一元二次方程公共根
一元二次方程公共根问题
一元二次方程公共根问题1、若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0 ①α2+aα-1=0 ②①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2解：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0，整理得：x（1-a）-（1-a）=0，即（x-1）（1-a）=0，若a-1=0，即a=1时，方程x2+x+a=0和x2+ax+1=0的b2-4ac都小于0，即方程无解；故a≠1，∴公共根是：x=1．把x=1代入方程有：1+1+a=0∴a=-2．2、若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，则（）A．a=b B．a+b=0 C．a+b=1 D．a+b=-13、关于x的方程x2+bx+1=0与x2-x-b=0有且只有一个公共根，求b的值．解：设方程的公共根为x=t，则t2+bt+10 (1)t2−t−b＝0 (2)，由（2）得b=t2-t （3）将（3）代入（1）得：t3+1=0，解得，t=-1，当t=-1时，b=2．4、已知关于x的方程x2+x-3m=0与x2-mx+3=0只有一个相同的实数根，求m的值．解：将方程x2+x-3m=0和x2-mx+3=0组成方程组得，x2+x−3m＝0x2−mx+3＝0，解得x=3，m=4．4、若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）A．2 B．0 C．-1 D．无法确定5、若关于x的方程x2-mx+2=0与x2-（m+1）x+m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）A．3 B．2 C．4 D．-36.（2014春•太湖县校级月考）若方程x2+2x+m=0和方程x2+mx+2=0有一个相等的实数根，则m的值为7.已知方程x2+mx+4=0和x2-（m-2）x-16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根．。
一元二次方程根与系数的关系典型例题
一元二次方程根与系数的关系典型例题的一个根已知，可由XXX求另一根”的方法。
在解题中要注意灵活运用不同的思路和方法，找到最简便的解法。
本周教学内容是一元二次方程根与系数的关系。
学生需要熟练掌握韦达定理及逆定理，灵活运用根与系数关系确定字母系数的值，求关于两根的对称式的值，以及构作根满足某些要求的新方程。
在解题中，需要锻炼分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力，提高综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。
同时，也要体会特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，培养自己发现规律的兴趣，及树立勇于探索规律的精神。
教学重点是一元二次方程根与系数关系及其推导和应用。
需要注意往往不解方程，用两根和与积或各系数就可解决问题，这时解了方程反而更麻烦。
教学难点是正确理解根与系数的关系，掌握配方思想，把某些代数式配成两根和与积的形式才能将系数代入。
例题1已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。
可以用韦达定理求解，设方程的另一根为x，则可得到另一根和b的值。
点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。
例题2已知方程的两根，求下列代数式的值。
可以利用两根的和与积求出关于两根的对称式的值。
点拨：体会配方思想，将代数式配成含有两根的形式，再代系数即可。
例题3已知两个条件，求代数式的值。
可以将代数式配成含有两根的和与积的形式，再代入系数求解。
点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。
例题4已知关于x的一元二次方程，求k的值。
可以用两种解法求解，一种是利用解方程组的思想，另一种是利用“若方程的一个根已知，可由XXX定理求另一根”的方法。
在解题中要注意灵活运用不同的思路和方法，找到最简便的解法。
有公共根，则公共根必满足“两根之和”和“两根之积”的关系。
接下来，我们通过例题来探究一元二次方程根与系数的关系。
例5：已知方程 $ax^2+bx+c=0$，若方程两根之差为5，求 $a+b+c$。
分析：根据题设中方程根与系数关系，我们可以利用根与系数的关系来确定方程系数的值。
含参数的一元二次方程整数解
含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。
知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。
新-34.一元二次方程整数根和公共根
个方程没有公共根．
7. 【中】（平谷区 2010）已知一元二次方程 x2 − 4x + k = 0 有两个不相等的实数根，
⑴求 k 的取值范围；
⑵如果 k 是符合条件的最大整数，且关于 x 的方程 x2 − 4x + k = 0 与 x2 − mx −1 = 0 有一
个相同的根，求此时 m 的值．
【答案】⑴ k < 4 ．
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6. 【中】（河南省中考题已知 a > 2 ,b > 2 ，试判断关于 x 的方程 x2 − (a + b)x + ab = 0 与
x2 − abx + (a + b) = 0 有没有公共根，请说明理由．
【答案】设两方程公共根为 m ，则有
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整理，得 m(3m + 2b) = 0 .
∵m ≠ 0，
∴ 3m + 2b = 0 .
解得 m = − 2b . 3
把
m
=
−
2b 3
代入方程③得
−
2 3
b
2
+
2b
−
2 3
b
+
c
=
0
.
