线线、线面、面面之间的位置关系(1-2-1-1-2-4)测试6(必修2)

合集下载

线线、线面、面面的位置关系

线线、线面、面面的位置关系1.命题方向预测：1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．以考查点、线、面的位置关系为主.2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．着重考查垂直关系的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．4.线线、线面、面面的位置关系问题，往往是平行、垂直关系综合考查，题型有选择题、填空题及解答题．难度中、低档题兼有.2.课本结论总结：1.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角). ②范围：02π?? ??，.3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.7.直线与平面平行的判定与性质8.面面平行的判定与性质9.直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法.②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.②垂直于同一个平面的两条直线平行.③垂直于同一条直线的两平面平行.10.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.11.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.12.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.3.名师二级结论：（1）异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．(2)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(3)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(4)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．(5)平行问题的转化关系：(6)垂直问题的转化关系线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直(7)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；(8)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.4.考点交汇展示：【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪性质开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】【解析】如图，在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．（2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥，所以PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x<<，……………8分所以AC ===…………9分PA B因为13P ABC ABC V S PA -=△16=分= ()224162x x +-≤? (11)分 13=．…………………………………………………………………………………………12分当且仅当224x x =-，即x =………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分如图，已知ABC ?，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ?折成A CD '?，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤【答案】B.【解析】设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=，在A CB '?中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB '+-+--'∠==='，在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ，过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α'∠=，在Rt A ND '?中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=，同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==，显然BP ⊥面A NP '，故BP A P '⊥，【考点分类】考向一线线、线面、面面平行与垂直关系的判定1.【2017课标3，文10】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（） A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【答案】C【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立，D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.2.【2018届安徽省六安市第一中学适应性考试】已知直线、，平面、，给出下列命题：①若，，且，则②若，，且，则③若，，且，则④若，，且，则其中正确的命题是（）A．②③B．①③C．①④D．③④【答案】C【解析】分析：①可由面面垂直的判定定理进行判断；②可由面面平行的条件进行判断；③可由面面垂直的条件进行判断；④可由面面垂直的判定定理进行判断.故选：C.【方法规律】1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.线面平行的证明思考途径：线线平行?线面平行?面面平行.3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.4.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.5.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直?线面垂直?面面垂直.6.面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.【解题技巧】1.利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.2.立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.3.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.4.线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.5.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.6.垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.7.线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；8.线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；【易错点睛】1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.5.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.6.证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.例.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是αβ，且m?αB．m∥n，且n⊥βA．⊥αβ，且m∥αD．m⊥n，且n∥βC．⊥【答案】B【解析】∵m∥n, m⊥β∴n⊥β故选B.【易错点】没有掌握线面垂直的条件考向二空间线线、线面及面面关系中的角度问题1.【2018年理数全国卷II】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C2.【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB 以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】【方法规律】求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.【解题技巧】求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.【易错点睛】1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.3.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].例.过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l 可以作()A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】 D【易错点】忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系.考向三线线、线面、面面的位置关系的综合问题1.【2018年江苏卷】在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．2. 【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通过计算，根据勾股定理得,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）找出直线AC1与平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（Ⅰ）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）根据方程组解出平面的一个法向量，然后利用与平面法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.详解：方法一：（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.【解题技巧】1．利用线线、线面和面面的平行、垂直关系相互转化．2．求线面所成角时注意垂直关系的应用．3. 结合向量法进行证明和求解【易错点睛】(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．（1）证明过程要规范（2）注意角度的取值范围（线线、线面和面面）例1.【2017山东，文18】（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , （Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.【答案】①证明见解析.②证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）取11B D 中点F ,证明1//A O CF ,（Ⅱ）证明11B D ⊥面1A EM .(II)因为AC BD ⊥,E ，M 分别为AD 和OD 的中点, 所以EM BD ⊥,因为ABCD 为正方形,所以AO BD ⊥, 又1A E ⊥平面ABCD ,BD ?平面ABCD 所以1,A E B D ⊥ 因为11//,B D BD所以11111,,EM B D A E B D ⊥⊥又1,A E EM ?平面1A EM ，1A EEM E =.所以11B D ⊥平面1,A EM 又11B D ?平面11B CD ,所以平面1A EM ⊥平面11B CD .【易错点】不会灵活应用线线、线面和面面平行的判定定理和性质定理进行转换，答题过程不规范。

2019-2020学年度高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-3空间中的垂直关系自主训练新人教B版必修2

