2020年九年级周周练二次函数实际问题第一课时

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人教版九年级上册数学 22.3 实际问题与二次函数课时训练(含答案)

人教版九年级数学22.3 实际问题与二次函数课时训练一、选择题1. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A．4米B．3米C．2米D．1米2. （2020·山西）竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0 (m)是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿AC 向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B时，两点同时停止运动)，在运动过程中，四边形P ABQ的面积的最小值为()A．19 cm2B．16 cm2C．15 cm2D．12 cm24. 如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8 cm，AC＝6 cm，点P从点A 出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC 方向以1 cm/s的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则四边形BCQP面积的最小值是()A ．8 cm 2B ．16 cm 2C ．24 cm 2D ．32 cm 25. （2020·长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p 与加工煎炸的时间t （单位：分钟）近似满足函数关系式：c bt at p ＋＋＝2（0 a ，a ，b ，c 为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 ·································································· （） A ．3.50分钟B ．4.05分钟C ．3.75分钟D ．4.25分钟6. 如图，将一个小球从斜坡上的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是()A ．当小球抛出高度达到7.5 m 时，小球距点O 的水平距离为3 mB ．小球距点O 的水平距离超过4 m 后呈下降趋势C ．小球落地点距点O 的水平距离为7 mD ．小球距点O 的水平距离为2.5 m 和5.5 m 时的高度相同7. 在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的一部分(如图)，其中出球点B 离地面点O 的距离是1 m ，球落地点A 到点O 的距离是4 m ，那么这条抛物线的解析式是( )A ．y ＝－14x 2＋34x ＋1B ．y ＝－14x 2＋34x －1C ．y ＝－14x 2－34x ＋1D ．y ＝－14x 2－34x －18. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m ，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )A ．此抛物线的解析式是y ＝－15x 2＋3.5 B ．篮圈中心的坐标是(4，3.05) C ．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D ．篮球出手时离地面的高度是2 m二、填空题9. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品的售价为a 元，则可卖出(350－10a )件．但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的40%，若商店想获得最大利润，则每件商品的价格应定为________元．10. 如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB ＝________m 时，矩形ABCD 的面积最大．11. 已知一个直角三角形两直角边长的和为30，则这个直角三角形的面积最大为________．12. 某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：(1)月销量y(件)与售价x(元/件)的关系满足y＝－2x＋400；(2)工商部门限制售价x满足70≤x≤150(计算月利润时不考虑其他成本)．给出下列结论：①这种文化衫的月销量最小为100件；②这种文化衫的月销量最大为260件；③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)13. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．14. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.15. 飞机着落后滑行的距离s(单位：米)关于滑行时间t(单位：秒)的函数解析式是s＝60t－32t2，则飞机着落后滑行的最长时间为________秒．16. 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.三、解答题17. （2020·营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？18. 某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若每件售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价x元．(1)每件衬衫的盈利为多少？(2)用含x的代数式表示每天可售出的衬衫件数．(3)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？(4)这次降价活动中，1920元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高日盈利值．19. （2020·新疆）某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．（1）A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？（2）由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？20. （2020·南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地.设小丽出发第x min时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m.y1与x之间的函数表达式是y1＝－180x＋2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝－10x2－100x＋2000.(1)小丽出发时，小明离A地的距离为________m.(2)小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？21. （2020·安顺）2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？人教版九年级数学 22.3 实际问题与二次函数课时训练-答案一、选择题1. 【答案】A [解析] y ＝－(x 2－4x ＋4)＋4＝－(x －2)2＋4，∴水喷出的最大高度是4米．2. 【答案】C【解析】本题考查二次函数的实际应用．依题意，得h 0＝1.5m ，v 0＝20m/s ，∴高度h （m ）与运动时间t （s ）之间的关系可以近似地表示为h ＝－5t 2＋20t ＋1.5＝－5（t －2）2＋21.5，所以某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20m/s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为21.5m ，故选C.3. 【答案】C[解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝6 cm.设运动时间为t s(0<t≤4)，则PC ＝(6－t)cm ，CQ ＝2t cm ， ∴S四边形PABQ＝S △ABC －S △CPQ ＝12AC·BC －12PC·CQ ＝12×6×8－12(6－t)×2t ＝t 2－6t ＋24＝(t －3)2＋15，∴当t ＝3时，四边形PABQ 的面积取得最小值，最小值为15 cm 2. 故选C.4. 【答案】A[解析] 设运动时间为t s ，四边形BCQP 的面积为S m 2，则S ＝AB ·AC 2－AP ·AQ 2＝8×62－2t ×t 2＝－t 2＋24. ∵点P 从点A 出发，沿AB 方向以2 m/s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1 cm/s 的速度向点C 运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，8÷2＝4，6÷1＝6， ∴0<t ≤4，∴当t ＝4时，S 取得最小值，最小值为－42＋24＝8(cm 2)．5. 【答案】C【解析】本题考查了二次函数实际应用问题，根据题意，题中的“可食用率”p 应该是最大时为最佳时间，所以先把图中三个点代入c bt at p ＋＋＝2，可得到a ，b ，c 的三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧c b a c b a c b a ＋＋＝＋＋＝＋＋＝5256.04169.0398.0，解得⎪⎩⎪⎨⎧9.15.12.0＝－＝＝－c b a ，所以p 应该最大时()75.32.025.12＝－＝－＝－⨯a b t ，因此本题选C ．y ＝7.5，得4x －12x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A12(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 正确．12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72.∴抛物线与直线的交点坐标为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，可见选项C 正确．由对称性可知选项D 正确．综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.7. 【答案】A [解析] A ，B 两点的坐标分别为(4，0)，(0，1)，把(4，0)，(0，1)分别代入y＝－14x 2＋bx ＋c ，求出b ，c 的值即可．8. 【答案】A[解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，∴可设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2＋3.5.∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，∴3.05＝a×1.52＋3.5.解得a ＝－15.∴y ＝－15x 2＋3.5.可见选项A 正确．由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，可见选项B 错误．由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，可见选项C 错误．将x ＝－2.5代入抛物线的解析式，得y ＝－15×(－2.5)2＋3.5＝2.25，∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m 可见选项D 错误．故选A.二、填空题9. 【答案】28 [解析] 设商店所获利润为y 元．根据题意，得 y ＝(a －21)(350－10a)＝－10a 2＋560a －7350＝－10(a －28)2＋490，即当a ＝28时，可获得最大利润．又21×(1＋40%)＝21×1.4＝29.4，而28<29.4，所以a ＝28符合要求．故商店应把每件商品的价格定为28元，此时可获得最大利润．10. 【答案】150[解析] 设AB ＝x m ，则AB ＝EF ＝CD ＝x m ，所以AD ＝BC ＝12(900－3x)m.设矩形ABCD 的面积为y m 2，则y ＝x·12(900－3x)＝－32x 2＋450x(0＜x ＜300)．由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，且当x ＝－b2a ＝－4502×（－32）＝150时，函数y 取得最大值．故当AB ＝150 m 矩形ABCD 的面积最大．11. 【答案】225212. 【答案】①②③[解析] 由题意知，当70≤x≤150时，y ＝－2x ＋400，∵－2＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝150时，y 取得最小值，最小值为100，故①正确；当x ＝70时，y 取得最大值，最大值为260，故②正确；设销售这种文化衫的月利润为W 元，则W ＝(x －60)(－2x ＋400)＝－2(x －130)2＋9800， ∵70≤x≤150，∴当x ＝70时，W 取得最小值，最小值为－2(70－130)2＋9800＝2600，故③正确；当x ＝130时，W 取得最大值，最大值为9800，故④错误．故答案为①②③.13. 【答案】y ＝－19(x ＋6)2＋414. 【答案】75[解析] 设与墙垂直的一边的长为x m ，则与墙平行的一边的长为27－(3x －1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S ＝x(30－3x)＝－3x 2＋30x ，∴当x ＝－302×（－3）＝5时，S 最大，S最大值＝－3×52＋30×5＝75.故能建成的饲养室总占地面积最大为75 m 2.15. 【答案】20 [解析] 滑行的最长时间实际上是求顶点的横坐标．∵s ＝60t －32t2＝－32(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，s 的最大值为600.16. 【答案】0.5 [解析] 以抛物线的对称轴为纵轴，向上为正，以对称轴与地面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式可设为y ＝ax 2＋h.由于抛物线经过点(1，2.5)和(－0.5，1)，于是求得a ＝2，h ＝0.5.三、解答题17. 【答案】解：（1）y=80+20×200.5x，∴y=－40x+880；（2）设每天的销售利润为w 元，则w=（－40x+880）（x －16）=－40（x －19）2+360，∵a=－40＜0，∴二次函数图象开口向下，∴w 有最大值，∴x=19时，w 最大，此时w 最大=360元，答：当销售单价为19元时，每天的销售利润最大，最大利润为360元．【解析】（1）根据“销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶”得出销售量y 与销售单价x 的关系式；（2）设每天的销售利润为w 元，根据利润=（每瓶售价－每瓶成本）×销售数量，得出w 与x 之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求得最大利润．18. 【答案】解：(1)由题意可得每件衬衫的盈利为420－300－x ＝(120－x)元． (2)每天可售出的衬衫件数为20＋x10×1＝(0.1x ＋20)件．(3)由题意可得(0.1x ＋20)(120－x)＝1920，解得x 1＝－120(舍去)，x 2＝40. 答：每件衬衫应降价40元．(4)这次降价活动中，1920元不是最高日盈利．设日盈利为w 元，则w ＝(0.1x ＋20)(120－x)＝－0.1(x ＋40)2＋2560，∴当x>－40时，w 随x 的增大而减小．∵x≥0，∴当x ＝0时，w 取得最大值，此时w ＝2400，即最高日盈利值是2400元．19. 【答案】解：（1）设A 款保温杯的销售单价是x 元，根据题意得360x ＝48010x +，解得x ＝30．经检验，x ＝30是分式方程的解．x ＋10＝40．答：A 、B 两款保温杯的销售单价分别是30元，40元．（2）设再次购进a 个A 款保温杯，(120－a)个B 款保温杯，此时所获利润为w 元，则W ＝(30－20)a ＋[40×(1－10%)－20](120－a)＝－6a ＋1 920，∴W 是a 的一次函数．∵－6＜0，∴W 随a 的增大而减小．由题意得a≥2(120－a)，解得a≥80．∴当a ＝80时，W 最大，最大为－6×80＋1 920＝1 440（元），此时120－a ＝40．答：购进80个A 款保温杯，40个B 款保温杯才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少1 440元．20. 【答案】(1)250.(2)设小丽出发第x min 时，两人相距sm ，则s ＝－180x ＋2250－(－10x 2－100x ＋2000)，即s ＝－10x 2－80x ＋250，其中，0≤x ≤10.因此当x ＝－80210-⨯＝4时，s 有最小值＝()241025080410⨯⨯--⨯＝90. 也就是说，当小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m.21. 【答案】（1）根据表中数据的变化趋势可知：①当09x ≤≤时，y 是x 的二次函数.∵当0x =时，0y =，∴二次函数的关系式可设为2y ax bx =+. 当1x =时，170y =；当3x =时，450y =.将它们分别代入关系式得17045093a b a b =+⎧⎨=+⎩解得10180a b =-⎧⎨=⎩.∴二次函数的关系式为210180y x x =-+.将表格内的其他各组对应值代入此关系式，均满足.②当915x <≤时，810y =.∴y 与x 的关系式为210180,(09)810,(915)x x x y x ⎧-+≤≤=⎨<≤⎩.（2）设第x 分钟时的排队人数是W ，根据题意，得21018040,09,4081040,915x x x x W y x xx ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩ ①当09x ≤≤时，221014010(7)490W x x x =-+=--+.∴当7x =时，490W =最大. ②当915x <≤时，81040W x =-，W 随x 的增大而减小，∴210450W ≤<. ∴排队人数最多时是490人.要全部考生都完成体温检测，根据题意，得81040=0x -，解得20.25x =.∴排队人数最多时是490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟.（3）设从一开始就应该增加m 个检测点，根据题意，得1220(2)810m ⨯+≥，解得318m ≥.∵m 是整数，∴318m ≥的最小整数是2.∴一开始就应该至少增加2个检测点. 【解析】（1）利用初中所学的函数关系，可以从反比例函数、一次函数（含正比例函数）、二次函数的顺序思考问题.显然，不是反比例函数，根据变化规律，在前9分钟，可以看到，符合二次函数.利用待定系数法求出函数解析式210180y x x =-+.9~15分钟y 值没有变化，y=810；（2）当09x ≤≤时，每分钟每个检测点检测20人，因此，每分钟一共检测40人. x 分钟检测了40x 人.所以排队人数为2210180-4010140y x x x x x =-+=-+，化成顶点式210(7)490W x =--+，得出当x=7时，最多有490人；当915x <≤时，排队人数81040W x =-，利用一次函数的增减性即w 随x 的增大而减少，得到当x=9时，w 最大=450<490.进而得出结论；（3）设从一开始就应该增加m 个检测点，则有（m+2）个检测点，每分钟可以检测20（m+2）个人，要求在12分钟内全部考生完成检测，因此在12分钟内检测的人数不少于总人数810人，由此建立不等式解决问题.。

