微积分Ⅱ复习资料

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12-13-02《微积分二》复习要点整理(基本层次要求)

2012-2013-2《微积分二》（基本层次要求）复习纲要建议：1、以同步练习册、期中试卷为重要参考，依据以下“微积分（II）复习要点”所述重点及列出的教材练习，集中力量掌握重点、典型问题的求解思路和基本技巧。

在此基础上，第六章至第七章的较完整考点可参考本学期《期中试卷》。

此外，第九章仅限于第二节“可分离变量微分方程、齐次方程、一阶线性方程”三类方程的通解/特解的求解，建议以课堂例子及课后布置的有限数量的作业的难度为准。

2、在难度与期中考试水平相当的情况下，务必熟练掌握以下“三大计算”：积分（定积分、反常积分、二重积分）偏导（一阶偏导、二阶偏导、显函数/隐函数偏导）与全微分级数判敛（限于典型方法的典型应用，不追求过多技巧）微积分（II ）复习要点（共12页）（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用，建议按照提纲罗列顺序进行复习）Ch6+Ch7两章第一部分计算偏导与全微分（以二元函数为主）()()().yz,x z yz ,xz,y ,x f z .10000y ,x y ,x ∂∂∂∂∂∂∂∂=或偏导函数求解偏导数具体形式已知初等函数问题()()().xz,x x 3,dxdz 2,y ,x f ,y y 1xz0000y ,x 000y ,x ∂∂==∂∂即得所求最后代入）一元函数的导数利用上学期方法求上述）函数则原二元函数变为一元代入）步骤如下：求具体点偏导解法：*().yz,00y ,x ∂∂可求出类似()().yzy ,x y ,x f ,*.x z ,x z 2,y y ,x f 1xz∂∂∂∂∂∂求导即得对视为常数中的将类似所得结果即为的导数对利用上学期方法求）视为常数中的将）步骤如下：求偏导函数配套练习）强烈建议遵循以下顺序操练！前提——熟记第三章P66导数公式、P64“四则运算”求导法则、P68复合函数求导之链式法则！同步练习册P13 Ex1 (1), Ex2 (1).().dz ,y ,x f z .2求全微分已知问题=.dy yzdx x z dz ,yz,x z 为所求则的具体结果—先分别求出—系利用全微分与偏导的关解法：∂∂+∂∂=∂∂∂∂配套练习）强烈建议遵循以下顺序操练！同步练习册P14 Ex4, Ex5.().yz,x y z ,y x z,x z ,y ,x f z .3222222∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=求解二阶偏导数具体形式已知初等函数问题().y x z ,x z y ,x f z :y x z .P233,*2的偏导再求此新函数关于）（即然后针对求出的结果求出首先针对比如求偏导—按照符号的定义逐阶—求法相关定义和记号参见二阶偏导的含义务必准确识别以上四个∂∂∂∂=∂∂∂ 配套练习）强烈建议遵循以下顺序操练！同步练习册P17 Ex2, Ex1.,)717(P227,..4分结果再进一步具体算出各部）公式（如写出链式法则根据题目实际情况熟练“路线图”借助要点：（偏导）复合函数求导问题- 配套练习）强烈建议遵循以下顺序操练！同步练习册P15 Ex1 1), 2).两例的法一即可！学会套用即可公式二元隐函数偏导一元隐函数导数公式熟记要点：（偏导或全微分）隐函数求导问题P231~P230.),237(P231),227(P230..5-- 配套练习）强烈建议遵循以下顺序操练！同步练习册P16 Ex4, Ex5 2).第二部分求二元函数的极值和条件最值()()()./8.7P238,3z ,z ,z ,z 2y ,x ,,y ,x ,,0z 0z ,z ,z 1y ,x f z .1yy yx xy xx k k 11y x y x 极小极大结论判定极值与否、定理逐个利用针对以上各驻点）求出）如解此方程组得所有驻点并令求出）解法步骤：的极值求二元初等函数问题''''''''⎩⎨⎧='='''= .32P238*解答过程、例例学会配套练习）强烈建议遵循以下顺序操练！同步练习册P19 Ex1.()()()()()()()().y ,x ,,y ,x 30y ,x F 0f F 0f F ,F 2y ,x y ,x f ,y ,x F 1.0y ,x y ,x f z .200000y y yx x x 为所求条件最值点则唯一若以上驻点）即解下列方程组：的驻点求）令）解法步骤：下的条件最值在条件二元初等函数（尤其经济背景）求具有实际背景问题令令令λ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=ϕ='=ϕ'λ+'='=ϕ'λ+'='λϕ+=λ=ϕ=λ该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记或同步练习册参考解答文档！并依照以上步骤做以下练习：同步练习册P20 Ex5.第三部分定积分相关要点基本前提：熟记P122~P123及P143不定积分公式！掌握不定积分的典型求法“拆加减、化乘积后凑微分或分部积分、（第二）换元积分——限于根式代换、三角代换、倒代换”。

微积分二期末复习题归纳

12
2. 已知生产某种产品必须投入两种要素，投入量分别为 x1和x2 ，生产函数为 Q = 2x13 x23 ，
其中 Q 为产出量。假设两种要素的价格分别为 4 和 1。试问当产出量 Q=12 时，两要素各投入多少可以使总费用最小。（04）
12
解：总费用函数为 L
=
4 x1
+
x2
+
λ
(2
x13
x
3 2
，
∂2z ∂x∂y
=
f1′ex
+
y(ex )2
f1′1′ + (2x −
y)ex
f1′2′
−
2
xf
′′
22
4．设 w = f (x + y + z, x y z) , f 具有二阶连续导数，求 ∂w , ∂2 w .（05）续 F 偏导数, ∂x ∂x∂z
解：
∂w = ∂x
f1′⋅1 +
f2′⋅ y z
为偶函数（
Q
(1
+
e−x e−x
)
2
=
e−x (1 + e−x
⋅ e2x )2 ⋅e2x
= ex (1 + e x )2
）
∫∴
π 4 −π
4
sin
x
⋅
ex (1 + e x
)2
dx = 0 ，故原式=
2 2
∫2
2．
x
dx （03）（根式代换： u = x − 1 ）
1 x −1
1
∫ 3. 已知 y′(x) = arctan(x −1)2 , y(0) = 0,求 y(x)dx. （03）（先自己做吧~） 0