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-3空间中的垂直关系自主训练新人教B版必修2______年______月______日____________________部门自主广场我夯基我达标1.若直线l不垂直于平面α，那么平面α内( )A.不存在与l垂直的直线B.只存在一条与l垂直的直线C.存在无数条直线与l垂直D.以上都不对思路解析:直线与平面不垂直也可以垂直平面内的无数条直线,不过它们都是平行直线,不能是相交直线.答案：C2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )A.平面DD1C1CB.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1D.平面A1DB思路解析:由直线与平面垂直的判定定理可以证明与AD1垂直的平面是平面A1DB1.答案：B3.(20xx广东高考,5)给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面;③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是( )A.4B.3C.2D.1思路解析:由定义及判定定理知①②④正确，故选B.答案：B4.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是( )A.m⊥α,nβ,m⊥nα⊥βB.α∥β,m⊥α,n∥βm⊥n⊂⇒⇒C.α⊥β,m⊥α,n∥βm⊥nD.α⊥β,α∩β=m,n⊥mn⊥β⇒⇒思路解析:正确的命题是α∥β,m⊥α,n∥βm⊥n，选B.⇒答案：B5.已知正△ABC的边长为 2 cm，PA⊥平面ABC，A为垂足，且PA=2 cm,那么P到BC的距离为_____________.思路解析:取BC的中点D，连结AD、PD，由于△ABC为等边三角形，所以AD⊥BC，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，则BC⊥平面PAD，所以BC⊥PD，故PD就是所求的距离，根据正△ABC的边长为2 cm，则AD=3，在Rt△PAD中，PA=2，根据勾股定理可得PD=7.答案：76.若平面α及这个平面外的一条直线l 同时垂直于直线m,则直线l 和平面α的位置关系是___________________.思路解析:过l 作平面β，设α∩β=a.∵m⊥α，∴m⊥a.又m⊥l，l 、a 同在β内，故l∥a.∴l∥α.答案：l∥α我综合我发展7.Rt△ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在α外,C 在α上射影为D(不在AB 上)，则△ABD 是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形思路解析:如图,AD ＜AC,DB ＜BC ，∴AD2+DB2＜AC2+BC2=AB2.∴∠ADB 为钝角.图1-2-3-7答案：C8.正方形ABCD 的边长为12,PA⊥平面ABCD ，PA=12，则点P 到对角线BD 的距离为( )A. B. C. D.3122123666思路解析:如图,连结AC 交BD 于O 点,图1-2-3-8则PA⊥BD,AO⊥BD.∴BD⊥面PAO. 故PO 为P 到BD 的距离.在Rt△AOP 中，PA=12，AO=.26 ∴PO=.66答案：D9.P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若P到四边的距离都相等，则ABCD( )A.是正方形B.是长方形C.有一个内切圆D.有一个外接圆思路解析:根据空间射影定理，点P在面ABCD内射影为四边形的内切圆的圆心.答案：C10.求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点而垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.思路解析:反证法与同一法都是间接证法，但前者证的是原命题的逆否命题；后者证的是原命题的逆命题，但原命题必须符合同一法则.由于同一法则不易掌握，所以遇到有可能利用同一法证明的题，可改为用反证法形式证明.如题中可假设α,在平面α内作AE⊥CD，得AE⊥β，又AB⊥β，与过一点只有一条直线与平面垂直矛盾，所以假设不成立，得ABα.⊂图1-2-3-9答案:已知：α⊥β，α∩β=CD,A∈α,AB⊥β.求证：ABα.⊂证明：如图，在平面α内作AE⊥CD,则AE⊥β，而AB⊥β，∴AB与AE重合.∵AEα，∴ABα.⊂⊂11.如图1-2-3-10所示，四面体A —BCD 被平行于棱AB 、CD 的平面EFGH 所截.其中AC=AD=BC=BD ，AB=2CD,则AH∶HC 的值为多少时，四边形EFGH 的面积最大？图1-2-3-10思路分析:根据线段之间的关系判定四边形的形状,写出面积的函数关系式,再求最值,体现了函数思想.解：如图所示，设=λ，HCAH则,1+=λλAC AH 由题设可得GH∥DC，EH∥AB， ∴GH=·CD，EH=·AB.1+λλ11+λ又AC=AD=BC=BD ，易证得AB⊥CD. ∴四边形EFGH 为矩形. ∴S 矩形EFGH=GH·EH=·CD·AB=·2·CD2=·CD2≤·CD2=CD2.2)1(1+λ122++λλλ212++λλ222+21当且仅当λ=,即λ=1时等号成立,λ1即AH∶HC 等于1时，四边形EFGH 面积取最大值.。

中职线线、线面、面面关系归纳总结

第二章点、直线、平面之间的位置关系一、知识点归纳二、规律方法总结(1)证点共线：常证明点在两个平面的交线上．(2)证点线共面：常先据公理二及其推论确定一个平面，再证其它元素都在这个平面内．(3)证线线平行：常用公理4、线面平行的性质、面面平行的性质、两直线与同一平面垂直．(4)证线面平行：常用线面平行的判定定理，线面平行的定义．(5)证面面平行：常用判定定理、定义、推论或证两平面和同一条直线垂直，有时也用两平面与同一平面平行．(6)证线线垂直：常用两直线所成的角是直角、线面垂直的性质、面面垂直的性质． (7)证线面垂直：常用判定定理、定义． (8)证面面垂直：常用判定定理、定义．(9)求二面角、直线与直线所成角：常先作出角然后组成三角形，并通过解三角形求角．线线角、线面角、面面角专题一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

2.角的取值范围：090θ<≤︒；垂直时，异面直线当b a ,900=θ。

例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值二、直线与平面所成的角1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：︒︒≤≤900θ。

例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。

BMHSCA一、二面角：1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

2.1.2空间中线线、线面、面面的位置关系

求直线BA 所成角的度数。例2:(1)求直线 1和CC1所成角的度数。求直线
D 1 A 1 B1
C1
45
C
o
D
A
B
哪些棱所在直线与直线AA 垂直？例2:(2)哪些棱所在直线与直线 1垂直？哪些棱所在直线与直线
D 1
C1
A 1
B1
D
A
C
B
四、异面直线所成角的求法：异面直线所成角的求法：一作(找、二证、一作找)、二证、三求 (1)通过直线平移，作出异面直线通过直线平移，通过直线平移所成的角，把空间问题转化为所成的角，平面问题。平面问题。 (2)利用平面几何知识，利用平面几何知识，利用平面几何知识求出异面直线所成角的大小。求出异面直线所成角的大小。
空间中线线、线面、面面的位置关系空间中线线、线面、
复习
公理1: 公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么 1: 这条直线上的所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). 公理2: 2:过不在同一直线上的三点，有且只有一个公理2: 平面. 公理3: 3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那公理3: 么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线. 推论1: 推论1:一条直线和直线外一点唯一确定一个平面. 1: 推论2 推论2:两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 推论3:两条平行直线唯一确定一个平面.
α
l a b
练习
下列命题正确的选项是（下列命题正确的选项是（ 4 ）
（1）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l / /α . （2）若直线l与平面α 平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行. （3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. （4）若直线l与平面α 平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.

2016年蚌埠市高考一轮复习线线、线面、面面的位置关系 (1)

2016年蚌埠市高考一轮复习线线、线面、面面的位置关系热点一平行关系1.(2012年高考四川卷理科6)下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2. (2012年高考山东卷文科19) (本小题满分12分)如图，几何体E ABCD-是四棱锥，△ABD为正三角形，,=⊥.CB CD EC BD(Ⅰ)求证：BE DE=；(Ⅱ)若∠120BCD=︒，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.【方法总结】1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.线面平行的证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行.3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.热点二垂直关系3．(2012年高考浙江卷理科10)已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2．将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，（）A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直4.(2012年高考安徽卷理科6)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥,则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（）()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件()D 即不充分不必要条件【答案】A 【解析】①,b m b b a αβα⊥⊥⇒⊥⇒⊥ ②如果//a m ；则a b ⊥与b m ⊥条件相同.5.(2012年高考北京卷文科16)（本小题共14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2。

