称轴
，且，，
32a
x =
(1)136433g a a a =-+-=-(2)46640g a a =-+-=，.
(3)996453g a a a =-+-=-(4)161264126g a a a =-+-=-要使的解集中有且仅有三个正整数，，，
()0g x <123则，即，解得，所以D 选项正确. (3)0(4)0g g <⎧⎨≥⎩5301260a a -<⎧⎨-≥⎩783
3a <≤
故选：ACD.
11．已知菱形ABCD 的边长为，将沿AC 翻折，使点与点重合，如2,60ADC ︒
∠=ACD D B 图所示.记点为翻折过程中点的位置（不包含在点处的位置），则下列结论正确的是P D B （ ）
A ．不存在点，使得P A
B PC
⊥B ．无论点在何位置，总有面PBD
P AC ⊥
C ．当三棱锥的体积最大时，直线AB 与平面PBC P ABC -
D ．当时，为PB 上一点，则的最小值为22PB =M AM CM +【正确答案】BC
【详解】对于A ，的轨迹是以为轴的两个同底的圆锥底面半圆弧，P AC 显然圆锥轴截面的顶角为，大于，120BAD BCD ∠=∠=
90
则存在两条母线互相垂直，即存在点，使得，P CD PC ⊥而翻折前，因此存在点，使得，故A 错误；
//AB CD P AB PC ⊥
对于B ，依题意，都是等边三角形，,ABC APC 取的中点，则，
AC E ,BE AC PE AC ⊥⊥又平面，于是平面，,PE BE E ⋂=,PE BE ⊂PBE AC ⊥PBE 又平面，因此，
PB ⊂PBE AC PB ⊥因为四边形是菱形，所以，又，平面PBD ，
ABCD AC BD ⊥PB BD B ⋂=,PB BD ⊂
因此平面PBD ，故B 正确；
AC ⊥对于C ，由选项B 知，平面是二面角的平面角，AC
⊥,PBE BE PE PEB ∠==P AC B --三棱锥的体积，
P ABC -111
sin sin 1
332P ABC PEB V S AC BE PE PEB AC PEB ∠∠-=⋅=⋅⋅⋅=≤ 当且仅当时取等号，此时平面
90PEB ∠=
PE ⊥,
ABC PB ==等腰的面积
PBC △12S ==
设点到平面PBC 的距离为，
A d 由，得，解得
，A PBC
P ABC V
V --=113d
=d =
设直线与平面所成的角为，
AB PBC
θ则
，
C 正确；
sin d AB θ=
=
cos θ==对于D ，当时，三棱锥为正四面体，2PB =P ABC -将，展开在同一平面内，如图，
PAB PCB
显然四边形为菱形，，
ABCP 60BAP ∠=
当三点共线时，取得最小值D 错误；,,A M C AM CM +故选：BC.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知数列满足
，设为数列的前项和，则
{}n a 1111,22n n n
a a a +=-
=n S {}n a n n S =．
【正确答案】1
242n n
-+-【详解】由
，得，
1122n n n a a +-
=1
1221n n n n a a -+-=又，所以是首项为1公差为1的等差数列，
11121a -={}
12n n a -
可得，所以
，1
211n n a n n -=+-=12n n n a -=
，，
01112222n n S n -=+++L 121212222n n
n S =+++L 两式相减得
1211
1111211222221212n n n n n n S n --
=++++-=
--L ，所以.
222n n +=-
1242n
n n
S -+=-故答案为.
1
242n n
-+-13．若函数的最小值为，则实数的取值范围为 .
21,0()1
,0x mx x f x x m x x ⎧++≤⎪=⎨++>⎪⎩(0)f m 【正确答案】[
]1,0-【详解】当时，关于对称，
0x ≤()2
1f x x mx =++2m
x =-
若最小值为，可知，即可得；
(0)f
2m -≥0m ≤又当时，
，当且仅当时等号成立；
0x >()12f x x m m m x =+
+≥+=+1x =若最小值为可得，即，解得；(0)f (0)2f m ≤+12m ≤+1m ≥-综上可知，实数的取值范围为.m []1,0-故[
]1,0-14．小王和爸爸玩卡片游戏，小王拿有2张标有A 和1张标有B 的卡片，爸爸有3张标有B 的卡片，现两人各随机取一张交换，重复n 次这样的操作，记小王和爸爸每人各有一张A 卡片的概率记为，则
， ．
n a 2a =n a =【正确答案】
；
.
