初等数论结课论文
学完初等数论的感受3000字
学完初等数论的感受3000字初等数论是数学中最基础的一部分,包括整数的加法、减法、乘法、除法、小数、分数等概念,以及它们之间的关系和应用。
通过学习初等数论,我们可以了解数学的基本概念和方法,培养数学思维和解决问题的能力。
在学习初等数论的过程中,我发现数学是一门非常有逻辑性和规律性的学科。
每个概念和方法都有其自身的意义和适用范围,而并不像某些科学领域那样存在严格的国界和学科之间的壁垒。
数学中的每一个概念和方法都可以通过严谨的证明来证明其正确性,这种证明的过程本身也是一种数学。
初等数论的学习还让我深刻认识到数学的重要性。
数学不仅是自然科学的基础,也是社会科学和人文科学的重要工具。
在现代社会,数学已经成为一种独立的学科,被广泛应用于各个领域。
无论是计算机编程、物理学、经济学、工程学,还是文化艺术、哲学等领域,都需要运用数学的知识和方法。
因此,掌握初等数论的知识和技能,对于我们理解和应用数学知识都是至关重要的。
除了学习初等数论让我有了更深入的数学认识外,我还发现数学的实际应用非常广泛。
在实际应用中,我们需要运用数学的知识和方法来解决各种问题。
例如,在计算机科学中,数学被广泛应用于算法设计、数据结构、人工智能等领域。
在经济学中,数学被应用于统计学、概率论、金融学等领域。
在工程学中,数学被应用于控制系统、信号处理、图像处理等领域。
在文化艺术中,数学被应用于音乐、绘画、雕塑等领域。
因此,掌握初等数论的知识和技能,对于我们理解和应用数学知识解决实际问题也是非常有用的。
学习初等数论让我对数学有了更深入的认识,也让我认识到数学在实际应用中的重要性。
学习数学不仅仅是为了掌握一些理论知识,更重要的是培养我们的逻辑思维、分析问题的能力和解决问题的能力。
数学是一门非常有逻辑性和规律性的学科,可以帮助我们更好地理解世界,解决实际问题,推动人类社会的发展。
数学与应用数学毕业论文(剁树枝问题,组合数学、初等数论方向)
摘要有一根正整数单位长树枝，要剁成一定长的短树枝，在剁的过程中可以重叠，问如何剁次数最少？这样的问题被称为剁树枝问题。
剁树枝问题是许多实际问题的一个模型，有着广泛的应用。
本课题的任务是提供一般的方法使剁的次数最少。
采用例举、分析、归纳、证明的流程，给出了剁树枝问题最少次数的递推关系和具体表达式，并对其进行了证明。
关键词初等数论；组合数学；递归；数学归纳法AbstractSuppose there is a positive integer units long branches, to chop them into a certain length of short branches. During the cutting process overlap is allowed, then how many times is needed at least? This problem is known as cutting the tree problem. The cutting branches-problem is a model for many practical problems, with a wide range of applications. Based on the idea of dynamic programming, the recursion formula of the least number of movements necessary for this problem is presented. The direct formula of the least number of movements necessary for this problem is given and proved by triple mathematical induction and pure combinatorics.Key words number theory；combinatorial mathematics；recursive; mathematical目录摘要 (2)第一章．绪论 (4)1.1 剁树枝问题的简介 (4)1.2 剁树枝问题的研究意义及主要方法 (4)第二章．主要理论：递归关系 (5)第三章．推导过程 (6)3.1 剁成1分米长的短树枝的情况 (6)3.2 剁成2或3分米长的短树枝的情况 (9)第四章．结论 (13)致谢 (14)参考文献 (15)附录：外文参考文献 (16)参考文献翻译 (18)第一章.绪论1.1 剁树枝问题的简介有一根正整数单位长树枝，要剁成一定长的短树枝，在剁的过程中可以重叠，问如何剁次数最少？这样的问题被称为剁树枝问题。
初等数论课程教学的改进论文
初等数论课程教学的改进论文初等数论课程教学的改进论文初等数论课程教学的改进论文【1】摘要：初等数论是大学本科数学的专业基础课，但长期得不到足够的重视。
究其原因，除其内容相对简单不受师生重视外，也有课程设置不科学和课堂教学方式方法陈旧等因素。
本文旨在改进教学方法，阐述课堂教学中的经验心得。
归根结底，就是在备课和课堂教学的设计上下工夫，取得理想的教学质量。
关键词：初等数论;教学方法;改进初等数论是数学专业本科阶段代数系列课程中的一门，与高等代数和近世代数等已得到普遍重视的情况相比，初等数论课程的重要性尚未得到充分的认识，主要体现在课程设置不科学、教学方法陈旧等方面，由此导致教学效果差，教学质量无法提高等诸多问题。
那么，如何改进初等数论课程的教学、改善教学效果，从而提高教学质量?本文仅就教学实践从两个方面谈谈这一问题。
一、在思想上给予初等数论以足够的重视初等数论是一门古老的学科，主要研究数的性质和方程的整数解，是中等数学中数的理论的继续和提高，是中学数学与大学数学的最好衔接。
尽管其使用的方法是初等的，但应该看到其很多内容及思想为高等代数和近世代数做了很好的铺垫，提供了抽象理论的具体实例。
初等数论为后续的代数提供了一个样板，很多理论都要推广到更一般的情形上去。
在整数集这个熟悉的领域中体会好代数的思想和方法，为将来学习和研究的提升做准备。
更为重要的是目前RSA公钥体制和离散对数体制均来自初等数论，并且正在不断采用数论更为高深的理论成果[1]。
这反映出初等数论在实践应用上的价值。
既然初等数论课程如此重要，那么一些高校数学专业为什么会不重视这门课程?最根本的原因在于这门课程内容表面上相对浅显，教学单位没有从科学的角度来审视初等数论在大学数学教学中的真实作用，低估了它存在的价值，他们认为大学数学应当讲授更为抽象的问题，初等数论的存在比较尴尬，因此，在课程设置上不够突出这门课程的地位。
不但没有将之安排在大一的第一学期讲授，而且有的将其由专业必修课改成大三讲授的选修课。
初等数论结课论文.pdf
初等数论结课论文一．课程感悟 初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支，它是数论的一个最古老的分支。
它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。
换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。
这学期我在初等数论的学习中，从学习方法和解题思路上明显感觉出有别于之前学的的数学分析和高等代数等数学课程，那种学习中学数学的熟悉感觉又回来了。
可能在难度上这门课程并不逊色于其他，但是对于我却更容易接受这门课程的内容。
二．连分数的学习1．连分数的定义若 为整数 ， ，… 皆为正整数，则叫简单连分数。
2.要把一个分数写成连分数，只要不断的把分子分母同除以分子，将分子化为1,。
如： 121211121251211213725219937+++=++=+==[0;2,1,2,12]当然，连分数也可写成分数，如3043301311342114131211=+=++=+++3.早在公元前三世纪，欧几里德就发现了一个较优的求连分数算法——辗转相除法，实际上就是中学求最大公约数的辗转相除法。
例如：用辗转相除法求942和1350的最大公约数。
012341111a a a a a +++++0a 1a 2a13504081942942942126240840840830312612612664303030506=+=+=+=+=+13501119422131450=+++++代入得：4.连分数的应用。
例如：求斐波那契数列前项与后项之比的极限（黄金比）5122111251251511151212111115112−====++−−++−+=++−+（）三．结课感悟数论与其他科目相比有很大的不同，内容上主要是引进了一些全新的数学思想，特别是最大公因数、最小公倍数、不定方程等；从形式上讲，学习方式也很不一样，初等数论一周只有2节课，课程进度快，所以对学生自学能力的要求也就非常高。
浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文
浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文1小学教育专业开设初等数论课程的必要性初等数论是一门古老的数学基础学科，主要研究整数的基本性质，它的理论和方法已广泛用于现代密码学、算子理论、最优设计、组合代数及信息科学等诸多领域.师范院校小学教育专业开设的初等数论课程作为一门专业主干课程，主要研究整数的整除与同余及不定方程，其中的许多内容如整除、约数、倍数、分解质因数等概念和性质都是现行小学数学的主要内容，对小学数学的教学和研究具有重要的指导作用，而小学教育专业的数学类课程设置的目标是为了培养合格的小学数学教师，所以小学教育专业开设初等数论课程很有必要。
由于初等数论要求论证严格，所以它是进行思维训练的有效工具，学习初等数论能发展学生的逻辑数学思维能力。
数论的许多问题本身很容易弄懂，容易引起人们的兴趣，例如哥德巴赫猜想，但要想解决却非常困难。
古今中外许多数学家都是由于被数论问题吸引而投身数学研究，并做出了巨大的贡献，在初等数论课程中有许多简明而又具创造性的问题，它们都是培养学生创造性的很好材料，所以学习初等数论能激发学生对数学的兴趣和创造力。
2小学教育专业初等数论课程例题和练习题的重要性例题和练习题是初等数论教材的重要组成部分，例题是实现课程目标、实施教学的重要资源，具有示范引领、揭示方法、介绍新知、巩固新知、思维训练等功能，而练习题则是将所学的知识进行应用的一个载体，也是教师检查学生学习状况的一个手段，所以初等数论课程的例题和练习题的选择很重要.当前高等院校数学系所开设的初等数论课程所用的教材虽然由于使用的时间长教材所配置的例题和练习题大部分比较合适，但也存在例题和练习题都偏少且练习题难度偏大和基础性的题目所占比例太小等问题[}z}，更何况小学教育专业是最近几年开设的新专业，所用的教材也是近几年编的，大部分的教材在教材内容的选取上比较适合小学教育专业，但例题和练习题的配置大部分是照搬数学系所用的题目，或者是为了应用某个定理而生造一些例题和练习题，因而很多例题和练习题不适合小学教育专业，尤其是与小学数学教学没有多少联系。
数论论文
关于欧拉定理问题及其应用摘要：从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。
关键词：欧拉定理，数学思想方法，应用。
在初等数论中，关于欧拉定理问题的理解、应用以及体现出的数学思想方法是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题的提出和总结的不够，尤其对它所体现的数学思想方法。
为了加深对欧拉定理的有关理解，本文从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。