高中数学必修二点、线、面之间的位置关系

1.2点、线、面之间的位置关系考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1.2.1 平面的基本性质重难点：理解平面的概念及表示，掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言．经典例题：如图，设E，F，G，H，P，Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1所在棱上的中点，求证：E，F，G，H，P，Q共面.当堂练习：1．下面给出四个命题：①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．若点N在直线a上，直线a又在平面内，则点N，直线a与平面之间的关系可记作（）A．N B．N C．N D．N3．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（）A．0B．1C．1或4D．无法确定4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，则下面结论成立的是（）A．四点中必有三点共线B．四点中必有三点不共线C．AB，BC，CD，DA四条直线中总有两条平行D．直线AB与CD必相交5．空间不重合的三个平面可以把空间分成（）A．4或6或7个部分B．4或6或7或8个部分C．4或7或8个部分D．6或7或8个部分6．下列说法正确的是（）①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB, 则线段AB延长线上的任何一点一点必在平面内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A．①②③B．②③④C．③④D．②③7．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n，则n的可能取值为（）A．1 B．1或3 C．1或2或3 D．1或48．如果那么下列关系成立的是（）A．B．C．D．9．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为（）A．7个B．6个C．5个D．4个10．两个平面重合的条件是它们的公共部分有（）A．两个公共点B．三个公共点C．四个公共点D．两条平行直线11．一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是（）A．1或3个B．1或4个C．1个、3个或4个D．1个、2个或4个12．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（）A．1个B．1个或2个C．1个或3个D．3个13．空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF GH=P，则点P（）A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上也不在直线BD上14．设平面与平面交于直线, 直线, 直线,, 则M_______．15．直线AB、AD，直线CB、CD，点E AB，点F BC，点G CD，点H DA，若直线HE直线FG=M，则点M必在直线___________上．16．如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1、C1D1的中点，过D、M、N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为_______________．17．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则BM：MD1=________________．18．如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O．求证：B、D、O三点共线．19．证明梯形是平面图形．20．已知: 直线, 且直线与a, b, c都相交．求证: 直线共面．21．在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1C交平面ABC1D1于点M , 试作出点M 的位置．参考答案：经典例题：证明：连接EF，QG，E，F，Q，G分别是A1D1，D1C1，A1A，C1C的中点，EF||A1C1||QG, 同理FG||EP，设E，F，G，Q确定平面，F，G，E，P确定平面，由于都经过不共线的三点E，F，G，故重合，即E，F，G，P，Q五点共面，同理可证E，F，G，H，Q五点共面，故E，F，G，H，P，Q共面．当堂练习：1.A;2.B;3.C;4.B;5.B;6.B;7.B;8.A;9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14.; 15. BD; 16.; 17. 2:1;18.证明：E，. .. 同理可证O, , 即B、D、O三点共线．20.证明: 如图,设与分别交于A ,B ,C ,经过可确定一个平面经过a, b可确定一个平面.,同理B,则AB, 即因经过的平面有且只有一个, 与为同一平面.同理即共面．21.解: 连结D1B , A1B , CD1, 则D1B与A1C的交点即为所求作的点M.证明: D1B平面ABC1D1 , D1B平面A1BCD1 ,平面ABC1D1平面A1BCD1= D1B.A1C平面ABC1D1=M, M平面AB C1D1, M平面A1BCD1 ,M D1B．故M为D1B与A1C的交点．。

高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案

D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行面面平行作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。

叫做垂足。

的垂线，则这两个ba第 3 页共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。

符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢，我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

所成的角。

2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。

三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

高三数学空间点线面之间的位置关系

课堂互动讲练
【名师点评】题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定的平面内，也可证明D1E∥BF，从而说明四点共面．
课堂互动讲练
考点四异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确定3进一步反映了平面的延展性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面的两个公共点时，这两点的连线就是交线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是某两个平面的公共点，则这几个点都在这两个平面的交线上)．
随堂即时巩固
点击进入
课时活页训练
PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
课堂互动讲练
【思路点拨】要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交线上即可．
课堂互动讲练
【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
课堂互动讲练
解：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF；②该平面与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看出：EN与ED所成的角即为异面直线FC与ED所成的角. 10分

线线.线面.面面之间的位置关系(1.2.1-1.2.4)测试6(必修2)

必修2第二章?线线、线面、面面之间的位置关系?〔1.2.1-1.2.4〕单元测试题〔时间：60分钟，总分值：100分〕班别座号姓名成绩一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕1.假设直线a 不平行于平面α，那么以下结论成立的是〔〕A. α内所有的直线都与a 异面；B. α内不存在与a 平行的直线；C. α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点.2.两个平面垂直，以下命题①一个平面内的直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，那么垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是〔〕 A.3 B.2 C.1 D.03.空间四边形ABCD 中，假设AB AD AC CB CD BD =====，那么AC 与BD 所成角为A 、030B 、045C 、060D 、0904. 给出以下命题：〔1〕直线a 与平面α不平行，那么a 与平面α内的所有直线都不平行；〔2〕直线a 与平面α不垂直，那么a 与平面α内的所有直线都不垂直；〔3〕异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任何平面与b 都不垂直；〔4〕假设直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，那么a 和c 共面其中错误命题的个数为〔〕〔A 〕0 〔B 〕 1 〔C 〕2 〔D 〕35．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有〔〕条 A 3 B 4 C 6 D 86. 点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，假设PA=PB=PC ，那么点O 是ΔABC 的〔〕〔A 〕内心〔B 〕外心〔C 〕重心〔D 〕垂心7.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，那么二面角 C 1—BD —C 的大小为〔〕〔A 〕300 〔B 〕450 〔C 〕600 〔D 〕900 8.直线a,b,c 及平面α,β,γ,以下命题正确的选项是〔〕 A 、假设a ⊂α，b ⊂α,c ⊥a, c ⊥b 那么c ⊥α B 、假设b ⊂α, a//b 那么 a//αC 、假设a//α,α∩β=b 那么a//bD 、假设a ⊥α, b ⊥α 那么a//b9.平面α与平面β平行的条件可以是〔〕A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行10、 a, b 是异面直线，下面四个命题：①过a 至少有一个平面平行于b ； ②过a 至少有一个平面垂直于b ；③至多有一条直线与a ，b 都垂直；④至少有一个平面与a ，b 都平行。

