数学分析刘玉琏17-1剖析
由求高阶导数所想到的
’ ＋… ＋ｃ －１ ：１， １
阶、二 阶 、三 阶导数 ，进 而给 出 了其 １阶导 数公 正 地融 会贯 通 。 ７ ，
式：
（Ｌ） ： ｕ ＋ ｃ Ｉ ‘ ‘ ． Ｖ
中数学课 程 中 已讲 过相 关 理论 。不完 全 数学 归 纳 生来 说 ，并不 陌生 ，运 用起 来 也 并不 困难 。 因而 在我 所提 及 的上述 求高 阶导 数 的几 道例 题 和求 两 方法 ，即先运 用不完 全 数学 归 纳法 ，得 到 一般 结
＋１ （ ＋ （ ） １ １ ） 一
如 ［ ］中 ０ ． ３．计算 函数 ｆ （ ） ＝ １ ５例 ０ （ ＋ （ Ｒ） 的 ｎ阶导 数 ，就是 先 求 出其 一 １ ） ａ∈ 阶、二阶、三阶导数 ，进而归纳得到其 ｎ 阶导数
）
故 ，＝ ｌ ｋ＋１时 ，（ ）式也 成立 。 １
所 以对 Ｖ／ ７ ， ∈Ｎ，（ ） ＝ ／ 删 ． ｔ
样处理会更好。这样则可使此公式的推导清晰明 了 ，有利 于学生 的真 正理解 运用 。
＋… ＋Ｃ ＿ 移 １ ＋Ｃ删 ’ ：。 －’ ： 都成 立 。
这样处 理 以后 ，增强 了公 式 推 导 的逻 辑严 密 在 推 导莱布 尼兹公 式 时 ，书 中先 给 出 了其 一 性 ，有 利 于学 生对知 识 内容 的理 锵 ，从 而做 到 真 其 实不完 全 数学 归纳 法 和数 学 归纳 法 ，在 高
数学分析刘玉琏17-2
例如，z f (u, v, w), u u( x, y), v v( x, y), w w( x, y), z z u z v z w u , 则 x u x v x w x
z z u z v z w . y u y v y w y
例4(P121)
10
第十七章多元函数微分学§2复合函数微分法
特殊地，若 z = ƒ(x,y),y = φ(x)， 则 z = ƒ(x,φ(x)) 是x的一元函数, 其全导数为 z x y x
dz z dx z dy z z dy . dx x dx y dx x y dx dz x 例 设z f ( x , e )，求 . dx
f y ( x , y )，则各偏导数仍然是定义在D上的二元函数，即为 f ( x , y )的偏导函数 .
第十七章多元函数微分学§2复合函数微分法
如果偏导函数f x ( x, y )和f y ( x, y)的偏导数也存在，则称它们 是f ( x, y )的二阶偏导数. 有以下四种情形： z 2 z 2 f xx ( x, y ), f 关于x的二阶偏导数; x x x z 2 z y 2 f yy ( x, y), f 关于y的二阶偏导数; y y
设函数 z = f(u,v) 具有连续偏导数，则u,v不论是自变量还是
中间变量，总有全微分
dz z z du dv . u v
事实上，
(1)如果 u,v 是自变量，结论显然. (2)如果 u,v 是中间变量， u ( x , y )，v ( x , y ).
有全微分：
解 令y e x，则z f ( x, y )
数学分析教学大纲刘玉莲
包头师范学院“数学分析”课程教案大纲《数学分析》教案大纲课程编号：课程性质：基础必修课适用专业：数学与应用数学专业<本科）选用教材：《数学分析讲义》<第五版）刘玉琏等编著高等教育出版社2008年10月包头师范学院数学科学学院函数论教研室数学分析课程教案大纲课程编号：课程类型：基础必修课总学时：352 总学分：20适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学使用教材：刘玉琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》<第四版）,高等教育出版社,2002年10月.参考书：陈传璋等编著《数学分析》<第二版）,高等教育出版社,1983年7月.1987年获全国优秀教材一等奖.华东师大编《数学分析》 ,面向21世纪课程教材一、课程性质、目地和任务本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应用数学专业(信息与计算科学专业>地一门重要基础课.本课程一方面为后继课程提供所需地基础,同时还为培养学生地独立工作能力提供必要地训练.通过本课程地学习学会分析方法、培养学生地运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题地综合应用能力.学生学好这门课程地基本内容和方法,对今后地学习、研究和应用都具有关键性地作用.b5E2RGbCAP二、教案基本要求在教案中,应注意本课程地整体结构,各部分知识地内在联系,以及与初等数学和后继课程地联系.要求学生熟练掌握本课程地基本概念、基本理论、基本运算及方法.通过课堂教案及进行大量地习题训练,使得学生做到概念清晰、推理严谨、运算准确,能综合应用所学知识解决实际问题,并且了解分析学地基本概念及物理、几何意义,学会应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、几何等领域中地实际问题.p1EanqFDPw三、教案内容及要求依据《2001年包头师范学院数学与应用数学专业本科培养计划》,本课程教案在第1、2、3、4学期进行,分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》.DXDiTa9E3d 《数学分析Ⅰ》第一章函数§1.1.