一、欧拉定理和其推论的证明（一）欧拉定理的证明及其体现的数学思想方法1.定理(Euler):设n是大于1的整数，（a,n）=1,则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明：首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是φ(n)个n的素数，且两两互素，即n的一个化简剩余系，（或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn既然这样，（a*x1 ×a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)= （x1 × x2 × ... ×xφ(n)）(mod n)考虑上面等式左边和右边左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)右边等于x1 × x2 × ... ×xφ(n)）(mod n)而x1 × x2 × ... ×xφ(n)(mod n)和n互质根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a^φ(n)≡ 1 (mod n)证明：设集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系（若整数A1,A2,...,Am模n分别对应0,1,2,...,n-1中所有m个与n互素的自然数,则称集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系）则{a A1,a A2,...,a Am}也是模n的一个缩系（如果a Ax与a Ay (x不等于y)除以n余数相同，则a(Ax-Ay)是n的倍数，这显然不可能）即A1*A2*A3*……Am≡aA1*aA2*……aAm(mod n) （这里m=φ(n)）两边约去A1*A2*A3*……Am即得1≡a^φ(n)（mod n）2.（例题）设(a, m) = 1, d是（d，a）≡1（mod m）成立的最小正整数，则（i）d/ mϕ(ii)对于任意的 I , j , 0 ≤ I , j ≤，d-1 , I ≠ j , 有j i aa≡ (mod m)解：(i) 由Euler 定理，0d≤)(mϕ（因)(mϕ满足同于式，而0d是最小的）因此，由带余除法，有)=(mϕ= qd+r，q∈Z, q>0 ,0≤r<0d. 因此，由上式及0d的定义，利用定理1，我们得到 1≡r(mod m) 即整数r满足1≡ra(mod m) , 0 0dr<≤由0d的定义可知必是r=0 ,即)(/0mdϕ(ii): 若式（3）不成立，则存在I , j, 0i≤, j 10-≤d, 使得jiaa≡(mod m). 因ij≠, 所以不妨设i<j . 由jiaa≡(mod m). m/(jiaa≡) m/() 1--jijaa,因为(a,m)=1, 所以m/( )1--j ia ,即 1≡-jia(mod m) , 0<i-j<0d . 这与0d的定义矛盾，所以式（二）欧拉定理的推论的证明及其体现的数学思想方法1.推论（Fermat定理）若p是素数，则(a ，p ) ≡.(modpa)证明：若(a,p)=1 ,由定理1及￡3定理5即得(a ，p ) ≡.(modpa)若(a,p)≠1,则p/a,故a p ).(modpa≡2.（例题）1841 1777(mod41),a≡求a在0到41的值解：因为41是素数，所以由费马定理有40 17771(mod41)≡，而1841=46*40+1，所以1841，1777177714(mod41)≡≡，a=14二、有关于欧拉定理的应用问题（一）欧拉定理对循环小数的应用定理1.有理数a/b,0<a<b ,(a ,b)=1 ,能表成纯循环小数的充分必要条件是（b ，10）=1证明：(i)若a/b能表成纯循环小数，则由0<a/b<1及定义知 a/b=0.1a2a …….ta1a2ata…..因而t10a/b=110-t1a+210-t2a+……..+101-ta+ta+0.1a2a…….ta1a2a….ta…..=q+a/b,q>0.故a/b=q/(t 10-1) 即a(t 10-1)=bq .由 (a ,b)=1 即得b/(t 10-1), 因而（b ，10）=1 (ii) 若（b ，10）=1，则由定理1知有一正整数 t使得 t 10≡1(modb), 0<t≤(b) 成立，因此t 10 a=qb+a,且 0<q<t 10a/≤t 10(1-1/b)< t10-1 故t10a/b=q+a/b 令 q=10q+ta,q=102q+1-ta,…………,1-t q=10tq+1a,09≤≤ia,则q= tttttaaaq++++--11110.......1010.由0<q<1101--t,即得tq=0，且1a2a …….ta不全是9，也不全是0。
初等数论论文
初等数论“整除”【摘要】本文主要讲述整除和有关整除问题【关键词】整除整除问题是数学学习的一大方面，无论小学，中学，还是高中，甚至大学数学都有关于整除的问题。
理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题。
现在对整除问题做下整理，以方便关于整除问题的学习，来了解、深入的探讨整除问题。
一、整除的定义：当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.注：a , b作除数的其一为0则不叫整除。
二、数的整除性质：(1)对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。
记作：a|b,b|a,则a=b。
( 2)传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
记作：若a|b,b|c,则a|c。
(3) 若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被该自然数整除。
记作：如果b∣a，b∣c那么b∣a±c．(4) 几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。
(5) 若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。
记作：若a|b,c|b,(a,c)=1, 则ac|b。
(6) 若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。
记作：若ac|b,(a,c)=1, 则a|b,c|b。
(7) 若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
(8) 若a|b,m≠0,则am|bm。
(9) 若am|bm,m≠0,则a|b。
（10）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）三、整除特征（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
数学毕业论文---数形结合在初等数学解题中的应用
数形结合在初等数学解题中的应用学生姓名：马文静指导教师：郝建华引言：数形结合是中学数学中重要的思想方法之一,是数学的本质特征。
华罗庚先生曾指出:数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事非。
就代数本身而言，缺乏直观性，就几何本身而言，缺乏严密性。
只有将二者有机地结合起来，互相取长补短，才能突破思维的限制，加快数学的发展。
法国数学家拉格朗日所指出的“只要代数同几何分道扬镶，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善”。
在解决数学问题时,将抽象的数学语言同直观的图形相结合,实现抽象的概念与具体形象的联系和转化,使数与形的信息相互渗透,可以开拓我们的解题思路,使许多数学问题简单化。
一、利用数形结合思想解代数问题借助图形直观地研究数学问题,不仅可以加深对数量关系的理解,而且还可以简化运算过程。
（一）利用数形结合思想解决方程问题1.利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题利用函数y=f(x)的图象直观解决问题。
例1:a为何值时,方程2222210++-=的两根在(-1,1)之内?a x ax a图1分析:显然2a≠0,我们可从已知方程联想到相应的二次函数2222210a x ax a ++-=的草图,从图像上我们可以看出,要使抛物线与x 轴的两个交点在(-1,1)之间,必须满足条件: 即2(1)0a ->1()02f -≤ 2102a -≤ f(1)>0 2(1)0a +>从而可解得a 的取值范围为a ≥22或a ≤22-且a ≠±1.例2：如果方程220x ax k ++=的两个实根在方程2240x ax a ++-=的两实根之间,试求a 与k 应满足的关系式.图2分析:我们可联想对应的二次函数22122,24y x ax k y x ax a =++=++-的草图.这两个函数图像都是开口向上,形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图2).要使方程220x ax k ++=的两实根在方程2240x ax a ++-=的两实根之间,则对应的函数图像1y 与x 轴的交点应在函数图像2y 与x 轴的交点之内,它等价于抛物线1y 的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线2y 的顶点纵坐标.由配方法可知1y 与2y 的顶点分别为: 2212(,),(,4)Pa a k P a a a --+--+-.故2240a a a k -+-<-+≤.故可求出a 与k 满足的关系式为: 24a k a -<≤.2.利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题通过构造函数,把求方程解的问题,转化为两函数图像的交点问题.例3:解方程32x x =-.图3分析:由方程两边的表达式我们可以联想起函数3xy =与y=2-x,作出这两个函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解,可以看出方程的近似解为x ≈0.4.（二）利用数形结合思想解决不等式的证明和求解问题1.利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集时,只要联想对应的二次函数的图像,确定抛物线的开口方向和与x 轴的交点情况,便可直观地看出所求不等式的解集.例4:解不等式260x x -->.图4分析:我们可先联想对应的二次函数26y x x =--的图像(见图4).从260x x --=解得122,3x x =-=,知该抛物线与x 轴交点横坐标为-2,3,当x 取交点两侧的值时,即x<-2或x>3时,y>0.即260x x -->.故可得不等式 260x x -->的解集为:{x|x<-2或x>3}.2.利用三角函数的图像解不等式通过构造函数,把不等式问题转化为两个函数图像的关系问题.如:例5:解不等式|cosx|>|sinx|,x ∈[0,2π].分析:不等式两边的表达式我们可以看成两个函数1y =|cosx|, 2y =|sinx|.在[0,2π]上作出它们的图像(图5),得到四个不同的交点,横坐标分别为: 4π, 34π, 54π,74π,而当x 在区间[0, 4π),( 34π, 54π),( 74π,2π]内时, 1y =|cosx|的图像都在2y =|sinx|的图像上方.所以可得到原不等式的解集为:{0≤x< 4π或34π<x< 54π或74π<x ≤2π}.3.利用单位圆中的有向线段解决三角不等式问题在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线,余弦线,正切线,并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像.如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线,应用它解决三角不等式问题,简便易行.例6:解不等式sinx> 12-.图6分析:因为正弦线在单位圆中是用方向平行于y 轴的有向线段来表示.我们先在y轴上取一点P,使OP= 12-恰好表示角x 的正弦线sinx= 12-,过点P 作x 轴的平图5行线交单位圆于点1P , 2P (如图6),在[3,22ππ-]内, 12,OPOP 分别对应于角7,66ππ-,(这时所对应的正弦值恰好为12-).而要求sinx> 12-的解集,只需将弦12P P 向上平移,使12,OPOP 重合(也即点P 向上平移至与单位圆交点处).这样12,OP OP 所扫过的范围即为所求的角.原不等式的解集为:{x|2k π- 6π<x<2k π+76π,k ∈Z.}4.利用三角形的二边和大于第三边关系和余弦定理证明不等式对于有些不等式证明,可造图形,使之与三角形的三边相联系,利用三角形的二边之和大于第三边来证。
初等数论论文
