空间直线的方向向量和平面的法向量课件
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3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
自学检测:
P87练习1
一、直线的方向向量
定义：直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的向量 叫做直线 l 果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直 于平面 ，那么称向量 n 垂直于平面 ，记作 n ， 此时，我们把向量 n 叫做平面 的法向量
在平面向量中，我们借助向量研究了平 面内两条直线平行、垂直等位置关系。
那么，如何用向量来刻画空间的 两条直线、直线与平面、平面和平面 的位置关系呢？
§3.2空间向量的应用
为了用向量来研究空间的线面位置关系， 首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”
那么， 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”？
3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
学习目标:
1.理解直线的方向向量与平面的法向量； 2.会用待定系数法求平面的法向量
自学指导:
1.什么叫直线的方向向量与平面的法向量? 2.一个确定的平面的法向量是唯一的吗? 3.求平面的法向量一般用什么方法? 4.例1还可以用传统的几何法来证明吗?请比较两种方 法的优劣? 5.例2的结论说明什么?在平面中的相应结论是什么样 的?你能够写出来吗?
l
a
A
图3.2 14
例1．在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中， 求证： DB1是平面 ACD1 的法向量 例2．在空间直角坐标系内，设平面 经过 点 P( x0 , y0 , z0 ) ，平面 的法向量为 e ( A，B，C) ，M ( x, y, z ) 是平面内任意一点， 求 x, y , z 满足的关系式
思考:已知直线上一点和直线的方向向量,这条 直线就唯一确定.那么,已知平面内一点和平面的 法向量,这个平面是否唯一确定?
《直线的方向向量与平面的法向量(1)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
如图，在三棱台中，，，，设，，，以为空间的一组基，求直线，的一个方向向量．
解：．所以直线的一个方向向量是．．∴直线的一个方向向量为．
结构框图
教材第119页练习第2，3，4题．
显然直线的位置被唯一确定，
即，空间中任意一条直线的位置可以由直线上的一个定点和该直线的方向向量唯一确定．
对于直线上的任意一点，一定存在实数，使得． 反之，由几何知识不难确定，满足上式的点一定在直线上．
直线的向量表示
如图，根据直线的向量表示可知：点在直线上等价于存在实数，使得． 又因为，，所以，整理，得．即，点在直线上的充要条件是．此结论可以证明空间三点共线．
求
，，三点共线
(多选)若点，在直线上，则直线的一个方向向量是( ) A. B. C. D.
解：因为点，在直线上，，所以向量，都是直线的方向向量．故选AB．
已知直线经过点，直线的一个方向向量为．若是直线上任意一点，求满足的关系式．
解：由题意知．因为是Байду номын сангаас方向向量，所以∥，所以．所以满足关系式为．
在空间直角坐标系中，已知点，，点是线段上的一点，且，求点的坐标．
解：设点的坐标为，由题意可知：，且，∴．即，，解得．∴点的坐标为．
根据列方程组
求解
设出点的坐标
在空间直角坐标系中，已知点，，，点为直线上的一点，且，求．
解：依题意知，，．因为点为直线上的一点，所以存在实数，使得，则．由，得，即，解得．∴．
第三章 空间向量与立体几何
直线的方向向量与平面的法向量(1)
那么如何用向量方法描述空间中的一个点、一条直线呢？
空间当中点的位置一定是相对于某一固定参照物来说的． 如图，在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示， 我们把向量称为点的位置向量．
解：．所以直线的一个方向向量是．．∴直线的一个方向向量为．
结构框图
教材第119页练习第2，3，4题．
显然直线的位置被唯一确定，
即，空间中任意一条直线的位置可以由直线上的一个定点和该直线的方向向量唯一确定．
对于直线上的任意一点，一定存在实数，使得． 反之，由几何知识不难确定，满足上式的点一定在直线上．
直线的向量表示
如图，根据直线的向量表示可知：点在直线上等价于存在实数，使得． 又因为，，所以，整理，得．即，点在直线上的充要条件是．此结论可以证明空间三点共线．
求
，，三点共线
(多选)若点，在直线上，则直线的一个方向向量是( ) A. B. C. D.