∴ − 8b2 + c = 0 ，即 8b2 = 9c . 9
m2 − (a + b)m + ab = 0 m2 − abm + (a + b) = 0
① ．②－①得， (m +1)(a + b − ab) = 0
奥数新讲义-一元二次方程-整数根公共根4学
第三讲一元二次方程4：整数根、公共根一、基础知识1.一元二次方程的根为有理数对于有理系数的一元二次方程ax2+bx + c = o（«^0）,在△=夕_4心二0时，方程有实根，且：方程有有理根匸二△ = /一仏为完全平方数（有理数平方）2.一元二次方程的根为整数（1）对于整系数的一元二次方程+ ° = °（dH（））,如果有整数根，则必须满足以下两个条件：△ =，-4心为完全平方数（自然数平方）；"土一4皿是加的整数倍;（2）在首项系数为1的整系数方程x2 + px + e/ = O （p、q为整数）的判别式△==，-4必为一个完全平方数，则方程的根为整数，反之，亦成立；（3）对于整系数的一元二次方程川+加+ “。
《工°）,若“ b是偶数，c是奇数，则该方程无整数根；⑷ 整系数的一元二次方程局+加+2° （心0）,若a、匕c都是奇数，且△ = /异一心。
＞0, 则方程+hx + © = °⑺工°）无整数根.3.一元二次方程公共根：二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程（两个或以上），然后通过恒等变形求出参数的值和公共根.二、整数根问题例1已知方程»-4（加-l）x + 3〃『-2〃? + 4k= 0对任意有理数m都有有理根，求k的值.1.整数根讨论：利用判别式例2不解方程，判定下列各方程的实数根是否是整数根：① / +3.K-18 = 0；② F +8x-59 = 0；（3）2x2 +4x-5 = 0；④ 3/ + 23x-87 = 0例3已知45加＜20,当m为何值时，方程x2 -2(2/n-3)x + 4m2 - 14/H + 8 = 0有两个整数根?例4整数a取何值时，方程%2 - (" - 6)x + " = 0有两个整数根?例5设a n为整数，证明方程疋+ 10〃沈-5允+ 3 =()没有整数根;例6当m为什么整数时,关于x的一元二次方程〃用一4兀+ 4 = 0与十一4mx + 4m2一4也一5 = 0的根都是整数？2.整数根讨论：利用求根公式例7若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程"用—2x-加+ 1 = 0的根，m为整数，这样的三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长，若不存在，请说明理由.例8设关于x的二次方程伙2一6«+8)疋+(2疋-6k-4)x + I= 4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.3.整数根讨论：利用韦达定理例9求所有正实数m使得方程疋一似+ 4" = 0仅有整数根;例10当m为什么整数时，关于x的方程.V2+(/»-!)%+ /» + ! = 0的两根都是整数?例11求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程2+伙+小+比-1 = 0的根都是整数;例12试确定所有的有理数“使得关于x的方程/-x2+(r + 2)x + 3r-2 = 0有且只有整数根;4.整数根讨论：变换主元例13试求所有这样的正整数/使方程心2+2“(2a-l)x + 4(a-3) = 0至少有一个整数根.例14设方程+俶+ 1_7/ = 0的两根都是整数，求所有正数a；5.整数根讨论：综合运用例15求所有的正整数a、b、c,使得关于x的方程疋_3心+ ” = 0 ； F —3bx + 2c = 0； x2-3cx + 2ci =0的所有根都是正整数•例16若方程疋-〃皿+川+和=0有整数根，且a n为自然数，则m、n可以分别为多少?三、公共根问题【例1】求£的值，使得一元二次方程F+也-1 = 0, F+x +伙-2) = 0有相同的根■并求两个方程的根•【例2】设a.b.c为A4BC的三边，且二次三项式疋+2心+，与十+2小-，有一次公因式，证明: AABC—定是直角三角形.【例3】三个二次方程cix2 +bx + c = O 9 bx2 +cx + a = O 9 ex2 + or + b = 0有公共根.(1)求证：a + b + c = Q；⑵求—的值.abc【例4】试求满足方程/ _总_ 7 = 0与疋- 6x -伙+1) = 0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根.【例5】二次项系数不相等的两个二次方程(a-\)x2-(a2+2)x + (a2+2“) = 0和(―(“2)Z")訓其和，方为正整数)有-个公共根，求得的值.练习题1.b、C是整数，如果一元二次方程x2-2bx-c = 0有整数根，那么，必有()A. b = c = 0B. b2 +c = 0c.戸+c是整数的平方 D. b2+c是偶数的平方2.若・0+〃技_6 = 0的两根都是整数，则m可以取值的个数是()A. 2B. 4C. 6D.以上都不对3.设二次方程疋+2风+ 2§ = 0有实根，其中a q都是奇数，那么它的根一定是()A.奇数B.偶数C.分数D.无理数4己知关于x的一元二次方程x2 + p.x + q = 0有两个不相等的整数根，p、q是自然数，且是质数，这个方程的根为_______ :5.方程x2 + px + q = O的两根都是正整数，且p+ @ = 1992,则方程较大根与较小根的比等于_________ ；6.已知p为质数，且方程x2 + /7X-444p = 0有两个整数根，则戸= ________ ；7.已知方程(/一1庆一2(5o + l)x + 24 = 0有两个不等的负整数根，则a的值是多少？&方程(x_a)(x_8)_l= 0有两个整数根，求a的值;9.若关于工的方程(67)(9 7)川-(117-15灯“54 = 0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个.10.已知关于x的方程(°-1)，+2—1 = 0的根都是整数，那么符合条件的整数d有_________ 个.11.当加为整数时，关于兀的方程⑵〃-1)/-(加+ 1)乂 + 1 = 0是否有有理根？如果有，求出加的值；如果没有，请说明理由.。
人教版九年级数学上册《21.1 一元二次方程与公共根、整数根、整体代入》专项练习题-附带答案
人教版九年级数学上册《21.1 一元二次方程与公共根、整数根、整体代入》专项练习题-附带答案【例题精讲】【例1】已知关于x 的方程2(1)10x k x k -++-=． （1）试判断该方程根的情况 说明理由；（2）若该方程与方程22(3)60x k x k --+-=有且只有一个公共根 求k 的值． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根 理由如下： △222[(1)]41(1)25(1)4k k k k k =-+-⨯⨯-=-+=-+．2(1)0k -2(1)40k ∴-+>即△0>∴无论k 取何值 方程总有两个不相等的实数根．（2）设两个方程的一个公共根为m则()()221102360m k m k m k m k ⎧-++-=⎪⎨--+-=⎪⎩①②②-① 得：2450m m +-= 解得：15m =- 21m =．当5m =-时 有255(1)10k k +++-= 解得：296k =-2929225(3)(5)6066⨯---⨯---=296k ∴=-符合题意；当1m =时 2(1)110m k m k -++-=-≠1m ∴=不符合题意 舍去． k ∴的值为296-． 