概率统计常见题型及方法总结

f (x, y)dxdy g ( x,y)z
难点是画出二重积分的积分区域，然后把二重积分化为二次积分定上 下限，
. 学习.资料.
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画图：先画出被积函数也就是联合密度非零的区域，再确定区域
g ( x, y) z 与密度非零区域的重合区域就是二重积分的积分区域，
穿线定积分限：然后左右穿或者上下穿个积分区域定限，求出分布函 数 第三步 求密度函数： fZ (z) FZ(z)
P( A0
|
Bx )
P(Bx | A0 )P( A0 ) P(Bx )
0.2 0.6 0.16
0.75
，
3分
P( A1 | Bx ) 1 P( A0 | Bx ) 1 0.75 0.25
3分
. 学习.资料.
..
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二、随机变量函数的分布及其边缘密度及其独立性的判断 记住如下知识点： 常见分布律和概率密度：
100 P(
i 1
Xi
240)
P
100 i 1
Xi 100 2 100 4
240 100 2 100 4
(2)
0.9772
点估计的问题：矩估计和似然估计
似然函数的构造：
. 学习.资料.
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例题分析：
一、设总体 X 的概率密度为
e(x ) , x ,
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四（１０分）设随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为
2e(x2 y) , x 0, y 0
f (x, y) 0,
其他
求随机变量 Z X 2Y 的分布函数。
FZ (z) P{X 2Y z} f (x, y)dxdy x2 yz
当 z 0 时， FZ (z) 0
当 z 0 时， FZ (z)
. 学习.资料.
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一般正态分布的计算转化为标准正态分布去做：
. 学习.资料.
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连续随机变量 X:
二维随机变量的分布函数：
. 学习.资料.
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联合密度：
. 学习.资料.
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. 学习.资料.
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掌握如下解决随机变量函数分布的解题方法：
对于二维随机变量函数的概率密度，注意：除了求随机变量
（1）写出 X 的概率分布；
（2）求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值。
[解] （1） X ~ b(100, 0.2) ， P{X k} C1k00 0.2k 0.8100k ， k 0,1,2,,100 （2） E(X ) 100 0.2 20 ， D(X ) 100 0.2 (1 0.2) 16
当 y ≤0 时， fY ( y) =0
e y , y 0
当 y ＞0 时
fY
(
y
)
=
0,
y0
1 e y , 0 y
（2） F( y)
0,
其他
1 ex , F(x)
0,
（3）独立
0 x
其他
（3） P(XY 1) f (x, y)dxdy 2
x y1
e
4分
4分 4分 4分
. 学习.资料.
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常见大题： 1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件 Ai ”可以导致 B 这个“结果”发生，考虑结果 B 发生的概率，或者 求在 B 发生的条件下，源于某个原因 Ai 的概率问题
全概率公式： 贝叶斯公式：
n
P B P Ai P B | Ai i 1
根据棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理
P {14
X
30}
P14
20 4
X
E(X ) D(X )
30
20
4
. 学习.资料.
..
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P1.5 X E( X ) 2.5 (2.5) (1.5)
D(X )
(2.5) (1.5) 1 0.994 0.933 1 0.927
三（10 分）某银行的柜台替每一位顾客的服务时间（单位：分钟）服从参数 1 的指数 2
解 Bi 表示从第 i 个口袋放入第 i 1个口袋红球， i 1,2,3,4
Ai 表示从第 i 个口袋中任取一个球为红球，
2分
则
P(B1 )
a
a
b
，
2分
P(A1) P(B1)P(A1 B1) P(B1)P(A1 B1)
a a 1 b
a a
2分
a b a b1 a b a b1 a b
依次类推
np(1 p)
,
P{a
X
b}
(
b
np npq
)
(
a
np npq
)
这个公式给出了 n 较大时二项分布的概率计算方法。
. 学习.资料.
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另一类是除二项分布之外的其他分布的独立变量连加和的
计算问题，
设 X1, X2, , Xn, 独立同分布，E Xk D Xk 2 0 k 1,2, ,n.
合格。在检验时，一件正品被误判为次品的概率为 0.05，而一件次品被误判为正品的概率
为 0.01。（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概
率。
解 设 A 表示“任取一件产品被检验为正品”， B 表示“任取一件产品是正品”，则
P B 96 ， P B 4 ， P A| B 0.95 ， P A | B 0.01
P( A0 ) 0.6 ，
P( A1 ) 0.4 ， P(Bx | A0 ) 0.2 ， P(Bx | A1 ) 0.1。
（1）由全概率公式得
P(Bx ) P(Bx | A0 )P( A0 ) P(Bx | A1 )P( A1 )
4分
0.2 0.6 0.1 0.4 0.16。
2分
（2）由贝叶斯公式得
Z=X+Y 的密度函数用公式：
fZ (z)
f (x, z x)dx
f (z y, y)dy
. 学习.资料.