微积分II全书整理

第一部分多变量微分学一、多元函数极限论 1. 多元函数极限的定义：（1）邻域型定义：设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点)(0P U D P δο⋂∈时，都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限，记作.)(lim 0A P f P P =→（2）距离型定义：设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P D ∈，且δρ<<),(00P P 时，都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限，记作.)(lim 0A P f P P =→注：①这里给出的是数学分析中国际通用的定义，已自然排除了0P 邻域内的无定义点； ②极限存在的充要条件：点P 在定义域内以任何方式或途径趋近于0P 时，)(P f 都有极限； ③除洛必达法则、单调有界原理、穷举法之外，可照搬一元函数求极限的性质和方法，常用的有：等价无穷小替换、无穷小×有界量=无穷小、夹挤准则等；④若已知)(lim 0P f P P →存在，则可以取一条特殊路径确定出极限值；相反，如果发现点P 以不同的方式或途径于0P 时，)(P f 区域不同的值，则可断定)(lim 0P f P P →不存在.⑤二元函数的极限记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),00（或A y x f y y x x =→→),(lim 00.2. 多元函数的连续性：设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点，如果0P D ∈，且有)()(lim 00P f P f P P =→，则称)(P f 在0P 处连续；如果)(P f 在区域E 的每一点处都连续，则称)(P f 在区域E 上连续.注：①如果)()(lim 00P f P f P P ≠→，只称“不连续”，而不讨论间断点类型；②在有界闭区域上的连续函数拥有和一元函数类似的性质，如有界性定理、一致连续性定理、最大值最小值定理、介值定理等. 3.二重极限与累次极限累次极限与二重极限的存在性之间没有任何必然的联系，但若某个累次极限和二重极限都存在，则它们一定相等；反之，若两个累次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在，又若两个累次极限存在且相等，称累次极限可以交换求极限的顺序.二、偏导数、全微分1.偏导数、全微分的相关理论问题（以二元函数为例讨论）（1）偏导数的存在性：讨论对某个变量的偏导数，则将其他变量当作常数.),('),(),(lim 0000000y x f x x y x f y x f x x x ∆→=--；),('),(),(lim 0000000y x f y y y x f y x f y y y ∆→=--. （2）可微性：记),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆，则仅当0)()()(lim22=∆+∆∆+∆-∆→→y x y B x A z y x 时，),(y x f 在),(00y x 处可微，否则不可微.其中),('00y x f A x =，),('00y x f B y =.注：等价于()22)()(y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆即()220000)()()(),(),(y x o y B x A y x f y y x x f ∆+∆=∆+∆--∆+∆+又即()()202000000000)()())(,('))(,('),(),(y y x x o y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-=-+---记dy yzdx x z y B x A dz ∂∂+∂∂=∆+∆=为全微分),(y x f 在),(y x 处的全微分. 中值定理推广为：.1,0,),('),('2121<<∆∆++∆∆+∆+=∆θθθθy y y x f x y y x x f z y x（3）偏导数的连续性：讨论偏导连续性，先用定义求),('00y x f x 和),('00y x f y ，用公式求),('y x f x 和),('y x f y ，判断),('),('lim 0000y x f y x f x x y y x x =→→和),('),('lim 0000y x f y x f y y y y x x =→→是否都成立，如果都成立则偏导数连续.④逻辑关系：极限存在偏导存在可微连续偏导连续⇒⇓⇑⇒2.多元函数微分法：（1）链式求导法则：①从题目中的复合关系画出从起始变量经过中间变量到终变量的复合结构图；②求偏导就是“走路”的过程，有几条路，等号后就有几项；每条路上有几段，每项中就会有几部分相乘（注意：偏导写偏微分符号“∂”，不偏则写微分符号“d ”）； ③严格遵守用位置表示偏导数的规则，注意避免符号混乱和歧义；④对于求高阶偏导数的问题，不论对谁求导，也不论求了几阶导，求导后的新函数仍具有与原来函数相同的复合结构（注意若偏导连续则相等，要合并同类项）.（2）全微分形式不变性：仅一阶全微分可以使用，高阶全微分不再成立. （3）隐函数存在性及求导法则：①一个方程的情形（以三个变量为例）：设),,(z y x F 在点),,(000z y x 某邻域内偏导连续，且0),,(000=z y x F ，0),,('000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 内某邻域内可唯一确定单值函数),(y x z z =，这个函数在),(00y x 的某邻域内具有连续的偏导数，且''z x F F x z-=∂∂，''z y F F y z -=∂∂.结论不难推广到一般情形.②方程组的情形：一般地，设方程组),2,1(0),,,;,,,(2121m i u u u x x x F m n i ΛΛΛ==可确定m 个n 元函数),,,(21n i i x x x u u Λ=.当雅可比行列式0),,,(),,,(11112212121112121≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=mm m m m m m u F u F u F u F u F u F u F u F u F u u u F F F J ΛM M M ΛΛΛΛ 时，可以确定JJ x u j i *-=∂∂，其中*J 由将),,,(),,,(2121m m u u u F F F J ΛΛ∂∂=分母中的第i 个元素替换成j x 得到.（雅可比行列式在横向上改变各自变量，纵向上改变各函数名称）注：①求导前应事先判断，a 个变元，b 个方程可确定b 个)(a b -元函数； ②有些比较简单的问题不必使用此通法，可以考虑利用全微分形式不变性. ③经验结论：由0),(),,,(),,,(===v u F z y x v z y x u ψϕ确定的隐函数),(y x z z =，求22x z∂∂时，有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x v F x u F x u F A ；求y x z ∂∂∂2时，有0'')'(222122=∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂y x vF y x u F y u x u F A ；求22yz∂∂时，有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y vF y u F y u F A ，其中=A 222112211122")'("''2")'(F F F F F F F +-.（0),(=y x F 的曲率：()232221)'()'(F F A+）三、多元微分学的几何学应用（以下的讨论主要为了计算，条件未必严格）1.曲线的切线和法平面：设曲线()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x l : 在0P 处()()()000'''t z t y t x ，，都存在且不为0，则曲线l 在0P 处的：（1）切线方程为()()()000000'''t z z z t y y y t x x x -=-=-：（2）法平面方程为()()()0)(')(')('000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x .注：若曲线以⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 形式给出，切向量为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧，，，''''''''''''y x y x x z x z z y z y G G F F G G F F G G F F .2.曲面的切平面与法线：设曲面∑由方程0),,(=z y x F 确定，),,(z y x F 在点0P ),,(000z y x 处可微，且'''z y x F F F ，，不为0，则曲面∑在0P 处的：（1）切平面方程为0)(')(')('000=-+-+-z z F y y F x x F z y x （导数已经代入0P 坐标）；（2）法线方程为'''000z y x F z z F y y F x x -=-=-. 注：二元函数在某点处的全微分等于其在这点处切平面竖坐标的增量. 3.方向导数：（1）定义式：0)()(limPP P f P f lu P P P -=∂∂→→（2）若函数),,(z y x f 在点0P 处可微，那么),,(z y x f 在点0P 处沿所有方向的方向导数存在，且γβαcos cos cos 0zfy f x f lf P ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂→，其中γβαcos ,cos ,cos 为→l 的方向余弦. 注：沿所有方向的方向导数存在不能推出可微，偏导数存在不能推出各方向导数存在. 4.梯度：（1）计算：grad u =x u ∂∂i +y u ∂∂j +xu∂∂k ；（2）grad u 是)(P u 在点P 的变化量最大的方向，其模等于这个最大变化率；（3）梯度的运算法则和一元函数的求导法则相似；（4）方向导数等于梯度在该方向上的投影. 四、极值与最值问题 1.二元函数的非条件极值问题（1）极值的必要条件：对偏导数存在的函数),(y x f ，在),(00y x M 处有极值的必要条件是0),(),(0000=∂∂=∂∂yy x f x y x f .（可推广到三元及以上）（2）极值的充分条件：设),(00y x M 为函数),(y x f 的驻点，且),(y x f 在),(00y x 处连续，记AC B y x f A C y x f B y x f A yy xy xx -=∆====2000000),,("),,("),,("，则：①0<∆时，),(00y x 是极值点，当0>A 时，),(00y x f 为极小值；当0<A 时，),(00y x f 为极大值； ②0>∆时，),(00y x 不是极值点； ③0=∆时，此法失效，另谋它法.注：本方法不可推广到三元及以上，三元及以上的充分条件中，要求黑塞矩阵正定或负定.（本知识不做要求，在出题人手下不会出现三元以上的极值判断问题） 2.条件极值与拉格朗日乘数法（1）一般情况下的拉格朗日乘数法：求函数),,,(21n x x x f u Λ=在条件),,,(21n i x x x Λϕ下的条件极值),,2,1(n m m i <=Λ，可以从函数),,,(),,,(),,,,,(2112111n i mi i n n n x x x x x x f x x F ΛΛΛΛϕλλλ∑=+=的驻点中得到可能的条件极值的极值点. 步骤：①构造辅助函数；（注意：变量均为独立变量） ②求各变量的一阶导并令其为零，联立得到方程组；③解方程组得到所有驻点.（解无定法，尽量利用观察法）（2）对“条件极值”的解读：事实上，只利用拉格朗日乘数法求条件极值无异于掩耳盗铃.由于对于多元函数，构造拉格朗日函数后会出现至少三个变量，在数学上欲判断求得的驻点是否是极值点需要利用三阶以上的黑塞矩阵.而出题人为了回避这一知识点，通常以实际问题的形式来考察拉格朗日乘数法.由于在实际问题的背景下必存在最值，可以认为“所得即所求”，但是实际上求出的并不是真正的条件极值，而是在条件下的最值.所以，出题人通常在题目中会以“最值”来代替极值进行考察.五、习题1.已知方程02222=∂∂+∂∂y u x u 有⎪⎭⎫⎝⎛=x y u ϕ形式的解，求出此解.2.已知二元函数),(y x f z =可微，两个偏增量：,3)32(322222x y x xy x y x z x ∆+∆+∆+=∆.2233y x y y x z y ∆+∆=∆且,1)0,0(=f 求).,(y x f3.设0),(222=++++z y x z y x F 确定),(y x z z =，其中F 有二阶连续偏导数，求.2yx z∂∂∂ 4.已知函数),(y x f z =可微，且有，0≠∂∂xz满足方程.0)(=∂∂+∂∂-y z y x z z x 现在将x 作为z y ,的函数，求.yx ∂∂ 5.设),,(t x f y =t 是由方程0),,(=t y x F 确定的x ,y 的函数，其中F 和f 均有一阶连续的偏导数，求.dxdy6.设),,(),,(),,(v u f z v u y v u x ===ψϕz 是x ,y 的二元函数，求xz∂∂及.y z ∂∂ 7.求函数)ln(22z x e w y +=-在点),1,(2e e 处沿曲面uv v u v u e z e y e x ===-+,,的法线向量的方向导数.8.求grad[c ·r +21ln(c ·r )],其中c 为常向量，r 为向径，且c ·r >0. 9.设二元函数f 在),(000y x P 点某邻域内偏导数'x f 和'y f 都有界，证明:f 在此邻域内连续. 10.设),(00'y x f x 存在，),('y x f y 在),(00y x 处连续，证明：),(y x f 在),(00y x 处可微.11.证明：函数⎪⎩⎪⎨⎧≠≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(),(2233y x y x y x y x y x f ，，在原点处偏导数存在但不可微.12.设),(y x z z =是由方程⎪⎭⎫⎝⎛=z y z x ϕ确定的二元函数，其中ϕ有连续的二阶导函数，证明：.222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂=∂∂⋅∂∂y x z y z x z 13.证明：曲面)2(2z y f e z x -=-π是柱面，其中f 可微.第二部分多变量积分学一、各类积分的计算公式及意义（一）二重积分 1.