【例2】关于x 的一元二次方程2(3)30x k x k +++=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）选取一个合适的k 值 使得方程有两个整数根 并求出这两个整数根．【解答】（1）证明：△22(3)12(3)k k k =+-=-2(3)0k -∴方程有两个实数根；（3）解：取2k =时 则35k += 36k = 故方程为2560x x ++= (3)(2)0x x ++=解得2x =-或3x =-．【例3】已知a 是方程2202010x x -+=的一个根．求：（1）2240403a a --的值； （2）代数式22202020191a a a -++的值． 【解答】解：（1）a是方程2202010x x -+=的一个根220201a a ∴=- 220201a a ∴=- 2240403a a ∴-- 2(20201)40403a a =---4040240403a a =--- 5=-；（2）原式2020202012019202011a a a =--+-+11a a =+- 211a a+=-2020111a a -+=-20201=- 2019=．【题组训练】一．公共根（共15小题）1．方程210x ax ++=和20x x a --=有一个公共根 则a 的值是 2 ．【解答】解：方程210x ax ++=和20x x a --=有一个公共根 (1)10a x a ∴+++= (1)(1)0a x ∴++=解得 1x =- 当1x =-时 2112a x x =-=+=．故答案是：2．2．若方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根 则200()a b +的值是多少？【解答】解：设公共根为0x 则20020000x ax b x bx a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①②．①-② 得0()(1)0a b x --=当a b =时 两方程完全一样 不合题意； 当01x =时 1a b +=- 则200()1a b +=． 答：200()a b +的值是1．3．若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根 则( ) A ．a b =B ．0a b +=C ．1a b +=D ．1a b +=-【解答】解：设公共根为0x 则20020000x ax b x bx a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①②．①-② 得0()(1)0a b x --=当a b =时 方程可能有两个公共根 不合题意； 当01x =时 1a b +=-． 故选：D ．4．若关于x 的方程：2230x x --=和210x mx ++=有且只有一个公共根 则m = 2或103- ． 【解答】解：解方程2230x x --=得11x =- 23x = 把1x =-代入210x mx ++=得110m -+= 解得2m =；把3x =代入210x mx ++=得9310m ++= 解得103m =- 综上所述 m 的值为2或103-． 故答案为：2或103-． 5．已知三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++= 20bx cx a ++= 20cx ax b ++=恰有一个公共实数根 则222a b c bc ca ab++的值为 3 ．【解答】解：设公共实数根为t则20at bt c ++= 20bt ct a ++= 20ct at b ++= 三式相加得2()()0a b c t a b c t a b c ++++++++= 即2()(1)0a b c t t ++++= 因为22131()024t t t ++=++>所以0a b c ++=所以原式333a b c abc++=223()()a b a ab b c abc+-++=23()[()3]a b a b ab c abc++-+=23(3)c c ab c abc --+=3abcabc= 3=．故答案为3．6．已知关于x 的一元二次方程220x mx ++=与220x x m ++=有一个公共实数根 则m = 3- ．【解答】解：220x mx ++=与220x x m ++=有一个公共实数根2222x mx x x m ∴++=++有一个实数根 1x ∴=把1x =代入220x mx ++=得： 3m =-．故答案为：3-．7．有三个方程：①2650x x -+=；②2250x -=；③550(0)ax a b bx a b --+=+≠ 它们的公共根是( ) A ．5B ．5-C ．1D ．以上都不是【解答】解：2650x x -+= (5)(1)0x x --= 50x -=或10x -= 15x ∴= 21x =把15x = 21x =代入②③ 5x =能使方程左右相等∴它们的公共根是5故选：A ．8．已知关于x 的方程2(1)10x k x k -++-=． （1）试判断该方程根的情况 说明理由；（2）若该方程与方程22(3)60x k x k --+-=有且只有一个公共根 求k 的值． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根 理由如下： △222[(1)]41(1)25(1)4k k k k k =-+-⨯⨯-=-+=-+．2(1)0k -2(1)40k ∴-+> 即△0>∴无论k 取何值 方程总有两个不相等的实数根．（2）设两个方程的一个公共根为m则()()221102360m k m k m k m k ⎧-++-=⎪⎨--+-=⎪⎩①②②-① 得：2450m m +-= 解得：15m =- 21m =．当5m =-时 有255(1)10k k +++-= 解得：296k =- 2929225(3)(5)6066⨯---⨯---=296k ∴=-符合题意； 当1m =时 2(1)110m k m k -++-=-≠ 1m ∴=不符合题意 舍去． k ∴的值为296-． 9．已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：2(1)(2)102kx k x +++-=；方程②：2(21)230x k x k ++--=．（1）若方程①有两个相等的实数根 求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根 请说明此时哪个方程没有实数根； （3）若方程①和②有一个公共根a ．求代数式22(42)35a a k a a +-++的值． 【解答】解：（1）方程①有两个相等实数根 102k ∴+≠且△10= 即2(2)4(1)(1)02kk +-+⨯-= 则(2)(4)0k k ++= 解此方程得12k =- 24k =-而20k +≠ 4k ∴=-当4k =-时 方程②变形为：2750x x -+= 解得1x 2x =； （2）△2222(21)4(23)41213(23)40k k k k k =+++=++=++>∴无论k 为何值时 方程②总有实数根方程①、②只有一个方程有实数根∴此时方程①没有实数根（3）设a 是方程①和②的公共根 2(1)(2)102ka k a ∴+++-=③2(21)230a k a k ++--=④由(③-④)2⨯得22(1)44ka k a k =---⑤ 由④得：2(21)23a k a k =-+++⑥ 将⑤、⑥代入 原式2242352(1)44423(21)6955ka ak k a a k a k ak k k a k a =+-++=---+--++++=． 10．