第2节 半群与幺半群
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近世代数
第2节 半群与幺半群
主要内容: 半群与幺半群 子半群、子幺半群 理想
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近世代数
半群与幺半群
定义1 (1) 设(S, ∘)是一个代数系统，如果运算∘满足 结合律，则称(S, ∘)为一个半群. (2) 设(S, ∘)是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元， 则称(S, ∘)是一个幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点(S, ∘) 记作 (S,∘,e). (3)如果(幺)半群S中的运算∘满足交换律，则称(幺)半 群S为交换(幺)半群或可换(幺)半群. (4)只含有有限个元素的(幺)半群S称为有限(幺)半群， 否则称为无限(幺)半群. 通常把S的基数称为(幺)半群S的阶.
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生成子(幺)半群
定义4 设(S,∘)是半群，A是S的一个非空子集. 由S的 包含A的所有子半群的交集所作成的子半群称为由 A生成的的子半群，记为(A).
设(S,∘,e)是幺半群，A是S的一个非空子集. 由S的包 含A的所有子幺半群的交集所作成的子幺半群称为 由A生成的的子幺半群，记为(A).
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子半群、子幺半群
定义2 设(S,∘)是半群，B是S的一个非空子集. 如果 x, yB，有x∘yB，则称(B,∘)是(S,∘)的一个子半 群，简称B是S的子半群. 定义3 设(S,∘,e)是幺半群，P S. 如果eP 且P是S 的子半群，则称P是S的子幺半群. 定理4 (1) 设(S,∘)是半群，B是S的一个非空子集. B是S的子半群 B∘B B. (2) 设(S,∘,e)是幺半群，P S. P是S的子幺半群 eP且 P∘P P.
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实 例
例1 (1) (N,+), (Z+,+),(Z,+),(Q,+),(R,+)都是半群，其 中+是普通加法. 这些半群中除(Z+,+)外都是幺半群. (2) 设n是大于1的正整数，(Mn(R),+)和(Mn(R),· )都是 半群，也都是幺半群，其中+和· 分别表示矩阵加法 和矩阵乘法. (3) (P(B),)为半群，也是幺半群，其中为集合对 称差运算.
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近世代数
循环(幺)半群
定义5 一个半群称为循环半群，如果这个半群是由 其中的某个元素生成的半群. 由元素a生成的循环半 群记为(a). 一个幺半群称为循环幺半群，如果这个幺半群是由 其中的某个元素生成的幺半群. 由元素a生成的循环 幺半群记为(a). 定理5 循环半群(幺半群)必是可交换循环半群(幺半群).
性质3 由A生成的的子半群是半群S包含A的最小子 (幺)半群. 由A生成的的子幺半群是幺半群S包含A的最小子幺 半群. 10/13
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理想
定义5 设A是半群(S,∘)的一个非空子集. 如果r∈S有 rA A(Ar A)，则称A是半群S的左(右)理想. 如果A既是S的左理想，又是S的右理想，则称A是S的 理想.
例3 半群(N,+)=(1); 幺半群(N0,+)=(1)，其中N0=N∪{0}.
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总 结
主要内容： (幺)半群的定义与实例 子(幺)半群的定义与性质
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幂运算
在幺半群(S,∘,e)中可以定义非负整数次幂的运算. a S， a0=e , an+1=an ∘a , n≥0.
定理3 设 (S,∘,e)是一个幺半群，m,n是任意的非负整 数，则 (1)aS，am ∘ an =am+n , (am)n =amn . (2)若(S,∘,e)是可换的，则任意a,bS，(a ∘ b)n =an ∘ bn.
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子(幺)半群的性质
性质1 一个半群S的任意多个子半群的交集还是S的 子半群. 一个幺半群S的任意多个子幺半群的交集还是S的子 幺半群. 性质2 设(S,∘)是半群，A是S的一个非空子集，则S 的一切包含A的子半群的交集也是S的子半群. 设(S,∘,e)是幺半群，A是S的一个非空子集，则S的 一切包含A的子幺半群的交集也是S的子幺半群.
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实 例
(4) (Zn, )为半群，也是幺半群，其中 Zn={0,1,…,n1}，为模n加法. (5) (AA,◦)为半群，也是幺半群，其中◦为映射的合成 运算.
(6) (R*,◦)为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算 定义如下：x, yR*, x◦y=y.
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近世代数 [注意] 有单位元素并不是半群的固有性质. 在没有单 位元素的半群中可能有左单位元素，或有右单位元 素，而且左(右)单位元素也可能不只一个，甚至可能 有无穷多个. 定理1 如果半群(S,∘)既有左单位元素又有右单位元 素，则左单位元素与右单位元素相等，从而半群S有 单位元素(即半群S成为幺半群)且单位元素是唯一的. 定理2 有限半群(S,∘)为一个幺半群存在s,tS使得 sS=S，St=S.
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子(幺)半群的实例
例2 (Z, ×)是半群，也是幺半群， {0,1}Z，则 ({0,1}, ×)是(Z, ×)是子半群，也是子幺半群. [注意] (1)幺半群的子半群如果有单位元，且和幺半群的单 位元相同，才能被称为子幺半群. 换句话说，也就是幺半群的一个子半群如果有单位 元，但和幺半群的单位元不同，它也不能被称为子 幺半群.（会有这种情况吗？） (2)幺半群有无单位元(不管此单位元是否和幺半群的 单位元相同)的子半群.