计算公式①直角坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121,,,y x y x dc ba x y x y Ddx y x f dy dy y x f dx dxdy y x f ②极坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121.sin ,cos sin ,cos ,r r bar r Dd r r f rdr rdr r r f d dxdy y x f ϕϕβαθθθθθθθθ③二重积分的变量替换：()[]dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f uvxy),(),(),(),,(,∂∂=⎰⎰⎰⎰σσ2.几何意义：()0,≥y x f 时，表示以0=z 为底，以()y x f z ,=为顶的曲顶柱体的体积.3.物理意义：各点处面密度为()y x f ,的平面片D 的质量. （二）三重积分 1.计算公式①直角坐标系下的三重积分：（1）柱型域：投影穿线法（先一后二法）：()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=y x z y x z Vdz z y x f dxdy dV z y x f xy,,21,,,,σ（2）片型域：定限截面法（先二后一法）：()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=zD z z Vdxdy z y x f dz dV z y x f ,,,,21②柱面坐标系下的三重积分：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθθθθθθθθ2121,,,sin ,cos ,sin ,cos ,,r r r z r z VVdz z r r f rdr d dz rdrd z r r f dV z y x f ③球面坐标系下的三重积分：()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ϕθϕθθϕθϕβαϕθϕθϕϕϕθϕθϕϕθϕθϕ,,222121cos ,sin sin ,cos sin sin sin cos ,sin sin ,cos sin ,,r r VVdrr r r r f d d drd d r r r r f dV z y x f④三重积分的变量替换：()[]dudvdw w v u z y x w v u z w v u y w v u x f dV z y x f uvwxyzV V ),,(),,(),,(),,,(),,,(,,∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.物理意义：各点处体密度为()z y x f ,,的几何形体Ω的质量. （三）第一型曲线积分： 1.计算公式①平面曲线的情形：（1）()()b t a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:则()()()()()().,,22⎰⎰'+'=b aC dt t y t x t y t x f ds y x f（2）()b x a x g y C ≤≤=,:则()()()()⎰⎰+=baCdx x g x g x f ds y x f .'1,,2（3）()βθαθ≤≤=,:r r C 则()()()()()()⎰⎰'+=βαθθθθθθθ.sin ,cos ,22d r r r r f ds y x f C②空间曲线的情形：()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,::()()()()()()()().',,,,222⎰⎰+'+'=βαdt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f C2.几何意义：以C 为准线，母线平行于z 轴的柱面介于0=z 与()y x f z ,=间的面积.3.物理意义：各点处线密度为()y x f ,（或()z y x f ,,）的曲线C 的质量. （四）第一型曲面积分： 1.计算公式：()()().1,,,,,22⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=xydxdy y z x z y x z y x f dS z y x f Sσ 2.物理意义：各点处面密度为()z y x f ,,的曲面S 的质量. （五）第二型曲线积分： 1.计算公式： ①平面曲线的情形：()()bt a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:⎰⎰+=+baCt dy t y t x Q t dx t y t x P dy y x Q dx y x P )())(),(()())(),((),(),(②空间曲线的情形：()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,:)())(),(),(()())(),(),(()())(),(),((),,(),,(),,(t dz t z t y t x z t dy t z t y t x Q t dx t z t y t x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P baC ⎰⎰++=++2.物理意义：力场F=P (x ,y ,z )i + Q (x ,y ,z )j +R (x ,y ,z )k 沿有向曲线C 所做的功.（六）第二型曲面积分： 1.计算公式：.)),(,,()),(,,()),(,,(),,(),,(),,(⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-±=++xy dxdy y x z y x R y x z y x Q y z y x z y x P x z dxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P Sσ 2. 物理意义：流速场v=P (x ,y ,z )i + Q (x ,y ,z )j +R (x ,y ,z )k 单位时间通过有向曲面S 流向指定一侧的净通量.二、各种积分间的联系1. 第一型曲线积分与第二型曲线积分：[]⎰⎰++=++CCds R Q P Rdz Qdy Pdx .cos cos cos γβα2. 第一型曲面积分与第二型曲面积分：[].cos cos cos ⎰⎰⎰⎰++=++SSdS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz γβα3. 第二型曲线积分与二重积分（Green 公式）：.dxdy y P x Q Qdy Pdx D C ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+4. 第二型曲面积分与三重积分（Gauss 公式）：.dV z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz S V ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++5. 第二型曲线积分与第二型曲面积分（Stokes 公式）：.dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx S C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++⎰⎰⎰ 三、各种积分的通用性质 1.黎曼积分的性质1°()()[]()().⎰⎰⎰ΩΩΩΩ±Ω=Ω±d P g d P f d P g P f βαβα2° ()()()⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+Ω=Ω21d P f d P f d P f ，其中Ω=Ω⋃Ω21，且1Ω与2Ω无公共内点.3°若()()P g P f ≤，Ω∈P ，则()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P g d P f若()()()()P g P f P g P f ≠≤,，且()()P g P f ,连续，Ω∈P ，则()().⎰⎰ΩΩΩ<Ωd P g d P f4°()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P f d P f5° 若()P f 在积分区域Ω上的最大值为M ，最小值为m ，则().Ω≤Ω≤Ω⎰ΩM d P f m6° 若()P f 在有界闭区域Ω上连续，则至少有一点Ω∈*P ，使()().Ω=Ω*Ω⎰P f d P f7° 若2R ⊂Ω关于坐标轴对称，当()P f 关于垂直该轴的坐标是奇函数则为0；若3R ⊂Ω关于坐标平面对称，当()P f 关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为0.8° 将坐标轴重新命名，如果积分区域不变，则被积函数中的x ,y ,z 也同样作变化后，积分值保持不变.2.第二型积分的性质1° 设-Ω是与Ω方向相反的几何体，则.)()(→Ω→→Ω→Ω-=Ω⎰⎰-d P A d P A2° ()()()().⎰⎰⎰Ω→→Ω→→Ω→→Ω±Ω=Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡±d P B d P A d P B P A βαβα3°若21Ω+Ω=Ω，则.)()()(21→Ω→→Ω→→Ω→Ω+Ω=Ω⎰⎰⎰d P A d P A d P A4°若e p ()P A →⊥,,Ω∈P 则.0)(=Ω→Ω→⎰d P A5°设,Ω∈P e p ={}P P P γβαcos cos cos ，，，()P A →={})(),(),(P R P Q P P ，则[]⎰⎰Ω→Ω→Ω++=Ωd P R P Q P P d P A P P Pγβαcos )(cos )(cos )()(6° 将坐标轴重新命名，如果曲线或曲面的方程不变，则被积函数中的x ,y ,z 也同样作变化后，积分值保持不变. 四、各种积分的应用1.形心坐标公式：(),ΩΩ=⎰Ωxd M x μ()().,ΩΩ=ΩΩ=⎰⎰ΩΩzd M z yd M y μμ质心坐标公式：()(),⎰⎰ΩΩΩΩ=d M xd M x μμ()()()().,⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩ=ΩΩ=d M zd M z d M yd M y μμμμ2.转动惯量：()().2⎰ΩΩ=d M r M I μ3.旋度：rot F (M )= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z Q y R i +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x R z P j +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂y P x Q k . 4.散度：div F (M )= .Mz R y Q x P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂五、习题1.计算,2dxdy y D⎰⎰其中D 由横轴和摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 的一拱)0,20(>≤≤a t π围成.2.计算,)(sin 12dxdy y x D⎰⎰+-其中D : .0,0ππ≤≤≤≤y x3.计算,222dxdy y x a D⎰⎰--其中D : .0,,22>≥≤+a x y ay y x4.计算,22dxdy y x D⎰⎰+ 其中D : .0,0a y a x ≤≤≤≤5.计算[],)(1⎰⎰⎰+VdV z xf y 其中V 是由不等式组2230,1,11y x z y x x +≤≤≤≤≤≤-所限定的区域，)(z f 为任一连续函数.6.计算,222⎰⎰⎰+VdV z y x 其中V 是由不等式组1)1(,1222222≤-++≥++z y x z y x 所确定的空间区域. 7.计算,1222⎰⎰⎰-++VdV z y x 其中V 是由锥面22y x z +=和平面1=z 围成的立体.8.计算,)32(⎰⎰⎰++VdV z y x 其中V 是顶点在)000(，，处，底为平面3=++z y x 上以)111(，，为圆心，1为半径的圆的圆锥体.8.计算,⎰l xds 其中l 为双曲线1=xy 上点)2,21(到)1,1(的弧段.9.计算⎰++Lds xy zx yz ,)222(其中L 是空间圆周.232222⎪⎩⎪⎨⎧=++=++az y x a z y x10.计算，ds z y x z D ⎰⎰),,(ρ其中S 是椭球面122222=++z y x 的上半部分，点π,),,(S z y x P ∈为S 在点P 处的切平面，),,(z y x ρ为原点)000(，，到平面π的距离.11.计算,cos )sin 1(2⎰--+ly y xdx e dy x e x 其中l 是由由原点沿2x y =到点)1,1(的曲线.12.计算⎰Γ+++++,)()()(222222dz y x dy x z dx z y 其中(),024:22222>⎪⎩⎪⎨⎧=+=++Γz xy x xz y x从z 轴正向看Γ取逆时针方向.13.计算,)()(22⎰+++-l y x dy y x dx y x 其中l 为摆线⎩⎨⎧-=--=ty t t x cos 1sin π从0=t 到π2=t 的弧段. 14.计算,)6()22(22223ydxdy z dzdx x z y x zy dydz e x x S-+++--⎰⎰-π其中S 是由抛物面224y x z --=，坐标面xoz ,yoz 及平面1,1,21===y x y z 所围成的立体表面的外侧. 15.计算,)()()(232323dxdy x z dzdx z y dydz y x S-+-+-⎰⎰其中S 是由锥面22z x y +=与半球面)0(222>--+=R z x R R y 构成的闭曲面的外侧.16.计算,dxdy y x f y z z dzdx y x f dydz y x f y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰⎰∑其中∑是由122++=z x y 和229z x y --=所围立体表面的外侧， )(u f 是有连续导数的函数.17.计算,4)1(2)18(2dxdy yz dzdx y xdydz y S ⎰⎰--++其中S 是由()3101≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x y z 绕y 轴旋转一周所得到的曲面，它的法向量与y 轴正向夹角恒大于.2π18.