九年级数学下册 26.3 实际问题与二次函数第1课时实际问题与二次函数(快乐预习+轻松尝试)导学案

九年级数学下册 26.3 实际问题与二次函数第1课时实际问题与二次函数（快乐预习+轻松尝试）导学案（1）新人教版学前温故(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条______；(2)对称轴是直线__________，顶点坐标为()，；(3)①当a＞0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线上的最______点．②当a＜0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线上的最______点．新课早知1．因为抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低(高)点，所以当x＝__________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值____________．2．二次函数y＝2(x－1)2＋3的最大值是( )．A．2 B．1 C．3 D．－13．利用二次函数求最大利润时，如果列出的二次函数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量的范围内，则二次函数的最______就是所求的最大利润；当求得的二次函数图象的对称轴不在题目限定的自变量的范围内，我们先要搞清自变量的取值在对称轴______侧还是______侧，然后结合二次函数的增减性求出最大利润；当在不同的自变量取值范围内，函数表达式不同时，我们需要分段讨论，求出每种情况下的________，然后综合考虑．4．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为__________元时，获得的利润最多．答案：学前温故(1)抛物线(2)x＝－b2a －b2a4ac－b24a(3)上低下高新课早知1．－b2a 4ac－b24a2.C3．大值左右最大值4．70二次函数在利润方面的应用【例题】某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．(1)假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x 之间的函数关系式，并注明x的取值范围；(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润＝销售收入－购进成本)分析：(1)降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)，每件的销售利润为(13.5－x－2.5)，所以y＝(13.5－x－2.5)(500＋100x)，整理得y＝－100x2＋600x＋5 500(0≤x≤11)．(2)化成顶点式y＝a(x－h)2＋k时，能直接看出当x等于多少时，最值的大小．解：(1)降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)，y＝－100x2＋600x＋5500(0≤x≤11)．(2)y＝－100x2＋600x＋5 500(0≤x≤11)，配方得y＝－100(x－3)2＋6 400，当x＝3时，y的最大值是6 400，即降价3元时，利润最大．所以销售单价为10.5元时，最大利润为6 400元．点拨：求二次函数的最值问题时，通常将二次函数解析式化成顶点式y＝a(x－h)2＋k.1．已知二次函数y＝(x＋1)2＋(x－3)2，当y取最小值时，x的值是( )．A．－1 B．3 C．2 D．12．某青年企业家准备在某地投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于当地建设．据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天时，就会有一个房间空闲．度假村对旅客住宿的房间每间将支出各种费用20元/天(没住宿的不支出)．则房价每天定为( )元时，度假村的利润最大．A．110 B．105 C．115 D．1203．某商场购进一批单价为16元的日用品，经试销发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数，则y与x之间的关系式是________，销售所获得的利润w(元)与价格x(元/件)的关系式是__________．4．一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(其中0＜x≤11)．(1)用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元．(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．5.司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间，之后汽车还会继续行驶一段距离．我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”(如图)．已知汽车的刹车距离s(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的关系是s＝t v＋k v2，其中t为司机的反应时间(单位：s)，k为制动系数．某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k＝0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t＝0.7 s.(1)若志愿者未饮酒，且车速为11 m/s，则该汽车的刹车距离为________ m．(精确到0.1 m)(2)当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后，以17 m/s的速度驾车行驶，测得刹车距离为46 m．假如该志愿者当初是以11 m/s的车速行驶，则刹车距离将比未饮酒时增加多少？(精确到0.1 m)(3)假如你以后驾驶该型号的汽车以11 m/s至17 m/s的速度行驶，且与前方车辆的车距保持在40 m至50 m之间．若发现前方车辆突然停止，为防止“追尾”，你的反应时间应不超过多少秒？(精确到0.01 s)答案：1．D 将y＝(x＋1)2＋(x－3)2化简为y＝2x2－4x＋10＝2(x－1)2＋8，因此当x ＝1时，y取最小值．2．C 设有x个房间空闲，则住宿了(30－x)个房间．每天的房价为(60＋5x)元，于是度假村的利润y＝(30－x)(60＋5x)－20(30－x)，其中0≤x≤30，则y＝(30－x)×5×(8＋x)＝5(240＋22x－x2)＝－5(x－11)2＋1 805.因此当x＝11时，y取得最大值1 805元，即每天房价定为115元/间时，度假村的利润最大，故应选C.3．y＝－30x＋960w＝(x－16)(－30x＋960)4．解：(1)①10＋7x②12＋6x(2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x.(3)∵w＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4，∴w＝－2(x－0.5)2＋4.5.∵－2＜0,0＜x≤11，∴w有最大值．∴当x＝0.5时，w最大＝4.5(万元)．答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．5．解：(1)17.38(2)饮酒后，当v＝17时，s＝46，代入s＝tv＋0.08v2，得t≈1.35(s)．若饮酒时的车速为11 m/s，则刹车距离s＝1.35×11＋0.08×112＝24.53(m)．而未饮酒时的刹车距离为17.38 m，所以增加24.53－17.38≈7.2(m)．(3)由题意知，17t＋0.08×172＜40，解得t＜0.99.所以反应时间应不超过0.99秒．。

九年级数学实际问题与二次函数_第1课时

O
表示的函数的解析式；C
A
h
DB x
20 m
（2）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证
过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于
18 m．求水深超过多少 m 时就会影响过往船只
2、某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面 2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.
∴当水面下降1m时,水面宽度
( 2 6 4 )m
增加了
解二如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线
的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示
的二y次函ax数2 的 2解析式为:
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即:抛物线过点(2,0)
价x元,则每星期少卖 10件x ，实际卖出 (30件0-,10x)
每件利润为 (60+x-4元0)，因此，所得利润
为（60+x-40）(300-1元0.x) y=(60+x-40)(300-10x) 即y=-10（x-5）2+62(500≤x≤30)
怎样确定x
的取值范围
∴当x=5时，y最大值=6250
也可以这样求极值
x
b 2a
5时，y最大值
10 52
100 5
6000
Hale Waihona Puke 6250所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
05
可以看出，这个函数的图