解：因为点，在直线上，，所以向量，都是直线的方向向量．故选AB．
已知直线经过点，直线的一个方向向量为．若是直线上任意一点，求满足的关系式．
解：由题意知．因为是Байду номын сангаас方向向量，所以∥，所以．所以满足关系式为．
在空间直角坐标系中，已知点，，点是线段上的一点，且，求点的坐标．
解：设点的坐标为，由题意可知：，且，∴．即，，解得．∴点的坐标为．
根据列方程组
求解
设出点的坐标
在空间直角坐标系中，已知点，，，点为直线上的一点，且，求．
解：依题意知，，．因为点为直线上的一点，所以存在实数，使得，则．由，得，即，解得．∴．
第三章 空间向量与立体几何
直线的方向向量与平面的法向量(1)
那么如何用向量方法描述空间中的一个点、一条直线呢？
空间当中点的位置一定是相对于某一固定参照物来说的． 如图，在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示， 我们把向量称为点的位置向量．
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
北师大高中数学选择性必修第一册3.4.1直线的方向向量与平面的法向量【课件】
求平面 PCB 和平面 PCE 的一个法向量.
[解]
过O作ON∥BC交AB于点N，因为PO⊥平面ABC，以O为坐
标原点，OA所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OD所在直线为z轴建
立如图所示的空间直角坐标系，设AE＝1，
则E － ，， ，P ，，
B
－ ， ，
，C
，
－ ，－ ，
2. 平面法向量的性质
(1)平面 α 的法向量与 α 内任一向量垂直.
(2)平面的法向量有无穷多个，它们相互平行.
1. 如何确定直线的方向向量?
提示：在已知直线上或在与已知直线平行的直线上取有向线段表示的向量，
都是直线的方向向量. 一般所求的方向向量不唯一，如果需要具体的可以给
坐标赋特殊值.
2. 零向量可以是直线的方向向量或平面的法向量吗?
对于直线 l 上的任意一点 P，一定存在实数 t，使得＝ta. 这个式子称为直
线 l 的向量表示.
1. l 的方向向量 a，我们称向量 a 为平面 α
的法向量. 给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A，且以向量 a 为法向量的平
面是完全确定的.
第三章
4
空间向量与立体几何
向量在立体几何中的应用
4. 1
直线的方向向量与平面的法向量
自
主
预
习
互
动
学
习
达
标
小
练
[课标解读]1. 会求直线的方向向量. 2. 会求平面的法向量.
[素养目标] 水平一：求直线的方向向量(逻辑推理).
水平二：会求平面的法向量(数学运算).
[解]
过O作ON∥BC交AB于点N，因为PO⊥平面ABC，以O为坐
标原点，OA所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OD所在直线为z轴建
立如图所示的空间直角坐标系，设AE＝1，
则E － ，， ，P ，，
B
－ ， ，
，C
，
－ ，－ ，
2. 平面法向量的性质
(1)平面 α 的法向量与 α 内任一向量垂直.
(2)平面的法向量有无穷多个，它们相互平行.
1. 如何确定直线的方向向量?
提示：在已知直线上或在与已知直线平行的直线上取有向线段表示的向量，
都是直线的方向向量. 一般所求的方向向量不唯一，如果需要具体的可以给
坐标赋特殊值.
2. 零向量可以是直线的方向向量或平面的法向量吗?
对于直线 l 上的任意一点 P，一定存在实数 t，使得＝ta. 这个式子称为直
线 l 的向量表示.
1. l 的方向向量 a，我们称向量 a 为平面 α
的法向量. 给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A，且以向量 a 为法向量的平
面是完全确定的.
第三章
4
空间向量与立体几何
向量在立体几何中的应用
4. 1
直线的方向向量与平面的法向量
自
主
预
习
互
动
学
习
达
标
小
练
[课标解读]1. 会求直线的方向向量. 2. 会求平面的法向量.
[素养目标] 水平一：求直线的方向向量(逻辑推理).
水平二：会求平面的法向量(数学运算).