1627
1
1131595n -⎛⎫
-+
⎪⎝⎭
【详解】记n 次这样的操作小王恰有一张A 卡片的概率为，有两张A 卡片的概率为，
n a n b 则
，，有
，1232333a =
⨯=1131333b =⨯=
2111122231633333327a a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
而
，重复n 次这样的操作，21121137333327b a b ⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11111112223231213333333393n n n n n n a a b a b a -----⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+⨯--=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以
，又，所以．
1313595n n a a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭131515a -=
1
113
1595n n a -⎛⎫=-+
⎪⎝⎭故，16
271
1131595
n -⎛⎫-+
⎪⎝⎭
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
已知数列满足，
{}n a 11a =11,22,n
n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记，写出，，并证明数列为等比数列；
2n n b a =1b 2b {}3n
b +(2)求
的前项和．
{}n a 2n 2n S 【正确答案】(1)，，证明见解析12b =27b =(2)1
52
710
n n +⋅--【详解】（1）显然为偶数，则，．
2n 21222n n a a +=+22211n n a a ++=+所以，即．
22223n n a a +=+()1123323n n n n b b b b ++=+⇒+=+且．
1213345b a a +=+=+=所以是以5为首项，2为公比的等比数列，{}3n b +1
352n n b -+=⋅于是，，
．12b =27b =1523n n b -=⋅-（2）记，则21n n c a -=22111n n n n b a a c -==+=+从而数列
的前项和为：
{}n a 2n ()()2135212462n n n S a a a a a a a a -=+++++++++ ()()()1212122n n n c c c b b b b b b n
=+++++=++-
()
11
125122352710n n n n n -+⎡⎤=⨯⋅+++--=⋅--⎣⎦
16.（本小题15分）
记的内角的对边分别为
外
ABC V ,,A B C ,,a b c ()sin cos 1,C c A a =+=ABC V 接圆的半径为R ．
(1)求外接圆的面积；
ABC V (2)圆经过，且与圆关于直线对称，圆被直线
M ()0,4P 222
(1)(2)x y R -+-=10x y --=M 截得弦长为8，求直线的方程．
PQ PQ 【正确答案】
(1)25π(2)或0x =724960x y +-=【详解】（
1，
()
sin cos 1C c A =+，
()
sin sin cos 1A C
C A =+因为
，所以，
()
0,πC ∈sin 0C >，即，即，cos 1A A =+π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π1sin 62A ⎛
⎫-=
⎪⎝⎭又，则
，所以，即，()0,πA ∈ππ5π,666A
⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ66A -=π3A =则
，即，
210sin a R A ===5R =所以外接圆的面积为.
ABC V 2
π25π=R （2）由圆，圆心为
，半径为，
222
5(1)(2)2x y R -==+-()1,25R =设，由题意得，(),M m n 12
1022211
1m n n m ++⎧--=⎪⎪⎨
-⎪⨯=-⎪-⎩解得，即
，
3,0m n ==()
3,0M 则圆的方程为
，M 22
(3)25x y -+=当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
PQ PQ 0x =
此时
，
，则
，符合题意；
()
0,4P ()
0,4Q -8
PQ =当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
PQ PQ 4y kx -=40kx y -+=
到直线距离为
()
3,0M PQ d 由
，2
22
2PQ d R ⎛⎫+= ⎪
⎝⎭2245+=解得
，则直线的方程为，即.
7
24k =-
PQ 740
24x y --
+=724960x y +-=综上所述，直线的方程为或.