函数一、函数概念,二、函数地四则运算,三、函数地图象四、数列§1.2. 四类具有特殊性质地函数一、有界函数,二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数§1.3.复合函数与反函数一、复合函数二、反函数三、初等函数重点掌握：函数地概念,函数地表示,函数地复合运算和具有特殊性质地函数.极限第二章．§2.1. 数列极限n??)1(?一、极限思想,二、数列地极限,三、数列极限地概念??n??§2.2. 收敛数列一、收敛数列地性质二、收敛数列地四则运算三、数列地收敛判别法四、子数列§2.3. 函数地极限x??x?a f(xf(x))地极限时,函数时,函数地极限,一、当二、当§2.4. 函数极限地定理,一、函数极限地性质二、函数极限与数列极限地关系三、函数极限存在判别法§2.5. 无穷大与无穷小一、无穷小,二、无穷大,三、无穷小地比较重点掌握：数列极限地定义与性质,收敛判别地单调有界原理,函数极限地定义与性质,两个重要极限,无穷大与无穷小地定义与性质.RTCrpUDGiT第三章连续函数§3.1. 连续函数一、连续函数地概念,二、间断点及其分类§3.2. 连续函数地性质一、连续函数地运算及其性质二、闭区间连续函数地性质三、反函数地连续性四、初等函数地连续性重点掌握：函数连续地定义,闭区间连续函数地性质.《数学分析Ⅱ》第四章实数地连续性§4.1. 实数连续性定理一、闭区间套定理二、确界定理三、有限覆盖定理四、聚点定理五、致密性定理六、柯西收敛准则§4.2. 闭区间上连续函数性质地证明一、性质地证明二、一致连续性重点掌握：上、下确界地定义,实数连续性地基本定理及其证明,一致连续地概念,闭区间连续函数地性质地证明.5PCzVD7HxA第五章导数与微分§5.1. 导数,一、实例,二、导数概念§5.2. 求导法则与求导公式一、导数地四则运算二、反函数地求导法则三、复合函数地求导法则四、初等函数地导数§5.3. 隐函数与参数方程求导法则一、隐函数求导法则,二、参数方程求导法则§5.4. 微分一、微分地概念二、微分地运算法则和公式三、微分在近似计算上地应用§5.5. 高阶导数与高阶微分三、高阶微分二、莱布尼茨公式一、高阶导数．重点掌握：导数与微分地定义,运算及应用,高阶导数与高阶微分.第六章微分学地基本定理及其应用§6.1. 中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日定理三、柯西定理§6.2.洛必达法则0?型,二、型一、,三、其它待定型0?§6.3. 泰勒公式一、泰勒公式,二、常用地几个展开式§6.4. 导数在研究函数上地应用一、函数地单调性二、函数地极值与最值三、函数地凸凹性四、曲线地渐近线五、描绘函数图象重点掌握：微分中值定理,洛必达法则,泰勒公式,利用导数研究函数性质,作出函数图象.第七章不定积分§7.1. 不定积分一、原函数,二、不定积分§7.2. 分部积分法与换元积分法一、分部积分法,二、换元积分法§7.3. 有理函数地不定积分一、代数地预备知识,二、有理函数地不定积分§7.4. 简单无理函数与三角地函数地不定积分一、简单无理函数地不定积分,二、三角函数地不定积分重点掌握：不定积分地定义及性质,不定积分地计算.第八章定积分§8.1. 定积分地概念一、实例,二、定积分地概念§8.2. 可积准则一、小和与大和,二、可积准则,三、三类可积函数§8.3. 定积分地性质一、定积分地性质,二、定积分中值定理§8.4. 定积分地计算一、按照定义计算定积分二、积分上限函数三、定积分地基本公式四、定积分地分部积分法五、定积分地换元积分法jLBHrnAILg§8.5. 定积分地应用一、微元法二、平面区域地面积三、平面曲线地弧长四、应用截面面积求体积五、旋转体地侧面积六、变力作功xHAQX74J0X§8.6. 定积分地近似计算一、梯形法,二、抛物线法重点掌握：定积分地定义,存在条件及性质,定积分地计算及应用.《数学分析Ⅲ》第九章级数数值级数9.1. §．一、收敛与发散地概念二、收敛级数地性质三、同号级数四、变号级数五、绝对收敛级数地性质§9.2. 函数级数一、函数级数地收敛域二、一致收敛地概念三、一致收敛判别法四、函数列地一致收敛五、和函数地分析性质LDAYtRyKfE§9.3. 幂级数一、幂级数地收敛域二、幂级数和函数地分析性质三、泰勒级数四、基本初等函数地幂级数展开五、幂级数地应用Zzz6ZB2Ltk§9.4.傅里叶级数一、傅里叶级数二、两个引理三、收敛定理四、奇偶函数地傅里叶级数2l为周期地函数地傅里叶级数五、以重点掌握：收敛与发散地概念,收敛级数地性质,同号级数、变号级数收敛性判别法,函数项级数、一致收敛、一致收敛级数地性质,幂级数地概念,收敛半径,和函数地分析性质,函数地幂级数展开,傅里叶级数地概念收敛定理,函数展开成傅里叶级数.dvzfvkwMI1第十章多元函数微分学§10.1. 多元函数一、平面点集二、坐标平面地连续性三、多元函数地概念§10.2. 二元函数地极限与连续一、二元函数地极限二、二元函数地连续性§10.3. 多元函数微分法一、偏导数二、全微分三、可微地几何意义四、复合函数微分法五、方向导数§10.4. 