初等数论论文引言初等数论是研究自然数的性质和关系的数学分支。
自古以来，人们就对数的性质产生了浓厚的兴趣，而初等数论正是对数的一系列性质进行系统研究的学科。
本文将介绍初等数论的基本概念、性质以及应用领域。
一、初等数论的基本概念1.自然数：自然数是指从1开始的整数数列，即1, 2, 3, 4, …。
2.整除关系：对于任意两个自然数a和b，如果b能够整除a，即a是b的倍数，那么我们称b为a的约数，a为b的倍数。
用数学符号表示为b | a。
3.最大公约数：对于两个非零整数a和b，能够同时整除它们的最大的正整数，称为它们的最大公约数。
用数学符号表示为gcd(a, b)。
4.素数：素数是只能被1和自身整除的正整数，不包括1。
例如，2、3、5、7等都是素数。
5.质因数分解：对于一个大于1的自然数，可以将它表示为几个素数的乘积的形式，这个过程称为质因数分解。
二、初等数论的性质1.唯一分解定理：任意一个大于1的自然数都可以唯一地表示为一系列素数的乘积。
2.素数无穷性：素数是无穷多的。
3.质数间的差距：任意两个相邻的自然数之间必然存在一个素数。
4.最大公约数和最小公倍数：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数之间存在特定的关系，即gcd(a, b) * lcm(a, b) = a * b。
5.费马小定理：对于任意一个素数p和不是p的倍数的自然数a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)，其中mod表示取余运算。
三、初等数论的应用领域初等数论在密码学、密码学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
1.密码学：初等数论提供了很多用于构建密码系统的算法，如RSA加密算法和椭圆曲线密码算法。
这些算法的安全性都基于数论的基本性质。
2.密码破解：初等数论的方法在密码破解中也有重要应用，如通过分解大整数来破解RSA加密算法。
3.网络安全：初等数论方法可以应用于网络安全领域，用于验证数字签名、构建安全协议等。
4.数据压缩：初等数论的方法在数据压缩算法中也有应用，如哈夫曼编码算法利用字符出现的频率分布进行压缩。
学完初等数论的感受3000字
学完初等数论的感受3000字初等数论是数学中的一门重要基础课程，它主要研究整数的性质和规律。
学完初等数论，我对于数学的认识和理解有了进一步的提升，同时也感受到了数学的魅力和美妙之处。
学完初等数论，我对于整数的性质有了更深入的理解。
在课程中，我们学习了整除关系、最大公因数、最小公倍数等概念。
通过学习和解题，我了解到整数的性质是非常有规律的，而且在实际问题中有着广泛的应用。
我学会了使用辗转相除法求解最大公因数，使用质因数分解法求解最小公倍数等方法，这些方法在解决实际问题中非常实用。
除此之外，初等数论还教会了我一些重要的定理和公式。
例如，欧几里得算法和贝祖定理等，这些定理和公式对于解决一些整数问题非常有帮助。
学习这些定理和公式的过程中，我深刻体会到了数学的严密性和逻辑性，同时也增强了我的逻辑思维和推理能力。
在学习初等数论的过程中，我还发现了数学的美妙之处。
解决数论问题需要一定的技巧和方法，而且有时候还需要一些巧妙的观察和推理。
通过解题，我深刻感受到了数学中隐藏的美和乐趣。
有时候，一个简单的问题可能需要我们从不同的角度去思考，通过尝试和推理，最终找到解决问题的方法。
这种思考和探索的过程让我感到非常愉悦和满足。
学完初等数论，我对于解决实际问题的能力也有了提升。
数论中的很多概念和方法都可以应用到实际问题中，例如在密码学和编码中，整数的性质和规律被广泛应用。
通过学习初等数论，我了解到了一些数学在实际中的应用，这让我对于数学的重要性和实用性有了更深的认识。
除了以上的感受，学完初等数论还让我更加深入地认识到了数学的无穷性和广阔性。
数学是一门无限广阔的学科，其中包含了无数的定理、公式和规律。
初等数论只是数学中的一个小的分支，但是它却能够展示出数学的神奇和美妙。
通过学习初等数论，我对于数学的研究充满了无限的期待和兴趣，也更加激发了我继续学习数学的动力。
总的来说，学完初等数论，我对于数学有了更深入的理解和认识。
通过学习和解题，我体会到了数学的严密性和逻辑性，同时也感受到了数学的美妙和魅力。
浅谈初等数论
西华师范大学数学与信息学院初等数论学科论文报告数学与信息学院09级4班王佳学号：************12月21日浅谈《初等数论》的教与学在此主要谈论的是数论的理论概述，历史发展，初等数论内容。
理论概述：初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。
它是数论的一个最古老的分支。
它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论，同余理论，连分数理论和某些特殊不定方程。
换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。
另外还有解析数轮（用解析的方法研究数论。
）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。
历史发展：古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱。
他与他的学派致力于一些特殊整数（如亲和数、完全数、多边形数）及特殊不定方程的研究。
公元前4世纪，欧几里德的《几何原本》通过102个命题，初步建立了整数的整除理论。
他关于“素数有无穷多个”的证明，被认为是数学证明的典范。
初等数论已经有2000年的历史，公元前300年，欧几里得发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。
公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。
2000年来，数论学的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为素普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。
後来发现埃拉托塞尼筛法可以转换成为一个素数产生的公式。
公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。
17世纪以来，P.de费马、L.欧拉、C.F.高斯等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。
古代中国公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。
17世纪以来，P.de费马、L.欧拉、C.F.高斯等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。
古代中国中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就，《周髀算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载。
孙子定理比欧洲早500年，西方常称此定理为中国剩余定理，秦九韶的大衍求一术也驰名世界。
结课初中数学教学论文
结课初中数学教学论文一、初中数学结课环节所出现的问题在初中数学教学过程中，对于结课环节所出现的问题主要表现在以下几个方面:1.淡薄的结课意识教师对结课重要性方面意识比较淡薄.主要原因在于，一些教师在教学过程中，由于长期受到传统教学思维的作用，在实际教学的过程中容易形成自我固定的见解和思维，这就使得教师在教学过程中形成了固定的教学方式，而这些固定教学方式中，教师并没有将结课视为十分重要的环节，意识比较淡薄.另外还有些教师由于自身教学能力有限，不能对教学进行及时的中介和归纳，在教学过程中，不能在学生的认知结构中融入新的数学知识.还有数学教师认为所教授的数学内容太过于简单，不屑于对所教授的内容进行总结.2.单一化的结课方式教师的结课方式单一化，单一化的结课方式会使得学生对老师结课失去兴趣，这就无法起到结课的作用，学生的学习效率也不高.场景1由于本节课内容比较紧促，很顺利完成了公式推导，例题讲解和练习巩固.师:同学们，下边总结一下我们所学的内容.首先，请大家掌握公式(a+b)2=a2+2ab+b2，并且了解公式的推导过程;其次，对于所学公式达到灵活运用，能够利用公式进行运算;第三，需要明白公式中a和b在实际运算中代表的可能是一个数字或者是一个代数式整体.掌握三点，这节课大家就算是学得很好了.师:下边布置作业……教室里安安静静，学生大都面无表情地忙碌着翻看着书上的课后作业，或者扭头看看教室里钟表等待下课;或者有几个调皮的学生在做着小动作，大家都不会关心老师在结课时所说的内容.针对这种结课方式，老师不去启发，引导学生进行总结，不懂得通过学习，实验以及讨论的方式进行知识的深化，只有老师在不停的讲解，这样仅仅是教师代劳的枯燥小结.二、如何解决初中数学教学中的结课问题1.教师是授课引导者在数学课堂中数学教师作为学生学习知识的引导者，需要起到模范带头的作用，改变自我传统固有的教学思维，在实际教学过程中不断进行总结和深思，不断在实践中总结出适合自我和学生的结课方式，不断挖掘实践知识，使得教学水平得到进一步提高.场景2在讲完“不等式组的解法”一节后，把不等式组的解集在数轴上的取值规律编织成为口诀:同大取大，同小取小;小大大小取交叉，大大小小为空集.2.转变思想观念教师应该清楚认识到结课在数学教学中的作用，认真对待结课，这是每个优秀的教师需要具有的教学态度.越是临近课程结束，学生的注意力就更加容易被教师所吸引，所以，这就说明了，一个好的结课能够起到承上启下以及发人深思的作用，与此同时，也将会给学生留下深刻的印象，使得学生学习效率得到提高，而且，好的结课环节，会激发学生对下次数学课程的期盼和兴趣.场景3在初中数学课堂中，在单项式乘以单项式结课时，需要提出问题，问题可以是这样的“同学们可以回想一下我们小学时候就学过乘法分配律，如果给你一个单项式和一个多项式相乘，应该如何进行运算呢?”从而埋下伏笔，使学生在急切期待中研究演示实验，积极预习，为上好下节课“单项式与多项式相乘”，“多项式和多项式相乘”做好铺垫.3.建立良好教学机制然后，在结课环节，需要建立良好的教师教学机制，教师的课堂发挥程度与学校对教师的评价有着紧密的联系，有时候会严重地使得教师受到影响甚至受到束缚，与此同时，不利于教师对课堂的设计和思考.4.多样的结课方式教师在教学过程中需要尝试不同结课方式，而在初中教学过程中，采用总结归纳法、问题回顾法、设置悬念等方法，这些都是比较优秀的结课方式，值得教师采纳实施.三、常用结课方法总结归纳法是目前课堂最常用的方式，主要体现在教师在课程结束前，使用简练的语言对课堂所涉及的知识点进行串讲并加以总结，从而给学生一个完整的思路.设置悬念法主要是在结课时教师提出具有吸引力和启发性的问题给学生，激发学生的求知欲和学习兴趣，可以锻炼学生的思维能力和自学能力.实践活动法需要教师进行事先的精心设计，挑选一些与学生息息相关，有意义的活动，使得学生学会用理论解决实践问题，在实践中总结理论，不断激发学生学习的欲望和兴趣，而且达到了巩固知识的目的，培养了学生综合能力.四、总结总之，结课环节在课堂教学中发挥着重要的作用，这就需要教师引起足够的重视，以激发学生求知欲和学习兴趣为目的，采用丰富多彩的结课方式是一条有效途径.。
初等数学内涵探究论文
初等数学内涵探究论文摘要：运用数字推理建立数值逻辑公理系统雏形，辩证认识、探讨初等数学基本理论的深刻内涵，继续深化认识，…。
关键词：1、分数整，2、相对整性质，3小数相对整，4、分数相对整，5、广义整数，6、有限不循环小数，7、有限循环小数，8、最大分数单位1/2，9、小数单位、最大小数单位0.5，10、双素数11、狭义数学真理12、广义数学真理等等一、建立初等数学数值逻辑公理系统雏形：（一）、探讨认识初等数学深刻内涵，需要不断深化认识、不断完善，还要考虑到易懂易理解，一篇不成熟的数学论文，反反复复，大同小异，颇感不妥，抱歉了！今后若有新的认识，以数学基本知识的方式单独发表论文，以前的数学学术观点、理念不再重复，…，再次抱歉、敬请谅解！（二）、数字推理——数值逻辑辩证推理：究竟是到数值逻辑系统外部探寻系统运算规律？还是在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律？很显然，要在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律，事实证明，数理逻辑与实无限并未完全揭示出数值逻辑公理系统运算规律，初等数学基本理论尚有不足之处，它是实无限数学理论和数理逻辑无法解决的数学矛盾与问题，关于数学的无限矛盾，实无限不能解决的数学矛盾，运用潜无限数学思维理念与潜无限手段去解决，未尝不可，…。