已知关于x 的两个一元二次方程： 方程①：2(1)(2)102kx k x +++-=；方程②：2(21)230x k x k ++--=．（1）若方程①有两个相等的实数根 求：k 的值（2）若方程①和②只有一个方程有实数根 请说明此时哪个方程没有实数根． （3）若方程①和②有一个公共根a 求代数式22(42)35a a k a a +-++的值． 【解答】解：（1）方程①有两个相等的实数根 ∴11020k ⎧+≠⎪⎨⎪=⎩ 则2k ≠- △222214(2)4(1)(1)4442682kb ac k k k k k k =-=+-+⨯-=++++=++则(2)(4)0k k ++= 2k ∴=- 4k =- 2k ≠-4k ∴=-；（2）△22222(21)41(23)44181241213(23)40k k k k k k k k =+-⨯⨯--=++++=++=++>∴无论k 为何值时 方程②总有实数根方程①、②只有一个方程有实数根∴此时方程①没有实数根．（3）根据a 是方程①和②的公共根∴2(1)(2)102k a k a +++-=③ 2(21)230a k a k ++--=④∴③2⨯得：2(2)(24)20k a k a +++-=⑤⑤+④得：2(3)(45)25k a k a k +++-=代数式222(42)35(3)(45)25a a k a a k a k a k =+-++=+++-=．故代数式的值为5．11．已知三个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++= 20bx cx a ++= 20cx ax b ++=恰有一个公共实数根 则222a b c bc ca ab++的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：设0x 是它们的一个公共实数根则2000ax bx c ++= 2000bx cx a ++= 2000cx ax b ++=． 把上面三个式子相加 并整理得200()(1)0a b c x x ++++=．因为22000131()024x x x ++=++>所以0a b c ++=．于是222333333()3()3a b c a b c a b a b ab a b bc ca ab abc abc abc+++-+-+++====故选：D ．12．是否存在某个实数m 使得方程220x mx ++=和220x x m ++=有且只有一个公共的实根？如果存在 求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在 请说明理由． 【解答】解：假设存在符合条件的实数m 且设这两个方程的公共实数根为a 则 222020a ma a a m ⎧++=⎨++=⎩①②①-② 得(2)(2)0a m m -+-= (2)(1)0m a --= 2m ∴= 或1a =．当2m =时 已知两个方程是同一个方程 且没有实数根 故2m =舍去； 当1a =时 代入②得3m =-把3m =-代入已知方程 求出公共根为1x =． 故实数3m =- 两方程的公共根为1x =．13．关于x 的方程2230x x +-=和22240x x m m +++=有公共根 则m 的值为 1-或3- ．【解答】解：设公共解为t根据题意得222230240t t t t m m ⎧+-=⎨+++=⎩①②②-①得2430m m ++= 解得11m =- 23m =-． 故答案为1-或3-．14．若方程210x mx ++=和20x x m ++=有公共根 则常数m 的值是 2- ． 【解答】解：设方程210x mx ++=和20x x m ++=的公共根为t 则210t mt ++=① 20t t m ++=②①-②得(1)1m t m -=-如果1m = 那么两个方程均为210x x ++= △2141130=-⨯⨯=-< 不符合题意； 如果1m ≠ 那么1t =把1t =代入① 得110m ++= 解得2m =-． 故常数m 的值为2-． 故答案为：2-．15．方程270x ax ++=和270x x a --=有一个公共根 则a 的值是( ) A ．9B ．8C ．7D ．6【解答】解：设该公共根为x b = 由题意可知：270b ab ++= 270b b a --= (7)70a b a ∴+++= 70a +≠ 1b ∴=-1x ∴=-代入270x x a --= 178a =+=故选：B ．二．整数根（共15小题）16．关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根 关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根 则下列说法正确的是( )A ．p 是正数 q 是负数B ．22(2)(2)8p q -+-<C ．q 是正数 p 是负数D ．22(2)(2)8p q -+->【解答】解：设方程20x px q ++=的两根为1x 、2x 方程20y qy p ++=的两根为1y 、2y ． 关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根 关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根 120x x q ∴⋅=> 120y y p ⋅=>故选项A 与C 说法均错误 不符合题意；关于x 的一元二次方程20x px q ++=有两个同号非零整数根 关于y 的一元二次方程20y qy p ++=也有两个同号非零整数根 240p q ∴- 240q p -2222(2)(2)44448(p q p q q p p ∴-+-=-++-+>、q 不能同时为2 否则两个方程均无实数根）故选项B 说法错误 不符合题意；选项D 说法正确 符合题意； 故选：D ．17．关于x 的方程2(3)30(0)mx m x m +--=≠有两个不相等的正整数根 则整数m 的值为1- ．【解答】解：由题意可知：△2(3)4(3)m m =--⨯-2269(3)0m m m =++=+x ∴=1x ∴=或3x m=-由题可知：1m =- 故答案为：1-18．已知：关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x -++=． （1）求方程有实数根的实数m 的取值范围；（2）若方程有两个不相等的正整数根 求出此时m 的整数值． 【解答】 解：（1）由题意可知：0m ≠ △2(2)?8m m =+ 244?8m m m =++ 2?44m m =+2(?2)m =∴△0故0m ≠ 方程总有实数根； （2）2(2)20mx m x -++= (1)(2)0x mx ∴--= 1x ∴=或2x m=方程有两个不相等的正整数根 1m ∴=．19．关于x 的一元二次方程2(3)30x k x k +++=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）选取一个合适的k 值 使得方程有两个整数根 并求出这两个整数根． 【解答】（1）证明：△22(3)12(3)k k k =+-=-2(3)0k -∴方程有两个实数根；（3）解：取2k =时 则35k += 36k = 故方程为2560x x ++= (3)(2)0x x ++=解得2x =-或3x =-．20．已知关于x 的一元二次方程220x mx n -+=．（1）若此方程总有两个相等的实数根 求n 的值．（用含m 的代数式表示）；（2）当2m =时 此方程有两个不相等的整数根 写出一个满足条件的n 的值 并求此时方程的根．