曲线的参数方程PPT优选课件
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参数方程PPT优秀课件1
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
y
cos 2
（ 为参数）
的普通方程是 y 1 2x2x[1,1] .
y c o s2 1 2 s in 2 1 2 x 2
典型例题—参数方程与普通方程的互化
例2.
（1）设 y t 1, t为参数,曲线y2xy10
的参数方程是.源自t2 3t点椭圆
x2 a2
y2 b2
1(ab0)的参数方程：
x a cos ,
y
b
sin
(为参数).
知
识
二、参数方程与普通方程的互化
要
点
1.将所给的参数方程化为普通方程的过程，就是
消去参数的过程.但不要忘了参数的范围！
2.引入适当的参数，将普通方程化为参数方程. 普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的 参数不同，所得的参数方程也不一样.
4 1 + s i n 2
,
1 6 < |P A ||P B |< 4 . 7
典型例题—曲线上的点到定点或定直线的距离
例4设直线l:x2y20，交椭圆C: x2 y2 1
94
于 A , B 两点，在椭圆C 上找一点 P ，使 ABP
面积最大 . 分析：因为三角形一边AB为定值，故只需
高二数学选修4-4
y
cos 2
（ 为参数）
的普通方程是 y 1 2x2x[1,1] .
y c o s2 1 2 s in 2 1 2 x 2
典型例题—参数方程与普通方程的互化
例2.
（1）设 y t 1, t为参数,曲线y2xy10
的参数方程是.源自t2 3t点椭圆
x2 a2
y2 b2
1(ab0)的参数方程：
x a cos ,
y
b
sin
(为参数).
知
识
二、参数方程与普通方程的互化
要
点
1.将所给的参数方程化为普通方程的过程，就是
消去参数的过程.但不要忘了参数的范围！
2.引入适当的参数，将普通方程化为参数方程. 普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的 参数不同，所得的参数方程也不一样.
4 1 + s i n 2
,
1 6 < |P A ||P B |< 4 . 7
典型例题—曲线上的点到定点或定直线的距离
例4设直线l:x2y20，交椭圆C: x2 y2 1
94
于 A , B 两点，在椭圆C 上找一点 P ，使 ABP
面积最大 . 分析：因为三角形一边AB为定值，故只需
高二数学选修4-4
曲线的参数方程 课件
(为参数).
= 2sin
故点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆.
反思利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型,是圆的
参数方程的主要应用之一.
参数方程与普通方程的互化
= 1 + 4cos,
【例 3】 指出参数方程 = -2 + 4sin (为参数)表示什么曲线.
解:(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16,
(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持
一致.
= 1 + 2cos,
【做一做 3-1】 将参数方程
(为参数)
= 2sin
化为普通方程为
.
-1 = 2cos,
解析:由
= 2sin,
两式平方相加,得(x-1)2+y2=4.
答案:(x-1)2+y2=4
【做一做3-2】 已知圆的方程为x2+y2-6y=0,将它化为参数方程.
解:由x2+y2-6y=0,
得x2+(y-3)2=9.
令x=3cos θ,y-3=3sin θ,
= 3cos,
所以圆的参数方程为
(为参数).
= 3 + 3sin
1.曲线参数方程的特点
剖析曲线的普通方程直接反映了一条曲线上的点的横、纵坐标
之间的联系,而参数方程是通过参数间接反映坐标变量x,y间的联系.
= (),
通方程,求出另一个变数与参数的关系 y=g(t),那么
= ()
就是所求的曲线的参数方程.
(3)消参的常用方法
①代入法.先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表
= 2sin
故点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆.
反思利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型,是圆的
参数方程的主要应用之一.
参数方程与普通方程的互化
= 1 + 4cos,
【例 3】 指出参数方程 = -2 + 4sin (为参数)表示什么曲线.
解:(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16,
(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持
一致.
= 1 + 2cos,
【做一做 3-1】 将参数方程
(为参数)
= 2sin
化为普通方程为
.
-1 = 2cos,
解析:由
= 2sin,
两式平方相加,得(x-1)2+y2=4.
答案:(x-1)2+y2=4
【做一做3-2】 已知圆的方程为x2+y2-6y=0,将它化为参数方程.
解:由x2+y2-6y=0,
得x2+(y-3)2=9.
