微积分Ⅱ复习资料

资 料 白 皮 书
科目：微积分Ⅱ 出版单位：丹青学业指导中心 出版时间：2013 年 4 月
厚德载学 慎思笃行
2013 学年 春学期
目录
一、考点考纲（考试内容、重难点、考
试要求） ……………… … ……2 二、知识架构 ……………………5
三、高频考点 ……………………9 四、易错点解析 ……………………17 五、大神宝典 ……………………24 六、温馨提醒 ……………………26
设函数
试证其偏导数在点（0,0）的邻域内存在，但偏导数在点
（0,0）处不连续，而
却在点（0,0）处可微。
证明：当
时,
当
时,
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同样可求得 对
考虑点
沿 x 轴趋于 。由于
所以
而 不存在，即
不存在 在
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0 所以函数
在点（0,0）处可微。
重难点 矢量的运算、平面方程、直线方程、曲面方程、矢量的叉乘积（灵活）
考试要求 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量 垂直、平行的条件。 3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达 式进行向量运算的方法。 4.掌握平面方程和直线方程及其求法。 5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、 直线的相互?v（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6.会求点到直线以及点到平面的距离。 7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念。 8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及 母线平行于坐标轴的柱面方程。 9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投 影，并会求其方程。
代入原方程得： 解题思路：将方程每一项求得（用新变量表示），再代
入原方程。
考点六 多元函数极值和最值问题 会求条件极值、无条件极值和最值问题。前两种可用书上方 法按部就班，先介绍最值问题解法的思路： 1. 首先求出 f（x，y）在 D 内部所有驻点，偏导数不存
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一：矢量代数与空间解析几何
本章难点：○1 理解并灵活运用矢量的叉乘及其坐标表示、几何意
义和运算规律；○2 混合积的坐标表示和几何意义(平行六面体体积)，
注意其轮换性:
（a×b）·c = ﹙b×c﹚·a=（c×a﹚·b
这个可以从行列式的初等变换理解，即交换两行的位置，行列式
的值要变号；○3 直线方程的对称式以及参数式，这两种表示方法对于
考点八 二重积分的计算 1.二重积分在直角坐标下的计算 解题策略 画出积分区域，选择 x-区域、y-区域 2.求二重积分的累次积分 解题策略 根据累次积分的不等式画出积分区域，化 成另一顺序的累次积分
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3.二重积分在极坐标下的计算 解题策略 被积函数中有 或积分区域是圆域或圆 域的一部分，用极坐标变换。
考点一
高频考点 ~~~~~
~~~~~
矢量的运算
熟练掌握矢量的各种运算，尤其是点乘、叉乘和混合积的运
算。了解上述运算的性质和几何意义。该考点只要细心较易
得分，例题略。
考点二 求曲面与空间曲线的方程 熟练掌握旋转曲面，柱面和锥面的求法（包括投影柱面和投 影曲线）。下面给出例题：
求以 A（0,0,0）为顶点，以椭圆
为准线的
锥面方程。
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解：在曲线
上任取一点 P0（x0，y0,3），在曲面
上一点 P(x，y，z)，满足 OP0//OP，即
∴P0(
∵P0 ຫໍສະໝຸດ Baidu曲线上
代入 +
后，得 9 +
,即为锥面方
程。 解题思路： 1.先画大致图形。 2.找两点，一点在已知曲线上，另一点在曲面上。 3.根据锥面的母线为直线，得出两矢量共线。 4.将求得的点代入原曲线方程得锥面方程。 考点三 求多元函数的偏导数（隐函数为尤） 熟练掌握多元函数偏导数，多元复合函数偏导数和隐函数偏 导数的求法。下面给出一例：
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知识架构 ~~~~~
~~~~~
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fx′(x, y), f y′(x, y)
考点考纲 ~~~~~
~~~~~
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第七章、向量代数和空间解析几何（25%-30%）
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考试内容 向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂 直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向 余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直线方程平面与平面、平面与直 线、直线与直线的以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面母线平 行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其 图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。
第八章、多元函数微分学(40%)
考试内容 多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限和连续的概念有界闭 区域上多元连续函数的性质多元函数偏导数和全微分全微分存在的必要条件和 充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的 切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和 条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用
管取哪条路径，此函数相应的极限都存在且为 A。 ○2 二重极限存在，二（累）次极限不一定存在，反之亦然。如果
二重极限与二次极限均存在，则三者相等。 ○3 求 特 殊 点 处 的 偏 导 数 时 ， 应 该 用 定 义 计 算 ， 如 计 算 函 数
第九章、多元函数积分学（二重积分部分）（30%）
考试内容 二重积分的概念、性质、计算和应用
重难点 二重积分（灵活）
考试要求 1.理解二重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标） 3.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、 弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。
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在点的函数值。一般而言，这是无条件极值问题。 2. 其次求出 f（x，y）在 D 的边界上的极值。一般而言，
这是以 f（x，y）为目标函数，以 D 为边界曲线方程 为约束条件的条件极值问题。 3. 最后，比较其中函数值最大（最小）值，即为 f（x， y）在 D 上得最大（最小）值。 下面简单给出一例：
4．对称区域上的二重积分 解题策略 利用积分变量的地位对称性与被积函 数关于积分变量的奇偶性简化计算.