直线的方向向量和平面的法向量 课件
∴向量(3,6,9)能作为平面α的法向量．
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u
＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l⊂α
D．l与α斜交
[答案] B
[解析] ∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α．
设 u，v 分别是不重合平面 α、β 的法向量，根 据下列条件，判断 α、β 的位置关系．
(1)u＝(－2,2,5)，v＝(3，－2,2)； (2)u＝(12，1，－1)，v＝(－1，－2,2)； (3)u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)．
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[解析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 由题意A→B＝(－1,1,0)，B→C＝(1,0，－1)． ∵n⊥A→B且 n⊥B→C， ∴nn··AB→→BC＝＝－x－x＋z＝y＝ 0. 0， 令 x＝1 得 y＝z＝1． ∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
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直线 a 与 b 的方向向量分别为 e＝(2,1，－3)和 n＝(－1,1，
－13)，则 a 与 b 的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交
D．重合
[答案] B
[解析] ∵e·n＝2×(－1)＋1×1＋(－3)×(－13)＝－2＋1＋
证明：一个平面内的两条相交直线与另一个平面 平行，则这两个平面平行．
[解题思路探究] 第一步，审题． 一审条件，挖掘解题信息：给出一个平面内的两条相交直 线都与另一个平面平行，可利用线面平行时方向向量与法向量 的关系． 二审结论，确定解题目标：证明两个平面平行，可转化为 证明其法向量平行．
直线的方向向量与平面的法向量课件高二下学期数学选择性
1－
315052＝
3352，
所以平行四边形 ABCD 的面积＝|A→B|·|A→D|·sin ∠BAD＝8 6.
内容索引
内容索引
1. 已知直线 l 的一个方向向量为 m＝(2，－1，3)，且直线 l 过 A(0，
y，3)和 B(－1，2，z)两点，则 y－z 等于
()
A. 0
B. 1C.Fra bibliotek3 2【答案】 AC
12345
内容索引
4. 在空间直角坐标系O-xyz中，设平面α经过点P(1，0，0)，平面α 的法向量为e＝(1，0，0)，M(x，y，z)为平面α内任意一点，则x，y，z 满足的关系是______________．
【解析】 由题意可知 e·P→M＝0，即(1，0，0)·(x－1，y，z)＝0，所 以 x＝1，y∈R，z∈R.
D. 3
【解析】 因为 A(0，y，3)和 B(－1，2，z)，所以A→B＝(－1，2－y， z－3).因为直线 l 的一个方向向量为 m＝(2，－1，3)，故设A→B＝km， 所以－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k，解得 k＝－12，y＝32，z＝32，所以 y－z＝0.
【答案】 A
12345
Thank you for watching
直线l上的非零向量e以及与e共线的非零向量叫作直 直线的方向向量
线l的方向向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面 平面的法向量 α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我 们把向量n叫作平面α的法向量
内容索引
(2) 用向量表示直线的位置：
直线 l 上一点 A 条件
直线的方向向量
如果在直线 l 上取A→B＝a，那么对于直线 l 上任意一点 P， 性质
1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示课件ppt(高中数学)
平行.
微练习1
若两条直线的方向向量分别是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且两条直线平行,则
x=
,y=
.
2 4 -5
= = ,解得x=-12,y=15.
解析 因为两条直线平行,所以a∥b.于是
-6
答案 -12
15
微练习2
若平面β外的一条直线l的方向向量是 u=(-1,2,-3),平面β的法向量为n=(4,1,-2),则l与β的位置关系是
2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意
向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要
注意两平面没有公共点.
微思考
若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量,则这两向量满足哪些条
件可说明直线与平面平行?
提示 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直,进而确定线面是否
∴MN∥平面 A1BD.
反思感悟 利用空间向量证明线面平行的方法
(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b
是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平
行.
(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再
结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.
系.(数学抽象)
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.(逻
辑推理)
4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
[激趣诱思]
牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫
苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几
微练习1
若两条直线的方向向量分别是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且两条直线平行,则
x=
,y=
.
2 4 -5
= = ,解得x=-12,y=15.
解析 因为两条直线平行,所以a∥b.于是
-6
答案 -12
15
微练习2
若平面β外的一条直线l的方向向量是 u=(-1,2,-3),平面β的法向量为n=(4,1,-2),则l与β的位置关系是
2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意
向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要
注意两平面没有公共点.
微思考
若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量,则这两向量满足哪些条
件可说明直线与平面平行?
提示 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直,进而确定线面是否
∴MN∥平面 A1BD.
反思感悟 利用空间向量证明线面平行的方法
(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b
是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平
行.
(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再
结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.