2020年人教版九年级数学上册专题小练习六《二次函数图象实际问题》解答题练习(含答案)

2020年人教版九年级数学上册专题小练习《二次函数图象实际问题》解答题练习1.某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．(1)图中点P所表示的实际意义是；销售单价每提高1元时，销售量相应减少件；(2)请直接写出y与x之间的函数表达式：；自变量x的取值范围为；(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？2.某公司经营杨梅业务，以3万元/t的价格向农户收购杨梅后，分拣成A，B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅深加工再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/t，根据市场调查，它的平均销售价格y(万元/t)与销售数量x(x≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8－2，B类杨梅深加工总费用s(单位：万元)与加工数量t(单位：t)之间的函数关系是s=12＋3t，平均销售价格为9万元/t.(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；(2)第一次该公司收购了20 t 杨梅，其中A类杨梅x t，经营这批杨梅所获得的毛利润为W万元(毛利润=销售总收入－经营总成本)．①求W关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直接销售的A类杨梅有多少吨？(3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．3.某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，销售价应定为多少？(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．4.某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少10个.(1)设销售单价提高x元(x为正整数)，写出每月销售量y(个)与x(元)之间的函数关系式；(2)假设这种篮球每月的销售利润为w元，试写出w与x之间的函数关系式，并通过配方讨论，当销售单价定为多少元时，每月销售这种篮球的利润最大，最大利润为多少元？5.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示(其中x为正整数，且1≤x≤10)；为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元.(1)求y关于x的函数关系式；(2)工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值.6.九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．(1)求出y与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．7.某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？8.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x﹣6）2，已知球网与点O 的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式．（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？9.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC—CB，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少米？10.某水渠的横截面呈抛物线形,水面的宽为AB（单位：米）,现以AB所在直线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O.已知AB=8米,设抛物线解析式为y=ax2-4.（1）求a的值；（2）点C（-1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD,BC,BD，求△BCD 的面积.11.解：(1)图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300件；第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)=30(元)，销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)=20(件)．(2)设y与x之间的函数表达式为y=kx＋b，将点(30，400)，(35，300)代入，得30k+b=400,35k+b=300解得k=-20,b=1000.∴y与x之间的函数表达式为y=－20x＋1 000.当y=0时，x=50，∴自变量x的取值范围为30≤x≤50.(3)设第二个月的利润为W元，由已知得:W=(x－20)y=(x－20)(－20x＋1 000)=－20x2＋1 400x－20 000=－20(x－35)2＋4 500，∵－20＜0，∴当x=35时，W取最大值4 500.答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4 500元．12.解：1.解：(1)由题意可得月销售利润y与售价之间的函数关系式为y=(x－30)[600－10(x－40)]=－10x2＋1 300x－30 000；(2)当x=45时，600－10(x－40)=550(件)，y=－10×452＋1 300×45－30 000=8 250(元)；(3)令y=10 000，代入(1)中函数关系式，得10 000=－10x2＋1 300x－30 000，解得x1=50，x2=80.当x=80时，600－10(80－40)=200＜300(不合题意，舍去)，故销售价应定为50元；(4)y=－10x2＋1 300x－30 000=－10(x－65)2＋12 250，∴x=65时，y取最大值12 250.答：当销售价定为65元时会获得最大利润，最大利润为12 250元．2.解：(1)由题意得：y=500﹣10x.(2)w=(50﹣40+x)=5000+400x﹣10x2=﹣10(x﹣20)2+9000当x=20时，w有最大值，50+20=70，即当销售单价定为70元时，每月销售这种篮球的利润最大，最大利润为9000元.3.解：(1)由题意，得y=(2x+4)，y=﹣10x2+180x+400(1≤x≤10的整数)；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；(2)∵y=﹣10x2+180x+400，∴y=﹣10(x﹣9)2+1210.∵1≤x≤10的整数，∴x=9时，y最大=1210.答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元.4.解：(1)当1≤x＜50时，Y=(x＋40－30)(200-2x)=－2x2＋180x＋2000；当50≤x≤90时，Y=(90-30)(200-2x)=-120x＋12000.(2)当1≤x＜50时，y=-2x2＋180x＋2000=－2(x-45)2＋6050，∵a=－2＜0，∴当x=45时，y有最大值，最大值为6050元；当50≤x≤90时，y=-120x＋12000，∵k=-120＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=50时，y有最大值，最大值为6000元．综上可知，当x=45时，当天的销售利润最大，最大利润为6050元(3)41；5.【答案】（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；（3）当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．6. 7.8.解：（1）∵ ,由抛物线的对称性可知,∴（4,0）.∴ 0＝16a-4.∴ a.（2）如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F.∵ a=,∴ -4.当-1时，m=×-4=-,∴ C（-1,-）.∵点C关于原点O的对称点为点D，∴ D（1,）.∴ .∴△BCD的面积为15平方米.。

人教数学九年级上册实际问题与二次函数课时1

菜园的面积最大？最大面积是多少?
解：根据题意设矩形菜园平行于墙的一边长为l m，菜园的面积
60−
1
为S m2 ，得 = 2 ∙ (0< l ≤18),即 S=− 2 2 + 30(0<l ≤18).
1
二次函数 S=− 2 + 30 的对称轴为 = 30 ，
2
当 l<30 时，S 随 l 的增大而增大，
长为x m，面积为 S m2.
(3)若墙的最大可用长度为 8 m，则花圃的最大面积是多
少？
解：(3)∵0<24-4x≤8，∴4≤x<6，
由(2)知，当x>3时，S 随x的增大而减小，
∴当x=4时，S取得最大值，且S最大值=32.
答：当x取4时所围成的花圃面积最大，最大面积是
32 m2．
3.如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃 ABCD，为了节省
∴AE=2BE.
设BC=x m，BE=a m，则AE=2a m，
1
3
∴8a+2x=80，∴ a= - x+10 ，3a= - x+30，
3
4
3
4
4
∴y=( - x+30)x= - x2+30x.
4
3.如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃 ABCD，为了节省
篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段
(2)当 x 取何值时，围成的花圃面积最大，最大面积是多
少？
解：(2)∵S=-4x2+24x=-4(x-3)2+36，
∴当x=3时，S最大值=36.
答：当x取3时围成的花圃面积最大，最大面积是
36 m2．

2020九年级数学上册第二十二章二次函数周周练(22.1.4-22.2)

周周练(22.1.4～22.2)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共40分)1．下列各点中，抛物线y ＝x 2－4x －4经过的点是(C)A ．(－1，－1)B ．(0，4)C ．(1，－7)D ．(2，8)2．如图，抛物线与x 轴的两个交点为A(－3，0)，B(1，0)，则由图象可知y ＜0时，x 的取值范围是(A)A ．－3＜x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜－3D ．0＜x ＜13．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若点A(－4，y 1)，B(2，y 2)是它的图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是(C)A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．不能确定4．若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与x 轴有两个交点，则b 的取值范围是(D)A ．b≤1B ．b ＞1C ．0＜b ＜1D ．b ＜15．(大同市期中)将y ＝－x 2的图象通过____的变换，可得到y ＝－x 2＋2x －2的图象(D)A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 6．对于二次函数y ＝－14x 2＋x －4，下列说法正确的是(B)A ．当x>0，y 随x 的增大而增大B．当x＝2时，y有最大值－3C．图象的顶点坐标为(－2，－7)D．图象与x轴有两个交点7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象如图所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是(B)A．有最小值5、最大值0B．有最小值－3、最大值6C．有最小值0、最大值6D．有最小值2、最大值68．(太原市二模)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，y与x的部分对应值如下表：根据表格，小明得出三个结论：①ac＜0；②当x＝2时，y＝5；③x＝3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根．其中结论正确的共有(D)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝bx＋a的图象可能是(C)10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是(B)A．4B．3C．2D．1提示：①②⑤正确，③④错误二、填空题(每小题4分，共20分)11．把二次函数y＝x2－12x化为形如y＝a(x－h)2＋k的形式：y＝(x－6)2－36．12．(大同市期中)已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，那么关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m ＝0的解为x1＝－2，x2＝4．13．(咸宁中考)如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是x＜－1或x＞4.14．(阳泉市盂县期中)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点．若点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为8．15．已知，当x＝2时，二次函数y＝a(x－h)2有最大值，且函数图象经过点(1，－3)，则该二次函数的解析式为y＝－3(x－2)2．三、解答题(共40分)16．(8分)如图，抛物线y1＝－x2＋2向右平移1个单位长度得到的抛物线y2.回答下列问题：(1)抛物线y2的解析式是y2＝－(x－1)2＋2，顶点坐标为(1，2)；(2)阴影部分的面积S＝2；(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为y3＝(x＋1)2－2，开口方向向上，顶点坐标为(－1，－2)．17．(10分)抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m与y轴交于点(0，3)．(1)求出m的值，并画出这条抛物线；(2)求抛物线与x轴的交点和顶点坐标；(3)当x取什么值时，抛物线在x轴上方？(4)当x取什么值时，y的值随x的增大而减小．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m与y轴交于点(0，3)，∴m＝3.∴y＝－x2＋2x＋3.图象如图所示．(2)抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)，顶点坐标为(1，4)．(3)当－1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．(4)当x＞1时，y的值随x的增大而减小．18．(10分)(山西中考)已知二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.(1)求点A、B、C、D的坐标，并在下面的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；(2)抛物线y＝x2－2x－3可由抛物线y＝x2如何平移得到？(3)求四边形OCDB的面积．解：(1)当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∵A在B的左侧，∴点A、B的坐标分别为(－1，0)，(3，0)．当x＝0时，y＝－3，∴C(0，－3)．又∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴D(1，－4)．画出二次函数图象如图．(2)∵y＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线y ＝x 2向右平移1个单位，再向下平移4个单位可得到抛物线y ＝x 2－2x －3. (3)连接OD ，作DE⊥y 轴于点E ，作DF⊥x 轴于点F.S 四边形OCDB ＝S △OCD ＋S △OD B ＝12OC·DE＋12OB·DF＝12×3×1＋12×3×4＝152.19．(12分)(阳泉市平定县月考)如图，已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于点A 和点B(点A 在点B 的左侧)，与y 轴的交点为C. (1)求点A 和点B 的坐标；(2)若点N 为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N 的坐标．解：(1)当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0. 解得x 1＝－1，x 2＝3. ∵点A 在点B 的左侧．∴点A 、B 的坐标分别为(－1，0)，(3，0)． (2)在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令x ＝0，则y ＝3. 即C 的坐标是(0，3)，OC ＝3. ∵点B 的坐标是(3，0)， ∴OB＝3.∴OC＝OB ，则△OBC 是等腰直角三有形． ∴∠OCB＝45°.过点N 作NH⊥y 轴，垂足是H. ∵∠NCB＝90°，∴∠NCH＝45°.∴NH＝CH.∴HO＝OC＋CH＝3＋CH＝3＋NH.设点N的坐标是(a，－a2＋2a＋3)．∴a＋3＝－a2＋2a＋3.解得a＝0(舍去)或a＝1.∴N的坐标是(1，4)．。