计算,222dzdx z x Sy ⎰⎰+其中S 是曲面22z x y +=及1=y ，2=y 所围立体表面外侧.19.求闭曲面z a z y x 32222)=++（所围成的立体体积. 20.求锥面222x z y =+含在圆柱面222a y x =+内部分的面积.21.求由曲线L ：)21(ln 2142≤≤-=x x x y 绕直线8943-=x y 旋转形成的旋转曲面的面积. 22.求平面曲线段l ：)10(233≤≤+=x x x y 绕直线L ：x y 34=旋转形成的旋转曲面的面积.23.设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，并设,)(10⎰=A dx x f 求⎰⎰11.)()(xdy y f x f dx24.求线密度为x 的物质曲线()0222222≥⎪⎩⎪⎨⎧=+=++z Rxy x Rz y x 对三个坐标轴转动惯量之和.25.设r =xi+yj+zk , r=|r |.（1）求)(r f ，使div[)(r f r ]=0；（2）求)(r f ，使div[grad )(r f ]=0.26.设函数)(x f 在区间]1,0[上连续、正值且单调下降，证明：.)()()()(110210102⎰⎰⎰⎰≤dx x f dxx f dxx xf dxx xf27.设函数)(t f 连续，证明：⎰⎰⎰--=-DAAdt t A t f dxdy y x f .|)|)(()(28.证明：()),0()323(31085335>+≤+++≤⎰⎰∑a a a dS a z y x a ππ其中∑是球面：.022222222=+---++a az ay ax z y x29.设Γ是弧长为s 的光滑曲线段，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Γ上连续，且.max 222R Q P M ++=Γ证明：.Ms Rdz Qdy Pdx ≤++⎰Γ30.设在上半平面{}0|),(>=y y x D 内函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t ，都有).,(),(2y x f t ty tx f -=证明：0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L，其中L 是D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线.第三部分无穷级数一、数项级数（一）数项级数的基本性质1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛）3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛.（2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1(Λ=≤n cv u n n ，那么（i ）当级数∑∞=1n n v 收敛时，级数∑∞=1n n u 亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n n u 发散时，级数∑∞=1n n v 亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤，那么（i ）当级数∑∞=1n n v 收敛时，级数∑∞=1n n u 亦收敛；（ii ）当级数∑∞=1n n u 发散时，级数∑∞=1n n v 亦发散.（3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，若0lim>=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若0=l ，则当级数∑∞=1n n v 收敛时，级数∑∞=1n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数∑∞=1n n u 发散时，级数∑∞=1n nv 亦发散. 常用度量：①等比级数：∑∞=0n n q ，当1<q 时收敛，当1≥q 时发散；②p -级数：∑∞=11n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)；③广义p -级数：()∑∞=2ln 1n pn n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数：∑∞=--111)1(n pn n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤<p 时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，当1lim1<=+∞→r u u n n n 时级数∑∞=1n n u 收敛；当1lim1>=+∞→r u u n n n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ，设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛，1>r 时发散，而当1=r 时需进一步判断.（6）柯西积分判别法：设∑∞=1n n u 为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞=1n n u 与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1）绝对收敛与条件收敛：①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然；②对于级数∑∞=1n n u ，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数∑∞=1n n v ，其中2nn n u u v +=；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数∑∞=1n n w ，其中2nn n u u w -=，那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n n v 和∑∞=1n n w 都收敛；若级数∑∞=1n n u 条件收敛，则级数∑∞=1n n v 和∑∞=1n n w 都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同.④若级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV .注：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=--Λ.（2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值. 二、函数项级数（一）幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域（1）柯西-阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在R x x <-0内绝对收敛，在R x x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径.（2）阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在ξ=x 处收敛，则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n n x x a 在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1：若幂级数∑∞=0n nn x a 在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n n x a 在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散.推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2.幂级数的运算性质（1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n n n x x a 在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.（3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和（1）常用的幂级数展开：①ΛΛ+++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ，x(, +).②=11x -1+x +x 2+···+x n+··· =∑∞=0n n x ，x (1, 1).从而，∑∞=-=+0)(11n nx x ，∑∞=-=+022)1(11n n n x x .③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ΛΛ，x(, +).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ΛΛ，x (, +).⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ΛΛ，x (1, 1].⑥ΛΛΛ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα，x(1, 1).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ΛΛ，x [1, 1].⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ΛΛ，x [1, 1].（2）常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为n cx )(；③对∑∞=0n nn x a 求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立）若)(x f 以l 2为周期，且在[l , l ]上满足：①连续或只有有限个第一类间断点；②只有有限个极值点；则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[l , l ]上处处收敛.2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ （1）在[l , l ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10；（2）正弦级数与余弦级数：①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π；4.一些在展开时常用的积分：（1）;0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx nnxdx n（2）2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；（3）2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin nnxdx x n nxdx x n nxdx x n n n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；；（4）C nx n nx a e na nxdx e ax ax +-+=⎰)cos sin (1sin 22； C nx a nx n e na nxdx e axax +++=⎰)cos sin (1cos 22；（5）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ；C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注：①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性； ③对于π≠l 的情形，事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.五、习题1.判断下列数项级数的敛散性，若收敛，不是正项级数的指出是绝对收敛还是条件收敛.（1）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212n nn n ；（2）n n n βα∑∞=1，其中β非负；（3）∑⎰∞=140tan n n nxdx λπ，其中0>λ；（4）np n n n1111)1(+∞=-∑-；（5）nn nn n !)(1∑∞=-α，其中0>α；（6）!)!12(!)!32()1(2---∑∞=n n n n.2.求幂级数nn n n x n ∑∞=+132的收敛域. 3.求幂级数nn n n x n b n a ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的收敛域，其中b a ,为正数.4.将下列函数展开成x 的幂级数. （1）xx 21-；（2）x arcsin ；（3）x x x x -+-+arctan 2111ln 41.5.求下列幂级数的收敛域及和函数.（1）n n n x n ∑∞=+-121)1(；（2）)12()1(211--∑∞=-n n x nn n ；（3）()∑∞=03!3n nn x ；6.求数项级数∑∞=-⋅-1212)!2(2)1(n nn n n 的和.7.设(),arctan )(2x x f =分别求出)0()12(-n f 和)0()2(n f .8.求极限∑⎰∞=+→+112sin 0202)sin(limn nn x x n x dtt .9.求极限.)!14(!11!7!31)!34(!9!51lim44844484-++++-++++--→n n n n x ππππππΛΛ10.将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=l x l x l l x x x f 2,20,)(展开成正弦级数.11.将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=l x l l x l x x f 2,020,cos )(π展开成余弦级数.12.将函数)arcsin(sin )(x x f =展开成傅里叶级数.13.证明：幂级数n n nk x n k ∑∑∞==112)!2()!(在)3,3(-内绝对收敛.14.求函数⎰-+=πππdt t x f t f x F )()(1)(的傅里叶系数nnBA ,，其中)(x f 是以π2为周期的连续函数，n n b a ,是其傅里叶系数.并证明：).(2)(1212202n n n b a a dt t f ++=∑⎰∞=-πππ。