令x=3cos θ,y-3=3sin θ,
= 3cos,
所以圆的参数方程为
(为参数).
= 3 + 3sin
1.曲线参数方程的特点
剖析曲线的普通方程直接反映了一条曲线上的点的横、纵坐标
之间的联系,而参数方程是通过参数间接反映坐标变量x,y间的联系.
= (),
通方程,求出另一个变数与参数的关系 y=g(t),那么
= ()
就是所求的曲线的参数方程.
(3)消参的常用方法
①代入法.先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表
《2.1.2 曲线的参数方程》课件1-优质公开课-人教B版选修4-4精品
2
(3) 2bt y＝t ＋1
2
a 1－ t2 x＝ 2 t ＋1
(t 为参数 ,a>0,b>0);
(4) 2t y＝ 1＋ t
2 x＝ 1＋ t2
2
(t 为参数 ).
2t－ 1 x＋1 【解】 (1)法一:由 x＝ 解得 t＝ (x≠2). t＋ 1 2－x 3t 代入 y＝ 化简得 : t＋ 1 x－ y＋ 1＝ 0(x≠ 2). 3 x＝2－ t＋ 1 法二:原参数方程即 , 3 y＝ 3－ t＋ 1
2π).
(1)x2＋ y2＝(－1＋ 2cos θ)2＋ ( 3＋ 2sin θ)2 π ＝ 4( 3sin θ－ cos θ)＋ 8＝ 8sin(θ－ )＋ 8, 6 π π 2π ∴当 θ－ ＝ ,即 θ＝ 时 ,(x2＋ y2)max＝ 16. 6 2 3 (2)x＋ y＝ 2(sin θ＋ cos θ)＋ 3－ 1 π ＝ 2 2sin(θ＋ )＋ 3－1, 4 π 3π 5π ∴当 θ＋ ＝ ,即 θ＝ 时 , 4 2 4 (x＋ y)min＝ 3－ 2 2－ 1.
参数方程去解决一些简单的问题.
新知初探思维启动
1.参数方程的概念 一般地 ,在平面直角坐标系中 ,如果曲线上任意一点的坐标
x＝ ft 变数t x,y 都是某个_________ 的函数 : ① ,并且对于 t 的 y＝ g t
每一个允许值 由方程组①所确定的点 M(x,y)都在这条 _______________, 参数方程 曲线上 ,那么方程①就叫做这条曲线的 ____________, 联系 参变数 简称 ______. 参数 相对于参数方 变数 x,y 的变数 t 叫做 _________,
2
曲线的参数方程 课件
【解】 如图，设 OQ 是经过原点的任意一条弦，
OQ 的中点是 M(x，y)，设弦 OQ 和 x 轴的夹角为 θ，取 θ 作
为参数，已知圆的圆心是 O′，O′(a,0)⊥OO′，那么|OM|＝acos θ，
所以xy＝＝||OMMM′′||＝＝||OOMM||csoins
名师点评
(1)消去参数的常用方法． ①如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、 加减消元法． ②如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之 前要做必要的变形．
③另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如 sin2α＋cos2α ＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，11＋－kk222＋1＋2kk22＝1 等．
θ＝acos2θ， θ＝acos θsin
θ，
(θ 为参数)
这就是所求轨迹的参数方程．
名师点评
引入参数 θ 后，根据圆的中点弦的性质结合变量 x，y 的几何 意义，用半径 a 及参数 θ 表示坐标 x，y 即可得出曲线的参数方程．
要点二 圆的参数方程的应用 1.圆的参数方程
(1)圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程为
标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角
函数定义，有 cos ωt＝xr，sin ωt＝yr，即圆心在原点 O，半径为 r
的圆的参数方程为xy＝＝rrcsions
ωt， ωt
(t 为参数)，其中参数 t 的物理
意义是__质___点__作__匀__速__圆__周__运__动__的__时__刻_____．
特别提醒
参数 t 是联系 x，y 的桥梁，它可以有物理意义或几何意义， 也可以是没有明显实际意义的变数．
问题探究 1：参数方程与普通方程有什么区别和联系？ 提示：
常见曲线的参数方程PPT课件
2a
x
.
6
y
o
Mt a
A
C
x
x AC OMsint y OCOMcost
a(t sint)
a(1cost)
这就是旋轮线的参数方程。
7
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
8
.