此类题型需多刷题，方法简单，着重于计算和技巧。
温. 馨. 提. 示. ：以上为高频考点，是相对来讲比较会考的，并不代表全部。 希望大家取其精华，去其糟粕，对微Ⅱ进行全
易错点解析 ~~~~~
~~~~~
解题可以起到简化的作用，尤其是参数方程；○4 平面束方程的运用。
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除了这些，曲线及曲面问题的求解相对难一些，但是大多数题目的解 法有章可循，技巧性并不强。
1.求解公垂线方程或两异面直线之间的距离
直线 L1：
,直线 L2
求其公垂线 L 的
方程。 思路解析：一般这类题目，两直线的方程均已告诉，则可分别求
出其法向量 、 ，由于公垂线与两直线均垂直，则其方向向量
n = × 公垂线可以看成两个平面 和 的交线， 为过 L1
和公垂线的平面， 为过 L2 和公垂线的平面，L = ∩ 。
具体解题过程; L1：
L2
n2=(1,0,-1)
z→n1=(2,1,1) n = n1×n2=(-1,3,-1),过 L1 和 L 的平
面 的法向量 a=n×n1=(-4,1,7),则 的方程为:-4 x+ y+7z-9=0,同理可
得过 L2 和 L 的平面 的方程为 3x+2y+3z-16=0
故 L 的方程即为
。
若要求两直线之间的距离，直接在 L1 和 L2 上分别取一点 m,n
则有 d=
.
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求 函 数 f(x,y)=x2-y2+2 在 椭 圆 域
D=
上的最大值与最小值。
解：先在区域 D 内部，即在
时，求函数驻点
的函数值。由
得唯一驻点（0,0）。这时，f(0,0)=2 其次在区域 D 的边界上，即在椭圆 虑函数的极值。做辅助函数
F（x,y）= x2-y2+2+λ(
将
,
上考
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2. 应 用 平 面 束 方 程 求 解 问 题 时 ， 需 要 注 意 如 果 采 取 λ（A1x+B1y+C1z+D1）+（A2x+B2y+C2z+D2）=0 的形式，则直线 A1x+B1y+C1z+D1=0 没有被包含进去，最后应该单独考虑。
二、多元函数微积分 概念易错点： ○1 如果当(x,y)趋向于（x0,y0）时，二元函数极限存在为 A，则不
重难点
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偏导数、复合多元函数偏导数、方程确定多元隐函数偏导数、多元函数极值、 条件极值、最值、多元函数全微分
考试要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性 质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的 方程。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式。 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条 件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘 数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应 用问题。
y，z 求偏导数，得
故
以下同证 1.
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考点四 求全微分 熟记全微分公式，掌握一阶微分的形式不变性。下面给出一 例：
设
连 续 偏 导 数 ， 且 z=z(x,y) 由 方 程
所确定，求 du.
解：直接求微分 du.由
得
在
故 将该式代入（1）式，并整理可得结果
考点五 偏导数方程的变量替换 指某一多元函数满足某一偏导数方程，引进新变量后，变换 上述方程为新变量的方程。现举一例具体说明：
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设 u=u（x，y）满足方程
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若引进新变量 m=2x+y,n=x+y.试变换上述方程为新变量的 方程。 解：
设函数 z=f(x,y)由方程 F(x+ ,y+ )=0 所确定，且 f(u,v)
具有连续偏导数，则
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证 1：按一元隐函数求导数，视 y 为常量，z 为 x 的函数， 已知等式两端对 x 求导数，得
解出 类似地，有
.得证。 证 2：用隐函数的求偏导数公式，已知方程左端分别对 x，
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与
=
联立
解得四个点（0,2）（0,-2）（1,0）（-1,0），而相 应的函数值 f（0,2）=-2,f（0,-2）=-2,
f（1,0）=3, f（-1,0）=3 最后，比较可知，最大值为 3，最小值为-2.
考点七 偏导数的存在性、连续性、可微性 需要透彻理解、偏导数的定义、连续定义和可微定义。下面 给出一例：
连续 在 点连续
可微
f x′(x0 , y0 ), f y′(x0 , y0 ) 存在
连续
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注：这里“
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”表求推出，“
”表示推不出，能推出的，都是定理。
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