微积分2知识

）.
n=1
n=2
A．收敛于 2s B．收敛于 2s − 2u1 − u2 C．收敛于 2s − u1
D．发散
8．幂级数 an xn 在 x1 处收敛，在 x2 处发散，则必有（
）.
n=0
A． x1 x2 B． x1 x2 C． x1 x2 D． x1 x2
9. 下列广义积分发散的是（
A．
4. 计算二重积分 x2 + y2 d ，其中 D = {(x, y) x2 + y2 ax} (a 0) . D
5. 讨论级数 (−1)n−1 ( p 为常数)的敛散性，若收敛，说明是绝对收敛，还是条件收敛.
np
n=1
6. 求微分方程 xy + y = xex 满足 y(1) =1 的特解.
《微积分Ⅱ》期末练习题
一、填空题
1．
lim
x→0
1 x3
x
(1− cos t)dt = __________ ．
0
2.
2 − 2
(x
+
2
)
cos
xdx
=
__________________ .
3. + x6e−xdx = __________________ . 0
4. 设 z = arctan y ，则 dz = __________________ . x
）.
A． − 1 e−3x 3
B． 1 xe3x 3
C． 1 e3x 3
D． − x e−3x 3
6．若 z
=
f
(x,
y) 有连续的二阶偏导数，且
f
xy
(
x,
y)

微积分第二章复习资料

lim f (x) = A ⇔ f (x) = A+α，其中α是无穷小量。
§1.6 极限的四则运算法则
lim 定理：若 lim f ( x ) = A 、 g ( x ) = B，则有：
1. lim[ f ( x ) ± g ( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B
半年后的本利和 A0 (1 + )
r m 如一年分m期计息，则一年后的本利和 A0 (1 + ) m
由于资金运转过程是持续不断进行的，所以计息分期越细越合理，也就是让m→∞（也就是利息随时计入本金），于是一年后的本利和
2. lim (1+ f (x))
f ( x)→0 1 f ( x)
1
f ( x)
=e
=e
3 x+4 2 5x 2.lim(1− ) 例：1.lim(1+ ) x→∞ x→∞ 2x 3x 注：碰到幂指函数，可以考虑用第二个重要极限求
解，方法是凑指数。
x +1 3.lim x→∞ x − 2
选证2
2x2 − x + 2 例：lim x→2 x2 + 4
注1：求初等函数在 x → x 0 时的极限，如果把 x = x0 代入函数有意义，则函数值就是极限值。
2x − 3 例：lim 2 x →1 x − 5 x + 4
注2：运用无穷小与无穷大的关系求极限。
5x2 + 2x −1 例：lim x →∞ 3x 2 − 1
练习： 1.lim sin 5x = 5 ： x→0 3x 3 sin( x −1) 1 2.lim 2 = x→ 1 2 x −1 sin 2x 2 3.lim = x→ tg3x 0 3

