2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明

一、近几年高考试卷部分立几试题

1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1，

侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是

（

）

A 、90°

B 、60°

C 、45°

D 、30°

[评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。

2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且

平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF

C

上移动，若 CM=NB=a(0

D

M

（1）求 MN 的长；

E

B

（2）当 a 为何值时，MN 的长最小；

A

N F

（3）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的大小。

[评注]考查线面关系，二面角函数最值等基础知识，考查空间想 象力和推理能力。

3、(全国 19)如图，四棱锥 P －ABCD

P

B

C A

D

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。

（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，

求这个四棱锥的体积；

（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面

PCD所成的二面角恒大于90°。

[评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。

4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。

(3)

(1)(2)

（二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

[评注]主要考查空间想象能力，动手操作能力，探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力。

5、(年上海14)已知直线l、m、平面α、β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题。

（1）α∥β，则l⊥m（2）若l⊥m，则α∥β

（3）若α⊥β，则l∥m（4）若l∥m，则α⊥β

[评注]主要考查线面关系的判断。

6、(上海4)若正四棱锥的底面边长为23cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是________.

[评注]主要考查正棱锥中有关量的计算，以及二面角的求法。7、（03全国15）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两

边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面积的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A－BCD的一个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则________”.

[评注]主要考查三棱锥基本知识，考查运用联想、类比、猜想的手法进行探索的能力。

8、（03年江苏7）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）

（

A 、 a 3

B 、 a 3

C 、 a 3

D 、 a 3 3

4 6 12

[评注]考查多面体积的计算方法。

9、 年江苏 12）一个四面体的所有棱长都为

2 ，四个顶点在同

一球面上，则此球的表面积为（

）

A 、3π

B 、4π

C 、3 3 π

D 、6π

[评注]考查几何组合体知识以及多面体与球的计算问题。

10 、对于四面体 ABCD ，给出下列四个命题①若 AB=AC ，

BD=CD ，则 BC⊥AD ；②若 AB=CD ，AC=BD ，则 BC⊥AD ； ③若 AB⊥AC ，BD⊥CD ，则 BC⊥AD ；④AB⊥CD, BD⊥AC ， 则 BC⊥AD ；其中真命题的序号是_______________. [评注]考查多面体中线线关系的判断。

11、（年江苏 19）如图，在直三棱

C1

柱 ABC －A 1B 1C 1 中，底面是等腰直

角 三 角 形 ， ∠ ACB=90 ° ， 侧 棱

AA 1=2，D 、E 分别是 CC 1 与 A 1B

A1

D

E

B1

的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影

C

G

是△ABD 重心 G 。

A

（1）求 A 1B 与平面 ABD 所成的角大小；

B

（2）求点 A 1 到平面 AED 的距离。

12、（年上海 14）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是

（

）

A 、α、β都垂直于平面γ

B 、α内存在不共线的三点到β的距离相等

C 、l 、m 是α内两条直线，且 l ∥β，m∥β

D 、l 、m 是两条异面直线，且 l ∥α，m ∥α， l ∥β，m∥

β

[评注]主要考查线面、面面位置关系等基本知识，考查分析判断 能力。

13、（年上海 5）在正四棱锥 P －ABCD 中，若侧面与底面所成 的二面角的大小为 60°，则异面直线 PA 与 BC 所成角的大小等 于____________.

[评注]主要考查异面直线所成角的度数的求法，正四棱锥的性质

等基本知识，考查运算能力。

D'

C'

14、（年上海 18）如图，已知平 A'

B'

行六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，

A

D

C

A 1A⊥平面 ABCD ，AB=4，AD=2，若

B 1D

直线 B 1D 与

B

⊥BC ，