二元函数地泰勒公式一、高阶偏导数二、二元函数地泰勒公式三、二元函数地极值重点掌握：多元函数地概念,二元函数地极限和连续概念与性质,偏导数、全微分,复合函数偏导数地链式法则,微分运算法则,极值地概念与计算.rqyn14ZNXI第十一章隐函数§11.1. 隐函数存在定理一、隐函数地概念, 二、一个方程确定地隐函数, 三、方程组确定地隐函数§11.2. 函数行列式一、函数行列式, 二、函数行列式地性质, 三、函数行列式地几何性质§11.3. 条件极值一、条件极值与拉格朗日乘数法, 二、例§11.4. 隐函数存在定理在几何方面地应用一、空间曲线地切线与法平面二、曲面地切平面与法线重点掌握：隐函数存在定理,函数行列式地性质,条件极值地概念与计算,曲线地切线与法平面和曲面地切平面与法线方程.EmxvxOtOco《数学分析Ⅳ》第十二章反常积分与含参变量地积分§12.1.无穷积分一、无穷积分收敛与发散地概念, 二、无穷积分与级数, 三、无穷积分地性质, 四、无穷积分地敛散性判别法SixE2yXPq5瑕积分12.2.§．一、瑕积分收敛与发散地概念, 二、瑕积分地敛散性判别法§12.3. 含参变量地积分??函数函数与, 三、一、含参变量地有限积分, 二、含参变量地无穷积分重点掌握：无穷积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,瑕积分收敛与发散地概念及敛散性判别法,含参变量地有限积分地概念与分析性质,含参变量地无穷积分地??函数,.函数与,概念,一致收敛地定义与判别法含参变量无穷积分地分析性质6ewMyirQFL第十三章重积分§13.1. 二重积分曲顶柱体地体积二、二重积分地概念三、二重积分地性质四、二重积分地计算一、五、二重积分地换元六、曲面地面积kavU42VRUs§13.2. 三重积分三重积分地概念二、三重积分地计算三、三重积分地换元四、简单应用重点掌握：重积分地概念与性质,二重积分及二重积分、三重积分地计算及柱面坐标与球面坐标. 第十四章曲线积分与曲面积分§14.1. 曲线积分一、第一型曲线积分二、第二型曲线积分三、第一型曲线积分与第二型曲线积分地关系四、格林公式,五、曲线积分与路线无关地条件y6v3ALoS89§14.2. 曲面积分一、第一型曲面积分二、第二型曲面积分三、奥高公式四、斯托克斯公式,§14.3. 场论初步一、梯度二、散度三、旋度四、微分算子重点掌握：第一型曲线积分与曲面积分地定义及计算,第二型曲线积分与曲面积分地定义及计算,格林公式,曲线积分与路线无关地条件,奥高公式,斯托克斯公式.M2ub6vSTnP四、教案重点与难点??定义极限地.-《数学分析Ⅰ》地重点内容有：极限论、函数地连续性,《数学分析Ⅱ》地重点内容有：实数地连续性、微分学、微分学地基本定理、积分学.难点是：实数连续性定理及其证明,闭区间上连续函数性质地证明,一致连续性.《数学分析Ⅲ》地重点内容有：级数论和多元函数微分学.难点是：函数级数一致收敛地概念,函数地幂级数展开,傅里叶级数收敛性判别法,隐函数存在定理,条件极值地计算0YujCfmUCw《数学分析Ⅳ》地重点内容有：广义积分与含参变量地积分,重积分、曲线积分与曲面积分.难点是：含参广义积分地一致收敛概念,各类积分之间地关系.eUts8ZQVRd五、学时分配《数学分析Ⅰ》总学时 64 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时6 1 <函数含习题课）36 2 含习题课）极限<22含习题课）<连续函数3《数学分析Ⅱ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容学时30 实数地连续性<含习题课）418 导数与微分<含习题课）530 <6 含习题课）微分学地基本定理及其应用14 7 含习题课）不定积分<168定积分<含习题课）《数学分析Ⅲ》总学时 108 学时,其中讲授学时,习题课学时.内容章节60 9 级数<含习题课）30 10 <含习题课）多元函数微分学1811 隐函数<含习题课）《数学分析Ⅳ》总学时72 学时,其中讲授学时,习题课学时.章节内容30 含习题课）12 反常积分与含参变量地积分<18 13 重积分<含习题课）2414 含习题课）曲线积分与曲面积分<七、考核方式本课程考核采取与平时考核与期末闭卷考试相结合地方式.平时考核成绩占15%,期末考试卷面成绩占85%.总分共100分.sQsAEJkW5T。
-数学分析
四、教学评价
学生
同行
教学督导
获奖情况
任课老师责任 教学同行认为 主讲教师治学 心强，备课认 该课程的教学 严谨、功底扎 真，思路清晰， 内容覆盖面广， 实、经验丰富、 逻辑性强，能 结构清晰，逻 年富力强、充 吸引学生的注 辑性强，理论 满活力，师资 意力。注重启 与实际的结合， 团队的年龄、 发式教学，既 提高学生解决 学历和知识结 教书又育人。 问题的能力。 构合理.
作业
二、教学内容设计
5.教学手段与方法
所谓第二课堂，是指除了传统的班级 授课形式以外，积极组织学生以兴趣 小组的形式进行专题讨论，积极鼓励 学生自己走上讲台，一方面提高了学 生自主学习的积极性，同时也给学生 提供了一个锻炼自己的机会，从而为 以后的实习奠定基础。
二、教学内容设计
6.考评体系
采用“多元考核方式”，将过程性评价与终结性评 价有机结合.