用那10个阿拉伯数字演绎数学真谛，1生2、2生3、“10”生无限，确切地说正整数数列：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，……，…如果从数学的集合论和数论、哲学角度出发，运用算术的方法分别选取：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……，…分别地建立起最基本最原始幼稚可笑的有理数数列群与子集合：第1系列：0/1，1/1，2/1，3/1，4/1，5/1，6/1，……，…第2系列：0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2，……，…第3系列：0/3，1/3，2/3，3/3，4/3，5/3，6/3，……，…第4系列：0/4，1/4，2/4，3/4，4/4，5/4，6/4，……，…第5系列：0/5，1/5，2/5，3/5，4/5，5/5，6/5，……，…第6系列：0/6，1/6，2/6，3/6，4/6，5/6，6/6，……，…第7系列：0/7，1/7，2/7，3/7，4/7，5/7，6/7，……，…第8系列：0/8，1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8，……，…第9系列：0/9，1/9，2/9，3/9，4/9，5/9，6/9，……，…第10系列：0/10，1/10，2/10，3/10，4/10，5/10，6/10，……，………，……如何再去分别探索在何范畴内各基数间存在着2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……，…的倍数时——数值逻辑公理系统运算规律？：第1系列：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，……，…第2系列：第2环节：2（0/2+1/2+2/2）=（1/2+2/2+3/2）=（0.5+2/2+1.5）第3环节：3（0/2+1/2+2/2）=（2/2+3/2+4/2）=（1+3/2+2）第4环节：4（0/2+1/2+2/2）=（3/2+4/2+5/2）=（1.5+4/2+2.5）第5环节：5（0/2+1/2+2/2）=（4/2+5/2+6/2）=（2+5/2+3）第6环节：6（0/2+1/2+2/2）=（5/2++6/2+7/2）=（2.5+6/2+3.5），……，…第3系列：第2环节：2（0/3+1/3+2/3+3/3）=(1.5/3+2.5/3+3.5/3+4.5/3）=（3/3+4/3+5/3）=（0.5+2.5/3+3.5/3+1.5）第3环节：3（0/3+1/3+2/3+3/3）=（3/3+4/3+5/3+6/3）=（1+4/3+5/3+2）第4环节：4（0/3+1/3+2/3+3/3）=（4.5/3+5.5/3+6.5/3+7.5/3）=（7/3+8/3+9/3）=（1.5+5.5/3+6.5/3+2.5）第5环节：5（0/3+1/3+2/3+3/3）=（6/3+7/3+8/3+9/3）=（2+7/3+8/3+3）第6环节：6（0/3+1/3+2/3+3/3）=（7.5/3+8.5/3+9.5/3+10.5/3）=（11/3+12/3+13/3）=（2.5+8.5/3+9.5/3+3.5），……，…第4系列：第2环节：2（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）=（2/4+3/4+4/4+5/4+6/4）=（0.5+3/4+4/4+5/4+1.5）第3环节：3（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）=（4/4+5/4+6/4+7/4+8/4）=（1+5/4+6/4+7/4+2）第4环节：4（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）=（6/4+7/4+8/4+9/4+10/4）=（1.5+7/4+8/4+9/4+2.5）第5环节：5（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）=（8/4+9/4+10/4+11/4+12/4）=（2+9/4+10/4+11/4+3）第6环节：6（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4+）=（10/4+11/4+12/4+13/4+14/4）=（2.5+11/4+12/4+13/4+3.5），……，…第5系列：第2环节：2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）=（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5）=（4/5+5/5+6/5+7/5+8/5）=（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5）第3环节：3（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）=（5/5+6/5+7/5+8/5+9/5+10/5）=（1+6/5+7/5+8/5+9/5+2）第4环节：4（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）=（7.5/5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+12.5/5）=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5）=（1.5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+2.5）第5环节：5（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）=（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5+15/5）=（2+11/5+12/5+13/5+14/5+3）第6环节：6（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5）=（12.5/5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+17.5/5）=（16/5+17/5+18/5+19/5+20/5）=（2.5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+3.5），……，…第6系列：第2环节：2（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）=(3/6+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+9/6)=(0.5+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+1.5)第3环节：3（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）=（6/6+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+12/6）=（1+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+2）第4环节：4（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）=（9/6+10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+15/6）=（1.5++10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+2.5）第5环节：5（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）=（12/6+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+18/6）=（2+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+3）第6环节：6（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6）=（15/6+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+21/6）=（2.5+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+3.5），……，…第7系列：第2环节：2（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）=（3.5/7+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+10.5/7）=（5/7+6/7+7/7+8/7+9/7+10/7+11/7）=（0.5+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+1.5）第3环节：3（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）=（7/7+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+14/7）=（1+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+2）第4环节：4（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）=(10.5/7+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+17.5/7) =（13/7+14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7）=(1.5+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+2.5)第5环节：5（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）=（14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+21/7）=（2+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+3）第6环节：6（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7）=(17.5/7+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+24.5/7) =(21/7+22/7+23/7+24/7+25/7+26/7+27/7)=(2.5+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+3.5)，……，…第8系列：第2环节：2（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）=（4/8+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+12/8）=（0.5+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+1.5）第3环节：3（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）=（8/8+