PQ 0x =724960x y +-=17.（本小题15分）
已知函数，．()21e x ax x f x +-=
R a ∈(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
0a =()
y f x =()()0,0f (2)求
的单调区间；
()
f x (3)当时，若对于任意，不等式成立，求a 的取值范围．0a >[]1,3x ∈()211
12
e f x ≤≤+【正确答案】(1)210x y --=(2)答案见解析
(3)2e e ,24⎡⎤
⎢⎣
⎦【详解】（1）因为，所以
，得到，0a =()1e -=x
x f x ()2e x x f x -+'=所以
，又
，
()02
f '=()01
f =-所以曲线在点处的切线方程为，即．
()f x ()()0,0f 12y x +=210x y --=
（2）因为，定义域为，
21()e x ax x f x +-=
R 所以．
()()()21222
e e x x ax x a
f x x ax x +--+-=-=-
'当时，令，即
，
0a >()0
f x '=()()120ax x +-=解得
，，所以，
11x a =-
22x =1
02
a -<<当x 变化时，，的变化情况如下表所示，
()f x '()f x x
1,a ⎛
⎫-∞- ⎪
⎝⎭1
a -
1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
2
()
2,+∞()
f x '-
+0
-
()
f x 单调递减极小值
单调递增
极大值
单调递减
此时的单调递减区间为和，单调递增区间为，()f x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()2,+∞1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，易知时，，，，
0a =()2e x x
f x -'=
(,2)x ∞∈-()0f x '>(2,)x ∈+∞()0f x '<此时
的单调递减区间为
，单调递增区间为，
()
f x ()2,+∞(),2-∞当时，令
，即
，
0a <()0
f x '=()()120ax x +-=解得，， 11
x a =-
22x =若，即
时，当x 变化时，，的变化情况如下表所示，102<-<a 12a <-
()f x '()f x x
1,a ⎛⎫-∞- ⎪
⎝
⎭1
a -
1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2
()
2,+∞()
f x '+0
-
+()
f x 单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为，()f x 1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()2,+∞1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭若，即时，恒成立，当且仅当时取等号，12a -
=1
2a =-
()0f x '≥2x =此时
在上单调递增，
()
f x R
若，即时，当x 变化时，，的变化情况如下表所示，12a -
>102a -<<()f x '()f x x
()
,2-∞2
12,a ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭1
a
-
1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
()
f x '+0
-
+()
f x 单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为.()f x (),2-∞1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭12,a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭（3）当，且时，由（2）知，
0a >[]1,3x ∈所以
在区间上单调递增，在区间
上单调递减，
()
f x [)1,2(]2,3因为对于任意，不等式成立，[]1,3x ∈()211
12
e f x ≤≤+所以
，，．()112f ≥()132f ≥2
1
(2)1e f ≤+所以，得，，得
；()e 112f a =≥e 2a ≥()3
921
3e 2a f +=≥3e 418a -≥，得
．()
22
411
21e e a f +=≤+2e 4a ≤因为，所以
，333e e 49e e 49e e 02181818--+--=>>3e e 4218->所以a 的取值范围是．2e e ,24⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦18.（本小题17分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱P ABCD -ABCD PD ⊥,4,ABCD PD AB E ==上的动点．
PA (1)若为棱中点，证明：面；
E PA PC ∥EBD
(2)在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；
PA E B DE A --2
3PE PA 若不存在，请说明理由；
(3)分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值．,,E F Q ,,PA PC PD 1EQ FQ ==F EDP -【正确答案】(1)证明见解析；
(2)存在满足条件的点，
；E 1
3PE PA =(3)23
【详解】（1）连接交于，则为三角形中位线，易知，AC BD O EO //P C E O 又因为上，
面，所以面；
EO EDB ⊂平面PC ⊄EBD PC ∥EBD （2）以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立D DA x DC y DP z 如图所示的空间直角坐标系，可得
，
()()()()()