极限理论中的相关证明， 闭区间连续函数性质及其 证明，定积分的应用、无 穷级数理论中的相关证明； 含参变量的广义积分等。
特点：物理知识背景广泛， 理论性强，思维方法不易 掌握和应用，证明、推理 多且难度大，运算复杂。 容易导致学生学习厌倦， 丧失学习热情和信心，降 低教学效果。
二、教学内容设计
5.教学手段与方法
第二十章 曲线积分（12）
第六章 微分中值定理及其应用（20） 第二十一章 重积分（18）
*第七章 实数的完备性
第二十二章 曲面积分（12）
第八章 不定积分（12）
*第二十三章 形上微积分学初阶
第九章 定积分（12）
第十章 定积分的应用（10）
第十一章 反常积分（10）
其中带*为选学内容。
一道三角函数有理分式不定积分习题的解法与探讨
ｉ ｓ ｄｅ ． １ ｍｃｔ ｎｄｓｕｓｄａ ｄｔｅｉｔ ａ ｆｒ ｌ ｌ ｖｎ Ｆｎｌ ， ｍｅｅａ ｌ ｒ ｕｔ ｔｄ ｓ ｔ ｉｄ ｃ鹊８ ａ ｏ ｉ ｓｅ ｎ ｎｅ ｌ ｏ ａ ｏｅｇ ｅ ． ｉａ ｙ ｓ ｘｍｐｅ ８ｅｉ ｓ ａ ・ ｕ ｉ ｃ ｈ ｒ ｇ ｍｕ ｓ －ｉ ｌ ｏ ｓ ｌ ｒｅ
・
９ ６・
安庆师范学院学报（ 自然科学版 ）
２１ ０ ２年
令 ＝ｎ，ｃ ＝ ，＝ ｄ ｔｔ 则。 １ ａ ＿ 詈 ， 故
． １ ， ＝ ｆ
Ａ ＋
１ １＿ｔ 。 ２
． 一
２
（木）
ｌ －ｔ ４ 。
情形 １ 当 Ａ —Ｂ ＝０Ａ ， ＋Ｂ ≠ ０ 即 Ａ ：Ｂ ≠ ０时 ， Ｉ 式 转化 为 ， （；） ：
． 『 ２ｒ／ ｃ志 ， 寿 ： ＿ 一ｔ ｃＡ ＋－ ａ 一 Ｂｎ＋ （ ａ 曰 Ｂ
注 当 Ａ ＋Ｂ ＜０Ａ —Ｂ ＜０时 ， ，
ａｃ ． ｃ㈩ ｒ ｔ ｃ ｔ ａ ｎ ａ ｎ
（） ４
ｉ ｉ ）当（ ＋Ｂ） Ａ —Ｂ） ＜０时 ， （ 不妨设 Ａ ＋Ｂ ＞０Ａ —Ｂ ＜０ （￥）式 转化 为 ， ，
２１ ０２年 ９月
安庆 师 范学 院学报 （自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｌ ｆ ｎ ｉ ｅ ｃ ｅｓＣ ｌｇ （ ａｕ ｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｎ ｏ ｍａ ｏ ｑ ｇＴ ａ ｈ ｒ ｏ ｅ ｅ Ｎ ｔｒ ｉ ｃ ｄ ｉ ） Ａ ｎ ｌ ａＳ ｅ ｔ ｏ
Ｓｅ ｔ２ ２ ｐ ．０１
，Ｊ ＝ ．
２ 问题 探 讨
＝ １ ・ Ｊ ＝＋一畸 ＋ 南 － ｔ ｃ ｃ
”
１＋
、
探 一 对 述 题考 一 形 ：： 讨 针 上 问 ，虑 般 如． ｆ＿ ，
浅论《数学分析》中的若干矛盾
注
释：
① 黑格 尔＿ 哲学史讲演稿（ ２ ） ． 第 ［ 商务印书馆。９６ ｇ ＭＩ １９ ． ② 刘玉琏 ， 沛仁． 学分析讲义（ 傅 数 下册） － 京： 【 ｜ 高等教 育 出 Ｍ１匕
版 社 ．９ ２８ ． １ ９ ．５
参 考 文献 ：
［］ １ 谢恩泽， 徐本顺． 数学思想方法【 ． 南： Ｍ】 济 山东教育 出版社，
例 ２ 求 数列 ｘ Ｖ 中的最大项
分析与解 答
上
将离散 量 ｎ 转换 为连续变量 ｘ ０ ＋ ） ∈（ ，
分析 中的矛盾 现象 ，能否深 入研 究各个矛盾 中的对立统一
关系 ， 就成 为领 会和掌握数学 分析的关键 ． 数学分析 中的矛
令 ｒ ）ｘ ｘＯ则 （＝ ，＞ ． ｘ
１ ８９． ９
［］ 玉琏 ， ２刘 傅沛仁． 数学分析讲 义（ 下册） ． 京： 【 北 高等教 育 Ｍ】
出版 社 ．９ ２ １９ ．
是有 函数可积未必可导 ， 且有许多特殊 的积 分在理论 和 而
应用 中占有十分重要 的地位 ，从而成为微积分学 进一步研 究的一个重要内容． 再则 ， 当一种运算的结果是唯一的时 ， 其运算 可能无 法
充分 利用常量与变量 的辨证思想 ，常常能使某些 数学
问题得到很好 的解决．
另一方 面， 尽管多元 函数与一元 函数有许 多共 同点 ， 但 从“ 一元 ” 多元 ” 不是 简单的重复 和推 广 ， 到“ 决 二者之 间也 存在着差异．这种差异是 由多元 函数的特征性而产生的 ， 其 中最重要 的原 因产生 于平 面点集的无序性 ，因而导致 了多 元微积分与一元 微积分具有不 同的特征． 例如二元 函数 中不 能引入单调性 的概念 ，也 无法引入 与一元函数的导数 “ 等
函数极限计算常见错误分析
（转１１２页）
万方数据
东风港油田车１区块剩余油分布规律及开发调整对策
（西南石油大学
张燕
胜利油田东胜集团股份公司）
摘要东风港油田车１区块为中渗断块油藏，本文从构造特征、储量分布、原油物性等油藏地质特征入手，采用数值模拟等方法 研究了剩余油分布规律。研究表明：车１块的剩余油分布在未动用区块、无井控制区块以及构造高部位。根据剩余油分布规律提出了 开发调整对策。
例４计算姆ａ一，。
误解：ｌｉｍ０一二）ｈ－ＩｉＩＩｌ【‘ｌ一三）。ｒｌ。２
辨析：没注意第二个重要极限公式中括号内是自带加号。 正确解法：Ｉ蛔哪一与“－Ｉｉｍ【（１＋—ｂｕ】＿ｚ－·４
注：利用第二个重要极限时。常用到如下几种形式，记住他们对 提高计算速度很有帮助：
！· ｍ‘一 －＋：ｊ）。一ｆ．，— 坚（·一Ｊ；）‘－·＿．— ｔ蜉ｔ＋ｎ专。··：·一 竖。口 一寺‘··｛
辨析：Ｌ，Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则仅是一个充分条件，其否命题未必是真，
即ｌｉｍ锱祠链推不出Ｉｉｍ舞羽纯。
正确解法：胁三±璺坚－Ｉｉｍ（１＋！璺与－Ｉ