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+16/8）=（1+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+2）第4环节：4（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）=（12/8+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+20/8）=（1.5+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+2.5）第5环节：5（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）=（16/8+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+24/8）=（2+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+3）第6环节：6（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8）=（20/8+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+28/8）=（2.5+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+3.5），……，…第9系列：第2环节：2（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）=(4.5/9+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+13.5/9) =(6/9+7/9+8/9+9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9)=(0.5+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+1.5)第3环节：3（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）=（9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+18/9）=（1+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+2）第4环节：4（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）=（13.5/9+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9+19.5/9+20.5/9+21.5/9+22.5/9）=（16/9+17/9+18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9）=（1.5+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9+19.5/9+20.5/9+21.5/9+2.5）第5环节：5（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）=(18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+27/9)=(2+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+3)第6环节：6（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9）=（22.5/9+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9+28.5/9+29.5/9+30.5/9+31.5/9）=（26/9+27/9+28/9+29/9+30/9+31/9+32/9+33/9+34/9）=（2.5+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9+28.5/9+29.5/9+30.5/9+3.5），……，…第10系列：第2环节：2（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）=（5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10+12/10|+13/10+14/10+15/10）=（0.5+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10+12/10|+13/10+14/10+1.5）第3环节：3（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）=（10/10+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10+16/10+17/10+18/10+19/10+20/10）=（1+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10+16/10+17/10+18/10+19/10+2）第4环节：4（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）=（15/10+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10）=（1.5+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10+21/10+22/10+23/10+24/10+2.5）第5环节：5（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）=（20/10+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10+26/10+27/10+28/10+29/10+30/10）=（2+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10+26/10+27/10+28/10+29/10+3）第6环节：6（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10）=（25/10+26/10+2710+28/10+24910+30/10+31/10+32/10+33/10+34/10+35/10）=（2.5+26/10+2710+28/10+24910+30/10+31/10+32/10+33/10+34/10+3.5），……，…；……，……关于上述初等数学起点最简单最原始幼稚可笑的数值运算是否蕴涵着数值逻辑运算规律和深刻的数学内涵？单凭直觉无法回答，千百年来实无限理论和玄学无法理解与接受它、也不可能去探究，…，目前，只能实事求是，用事实说话，常言道，最简单的最质朴的恰恰是最深奥的、最难以理解接受的，数学是被应验的，我们将上述运用亚里士多德潜无限数学思想和辩证法指导下，在数论、集合论内涵条件下形成的普遍运算规律概括归纳为：1、第1系列并未派生子集合：0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1=6，……，是特殊矛盾特殊规律、为特殊特别系列、特殊矛盾例外，务必将其排斥在外，如果不将其排斥在外、这系统同样无法理解与接受，其实它就是分数整（整数分数）；2、数值逻辑公理系统（从第2系列起均派生子集合）：{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓{[2～3]}5↓……，…（此结构式上下交错对应莫散开）{[0.5～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，第7环节：7∑{[0～1]}=∑{[3～4]}，第8环节：8∑{[0～1]}=∑{[3.5～4.5]}，第9环节：9∑{[0～1]}=∑{[4～5]}，第10环节：10∑{[0～1]}=∑{[4.5～5.5]}，……，……∑{[0～1]}意指0与1之间的基数之和，∑{[0.5～1.5]}意指0.5与1.5之间的基数之和，它们是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，很显然，如果说{[0～1]}和{[0.5～1.5]}的基数是实无限，那么它的基数（有理数与无理数）就会一下子全部冒出来究竟具体有多少？无人具体知晓也无法具体知晓，自古至今一筹莫展，务必突破传统数学思维理念的严重束缚，让事实说话，符号↓：意指派生子集合，在有理数系统数值逻辑运算过程中，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分地十足地体现其相对整性质（亦可理解为哲理整性质），即派生子集合，为奇数能被2相对整除提供科学依据，蕴涵着完整数值逻辑运算规律2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……，数论、集论、初等数学、自然辩证法四位一体、辩证统一，自然辩证法（现代哲学）以对立统一规律为切入点注入初等数学、数学基础并为其指明前进方向，至此，需要引入数学新概念，相对整性质、小数相对整、等等概念：相对整性质：其他普通小数的绝对值与小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值相比较更零散，换言之，小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-6.5，......的绝对值和其他普通小数的绝对值相比较整装（在数值逻辑公理系统中），将这一特殊性质统称为相对整性质，为什么会拥有相对整性质，因为1/2=0.5、1/2是最大分数单位、则0.5是最大小数单位，...，相对整性质为奇数能被2相对整除提供科学根据，只有在本数值逻辑公理系统中，才能够发现相对整性质，否则无从谈起，……。
数学初等几何类论文
初等几何问题的证题法研究摘要初等几何的证题法的研究是初等几何问题研究的一个重要的课题。
初等几何的证题法千变万化，考虑的角度不同，所得的证明方法也就各有不同。
古代埃及丰富的几何知识的积累，一经与古希腊形式逻辑相结合，便使几何学成了最早成熟的科学典范。
在这里起作用的是严格的逻辑证明。
只有经过严格的逻辑证明，才能使我们观察到的事物之间的联系，上升为理论并得到广泛的运用。
