2019-2020年高考数学一轮复习第二十一章概率统计21.3离散型随机变量的均值与方差讲义

2019-2020年高考数学一轮复习第二十一章概率统计21.3离散型随机变量的均值与方差讲义考点离散型随机变量的均值与方差1.(xx浙江,12,5分)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)= .答案2.(xx北京理,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)解析(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为=0.3.(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.所以ξ的分布列为故ξ的期望E(ξ)=0×+1×+2×=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.3.(xx江苏,23,10分)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P;(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:E(X)<.解析(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P==.随机变量X的期望为:E(X)=·=·.所以E(X)<==(1+++…+)=(+++…+)=(++…+)=…=(+)==,即E(X)<.4.(xx天津理,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解析(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=××=,P(X=1)=×1-×1-+1-××1-+××=,P(X=2)=××+××+××=,P(X=3)=××=.所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=×+×=.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.5.(xx天津理,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)由已知,有P(A)==.所以,事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=1.6.(xx北京,16,13分)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16;B组:12,13,15,16,17,14,a.假设所有病人的康复时间互相独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)解析设事件A i为“甲是A组的第i个人”,事件B j为“乙是B组的第j个人”,i,j=1,2, (7)由题意可知P(A i)=P(B j)=,i,j=1,2, (7)(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=.(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知,C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1) =.(3)a=11或a=18.7.(xx安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).解析(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,P(A)==.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X=200)==,P(X=300)==,P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1--=.故X的分布列为EX=200×+300×+400×=350.8.(xx福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=××=.(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.又P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××1=,所以X的分布列为所以E(X)=1×+2×+3×=.9.(xx天津,16,13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)==.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.10.(xx辽宁,18,12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).解析(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=·(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=·0.6(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=·0.63=0.216.分布列为因为X~B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.教师用书专用(11—15)11.(xx安徽,17,12分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).解析用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,A k表示“第k局甲获胜”,B k表示“第k局乙获胜”,则P(A k)=,P(B k)=,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=+×+××=.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.EX=2×+3×+4×+5×=.12.(xx辽宁理,19,12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.解析(1)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有=“张同学所取的3道题都是甲类题”.因为P()==,所以P(A)=1-P()=.(6分)(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=···=;P(X=1)=···+··=;P(X=2)=···+··=;P(X=3)=···=.(10分) 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2.(12分)13.(xx湖南,17,12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.解析记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E与F,E与,与F,与都相互独立.(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则=,于是P()=P()P()=×=,故所求的概率为P(H)=1-P()=1-=.(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X=0)=P()=×=,P(X=100)=P(F)=×=,P(X=120)=P(E)=×=,P(X=220)=P(EF)=×=.数学期望为E(X)=0×+100×+120×+220×===140.14.(xx课标全国Ⅱ理,19,12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T表示为X的函数;(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.解析(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.所以T=(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为所以ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400(元).15.(xx重庆理,18,13分)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X).解析设A i表示摸到i个红球,B j表示摸到j个蓝球,则A i(i=0,1,2,3)与B j(j=0,1)独立.(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)==.