高中数学复习精讲空间点、线、面的位置关系

空间点、线、面的位置关系1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题．2．以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．例1(1)(2017·四川省眉山中学月考)已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是()A．若n⊥α，n⊥β，m⊂β，则m∥αB．若m⊥α，α⊥β，则m∥βC．若m，n在α内的射影互相平行，则m∥nD．若m⊥l，α∩β＝l，则m⊥α答案 A解析由题意知，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊂β，则m∥α，A正确；若m⊥α，α⊥β，可能会现m⊂β，B错误；若m，n在α内的射影互相平行，两直线异面也可以，C错误；若m⊥l，α∩β＝l，可能会出现m⊂α，D错误．故选A.(2)(2017届泉州模拟)设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．有无数多个 B．恰有4个C．只有1个D．不存在答案 A解析如图，由题意知面P AD与面PBC相交，面P AB与面PCD相交，可设两组相交平面的交线分别为m，n，由m，n决定的平面为β，作α与β平行且与四条侧棱相交，交点分别为A1，B1，C1，D1，则由面面平行的性质定理得A1B1∥n∥C1D1，A1D1∥m∥B1C1，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下平移，可知满足条件的平面α有无数多个．故选A.思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．跟踪演练1(1)α，β，γ是三个平面，m, n是两条直线，则下列命题正确的是()A．若α∩β＝m, n⊂α，m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m, α∩γ＝n，则m⊥nC．若m不垂直平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β答案 D解析逐一分析所给的命题：A项，若α∩β＝m, n⊂α，m⊥n，并非一条直线垂直于平面内的两条相交直线，不一定有α⊥β，该说法错误；B项，若α⊥β，α∩β＝m, α∩γ＝n，无法确定m，n的关系，该说法错误；C项，若m不垂直平面α，则m可能垂直于平面α内的无数条直线，该说法错误；D项，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β，该说法正确．故选D.(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案 D解析若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．例2 (1)(2017·北京)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． ①求证：P A ⊥BD ；②求证：平面BDE ⊥平面P AC ；③当P A ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积． ①证明因为P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ， AB ，BC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥平面ABC .又因为BD ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BD . ②证明因为AB ＝BC ，D 是AC 的中点，所以BD ⊥AC . 由(1)知，P A ⊥BD ，又P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥平面P AC .又BD ⊂平面BDE . 所以平面BDE ⊥平面P AC .③解因为P A ∥平面BDE ，P A ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面BDE ＝DE ，所以P A ∥DE . 又因为D 为AC 的中点，所以DE ＝12P A ＝1，BD ＝DC ＝ 2.由(1)知，P A ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，所以三棱锥E －BCD 的体积 V ＝16BD ·DC ·DE ＝13.(2)如图，在四棱锥A －EFCB 中，四边形EFCB 是梯形， EF ∥BC 且EF ＝34BC ，△ABC 是边长为2的正三角形，顶点F 在AC 上的射影为点G ，且FG ＝3， CF ＝212， BF ＝52. ①证明：平面FGB ⊥平面ABC ； ②求三棱锥E －GBC 的体积．①证明由顶点F 在AC 上的射影为点G 可知， FG ⊥AC .取AC 的中点为O ，连接OB . 在Rt △FGC 中，FG ＝3， CF ＝212，∴CG ＝32. 在Rt △GBO 中，OB ＝3， OG ＝12，∴BG ＝132.∴BG 2＋GF 2＝FB 2，即FG ⊥BG . ∵FG ⊥AC ，FG ⊥BG ，AC ∩BG ＝G ， AC ⊂平面ABC ，BG ⊂平面ABC ， ∴FG ⊥平面ABC .又FG ⊂平面FGB ，∴平面FGB ⊥平面ABC . ②解 ∵EF ∥BC, EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC ，V E －GBC ＝V F －GBC ， ∴V E －GBC ＝V F －GBC ＝13×S △GBC ×FG＝13×334×3＝34. 思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l ⊥α，a ⊂α⇒l ⊥a .跟踪演练2 (2017·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P —ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P —ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．(1)证明由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥P A ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，又P A ∩PD ＝P ，P A ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD .(2)解如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x ，故四棱锥P —ABCD 的体积 V P-ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2， AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝22，可得四棱锥P —ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 热点三平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．例3 (2017·孝义质检)如图(1)，在五边形ABCDE 中， ED ＝EA ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，∠EDC ＝150°.如图(2)，将△EAD 沿AD 折到△P AD 的位置，得到四棱锥P －ABCD .点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD .(1)求证：平面P AD ⊥平面ABCD ；(2)若四棱锥P －ABCD 的体积为23，求四面体BCDM 的体积．(1)证明取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，如图所示，则MN ∥CD ，MN ＝12CD .又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，∴MN ∥AB 且MN ＝AB ，∴四边形ABMN 为平行四边形，∴AN ∥BM ，又BM ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥PD ，AN ⊥CD .由ED ＝EA ，即PD ＝P A 及N 为PD 的中点，可得△P AD 为等边三角形， ∴∠PDA ＝60°，又∠EDC ＝150°， ∴∠CDA ＝90°，∴CD ⊥AD ，又AN ∩AD ＝A ，AN ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥平面P AD ，又∵CD ⊂平面ABCD ， ∴平面P AD ⊥平面ABCD .(2)解设四棱锥P －ABCD 的高为h ，四边形ABCD 的面积为S ，则V P －ABCD ＝13hS ＝23，又S △BCD ＝23S ，四面体BCDM 的高为h2.∴V BCDM ＝13×h 2×S △BCD ＝16×23hS＝16×23×63＝233， ∴四面体BCDM 的体积为233.思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口．(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．跟踪演练3 (2017届四川省成都市九校模拟)如图，在直角梯形ABCD 中， AD ∥ BC, AB ⊥BC, BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE, AC, DE, 得到如图所示的空间几何体．(1)求证：AB ⊥平面ADC ；(2)若AD ＝1，AB ＝2，求点B 到平面ADE 的距离． (1)证明因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，又BD ⊥DC ，DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABD . 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB .又AD ⊥AB ，DC ∩AD ＝D ，AD ，DC ⊂平面ADC ，所以AB ⊥平面ADC .(2)解因为AB ＝2，AD ＝1，所以BD ＝ 3. 依题意△ABD ∽△DCB ，所以AB AD ＝CD BD ，即21＝CD 3.所以CD ＝ 6. 故BC ＝3.由于AB ⊥平面ADC ，AB ⊥AC ，E 为BC 的中点，所以AE ＝BC 2＝32.同理DE ＝BC 2＝32.所以S △ADE ＝12×1×⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫122＝22.因为DC ⊥平面ABD ，所以V A —BCD ＝13CD ·S △ABD ＝33.设点B 到平面ADE 的距离为d ，则13d ·S △ADE ＝V B —ADE ＝V A —BDE ＝12V A —BCD ＝36，所以d ＝62，即点B 到平面ADE 的距离为62.真题体验1．(2017·全国Ⅰ改编)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是______．答案(1)解析对于(1)，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交；对于(2)，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；对于(3)，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；对于(4)，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.2．(2017·江苏)如图，在三棱锥A—BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以AB∥EF.又EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.押题预测1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是()A．m⊥n⇒m⊥βB．m⊥n⇒α⊥βC．α∥β⇒m∥βD．m∥n⇒α∥β押题依据空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点．此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力．答案 C解析构造长方体，如图所示．因为A1C1⊥AA1，A1C1⊂平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，所以平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直．所以选项A，B都是假命题．CC1∥AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题．“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C.2．如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示．(1)求证：A1E⊥FP；(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式．(1)证明在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示．因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形．又AE＝DE，所以EF⊥AD.所以在题图(2)中A1E⊥EF，BE⊥EF.故∠A1EB为二面角A1—EF—B的一个平面角．因为平面A1EF⊥平面BEFC，所以∠A1EB＝90°，即A1E⊥EB.因为EF∩EB＝E，EF，EB⊂平面BEFC，所以A1E⊥平面BEFC.因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.(2)解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．理由如下：如题图(1)，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.如图所示，取A1P的中点M，连接MK，因为点K为棱A1F的中点，所以MK∥FP.因为FP∥BE，所以MK∥BE.因为MK⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，所以MK∥平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行．A组专题通关1．(2017·河南省六市联考)如图，G, H, M, N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH, MN是异面直线的图形的序号为()A．①②B．③④C．①③D．②④答案 D解析由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意；图②中的GH与MN异面，符合题意；图③中GH与MN相交，不合题意；图④中GH与MN异面，符合题意．则表示GH, MN是异面直线的图形的序号为②④.故选D.2．(2017届南昌模拟)已知直线m，n与平面α，β，γ满足α⊥β，α∩β＝m，n⊥α，n⊂γ，则下列判断一定正确的是()A．m∥γ，α⊥γ B．n∥β，α⊥γC．β∥γ，α⊥γD．m⊥n，α⊥γ答案 D解析因为α⊥β，α∩β＝m，n⊥α，n⊂γ，所以α⊥γ成立，但m，γ可能相交，故A不正确；也有可能n ⊂β，故B不正确；对于C，也有β与γ相交的可能，故C也不正确；对于D，因为α∩β＝m，n⊥α，所以m⊥n，故选D.3．已知平面α及直线a，b下列说法正确的是()A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直答案 D解析由题意逐一分析所给的选项．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不一定平行；若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直；若直线a，b平行，则这两条直线中可能两条都与平面α不平行；若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直．故选D.4．已知m，n，l1，l2表示不同的直线，α，β表示不同的平面，若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2答案 D解析对于选项A ，当m ∥β且l 1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A 不是α∥β的充分条件；对于选项B ，当m ∥β且n ∥β时，若m ∥n ，则α，β可能平行也可能相交，故B 不是α∥β的充分条件；对于选项C ，当m ∥β且n ∥l 2时，α，β可能平行也可能相交，故C 不是α∥β的充分条件；对于选项D ，当m ∥l 1，n ∥l 2时，由线面平行的判定定理可得l 1∥α，l 2∥α，又l 1∩l 2＝M ，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m ∥l 1且n ∥l 2不一定成立，故D 是α∥β的一个充分条件．故选D. 5．对于四面体A —BCD ，有以下命题：①若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等；②若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则点A 在底面BCD 内的射影是△BCD 的内心； ③四面体A —BCD 的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体A —BCD 的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为π6.其中正确的命题是( ) A ．①③B ．③④C ．①②③D ．①③④ 答案 D空间点、线、面的位置关系作业A 组基础题组1.已知E,F,G,H 是空间四点,命题甲:E,F,G,H 四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不相交,则甲是乙成立的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列命题: ①若α∩β=m,n ⊂α,n ⊥m,则α⊥β; ②若m ⊥α,m ⊥β,则α∥β; ③若m ⊥α,n ⊥β,m ⊥n,则α⊥β; ④若m ∥α,n ∥β,且m ∥n,则α∥β. 其中,属于真命题的序号是( ) A.①④ B.②③ C.②④ D.①③3.如图,在三棱锥P-ABC中,不能证明AP⊥BC的条件是( )A.AP⊥PB,AP⊥PCB.AP⊥PB,BC⊥PBC.平面BPC⊥平面APC,BC⊥PCD.AP⊥平面PBC4.(2017惠州第三次调研考试)如图是几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD 的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:①直线BE与直线CF异面; ②直线BE与直线AF异面;③直线EF∥平面PBC; ④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图所示,直线PA垂直于☉O所在的平面,△ABC内接于☉O,且AB为☉O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是( )A.①②B.①②③C.①D.②③6.如图,在空间四边形ABCD中,M∈AB,N∈AD,若=,则直线MN与平面BDC的位置关系是.7.已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列命题:①若l⊂α,l∥β,α∩β=m,则l∥m;②若α∥β,l∥α,则l∥β;③若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.其中真命题是(写出所有真命题的序号).8.下列命题正确的是.