微积分A(二)总复习(向量代数和空间解析几何)

(6) a , b , c 共面 [a , b , c ] 0 a x a y az
bx cx by cy
a x bx a y by az bz 0.
bz 0. cz
二、空间解析几何
1、空间曲面方程 (1) 空间曲面一般方程
F ( x , y , z ) 0 或 z f ( x , y ) 等。
向量代数
向量的线性运算
向量概念
向量的表示法
向量的积
数量积混合积向量积
空间解析几何空间直角坐标系
一般方程旋转曲面
曲线
参数方程一般方程参数方程
曲面
平面
柱
面
直线
二次曲面
一般方程
对称式方程点法式方程
向向量的坐标表达式、模、方向余弦、量单位向量、在另一向量上的投影; 空间两代点间的距离; 向量的垂直与平行、数量积数与向量积及其运算规律与性质意义空间解析柱面、旋转曲面、二次曲面方程；空几何间直线在坐标面上的投影
它满足交换律、结合律、分配律。
0 向量积 a b a b sin ( a ,^ b ) n , 0 a , b 所在平面的 n : 按“右手法则”垂直于单位向量。 i j k a b a x a y az S a b . bx b y bz
a x a y az 0 与a 平行的单位向量为 a { , , } |a | |a | |a | 2 2 2 其中| a | a x a y az
的投影。
一、向量代数
ay ax a 的方向余弦为 cos , cos , |a | |a | az cos , 方向余弦满足 |a | cos2 cos2 cos2 1.

数学建模微积分2模拟题

微积分（Ⅱ）复习资料前言：为帮助各位大一学弟学妹对微积分（Ⅱ）有一个更好的认识，考试能够顺利过关，我们数学建模协会为大家整理了一些相关题型和往几届考试试题，希望对大家有所帮助！另外，本次活动只做每个大题的第一个小题，其他小题留在平时下来完成，这都是近几年的考题和有代表性的基本题型！一、（多元函数微分基础部分）【10分】①、已知f(x,y,z)=ln(xy+z),求df(1,2,0)②、设函数 ,若f(x,y,z)在(1,1,-1)处沿z 轴正方向有最大增长率18，求a 、b 、c 的值。

③、函数由确定，求二、（多元函数微分应用部分）【10分】①、求曲面在点（1,1,1）处的切平面和法线方程 ②、证明曲面上任意点处得切平面在各坐标轴上的截距和为定值czx byz axyz y x f 222++=),,(),(y x z z =e yz xy z=+dzy zx z 及,∂∂∂∂zxy z ln+=p 02=++z y x三、（多元函数积分部分—二重积分）【10分】①、求积分，其中D 是直线y=2与y=2x 所围成的闭区域。

②、计算二次积分③、计算二重积分【基础】四、（多元函数积分部分—二重积分）【10分】①、计算I= ，其中D ：⎰⎰Dxyd σ[]⎰-+⎰----x x dyx y xdx2121322111)(⎰⎰=1x x dyy ydxI sin ⎰⎰++D d y xy x σπ2222)sin(4122≤+≤y x -dxdyy x )cos(②、计算I= ，D 是由x+y=1,x=0及y=0所围成。

【提高】五、（多元函数积分部分—三重积分）【10分】①、计算积分，其中为由锥面和球面所围成的立体。

②、计算I= ，其中是由不等式和所确定。

③、求三重积分Vυ⎰⎰⎰，其中V 是由曲线0z yx =⎧⎨=⎩ 绕z O 轴旋转所成的曲面(0)z ≥ 与平面1z =所围成的空间区域。

微积分2总复习

作降变阶换
全微分方程
积分因子
可分离
常数变易法方程法数数法
高阶方程
法
区域（1）邻域）
设 P0 ( x0 , y0 ) 是 xoy 平面上的一个点，δ 是某一平面上的一个点，正数，与点 P0 ( x0 , y0 ) 距离小于δ 的点 P ( x , y ) 的全正数，邻域，体，称为点 P0 的δ 邻域，记为U ( P0 , δ ) ，
极限的运算
f 设 P → P0 时， ( P ) → A, f ( P ) → B, 则 (1). f ( P ) ± g( P ) → A ± B; ( 2). f ( P ) ⋅ g( P ) → A ⋅ B; ( 3). f ( P ) g( P ) → A B ( B ≠ 0).
多元函数的连续性
元函数统称为多元函数. 当 n ≥ 2 时， n 元函数统称为多元函数
多元函数的极限
定义设函数 z = f ( x , y ) 的定义域为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是其聚点，其聚点，如果对于任意给定的正数ε ，总存在正数 δ ，使得对于适合不等式 0 <| PP0 |= ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 的一切点，都有 | f ( x , y ) − A |< ε 成立，则称 A 为函数 z = f ( x , y ) 当 x → x0 ， y → y0 时的极限，时的极限，记为 lim f ( x, y ) = A
全微分形式不变性
无论 z是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 、的函数，它的全微分形式是一样的. 的函数，它的全微分形式是一样的

微积分(下册)主要知识点汇总

微积分(下册)主要知识点汇总一、第一换元积分法（凑微分法）：对于形如$\int g[\phi(x)]\phi'(x)dx$的积分，可以令$u=\phi(x)$，则$du=\phi'(x)dx$，将原式转化为$\int g(u)du$的形式，然后进行积分，最后再将$u$用$\phi(x)$表示回去，即可得到结果$\int g[\phi(x)]\phi'(x)dx=F[\phi(x)]+C$。

二、常用凑微分公式：1.积分类型换元公式：int x^\mu(x^\mu-1)f(x)dx=\int x^\mu d(x^{\mu-1})$$当$\mu\neq 1$时成立。

int x^3f(\ln x)dx=\int x^3d(\ln x)=\int x^3\frac{1}{x}dx$$int e^xf(e^x)dx=\int e^xd(e^x)=e^xf(e^x)$$int_a^b f(x)dx=\int_{\ln a}^{\ln b}f(e^t)e^tdt$$当$a,b>0$时成立。

int \frac{f(\sin x)\cos x}{\sqrt{1-\sin^2 x}}dx=\int f(\sin x)d(\cos x)$$int \frac{f(\cos x)\sin x}{\sqrt{1-\cos^2 x}}dx=-\int f(\cos x)d(\sin x)$$int \frac{f(\tan x)}{\cos^2 x}dx=\int f(\tan x)d(\tan x)$$int \frac{f(\cot x)}{\sin^2 x}dx=-\int f(\cot x)d(\cot x)$$int f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx=\int f(t)dt$$int f(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\int f(t)dt$$三、第二换元法：对于形如$\int f(x)dx=\intf[\psi(t)]\psi'(t)dt=F(t)+C=F[\phi(x)]+C$的积分，可以令$\psi(t)=x$，则$\psi'(t)dt=dx$，将原式转化为$\intf[\psi(t)]\psi'(t)dt$的形式，然后进行积分，最后再将$t$用$\phi(x)$表示回去，即可得到结果。