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时主要介绍了二次函数在实际问题中的应用。

这部分内容是对前面学习的二次函数知识的巩固和拓展，通过实际问题引导学生将理论知识和实际应用相结合，提高解决问题的能力。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的运用方法。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步的了解。

但是，将二次函数应用于实际问题中，解决实际问题对学生来说还是一个挑战。

因此，在教学过程中，需要关注学生对知识的掌握程度，以及他们在解决实际问题时的思维方式和方法。

三. 教学目标1.了解二次函数在实际问题中的应用。

2.能够将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.掌握二次函数在实际问题中的应用。

2.将实际问题转化为二次函数问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。

同时，运用讨论法、案例分析法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。

2.准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题引出本节课的主题，激发学生的兴趣。

例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积一定的条件下，如何安排两种作物的种植面积，使得总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现实际问题，引导学生认识到实际问题可以通过二次函数来解决。

通过PPT展示实际问题的图像，让学生观察和分析图像，理解二次函数在实际问题中的应用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题。

每组选择一个实际问题，分析问题中的变量关系，列出二次函数的表达式。

22.3 实际问题与二次函数(第一课时)(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)

22.3 实际问题与二次函数（第一课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.3 实际问题与二次函数（第一课时），内容包括：利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值．2.内容解析二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，将实际问题中的变量关系转化为二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小(大)值，并运用这个结论解决相关的实际问题．以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问题的关键．通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，让学生体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小(大)值解决实际问题．二、目标和目标解析1.目标1)会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题． 2.目标解析达成目标1）的标志是：学生会借助于二次函数的图象得到在二次函数顶点处取得最小(大)值的结论，理解当x ＝－2ba时，函数有最小(大)值244ac b a －．达成目标2）的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小(大)值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题．三、教学问题诊断分析学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础．但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这一过程难度较大．基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题抽象出数学模型，并利用二次函数解决实际问题．四、教学过程设计（一）复习巩固[问题]通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？1）y=6x2+12x 2）y=－4x2+8x－10师生活动：教师提出问题，学生回答．【设计意图】复习回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质，为本节课学习利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值进行铺垫．（二）探究新知【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t－5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？师：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？生：小球运动的高度h和小球运动的时间t两个变量之间的关系．师：结合题目内容，你觉得小球的运动时间与小球的高度有什么样的关系？生：小球运动的高度随小球的运动时间的变化而变化．师：小球的运动时间是多少时，小球最高呢？生：结合已学二次函数知识回答问题.师生活动：教师引导学生，得出如下结论：画出函数的图像h=30t－5t2（0≤t≤6），可以看出这个函数图象是一条抛物线的一部分。

人教版数学九年级上学期课时练习- 实际问题与二次函数(知识讲解)(人教版)