第2节 半群与幺半群
主要内容: 半群与幺半群 子半群、子幺半群 理想
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半群与幺半群
定义1 (1) 设(S, ∘)是一个代数系统，如果运算∘满足 结合律，则称(S, ∘)为一个半群. (2) 设(S, ∘)是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元， 则称(S, ∘)是一个幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点(S, ∘) 记作 (S,∘,e). (3)如果(幺)半群S中的运算∘满足交换律，则称(幺)半 群S为交换(幺)半群或可换(幺)半群. (4)只含有有限个元素的(幺)半群S称为有限(幺)半群， 否则称为无限(幺)半群. 通常把S的基数称为(幺)半群S的阶.
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生成子(幺)半群
定义4 设(S,∘)是半群，A是S的一个非空子集. 由S的 包含A的所有子半群的交集所作成的子半群称为由 A生成的的子半群，记为(A).
设(S,∘,e)是幺半群，A是S的一个非空子集. 由S的包 含A的所有子幺半群的交集所作成的子幺半群称为 由A生成的的子幺半群，记为(A).
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子半群、子幺半群
定义2 设(S,∘)是半群，B是S的一个非空子集. 如果 x, yB，有x∘yB，则称(B,∘)是(S,∘)的一个子半 群，简称B是S的子半群. 定义3 设(S,∘,e)是幺半群，P S. 如果eP 且P是S 的子半群，则称P是S的子幺半群. 定理4 (1) 设(S,∘)是半群，B是S的一个非空子集. B是S的子半群 B∘B B. (2) 设(S,∘,e)是幺半群，P S. P是S的子幺半群 eP且 P∘P P.
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实 例
例1 (1) (N,+), (Z+,+),(Z,+),(Q,+),(R,+)都是半群，其 中+是普通加法. 这些半群中除(Z+,+)外都是幺半群. (2) 设n是大于1的正整数，(Mn(R),+)和(Mn(R),· )都是 半群，也都是幺半群，其中+和· 分别表示矩阵加法 和矩阵乘法. (3) (P(B),)为半群，也是幺半群，其中为集合对 称差运算.
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循环(幺)半群
定义5 一个半群称为循环半群，如果这个半群是由 其中的某个元素生成的半群. 由元素a生成的循环半 群记为(a). 一个幺半群称为循环幺半群，如果这个幺半群是由 其中的某个元素生成的幺半群. 由元素a生成的循环 幺半群记为(a). 定理5 循环半群(幺半群)必是可交换循环半群(幺半群).
性质3 由A生成的的子半群是半群S包含A的最小子 (幺)半群. 由A生成的的子幺半群是幺半群S包含A的最小子幺 半群. 10/13
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理想
定义5 设A是半群(S,∘)的一个非空子集. 如果r∈S有 rA A(Ar A)，则称A是半群S的左(右)理想. 如果A既是S的左理想，又是S的右理想，则称A是S的 理想.
例3 半群(N,+)=(1); 幺半群(N0,+)=(1)，其中N0=N∪{0}.
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总 结
主要内容： (幺)半群的定义与实例 子(幺)半群的定义与性质
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幂运算
在幺半群(S,∘,e)中可以定义非负整数次幂的运算. a S， a0=e , an+1=an ∘a , n≥0.
定理3 设 (S,∘,e)是一个幺半群，m,n是任意的非负整 数，则 (1)aS，am ∘ an =am+n , (am)n =amn . (2)若(S,∘,e)是可换的，则任意a,bS，(a ∘ b)n =an ∘ bn.
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子(幺)半群的性质
性质1 一个半群S的任意多个子半群的交集还是S的 子半群. 一个幺半群S的任意多个子幺半群的交集还是S的子 幺半群. 性质2 设(S,∘)是半群，A是S的一个非空子集，则S 的一切包含A的子半群的交集也是S的子半群. 设(S,∘,e)是幺半群，A是S的一个非空子集，则S的 一切包含A的子幺半群的交集也是S的子幺半群.
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实 例
(4) (Zn, )为半群，也是幺半群，其中 Zn={0,1,…,n1}，为模n加法. (5) (AA,◦)为半群，也是幺半群，其中◦为映射的合成 运算.
(6) (R*,◦)为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算 定义如下：x, yR*, x◦y=y.
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近世代数 [注意] 有单位元素并不是半群的固有性质. 在没有单 位元素的半群中可能有左单位元素，或有右单位元 素，而且左(右)单位元素也可能不只一个，甚至可能 有无穷多个. 定理1 如果半群(S,∘)既有左单位元素又有右单位元 素，则左单位元素与右单位元素相等，从而半群S有 单位元素(即半群S成为幺半群)且单位元素是唯一的. 定理2 有限半群(S,∘)为一个幺半群存在s,tS使得 sS=S，St=S.
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子(幺)半群的实例
例2 (Z, ×)是半群，也是幺半群， {0,1}Z，则 ({0,1}, ×)是(Z, ×)是子半群，也是子幺半群. [注意] (1)幺半群的子半群如果有单位元，且和幺半群的单 位元相同，才能被称为子幺半群. 换句话说，也就是幺半群的一个子半群如果有单位 元，但和幺半群的单位元不同，它也不能被称为子 幺半群.（会有这种情况吗？） (2)幺半群有无单位元(不管此单位元是否和幺半群的 单位元相同)的子半群.