（整理）微积分2复习提纲1

（整理）微积分2复习提纲1微积分复习提纲⼀、多元函数微分学及其应⽤1、会求多元函数的偏导数，进⽽会求函数的全微分df 或者梯度函数f ①多元显函数的偏导数，见P16 例1---例3，P24习题1 ②多元抽象函数的偏导数，见P28 例5---例7，P36 习题3 ③⾼阶偏导数，见P19 例8，P24习题2，P36 习题4④复合函数的偏导数，见P26例1，例3，例4，P36习题1，2 2、会求由⽅程确定的隐函数的偏导数①“显”⽅程确定的隐函数求偏导数，（公式法），见P34 例12，P36习题6，7 ②抽象⽅程确定的隐函数求偏导数，（直接法），见P34 例13，P36习题8③由⽅程组()()==0,,0,,z y x G z y x F 确定的隐函数==)()(x z z x y y 的导数dx dz dx dy ,，（直接法：在⽅程两端同时对x 求导，求导过程中把z y ,都看做是x 的函数，然后解⽅程组即可），见P35例14，P37习题9④由⽅程组()()==0,,,0,,,v u y x G v u y x F 确定的隐函数==),(),(y x v v y x u u 的偏导数（直接法）见P37习题93、多元函数微分学的⼏何应⽤①空间曲线??===)()()(x z x y t x ωφ?在点()0000,,z y x M 处的切线⽅程及法平⾯⽅程，见P46 例1，例2， P50习题1、2②空间曲线()()==0,,0,,z y x G z y x F 在点()0000,,z y x M 处的切线⽅程及法平⾯⽅程见P46 例3， P50习题2③曲⾯()0,,=z y x F 在点()0000,,z y x M 处的切平⾯⽅程与法线⽅程见P46 例5，例6， P50习题3 4、⽅向导数与梯度⼆、多元函数积分学及其应⽤ 1、⼆重积分的计算步骤：1）画出积分区域D ，2）根据积分区域选择适当的坐标系来计算此⼆重积分 3）化⼆重积分为⼆次积分4）做两次定积分，计算此积分的值注：多元函数对某个⾃变量积分的时候，要把其他的⾃变量看做常数。

微积分(下册)主要知识点汇总

一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下:当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1=.四、积分表续 4.3分部积分法xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x xx x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμ分部积分公式：⎰⎰-=vdu uv udv (3.1) ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当b a =时,;0)(=⎰badx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=baba dx x f k dx x kf (k 为常数).性质3⎰⎰⎰+=bccaba dx x f dx x f dx x f )()()(.性质4 .1a b dx dx baba-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤babadx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2).(|)(|)(b a dxx f dx x f baba<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5.3微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数.三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式. 5.4定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件：（1）,)(,)(b a ==βϕαϕ 且b t a ≤≤)(ϕ；（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法 ⎰ba udv⎰-=bab a vdu uv ][ 或 ⎰'badx v u ⎰'-=ba b a dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题.一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法.这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元根据具体问题.选取一个积分变量.例如x 为积分变量.并确定它的变化区间],[b a .任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +.求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值.即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==bab adx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用.本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用. 应用微元法解决实际问题时.应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性.即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(.即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下.要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事.因此.在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性. 二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积 .)]([2⎰=ba dx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体.但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积.那么.这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV =所求立体的体积 .)(⎰=badx x A V5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中.我们建立了平面直角坐标系.并通过平面直角坐标系.把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样.为了把空间的任一点与有序数组对应起来.我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴. 依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴）.统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （图6-1-1）. 空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中.如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F .而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程.则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件.建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程.研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示.反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中.我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面.从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕）.通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法.简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 qy p x z 2222+=（同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集.如果对于D 内的任一点),(y x .按照某种法则f .都有唯一确定的实数z 与之对应.则称f 是D 上的二元函数.它在),(y x 处的函数值记为),(y x f .即),(y x f z =.其中x .y 称为自变量. z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域.数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地.可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义.如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时.函数),(y x f 无限趋于一个常数A .则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →）也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则.在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限.我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义.如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续.则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似.二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论.当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时.只要算出函数在该点的函数值即可.特别地.在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如.有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地.函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明.在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数.然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之. 二、关于多元函数的偏导数.补充以下几点说明：（1）对一元函数而言.导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似.对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中.我们知道.如果函数在某点存在导数.则它在该点必定连续. 但对多元函数而言.即使函数的各个偏导数存在.也不能保证函数在该点连续.例如.二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆yy f y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =.)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点.过点0M 作平面0y y =.截此曲面得一条曲线.其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理.偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆易见.pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理.yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而yQ y Qy y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c ycx y x p aa且.其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。

《微积分二》复习要点整理(基本层次要求)