9
10
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
a
o
a
xHale Waihona Puke 16y.a
o
来看动点的慢动作
a
x
17
y
a
o 来看动点的慢动作
a
x
2a
.
18
参数方程
y
r = a (1+cosθ) r
o
P
x
2a
.
19
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆
内缘无滑动地
滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。
–a
o
a 4
ax
20
y
.
–a
o
来看动点的慢动作
ax
21
y
–a
o
问答
问题提问与解答
HERE COMES THE QUESTION AND ANSWER SESSION 45
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46
曲线的参数方程课件
(1)x＝12sin2θ， (θ为参数)； y＝sinθ＋cosθ
x＝1t ， (2)y＝1t t2－1
(t为参数)．
【分析】 观察题目的特点．(1)可用代入消元法．(2)可用加 减消元法，在转化过程中要保证等价性．
【解】 (1)由y2＝(sinθ＋cosθ)2 ＝1＋sin2θ＝1＋2x， ∵－12≤12sin2θ≤12，
2．圆的参数方程 (1)圆 x2＋y2＝r2 的参数方程通常写为________(θ 为参数)． (2) 圆 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 的 参 数 方 程 通 常 写 为
x＝a＋rcosθ， y＝b＋rsinθ
(θ 为参数)．
3．曲线的普通方程和参数方程的互相转化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般 地，可以通过________而从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如________， 把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系________，那么 ________，就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中， 必须使 x，y 的________保持一致.
往往需要消去参数，化为普通方程，消参的主要方法有代入消元
法，利用三角恒等式消参法两种．
(2)由普通方程化为参数方程
有时为了求变量的范围或求最值我们还需要把曲线的普通方
程化为参数方程．如：椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1就可以化为参数方程
x＝acosθ， y＝bsinθ
(θ为参数)．
应注意：普通方程化为参数方程时，由于选参不同，参数方
2．圆的参数方程
(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程中参数θ的几何意义 圆x2＋y2＝r2的参数方程为
第二讲①、 曲线的参数方程课件
可以由方程F(x,y)=0确定另一个变量的值;
(2)参数方程
x
f ( t ),
y g (t )
借助参数t,间接
给出曲线上点的坐标x ,y之间的关系，由于
是两个方程中含有x,y,t三个变量，因此自
由变量也只有一个，而且给定参数t的值，
就可以由方程组
x f ( t ), y g (t )
求出唯一对应x, y
的值，而且大多数情况下，参数方程中
参数的变化范围是有限制的.
圆的参数方程
图2 3
圆 周运动 是 生产 生活 中 定 轴作匀 速 转动 时 速 圆周运 动 中 点的位 置 呢
常 见的 . 当 物体绕
, 物 体中各 个 点都 作匀
图 2 3 . 那 么 , 怎 样刻画 运 动
y P
M
Q
o
x
解：设点 P 的坐标是 x
M 的坐标是
( x , y )， xOP , 则点
( 2 cos , 2 sin ), 由中点坐标公式得： cos 3 , y 2 sin 2 sin
2 cos 6 2
所以，点
M 的轨迹的参数方程是
解：参数方程 x y 2 0
x 1 t ( t 为参数 )的普通方程为 y 1 t
x 2 cos 曲线 ( 为参数 )的普通方程为 y 2 sin 解方程组 x y 2 0 得交点坐标为 2 2 x y 4
x y
2 2
( 为参数 ) 上任
（ A ）
意一点 , 则 ( x 5 ) ( y 4 ) 的最大值为
A、 36 C、 26
高中数学-曲线的参数方程说课31页PPT
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基谢谢！源自高中数学-曲线的参数方程说 课
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
15、机会是不守纪律的。——雨果
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基谢谢！源自高中数学-曲线的参数方程说 课
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
经典常见曲线的参数方程.ppt
y
a(sint
t
cos t)
y
M (x,y)
a
t
0
a
试由这.精些品课关件.系推出曲线的方程
t x
.
27
7.狄卡儿叶形线 x 3 y 3 3axy 0 (a 0)
分析 1. 曲线关于 y= x 对称
2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0
3. 令 y = t x, 得参数式
当 t , ( x, y) (0,0) 当 t 0, 也有( x, y) (0,0)
a
.精品课件.
x
3
.