系.(数学抽象)
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.(逻
辑推理)
4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
[激趣诱思]
牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫
苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几
高中数学课件-空间直线的方向向量和平面的法向量
空间直线的方向向量 和平面的法向量
空间直线的方向向量 对于空间任意一条直线l，我们把与直线l平行的非零
向量 叫做直线l的一个方向向量。 z
O
y
x
例1 已知正四面体ABCD的棱长为a，建立适当的空间直角
坐标系。 （1）确定各棱所在直线的一个方向向D
y
C x
问题1：如何确定一个平面的方向呢？ 结论1：垂直于同一平面的两直线平行。 结论2：垂直于同一直线的两个平面平行。
垂直，那么向量 叫做平面 的一个法向量。
（1）平面ABCD； （2）平面ACC1A1； （3）平面ACD1.
z
D
C
A
B
D1
A1
x
C1
y
B1
5.求平面法向量的方法： ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
待定系数法
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练习 1：已知 AB (2, 2,1), AC (4,5, 3), 求平面 ABC 的 单位法向量. 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .
∴
( (
x, x,
y, y,
p＝0，取m＝1，则n＝－ 3，从而n1＝(1，－ 3，0)． 同理可得平面A1DE的一个法向量为n＝( 3，1，2a)， 直接计算知n1·n2＝0， 所以平面A1AE⊥平面A1DE.
11
空间直线的方向向量 对于空间任意一条直线l，我们把与直线l平行的非零
空间直线的方向向量 对于空间任意一条直线l，我们把与直线l平行的非零
向量 叫做直线l的一个方向向量。 z
O
y
x
例1 已知正四面体ABCD的棱长为a，建立适当的空间直角
坐标系。 （1）确定各棱所在直线的一个方向向D
y
C x
问题1：如何确定一个平面的方向呢？ 结论1：垂直于同一平面的两直线平行。 结论2：垂直于同一直线的两个平面平行。
垂直，那么向量 叫做平面 的一个法向量。
（1）平面ABCD； （2）平面ACC1A1； （3）平面ACD1.
z
D
C
A
B
D1
A1
x
C1
y
B1
5.求平面法向量的方法： ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
待定系数法
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练习 1：已知 AB (2, 2,1), AC (4,5, 3), 求平面 ABC 的 单位法向量. 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .
∴
( (
x, x,
y, y,
p＝0，取m＝1，则n＝－ 3，从而n1＝(1，－ 3，0)． 同理可得平面A1DE的一个法向量为n＝( 3，1，2a)， 直接计算知n1·n2＝0， 所以平面A1AE⊥平面A1DE.
11
空间直线的方向向量 对于空间任意一条直线l，我们把与直线l平行的非零
用空间向量研究直线、平面的位置关系PPT课件
的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线
和平面.
（一）点的位置向量
1.思考：如何用空间向量表示空间中的一个点?
2.点的位置向量
如图 ，在空间中，我们取一定点 作为基点，
那么空间中任意一点 就可以用向量来表示:我
们把向量称为点 的位置向量.
向量称为点 的位置向量.
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
注：其中符号
,
,
= − ；
4.平面法向量的三种求法
(3)求法三：叉乘法(该方法只适合选择题、填空题，不可用于解答题)
已知两个不共线的空间向量 = , , 与 = , , ,设向
量 = , , 为向量与确定平面的法向量,则
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
1.平面法向量的定义
我们知道，给定空间一点 和一条直线，则过点 且
垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发，我们可以
利用点和直线的方向向量来确定平面.
如图，直线 ⊥ ,取直线的方向向量，我们称向量为
平面的法向量.
给定一个点 和一个向量，那么过点A，且以向量为
是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在
直线上的充要条件是存在实数，使得
= ,即 =
二
探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示（互学）
2.直线的向量表示
进一步地，如图，取定空间中的任意一点，可以得
到点在直线上的充要条件是存在实数，使
= ,
, , ;
③列方程：由 ⊥ ⇔ ∙ = 列出方程
⊥
∙ =
和平面.
（一）点的位置向量
1.思考：如何用空间向量表示空间中的一个点?
2.点的位置向量
如图 ，在空间中，我们取一定点 作为基点，
那么空间中任意一点 就可以用向量来表示:我
们把向量称为点 的位置向量.
向量称为点 的位置向量.
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
注：其中符号
,
,
= − ；
4.平面法向量的三种求法
(3)求法三：叉乘法(该方法只适合选择题、填空题，不可用于解答题)
已知两个不共线的空间向量 = , , 与 = , , ,设向
量 = , , 为向量与确定平面的法向量,则
三
探究新知2——平面的法向量（互学）
1.平面法向量的定义
我们知道，给定空间一点 和一条直线，则过点 且
垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发，我们可以
利用点和直线的方向向量来确定平面.
如图，直线 ⊥ ,取直线的方向向量，我们称向量为
平面的法向量.