专题22.32 实际问题与二次函数（知识讲解）【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．【要点梳理】要点一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．特别说明：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.要点二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．特别说明：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：①首先必须了解二次函数的基本性质；②学会从实际问题中建立二次函数的模型；③借助二次函数的性质来解决实际问题.1．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x （m ），矩形苗圃ABCD 面积为y （2m ）．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)求所围矩形苗圃ABCD 的面积最大值；【答案】(1)y ＝﹣2x 2＋18x (2)812m 2 【分析】（1）设矩形苗圃ABCD 的一边AB 的长为x （m ），矩形苗圃ABCD 面积为y （2m ），则()182BC x =-，根据矩形的面积公式求解即可；（2）根据顶点坐标公式计算即可求解(1)解：设矩形苗圃ABCD 的一边AB 的长为x （m ），矩形苗圃ABCD 面积为y （2m ），则()182BC x =-，根据题意得：y ＝x （18﹣2x ）＝﹣2x 2＋18x ；(2)解：二次函数y ＝﹣2x 2＋18x （0＜x ＜9），∵a ＝﹣2＜0，∵二次函数图象开口向下，且当x ＝﹣182(2)⨯-＝92时，y 取得最大值，最大值为y ＝92×（18﹣2×92）＝812（m 2）；【点拨】本题考查了一元二次函数的应用，用代数式表示出()182BC x =-是解题的关键．举一反三：【变式1】为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m )的空地上修建一个矩形小花园ABCD ，小花园一边靠墙，另三边用总长40m 的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB 边的长为x m ，面积为ym 2．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）（1）2240y x x =-+.（7.520x ≤<）；（2）当x 为10m 时，小花园的面积最大，最大面积是2200m【分析】（1）首先根据矩形的性质，由花园的AB 边长为x m ，可得BC =(40-2x )m ，然后根据矩形面积即可求得y 与x 之间的函数关系式，又由墙长25m ，即可求得自变量的x 的范围；（2）用配方法求最大值解答问题．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∵AB =CD ，AD =BC ，∵AB =x m ，∵BC =(40-2x )m ，∵花园的面积为：y =AB •BC =x •(40-2x )=-2x 2+40x ，∵40-2x ≤25，x +x <40，∵x ≥7.5，x <20，∵7.5≤x <20，∵y 与x 之间的函数关系式为：y =-2x 2+40x （7.5≤x <20）；（2）∵ 22(10)200y x =--+，(7.520x ≤<)∵ 当10x =时，max 200y =．答：当x 为10m 时，小花园的面积最大，最大面积是200m 2．【点拨】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出函数解析式．【变式2】某数学实验小组为学校制作了一个如图所示的三棱锥模型P ﹣ABC ，已知三条侧棱P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且棱PB 与PC 的和为6米，PB ＝2P A ．现要给该模型的三个侧面（即Rt ∵P AB ，Rt ∵PBC ，Rt ∵P AC ）刷上油漆，已知每平方米需要刷0.5升油漆，油漆的单价为60元/升．（1）设P A 的长为x 米，三个侧面的面积之和为y 平方米，试求y （平方米）关于x （米）的函数关系式；（2）若油漆工的工时费为10元/平方米，该实验小组预算总费用为410元（即油漆费和工时费）．试通过计算判断完成该模型的油漆工作是否会超出预算？【答案】（1）y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；（2）完成该模型的油漆工作不会超出预算．【分析】（1）先根据P A的长为x米，PB=2P A，PB+PC=6米，求出PB=2x米，PC=（6-2x）米，然后根据三棱锥的侧面积等于三个直角三角形面积公之和列出函数解析式即可；（2）由（1）解析式，根据函数的性质求出最大面积，然后根据总费用=油漆费和工时费算出最大费用，然后与410比较即可．解：（1）∵P A=x米，PB=2P A，PB+PC=6米，∵PB=2x米，PC=（6-2x）米，由题意，得：y=12P A•PB+12P A•PC+12PB•PC=12x•2x+12x（6-2x）+12×2x（6-2x）=x2+3x-x2+6x-2x2=-2x2+9x，∵y关于x的函数关系式为y=-2x2+9x；（2）由（1）知，y=-2x2+9x=-2（x-94）2+818，∵-2＜0，∵当x=94时，y有最大值，最大值818，当y取得最大值时，需要总费用为：818×（0.5×60+10）=405（元），∵405＜410，∵完成该模型的油漆工作不会超出预算．【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，关键是根据等量关系列出函数关系式．2．如图，Rt ∵ABC 中，∵C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，P 点沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动，Q 点沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动，当P 、Q 到达终点C 、B 时，运动停止，设运动时间为t （s ）．（1）∵当运动停止时，t 的值为；∵设P 、C 之间的距离为y ，则y 与t 满足关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；（2）设∵PCQ 的面积为S ．∵求S 的表达式（用含t 的式子表示）；∵求当t 为何值时，S 取得最大值，这个最大值是多少？【答案】（1）∵2；∵一次函数；（2）∵2612S t t =-+；∵1t =，面积最大为6【分析】（1）∵根据P Q 、运动速度，以及AC 、BC 的长度，即可求解；∵求得y 与t 的关系式，即可求解；（2）∵求得线段PC 、CQ 的长度，即可求得S 的表达式；∵根据表达式可得S 与t 为二次函数的关系，根据二次函数的性质即可求解．解：（1）∵运动停止时，P Q 、分别到达终点C 点和B 点，632()t s =÷=故答案为2∵由题意可得：3AP t =，63PC AC AP t =-=-，即63y t =-，∵y 与t 满足一次函数的关系故答案为一次函数（2）∵由题意可得：3AP t =，4CQ t =63PC AC AP t =-=-∵PCQ 的面积2114(63)61222S PC CQ t t t t =⨯=⨯⨯-=-+ 故答案为：2612S t t =-+∵由二次函数的性质可得：60a =-<，开口向下，对称轴为1t =∵当1t =时，S 取得最大值，最大值为6【点拨】此题考查了函数与几何的综合应用，涉及了正比例函数的性质，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质，理解题意，找到题中的等量关系．举一反三：【变式1】如图，在△ABC 中，△B =90°，AB =12cm ，BC =24cm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm /s 的速度移动，如果P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，设运动时间为ts ，（1）BP =_________cm ；BQ =_________cm ；（2）t 为何值时△PBQ 的面积为32cm 2（3）t 为何值时△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）12-2t ，4t ；（2）当t =2秒或4秒时，∵PBQ 的面积是32cm 2；（3）当t 为3时∵PBQ的面积最大，最大面积是36cm 2．【分析】（1）根据题意得出即可；（2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可；（3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可．解：（1）根据题意得：AP =2tcm ，BQ =4tcm ，所以BP =（12-2t ）cm ，故答案为：12-2t ，4t ；（2）∵PBQ 的面积S =12×BP ×BQ =12×（12-2t ）×4t =-4t 2+24t =32，解得：t =2或4，即当t =2秒或4秒时，∵PBQ 的面积是32cm 2；（3）由题意得：S =-4t 2+24t=-4（t -3）2+36，所以当t 为3时∵PBQ 的面积最大，最大面积是36cm 2．【点拨】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S 与x 的函数关系式是解此题的关键．【变式2】如图（单位：m ），等腰直角三角形ABC 以2m/s 的速度沿直线l 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设s x 时，三角形与正方形重叠部分的面积为2m y ．（1）写出y 与x 的关系式；（2）当2x =，3.5时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？【答案】（1）22y x =；（2）8，24.5；（3）当重叠部分的面积是正方形的一半时，三角形移动了5s ．【分析】（1）根据题意可知，三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是2x ，据此可得出y 、x 的函数关系式；（2）可将x 的值，代入（1）的函数关系式中，即可求得y 的值；（3）将正方形的面积的一半代入（1）的函数关系式中，即可求得x 的值．（其实此时AB 与DC 重合，也就是说等腰三角形运动的距离正好是正方形的边长10m ，因此x =5）解：（1）因为三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形，且直角边都是2x ，所以y =12×2x ×2x =2x 2；（2）在y =2x 2中，当x =2时，y =8；当x =3.5时，y =24.5；（3）在y =2x 2中，因为当y =50时，2x 2=50，所以x 2=25，解得x =5s （负值舍去）．即当重叠部分的面积是正方形的一半时，三角形移动了5s ．【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平移的性质以及函数关系式等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键，求出y 与x 之间的函数解析式是解题的关键．3、某涵洞的横断面呈拋物线形，现测得底部的宽 1.6m AB =，涵洞顶部到底面的最大高度为2.4m.在如图所示的直角坐标系中，求抛物线所对应的二次函数的表达式．【答案】2154y x =-．【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为2y ax =，根据 1.6AB m =，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ，那么A 点坐标应该是()0.8, 2.4--，利用待定系数法即可求解．解：设此抛物线所对应的函数表达式为：2y ax =，1.6AB m =，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ，A ∴点坐标应该是()0.8, 2.4--，把A 点代入得：22.4(0.8)a -=-⨯，解得：154a =-，故涵洞所在抛物线的函数表达式2154y x =-．【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于结合题意列出式子求出解析式．举一反三：【变式1】如图∵，桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA ＝8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．(1)按如图∵所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；(2)一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处，有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．【答案】(1)y =-14x 2+2x （0≤x ≤8）；(2)不会碰到头，理由见分析【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y =a （x -4）2+4，再根据图象过原点，求出a 的值即可；（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y 的值，然后和1.68比较即可．(1)解：如图∵，由题意得：水面宽OA 是8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ，结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），设二次函数的表达式为y =a （x -4）2+4，将点O （0，0）代入函数表达式，解得：a =-14， ∵二次函数的表达式为y =-14（x -4）2+4，即y=-14x2+2x（0≤x≤8）；(2)解：工人不会碰到头，理由如下：∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，由题意得：工人距O点距离为0.4+12×1.2=1，∵将x=1代入y=-14x2+2x，解得：y=74=1.75，∵1.75m＞1.68m，∵此时工人不会碰到头．【点拨】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．【变式2】漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x 轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？【答案】（1）y＝﹣0.01x2+0.6x；（2）16米【分析】（1）根据题意，可以设出抛物线的解析式，然后根据题意可以得到点B的坐标和顶点的横坐标，从而可以求得该抛物线的解析式；（2）将（1）中的抛物线解析式化为顶点式，即可得到该函数的最大值，再根据OE＝7米，即可得到桥拱最高点到水面的距离是多少米．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，由题意可得，点B （﹣10，﹣7），顶点的横坐标为30， ∵100107302a b b a-=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得0.010.6a b =-⎧⎨=⎩，即桥拱所在抛物线的函数关系表达式是y ＝﹣0.01x 2+0.6x ；（2）解：∵y ＝﹣0.01x 2+0.6x ＝﹣0.01（x ﹣30）2+9，∵当x ＝30时，y 取得最大值9，∵9+7＝16（米），∵桥拱最高点到水面的距离是16米．【点拨】此题考查二次函数的性质和最值问题，熟练掌握，即可解题.4、为了落实“乡村振兴战略”，我县出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售．