大学物理教案 光的干涉、衍射与偏振

教学目标 掌握惠更斯-菲涅耳原理；波的干涉、衍射和偏振的特性，了解光弹性效应、电光效应和磁光效应。

掌握相位差、光程差的计算，会使用半波带法、矢量法等方法计算薄膜干涉、双缝干涉、圆孔干涉、光栅衍射。

掌握光的偏振特性、马吕斯定律和布儒斯特定律，知道起偏、检偏和各种偏振光。

教学难点 各种干涉和衍射的物理量的计算。

第十三章 光的干涉一、光线、光波、光子在历史上，光学先后被看成“光线”、“光波”和“光子”，它们各自满足一定的规律或方程，比如光线的传输满足费马原理，传统光学仪器都是根据光线光学的理论设计的。

当光学系统所包含的所有元件尺寸远大于光波长时(p k =h )，光的波动性就难以显现，在这种情况下，光可以看成“光线”，称为光线光学，。

光线传输的定律可以用几何学的语言表述，故光线光学又称为几何光学。

光波的传输满足麦克斯韦方程组，光子则满足量子力学的有关原理。

让电磁波的波长趋于零，波动光学就转化为光线光学，把电磁波量子化，波动光学就转化为量子光学。

二、费马原理光线将沿着两点之间的光程为极值的路线传播，即(,,)0QPn x y z ds δ=⎰三、光的干涉光矢量(电场强度矢量E )满足干涉条件的，称为干涉光。

类似于机械波的干涉，光的干涉满足：222010*********cos()r r E E E E E ϕϕ=++-1020212cos()r r E E ϕϕ-称为干涉项，光强与光矢量振幅的平方成正比，所以上式可改写为：12I I I =++(1-1)与机械波一样，只有相干电磁波的叠加才有简单、稳定的结果，对非干涉光有：1221,cos()0r r I I I ϕϕ=+-=四、相干光的研究方法(一)、光程差法两列或多列相干波相遇，在干涉处叠加波的强度由在此相遇的各个相干波的相位和场强决定。

能够产生干涉现象的最大波程差称为相干长度(coherence length)。

设光在真空中和在介质中的速度和波长分别为,c λ和,n v λ，则,n c v νλνλ==，两式相除得n vcλλ=，定义介质的折射率为： c n v=得 n nλλ=可见，一定频率的光在折射率为n 的介质中传播时波长变短，为真空中波长的1n倍。

光程定义为光波在前进的几何路程d 与光在其中传播的介质折射率n 的乘积nd 。

则光程差为(1)nd d n d δ=-=-由光程差容易计算两列波的相位差为21212r r δϕϕϕϕϕπλ∆=-=-- (1-2)1ϕ和2ϕ是两个相干光源发出的光的初相。

举例1 一般地，在折射率为的薄膜上，垂直入射的两束相干光会在薄膜上表面产生光程差：举例2 入射角为两束相干光在薄膜上表面产生光程差：22202sin 2d n n i λδ=-+0n 是光在空气中的折射率。

计算过程如下： 022tan sin or cos 2nd n d r i r λδ=-+ 02(sin sin )cos 2d n n r i r λδ-=+ 利用折射定律0sin sin n r n i =，得2222022002sin sin sin cos 1sin 1sin n n i n n r i and r r i n n - = =-=- =代入δ，得22222200sin 22sin cos 22n n i d d n n i n r λλδ-=+=-+(二)、半波带法举例：夫琅禾费(J.Fraunhofer)单缝衍射当入射波到达衍射缝时在缝口形成一波阵面，根据惠更斯-菲 涅尔原理，会聚在屏P 的M 点的光矢量，是波阵面d 上各次 波源发出与水平方向成θ角的平行光的相干叠加的结果，将衍 射单缝d 上的波阵面分成宽度为x ∆的数条更狭窄的波面称为 波带，若x ∆满足sin 22sin x or x λλθθ∆= ∆=则此宽度x ∆波带称为半波带。

两相邻的半波带发出的与水平方向成θ角的平行光相差半个波长，它们叠加时，波峰和波谷叠加相消。

所以，如果d 恰好被分为偶数个半波带时，M 点为完全黑暗点(条)，d 被分为奇数个半波带时，M 点为明点(条)，写成公式22sin (21)2n d n λθλ⎧ ⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩(三)、矢量法举例：光栅的单缝衍射光栅是在光学玻璃上精密刻出等间距平行细痕制作而成，通常在1m m 宽度内，刻痕数达600条以上，设刻痕纹宽为b ，未刻痕宽度为a ，a b +称为光栅常数。

将通过单缝的波阵面a 等分为N 个波带，它们在屏P 的M 处产生的光矢量分别为12,,,N L E E E ，相差的总相位为()2sin a πφθλ=，相邻两个波带发出光矢量的相位差为2sin aN Nφπφθλ∆==N 个波带，产生光矢量的叠加合振幅(由右图可知，作E 的垂直平分线)为12sin 2sin 2sin 22sin 2Ni i ii E E R E R RE E φφφφ=⎫==⎪⎪⇒⎬∆⎪=⇒⎪⎭=∆∑ sin22φφφ∆∆∆=很小，，记2φα∆=，0i NE E =，则 ()()()()0sin /2sin /2sin /2sin /2/2/sin 2ii i E E N E E E φφφφφφαα====∆∆ 220sin I E I αα⎛⎫== ⎪⎝⎭以上是单缝衍射的结果，光栅衍射应该是N 条缝之间的干涉和各单缝衍射的相互叠加。

同理可得：20sin sin N I I ββ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中，20,()sin 2i E a b I φπβθλ∆= =+=。