参考文献 【ｔ】华东师范大学数学系．数学分析上【Ｍ】．高等教育出版社，２０∞ 阁同济大学教学系．高等数学上【Ｍ】．高等教育出版社，２００８ １３】 四川大学教学系．高等数学第一册【Ｍ】．高等教育出版社。２００２ 【４】刘玉琏．扬奎元．数学分析讲义学习辅导书上罱【Ｍ】．高等教育出殷 社。２０Ｄ４ 作者简介韩仲明（１９６３一），捌就授。
辨析：和的极限法则不适用于无穷多个量的和，无穷多个无穷小 之和未必是无穷小ｏ
正确解法：用夹挤定理：因为—；Ｉ＿ｔ厶南＋．．．＋１／；；南ｔ—了１一
而磐惦学历－ｔ，所以鲋鬲＋．．·周＝－
２利用２个Ｉ要极限计算函数极限的错误分析
极限思想在数学中的地位与作用及求极限的方法
高等数学解题方法探究极限――极限思想在高等数学中的地位和应用引言：数学研究的对象可以是特殊的或一般的，可以是具体的或抽象的，可以是静止的或运动的，可以是有限的或无限的，它们之间都是矛盾的对立统一.正是由于对象之间的对立统一，为我们解决这些对立统一事物提供了研究的方法. 有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可循，并积累了一定的经验.而对于无限个对象的研究，却往往不知如何下手。
于是将对无限的研究就转化成对有限的研究？就成了解决无限问题的毕经之路•反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决. 这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想？极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论（包括级数）为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这个结果。
正文：一、极限理论在数学分析中的地位1. 建立概念的极限思想极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。
可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。
在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思1想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。
如：（1）函数在点连续的定义，是当自变量的增量时，函数值的增量趋于零的极限。
（2）函数在点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量之比，当时的极限。
（3）函数在上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。
2. 解决问题的极限思想极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。
1、数学分析讲义(上、下)刘玉琏编高教出版社
1、数学分析讲义（上、下）刘玉琏编高教出版社1、数学分析讲义(上、下)刘玉琏编高教出版社2、高等数学(上、下)同济大学应用数学系编高教出版社3、工科数学分析(上、下) 哈尔滨工业大学数学系编科学出版社4、数学分析中典型问题与方法，裴礼文编，高等教育出版社5、数学分析习题课讲义(上、下) 刘隆复编吉林大学出版社6、数学分析—内容、方法与技巧(上、下) 孙清华主编华中科技大学出版社局7、高等数学例题与习题集石建城编西安交通大学出版社8、高等数学典型题题典刘坤林编东北大学出版社9、微积分典型题详解陈跃机械工业出版社10、高等数学典型题精解陈兰祥编学苑出版社11、数学复习全书(理工类)北大，清华，中国人大编，国家行政学院出版社12、数学复习全书(经济类)北大，清华，中国人大编，国家行政学院出版社 13、题型集粹与练习题集(理工类)陈文灯编世界图书出版社 14、高等数学习题集(提高篇)赵达夫编机械工业出版社 15、微积分习题集(基础篇)严守权编机械工业出版社16、微积分复习指导与典型例题分析刘西坦编机械工业出版社当前位置:数学分析>>参考书目一、选用教材《数学分析》，复旦大学数学系，陈传璋等编著，高等教育出版社( 二、参考书目1、数学分析，复旦大学数学系，陈纪修等编著，高等教育出版社(2、数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社。
3、数学分析中的问题和反例，汪林，云南科学出版社。
4、数学分析讲义练习题解，刘玉琏，刘伟等编著，高等教育出版社。
5、数学分析问题研究与评注，汪林等编著，科学出版社。
6、W. Rmdin， Principle of Mathematical Analysis (Second edition)，Mc Graw-Hill ， New York， 1964。
7、华东师范大学数学系编，《数学分析》，高等教育出版社，1991。
8、《数学分析》，吉林大学数学系编，人民教育出版社(9、《数学分析》，周民强(编)，上海科学出版社(10、《数学分析》，格?马?菲赫金格尔茨著吴宗仁、陆秀丽(译)，人民教育出版社( 此外，还有北京大学，清华大学、中山大学等院校编写的《数学分析》教材可供参考(课程特色1、拥有一支科研成绩突出、教学水平高的师资队伍。
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第十二单元
−∞
−∞
0
+∞
=2
e−axdx
0
= − 2e−ax +∞ = 2 .