已知黑木耳的成本价为每盒60元，经市场调查发现，黑木耳每天的销售量y （盒）与销售单价x （元/盒）满足如下关系式：201800y x =-+，设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w （元）．(1)求w 与x 之间的函数关系式；(2)若要使该农业生产合作社每天的销售利润为2500元且最大程度地减少库存，则黑木耳的销售单价为多少元？(3)若规定黑木耳的销售单价不低于76元，且每天的销售量不少于240盒，则每天销售黑木耳获得的最大利润是多少元？【答案】(1)2203000108000w x x =-+-；(2)黑木耳的销售单价为65元；(3)每天销售黑木耳获得的最大利润是4480元【分析】（1）根据题意，可以写出w 与x 之间的函数关系式；（2）根据“每天的销售利润为2500元”列出一元二次方程，求解即可；（3）根据题意，可以得到售价的取值范围，再根据（1）中的函数关系式和二次函数的性质，可以得到每天销售黑木耳获得的最大利润．(1)解：由题意可得，w与x之间的函数关系式为：w=y（x-60）=（-20x+1800）（x-60）=-20x2+3000x-108000，即w与x之间的函数关系式是w=-20x2+3000x-108000；(2)解：令-20x2+3000x-108000=2500，解得x1=85，x2=65，∵要最大程度的减少库存，∵x=65．答：黑木耳的销售单价为65元；(3)解：∵规定该黑木耳的销售单价不低于76元，且要完成每天不少于240千克的销售任务，∵76240xy≥⎧⎨≥⎩，即76201800240xx≥⎧⎨-+≥⎩．解得76≤x≤78，由（1）得，w=-20x2+3000x-108000=-20（x-75）2+4500，∵当x=76时，w取得最大值，此时w=4480，答：每天销售黑木耳获得的最大利润是4480元．【点拨】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．举一反三：【变式1】商店销售某种利润率为50%的商品，现在的售价为30元/千克，每天可卖100千克，现准备对价格进行调整，由实际销售经验可知，售价每涨1元销售量要少卖10千克，设涨价后的销专单价为x（元/千克），且物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元．(1)该商品的购进价格是每千克多少元？(2)若商店某天的利润为750元，求售价为多少元？(3)求该商店每天销售这种商品的最大利润．【答案】(1)该商品的进价为20元；(2)商店某天的利润为750元，求售价为25元；(3)x＝32时，W有最大值960元．【分析】（1）设进价为a元，根据题意列出一元一次方程，故可求解；（2）根据题意列出一元二次方程，故可求解；（3）根据题意列出二次函数，根据函数的性质即可求解．(1)解：设进价为a元，∵利润率为50%，∵a（1+50%）＝30，解得：a＝20，所以该商品的进价为20元；(2)解：∵物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元．∵12≤x﹣20≤18∵x的取值为32≤x≤38根据题意得：[100﹣10（x-30）]（x﹣20）＝750∵（400﹣10x）（x﹣20）＝750，解得：x1＝35，x2＝25（不合题意，舍去），∵x＝35，∵商店某天的利润为750元，求售价为35元；(3)解：设每天的利润为W，则W＝（400﹣10x）（x﹣20）＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，∵12≤x﹣20≤18，∵32≤x≤38，∵-10＜0，抛物线开口向下，故x＞30时，y随x增大而减小，∵x＝32时，W有最大值960元．【点拨】此题主要考查二次函数、一元二次方程及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出函数或方程．【变式2】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价x元，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）．(1)猪肉粽和豆沙粽每盒的进价分别为元和元；(2)若每盒利润率不超过50%，问猪肉粽价格为多少元时，商家每天获利1350元？(3)若x满足50≤x≤65，求商家每天的最大利润．【答案】(1)40；30(2)55元(3)1750元【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a−10）元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；（2）根据利润率得到x的取值范围，再根据每盒利润×销售量＝1350列出方程，解方程即可；（3）列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．(1)解：设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a−10）元，则8000600010a a=-，解得a＝40，经检验a＝40是方程的解，∵猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，故答案为：40，30；(2)解：∵每盒利润率不超过50%，∵40≤x≤60，由题意得，（x−40）[100−2（x−50）]＝1350，整理得，x2−140x＋4675＝0，解得x1＝85（舍去），x2＝55．答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元；(3)解：设商家的利润为y元，∵y＝x[100−2（x−50）]−40×[100−2（x−50）]＝−2x2＋280x−8000，配方得：y＝−2（x−70）2＋1800，∵x＜70时，y随x的增大而增大，∵当x＝65时，y取最大值，最大值为1750．答：最大利润为1750元．【点拨】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式．5、图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示．根据相关信息解答下列问题．(1)求小球的飞行高度h （单位：m ）关于飞行时间t （单位：s ）的二次函数关系式；(2)小球从飞出到落地要用多少时间？(3)小球的飞行高度能否达到205m .？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．【答案】(1)2520h t t =-+(2)4s (3)不能，理由见分析【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）令h =0即可求解；（3）令20.5h =，得到方程无解即可判断．(1)解：由题意可设h 关于t 的二次函数关系式为2h at bt =+，因为当1t =，2时，15h =，20，∵152042a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得：520a b =-⎧⎨=⎩． ∵h 关于t 的二次函数关系式为2520h t t =-+．(2)解：当0h =，25200t t -+=，解得：10t =，24t =．∵小球从飞出到落地所用的时间为4s ．(3)解：小球的飞行高度不能达到205m .．理由如下：当20.5h =时，252020.5t t -+=，方程即为252020.50t t -+=，∵()2Δ204520.50=--⨯⨯<，∵此方程无实数根．即小球飞行的高度不能达到205m .．【点拨】此题主要考查一元二次方程与二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，再根据题意进行解答．举一反三：【变式1】 2021年东京奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB 长为2米，跳板距水面CD 的高BC 为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k 米，现以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．(1)当4k =时，求这条抛物线的解析式．(2)当4k =时，求运动员落水点与点C 的距离．(3)图中92CE =米，5CF =米，若跳水运动员在区域EF 内（含点E ，F ）入水时才能达到训练要求，求k 的取值范围．【答案】(1)y =-（x -3）2+4(2)5米(3)2745k ≤≤【分析】（1）根据抛物线顶点坐标M （3，4），可设抛物线解析为：y =a （x -3）2+4，将点A （2，3）代入可得；（2）在（1）中函数解析式中令y =0，求出x 即可；（3）若跳水运动员在区域EF 内（含点E ，F ）入水达到训练要求，则在函数y =a （x -3）2+k ，中，当92x =米，y >0，当5x =时，y =0，解不等式，即可求解． (1)解：如图，根据题意得：抛物线顶点坐标M （3，4），A （2，3）可设抛物线解析为：y =a （x -3）2+4，∵3=a （2-3）2+4，解得：a =-1，∵抛物线解析式为：y =-（x -3）2+4；(2)解：由题意可得：当y =0时， 0=-（x -3）2+4，解得：x 1=1，x 2=5，∵抛物线与x 轴交点为：（5，0），∵当k =4时，运动员落水点与点C 的距离为5米；(3)解：根据题意，抛物线解析式为：y =a （x -3）2+k ，将点A （2，3）代入得：a +k =3，即a =3-k ，若跳水运动员在区域EF 内（含点E ，F ）入水，当92x =时，29302y a k ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，即904a k +≥， ∵()9304k k -+≥，解得：275k ≤，当5x =时，()2530y a k =-+≤，即40a k +≤，∵()430k k -+≤，解得：4k ≥，∵跳水运动员在区域EF 内（含点E ，F ）入水时才能达到训练要求，k 的取值范围为2745k ≤≤．【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键．【变式2】如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P （看作一点）从数轴上表示﹣8的点A 处弹出后，呈抛物线y ＝﹣x 2﹣8x 状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出．(1)根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度．(2)当弹球P 在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式．【答案】(1)16(2)y ＝﹣（x ﹣）（x ﹣4）【分析】（1）根据题意建立坐标系，根据函数解析式求出最大值即可；（2）分别求出弹球第二次、第三次的解析式，以及落地见的距离，当落地之间距离为4时求出解析式即可．(1)解：根据弹球弹出的位置和函数解析式建立如图所示坐标系：∵抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣8x ＝﹣（x ﹣4）2+16，∵函数最大值为16，∵弹球第一次弹出的最大高度为16；(2)解：当y ＝0时，则﹣x 2﹣8x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝﹣8，∵第一次相邻两落点之间的距离为：|﹣8﹣0|＝8，设第二次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y ＝﹣x （x ﹣b ），当x 2b =时，y ＝1612⨯=8，∵2b -⨯（2b -）＝8，解得b ＝或b ＝﹣（舍去），∵所求抛物线的解析式为y ＝﹣x （x ﹣，∵第二次相邻两落点之间的距离为设第三次弹出时，弹球下落的抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣（x ﹣c ），当x 2c =时，y ＝16212⨯=4，解得c ＝4或c ＝4（舍去），∵所求抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣（x ﹣4），∵第三次相邻两落点之间的距离为4﹣＝4，∵相邻两落点之间的距离为4时，弹球下落抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣（x ﹣4）．【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求出函数关系式是解题的关键．6、如图，从某建筑物的窗口A 处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），点A 离地面的高度为6米，抛物线的最高点P 到墙的垂直距离为2米，到地面的垂直距离为8米，如图建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)求水落地离墙的最远距离OB ．【答案】(1)21(2)82y x =--+(2)6米【分析】（1）根据题意可知该抛物线顶点坐标，且经过点A （0，6），即可设抛物线的解析式为2(2)8y a x =-+，再将A （0，6）代入，求出a 即可；（2）对于该抛物线解析式，令y =0，求出x 的值即可．(1)解：由题意可知抛物线的顶点坐标为（2，8），且经过点A （0，6），∵设抛物线的解析式为2(2)8y a x =-+，把A （0，6）代入得486a +=，解得：12a =-， ∵21(2)82y x =--+． (2)解：令0y =，得()212802x --+=，解得：16x =，22x =-（舍去），∵水落地离墙的最远距离为6米．【点拨】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，利用待定系数法求出解析式是解答本题的关键．举一反三：【变式1】如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置OA ，O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式可以用2y x bx c =-++表示，且抛物线经过点15,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭．请根据以上信息，解答下列问题：(1)求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA 的高度；(2)喷出的水流距水面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【答案】(1)喷水装置OA 的高度为74米；(2)喷出的水流距水面的最大高度是114米； (3)水池的半径至少要【分析】（1）将点B 、C 坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c 列方程组求出b 、c 的值即可得解析式，令x ＝0可得y 的值，即喷水装置OA 的高度；（2）将抛物线解析式配方成顶点式即可得其最大值，即水流距水面的最大高度；（3）令y ＝0可得对应x 的值． (1)解：根据题意，将点B （12，52），C （2，74）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：22115()2227224b c b c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，解得：274b c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣x 2+2x +74，当x ＝0时，y ＝74， ∴喷水装置OA 的高度为74米； (2)解：∵y ＝﹣x 2+2x +74＝﹣（x ﹣1）2+114， ∴当x ＝1时，y 取得最大值114，故喷出的水流距水面的最大高度是114米； (3)解：当y ＝0时，﹣x 2+2x +74＝0，解得：x 1＝1﹣2x 2＝1+2 ∵x 1＝10，不合题意，舍去， ∴x 2＝答：水池的半径至少要【点拨】本题是二次函数的实际应用，掌握抛物线顶点、与x 轴交点、y 轴交点的实际意义是。