(填上你认为正确的所有命题的序号)①空间中的三个平面α、β、γ,若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;②球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的表面积为a2;③三棱锥P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,则PC⊥AB.9.如图,一个侧棱长为l的直三棱柱ABC-A1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度).若液面恰好分别过棱AC,BC,B1C1,A1C1的中点D,E,F,G.(1)求证:平面DEFG∥平面ABB1A1;(2)当底面ABC水平放置时,求液面的高.10.(2017东北四市高考模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,AD=AP=2,AB=2,E 为棱PD的中点.(1)证明:PD⊥平面ABE;(2)求三棱锥C-PBD外接球的体积.B组提升题组1.(2017郑州第一次质量检测)如图,直三棱柱ABC-A'B'C'中,△ABC是边长为2的等边三角形,AA'=4,点E,F,G,H,M分别是边AA',AB,BB',A'B',BC的中点,动点P在四边形EFGH内部运动,并且始终有MP∥平面ACC'A',则动点P的轨迹长度为( )A.2B.2πC.2D.42.(2017武汉武昌调研考试)在矩形ABCD中,AB<BC,现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)3.(2017福州综合质量检测)如图1,在等腰梯形PDCB中,PB∥DC,PB=3,DC=1,∠DPB=45°,DA⊥PB于点A,将△PAD沿AD折起,构成如图2所示的四棱锥P-ABCD,点M在棱PB上,且PM=MB.(1)求证:PD∥平面MAC;(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求点A到平面PBC的距离.4.在多面体ABCDEF中,底面ABCD是梯形,四边形ADEF是正方形,AB∥DC,AB=AD=1,CD=2,AC=EC=.(1)求证:平面EBC⊥平面EBD;(2)设M为线段EC上一点,且3EM=EC,试问在线段BC上是否存在一点T,使得MT∥平面BDE,若存在,试指出点T的位置;若不存在,请说明理由.答案精解精析A组基础题组1.B 若E,F,G,H四点不共面,则直线EF和GH肯定不相交,但直线EF和GH不相交,E,F,G,H四点可以共面,例如EF∥GH.故选B.2.B 两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况,①不正确;垂直于同一条直线的两个平面平行,②正确;当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时,它们所成的二面角为直二面角,故③正确;当两个平面相交时,分别与两个平面平行的直线也平行,故④不正确.综上,属于真命题的序号是②③.故选B.3.B A中,因为AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC,故A正确;C中,因为平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC,所以BC⊥平面APC,因为AP⊂平面APC,所以AP⊥BC,故C正确;D中,因为AP⊥平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AP⊥BC,故D正确;B中条件不能证明AP⊥BC,故选B.4.B 将展开图还原为几何体(如图),因为四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,所以EF∥AD∥BC,则直线BE与CF共面,①错;因为AF⊂平面PAD,B∉平面PAD,E∈平面PAD,E∉AF,所以BE与AF是异面直线,②正确;因为EF∥AD∥BC,EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC,③正确;平面PAD与平面BCE不一定垂直,④错.故选B.5.B 对于①,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB为☉O的直径,∴BC⊥AC,又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.对于②,∵点M为线段PB的中点,O为AB的中点,∴OM∥PA,∵PA⊂平面PAC,OM⊄平面PAC,∴OM∥平面PAC.对于③,由①知,BC⊥平面PAC,∴线段BC的长即为点B到平面PAC的距离.故①②③都正确.6.答案平行解析由=,得MN∥BD.而BD⊂平面BDC,MN⊄平面BDC,所以MN∥平面BDC.7.答案①③解析由直线与平面平行的性质定理,知命题①正确;若α∥β,l∥α,则l⊂β或l∥β,命题②错误;∵l⊥α,l∥m,∴m⊥α.又∵α∥β,∴m⊥β,命题③正确.8.答案②③解析①中,平面α与平面γ也可能相交;②中,易得球的半径为r=a,故该球的表面积为a2;③中,由PA⊥BC,PB⊥AC得点P在底面ABC的投影为△ABC的垂心,故PC⊥AB.9.解析(1)证明:因为D,E分别为棱AC,BC的中点,所以DE是△ABC的中位线,所以DE∥AB.又DE⊄平面ABB1A1,AB⊂平面ABB1A1,所以DE∥平面ABB1A1.易知DG∥平面ABB1A1,又DE∩DG=D,所以平面DEFG∥平面ABB1A1.(2)当直三棱柱ABC-A1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时,由(1)可知,液体部分是直四棱柱,其高即为直三棱柱ABC-A1B1C1容器的高,即侧棱长l,当底面ABC水平放置时,设液面的高为h,△ABC的面积为S,则由已知条件可知,△CDE∽△CAB,且S△CDE=S,所以S四边形ABED=S.由于两种状态下液体体积相等,所以V液体=Sh=S四边形ABED l=Sl,即h=l.因此,当底面ABC水平放置时,液面的高为l.10.解析(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.又AD⊥AB,PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,∴PD⊥AB.∵AP=AD且E为PD的中点,∴AE⊥PD,又AE∩AB=A,∴PD⊥平面 ABE.(2)取PC的中点O,连接OB,OD,AC,由(1)知AB⊥平面PAD,AB∥CD,∴CD⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,∴CD⊥PD,则OD=OP=OC=PC.∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,∴BC⊥PB,则OB=OC=OD=OP,∴点O为三棱锥C-PBD外接球的球心.∵PC2=AC2+AP2=AB2+AD2+AP2=(2)2+22+22=36,∴PC=6,∴球的半径R=3,∴V=πR3=36π.B组提升题组1.D 连接MF,FH,MH,由M,F,H分别为BC,AB,A'B'的中点,可知MF∥平面AA'C'C,FH∥平面AA'C'C,所以平面MFH∥平面AA'C'C',所以点P的运动轨迹是线段FH,其长度为4,故选D.2.答案②解析①假设AC与BD垂直,过点A作AE⊥BD于E,连接CE.又AE∩AC=A,∴BD⊥平面AEC,∴BD⊥CE,而在平面BCD中,EC与BD不垂直,故假设不成立,①错.②假设AB⊥CD,又AB⊥AD,CD∩AD=D,∴AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC,由AB<BC可知,存在这样的直角三角形,使AB⊥CD,故假设成立,②正确.③假设AD⊥BC,又DC⊥BC,AD∩DC=D,∴BC⊥平面ADC,∴BC⊥AC,即△ABC为直角三角形,且AB为斜边,而AB<BC,故矛盾,假设不成立,③错.综上,填②.3.解析(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,连接BD交AC于点N,连接MN,依题意知AB∥CD,∴△ABN∽△CDN,又易知PA=1,AB=2,∴==2,∵PM=MB,∴==2,∴在△BPD中,MN∥PD,又PD⊄平面MAC,MN⊂平面MAC,∴PD∥平面MAC.(2)解法一:∵平面PAD⊥平面ABCD,且两平面相交于AD,PA⊥AD,PA⊂平面PAD,∴PA⊥平面ABCD,∴V三棱锥P-ABC=S△ABC·PA=××1=.∵AB=2,AC==,∴PB==,PC==,BC==,∴PB2=PC2+BC2,故∠PCB=90°,设点A到平面PBC的距离为h,则V三棱锥A-PBC=S△PBC·h=×h=h.∵V三棱锥P-ABC=V三棱锥A-PBC,∴=h,解得h=.故点A到平面PBC的距离为.解法二:∵平面PAD⊥平面ABCD,且两平面相交于AD,PA⊥AD,PA⊂平面PAD,∴PA⊥平面ABCD,∵BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC,∵AB=2,AC==,BC==,∴AB2=AC2+BC2, ∴BC⊥AC,又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC,过点A作AE⊥PC于点E,则BC⊥AE,∵PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,∴AE⊥平面PBC,∴点A到平面PBC的距离AE===.4.解析(1)证明:因为AD=1,CD=2,AC=,所以AD2+CD2=AC2,所以△ADC为直角三角形,且AD⊥DC.因为ED=1,CD=2,EC=,所以ED2+CD2=EC2,所以△EDC为直角三角形,且ED⊥DC.又四边形ADEF是正方形,所以AD⊥DE,因为AD∩DC=D,所以ED⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以ED⊥BC.在梯形ABCD中,过点B作BH⊥CD于点H,故四边形ABHD是正方形,所以∠ADB=45°,BD=.在Rt△BCH中,BH=CH=1,所以BC=,故BD2+BC2=DC2,所以BC⊥BD.因为BD∩ED=D,BD⊂平面EBD,ED⊂平面EBD, 所以BC⊥平面EBD,又BC⊂平面EBC,所以平面EBC⊥平面EBD.