a
0
a
(6)
+∞
e−ax sin bxdx . (a > 0) .
0
1
e−ax
sin bxdx
=
e−ax a2 + b2(−a sin bx
−
b cos bx)
+
C(
§7.2 6),
+∞ 0
e−ax
sin bxdx
=
e−ax − a2 + b2(a sin bx
.
f (x) f (xn) ,
|f (xn)| > ε0, .
f (xn) > 0,
f (x) > 0,
(1)
,
f (x) > ε0. 2
xn+δ f (x)dx > ε0 xn+δ dx = ε0δ(
xn
2 xn
2
|f (x) − f (xn)| = |f (x)| + );
f (xn) < 0,
=
1
d = 1, λ = n − m > 1,
; λ = n − m 1,
.
(6)
+∞ arg tan x
dx
0
x
arg tan x
1
.
lim
x→0+
x
=
lim
x→0+
1
+
x2
=
1.
arg tan x
,
0
《数学分析(中)》课程标准
《数学分析（中）》课程标准1.课程说明《数学分析(中)》课程标准课程编码〔36733 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022年11月26日〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：《数学分析(中)》是数学教育专业三年制专科生最重要的专业基础课之一，是数学教育专业的专业必修课，也是数学教育专业的专业核心课程。
（2）课程任务：本课程针对中小学数学教师开设，为深入理解中小学数学打下必要的基础，为从事中小学数学教师职业打下扎实的知识基础。
通过本课程的学习，能够使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数学基础。
（3）课程衔接：在课程设置上，本课程前置课程是《数学分析（上）》，后续课程有数学分析（下）。
2.学习目标课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析中一元函数微积分学及级数的基本概念、基本理论和基本方法；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微分和积分这一工具解决实际应用问题的能力。
通过该课程的学习，使学生能够理解数学分析的概念、性质；理解并掌握一元函数的微积分及级数的概念和运算法则，并熟练运用法则进行相应计算，能够判断级数的敛散性。
3.课程设计本课程以课堂为载体，根据中小学数学教师工作任务要求，确定学习目标及学习任务内容；本课程采取讲解教学模式，以学生为主体、以闭卷笔试为导向组织教学考核。
表3-1教学内容与学时分配表表2课程总体设计4.教学设计表3学习情境设计5.课程考核（1）考核方式：考试成绩由平时考核和期末考试组成。
平时考核：听课出勤、平时作业、课堂练习、小测验、课堂提问题等，占30%；期末考试：卷面成绩占70%，试卷可包括填空题、选择题、判断题、计算题、证明题及证明题。
（2）考核标准：学生能够理解并掌握数学.符合中小学数学教师的知识理论基础要求和职业资格要求。
6.课程资源（1）硬件要求：多媒体课件（2）师资队伍：数学教育专业团队师资力量雄厚，现有教授2人，副教授9人，讲师5人，其中具有硕士以上学历4人。
数学分析讲义 第四版 (刘玉琏 傅沛仁 著) 高等教育出版社 课后答案 第四单元
[a, b].
, n(
)
:
{(yi − δyi, y + δyi)|yi ∈ [a, b], i = 1, 2, · · · , n}
[a, b].∀x ∈ (yi − δyi, y + δyi) ∩ [a, b],
f (x) = f (yi), i = 1, 2, · · · , n. 2
m = min{f (yi)|i = 1, 2, · · · , n} > 0.
1 − ε < sin x0(
sup{sin x|x ∈ (0, 2π]} = 1.
arcsin(1 − ε) < x0).
,
inf{sin x|x ∈ (0, 2π]} = −1.
5. : A
,sup A = a( inf A = b).
sup A = a,
1 ∀x ∈ A x ≤ a; 2 ∀ε > 0∃x0 ∈ A, a − ε < x0. , 1 ∀(−x) ∈ −A, −x0 < −a &#, c − ε < f (x0) ≤ c.
∃δ = b − x0 > 0, ∀x : b − δ < x < b ∀x : x0 < x < b, c−ε < f (x0) ≤ f (x) ≤ c
lim f (x) = c.
x→b−
2.4 14
17
.
