圆幂定理

圆幂定理

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等。

定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）

几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

概述

相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为：

切割线定理

割线定理

2证明

证明：连结AC，BD

由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB

∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD

注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。

P 不是圆心

3比较

相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。

4相交弦定理推论

定理

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。

说明几何语言：若AB是直径，CD垂直

AB于点P，则

=PA·PB（相交弦定理推论）

切割线定理

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。

切割线定理示意图

几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT²=PA·PB（切割线定理）

推论：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

几何语言：

∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线

∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）

由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD

2证明

切割线定理证明:

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB

证明：连接AT, BT

∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理 )

切割线定理的证明

∠APT=∠APT(公共角)

∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)

则PB：PT=PT：AP

即：PT²=PB·PA

3比较

相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求直线段长度。

割线定理：指的是从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等，

1定义

文字表达：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

数学语言：从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有LA·LB=LC·LD=LT^2。如下图所示。(LT为切线）

割线定理

2证明一

已知：如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线

求证：PA·PB=PC·PD

证明：连接AD、BC

∵∠A和∠C都对弧BD

∴由圆周角定理，得∠A=∠C

又∵∠P=∠P

∴△ADP∽△CBP （A，A）

∴A P:CP=DP:BP

即AP·BP=CP·DP

3证明二

既然圆内接四边形定理可以从割线定理而得，那么或许割线定理就可以从圆内接四边形定理而得。

如图所示。

已知：从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D

求证：AP·BP=CP·DP

证明

连接AC、BD

由圆内接四边形定理得

∠ABD+∠DCA=∠CAB+∠BDC=180°

又∵∠ACP+∠DCA=∠DCP=180°，∠CAP+∠CAB=∠BAP=180°（平角的定义）

∴∠ABD=∠ACP，∠BDC=∠CAP（同角的补角相等）

∴△ACP∽△DBP（两角对应相等的三角形相似）

∴AP/DP=CP/BP（相似三角形对应边成比例）

∴AP·BP=CP·DP（比例基本性质）[1]

4证明三

根据切割线定理求证。

已知：从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D

求证：AP·BP=CP·DP

过点P作圆O的切线，记切点为T

由切割线定理可知：AP·BP=PT^2，CP·DP=PT^2

所以AP·BP=CP·DP

5比较

相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。

垂径定理

垂径定理内容：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如右图，DC 为圆O的直径，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，劣弧AC等于劣弧BC

定义

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

2证明

如图，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD

垂径定理证明图

证明：连OA、OB分别交于点A、点B.

∵OA、OB是⊙O的半径

∴OA=OB

∴△OAB是等腰三角形

∵AB⊥DC

∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形的三线合一性质）

∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC

∴弧AC=弧BC

3推论

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

(证明时的理论依据就是上面的五条定理)

但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论

1.平分弦所对的优弧

2.平分弦所对的劣弧

（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）