(2)X的所有可能的值为0,10,50,200,且P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)=·=,P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)=·=,P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)=·==,P(X=0)=1---=.综上知X的分布列为从而有E(X)=0×+10×+50×+200×=4(元).三年模拟A组xx模拟·基础题组考点离散型随机变量的均值与方差1.(xx江苏淮安、宿迁高三期中)小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误,则手机被绑定,5分钟后,方可重新输入,某日,小明忘记了开机密码,但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一,于是他决定逐个(不重复)进行尝试.(1)求手机被锁定的概率;(2)设第X次输入后能成功开机,求X的分布列和数学期望E(X).解析(1)设事件A为“手机被锁定”,则手机被锁定的概率P(A)=××=.(2)依题意得,X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=××=,P(X=4)=×××1=,∴X的分布列为∴E(X)=(1+2+3+4)×=.2.(xx江苏海安高级中学阶段测试)一种抛硬币游戏的规则是抛掷一枚硬币,每次正面向上得1分,反面向上得2分.(1)设抛掷5次的得分为ξ,求ξ的分布列和数学期望Eξ;(2)求恰好得到n(n∈N*)分的概率.解析(1)易知,ξ的所有可能取值为5,6,7,8,9,10,且P(ξ=i)=(i=5,6,7,8,9,10),所以ξ的分布列为Eξ=i·=(分).(2)令p n表示恰好得到n分的概率.显然p1=,当n≥2时,不出现n分的唯一情况是得到n-1分以后再掷出一次反面.因为“不出现n分”的概率是1-p n,“恰好得到n-1分”的概率是p n-1,“掷一次出现反面”的概率是,所以有1-p n=p n-1,即p n-=-(n≥2).于是是以p1-=-=-为首项,以-为公比的等比数列.所以p n-=-,即p n=.答:恰好得到n分的概率是.3.(苏教选2—3,二,5,7,变式)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定为3 500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2 800元;否则月工资定为2 100元.令X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1)求X的分布列;(2)求此员工月工资的期望.解析(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(X=i)=(i=0,1,2,3,4).所以X的分布列为(2)令Y表示此员工的月工资,则Y的所有可能取值为2 100,2 800,3 500.易知P(Y=3 500)=P(X=4)=,P(Y=2 800)=P(X=3)=,P(Y=2 100)=P(X≤2)=.所以E(Y)=3 500×+2 800×+2 100×=2 280元.所以此员工月工资的期望为2 280元.4.(xx江苏南通二模,22)一个摸球游戏,规则如下:在一不透明的纸盒中,装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球.参加者交费1元可玩1次游戏,从中有放回地摸球3次.参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球,然后摸球.当所指定的玻璃球不出现时,游戏费被没收;当所指定的玻璃球出现1次,2次,3次时,参加者可相应获得游戏费的0倍,1倍,k倍的奖励(k∈N*),且游戏费仍退还给参加者,记参加者玩1次游戏的收益为X元.(1)求P(X=0)的值;(2)为使X的数学期望不小于0,求k的最小值.解析(1)事件“X=0”表示“有放回地摸球3次,所指定的玻璃球只出现1次”,则P(X=0)=3××=.(2)依题意知,X的所有可能取值为k,-1,1,0,且P(X=k)==,P(X=-1)==,P(X=1)=3××=,P(X=0)=,参加游戏者的收益X的数学期望E(X)=k×+(-1)×+1×+0×=,因为X的数学期望不小于0,所以k≥110,即k min=110.答:k的最小值为110.B组xx模拟·提升题组(满分:30分时间:15分钟)解答题(共30分)1.(xx江苏扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市联考,22)某乐队参加一户外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数),演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a.求观众与乐队的互动指数之和X的分布列及数学期望.解析(1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A,则事件A的对立事件为“没有1首原创新曲被演唱”.所以P(A)=1-P()=1-=.故该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为.(2)设随机变量ξ表示被演唱的原创新曲的首数,则ξ的所有可能取值为0,1,2,3.依题意得X=aξ+2a(4-ξ),故X的所有可能取值为8a,7a,6a,5a.则P(X=8a)=P(ξ=0)==,P(X=7a)=P(ξ=1)==,P(X=6a)=P(ξ=2)==,P(X=5a)=P(ξ=3)==.所以X的分布列为所以X的数学期望E(X)=8a×+7a×+6a×+5a×=a.2.(xx江苏苏州高三期中调研测试)某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试,共设置了A、B、C三个测试项目,假定张某通过项目A的概率为,通过项目B、C的概率均为a(0<a<1),且这三个测试项目能否通过相互独立.(1)用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数,求X的概率分布和数学期望E(X)(用a表示);(2)若张某通过一个项目的概率最大,求实数a的取值范围.解析(1)随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=(1-a)2=(1-a)2,P(X=1)=(1-a)2+a(1-a)=(1-a2),P(X=2)=a(1-a)+a2=(2a-a2),P(X=3)=a2=a2.所以X的分布列为故X的数学期望E(X)=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)+3×=.(2)P(X=1)-P(X=0)=[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a),P(X=1)-P(X=2)=[(1-a2)-(2a-a2)]=,P(X=1)-P(X=3)=[(1-a2)-a2]=,由结合0<a<1,得0<a≤,即a的取值范围是.C组xx模拟·方法题组方法求离散型随机变量的均值和方差的方法(xx扬州高三上学期期末)为了提高学生学习数学的兴趣,某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程,甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习,假设三人选择课程时互不影响,且每人选择每一门课程都是等可能的.(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率;(2)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数,求X的分布列和数学期望E(X).解析(1)甲、乙、丙三人从四门校本课程中各任选一门,共有43=64种不同的选法,记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M,事件M共包含=24个基本事件,则P(M)==,所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为.(2)解法一:X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以X的分布列为所以X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.解法二:甲、乙、丙三人从四门校本课程中任选一门,可以看成三次独立重复试验,X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数,则X~B,所以P(X=k)=,k=0,1,2,3,所以X的分布列为所以X的数学期望E(X)=3×=.。