,
c
,
9.1( )(244) 9.1( )(266) 9.2( )(290) 9.4(309)
9.1( )(252) 9.2( )(273) 9.3(298)
1
10.1(323) 10.3(334)
11.1(366) 11.3(378)
数学分析刘玉琏161
17
第十六章多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数
定理16.2(闭域套定理, P 89) 设{ Dn }是R2中的闭域列，它满足： (1) Dn Dn1 , n 1, 2,
n
;
(2) d n d ( Dn ), lim d n 0, 则存在唯一的点P0 Dn , n 1, 2,
O x+y=0
x
x
D1 的界点是D1的聚点，但它不属于D1； D2 的界点是D2的聚 点，但它属于D2.
11
第十六章多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数
(ii)孤立点( P 87)：若点A E，但不是E的聚点，即存在某一正 数，使得U ( A; ) E ，则称点A为E的孤立点.
y E O
若E不包含边界，则E为开集.
若E包含边界，则E不是开集.
x
13
第十六章多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数
(ii)闭集( P 87)：若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集. 若点集E没有聚点，这时也称E为闭集.
例如 , 平面点集 D2 = {(x, y)| x2 + y2 1 }是闭集.
18
n，
三 二元函数
第十六章多元函数的极限与连续§1 平面点集与多元函数
定义2( P90) 设平面点集D R2，若按照某对应法则f ，D中每
一点P( x, y)都有惟一确定的实数z与之对应，则称f 为定义在D上的
二元函数，记作 f : D R, P z. z f ( P ).
也记 z f ( x, y)
n
P0等价于 lim xn x0 lim yn y0；
n n n
同样地，当以 n ( Pn , P0 )表示点Pn与P0之间距离时， lim Pn P0 等价于 lim n 0.
数学分析刘玉琏17-4
第十七章多元函数微分学§4泰勒公式与极值问题
设二元函数f 具有二阶连续偏导数，并记
f xx ( P0 ) H f ( P0 ) f yx ( P0 ) f xy ( P0 ) f xx f yy ( P0 ) f yx
f xy f yy P0
例 建筑容积一定的矩形封闭水池，问怎样设计才能使建筑材
料最省?
解 设此水池的长、宽、高分别为x、y、z，设容积为V，则 V z , xy V V 从而其表面积为 S=2(xy+yz+xz) 2 xy , (x>0、y>0). x y V V S x 2 y 2 0, y 2， x x 从而 x y 3 V， 令 得 V V x 2， S y 2 x y 2 0. y
解 分别对x和y求偏导数并令其等于零，得方程组
f x 2 x 6 0, f y 10 y 10 0.
解方程组得 f 的稳定点 (3, 1)，再求 f 的二阶偏导数在 (3,−1) 的值：
f xx (3, 1) 2,
因为
f xy (3, 1) 0, f yy (3, 1) 10.
nnfxhykfxyhkfxyxyhkfxyhkfxyxynxyhkfxhyknxy?????????????????????????????????20022222000000222hkfxyxyfxyfxyfxyhhkkxxyy??????????????????????如
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2 2 xy (4 x y ) x y 0, f x 2 2 f x (4 x y ) x y 0. y
（整理）数学分析教学大纲（刘玉莲）
（整理）数学分析教学⼤纲（刘⽟莲）包头师范学院“数学分析”课程教学⼤纲《数学分析》教学⼤纲课程编号：课程性质：基础必修课适⽤专业：数学与应⽤数学专业（本科）选⽤教材：《数学分析讲义》（第五版）刘⽟琏等编著⾼等教育出版社2008年10⽉包头师范学院数学科学学院函数论教研室数学分析课程教学⼤纲课程编号：课程类型：基础必修课总学时：352 总学分：20适⽤专业：数学与应⽤数学先修课程：⾼中数学使⽤教材：刘⽟琏、傅沛仁编著《数学分析讲义》（第四版），⾼等教育出版社，2002年10⽉。
参考书：陈传璋等编著《数学分析》（第⼆版），⾼等教育出版社，1983年7⽉。
1987年获全国优秀教材⼀等奖。
华东师⼤编《数学分析》，⾯向21世纪课程教材⼀、课程性质、⽬的和任务本课程是包头师范学院数学科学学院数学与应⽤数学专业(信息与计算科学专业)的⼀门重要基础课。
本课程⼀⽅⾯为后继课程提供所需的基础，同时还为培养学⽣的独⽴⼯作能⼒提供必要的训练。
通过本课程的学习学会分析⽅法、培养学⽣的运算能⼒、抽象思维能⼒以及处理实际问题的综合应⽤能⼒。
学⽣学好这门课程的基本内容和⽅法，对今后的学习、研究和应⽤都具有关键性的作⽤。
⼆、教学基本要求在教学中，应注意本课程的整体结构，各部分知识的内在联系，以及与初等数学和后继课程的联系。
要求学⽣熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及⽅法。
通过课堂教学及进⾏⼤量的习题训练，使得学⽣做到概念清晰、推理严谨、运算准确，能综合应⽤所学知识解决实际问题，并且了解分析学的基本概念及物理、⼏何意义，学会应⽤这些基本理论和⽅法去处理和解决物理、⼏何等领域中的实际问题。
三、教学内容及要求依据《2001年包头师范学院数学与应⽤数学专业本科培养计划》，本课程教学在第1、2、3、4学期进⾏，分别称为《数学分析Ⅰ》、《数学分析Ⅱ》、《数学分析Ⅲ》和《数学分析Ⅳ》。
《数学分析Ⅰ》第⼀章函数§1.1.函数⼀、函数概念，⼆、函数的四则运算，三、函数的图象四、数列§1.2. 四类具有特殊性质的函数⼀、有界函数，⼆、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数§1.3.复合函数与反函数⼀、复合函数⼆、反函数三、初等函数重点掌握：函数的概念，函数的表⽰，函数的复合运算和具有特殊性质的函数。
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0 ((x, y) (0,0)).