来看动点的慢动作
.精品课件.
x
4
参数方程
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
y
t 的几何意义如图示
当 t 从 0 2，x从 0 2a 即曲线走了一拱
2a at
0
a
.精品课件.
a
2a
x
.
5
y
o
Mt a
A
C
x
x AC OM sin t y OC OM cos t
故在原点，曲线自身相交.
x
3at t3 1
y
3at 2 t3 1
(- t , t -1)
4. 当 t 由 ,
动点由(0,0) (,-) 当 t 由 ,
动点由( ,) (0,0)
当 t 由 ,
动点由 (0,0) (0,0)
依逆时针方向画出叶形线.
.精品课件.
28
y
0
x
曲线关于 y= x 对称
常见曲线的参数方程
.精品课件.
1
高中选修4-4《2.1曲线的参数方程》(人教版共2份)(2)数学课件PPT
圆的参数方程
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到
OM的位置时，OM0转过的角度
y
P
圆心为O1(a,b) ，
b
ry
半径为r 的圆的参数方程
v
xybarrscions(为参)数
O
ax x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，
x2 y2 例3 求椭圆 9 4 1 的参数方程：
(1)设 x3cos,为参数；
(2)设 y 2t, t 为参数.
为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？
练习: 曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
A 、 x y tt2 4
B 、 x y s s iin n 2 tt
另外，要注明参数及参数的取值范围。
例1 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)
是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周
运动时，求点M的轨迹的参数方程。
解：设点M的坐标是(x, y),
xOP
则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).
yP
o
M Q x
由中点坐标公式可得
x 2 c o s 6 3 c o s,y 2 s in s in
2
2
因此，点M的轨迹的参数方程是
xy3sinco.s,(为参数)
例2 已知x、y满足(x1)2(y2)24,求S3xy 的最大值和最小值．
解：由已知圆的参数方程为xy122c2ossin,.(为参数)
所 以 S3xy
3(12cos)(22sin) 56cos2sin5210cos() (tan1)
圆心为原点半径为r 的圆的参数方程.
x r cos
y
r
sin
( 为参数)
其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到
OM的位置时，OM0转过的角度
y
P
圆心为O1(a,b) ，
b
ry
半径为r 的圆的参数方程
v
xybarrscions(为参)数
O
ax x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，
x2 y2 例3 求椭圆 9 4 1 的参数方程：
(1)设 x3cos,为参数；
(2)设 y 2t, t 为参数.
为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？
练习: 曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
A 、 x y tt2 4
B 、 x y s s iin n 2 tt
另外，要注明参数及参数的取值范围。
例1 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)
是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周
运动时，求点M的轨迹的参数方程。
解：设点M的坐标是(x, y),
xOP
则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).
yP
o
M Q x
由中点坐标公式可得
x 2 c o s 6 3 c o s,y 2 s in s in
2
2
因此，点M的轨迹的参数方程是
xy3sinco.s,(为参数)
例2 已知x、y满足(x1)2(y2)24,求S3xy 的最大值和最小值．
解：由已知圆的参数方程为xy122c2ossin,.(为参数)
所 以 S3xy
3(12cos)(22sin) 56cos2sin5210cos() (tan1)
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曲线的参数系中，如果曲线上任意一 点的坐标x,y都是某个变数t的函数
x=f(t) y=g(t)
并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的 点M（x,y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这 条曲线的参数方程，联系x,y之间关系的变数t叫做 参变数，简称参数。
AA
OP方程为：
OO
xx
y=
-
1 k
x，所以斜率k可作为参数。
PP((xx,,yy)) D
解：设过点Q的直线方程是：
BB
y-b=k(x-a),， 由OP⊥PQ于P，则圆心O与AB中点P的连线方程