【解答】解：（1）根据题意得△2440m n =-= 所以2n m =；（2）当2m =时 原方程变形为240x x n -+= 方程有两个不相等的根∴△2440n =->即4n <当0n =时 方程变形为240x x -= 方程有两个整数根 即10x = 24x =．21．已知关于x 的一元二次方程2(2)20(0)mx m x m ---=≠． （1）求证：方程一定有实数根；（2）若此方程有两个不相等的整数根 求整数m 的值． 【解答】（1）证明：0m ≠ △2(2)4(2)m m =--⨯- 2448m m m =-++ 244m m =++2(2)0m =+∴方程一定有实数根；（2）2(2)2m m x m-±+=11x ∴= 22x m=-当整数m 取1± 2±时 2x 为整数 方程有两个不相等的整数根∴整数m 为1- 1 2．22．已知关于x 的方程2220x x m ++-=有两个整数根 且m 为正整数 则符合条件的所有正整数的和是( ) A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：根据题意得△224(2)1240m m =--=-解得3mm 为正整数m ∴为1、2、3当1m =时 △8= 所以方程的根为无理数 不合题意舍去； 当2m =时 方程化为220x x += 方程有两个整数解； 当3m =时 方程化为2210x x ++= 方程有两个相等整数解； 所以符合条件的所有正整数m 的和为235+=． 故选：B ．23．已知关于x 的方程2(2)20mx m x -++=有两个不相等的正整数根 则m 的值为( )A ．2B ．1C D ．2或1【解答】解：方程2(2)20mx m x -++=是一元二次方程 0m ∴≠2(2)20mx m x -++= (2)(1)0mx x ∴--= 1x ∴=或2x m=方程有两个不相等的正整数根∴21m ≠ 2m是正整数 1m ∴=．故选：B ．24．已知二次多项式25x ax a -+-． （1）当1x =时 该多项式的值为 4- ；（2）若关于x 的方程250x ax a -+-= 有两个不相等的整数根 则正数a 的值为 ． 【解答】解（1）当1x =时 25154x ax a a a -+-=-+-=- 故答案为4-；（2）设1x 2x 是方程两个不相等的整数根 则12x x a += 125x x a =-． a ∴ 5a -均为整数∴△222()4(5)420(2)16a a a a a =---=-+=-+为完全平方数设22(2)16(a t t -+=为整数 且0)t则22(2)16a t --=-．于是 (2)(2)16a t a t ---+=- 由于2a t -- 2a t -+奇偶性相同 且22a t a t ---+ ∴2424a t a t --=-⎧⎨-+=⎩或2822a t a t --=-⎧⎨-+=⎩或2228a t a t --=-⎧⎨-+=⎩解得24a t =⎧⎨=⎩或15a t =-⎧⎨=⎩（舍去）或55a t =⎧⎨=⎩经检验2a = 5a =符合要求 2a ∴=或5a =故答案为2或5．25．已知关于x 的方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-= （1）求证：无论k 取何值 此方程总有实数根； （2）若此方程有两个整数根 求正整数k 的值；（3）若一元二次方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-=满足12||3x x -= 求k 的值． 【解答】解：（1）证明：当10k += 即1k =-时 原方程为440x --= 解得：1x =-；当10k +≠ 即1k ≠-时 △222(31)4(1)(22)69(3)0k k k k k k =--+-=-+=-∴方程有实数根．综上可知：无论k 取何值 此方程总有实数根． （2）方程有两个整数根 113(3)12(1)k k x k -+-∴==-+ 213(3)2(1)422(1)11k k k x k k k ----===-++++ 且1k ≠-2x 为整数 k 为正整数1k ∴=或3k =．（3）由（2）得11x =- 2421x k =-++ 且1k ≠- 1244|||1(2)||1|311x x k k ∴-=---+=-=++解得：3k =-或0k =经检验3k =-或0k =是原方程的解． 故k 的值为3-或0．26．求正整数k 使得关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根． 【解答】解：方程2343410x x k -+-=至少有1个正整数根∴△2344(341)11601360k k =--=-正整数k 可能取值为1 2 3 4 5 6 7 8 只有当1k =时 11x = 233x =∴正整数k 的值是1．27．已知关于x 的一元二次方程23610x x k -+-=有实数根 k 为负整数． （1）求k 的值；（2）如果这个方程有两个整数根 求出它的根．【解答】解：（1）根据题意 得△2(6)43(1)0k =--⨯- 解得2k -． k 为负整数 1k ∴=- 2-．（2）当1k =-时 不符合题意 舍去；当2k =-时 符合题意 此时方程的根为121x x ==． 28．已知关于x 的方程2(3)30(0)ax a x a +--=≠． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根 求整数a 的值． 【解答】解：（1）0a ≠∴原方程为一元二次方程．∴△22(3)4(3)(3)a a a =--⨯⨯-=+．2(3)0a +．∴此方程总有两个实数根．（2）解原方程 得11x =- 23x a=．此方程有两个负整数根 且a 为整数 1a ∴=-或3-． 11x =- 23x a=． 3a ∴≠-． 1a ∴=-．29．已知关于x 的方程2(1)210m x mx m --++=． （1）试说明方程根的情况；（2）求证：当1m ≠时 原方程总有一个不变的整数根为1．【解答】（1）解：当1m =时 原方程化为220x -+= 此时方程的根为1x =． 当1m ≠时△22244(1)(1)44440m m m m m =--+=-+=>∴当1m ≠时 此方程有两个不相等的实数根综上所述 当1m =时 关于x 的方程2(1)210m x mx m --++=的根为1x =；当1m ≠时 关于x 的方程2(1)210m x mx m --++=有两个不相等的实数根； （2）证明：由求根公式 得222(1)m x m ±=-11x ∴= 212111m x m m +==+-- ∴无论m 取何值 方程总有一个不变的整数根为1．30．已知：关于x 的方程：2(2)2(1)10m x m x m ---++=． （1）m 取何值时 方程有两个实数根？（2）是否存在正整数m 使方程的根均为整数？若存在 请求出它的整数根；若不存在 请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得20m -≠且△2[2(1)]4(2)(1)0m m m =----⨯+ 解得3m 且2m ≠；故当3m 且2m ≠时 方程有两个实数根； （2）存在由（1）知3m 且2m ≠m 为正整数 1m =或3当1m =时 方程为220x -+= 无整数解 故1m =舍去； 当3m =时 方程为2440x x -+= 解得122x x ==； 综上 当3m =时 使方程的根122x x ==均为整数． 三．整体思想（共12小题）31．若a 是一元二次方程2230x x +-=的一个根 则224a a +的值是 6 ． 【解答】解：a 是一元二次方程2230x x +-=的一个根 2230a a ∴+-= 223a a ∴+=22242(2)236a a a a ∴+=+=⨯= 故答案为：6．