2020年九年级周周练二次函数实际问题第一课时

2020年九年级周周练⼆次函数实际问题第⼀课时2020年九年级上学期周周练（22.3.1）(时间：120分钟满分：150分)⼀、选择题(每⼩题4分，共40分)1. ⼆次函数3)1(2y 2+--=x 的图象的顶点坐标是( )A.)3 1(，B.)3 1(，-C.)3 1(-，D.)3 1(--，2. 下列⽅程中，有两个相等实数根的是（）A.x x 212=+B.012=+xC.322=-x xD.022=-x x3.由⼆次函数x 2x y 2+-=可知( )A.图象是开⼝向上的B.对称轴为1x -=C.最⼤值为1D.顶点坐标为)1 1(，- 4. ⼆次函数c bx ax y 2++=的图象如图所⽰，则应满⾜的条件是( )A.a>0，b>0，c>0B.a<0，b<0，c>0C.a>0，b<0，c<0D.a>0，b>0，c<05.如图所⽰，是⼆次函数2bx ax y 2+-=的⼤致图象，则函数b ax y +-= 的图象不经过( )A.第⼀象限B.第⼆象限C.第三象限D.第四象限 6．若关于x 的⼀元⼆次函数042=+-c x x 有实数根，则常数c 的值不可能为（A. —4 B.4 C.—16 D.16 7．已知⼆次函数772--=x kx y 的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为（） A ．47->k B ．47>k C ．47->k 且0≠k D ．0>k 8．某贫困村2019年全年集体经济收⼊为16万元，2020年该村积极招商引资带动全村经济发展，预计2021年该村全年集体经济收⼊可达25万元.那么该村招商引资后集体经济收⼊的年平均增长率为（）A.12%B. 16%C. 25%D. 32%9．已知⼆次函数y=ax 2+bx+c 中，y 与x 的部分对应值如下：x1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y﹣1.59 ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.250.76则⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0的⼀个解x 满⾜条件（）A ．1.2＜x ＜1.3B ．1.3＜x ＜1.4C ．1.4＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜1.6 10．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的⼀个交点坐标为第5题第4题图(－1，0)，其部分图象如图所⽰，下列结论：①4ac ＜b 2；②⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3；③3a ＋c ＞0；④当y ＞0时，x 的取值范围是－1≤x ＜3；⑤当x ＜0时，y 随x 增⼤⽽增⼤．其中结论正确的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1⼆、填空题(本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分) 第10题11．⽅程x （x+2）=0的根是 .12. 抛物线3bx x 2y 2+-=的对称轴是1x =，则b 的值为 .13. 铅球运动员掷铅球的⾼度y （m ）与⽔平距离x （m ）之间的函数关系式是21251233y x x =-++ ,则该运动员此次掷铅球的成绩是 .14.设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)过点A(0，2)，B(4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的解析式为_________________．三、解答题(本⼤题共9⼩题，共90分)15.⽤恰当的⽅法解⽅程：（本题共2⼩题，每⼩题4分，共8分）01412=--x x ）（， 016-1-x 222=）（）（16.（本题满分8分）把⼆次函数12212--=x x y 化为形如y ＝a(x －h)2＋k 的形式；可由抛物线221x y =如何平移得到？17．（本题满分8分）抛物线y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m 与y 轴交于点(0，3)．(1)求出m 的值；(2)求抛物线与x 轴的交点和顶点坐标；(3)当x 时，抛物线在x 轴上⽅？ (4)当x 时，y 的值随x 的增⼤⽽减⼩．18.（本题满分8分）已知⼆次函数))(3)(1(2为常数m m x x y ---=.(1) 求证：不论m 为何值，该函数的图像与x 轴总有公共点；(2) 当m 取什么值时，该函数的图像与y 轴的交点在x 轴的上⽅？19.（本题满分10分）如图，抛物线y 1＝－x 2＋2向右平移1个单位长度得到的抛物线y 2. 回答下列问题：(1)抛物线y 2的解析式（顶点式）是，顶点坐标为；(2)阴影部分的⾯积S ＝；(3)若再将抛物线y 2绕顶点旋转180°得到抛物线y 3，则抛物线y 3的解析第19题式（顶点式）为，顶点坐标为．20.（本题满分10分）已知矩形的周长为36cm ，矩形绕它的⼀条边旋转形成⼀个圆柱.矩形的长宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧⾯积最⼤？21.（本题满分12分）如图，⼆次函数y ＝(x ＋2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知⼀次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该⼆次函数图象上的点A(－1，0)及点B.(1)求⼆次函数解析式；(2)根据图象，写出满⾜(x ＋2)2＋m ≥kx ＋b 的x 的取值范围．第21题22.（本题满分12分）⽤19 m长的铝合⾦条制成如图所⽰的矩形窗框ACDF，CD长表⽰窗框的宽，EF＝0.5 m(铝合⾦条的宽度忽略不计).(1) 求窗框的长y(m)与窗框的宽x(m)之间的函数解析式及⾃变量的取值范围；(2) 求窗框的透光⾯积S(m2)与窗框的宽x(m)之间的函数解析式及⾃变量的取值范围；(3) 如何设计才能使窗框的透光⾯积最⼤？最⼤透光⾯积是多少？第22题23．（本题满分14分）已知⼀元⼆次⽅程x2﹣4x+3＝0的两根是m，n且m＜n．如图，若抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E.①若点P为OC的中点时，求S?PCE及直线PE与直线BC的交点坐标；②若直线BC将△CPE的⾯积分成相等的两部分，求点P的坐标．第23题。

九年级数学实际问题与二次函数(1)

厅高高的穹顶……抬头看去，大厅穹顶完全是用可自动变幻景物的神秘材料魔化而成，穹顶的景色一会儿是云海，一会儿是星空，一会儿是海底，一会儿是巨洞……穹
顶中央巨大焰火雾淞般的梦幻吊灯，四周是亿万造形奇异、色彩变幻的顶灯……蘑菇王子和知知爵士刚刚在两张镶着五色钻石的纯金座椅上坐下，只听一声悠长的号角
响起，大厅突然辉煌灿烂起来，笼罩在圣坛上的仙雾很快散去……只见圣坛中央的宝座上坐着主ｌ官女总管瑶雯娃姑婆，那模样竟然和时空车站外的雕像一模一样！在
圆乎乎的花朵……花坛后面顽皮可爱，清新悠闲地排列着圆鼓鼓，乱茫茫，隐约约的园林灌木……两列天庭巨神一样高大花柱从园林灌木中突兀而立，晶光石材质的花
柱顶部垂下缕缕簇簇优雅的娇美的花卉，宛若深绿色的飘逸长发和土黄色的轻纱飘然而下……大道左侧不远处是一片亮青色的花廊，花廊旁边棕、青、粉三色相交的林
带内不时隐现着一两只灵巧奇妙的动物和几声兽吟鸟鸣……大道右侧远处是一片天蓝色的隧道，那里似乎生长着一片浅红色的血樱树林和一片青远山色的血桦树林……
一阵轻轻的风儿吹来，真的让人感到十分清爽……见有客到，随着一阵不易察觉的声响，大道两旁青兰花色的五光银基座上，正在轻漫起舞的雕塑立刻换成了一副虔诚
的神态……这时，静静涌出的泉水也悄然喷出冲天而起的壮观水柱……突然，满天遍地生出数不清的花蕾，顷刻间万紫千红的鲜花就同时怒放，整个大地和天空立刻变
成了花的海洋……空气中瞬间弥漫出浓浓的花香……飞进主塔超大的褐黄色菠萝形大门，空阔安静、帅气冷峻的大厅立刻让人眼前一亮，但扑面而来的空气也让人感到
主ｌ官左边坐着七个神态威严身穿深绿色烟波甲的监ｌ官，右边坐着四个容貌怪异的的副ｌ官那个身穿神奇的银光衣的副ｌ官是
Ｂ．可日勃教主。他出生在卫埃奇
种族的
深圳技工学校深圳技工学校

九年级数学实际问题与二次函数一周强化人教实验版

实际问题与二次函数一周强化一、一周知识概括1、数学知识的应用是学习数学的目的，用二次函数知识解决实际生活中的应用问题，特别是与经济生活相关的经济型问题是考查的热点．在实际问题中，若由题意列出的函数关系式是一个二次函数，则这些问题属于二次函数的最值问题．解决这类问题的关键是审清题意，建立二次函数关系式．实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义．因此在求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值X围．2、数学模型的建立．利用二次函数的最值解决实际问题时，要恰当地把实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而以确定二次函数的表达式．另外，当求出最值时，要核实抛物线的最值与实际问题的最值是否一致，这就要求我们必须认真审题．3、与二次函数有关的应用问题包括图象信息问题和以现实生活为背景的情境应用问题．如利用平面几何图形的有关条件和性质建立平面几何图形面积的二次函数表达式，并利用二次函数的图象和性质确定最大或最小面积，其中求几何图形面积的常见方法有：利用几何图形的面积公式求几何图形的面积；利用几何图形的面积和或差求几何图形的面积．日常生活中的生产、经营活动中的最大产值、最大利润等最优化问题．二、典型例题讲解例1、如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．(1)求S与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米?(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．分析：由图形可知花圃的宽为AB=xm，长BC为(24－3x)m，则S与x的函数关系式不难求解出，第(2)、(3)问可利用S与x的函数关系式来解答．解：(1)设宽AB=xm，则BC=(24－3x)m，此时面积S=x·(24－3x)=－3x2＋24x．(2)由条件得－3x2＋24x=45，化为x2－8x＋15=0，解得x1=5，x2=3．∵0＜24－3x≤10，得，∴x2=3不符合题意，故AB=5，即花圃的宽为5m．(3)S=－3x2＋24x=－3(x2－8x)=－3(x－4)2＋48．∵，∴当时，．∴能围成面积比45m2更大的花圃．花圃的长取，宽取，这时有最大面积．误区警示：首先在确定函数y=－3(x－4)2＋48的最大值时，应根据实际情形及函数的性质来综合说明，切忌不加分析而误认为当x=4时，其面积有最大值48m2；其次是在利用数学方法求出的结论中，必须检验该结果的合理性．例2、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.分析：（1）在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O（0，0），入水点（2，－10），最高点的纵点标为.（2）求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距池边水平距离为米. 时，该运动员是不是距水面高度为5米. 解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为.由题意，知O（0，0），B（2，－10），且顶点A的纵坐标为2/3.解得或∵抛物线对称轴在轴右侧，∴又∵抛物线开口向下，∴a＜0,b＞0∴抛物线的解析式为（2）当运动员在空中距池边的水平距离为米时，即时，∴此时运动员距水面的高为因此，此次跳水会失误.例3、如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．动点P从A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．(1)当点P运动2s时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；(2)当点P运动2s时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB 上以1cm/s的速度匀速运动，在BC上以2cm/s的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为ts(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2．①S关于t的函数关系式；②求S的最大值．分析：本题集代数、几何知识为一体，综合性较强．问题(1)涉及∠A=60°，△APE为直角三角形，必然运用到勾股定理；问题(2)应运用分类讨论的数学思想，即点P，点Q运动的位置有三种情形．而求S的最大值时，要充分运用二次函数的性质及自变量的取值X 围．解：(1)当点P运动2s时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1cm，，∴．(2)①当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD 交于点F，则AQ=t，，AP=t＋2，．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为．当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，，BP=t－6，CP=10－t，，而，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为．当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20－2t，，CP=10－t，．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为．故S关于t的函数关系式为②当0≤t≤6时，S的最大值为；当6≤t≤8时，S的最大值为；当8≤t≤10时，S的最大值为；所以当t=8时，S有最大值为．反思：动点问题应弄清动点在不同位置时所得图形的面积不同，所以探究最值时应在各自的取值X围内探究．例4、心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系：（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？分析：此题涉及到二次函数、一次函数相结合的分段函数的应用，根据所给的函数正确画出草图，结合图象有助于解决问题．解：（1）当，当时，∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中．（2）当，该图象的对称轴为，在对称轴左侧，y随t的增大而增大，所以，当时，y有最大值240。

