第一节平面向量的概念及运算性质

第一节平面向量的概念及其线性运算

[知识能否忆起]

一、向量的有关概念

1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．

4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．

6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．

二、向量的线性运算

平行四边形法则

1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：

①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb.

四、共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

[小题能否全取]

1．下列命题正确的是( ) A ．不平行的向量一定不相等 B ．平面内的单位向量有且仅有一个

C ．a 与b 是共线向量，b 与c 是平行向量，则a 与c 是方向相同的向量

D ．若a 与b 平行，则b 与a 方向相同或相反

解析：选A 对于B ，单位向量不是仅有一个，故B 错；对于C ，a 与c 的方向也可能相反，故C 错；对于D ，若b ＝0，则b 的方向是任意的，故D 错，综上可知选A.

2.如右图所示，向量a －b 等于( )

A ．－4e 1－2e 2

B ．－2e 1－4e 2

C ．e 1－3e 2

D ．3e 1－e 2

解析：选C 由题图可得a －b ＝BA ＝e 1－3e 2.

3．(教材习题改编)设a ，b 为不共线向量，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是( )

A ．AD ＝BC

B ．AD ＝2B

C C ．A

D ＝－BC

D ．AD ＝－2BC

解析：选B AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝a ＋2b ＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC .

4．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________. 解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD |＝2. 答案：2

5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，

所以⎩⎪⎨⎪⎧

λ＝－k ，

1＝3k ，解得⎩⎨⎧

k ＝1

3

，λ＝－13.

答案：－1

3

共线向量定理应用时的注意点

(1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两

向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所

在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

典题导入

[例1]给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中假命题的个数为()

A．1B．2

C．3 D．4

[自主解答]①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．

②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC.

又∵A，B，C，D是不共线的四点，

∴四边形ABCD是平行四边形．

反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且AB与DC方向相同，因此AB＝DC.

③不正确．两向量不能比较大小．

④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．

[答案] C

由题悟法

1．平面向量的概念辨析题的解题方法

准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．

2．几个重要结论

(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；

(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；

(3)向量平行与起点的位置无关.

以题试法

1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若

a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

典题导入

[例2] (1)(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD ＋EF ＝( )

A ．0

B ．BE

C ．AD

D ．CF

(2)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝1

3CA ＋λCB ，则λ等于( )

A.23

B.13 C ．－13

D ．－23

[自主解答] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD ＝AF ，BF ＝CE ，

∴BA ＋CD ＋EF ＝BA ＋AF ＋EF ＝BF ＋EF ＝CE ＋EF ＝CF ―→.

(2)∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD . 又∵AD ＝2DB ，

∴2CD ＝CA ＋CB ＋1

3AB

＝CA ＋CB ＋1

3(CB －CA )

＝23CA ＋4

3

CB . ∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23.

[答案] (1)D (2)A