本文就初等几何中的一些基本的几何证题法、解几何证明题的一些基本步骤以及一些常用的解几何证明题的方法进行探讨，以期望对初等几何的证题法有一个深入的认识关键词：初等几何；证题法；解题步骤；常用方法The evidence elementary geometry problems method researchAbstractThe evidence elementary geometry method of the research is an important hot topic in the field of elementary geometry problems.The evidence elementary geometry method is protean, considering different angles, proof of income method can vary. In ancient Egypt the accumulation of knowledge of geometry, once combined with formal logic in ancient Greece, and made the earliest mature science out of geometry model. Here is the strict logical proof Only through strict logical proof, can we observe the connection between things, to rise to the theory and widely used In this paper, some of the basic method of the geometry of the elementary geometry solving geometry proving some of the basic steps, and some of the most common methods of solving geometric certificate carries on the discussion, to expect that the evidence of elementary geometry method have a deep understanding.Keywords elementary geometry; Evidence law; The problem solving steps; Commonly used method目录第1章绪论 (1)1.1 引言 (1)1.2 相关知识简介 (1)第2章初等几何证题时思路及其解题步骤 (2)2.1 初等几何证明题中有关命题的研究 (2)2.2 解证明题的步骤 (3)第3章初等几何证题时的常用方法 (4)3.1综合法 (4)3.2 分析法 (6)3.3反证法 (7)3.4面积法 (12)第4章几种问题的证明方法4.1线段和角相等4.2平行与垂直4.3两直线平行4.4点共线与线共点的问题4.5点共圆与圆共点结论 (19)致谢 (20)参考文献 (21)附录X 译文 (22)附录Y 外文原文 (24)第一章绪论1.1 引言随着时间迈入21世纪的步伐，我国进入了一个全新的电子信息化时代。
初等数学研究学年论文汇编
浅谈因式分解的解题方法和技巧刘永青系别：数学系专业：数学与应用数学班级：1501班学号：20150403122摘 要 因式分解在初中数学中占据着重要的地位，它是我们解决一元二次方程和高次方程必不可少的方法，对于分式的运算也影响甚大。
本文主要是讲述因式分解的解题方法和技巧。
通过由浅入深，循循渐进地介绍提公因式法、分组分解法、十字相乘法等解题方法。
理论结合例题，使这些方法更加易于理解。
关键词 多项式；因式分解；例题；方法1 引言众所周知，因式分解是中学数学里最重要的恒等变形之一。
在初等数学中，因式分解被广泛应用。
它是我们在解题中不可缺少的有力工具。
然而，在因式分解的学习过程中有太多的坎坷。
这是由因式分解方法灵活、技巧性强的特点所决定的。
这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，对于以后学习的其他代数内容（如：分式）也是不可缺少的前提条件。
这些方法和技巧对提高解题技能和思维能力，都有着十分独特的作用。
那么在因式分解的常规解题中有哪些方法和技巧呢？我们又该侧重于哪些解题方法？在什么情况下应该用什么方法？现在，就请和我一起在本文中寻找这些问题的答案吧。
2 因式分解的概念、解题方法和技巧首先我们要了解什么叫因式分解。
教材中是这样定义的：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
2.1 提公因式法如果多项式各项都有公因式，那么我们可以把每项的公共部分提取出来。
这种把公因式提出来再进行因式分解的方法就是提公因式法。
注意提取之后的式子若能分解要继续分解，直到不能再继续分解。
现在通过一个例子来看看这种简单的方法是怎样使用的。
例1.分解因式：321688x x x +-分析：一眼看过去很显然这个多项式每项都有8x ，这就是我们讲的多项式中的公因式。
先将其从每一项拿出来，会发现剩下的221x x +-仍然可以分解，那么就要将221x x +-继续分解。
28(21)8(1)(21)x x x x x x =+-=+-解：原式 小结：当你发现一个多项式的每一项都有公因式，这时就可以考虑提公因式法。
初等数学研究论文
正、余弦定理在三角形中的应用——08数学二班 庞家旭（080501231）正、余弦定理是揭示三角形边、角之间定量关系的两个重要定理, 它将三角形的边和角有机的结合起来, 是解决有关三角形问题的有力工具。
1. 利用正余弦定理解三角形的边当已知三角形的两个边和任一角，求其他边或者已知三角形的两个角和一条边，求其他的边，都可以用正余弦定理来解决，但在用的时候往往要用到技巧转化。
例1 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知，则c=（ ）A.1B.2 分析1：当把c 看作是已知时，由题目能得三边一角的关系，于是用余弦定理能求c的值。
解法1：由 得： 整理得：解之得：c=2分析2：当只注意到题目给的已知条件时，可以先利用正弦定理求出∠B ，再得出∠C ，最后可得出c 的值。
解法2：由 得 由大边对大角，可得： 于是 则△ABC 是直角三角形，且c 是斜边，所以 2. 利用正余弦定理解三角形的角,13A a b π===1C D 222cos 2b c a A bc +-=213cos 32c cπ+-=220c c --=sin sin a b A B =1sin sin 1sin 2b A B a π⨯===6B π=2C A B ππ=--=2c ==在三角形中，已知三角形的各边之间的比例关系，要求三角形的角，都可以运用正余弦定理来解决，但有时需要用技巧进行等价变化。
例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知a 、b 、c成等比数列，且a 2-c 2=ac-bc ，求∠A 的大小及 的值。
分析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三角形的关系，故可用余弦定理。
由b 2=ac 用正弦定理可求 的值。
解：Ⅰ.∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac又a 2-c 2=ac-bc,∴b 2+c 2-a 2=bc 在△ABC 中，由余弦定理得∴∠A=60° Ⅱ.在△ABC 中，由正弦定理得 ∵b 2=ac ，∠A=60°， Ⅱ.解法二：在△ABC 中，由面积公式得∵b 2=ac ，∴csinA=bsinB 总结：解三角形时，当找到三边一角之间的关系时，常用余弦定理。
初等数论论文
突出师范特色改革初等数论教学[摘要]本文介绍了初等数论课程教学中，不断进行教学内容和教学方法的改革，加强对高师生师德、授课能力、创新精神和实践能力培养的一些做法和体会。
[关键词]初等数论教学创新精神和实践能力高师生授课能力作为培养未来中小学教师的高等师范院校，在课堂教学中突出师范特色，加强对高师生进行师德教育，培养学生的授课能力，加强学生创新精神和实践能力的培养显得尤为重要。
一、改革初等数论教学内容，加强高师生的教师素养培养1．结合初等数论教学，对高师生进行师德教育我国数学家对数论这门学科的发展有过重大的贡献，结合初等数论课程的有关内容，介绍我国数学家在数论领域的伟大成就，能增强民族自豪感，激发学生的爱国主义思想感情。
同时，结合初等数论的教学对学生进行辩证唯物主义教育、科学求实精神的教育。
如在讲不定方程这一节时，介绍世界上最早提出不定方程的是我国的《九章算术》，比欧洲早200多年。
在讲同余方程这一节时，介绍世界上最早提出同余方程组的是我国的《孙子算经》中的孙子定理(即中国剩余定理)。
在讲数论与中学教学的联系时，介绍我国中学生在国际数学奥林匹克竞赛(IMO)上屡获佳绩，多次获得团体总分第一名的优异成绩。
还介绍华罗庚在数论中的伟大成就，如“华氏定理”、“华氏不等式”。
在介绍华罗庚、闵嗣鹤等数论学者甘为人梯，举办数论讨论班，指导年轻数学家(如王元、陈景润、潘承洞等)摘取“数学王冠上的宝石”的高贵品质，对学生进行师德教育。
在讲到高次不定方程时，介绍费马大定理，1637年前后由法国数学家费马提出，一代又一代数学家历经350多年的不懈努力，到1993年由英国数学家怀尔斯最后证明，来激发学生勇于探索，科学求实的学习风气。
2．结合中学数学教学，改革初等数论的教学内客。
作为一个高等师范院校，数学与应用数学专业的培养目标是德、智、体、美等全面发展的合格中学数学师资及其他数学专门人才，我们数学系的大多数毕业生要从事中学数学教学，因此，我们的教学要注重与中学数学教学结合起来。
初等数论论文
初等数论数学思想对高中数学竞赛的指导学号： 班级： 姓名：摘要：初等数论是研究数的规律，及整数性质的数学分支，它是数论的一个最古老的分支。
在高中数学中引入初等数论，有利于拓展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值，应用价值，文化价值的认识。
初等数论中的数学思想对高中数学竞赛也具有很强的指导作用。
关键词：初等数论 数学竞赛 数学思想 应用数论，这门古老而又常新的学科既是典型的纯粹数学，又是日益得到广泛应用的新“应用数学”.在数论中，初等数论是以整除理论为基础，研究整数性质和方程（组）整数解的一门数学学科，是一门古老的数学分支.它展示着近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧.目前，初等数论在计算机科学、代数编码、密码学、组合数学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础.数论的魅力在于它可以适合小孩到老人，只要有算术基础的人均可以研究数论.初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，其中蕴含了丰富的数学思想方法1 转化思想方法转化是一种常用的数学思想方法.转化是指问题之间的相互转化，或者将问题的一种形式转化为另一种形式，或者把复杂问题转化成较简单问题、将陌生问题转化为已解决或熟悉的问题[1].通过恰当的化归转化不仅能够顺利地解决原问题，而且有助于培养学生科学的思维习惯.整除是数论中的基本概念，此问题是数论中比较简单的一种类型.有时我们需要判断几个分式的和是一个整数，这样直接求其是整数比较困难，因而常常化为整除问题解决. 例2（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程⎩⎨⎧=+=+2344bc ac bc ab 的正整数()c b a ,,的组数是（） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 ()E 4 解（质因数分解法）由方程23=+bc ac 得 ()23123⨯==+c b a .a ,b ,c 为整数，1=c 且23=+b a .将c 和b a -=23代入方程44=+bc ab()4423=+-b b b ，即()()0222=--b b ，21=b ，222=b .从而得211=a ，12=a .故满足联立方程是正整数组()c b a ,,有两个，即()1,2,21和()1,22,1，应选()C .这说明数学问题上的许多问题，都可以转化为整除问题.另外，整除问题也可以转化为其它问题.我们知道同余理论是初等数论的核心，有时整除问题转化为同余问题解决，思路更清晰、自然、计算更简洁.例3 试判断282726197319721971++能被3整除吗？解 ()3m od 01971≡，()3m od 11972≡，()3m od 21973≡， ()()3m od 210197319721971282726282726++≡++()()3m od 2119731972197128282726+≡++()3m od 1421428≡=，()()3m od 22128≡+282726197319721971++不能被3整除. 2 整体化思想方法Euler 定理[2]1m >,()1,=m a ,则()()m m mod 1a≡φ.这是初等数论的一个基本定理，有着广泛的应用.其证明如下：若()m r r φ,,,r 21 是模m 的一个简化剩余系，则()m ar ar ar φ,,,21 也是模m 的一个简化剩余系，于是()()()()()()()()m r r r aar ar ar r r m m m m mod r 212121φφφφ ≡≡，即证.Euler 定理的证明虽然十分简单，但其中包含了初等数论中常用的一个解题方法，即“整体思想”. 整体化思想方法，就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考虑，通过系统对象之间的整体联系或整体特征，寻求原问题的解决途径[3].