为解y=方- 程1k x组，此yy两-=b直-=k1k线(xx的-a)交点即为xP=。kk(k2+a-1b（) k为参数范围如图）
x=x0+tcosα y=y0+tsinα
2020/10/18
3
例3：由圆外一点Q (a,b)向圆x2+y2=r2作割线,交圆周于A,B两点,
求AB中点P的轨迹的参数方程。
yy
QQ((aa,,bb))
分析：割线过点Q (a,b)，
故割线PQ方程为：
C
y-b=k(x-a),
依题意，OP⊥PQ于P，于是
2020/10/18
1
二.建立曲线的参数方程：
例1：以原点为圆心，分别以a,b为半径作两个圆，点B是大圆 半径与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM ⊥ AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的 参数方程。
解：设点M的坐标为（x,y)，θ是以Ox为始边，OA为终边的
x
因M0M=|M0M|，所以有：
M0Q=M0Mcosα ; QM=M0Msinα
当M0M与L反方向时，M0M，M0Q，QM同时改变符号，上 述式子仍然成立。（如图）
设M0M=t，取t为参数，∵M0Q=x-x0 , QM=y-y0 ;
∴x-x0=tcosα, y-y0=tsinα
所以直线L的参数方程为：
正角取为参数。则
y
x=ON=|OA|cos θ 即： y=NM=|OB|sin θ x=acos θ
y=bsin θ 这就是所求的点M的轨迹的 参数方程,图形是一个椭圆。
A
B
M(x,y)
θ
x
o
bN a
其中θ叫做椭圆的离心角。
θ=∠xOA ≠∠xOM（椭圆上
点M与中心O连线的倾角）
2020/10/18
2
例2：求经过点M0（x0，y0），倾斜角为α的直线L的参数方程。
解：设点M(x,y)是直线L上任意一点， y
L
过点M作y轴的平行线，过点M0作x轴的平
M(x,y)
行线，两直线相交于点Q。规定直线L向上
Q
α α
Q
的方向为正方向（如图）。
Mo(xo,yo)
α
当M0M与L同方向，或两点M，M0重合时，o M(x,y)
得点P的轨迹的参数方程为：
y=
b-ka k2+1
2020/10/18
4
谢谢您的聆听与观看
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汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
x=f(t) y=g(t)
并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的 点M（x,y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这 条曲线的参数方程，联系x,y之间关系的变数t叫做 参变数，简称参数。
AA
OP方程为：
OO
xx
y=
-
1 k
x，所以斜率k可作为参数。
PP((xx,,yy)) D
解：设过点Q的直线方程是：
BB
y-b=k(x-a),， 由OP⊥PQ于P，则圆心O与AB中点P的连线方程
为解y=方- 程1k x组，此yy两-=b直-=k1k线(xx的-a)交点即为xP=。kk(k2+a-1b（) k为参数范围如图）
x=x0+tcosα y=y0+tsinα
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例3：由圆外一点Q (a,b)向圆x2+y2=r2作割线,交圆周于A,B两点,
求AB中点P的轨迹的参数方程。
yy
QQ((aa,,bb))
分析：割线过点Q (a,b)，
故割线PQ方程为：
C
y-b=k(x-a),
依题意，OP⊥PQ于P，于是
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二.建立曲线的参数方程：
例1：以原点为圆心，分别以a,b为半径作两个圆，点B是大圆 半径与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM ⊥ AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的 参数方程。
解：设点M的坐标为（x,y)，θ是以Ox为始边，OA为终边的
x
因M0M=|M0M|，所以有：
M0Q=M0Mcosα ; QM=M0Msinα
当M0M与L反方向时，M0M，M0Q，QM同时改变符号，上 述式子仍然成立。（如图）
设M0M=t，取t为参数，∵M0Q=x-x0 , QM=y-y0 ;
∴x-x0=tcosα, y-y0=tsinα
所以直线L的参数方程为：
正角取为参数。则
y
x=ON=|OA|cos θ 即： y=NM=|OB|sin θ x=acos θ
y=bsin θ 这就是所求的点M的轨迹的 参数方程,图形是一个椭圆。
A
B
M(x,y)
θ
x
o
bN a
其中θ叫做椭圆的离心角。
θ=∠xOA ≠∠xOM（椭圆上
点M与中心O连线的倾角）
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例2：求经过点M0（x0，y0），倾斜角为α的直线L的参数方程。
解：设点M(x,y)是直线L上任意一点， y
L
过点M作y轴的平行线，过点M0作x轴的平
M(x,y)
行线，两直线相交于点Q。规定直线L向上
Q
α α
Q
的方向为正方向（如图）。
Mo(xo,yo)
α
当M0M与L同方向，或两点M，M0重合时，o M(x,y)
得点P的轨迹的参数方程为：
y=
b-ka k2+1
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