关于旋转模型专题

旋转模型专题

一、等线段共点

二、按图形分类

1、等腰三角形，

2、等边三角形，

3、等腰直角三角形，

4、正方形

三、按模型分类

1、手拉手模型

2、角含半角模型

3、对角互补模型

4、与勾股定理结合

5、费马点问题

等边三角形共顶点

共顶点等腰直角三角形

共顶点等腰三角形

共顶点等腰三角形

M D N

E

C B

F

A

A

B

C

D

例题精讲

一、手拉手模型

1、已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形． 常见结论： （1）AN BM = （2）CD CE = （3）CF 平分AFB ∠ （4）CDE △是等边三角形． （5）∠AFM=60°且保持不变

2、如图，在凸四边形ABCD 中，30BCD ∠=︒,60DAB AD AB ∠=︒=，． 求证：222AC CD BC =+

3、已知ABC ∆，以AC 为边在ABC ∆外作等腰ACD ∆，其中AC AD =。

⑴如图①，若2DAC ABC ∠=∠，AC BC =，四边形ABCD 是平行四边形，则

_____ABC ∠=

⑵如图②，若30ABC ∠=︒，ACD ∆是等边三角形，3AB =，4BC =，求BD 的长； ⑶如图③，若ACD ∠为锐角，作AH BC ⊥于H ，当2224BD AH BC =+时，2DAC ABC ∠=∠是否成立？若不成立，

请说明你的理由；若成立，证明你的结论。

③

②

①A

H C

B

D

D

C

B

A

D

C

B

A

二、角含半角模型

4、已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明．

5、在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°， （1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，如图1， 求证：△AEG ≌△AEF ；

（2）若直线EF 与AB 、AD 的延长线分别交于点M,N ，如图2， 求证：222NF ME EF +=

（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系。

图1

A

B

C

D

E

图2

A

B C

D

E A

B

C

D E

F

6、在等边AB C ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M ，N ，D 为AB C ∆外一点，且︒=∠60MDN ，︒=∠120BDC ，CD BD =，探究：当点M ，N 分别爱直线AB ，AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长与等边AB C ∆的周长L 的关系．

⑴如图①，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DM=DN 时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系式__________；此时

L

Q

=__________ ⑵如图②，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DN DM ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

⑶如图③，当点M ，N 分别在边AB ，CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q =_________(用x ，L 表示)

图（1） 图（2） 图（3）

N M D

C

B

A

N

M D

C

B

A

N

M

D C

B

A

三、对角互补类

7、已知：MAN ∠，AC 平分MAN ∠．

⑴在图1中，若90MAN DCB ∠=∠=︒

，证明：AB AD +=．

⑵在图2中，若120MAN ∠=︒，60DCB ∠=︒，探究AB 、AD 、AC 三者之间的数量关系，并给出证明；

⑶在图3中：若MAN α∠=（0180α︒<<︒），180DCB α∠=︒-，则______AB AD AC +=（用含α的三角函数表示,直接写出结果，不必证明）

8、如图1，正方形ABCD 和正方形QMNP ，M 是正方形ABCD 的对称中心，MN 交

AB 于F ，QM 交AD 于E ．

⑴猜想：ME 与MF 的数量关系

⑵如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且M B ∠=∠，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并加以证明．

⑶如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且:1:2AB BC =，其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系，并说明理由．

⑷如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且M B ∠=∠，:AB BC m =，其它条件不变，求出:ME MF 的值（直接写出答案）

图3

图2

图1

A

B

M C

D

N

A

B

M

C

D

N

N

M

D

C

B A

图4

图1

图2

图3

A

B

C

D

Q P

N M

E F A

B

C

D

F

E

M

Q

P

N

F E F E A B

C

D

Q

P N

M

Q

P

N

M

D

C

B

A