(优选)线性代数矩阵的秩习题

x y ... 0 0
0 y ... 0 0
原式=x (1)11 ... ... ... ... ... y (1)12 ... ... ... ... ...
0 0 ... x y
0 0 ... x y
0 0 ... 0 x n-1 y ... 0 0
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
（优选）线性代数矩阵的秩习题
矩阵的秩
➢ 秩(rank)是矩阵更深层的性质，是
矩阵理论的核心概念． ➢ 秩是德国数学家弗洛贝尼乌斯在
1879年首先提出的． ➢ 矩阵的秩是讨论线性方程组解的存
在性、向量组的线性相关性等问题 的重要工具．
课本§2.6 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念 二、矩阵的秩的求法
一、矩阵的秩的概念
2阶子式
行阶梯形矩阵 其所有4阶子
1 2
2 3
1
0
式全为零. 以3个非零行的首 非零元为对角元的3阶子式
A的3阶子式只有一个|A| 经计 算可知|A|0 因此r(A)2.
2 1 3 0 3 2
提示 对于行阶梯形矩阵 它的
秩就等于非零行的行数.
00 4 是一个上三角行列式 它显然 =24不等于0 因此r(B)3.
解答：可能有 .
例如
A100
0 1 0
0 0 1
000
r(A)3.
000
0 0
0 0
是等于0的2阶子式
1 0 0 是等于0的3阶子式. 010
二、矩阵的秩的求法
任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。 问题：经过初等变换后，矩阵的秩 变 吗？ ❖定理1 若A与B等价 则 r(A)r(B).
(4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 r(A)n 当|A|0时 r(A)n.
A
a21 L
a22 L
L L
a2n
L
可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵 am1 am2 L amn
不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降秩矩阵.
补充例3 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的 r 阶子式?
1 1 x
继续讨论x的值的变化对矩阵A的秩的影响，结果同解法一。
P67:32
练习题 P67:31,32
1 2 3 1
2 1 k 2 32.设A为5 4的矩阵，A 0 1 1 3，且A的秩为3，求k.
1 1 0 4
2 0 2 5
P67:32
练习题 P67:31,32
1 2 3 1
2 1 k 2 32.设A为5 4的矩阵，A 0 1 1 3，且A的秩为3，求k.
例如
A
1 2 2
1 1 3
2 1 1
1 1 1
4 2 2
3 6 9 7 9
11 3 1
是 A的一个二阶子式.
说明
mn矩阵的k阶子式有
C
k m
C
k n
个.
2、矩阵的秩
定义2 设在mn矩阵A中有一个不等于零的r阶子式 D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么数 r 称为 矩阵A的秩 D 称为矩阵A的最高阶非零子式.
又因A0的子式
3 25 3 2 6 0
2 05
所以这个子式是A的最ห้องสมุดไป่ตู้阶非 零子式.
例5 即AB与B等价
例6
小结
1. 矩阵的秩的概念 2. 求矩阵的秩的方法 (1)定义法
寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2)初等变换法
把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
Amn
r ~ 行阶梯形矩阵
(形式不唯一)
r ~ 行最简形矩阵
(形式唯一)
c ~ 标准形
F Er O O O mn
标准形由数r完全确定，r也就是A的行阶梯形中非零行 的行数 这个数便是矩阵A的秩.
一、矩阵的秩的概念
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
Amn
r ~ 行阶梯形矩阵
规定 零矩阵的秩 等于0. 故r(A) =0 A=O．
矩阵A的秩，记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) .
例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中
A 421
2 3 7
531
B
2 0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2
4 0
0253 .
解 在A中 容易看出一个 B是一个有3个非零行的
1 1 0 4
2 0 2 5
P21 ,2
解：D (1) (1)13 5 2 (1)23 3 0 1 (1)43 4
15
a11 a12 -1 a14
D= a21 a22 2 a24 a31 a32 0 a34
a41 a42 1 a44
（-1）1+1
P21 ,5(3)
P21 ,5(3)
即初等变换不改变矩阵的秩 .
根据这一定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.
例4 求矩阵A的秩 并求A 所以r(A)3.
的一个最高阶非零子式 其中
为求A的最高阶非零子式
A 2331
2 2
0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
4031 .
解 因为
A
3 3
21
2 2
0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
01 43
~ 行变换
1 0
6 4
行阶梯形矩00 阵00
4 3 0 0
1 1 4 0
41 08
考虑由A的 1、2、4 列构成的
矩阵
3
A0
3 2 1
2 2
0 6
65 51
.~
1 0 0 0
6 4 0 0
1
1
4
0
可见r(A0 )＝3,
(形式不唯一)
r ~ 行最简形矩阵
(形式唯一)
c ~ 标准形
F Er O O O mn
由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可 以借助行列式来定义矩阵的秩．
1、k 阶子式
定义1 在mn矩阵A中 任取 k 行 k 列 (1 k m,1 k n)
位于这些行 列 交叉处 的 k2 个元素 不改变它们在A中所 处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式.
3、矩阵的秩的性质
(1)若矩阵A中有某个 s 阶子式不为0 则r(A) s
若A中所有 t 阶子式全为0 则r(A)t.
(2) 若A为mn矩阵 则 0 r(A) min{m n}.
r(Am×n) min{m n} 可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。
(3) r(A)r(AT)，
a11 a12 L a1n