考虑衍射的调制(干涉因子受到衍射因子的调制)220sin sin sin N I I αβαβ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(a).当2N =，则 220sin 4cos I I αβα⎛⎫= ⎪⎝⎭。

(b).当0α→，sin 1αα→，可略去衍射因子作用，则为多光束干涉20sin sin N I I ββ⎛⎫= ⎪⎝⎭(c).光强分布规律(由于衍射因子2sin αα⎛⎫⎪⎝⎭的调制干涉因子而引起)由sin 2N a φπαθλ∆==(这里的α与前面的不同，因现已考虑N 条，有φ∆的地方都乘N ) 当0θ=时，00,I I α==，衍射的主极大强度。

当sin a k θλ=±时，(1,2,3,)k k απ=±=L ，此时sin 0,0I α==，是衍射极小值。

当()sin 212a k λθ=±+时，(21),(1,2,3,)2k k πα±+==L ，得到一系列次极大值。

(四)、积分法五、杨氏双缝干涉实验明条纹 暗条纹根据方程(1-2)，可得明条纹暗条纹，当很小时，，。

如果实验装置处在折射率为的介质中，则，于是可以算出明条纹暗条纹相邻明条纹(或暗条纹)间的距离为：时的明条纹位于点，称为中央明纹，对应的明条纹分别叫做第一级、第二级、第三级明条纹。

暗条纹同理。

当用白光做实验只有中央明纹是白色的，中央明纹两侧将呈现彩色条纹。

设光源发出的光在光屏上点处的光强相等，，利用(1-2)式，则(1-1)式可改写为：当处，光强，是明条纹中心。

当处，光强，是暗条纹中心。

于是我们得到了干涉光强的分布图。

六、劳埃德镜实验杨氏双缝干涉实验中，只有当缝都很窄的情况下，干涉条纹才比较清晰，但这样通过缝的光强又太弱，为此，劳埃德(H.Lloyd)1834年设计了劳埃德镜实验。

七、菲涅耳(A.J.Fresnel)双镜实验是两块夹角很小的平面镜。

是线光源，是一块遮光板，防止发出的光直射到光屏上.在平面镜和中成的虚像分别为和。

点出现明、暗条纹的条件分别为相邻明纹(或暗纹)间的距离为：为虚光源之间的距离，为从或到光屏的距离。

和的几何关系：设为平面镜和的交点，，因此三点都在以为圆心，以为半径的圆周上。

设和之间的夹角为，由于，因此是同一圆弧的圆心角和圆周角，所以，因此虚光源之间的距离为设点到光屏的距离为，则从从或到光屏的距离为于是八、薄膜干涉参见第2页。

包括两束光垂直入射和斜入射。

薄膜的折射率与周围介质的折射率相比较，如果薄膜的折射率最大或最小，有如果薄膜的折射率在周围介质的折射率之间，则，因为上下表面都有半波损失，最后结果就没有了半波损失。

增透膜满足增透膜只能做某些特定波长的光干涉相消。

增反膜满足。

九、等厚干涉前面讨论的等倾干涉是相同倾角的光产生干涉汇聚在一个圆上，此处，等厚干涉是相同距离的光程差产生的干涉条纹在一条线(劈尖干涉)或圆(牛顿环)上。

1. 劈尖干涉21,2,3,20,1,2,2nd k k k λδλλ⎫=+= =⎪⎪⎬⎪ =(2κ+1) =⎪⎭L L ⇒ (21),1,2,3,4,0,1,2,2k d k n k k n λλ-⎧= =⎪⎪⎨⎪ = =⎪⎩L L由上式第一项公式知，凡是厚度d 相同的地方，均满足相同的干涉条件；由上式第二项公式的第二个可知，当0k =时，0d =，即劈尖的棱边处是暗条纹。

用l 表示相邻明纹或暗纹间的距离，θ表示劈尖的夹角，得11sin 222k k k k l d d n n nλθλλ++=-=-= n nλλ=为光在折射率为n 的介质中的波长。

θ很小，sin θθ≈，于是2l nλθ=在入射波长λ一定的情况下，θ越小，l 越大，即干涉条纹越稀疏，反之越密集。

劈尖干涉的应用①干涉膨胀仪(测线热膨胀系数) 2h N λ∆=②测量微小线量/2d L lλ=③光学元件表面的平整度检查/2h b lλ∆=测量微小线量示意图 由光程差可知，平版有凸起时，d 增大， 则k 增大，干涉图像外移；反之，有凹槽时内移。

2. 牛顿环牛顿环是由平凸透镜下表面的反射光 与平玻璃板上表面的反射光干涉形成的。

其满足： 光学元件表面的平整度检查示意图2,1,2,3,2(21),0,1,2,2d k k k k λλλ⎫+= =⎪⎪⇒⎬⎪=+ =⎪⎭L L (21),1,2,3,4,0,1,2,2d k k k k L L λλ⎧=- =⎪⎪⎨⎪ = =⎪⎩ 牛顿环的半径r 与d 的关系：()2222(21),1,2,3,2(2)2,0,1,2,r k R k r R R d Rd d d R d kR k λλ⎧=- =⎪=--=-=-⇒⎨⎪ = =⎩L L R d >>，因此22R d R -≈，于是22r Rd =或2r Rd =，R 增大时，相邻明纹或暗纹之间的间距变小。

还可以知道，当k 增大时，相邻明纹或暗纹之间的间距变小，即距离圆心越远处，条纹越密集。

利用牛顿环实验测定平凸透镜的曲率半径，如果测得k 级暗环与k m +级暗环的半径分别为k r 和k m r +，则22,()k k m r kR r k m R λλ+= =+，22k m k r r mR λ+-=，得平凸透镜的曲率半径：22k m k r r R m λ+-=利用上式也可以测定光波的波长。