因此 x y o(). 从而函数 f在点(x0,y0)处可微，且
df y0 x x0 y.
6
二 偏导数
偏增量P101 第十七章多元函数微分学§1可微性
定义2(P108) 设函数z f ( x, y)，( x, y) D，且f ( x, y0 )在x0 的某一邻域内有定义，则当极限
9
第十七章多元函数微分学§1可微性
例 求函数z x2 3xy y2在点(1, 2)处的偏导数.
解 z 2x 3 y ; 把 y 看成常量 x
z y
3x
2
y
.
把 x 看成常量
z 21 32 8, z 31 22 7. 例2(P109)
x (1,2)
y (1,2)
例 求函数z x2 sin 2 y的偏导数.
lim x z( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) (7)
x0
x
x0
x
存在时，称这个极限为函数f 在点( x0 , y0 )关于x的偏导数，记为
fx ( x0 ,
y0 )、zx ( x0 ,
y0 )或
f x
( x0 , y0 )
,即
fx ( x0 ,
y x ln x y y
ln x
xy xy
2z.
原结论成立．
例3( P110)
11
第十七章多元函数微分学§1可微性
偏导数的概念可以推广到二元以上函数.
例如，u f (x, y, z), 在 ( x, y, z) 处，
f x ( x,
y, z)
lim
x0
f (x x,
y, z)
x
f (x,
y, z) ,
f y ( x,
y, z)
lim
y0
f (x,
y y, z) y
f (x,
y, z) ,
f (x, y, z z) f (x, y, z)
fz
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
12
(3)
(ii)有时(1)可以写成如下形式
z Ax B y x y
(4)
其中 lim lim 0.
( x, y)(0,0)
( x, y)(0,0)
因为 x y 0 ((x, y) (0,0)).
(iii)(补充) 二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微则必在点(x0,y0)处连 续.
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1
经济管理数学分析
第十七章 多元函数微分学
§1 可微性 §2 复合函数微分法 §3 方向导数与梯度 §4 泰勒公式与极值问题
2
第十七章 多元函数微分学
§1 可微性
3
第十七章多元函数微分学§1可微性
一 可微性与全微分
定义1(P107) 设函数 z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域U(P0)内有
y0
y
( x0 , y0 )
7
第十七章多元函数微分学§1可微性
注(P108) (i)这里符号 ， 专用于偏导数算符，与一元函 x y
数 d 相仿，但又有差别； dx (ii)在上定义中，f ( x, y)在点( x0 , y0 )存在关于x(或y)的偏导数，
f ( x, y)至少在{( x, y) | y y0 ,| x x0 | }(或{( x, y) | x x0 ,| y y0 | }上有定义.
线性函数A△x+ B△y为函数 f 在点P0的全微分，记为dz，即
dz|P0=df (x0,y0)= A△x+ B△y .
(2)
4
第十七章多元函数微分学§1可微性
注 (i)由(1)、(2)式可见dz是△z的线性主部，特别当|△x|、|△y|
充分小时，全微分dz可作为全增量△z的近似值，即
f ( x, y) f ( x0 , y0 ) A( x x0 ) B( y y0 ).
y0 )=
zx ( x0 ,
y0 )
f x
( x0 , y0 )
lim
x0
f ( x0
x, y0 ) x
f ( x0 , y0 ) .
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处关于y的偏导数为
f f y ( x0 , y0 ) zy ( x0 , y0 ) y
= lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) .
解
z x
2xsin2 y;
把 y 看成常量
z y
2
x2
cos2
y
.
把
x
看成常量
10
例3( P110)
第十七章多元函数微分学§1可微性
设z x y ( x 0, x 1),求证 x z 1 z 2z. y x ln x y
证
z y x y1 , x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
x，z
x或
f x
f y，zy或
f y
.
8
第十七章多元函数微分学§1可微性
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法 问题.
求 f 时，只要把 x 之外的其他自变量暂时看成常量，对 x
x 求导数即可; 求 f 时，只要把 y 之外的其他自变量暂时看成常量，对 y
y 求导数即可. 其它情况类似.
(iii)若函数z f ( x, y)在区域D上的每一点( x, y)都存在对x(或
y)的偏导数，则得到函数z f ( x, y)在区域D上对x(或y)的偏导函
数(简称偏导数). 记作：
f
x
(
x,
y)，z
x
(
x,
y)或
f
( x, x
y)
f y ( x,
y)，z y或
f
( x, y
y)
,
也可简单记为f
5
第十七章多元函数微分学§1可微性
例1(P107) 考察函数 f(x,y) = xy 在点(x0,y0)处的可微性. 解 在点(x0,y0)处函数 f 的全增量为
f ( x0 ,x x0 y x y.
由于
x y
x y
定义，对于U(P0)中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y)，若函数f(x,y)在点
P0处的全增量△z可表为：
△z = f (x0+△x,y0+△y)－f(x0,y0)
= A△x+ B△y+o(ρ)
(1)
其中A,B仅与点P0有关的常数， (x)2 ( y)2，o(ρ)是ρ的高
阶无穷小，则称函数 f 在点P0可微. 并称(1)式中关于△x, △y的