给定一个点 和一个向量，那么过点A，且以向量为
是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在
直线上的充要条件是存在实数，使得
= ,即 =
二
探究新知1——空间中点、直线和平面的向量表示（互学）
2.直线的向量表示
进一步地，如图，取定空间中的任意一点，可以得
到点在直线上的充要条件是存在实数，使
= ,
, , ;
③列方程：由 ⊥ ⇔ ∙ = 列出方程
⊥
∙ =
北师大版选择性必修第一册第3章44.1 直线的方向向量与平面的法向量课件(44张)
1．求直线的方向向量时，要充分利用几何体中的平行关系，平 行直线的方向向量共线．
2．在空间中，过点 A，方向向量为 n 的直线可以表示为O→P＝O→A ＋tn．
[跟进训练] 1．如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，以顶点为向量端点的 所有向量中，直线 AB 的方向向量有( )
A．8 个 B．7 个 C．6 个 D．5 个
当堂达标·夯基础
必备素养 学以致用
1．若要证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证明向量所 在直线与直线平行或重合即可；若要证明一个向量是一个平面的法向 量，只要证明向量所在直线垂直于平面即可．
2．直线的方向向量与平面的法向量是本章的两个重要概念，它 是研究与直线、平面有关的位置关系与数量关系的基础，要掌握其求 法．
1234
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 直线的方向向量及应用 【例 1】 在空间直角坐标系 O-xyz 中，已知直线 l 过点 A(－1， 0，2)，其方向向量为 n＝(2，1，3)． (1)求直线 l 的向量表达式； (2)求直线 l 与坐标平面 xOy 的交点 B 的坐标．
[解] (1)直线 l 的向量表达式为O→P＝O→A＋tn(t∈R)． (2)由(1)知，O→P＝(－1＋2t，t，2＋3t)，令 2＋3t＝0，得 t＝－23， 所以，点 B 的坐标为－73，－23，0．
[解] A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)． ∵AD⊥平面 SAB， ∴A→D＝(1，0，0)是平面 SAB 的一个法向量． 设平面 SCD 的法向量为 n＝(1，y，z)，则 n·D→C＝(1，y，z)·(1， 2，0)＝1＋2y＝0，
∴y＝－12．又 n·D→S＝(1，y，z)·(－1，0，2)＝－1＋2z＝0，∴z ＝12．
空间直线的方向向量和平面的法向量教学课件
例题3：已知所有棱长为 的正三棱锥 A BCD ，试建立空间 直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。
a
课堂练习： 1、已知A(3,3,1) ， B(1, 0,5) ，求线段AB 所在直线的一个 方向向量； 2 、如图所示直角坐标系中有一棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 ， E , F分别是 DD1 , DB 中点 ，G 在 棱 上 ，CG 1 CD， H是 C1G 的中点，求线段 CD 4 所在直线的一个方向向量
A' F
例题2：已知长方体 ABCD A' B' C ' D'的棱长 AB 2, AD ， 4, AA' 3 以长方体的顶点 D为坐标原点，过 ' D ' 的三条棱所在的直线为坐标 轴，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
(1) AA' ; (2) B' C; (3) A' C; (4) DB'
3.3 空间直线的方向向量和平面的法向量
平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？
如何表示空间直线平行的非零向量d 叫做直线的一个方向向量。
空间直线的方向向量是唯一的吗？
一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？
例1：如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a的正方体 OABC OABC 中，F为棱上的中点， （1）向量 可以分别表示哪条空间直线的方向向量？ AA', OC, BC （2）写出空间直线 的一个方向向量，并说明这个方向向量 是否可以表示正方体的某条棱所在直线的方向。
，
B1C, EF, C1G, FH
3、教材P49 1 4、教材P49 2
课堂小结: 空间直线的方向向量的概念 直线方向向量的不唯一 一个向量可以表示无数条直线的方向
新教材高中数学第三章空间向量与立体几何4-1直线的方向向量与平面的法向量课件北师大版选择性必修一
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．
提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要 么相反． (2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可 以根据需要进行选取． (3)×.两直线的方向向量平行，说明两直线平行或者重合． (4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平 面内． (5)×.不一定．当 a＝0 时，也满足 a∥l，尽管 l 垂直于平面 α，a 也不是平面 α 的 法向量．
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( ) (2)平面 α 的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( ) (3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( ) (4)直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行．( ) (5)已知直线 l 垂直于平面 α，向量 a 与直线 l 平行，则 a 是平面 α 的一个法向 量．( )
空间中点、直线和平面的向量表示课件
位置向量.