0,0,0,4,0,0,4,4,0,0,0,4,4,0,4D A B P PA =-
由为棱上一点，设，
E PA ()4,0,4,01
PE PA λλλλ==-≤≤
．
()()
4,0,44,4,4,0DE DP PE DB λλ=+=-=
设平面的法向量为，
EBD ()
,,n a b c =
由可得0,0n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()4440,
440,a c a b λλ⎧+-=⎨
+=⎩令，则，则．
c λ=1a λ=-()
1,1,n λλλ=--
取平面的法向量为
，
ADE ()
0,1,0m =
则二面角的平面角满足：
B DE A --α
，
2
cos 3
m n m n α⋅===
⋅
化简得：，解得：
或（舍去），
2
3210λλ+-=1
3λ=
1λ=-故存在满足条件的点，此时
．E 1
3PE PA =（3）因为，
F PED D PEF V V --=可知三棱锥体积最大时，即最大，在中，由余弦定理有：
D PEF -PEF
S △
PEQ 2222cos ,
EQ PE PQ PE PQ EPQ ∠=+-⋅
可得，
22
10PQ PQ PE ⋅+-=
设，则，
PQ x =22
10x x PE ⋅+-=
由题可知：该方程有实根，则，解得()
22Δ2410
PE PE =--≥PE ≤
同理可得PF ≤设点到平面的距离为，则由等体积法得到：，
D PEF d D PAC P ACD V V --=
，解得：11114443232d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯d =当最大时三棱锥体积最大，即三棱锥体积最大，
PEF
S △
D PEF -F PED -
最大体积为：．112
323V =⋅=
19.（本小题17分）
已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形．22
22:1(0)x y E a b a b +=>>(1)求椭圆方程；
(2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与
1:l y kx m =+E P O 1l 2l
椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直E A B A O C OP 1k 线的斜率为．
BC 2k ①求的值；
1
2k k ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值．
O P B C OAB
PAB S S △△【正确答案】(1)
22
143x y +=(2)①；② 或1
1
21
k k =13OAB PAB S S = 【详解】（1）由题意，从而，，22a c ==
2a =1c =b =所以椭圆方程为.2
2
143x y +=（2）
①由消得（*），
22
143y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()
2224384120k x kmx m +++-=由
，得，
()()
222Δ(8)4434120
km k m =-+-=22
43m k =+此时方程（*）可化为：，
222
8160m x kmx k ++=解得：
（由条件可知：k ，m 异号），
4k
x m =-
设
，则，，P (x 0,y 0)04k x m =-
2200443k m k y kx m k m m m m -⎛⎫=+=⋅-+== ⎪⎝⎭
即，所以，
43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭13
344m k k k m ==--因为，所以可设直线，
12//l l 2:(0,)l y kx n n n m =+≠≠由消得，
22
143y kx n
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()
2224384120k x knx n +++-=当时，方程有两个不相等的实根，
0∆>设
，，则，，A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)122
843kn
x x k -+=+212241243n x x k -=+因为A ，C 两点关于原点对称，所以
，所以，
()
11,C x y --，
2212122121212
2243384443y y kx n kx n n n k k k k k kn x x x x x x k k k +++++===+=+=-=-
-++++所以
．
1
122
1k k k k =⇒=②设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则
，
1l y Q 2l y N PAB QAB
S S
=△△于是，
OAB OAB PAB QAB ON S S n
S S QN m n
===- 由①可知：，若O ，P ，B ，C 四点围成的四边形为平行四边形，
//OP BC 则还需，即，
||||OP BC =22
||||OP BC =由①可知：，所以
．43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭2
22169k OP m +=
又，
，
B (x 2,y 2)()
11,C x y --所以
，
()()()
()
2222
2
2
2
12122
222416986||434343
n k kn n BC x x y y k k k +-⎛⎫⎛⎫
=+++=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+由可得：，
22||||OP BC =()2
222443m n k =+又，所以，即，
22
43m k =+224=m n 2m n =±当时，
；
2m n =1OAB OAB PAB QAB ON S S n
S S QN m n
====-
当时，
．
2m n =-1
3
OAB OAB PAB QAB ON S S n S S QN m n ====-。