32．若a 为方程2240x x +-=的解 则2368a a +-的值为( ) A ．4B ．2C ．4-D ．12-【解答】解：a 为方程2240x x +-=的解 2240a a ∴+-= 224a a ∴+=223683(2)83484a a a a ∴+-=+-=⨯-= 故选：A ．33．m 是方程210x x +-=的根 则式子2222020m m ++的值为( ) A ．2018B ．2019C ．2021D ．2022【解答】解：m 是方程210x x +-=的根 210m m ∴+-=即21m m +=222220202()2020220202022m m m m ∴++=++=+=． 故选：D ．34．若a 是方程210x x --=的一个根 则322020a a -++的值为( ) A ．2020B ．2020-C ．2019D ．2019-【解答】解：a 是方程210x x --=的一个根21a a ∴-= 21a a -+=-32222020(1)202020202019a a a a a a a ∴-++=--++=-++=． 故选：C ．35．若a 是2270x x --=的一个根 则221a a -+的值是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：a 是2270x x --=的一个根 2270a a ∴--= 227a a ∴-= 221718a a ∴-+=+=．故选：D ．36．若关于x 的一元二次方程220(0)ax bx a ++=≠有一根为2019x = 则一元二次方程2(1)(1)2a x b x -+-=-必有一根为( ) A ．2017B ．2020C ．2019D ．2018【解答】解：对于一元二次方程2(1)(1)20a x b x -+-+= 设1t x =- 所以220at bt ++=而关于x 的一元二次方程220(0)ax bx a ++=≠有一根为2019x = 所以220at bt ++=有一个根为2019t = 则12019x -= 解得2020x =所以一元二次方程2(1)(1)2a x b x -+-=-必有一根为2020x =． 故选：B ．37．已知a 是方程220150x x +-=的一个根 则22211a a a---的值为( ) A ．2014B ．2015C ．12014D ．12015【解答】解：a 是方程220150x x +-=的一个根 220150a a ∴+-=∴22211a a a--- 21(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a +=-+-+- 21(1)(1)a a a a a --=+-21a a =+ 12015=． 故选：D ．38．已知a 是方程210x -+=的一个根．则221a a +的值为( )A ．4B ．6C ．D ．【解答】解：把x a =代入方程210x -+= 得210a -+=所以21a +=则222211()22826a a a a +=+-=-=-=． 故选：B ．39．若x 是方程2310x x ++=的解 则11x x -=+ 2- ． 【解答】解：21(1)11111x x x x x x x x +-+--==+++ x 是方程2310x x ++=的解231x x ∴=--∴原式3111x x x --+-=+2(1)1x x +=-+ 2=-．故答案为：2-．40．已知实数a 是元二次方程2202110x x -+=的根 求代数式22120202021a a a +--的值为1- ．【解答】解：a 是方程2202110x x -+=根 2202110a a ∴-+= 220211a a ∴=-∴原式2021112021120202021a a a -+=---1a a =--1=-．故答案是：1-．41．若m 是方程210x x +-=的一个根 则代数式3222022m m ++的值为 2023 ． 【解答】解：m 是方程210x x +-=的一个根 210m m ∴+-= 21m m ∴=-+32(1)(1)21m m m m m m m m ∴=-+=-+=--++=-3222022212(1)2022212220222023m m m m m m ∴++=-+-++=--++=． 故答案为：2023．42．已知a 是方程2202010x x -+=的一个根．求： （1）2240403a a --的值； （2）代数式22202020191a a a -++的值． 【解答】解：（1）a 是方程2202010x x -+=的一个根 220201a a ∴=- 220201a a ∴=- 2240403a a ∴-- 2(20201)40403a a =--- 4040240403a a =---5=-；（2）原式2020202012019202011a a a =--+-+11a a=+- 211a a+=-第 21 页 共 22 页2020111a a -+=- 20201=- 2019=．第22页共22页。
一元二次方程_公共根_有理根_整数根_解题技巧
因式的乘积. 在实数范围内 , 次数大于或等于 3 的多
项式总是可约的 , 这就是说 , 在实数范围内 , 除一次式是既约以外 , 可能有的二次式也是 既约的 ,一个关于 x的二次多项式 ax2 + bx + c ( a ≠0) 是既约的充分必要条件是判别式 b2 - 4ac < 0,但是不存在次数大于等于 3的既 约多项式.
7 ,因为 x和 a都是整数 ,所以 x = - 2, x +1
8, 0, 6,此时 a = 16或 0 (舍去 ) . 故 a = 16.
②韦达定理法 (根与系数的关系 ) :设方
程的两根为 x1 , x2 ( x1 ≥ x2 ) , 则 x1 + x2 = 6 - a ① x1 ·x2 = a ② ① + ②得 x1 + x2 + x1 x2 = 6,所以 ( x1 +
在有理数范围内 ,情况比较复杂 ,除一次 式是既约的以外 ,次数高于 1的多项式 ,都可 能是既约的 , 也有一些判定多项式的是否可 约的定理. 例如一个称为艾森斯坦因既约性 判定法 ,就是如下的定理 :
设 f ( x) 是一个整系数多项式 ,如果它的 次数最高的项的系数以外的所有各项的系数
,
也就是
M
的判别式
Δ M
=
0,
所以
Δ M
= 36 - 4 ( 4 - 4k)
= 20 + 16k = 0,
解得 k = -
5 4
,
所以当
k
=-
5 4
时
, 原方
程的根总为有理数.
小结 ①Δ = b2 - 4ac是完全平方数 Ζ
方程有有理根 ; ②一个字母系数的问题 , 常
例说一元二次方程有公共根的问题
因为
x
2 0
+
x0 +
1=
( x0 +
1 2
)2
+
3 4
>
0,
所以 a + b + c = 0,
从而 c = - ( a + b ). 于是 a2 + b2 + c2
bc ca ab
=
a3 + b3 + abc
c3
=
a3 +
b3 - ( a + abc
b) 3
=
-
3ab ( a + abc
b) =
3.
例 1 ( 1988年广州等五城市联赛题 ) 如
果 x+
1 x
=
3,
求 x
4
+
x2 x2
+
的
x2 x2
+
1=
x2 +
1 x2
+
1
= (x + 1 )2 - 1 x
= 8,
所以原式 = 18. 二、不求特殊求一般
例 2 ( 1992年山东省初中竞赛题 ) 化简
3
1
3
3.
4+ 6+ 9
a = 0只有一个公共根, 则 ( )
(A) a = b
( B) a + b = 0
( C) a + b = 1 (D ) a + b = - 1
解: 设公共根为 , 则 2 + a + b = 0, 2 + b + a = 0.