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注意：
f (x, y) 先写出联合密度:
，根据联合密度写出
f (x, z x)或者 f (z y, y)，
f (x, z x) 在平面 x0z 或者 y0z 上画出被积函数
n
P( Ai | B) P( Ai )P(B｜Ai ) P( Aj )P(B｜Aj ) j 1
一（12 分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有 a 只红球和 b 只白
球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从 丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？
z
dx
zx
2 2e(x2 y) dy 1 ez ze z
0
0
所以 Z X 2Y 的分布函数为
0,
z0
FZ (z) 1 ez zez , z 0
3.中心极限定理的问题：用正态分布近似计算
共两类：
一类是二项分布的近似计算问题
近似
X ~ b(n, p) N(np, np(1 p))
，即 X np ~ N (0,1)
(1)
fX (x)
f (x, y)dy ，
当 x ≤0 时， f (x, y) =0,于是 fX (x) =0
当 x ＞0 时， fX (x)
=
e y dy ex ，
x
ex , x 0 所以 X 的边缘概率密度为 fX (x) = 0, x 0
Y 的边缘概率密度 fY ( y) f (x, y)dx
y2e ydy 2
0
0
0
Cov X,Y E X EY 3 2 1
三（16 分）设二维随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为
e(x y) ,
f (x, y)
0，
x 0, y 0 其它
（1） 求边缘密度函数 f X (x) ， fY ( y) ；
（2） 求边缘分布函数 FX (x) ， FY ( y) ； （3） 判断 X 与 Y 是否相互独立； （4） 求 P( X Y 1) 。
2分
a P( Ai ) a b 二（10 分）袋中装有 m 只正品硬币， n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋
中任取一只，将它投掷 r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？
. 学习.资料.
..
.
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、解 记 B ={取到次品}， B ={取到正品}， A ={将硬币投掷 r 次每次都出现国徽}
则
PB
n m
n
,PB
m mn
，
PA
B
1，
P
A
B
1 2r
―—５分
PB
A
PB P(A B)
P(B)P(A B) P(B)P(A B)
n 1 mn
m
n
n
1
m m
n
1 2r
2r n 2r n m
三、（10 分）一批产品共 100 件，其中有 4 件次品，其余皆为正品。现在每次从中任
取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验 3 次，如果发现有次品，则认为这批产品不
二、（10 分）设二维随机变量 X ,Y 的概率密度为
f
x,
y
Ae y ,
0,
0x y 其它
（1）求常数 A 的值；（2）求 X 与Y 的协方差 Cov X ,Y 。
解
（1）由1
f x, y dxdy
dy
y Ae ydx A ，得 A 1
0
0
（2） E X
100
100
（1）由全概率公式得
P A PB P A | B PB P A | B 0.9124
（2）这批产品被检验为合格品的概率为
p P A3 0.91243 0.7596
四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概 率分别为 0.6 和 0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率 0.7 和 0.1 接收到‘0’和
不为零的区
域，然后穿线通过区域确定 x 的上下限。
他的函数 Z = g ( X , Y )的概率密度，只能使用分布函数法
其步骤如下：
f (x, y) 第 一 步 求 联 合 密 度 :
，根据联合密度写出
f (x, z x)或者 f (z y, y)
第二步 求 z 的分布函数：
FZ (z) P{Z z} P{2X Y z}
‘1’，以 0.2 的概率收为模糊信号‘ x ’；发出‘1’时，分别以概率 0.85 和 0.05 收到‘1’ 和‘0’，以概率 0.1 收到模糊信号‘ x ’。
（1）求收到模糊信号‘ x ’的概率； （2）当收到模糊信号‘ x ’时，以译成哪个信号为好？为什么？
解 设 Ai =“发出信号 i ” (i 0,1) ， Bi =“收到信号 i ” (i 0,1, x) 。由题意知
分布，且各位顾客的服务时间是相互独立的，试用中心极限定理计算，对 100 位顾客的总 服务时间不超过 240 分钟的概率。
解 设 X1, , X100 分别表示每一位顾客的服务时间，则它们相互独立相同分布，且
E( X i ) 2, D( X i ) 4 ------------------------------- 5 分
5分
（2） X 表示任意老鼠个数，由中心极限定理
3分
P( X
350)
P
X
200 2 200 2
350 200 200 2
2
3分
1
350 200 200 2
2
3分
二、（１０分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，以 X 表示
在随意抽查的 100 个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的数。
近似有连加和服从正态分布：
n
X i ~ N (n, n 2 )
i 1
一、 (14 分) 设粮仓老鼠的数目是一个服从泊松分布的随机变量，且仓无鼠的概率为 e2 。
（1）写出随机变量的分布律； （2）试用中心极限定理计算，在 200 个同类粮仓老鼠总数超过 350 只的概率。
解 （1） X ~ (2) ；
F
(x)
x, 1,
0 x 1 x 1
Baidu Nhomakorabea
而 X (n) max( X 1 , X 2 ,, X n ) 的分布函数为
FX(n) (z) P{X (n) z} P{max(X1, X 2 ,, X n ) z)
P{X1 z, X 2 z,, X n z) [F (z)]n
f X(n) z FX(n) z n F zn1 f z nz n1 ， (0 z 1)
xf x, y dxdy
dy
y xe ydx
1 y2e ydy 1
0
0
02
. 学习.资料.
..
.
.
E XY
xyf x, y dxdy
dy
y xye ydx
1 y3e ydy 3
0
0
02
E Y
yf x, y dxdy
dy
y ye ydx
分析：
一、设总体 X 服从 (0,1) 上的均匀分布， X1, X 2 , , X n 是来自总体 X 的一个样本，最大顺 序统计量 X (n) max( X 1 , X 2 ,, X n ) ，
1．求随机变量 X (n) 的概率密度；
0, x 0
解： X
~
f (x)
1, 0,
0 x 其它
1
，其分布函数为