在解题过程中，常常运用这一种思路：以完全剩余系为例，即m a a a ,,,21 及1，2， ，1m -为模m 的两个完全剩余系，则i a 恰与1，2， ，1m -中的某一数同余，于是∑=ni ia 1与∑=1i i 同余，由此找到证明的途径.3 配对思想方法配对思想方法，就是将整体对象中的满足某种特性的对象进行组合配对，再利用配对后的特性解决原问题[1].定义[2]欧拉函数()a ϕ是定义在正整数集上的函数，()a ϕ等于序列12,1,0-a ，， 中与a 互素的正整数的个数.定义[2]在模m 的每个互素剩余类r C ()()1,,10=-≤≤m r m r 中任取一数r a ，则所有的数r a ()()1,,10=-≤≤m r m r 所组成的集，叫做模m 的一个简化 剩余系.定义[2]在()m ϕ个与模m 互素的剩余类中各取一个数，称这()m ϕ个数为模m的简化剩余系. 4 矩阵的思想方法初等数论课本上，利用整数初等变换，仅研究了两个整数的最大公约数和最小公倍数的问题，略显不够深入.再此基础上，我们可以通过构造整数矩阵，一矩阵的整数的初等变换为工具，得到了求m ()2>m 个整数的最大公约数与最小公倍数的方法[5].利用初等变换求整数的最大公约数 命题 设()da a a n = ,,21,则存在可逆矩阵()nm ija A ⨯=,使得[][]00,,21 d A a a a n =()2≥n .证明 ()1当2=n 时,可设021>>a a ,由辗转相除法知：1111r a q a +=,210a r << 2122r r q a +=,120r r <<……m m m m r r q r +=--12,10-<<m m r r m m m r q r 11+-=()d r m m =≥,1于是，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+121110110110110m m q q q q A 则[][]021dA a a =,命题成立;()2假定k n =()2≥k 时，命题成立.则当1+=k n 时，由假定知，存在k 阶可逆方阵k k A ⨯，使得：[][]001132d A a a a k k k =⨯+，其中()1321,,+=k a a a d ，从而有[][]0000111111321d a A a a a a k k k k k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯+又由()1知，存在二阶可逆方阵22⨯A ，使得[][]02211dA d a =⨯.其中 ()()12111,,,+==k a a a d a d ,于是令()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⨯--⨯⨯⨯⨯⨯12112221100001k k k k k k k E A A A ，则[][]00421d A a a a =即当1+=k n 时，命题成立；由归纳法原理知，当2≥n 时，命题成立.（证毕） 推 论 设n a a a ,,,21 ， 为不全为0的整数，则存在Z 上的n 阶可逆矩阵B ，使()()0,0,,,21d B a a a =.且d 是n a a a ,,,21 的最大公因数，B 是一些初等矩阵的乘积.B 的求法如下：将()n a a a ,,21下面写一个n 阶单位矩阵，构成一个()n n ⨯+1矩阵，再对A 施行初等变换，当A 的第一行变成()0,,0, d 时，则下面的单位阵变化成了B . 即：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001000121 n a a a A −−−→−初等行变换⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b bd21222211121100初等数论中蕴含了丰富的数学思想方法，其知识结构和数学思想方法形成一个经纬交织，融会贯通的知识网络，需要我们去挖掘、揭示.因此在初等数论的教学过程中，应充分利用教材和习题的教育功能，注重展示解决问题的思路、思维过程，体现解决问题策略与方法的多样性，引导沟通知识间的内在联系，突出问题的背景和思想方法的阐述，注重思想方法的总结、提炼，把数学知识和相关数学思想方法有机联系起来，使学生从整体上把握初等数论的理论体系，理解数学思想方法的内涵，开阔思维视野，健全认知结构.为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下:我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ϕ表示{1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ϕ为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ϕ中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ϕ}为模m 的简化剩余系.定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则11nii i a x =∑≡21ni ii b x=∑；(2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则)(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m dbd a ≡；(4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+；(3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为∑≥1k k pn . 定理 4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模m 的完全剩余系；(2)若{)(21,...,,m r r r ϕ}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ϕ}是模m 的简化剩余系.定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ϕϕϕ=.(2)若n 的标准分解式为k kp p p n ααα (2)121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相同的素数,则)11)...(11)(11()(21kp p p n n ---=ϕ. 对于以上结论的证明,有兴趣的读者可查阅初等数论教材.例1 设正整数a ,b ,c 的最大公约数为1,并且c ba ab=- (1),证明:)(b a -是一个完全平方数.证:设d b a =),(,d a a 1=,d b b 1=,其中1),(11=b a .由于1),,(=c b a ,故有1),(=c d .由(1)得c b c ad b a 1111-= (2)由(2)知,c b a 11|,又1),(11=b a ,∴ c a |1.同理可证c b |1,从而有c b a |11,设kb ac 11=,k为正整数,代入(2)得)(11b a k d -=(3)由(3)知d k |,又c k |,∴1),(|=c d k ,∴1=k . ∴11b a d -=.∴211)(d b a d b a =-=-.故成立.例2 设n 为大于1的奇数,1k ,2k ,…,n k 为给定的整数.对于{n ,...,2,1}的排列12(,,...,)n P a a a =,记1()ni i i s P k a ==∑,试证存在{n ,...,2,1}的两个不同的排列B 、C,使得)()(!|C s B s n -.证:假设对于任意两个不同的排列B 、C,均有!n 不整除)()(C S B s -.令X 为{n ,...,2,1}的所有排列构成的集合,则{()|s P P X ∈}为模!n 的一个完全剩余系,从而有!1(1!)!()(mod !)2n P Xi n n s P i n ∈=+≡=∑∑ (1)又1()()ni iP XP Xi s P k a ∈∈==∑∑∑=∑=+ni i k n n 12)1(! (2)而n 为大于1的奇数,所以由(1),(2)得)!(mod 02)1(!2!)!1(1n k n n n n ni i ≡+≡+∑=. 又1)!,!1(=+n n ,所以)!(mod 02!n n ≡,矛盾.故,存在B 、C X ∈,B ≠C,使得)()(!|C s B s n -.例3求三个素数,使得它们的积为和的5倍.解:易知a ,b ,c 中必有一个为5,不妨设5c =,则有5++=b a ab ,从而有6)1)(1(=--b a .因为1-a 与1-b 均为正整数,不妨设b a <,则有⎩⎨⎧=-=-6111b a 或⎩⎨⎧=-=-3121b a ,从而知2=a ,7=b .故所求的三个素数为2,5,7.例4 设k 为正奇数,证明:n ++++...321整除kkkn +++...21. 分析 因为2)1(...321+=++++n n n .故需证)...21(2|)1(kk k n n n ++++,注意到当k 为奇数时,kk y x +可因式分解,因此可将)...21(2kkkn +++中的n 2个数两两配对.证)...21(2k k k n +++=k k k k k k k n n n n 2]1)1[(...])2(2[])1(1[++-++-++-+,而当k为奇数时,kk b a b a ++|,从而知()k k k n n +++...212|(1)又 ()kk k n +++...212=]1[...])1(2[]1[k k k k k kn n n +++-+++,∴)...21(2|)1(k k k n n ++++(2)由(1)(2)知,)...21(2|)1(kkkn n n ++++,故结论成立.例5 (1990年高中联赛试题)设}200,...,2,1{=E ,},...,,{10021a a a G =E ⊆,且G 具有下列性质:(1)对任何1001≤<≤j i ,201≠+j i a a ；(2)100801001=∑=i ia.试证:G 中的奇数的个数是4的倍数,且G 中所有数的平方和是一定数.证:对于1001≤≤i ,令12-=i i α,i i αβ-=201.},{i i i E βα=,则G 中恰含i E 中的一个元素.设G 中有k 个奇数1i α,2i α,…,k i α,有s 个偶数s j j j βββ,...,,21,这里},...,,,,...,,{2121s k j j j i i i =}100,...,2,1{.由题设知,10080=∑∑∑∑====+-=+sr j kt i sr j kt i rt r t1111)201(βββα=∑∑==-kt i kt t112201β+⎪⎭⎫⎝⎛+∑∑==kt sr j i rt 11ββ =-k 2012∑=kt i t1β+)200...642(++++=1010022011+-∑=kt i tk β.∴2022011-=-∑=kt i tk β(1)由于t i β为偶数,所以∑=kt i t12|4β,又20|4,所以k 201|4,∴k |4,即k 是4的倍数.∑∑∑===+=sr j kt i i irta121210012βα=∑∑==+-sr j kt i rt1212)201(ββ=∑∑==⨯-kt i kt t 1122012201β+)(1212∑∑==+sr j kt i r tββ=∑=⨯-kt i tk 122012201β+)200...642(2222++++=)2201(2011∑=-kt i tk β+6)1200)(1100(1004++⨯(2)将(1)代入(2)得62011011004)20(20110012⨯⨯⨯+-⨯=∑=i i a =1349380.例6 令n a 表示前n 个质数之和,即21=a ,5322=+=a ,105323=++=a ,…,证明:对任意的正整数n ,区间[1,+n n a a ]中包含有一个完全平方数.分析:设质数从小到大依次为12,,...,k p p p …,要结论成立,只要存在正整数m ,使得12+≤≤n n a m a ,只要1+≤≤n n a m a ,只要11≥-+n n a a ,只要nn n a a a 211+≥-+,只要nn a p 211+≥+,只要)...