把上面两个等式相减, 并整理得
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
初三数学一元二次方程的解法知识精讲
初三数学一元二次方程的解法知识精讲一元二次方程的解法一元二次方程是中学代数的重要内容。
同学们可以在中学的学习过程中逐步体会到相当的数学问题转化为方程后是二次方程。
并且最后归结为一元二次方程解决问题，而且一元二次方程是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础。
本讲主要介绍一元二次方程的基本解法。
方程ax bx c a 200++=≠()称为一元二次方程。
一元二次方程的基本解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
直接开平方法：对于形如a x m n a ()()+=≠20的方程，可利用平方根的定义，直接开平方。
()x m n a+=2 如果n a≥0，则x m n a x m n a +=±∴=-±， 如果n a<0，则方程无解。
对一般的一元二次方程，若想应用直接开平方法，需首先配方。
配方法：用配方法解一般形式的一元二次方程。
ax bx c a 200++=≠()首先，把方程的两边都除以二次项的系数a ，使二次项系数化为1，得x b a x c a20++= 其次移项，把常数项移到方程另一边x b a x c a2+=- 然后配方，在方程的两边同时加上一次项系数b a ⎛⎝ ⎫⎭⎪的一半的平方，得 x b a x b a c a b a 22222++⎛⎝ ⎫⎭⎪=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪ ∴+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-x b a b ac a 244222 最后，当b ac 240-≥时，开平方，得x b a b ac a +=±-24422x b a b ac a x b b ac ab ac =-±-=-±--≥2424240222() 公式法：利用求根公式x b b ac ab ac =-±--≥224240()解一元二次方程的方法叫做公式法。
使用公式法，在确定a 、b 、c 的值时，一定要先将方程化为一般形式，并注意符号，另外只有在b ac 240-≥时方可使用公式。
25.怎样解关于一元二次方程有公共根的问题---刘培杰 代数
25 怎样解关于两个一元二次方程有公共根的问题一、关于两个方程仅有一个公共根的问题解这类问题的步骤如下：1．首先作差消去二次项，解出公共根表达式(或公根)．2．把公共根表达式(或公根)代入任一个原方程，求出系数(或关系式)．例1 已知方程0122=--mx x 与04)3(2=-++x m x 有一个公共根，求m 为何值? 解 两方程作差得(3+3m)x=3，所以m≠一l ．当m≠一l 时，x=⋅+11m 代入第一个方程得,0432=+m m 则⋅-==34,021m m例2 方程012=++ax x 与02=++a x x 有且仅有一个公共根，求a 值，并求出公共根．解 两方程作差得(a 一1)x=a 一l ．因为当a=1时，原来两个方程都变为,012=++x x 无实根，所以a≠1，x=1(公根)．把x=1代入前一个方程得a=-2．二、关于两个一元二次方程仅有一个根互为相反数的问题这类问题可转化为两个一元二次方程仅有一个公共根的问题来解决：只要将一个方程的一次项系数变为相反数，得到的新方程与原来另一个方程联立解得一个公共根．例3 方程0122=--mx x 与方程04)3(2=-++x m x 有一个根互为相反数，求m 的值．解 由已知可知0122=--mx x 与方程04)3(2=-+-x m x 必有一个公共根，解得(3一m)x=一3，所以m≠3．当m≠3时，,33m x --=代入-2x 012=-mx 得,02472=-m m 则⋅==724,021m m 三、关于两个一元二次方程有一根互为倒数(或负倒数)的问题只要把一个方程的二次项系数和常数项交换，这类问题也可转化为两个方程仅有一公共根的问题来解决．例4 方程022=-+kx x 和方程03722=++kx x 有一个根互为倒数，求k 的值．解 由已知可知022=-+kx x 和方程02732=++kx x 必有一个公共根．消去二次项可解得觑=一2，即⋅-=k x 2代入,022=-+kx x 整理得=2k 1，即 k =±1时原两方程有一根互为倒数．例5 方程0122=+-ax x 与0122=--bx x 有一根互为负倒数，求a b 的关系式． 解 由已知可知0122=+-ax x 与0122=++-bx x 必有一个公共根，两方程相加得(a 一b)x=1，所以a≠b，所以,1ba x -=代入=+-122ax x 0得.122=-b a 四、关于上述几种情况的综合例6 已知方程062=-+px x 与方程0232=++qx x 有一个公共根，且有一个根互为负倒数，求P ，q 的值．解 由062=-+px x 与0232=++qx x 有一公共根得 ①J p pq q α238322=--又因为062=-+px x 与0232=++qx x 有一根互为负倒数，则+2x 06=-px 与0322=+-qx x有一根为公共根，得②7523222=-+p pq q解①与②得7,1;7,12211=-=-==q p q p例7设nq ≠-l ，P ≠±mq ，方程0022=++-=++q px hx n mx x 有一根互为倒数，另一根互为负倒数，求证：mp=0．证明 由题可知方程02=++n mx x 与012=++px qx 有一公共根，可得 ①0))(()1(2=----np m mq p nq又可知方程02=++n mx x 与012=+-px qx 有一公共根，可得 ②0))(()1(2=+++-np m mq p nq②一①得0))(())((=--+++np m mq p np m mq p展开整理得 0)1(=+nq mp因为 1-=/nq所以 0=mp。
一元二次方程的根的性质
一元二次方程的根的性质一元二次方程是数学中的基础知识之一，也是解析几何和数学建模中常见的问题类型。
一个一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0,其中a、b、c是已知实数且a ≠ 0。
一元二次方程的解也被称为方程的根。
在本文中，我们将探讨一元二次方程的根的性质。
1. 判别式（Discriminant）判别式是一个一元二次方程与0相等的左边部分的差的平方，它起着判断方程有几个根以及根的类型的作用。
一元二次方程的判别式是b² - 4ac。
（1）当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根。
若判别式是正数，方程图像将与x轴有两个交点，也即有两个不相等的实数根。
（2）当判别式等于0时，方程有一个实平方根。
若判别式为0，方程图像将与x轴有一个交点，也就是有一个实数根。
此时，可以发现方程因式分解为一个完全平方的形式。
（3）当判别式小于0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
若判别式是负数，方程图像将与x轴没有交点，也即没有实数根。
不过，这并不意味着方程没有根，而是有两个共轭复根。
2. 求根公式（Root formula）求根公式是用来求解一元二次方程的根的一种方法。
对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，它的求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a（1）当判别式大于0时，使用求根公式可以求得两个不相等的实根。
由于判别式大于0时，求根公式的根内部是存在实数的，因此可以通过计算求得两个实数根。
（2）当判别式等于0时，使用求根公式可以求得一个实平方根。
当判别式等于0时，求根公式根内部的平方根为0，因此只能求得一个实数根。
（3）当判别式小于0时，使用求根公式可以求得两个共轭复根。
当判别式小于0时，求根公式根内部的平方根为虚数，因此只能求得两个共轭的复数根。
需要注意的是，一元二次方程除了根的性质外，还有其他一些重要的性质，例如两根之和、两根之积等。
2019年初中数学一元二次方程的公共根