(2)在线段BC上存在一点T,使得MT∥平面BDE,此时3BT=BC.理由:连接MT.在△EBC中,因为==,所以MT∥EB. 又MT⊄平面BDE,EB⊂平面BDE,所以MT∥平面BDE.解析 ①正确，若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 在底面的射影相等，即与底面所成角相等；②不正确，如图，点A 在平面BCD 的射影为点O ，连接BO ，CO ，可得BO ⊥CD ，CO ⊥BD ，所以点O 是△BCD 的垂心；③正确，如图， AB ⊥平面BCD, ∠BCD ＝90°，其中有4个直角三角形；④正确，正四面体的内切球的半径为r ，棱长为1，高为63，根据等体积公式13×S ×63＝13×4×S ×r ，解得 r ＝612，那么内切球的表面积S ＝4πr 2＝π6，故选D. 6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号) ①AC ⊥BE ； ②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E －ABC 的体积为定值； ④直线B 1E ⊥直线BC 1. 答案 ①②③解析因为AC ⊥平面BDD 1B 1，故①正确；因为B 1D 1∥平面ABCD ，故②正确；记正方体的体积为V ，则V E －ABC ＝16V ，为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误．7．下列四个正方体图形中，点A ，B 为正方体的两个顶点，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)答案 ①③解析对于①，注意到该正方体的面中过直线AB 的侧面与平面MNP 平行，因此直线AB ∥平面MNP ；对于②，注意到直线AB 和过点A 的一个与平面MNP 平行的平面相交，因此直线AB 与平面MNP 相交；对于③，注意到此时直线AB 与平面MNP 内的一条直线MP 平行，且直线AB 位于平面MNP 外，因此直线AB 与平面MNP 平行；对于④，易知此时AB 与平面MNP 相交．综上所述，能得出直线AB 平行于平面MNP 的图形的序号是①③.8.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，点D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF . 答案 a 或2a解析由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 易知Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ，得AC A 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a，整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a .9．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP , ∠APB ＝90°， BP ＝BC ，M 为PC 的中点．求证：(1)直线AP ∥平面BDM ； (2)直线BM ⊥平面ACP .证明 (1)设AC ∩BD ＝O ，连接OM ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 的中点，又因为M 为PC 的中点，所以AP ∥OM . 又因为AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以直线AP ∥平面BDM .(2)因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP . 又因为平面ABP ⊥平面BCP ，平面ABP ∩平面BCP ＝BP , AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP .又因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥ BM . 因为BP ＝BC ，M 为PC 的中点，所以BM ⊥CP .又因为AP ∩CP ＝P ，AP ，CP ⊂平面ACP ，所以直线BM ⊥平面ACP .10．(2017届宁夏六盘山高级中学模拟)如图所示，矩形ABCD 中， AB ＝3, BC ＝4，沿对角线BD 把△ABD 折起，使点A 在平面BCD 上的射影E 落在BC 上．(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥A －BCD 的体积．(1)证明 ∵AE ⊥平面BCD ，∴AE ⊥CD . 又BC ⊥CD ，且AE ∩BC ＝E ， ∴CD ⊥平面ABC . 又CD ⊂平面ACD ， ∴平面ACD ⊥平面ABC .(2)解由(1)知，CD ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴CD ⊥AB . 又AB ⊥AD ，CD ∩AD ＝D ， ∴AB ⊥平面ACD .∴V A －BCD ＝V B －ACD ＝13·S △ACD·AB .又在△ACD 中，AC ⊥CD ，AD ＝BC ＝4，AB ＝CD ＝3， ∴AC ＝AD 2－CD 2＝42－32＝7， ∴V A －BCD ＝13×12×7×3×3＝372.B 组能力提高11．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分别在AD 1，BC 上移动，且始终保持MN ∥平面DCC 1D 1，设BN ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 C解析过M 作MQ ∥DD 1，交AD 于点Q ，连接QN . ∵MN ∥平面DCC 1D 1，MQ ∥平面DCC 1D 1，MN ∩MQ ＝M ， ∴平面MNQ ∥平面DCC 1D 1，又平面ABCD 与平面MNQ 和DCC 1D 1分别交于直线QN 和直线DC ， ∴NQ ∥DC ，可得QN ＝CD ＝AB ＝1， AQ ＝BN ＝x ，∵MQ AQ ＝DD 1AD＝2，∴MQ ＝2x .在Rt △MQN 中，MN 2＝MQ 2＋QN 2，即y 2＝4x 2＋1， ∴y 2－4x 2＝1 (0≤x ≤1)，∴函数y ＝f (x )的图象为焦点在y 轴上的双曲线上支的一部分．故选C. 12.(2017届江西省重点中学协作体联考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， AA 1＝6，AB ＝3，AD ＝8, 点M 是棱AD 的中点，N 在棱AA 1上，且满足AN ＝2NA 1, P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点(含边界)，若C 1P ∥平面CMN ，则线段C 1P 长度的最小值是________．答案17解析取A 1D 1的中点Q ，过点Q 在平面ADD 1A 1内作MN 的平行线交DD 1于C 1P ＝17E ，则易知平面C 1QE ∥平面CMN ，在△C 1QE 中作C 1P ⊥QE ，则为所求．13．已知三棱锥P －ABC 中， AC ⊥BC, AC ＝BC ＝2, P A ＝PB ＝PC ＝3, O 是AB 的中点， E 是PB 的中点． (1)证明：平面P AB ⊥平面ABC ； (2)求点B 到平面OEC 的距离．(1)证明连接PO ，在△P AB 中， P A ＝PB, O 是AB 中点， ∴PO ⊥AB ，又∵AC ＝BC ＝2, AC ⊥BC ， ∴AB ＝22，OB ＝OC ＝ 2.∵P A ＝PB ＝PC ＝3，∴PO ＝7， PC 2＝PO 2＋OC 2， ∴PO ⊥OC .又AB ∩OC ＝O, AB ⊂平面ABC, OC ⊂平面ABC ， ∴PO ⊥平面ABC ，∵PO ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面ABC .(2)解 ∵OE 是△P AB 的中位线，∴OE ＝32.∵O 是AB 的中点， AC ＝BC ，∴OC ⊥AB . 又平面P AB ⊥平面ABC ，两平面的交线为AB ， ∴OC ⊥平面P AB ，∵OE ⊂平面P AB ，∴OC ⊥OE .设点B 到平面OEC 的距离为d ，则V B －OEC ＝V E －OBC ， ∴13×S △OEC ·d ＝13×S △OBC ×12OP ， d ＝S △OBC ·12OP S △OEC＝12OB ·OC ·12OP12OE ·OC ＝143.14．(2017届云南省师范大学附属中学月考)如图，矩形AB ′DE (AE ＝6，DE ＝5)，被截去一角(即△BB ′C )，AB ＝3, ∠ABC ＝135°，平面P AE ⊥平面ABCDE, P A＋PE ＝10.(1)求五棱锥P －ABCDE 的体积的最大值； (2)在(1)的情况下，证明： BC ⊥PB . (1)解因为AB ＝3，∠ABC ＝135°，所以∠B ′BC ＝45°， BB ′＝AB ′－AB ＝5－3＝2，所以截去的△BB ′C 是等腰直角三角形，所以S ABCDE ＝S AB ′DE －S △BB ′C ＝6×5－12×2×2＝28.如图，过P 作PO ⊥AE ，垂足为O ，因为平面P AE ⊥平面ABCDE ，平面P AE ∩平面ABCDE ＝AE ， PO ⊂平面P AE ，所以PO ⊥平面ABCDE, PO 为五棱锥P －ABCDE 的高．在平面P AE 内， P A ＋PE ＝10>AE ＝6, P 在以A ，E 为焦点，长轴长为10的椭圆上，由椭圆的简单的几何性质知，点P 为短轴端点时， P 到AE 的距离最大，此时P A ＝PE ＝5, OA ＝OE ＝3，所以PO max ＝4，所以()V P －ABCDE max ＝13S ABCDE ·PO max＝13×28×4＝1123. (2)证明连接OB ，如图，由(1)知， OA ＝AB ＝3，故△OAB 是等腰直角三角形，所以∠ABO ＝45°，所以∠OBC ＝∠ABC －∠ABO ＝135°－45°＝90°，即BC ⊥BO .由于PO ⊥平面ABCDE ，所以PO ⊥BC ，而PO ∩BO ＝O ，PO ，BO ⊂平面POB ，所以BC ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ，所以BC ⊥PB .。