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22.3 实际问题与二次函数第1课时实际问题与二次函数(1)知能演练提升能力提升1.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中每月获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y=-n2+14n-24,则该企业一年中应停产的月份是( )A.1月、2月、3月B.2月、3月、4月C.1月、2月、12月D.1月、11月、12月2.如图,在正方形ABCD中,AB=8 cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1 cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D时停止运动.设运动时间为t(单位:s),△OEF的面积为S(单位:cm2),则S与t的函数关系可用图象表示为( )3.某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树,果园橘子总个数为y个,则果园里增种棵橘子树,橘子总个数最多.4.某工厂生产某品牌的护眼灯,并将护眼灯按质量分成15个等级(等级越高,灯的质量越好.如:二级产品好于一级产品).若出售这批护眼灯,一级产品每台可获利21元,每提高一个等级每台可多获利润1元,工厂每天只能生产同一个等级的护眼灯,每个等级每天生产的台数如下表所示:等级x/级一级二级三级…生产量y/(台/天)78 76 74 …已知护眼灯每天的生产量y(单位:台)是等级x(单位:级)的一次函数,若工厂将当日所生产的护眼灯全部售出,工厂应生产等级的护眼灯,才能获得最大利润元.5.每年六、七月份某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少钱才不会亏本?(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(单位:千克)与销售单价x(单位:元/千克)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?6.如图,在▱ABCD中,AB=4,BC=3,∠BAD=120°,E为BC上一动点(不与B重合),作EF⊥AB于点F,FE,DC的延长线交于点G,设BE=x,△DEF的面积为S.(1)求用x表示S的函数解析式,并写出x的取值范围;(2)当E运动到何处时,S有最大值,最大值为多少?[7.某城镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为:每投入x万元,可获得利润P=-(x-60)2+41(万元).当地政府拟在五年规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资,在实施规划五年的前两年中,每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的三年中,该特产既在本地销售,也在外地销售.在外地销售的投资收益为:每投入x万元,可获利润Q=-(100-x)2+(100-x)+160(万元).(1)若不进行开发,求五年所获利润的最大值是多少;(2)若按规划实施,求五年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少;(3)根据(1)(2),该方案是否具有实施价值?8.国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,某环保节能设备生产企业的产品供不应求.若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围,每套产品的生产成本不高于50万元,每套产品的售价不低于90万元.已知这种设备的月产量x(单位:套)与每套的售价y1(单位:万元)之间满足关系式y1=170-2x,月产量x(单位:套)与生产总成本y2(单位:万元)存在如图的函数关系.(1)直接写出y2与x之间的函数解析式;(2)求月产量x的取值范围;(3)当月产量x(单位:套)为多少时,这种设备的利润W(单位:万元)最大?最大利润是多少?9.某果品批发公司为指导今年的樱桃销售,对往年的市场销售情况进行了调查统计,得到如下数据:销售价x/(元/千克)… 25 24 23 22 …销售量y/千克… 2 000 2 500 3 000 3500…(1)在如图的直角坐标系内,描出各组有序数对(x,y)所对应的点,连接各点并观察所得的图形,判断y 与x 之间的函数关系,并求出y 与x 之间的函数解析式;(2)若樱桃进价为13元/千克,试求销售利润P(单位:元)与销售价x(单位:元/千克)之间的函数关系式,并求出当x 取何值时,P 的值最大.★10.由于受干旱的影响,5月份,某市某蔬菜价格呈上升趋势,其前四周每周的平均销售价格变化如下表:周数x 1 2 3 4[价格y(元2 2.2 2.4 2.6/千克)进入6月,由于本地蔬菜的上市,此种蔬菜的平均销售价格y(单位:元/千克)从6月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克,且y与周数x的变化情况满足二次函数y=-x2+bx+c.(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数或二次函数的有关知识直接写出5月份y与x的函数解析式,并求出6月份y与x的函数解析式;(2)若5月份此种蔬菜的进价m(单位:元/千克)与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2,6月份此种蔬菜的进价m(单位:元/千克)与周数x所满足的函数关系为m=-x+2.试问5月份与6月份分别在哪一周销售此种蔬菜1千克的利润最大?且最大利润分别是多少?创新应用★11.某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(单位:万件)与销售单价x(单位:元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-制造成本)(1)写出每月的利润z(单位:万元)与销售单价x(单位:元)之间的函数解析式;(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?答案：能力提升1.C ∵y=-n2+14n-24=-(n-2)(n-12),∴当y=0时,n=2或n=12.又该函数的图象开口向下,∴1月,y<0;2月、12月,y=0.∴该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月.故选C.2.B 设△OEF中EF边上的高为h,则易知h=EF,于是S△OEF=h·EF=EF2=(EC2+FC2)=[(8-t)2+t2]=t2-4t+16(0≤t≤8).故选B.3.104.十 1 800 设所获利润为W元,由题意,得W=(80-2x)(x+20)=-2x2+40x+1 600=-2(x-10)2+1 800.∵a=-2<0,∴当x=10时,W最大=1 800.故当每天生产十级护眼灯时,可获得最大利润1 800元.5.解:(1)设荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本.由题意得y(1-5%)≥(5+0.7),解得y≥6.所以,水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90.因此,当x=9时,w有最大值.所以,当销售单价定为9元/千克时,每天获得的利润w 最大.6.解:(1)在▱ABCD中,AB∥CD,EF⊥AB,故有DG⊥FE,即DG为△DEF中EF边上的高.∵∠BAD=120°,∴∠B=60°.∴∠BEF=∠CEG=30°.在Rt△BEF与Rt△EGC中,EF=x,CG=CE=(3-x),∴DG=CD+CG=.于是S=EF·DG=-x2+x,其中0<x≤3.(2)由(1)知,当0<x≤3时,S随x的增大而增大,故当x=3,即E与C重合时,S有最大值,且S最大=3.7.分析:(1)利用二次函数顶点公式即可求解.(2)前两年,0≤x≤50,在对称轴的左侧,P随x增大而增大,当x最大为50时,P值最大且为40万元,所以这两年获利最大为40×2=80(万元).后三年:设每年获利为y万元,当地投资额为x万元,则外地投资额为(100-x)万元.关键要注意此时的自变量只有一个,共投资100万元,将x和(100-x)分别代入相应的关系式即可得到y与x的二次函数解析式,进而利用配方法或顶点公式求出最值.(3)把(1)(2)中的最值作比较即可发现该方案有极大的实施价值.解:(1)当x=60时,P取最大值41,故五年获利的最大值是41×5=205(万元).(2)前两年:0≤x≤50,此时因为P随x增大而增大,所以当x=50时,P值最大且为40万元,所以这两年获利最大为40×2=80(万元).后三年:设每年获利为y万元,当地投资额为x万元,则外地投资额为(100-x)万元,所以y=P+Q==-x2+60x+165=-(x-30)2+1 065,当x=30时,y最大且为1 065,那么后三年获利最大值为1 065×3=3 195(万元),故五年获利的最大值为80+3 195-50×2=3 175(万元).(3)由(1)(2)可知该方案有极大的实施价值.8.解:(1)y2=500+30x.(2)依题意得解得25≤x≤40.(3)∵W=x·y1-y2=x(170-2x)-(500+30x)=-2x2+140x-500,∴W=-2(x-35)2+1 950.而25<35<40,故当x=35时,W最大=1 950万元,即月产量为35套时,利润最大,最大利润是1 950万元.9.解:(1)正确描点、连线.由图象可知,y是x的一次函数.设y=kx+b,因为点(25,2 000),(24,2 500)在图象上,则解得故y=-500x+14 500(x≥0).(2)P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14 500)=-500x2+21 000x-188 500=-500(x-21)2+32 000.因此P与x的函数解析式为P=-500x2+21 000x-188 500,当销售价为21元/千克时,能获得最大利润.10.解:(1)通过观察可见5月份价格y与周数x符合一次函数解析式,即y=0.2x+1.8.将(1,2.8),(2,2.4)代入y=-x2+bx+c,可得解之,得即y=-x2-x+3.1.(2)设5月份第x周销售此种蔬菜1千克的利润为W1元,6月份第x周销售此种蔬菜1千克的利润为W2元,W1=(0.2x+1.8)-=-0.05x+0.6,因为-0.05<0,所以W1随x的增大而减小.所以当x=1时,=-0.05+0.6=0.55.W2=(-0.05x2-0.25x+3.1)-=-0.05x2-0.05x+1.1.因为对称轴为x=-=-0.5,且-0.05<0,所以当x>-0.5时,y随x的增大而减小.所以当x=1时,=1.所以5月份销售此种蔬菜1千克的利润在第1周最大,最大利润为0.55元;6月份销售此种蔬菜1千克的利润在第1周最大,最大利润为1元.创新应用11.解:(1)z=(x-18)y=(x-18)·(-2x+100)=-2x2+136x-1 800,所以z与x之间的函数解析式为z=-2x2+136x-1 800.(2)由z=350,得350=-2x2+136x-1 800,解这个方程得x1=25,x2=43.所以销售单价定为25元或43元.将z=-2x2+136x-1 800配方,得z=-2(x-34)2+512,因此,当销售单价为34元时,厂商每月能获得最大利润,最大利润是512万元.(3)结合(2)及函数z=-2x2+136x-1 800的图象(如图)可知,当25≤x≤43时,z≥350.又由这种电子产品的销售单价不能高于32元,得25≤x≤32.根据一次函数的性质,得y=-2x+100中y随x的增大而减小,所以当x=32时,每月制造成本最低.最低成本是18×(-2×32+100)=648(万元),即所求每月最低制造成本为648万元.。

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