(44)1(2121k n n p p p a p +++=≥-+ (1)证:直接验证易知[2,1,a a ],[32,a a ],[43,a a ],[54,a a ]中都含有1个完全平方数.当5≥n 时,我们证明:(1)式成立.为此,令2112(1)(1)4(...)n k f n p p p p ++=--+++,则n n n p p p n f n f 4)1()1()()1(221----=-++=n n n n n p p p p p 4)2)((11--+-++.当2≥n 时,np 为奇数,故21≥-+n n p p ,1(1)()2(22)n n n f n f n p p p ++-≥+--=)2(21--+n n p p 0≥,故当2≥n 时,数列)(n f 为递增数列.由于)(4)1()5(432125p p p p p f +++--==)7532(4)111(2+++--=32>0所以当5≥n 时,0)5()(>≥f n f .故当5≥n 时(1)式成立.例7求出不定方程1)!1(-=-kn n (1)的全部正整数解.解 当2=n 时,易得1=k ；当2>n 时,(1)式左边为偶数,故右边也是偶数,所以n 为奇数.当3=n 时,由13!2-=k,得1=k .当5=n 时,由15!4-=k,得2=k .当5>n 且为奇数时,321-<-n n ,221≠-n ,故)!2(|212--⋅n n ,即)!2(|)1(--n n ,因此2(1)|(1)!n n --,所以)1(|)1(2--k n n .另一方面,由二项式定理知1)1)1((1-+-=-kkn n =A(2)1-n +)1(-n k .其中A 为整数,所以)1(|)1(2--n k n ,故k n |)1(-,因此1-≥n k ,故有)!1(111->-≥--n n n n k .这说明当5>n 时,方程(1)无解,故方程(1)的解为)1,2(),(=k n ,)1,3(例8 证明991993991993+能被1984整除.证993993993)991(-≡=9912)991()991(--=)1984(m od )991()991)(11984495(991991-≡-+⨯,∴)1984(m od 0991)991(991993991991991993≡+-≡+.∴991993991993|1984+.例9 用1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字的7位数,证明:这些7位数中没有一个是另一个的倍数.证:若有两个7位数a,b,使得kb a =(1)由于a ,b 均是由1,2,...,7所排成,故72≤≤k 由(1)得)9(mod kb a ≡, ∴)9(mod 11⋅≡k ,即)9(mod 1≡k ,这与92≤≤k 矛盾,故结论成立.例10 若一个正整数的标准分解中,每个素约数的幂次都大于1,则称它为幂数,证明:存在无穷多个互不相同的正整数,它们及它们中任意多个不同数的和都不是幂数.证:将全体素数从小到大依次记为1p ,2p ,...,n p ,….令11p a =,2212p p a =,当2≥n 时,n n n n n n p p p p p p a a 21222111...---==,下证:1a ,2a ,…,n a ,…合题意.事实上, n n a p |,但2n p |/n a ,所以n a 不是幂数.又对于k i i i <<<≤ 211,)1(112121i i i i i i i i a a a a a a a a k k +++=+++ =)1(11i i Ap a +=)1(111212221i i i Ap p p p p +- , 其中A 为正整数.因为1)1,(11=+i i Ap p ,所以1i p 在)(21k i i i a a a +++ 的标准分解中的幂次为1,因而不是幂数.在中学数学中，整数是特殊常用的一类数.而初等数论是研究整数的性质的、与算术有密切关系的一门学科，可以说初等数论是算术的延续.初等数论问题更是数学竞赛试题多发区.而对于整除性质和抽屉原理的考察一直是中学数学竞赛中应用范围最广的核心内容,作为高中教师,有必要对这些知识进行系统的考查.。
初等数论学习心得[终稿]
![初等数论学习心得[终稿]](https://img.taocdn.com/s3/m/e1148f31cdbff121dd36a32d7375a417866fc199.png)
《初等数论》学习心得要写学习心得并不是什么难事，不过我觉得这一次的学习心得又有些不太一样的地方。
在选课的时候，我并不盲目跟随，不仅仅是为了拿学分，我有自己的想法。
因为，作为一个即将走向教师讲台的师范类数学专业的毕业生，如果连一些比较基本的东西都不了解，那怎么能够在学生面前讲解呢。
基于此，我选择了《初等数论》这门课程，并希望能在此收获一些东西。
虽然之前就了解过一些关于数论的知识，但仅仅是皮毛上的了解，再说也不能系统地接触到这门课程。
不过，通过这几节课的学习，我对初等数论》这门课程有了进一步的了解和认识。
通过一个多星期的学习，我了解到这门课程主要研究的一些内容。
一、整除理论。
引入整除、因数、倍数、质数与合数等基本概念。
这一理论的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、欧几里德的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。
二、同余理论。
主要出自于高斯的《算术研究》内容。
定义了同余、原根、指数、平方剩余、同余方程等概念。
主要成果：二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理（即中国剩余定理）等等。
三、连分数理论。
引入了连分数概念和算法等等。
特别是研究了整数平方根的连分数展开。
主要成果：循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。
四、不定方程。
主要研究了低次代数曲线对应的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。
也包括了4次费马方程的求解问题等等。
五、数论函数。
比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。
六、高斯函数。
在数学领域，高斯函数在厄尔米特多项式的定义中起着重要作用。
我知道一个星期的时间是不可能把《初等数论》这门课程学得很好的，只能大致的了解它的全貌或者说是对某一部分的内容进行研究。
在这些天的学习中，我对数学这个浩瀚海洋里的《初等数论》部分的内容有了更进一步的认识，这为我以后走上教学岗位，提升专业素养有着不可分割的关系，也许就是这么一些点点滴滴的学习和积累才能让一个数学教师在自己的三尺讲台上站得更稳，才能成为学生眼中知识渊博的老师。
初等代数研究论文
方程思想及其课程教学设计摘要：准确把握方程思想是进行方程课程设计、教科书编写和教学实施的必要前提和重要基础。
方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。
方程思想的核心在于建模、化归。
方程的学习，从一开始就应该让学生接触现实的问题，学习建模，学习把日常生活中的自然语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决有关问题；而解方程的设计要点在于再现化归的思想方法。
关键词：方程；数学思想；课程设计；教学设计随着教育改革的不断深入，与中小学数学中的大部分内容一样，人们对方程思想的认识也在悄悄地发生着变化。
一些参与数学新课程设计、课程标准实验教科书编写的专业人员，教学一线上从事数学课程实施的广大教师、教研员，甚至专门从事中小学数学教育研究的高校教学研究人员，对方程思想的模糊认识、困惑甚至迷茫，或多或少地阻碍了数学课程改革的进程。
为此，我们对包括方程思想在内的中小学数学课程改革中的一系列重大的热点问题进行了系列研究。
一、方程思想的本质方程长期以来一直是中小学数学中的一项重要内容，方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：（1）建模思想；（2）化归思想，如在中小学数学中，三元一次方程可以化归为二元一次方程，二元一次方程可以化归为一元一次方程，一元一次方程最终化归为x=a的形式。
虽然大学《高等代数》中有方程的矩阵解法，但是，对中小学生来说，用这种解法解二元一次方程、三元一次方程是不可取的。
事实上，矩阵解法涉及的因素太多，不符合这个年龄段儿童的特点。
对初中生来说，学习方程内容最主要的事情集中在两个方面：一方面是建模，另一方面是会解方程。
对于后者来说，解方程的关键在于转化，即将新的问题化归为以前可以解决的问题，利用以前的算法解决。
这种化归、迭代的思想正是当代计算机的思想。
长期以来，中小学数学教育界一直存在这样的观点：一元一次方程比小学四则算术进步，但两者没有本质的不同。
其实不然，两者有本质的区别：小学四则运算仅仅提供一种算法，而一元一次方程则比较全面地展示了建模思想──用等号将相互等价的两件事情联立，等号的左右两边等价，至于其中的关系是用自然语言表示的，还是用数学符号表达的，都不太重要，重要的是等号左右两边的两件事情在数学上是等价的。
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初等数论结课论文
一．课程感悟 初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支，它是数论的一个最古老的分支。
它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。
换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。
这学期我在初等数论的学习中，从学习方法和解题思路上明显感觉出有别于之前学的的数学分析和高等代数等数学课程，那种学习中学数学的熟悉感觉又回来了。
可能在难度上这门课程并不逊色于其他，但是对于我却更容易接受这门课程的内容。
二．连分数的学习
1．连分数的定义
若 为整数 ， ，… 皆为正整数，则
叫简单连分数。
2.要把一个分数写成连分数，只要不断的把分子分母同除以分子，将分子化为1,。
如： 121211121251211213725219937+++=++=+==[0;2,1,2,12]
当然，连分数也可写成分数，如
30433013113421
14
131211=+=++=+++
3.早在公元前三世纪，欧几里德就发现了一个较优的求连分数算法——辗转相除法，实际上就是中学求最大公约数的辗转相除法。
例如：用辗转相除法求942和1350的最大公约数。
012341111a a a a a +++++0a 1a 2a
13504081942942
9421262408408
408303126126
126643030
30506=+=+=+=+=+
135011194221
31
450=++
+++代入得：
4.连分数的应用。
例如：求斐波那契数列前项与后项之比的极限（黄金比）
122111212211
1112
-====+=
++
三．结课感悟
数论与其他科目相比有很大的不同，内容上主要是引进了一些全新的数学思想，特别是最大公因数、最小公倍数、不定方程等；从形式上讲，学习方式也很不一样，初等数论一周只有2节课，课程进度快，所以对学生自学能力的要求也就非常高。
所以从某种意义上讲，大学生应形成不懂先思考的良好学习作风，并自觉培养自身的抽象思维能力，对于某些题目是由于自己的思路不清晰，一时难以得出解答方法的时候，应先让自己的头脑冷静下来，重新认真分析题目，尽量通过自己的思考去解决。
其次就是要学会自我思考，换位思考。
如果确实无法解答出，再请教他人或看解析书，不要留有疑问。
一个定理要想真正融会贯通，就要多看，多做题。
经过最近这段时间对初等数论的学习，我更加明确的认识到，这和之前我所理解的数学是有所不同的。
例如在求最大公因数这一板块，以前学的方法是分解质因数法、短除法、辗转相除法，而数论则是在辗转相除法的基础上，再深一层次的知识。
正如老师所说，数论不仅对以后走上讲台所需要用到的数学知识联系非常密切，而且还对我们培养严谨的数学思维具有良好的帮助，这对我们这种师范类数学专业的学生来说无疑是非常重要。