学科：数学专题：一元二次方程公共根主讲教师：黄炜 北京四中数学教师金题精讲题一题面：设方程270x kx --=和()2610x x k --+=有公共根，求k 的值．判别式，考虑参数范围满分冲刺题一题面：三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求公共根的值．判别式，整数根题二题面：二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= 和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求 b ab aa b a b --++的值．讲义参考答案金题精讲题一答案：设公共根为a ，则270a ka --= ①()2610a a k --+= ②①-②得()660k a k -+-=()()610k a --=∴∴61k a ==或当1a =时，2170k --=∴6k =-经检验6k =±均合题意∴6k =±．满分冲刺题一答案：⑴ 设上述三个方程的公共根为0x ，则有2000ax bx c ++=，2000bx cx a ++=，2000cx ax b ++=三式相加并提取公因式可得，200()(1)0a b c x x ++++= 又22000131()024x x x ++=++>，故0a b c ++=， (2)公共根为01x =或01b x a=--． 题二答案：[]222(1)(2)(2)0()(1)(2)0a x a x a a x a a x a --+++=⇒---+=，故两根为a 和21a a +- 同理，222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=的两根为b 和21b b +-． 由题意可知，11a b a b -≠-⇒≠，故21b a b +=-或21a b a +=-． 均可化简为：20ab a b ---=，即(1)(1)3a b --=由a ，b 为正整数，故1113a b -=⎧⎨-=⎩或1311a b -=⎧⎨-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，42a b =⎧⎨=⎩． 也可采取与之前相同的解法：设公共根为0x ，则22200(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=，22200(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= 消去20x 项并因式分解可得，0()(2)(1)0a b ab a b x -----=(由已知可得a b ≠) 若01x =，则有1a =(或1b =)，与已知矛盾；若20ab a b ---=，解法同上．故256b ab a b aa b a b a b --+==+．。
几个一元二次方程有公共根的三种解题思考方法
几个一元二次方程有公共根的三种解题思考方法
李伟
【期刊名称】《数学教学通讯：教师阅读》
【年(卷),期】1996(000)006
【摘要】在提出例证以前先特别说明,在审题时,一定要读懂题意.即一般有两种情况:其一,几个方程有一个公共根;其二,几个方程有公共根.前者的含义是只有一根相同,后者的含义是至少有一根相同.一求根当有一个或两个方程易求出其根时,不妨求出方程的根,再解.例1,已知 k 为非负数,关于 x 的方程:x~2
【总页数】2页(P1-2)
【作者】李伟
【作者单位】合川市龙井初中 631555
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一元二次方程根的分布在解题中的应用 [J], 樊亚
2.巧用一元二次方程根的判别式解题 [J], 李枝团
3.妙用一元二次方程根的定义解题 [J], 许生友
4.利用一元二次方程根的判别式解题 [J], 郭兴甫
5.两个一元二次方程有公共根的一个充要条件及公共根的行列式求法 [J], 纪保存;王淑芳
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一元二次方程公共根问题的求解策略
一元二次方程公共根问题的求解策略
龚海滨
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2003(000)009
【摘要】@@ 一元二次方程是中学数学的重要内容,因此,有关一元二次方程的问题一直受到各级各类竞赛的青睐.
【总页数】2页(P35-36)
【作者】龚海滨
【作者单位】江苏省扬州新华中学,225009
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.关于一元二次方程公共根问题的解法探寻 [J], 段安波;杨书明
2.如何解两个一元二次方程有公共根的问题 [J], 王路
3.怎样解两个一元二次方程有公共根的问题 [J], 郭奕津
4.一元二次方程的公共根问题 [J], 李耀文
5.两个一元二次方程有公共根的一个充要条件及公共根的行列式求法 [J], 纪保存;王淑芳
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一元二次方程公共根问题
若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：
1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；
2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；
3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．
一、公共根问题
二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．
二、整数根问题
对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．
方程有整数根的条件：
如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：
⑴ 2∆=
⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数．
以上两个条件必须同时满足，缺一不可．
另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)
三、方程根的取值范围问题
先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围
1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围．
(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．
2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值
3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由．
4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．
5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和
222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求a
b b a b a a a --++的值
6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()2
1(2=-+++x k x k
方程②：032)12(2=--++k x k x
（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简2
)4(1241++-k k （3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．
练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。
（1）求k 的取值范围；
（2）如果k 取符合条件的最大整数，且一元二次方程062=+-k x x 与012=-+mx x 有一个相同的根，求常数m 的值。
3.已知21,x x 是一元二次方程032)1(2=-+++k kx x k 有两个不相等的实数根。
（1）求k 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当k 取符合条件的最小整数时一元二次方程02=+-k x x 与022=-+m mx x 只有一个相同的根，求m 的值。
4.已知方程072=--kx x 与方程0)1(62=+--k x x =0有公共根，求k 的值及两方程的所有公共根和所有的相异根。
5.关于x 的方程012=++bx x 与02=--b x x 有且只有一个公共根，求b 的值。
6.若方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，求2012)(b a +的值。
7.当p 是什么实数时，方程032=-+px x 与方程0)1(42=---p x x 有一个公共根。
8.设a 、b 、c 为三个互不相等的实数，且1≠c ，已知关于x 的方程012=++ax x 和方程02=++c bx x 有一个公共根，方程02=++a x x 和方程02=++b cx x 有一个公共根，试求c b a ++的值。
9.已知方程①：02=++c bx ax ，（其中0≠c ）有整数根，是否存在整数p ，使得方程②：0)()(23=+++++c x p b x p a x 与方程①有相同的整数根？如果存在，请求出p 的值及相应的公共根，若不存在，请说明理由。
10.是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和方程022=++m x x 有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数及两方程的公共根；若不存在，请说明理由。
11.如果方程062=--bx ax 和方程01522=-+bx ax 有一个公共根是3，求b a ,的值，并分别求出两个方程的另外一个根。
12.设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．
13.b 为何值时，方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根？并且求出它们的整数根？。