实用标准文档微积分（II ）复习要点（共11页）（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用建议按照提纲罗列顺序进行复习）Ch6+Ch7两章第一部分计算偏导与全微分（以二元函数为主）或偏导函数解法：求具体点偏导 —x 0y 0步骤如下：X1代入y y °,则原二元函数变为一元函数f x,y ° , 2利用上学期方法求上述一元函数的导数 dz,dx求偏导函数—步骤如下：x 1）将f x,y 中的y 视为常数，2利用上学期方法求z 对x 的导数,所得结果即为—x *类似，将f x,y 中的x 视为常数，对y 求导即得二.y配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！前提一一熟记第三章P63导数公式、P60“四则运算”求导法则、P64 复合函数求导之链式法则！P251 Ex8 2） 1） 4）, Ex9 3） 2）问题2.已知z f x,y ,求全微分dz.问题1.已知初等函数z f x,y 具体形式，求解偏导数zx o ,y oXx o ,y oy3最后代入x x o ,即得所求x o ，y° -*类似，可求出-yx o ,y o -解法：利用全微分与偏导的关系一一先分别求出二，二的具体结果x y则dz — dx — dy为所求.x y配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P253 Ex13 2) 7) 3)问题3•已知初等函数z f x,y具体形式，求解二阶偏导数2 2z z， 2 .y x y*务必准确识别以上四个二阶偏导的含义，参见P225相关定义和记号求法按照符号的定义逐阶求偏导2比如——:首先针对z f x,y求出-^,然后针对求出的结果(即—x y x x再求此新函数关于y的偏导.配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练!P253 Ex12 1) 2)问题4.复合函数求导(偏导).要点：借助“路线图”，根据题目实际情况熟练写出链式法则(如P219 公式(7 10),再进一步具体算出各部分结果.配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练!P254 Ex16 1) 4)问题5.隐函数求导(偏导或全微分).要点：熟记P223一元隐函数导数公式 (7 15), P224二元隐函数偏导公式(7 16),套用即可.学会P223〜P224两例的法一即可！配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex18 1) 3), Ex19 2) 1)第二部分求二元函数的极值和条件最值问题1.求二元初等函数z f x,y的极值解法步骤：Z x 01）求出Z x,Z y,并令，解此方程组得所有驻点，如x i ,y i , , X k ,y kzy2 求出 Z xx , Z xy , Z yx , Z yy3）针对以上各驻点，逐个利用P229定理7.8结论判定极值与否、极大/极小.*学会P230例2、例3解答过程.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex20 1） 4）问题2.求具有实际背景（尤其经济背景）二元初等函数Z f x,y 在条件 x,y 0下的条件最值.解法步骤：1）令F x,y, f x,y x,y2）求F的驻点，即解下列方程组：令F x f x x 0令F y f y y 0令F x,y 03）若以上驻点x°,y°, 0唯一，则x°,y°为所求条件最值点.该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记！并依照以上步骤做以下练习：例）某公司通过电台、报纸两种方式做销售某商品的广告.据统计资料，销售收入R 万元与电台广告费用x万元及报纸广告费用y万元之间的关系如下经验公式：2 2R 15 14x 32y 8xy 2x 10y若提供的广告费用为1.5万元且用尽，求相应的最优广告策略.Key : x 0, y 1.5第三部分定积分相关要点基本前提：熟记P119~P120及P131~P132不定积分公式！b问题1.已知f x 具体形式，求解定积分 f x dx.a主要方法)牛顿一莱布尼兹公式：1)利用求不定积分的方法，求出f x 的一个原函数F x , bb2 从而 fxdx F x b F b Fa.a*重点：若f X 是a,b 上的分段函数，比如以C 为分段点，则需利用—I-定积分的“拆区间”性质f f f,使得右端每个被积函数 a a c 1均取明确形式，再进行计算.配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P187 Ex11 1) 2) 3) 4) 8) 10)a特殊方法)当积分区间关于原点对称时,定积分f 有公式如下: -a0, f 为奇函数a20f, f 为偶函数1 ; -------------------------------例.求解 x 2sinx x£1 x 2x dx.1解：（务必注意积分区间的特点！） x 2sinx, x . 1 X 2均有奇函数，x 2sin xdxxl1 x 2dx 0. 1 111 1x 为偶函数，xdx 2 xdx 2 xdx1.'10 I从而原式 0 0 11.问题2.变限积分的求导及应用要点)x1)熟记函数 x f t dt 的求导公式：x f x .au xf t dt f u x u x进一步有公式：au xa -af t dt f u x u x f v x v xv x2利用以上求导公式，结合L' Hospital法则,可求解某些极限配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练!P186 Ex5 1）, Ex4 1） 2）问题3.定积分的几何应用与经济应用要点）1）几何应用一 --- 求平面图形面积）典型例P162例1 P163例4:注意针对不同的区域形状选择适当的积分变量.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex22 1） 3） 4）2）几何应用二-- 求旋转体体积）熟记P166公式（6 22及其适用的图6 19,熟记公式（6 24及其适用的图6 21.运用以上两公式求解旋转体体积.*注意：以上两公式只能直接用于求解具有“实心”特征的旋转体体积若考察空心旋转体体积，则只能间接利用公式将所求体积转化为若干实心体积.例如P166式（6 23即运用了此原理.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex29 3） 5）3）经济应用 -- 已知边际求总量）原理：若已知F x ,则由牛顿一莱布尼兹公式可得xF x F a F t dt,其中a为选定的常数.熟记 P168 〜169公式（6 26）~（6 28 .典型例：P169例8, P170例9.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P190 Ex33, Ex34第四部分二重积分相关要点问题1.已知区域D具体形式，将二重积分 f x,y dxdy表达为两种D累次积分次序.解法步骤）1）在平面直角坐标系中画出D的草图2判断D的形状：若D为P239图7 27（a）之“x型”区域，则运用公式（7 21）写出“外x内y”形式的累次积分；若D为P239图7 27（b）之“y 型”区域，则运用公式（7 22写出“外y内x”形式的累次积分3）若D并非标准的“x型”或“y 型”,则需利用分块积分法则（P238性质7.7）,将D划分为若干标准的“x型”或“y型”区域，再分别写出累次积分结果.典型例：P241例2配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex30 3） 1）问题2.将给定的累次积分交换积分次序.要点）1）根据题目形式写出积分区域D的形状，2）对于f x,y dxdy ,按要求写出另一种累次积分,方法同“问题1D典型例：P241例3配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex31 1） 3） 4） 2）问题3.已知f x,y和积分区域D的具体形式，计算f x,y dxdy.D要点)1)画出积分区域D的草图，2根据D的形状及f x,y的形式选择适当的累次积分次序表达，3)由内层至外层逐层计算上述累次积分，最终求出原二重积分.*若区域形状为圆、环、扇形等,且f x,y为关于x2y2或y的形式，x则上述过程宜采用极坐标系计算,即令x rcos ,y rsin ,将原积分化为frcos ,rsin rdrd ,再将此新二重积分化为外层关于、内层关于r的累次积分，具体结果见P244 ~ P245公式(7 24) ~ (7 26),重点熟记(7 25)即可.典型例(建议按以下顺序复习)：P242例4,例6,例5,P246例8配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex32 3) 4), Ex33 2) 1)问题4.求以非负曲面z f x,y为顶，xy平面上某区域D为底的曲顶柱体体积.要点：由题意准确识别出作为“顶”的函数z f x,y及作为“底”的平面区域D.则V f x,y dxdy .再利用问题3中方法求此二重积分.D配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P256 Ex35 1) 2)第五部分其它要点摘录1. 理清z f x,y 偏导函数连续、可微、偏导存在、连续的关系，理清 f x,y 的极值点、驻点的关系.2. 熟用 P147性质 6.3并练习 P186Ex21）2）4）.3. 熟记概率积分 e"dx 「. 02+a4.按定义判定无穷限积分 f x dx, f x dx, f x dx 的敛散性；a-能识别瑕积分，并按定义判定瑕积分bf x dx （三类：分别a 、b c a,b 为瑕点）的敛散性。

微积分2复习

微积分2复习性质1 若()()f x g x ≥，则()()b ba a f x dx g x dx ≥⎰⎰ （1）11sin()xdx x x dx ≥⎰⎰210x e dx ≥⎰⎰公式：设()()()b x a x y f t dt =⎰，则(())()(())()y f b x b x f a x a x '''=⋅-⋅ （2）设220sin()x y t dt =⎰，则4sin()2y x x '=⋅ （3）设22)y t dt =，则4sin()2sin()y x x x '=⋅-（4） 1011发散收敛p<1p p dx x ≥⎧=⎨⎩⎰（5） 11发散p ≤1收敛p>1p dx x +∞⎧=⎨⎩⎰（6） 1(1)收敛p>0发散p 0npn ∞⎧-=⎨≤⎩∑ （7） 22cos sin 1()(1)1233n nnn nn n n nnn∞∞∞∞∞-+∑∑∑∑∑ （8222(32)232()y y y y y y y x x x''''==+=+=+（9）求1,(1)1y y x y x'+==的特解性质 02()()()0()是偶函数是奇函数a a af x dxf x f x dx f x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰（10）141sin()-x x xdx +⎰ 14241cos 1-x x x dx x x+++⎰（11）求全微分22222(23,)1()x yyxz ex z f x y x y z z f x y y=+=+++==（12）100(,)xdx f x y dy ⎰⎰ 交换积分顺序为：210(,)x x dx f x y dy ⎰⎰ 交换积分顺序为： 2111(,)x dx f x y dy -⎰⎰ 交换积分顺序为：（13）221x y d σ+≤⎰⎰（14）设积分区域D ：,1y x x =±=，求下列二重积分。

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55
29
考题8（2005级 224学时）
(
4 5
,
3 5
,
35 12
),
M
2
(
4 5
,
3 5
,
85 12
).根据问题
本身知存在最短的距离，易知M1
(
4 5
,
3 5
,
35 12
)为所求。
考题5（2007级）
四、(9分)某公司可通过电台和报纸两种方式为销售
商品做广告，根据统计资料，销售收入R（万元）
与电台广告费（x 万元）和报纸广告费（y 万元）
x y x2 y2
uv u2 v2
1
2
确定了隐函数
u u( x, y)、v v( x, y),求 u , v 。 x x
15
(1)解
dz
1 f2
[2
xyf
dx
(
f
2 y2 f )dy]
(2)解对等式两端关于x求导得：
1 u v 0 x x
2
x
2u u x
2v
v x
应用Lagrange乘数法，
23
令L( x,
y, z,1,2 )
z 2 +1 (
x 3
y 4
z 5
1)
2(x 2
y2
1)
求L对各个变量的偏导数，并令它们都等于零，得
Lx
1
3
2 x2
0
Ly
1
4
2 y2
0
Lz
2z
1
5
0
x
y z 1 0
3 4 5
x2 y2 1 0

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