空间中线线线面面面的位置关系

要作平行移动(平行线)，把两条异面
直线所成的角，转化为两条相交直
线所成的角.
例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数。
D1 A1
C1
B1
45o
D
C
A
B
例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
四、异面直线所成角的求法：
一作(找)、二证、三求
(1)通过直线平移，作出异面直线所成的角，把空间问题转化为平面问题。 (2)利用平面几何知识，求出异面直线所成角的大小。
空间中线线、线面、面面的位置关系
复习
公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内(即直线在平面内). 公理2:过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线.
推论1:一条直线和直线外一点唯一确定一个平面.
α
β
等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
三、异面直线所成角的定义：
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。
2、反过来,如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行,那么这两个平面平行.
A B
练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
D1 A1
D A
C1 答案：
B1 C
D1C1、C1C、CD、 D1D、AD、B1C1

线线、线面、面面位置关系

1、直线与直线的位置关系：⑴相交直线——两直线在同一平面内，两直线有且仅有一个公共点。

⑵平面直线——两直线在同一平面内，两直线没有公共点。

⑶异面直线——不存在一个平面同时经过这两条直线。

过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线异面。

2、直线与平面的位置关系：⑴直线在平面内：直线上两点在一个平面内，那么此直线上所有点都在平面内。

⑵直线在平面外：①直线和平面平行。

②直线和平面相交。

两条平行线中一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交。

3、平面和平面的位置关系：⑴平行——没在公共点。

⑵相交——至少有一公共点（或一公共直线）。

如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面一定是平行或相交。

4、直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

5、直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行。

6、平面与平面平行的判定定理：⑴如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行。

⑵如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。

7、平面与平面平行的性质定理：⑴如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面。

⑵如果两个平行平面同进和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

8、直线与平面垂直的判定定理：⑴如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。

⑵如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

9、直线与平面垂直的性质定理：⑴直线与平面内所有直线都垂直。

⑵垂直于同一平面的两条直线平行。

10、平面与平面垂直的判定定理：⑴如果两个相交平面所成二面角为直三面角，那么这两个平面互相垂直。

⑵如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

11、平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

线面,面面位置关系

练习：如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画图表示你的结论。
课堂小结
一、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点. 二、两个平面之间有两种位置关系： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有且只有一条公共直线.
思考题：
1、a与b是异面直线，且c∥a，则c与b一定（）。（A）异面（B）相交（C）平行（D）不平行 2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数是（）对。（A）6 （B）3 （C）8 （D）12 3、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（）平面。（A）一个（B）两个（C）三个（D）四个
②直线与平面相交---有且只有一个公共点；
③直线与平面平行---没有公共点。
直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
（1）直线在平面内（2）直线与平面相交（3）直线与平面平行
直线在平面外
判断直线与平面的位置关系关键在于—判断直线与平面的交点个数。
图形表示 a a α α
A
a
α
符号表示
两个平面的位置关系
位置关系
公共点符号表示图形表示两平面平行没有公共点 α∥β 两平面相交
有一条公共直线
α∩β=a
（4）两个平面平行的画法
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，如图1，而不应画成图2那样．
图1
图2
探究
已知平面, ，直线a, b，且∥， a， b，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？
√
） ×