思考2 如何用向量表示空间中的直线？ 线→点+方向向量
几何中
向量中
一个点 + 一个方向
点
方向向量
l
a
P
B
A
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 AB= a，设P是直
线l上的任意一点，由向量共线的条件可知：
点P在直线l上
充要条件
存在实数t，使得 AP = t a ，即 AP = t AB
z
D1
（2）求平面MCA1的一个法向量．
C1
分析：
(1) 平面BCC1 B1与y轴垂直,
A1
其法向量可以直接写出;
(2) 平面MCA1可以看成由MC , MA1 , CA1中的
两个向量所确定, 运用法向量与它们的垂直
关系, 可转化为数量积运算求得法向量.
B1
D
C
A
x
M
B
y
解: (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面
BCC1B1的一个法向量.
(2) 因为AB 4, BC 3, CC1 2, M 是AB的中点, 所以M , C , A1的
坐标分别为(3, 2, 0), (0, 4, 0), (3, 0, 2)
因此MC (3, 2, 0), MA1 (0, 2, 2).
设 n2 ( x, y, z )是平面MCA1的法向量, 则n2 MC , n2 MA1 ,
（6）一个定点和一个定方向确定一个平面？
平面过点A，且 ⊥ ⇒ 是唯一的
l
如图，直线l⊥ ，取直线l的方向向量a，称向
a
量a为平面的法向量.
给定一个点A和一个向量a , 那么过点A, 且以
思考2 如何用向量表示空间中的直线？ 线→点+方向向量
几何中
向量中
一个点 + 一个方向
点
方向向量
l
a
P
B
A
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 AB= a，设P是直
线l上的任意一点，由向量共线的条件可知：
点P在直线l上
充要条件
存在实数t，使得 AP = t a ，即 AP = t AB
z
D1
（2）求平面MCA1的一个法向量．
C1
分析：
(1) 平面BCC1 B1与y轴垂直,
A1
其法向量可以直接写出;
(2) 平面MCA1可以看成由MC , MA1 , CA1中的
两个向量所确定, 运用法向量与它们的垂直
关系, 可转化为数量积运算求得法向量.
B1
D
C
A
x
M
B
y
解: (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面
BCC1B1的一个法向量.
(2) 因为AB 4, BC 3, CC1 2, M 是AB的中点, 所以M , C , A1的
坐标分别为(3, 2, 0), (0, 4, 0), (3, 0, 2)
因此MC (3, 2, 0), MA1 (0, 2, 2).
设 n2 ( x, y, z )是平面MCA1的法向量, 则n2 MC , n2 MA1 ,
（6）一个定点和一个定方向确定一个平面？
平面过点A，且 ⊥ ⇒ 是唯一的
l
如图，直线l⊥ ，取直线l的方向向量a，称向
a
量a为平面的法向量.
给定一个点A和一个向量a , 那么过点A, 且以
直线的方向向量与法向量演示课件
向量的坐 a标 (a1,b1,c1),b(a2,b2,c2)平面的法向 (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的 量合不理惟取一值，即 方程组n n rrggabrr 00aa12xx bb12yycc12zz00 可。
(4)解方程组，取其个中解的，一即得法向
问题:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的
r n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
23..一 向个量平nr 是面平的面所的有法法向向量量，都向互量相mu平r 行是;
与r平ur面平行或在平面内，则有
nm0
例
1:在正方体 uuuur
ABCD
A1 B1C1 D1
中，求
证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
证：设正方体棱长为 1，建立如图所示空
又因为 ADu1uIuurAC A
uuuur
所以 DB1 平面 ACD ,从而 DB1 是
平面 ACD1 的一个法向量.
u u u r u u u r 例 2 ： 已 知 A B ( 2 ,2 ,1 ) ,A C ( 4 ,5 ,3 ) ,求 平 面 A B C 的
单 位 法 向 量 。
由两个三元一次方程
ur ur
设直线
l1 , l2
的方向向量分别为
uur uur
e1 , e2
，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
ur ur ur ur 线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；
l1 u r
e1
ur e2
l2
12
u ru u r u r u u r
线面垂直 l1 1 e 1//n 1 e 1n 1
平面的一个法向量?
(4)解方程组，取其个中解的，一即得法向
问题:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的
r n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
23..一 向个量平nr 是面平的面所的有法法向向量量，都向互量相mu平r 行是;
与r平ur面平行或在平面内，则有
nm0
例
1:在正方体 uuuur
ABCD
A1 B1C1 D1
中，求
证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
证：设正方体棱长为 1，建立如图所示空
又因为 ADu1uIuurAC A
uuuur
所以 DB1 平面 ACD ,从而 DB1 是
平面 ACD1 的一个法向量.
u u u r u u u r 例 2 ： 已 知 A B ( 2 ,2 ,1 ) ,A C ( 4 ,5 ,3 ) ,求 平 面 A B C 的
单 位 法 向 量 。
由两个三元一次方程
ur ur
设直线
l1 , l2
的方向向量分别为
uur uur
e1 , e2
，平面
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
ur ur ur ur 线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；
l1 u r
e1
ur e2
l2
12
u ru u r u r u u r
线面垂直 l1 1 e 1//n 1 e 1n 1
平面的一个法向量?
空间直线的方向向量和平面的法向量(共10张PPT)
那么向 n叫量做 平面的一个法向.量
例3：长方体中，求下列平面的一个法向量：
（1）平面ABCD; (2)平面ACC’A’; (3)平面ACD’.
解： 1） n（ (0,0,1).
z D2
4
A
B
D’ 3
C
y
C’
A’
B’
x
(2)设平 A面 C'A C'的一个法 n向 (u,v量 ,w)则 为
z
nAA'nAA'0 nAC nAC0.
AD a,AB b,AA 'c,E、F分 别A'是 D、B'D'上 的 点
证：设正方体的边长为1，建系如图，则A’(1,0,0)、D(0,0,1)、
→ m 解:A(4,0,3), B(4,2,3), C(0,2,3),
m ↑
(3)平面ACD’.
↑n
n ↑
n•m 0
nm
例4：在正方体中，E、F分别为BC和BB’的中点，求证： A’D∥FE.
证：设正方体的边长为1，建系如图，则
角坐标系,确定各棱所在直线的方向向量.
解:建系如图,则B(0,0,0)、
z
D(0,a,0)、C(
3a a , ,0).
22
设E为BD的中点，
F是等边BCD的中心.
A
B
E
D
(O)
y
F
则E(0, a ,0).F( 3a , a ,0),
2
62
C
A(
3a a ,,
6a ).
x
623
A FA2C C2F a2a2 6a, 33
dBD(0,1,0);
z
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设E 为 BD 的中点，
B
F是等边 ? BCD 的中心 .
(O)
A
E F
D y
则E (0, a ,0).F ( 3a , a ,0),
2
62
C
? A( 3a , a , 6a ).
x
623
AF ? AC 2 ? CF 2 ? a 2 ? a 2 ? 6a , 33
3
d BD ? (0,1,0);
d BC ? ( 3,1,0); d CD ? (? 3,1,0);
基本命题 2： 一条直线与一个平面平行或在一个平面 内的充要条件是这条直线的方向向量垂 直于该平面的法向量 .
基本命题 3： 两个平面平行或重合的充要条件是它们
的法向量互相平行 .
?
?→m?
m↑
↑n
n↑?
?? n?m? 0
??
n ?? m
8
例4：在正方体中， E、F分别为BC和BB' 的中点， 求证： A'D ∥FE.
B'
2
? EF 与A' D显然不重合，? A' D ∥ FE .
9
例5：在长方体 ABCD- A'B'C'D' 中，
AD ? a, AB ? b, AA ' ? c, E 、 F 分别是 A' D、 B ' D' 上的点，
且 A' E ? 1 A' D , B ' F ? 1 B ' D' , 求证：
证：建系如图，B(4,2,3)、C(0,2,3)、D(0,0,3)、 z
A'(4,0,0) 、B'(4,2,0) 、D'(0,0,0).
D
C
? A' B ? (0,2,3), DB ? (4,2,0),
D' B ? (4,2,0), B' C ? (? 4,0,3).
A
B
D'
C' y
设平面 A' BD和平面 CD' B' 的法向量分别
(3)d A'C ? (? 4,2,3).
A'
(4)d DB' ? (4,2,? 3).
x
z
D
3
D'
2
C B
C'
y
4
B'
2
例2:已知所有棱长为 a 的正三棱锥 A-BCD, 试建立
空间直角坐标系 ,确定各棱所在直线的方向向量 .
解:建系如图 ,则B(0,0,0)、
z
D(0, a,0)、C ( 3a , a ,0). 22
如何刻画空间直线的方向？
一、直线的方向向量。
对于空间任意一条直线 l ，我们把与直线 l 平行的
非零向量 d 叫做直线 l 的一个方向向量 。
一条直线 l 有无穷多个方向向量，这些方向 向量是相互平行的；直线 l 的方向向量 d 也是所有与 l 平行的直线的方向向量。
1
例1:已知长方体 ABCD —A'B'C'D' 的棱长 AB=2,AD=4,AA'=3. 建系如图 ,求下列直线的一个方 向向量:(1)AA'; (2)B'C; (3)A'C; (4)DB'平行于平面 CC ' D' D.
D
C
证：建系如图，则 A' (a,0,0)、D(0,0, c )、 A
B
B ' (a , b,0)、D' (0,0,0),
E D'
C' y
E ( 2a ,0, c )、F ( 2a , 2b ,0), ?
33
33
EF
? (0, 2b ,? c ). 3 3x
2 D
4
A B
3
D'
C
y C'
? ? 4u ? 2v ? 0
?
? ?
?
4u
?
3w
?
? 0
?????wv???234u u.
A' x
B'
取u ? 3,得v ? 6, w ? ? 4,
? 平面 ACD ' 的一个法向量 n ? (3,6,? 4).
7
基本命题 1：两条直线平行或重合的充要条件是它们 的方向向量互相平行。
??n ? ?
AA' ?
?? n ?AA' ? 0 ?
?? n ? AC ??n ?AC ? 0.
? AA' ? (0,0 ? 3), AC ? (? 4,2,0),
? u ?0 ? v ?0 ? w ?(? 3) ? 0
?
? ?
u
?(? 4)
?
v
?2
?
w
?0
?
0
z D2 4
A
B
3
D'
A'
B'
x
?
? w?0
证：设正方体的边长为 1，建系如图， z
则A'(1,0,0) 、D(0,0,1)、
E ( 1 ,1,1)、 F (1,1, 1 ).
2
2
? A' D ? (? 1,0,1), FE ? (? 1 ,0, 1 ), 22
D
C
E
A
B
D' F
C' y
? FE ? 1 A' D ? FE ∥ A' D ,
A' x
d BA ? (1, 3,2 2);
d AC ? (1,0 ? 2);
z
B (O)
x
d AD ? (? 1, 3,?2 2).
3a a 6a A( , , ).
623
E
D(0y, a,0)
F
C(
3a a , ,0).
22
4
如何刻画平面的方向？
二、平面的法向量：
对于非零的空间向量 n,如果它所在的直线与平 面? 垂直，
那么向量 n叫做 平面 ? 的一个法向量 .
例3：长方体中，求下列平面的一个法向量：
（1）平面ABCD; (2) 平面ACC'A';
z
(3)平面ACD'.
解：（1）n ? (0,0,1).
D2 4
A
B
D' 3
C
y C'
A'
B'
x
5
(2)设平面 ACC ' A' 的一个法向量为 n ? (u , v , w )则
? ?
?
2u
?
v
?
0
取u ? 1 ? v ? 2,
C
y C'
? 平面 ACC ' A' 的一个法向量 n ? (1,2,0).
6
(3)设n ? (u, v, w)是平面ACD' 的一个法向量，
z
?? n ? ?
AC
?
?? n ?AC ? 0 ?
?? n ? AD' ??n ?AD' ? 0
? AC ? (? 4,2,0), AD' ? (? 4,0,? 3),
解:A(4,0,3), B(4,2,3), C(0,2,3),
D(0,0,3),A'(4,0,0),B'(4,2,0),C'(0,2,0),
D'(0,0,0). (1) AA ' ? (0,0 ? 3),
? 直线AA ' 的一个方向向量是
A
d AA' ? (0,0 ? 3).
(2)d B'C ? (?4,0,3).
A'
F B'
? x轴垂直于平面 CC ' D' D,? n ? (1,0,0)是平面 CC ' D' D的一个法向量 .
? EF ?n ? 0? EF ? n. 又显然EF 不在平面 CC' D' D内，
? 直线EF ∥ 平面CC' D' D.
10
例6:已知长方体的棱 AD=4,AB=2,AA'=3, 求证平面A'BD ∥平面CD'B'