§7.2 线性空间的基与维数

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线性空间维数与基的求法

线性空间维数与基的求法维数与基是线性空间V 的一个基本属性，它的确立对于我们认识线性空间有着很大的作用。

因为确定了维数和基以后n 线性空间V 上任意向量的坐标（即n 元数组）也就相应确定了，在学习了线性空间的同构的知识后会知道，任意n 维线性空间V 都与n P 同构，这样，我们可以通过n P 的性质来研究任意n 线性空间V 的性质。

同时对维数与基概念的把握也是我们后面学习线性空间的同构、线性变换、欧氏空间的基础。

但是，鉴于它是线性空间的一个基本概念，多数教科书对于该部分的处理往往是泛泛而谈，比如文献1250P 例3更是一笔带过，这对学生深入理解相关概念造成了一定的障碍。

虽然它的求法没有统一的方法，但却有着一致的要求，即要符合定义。

本文计划从以下两方面对维数与基的求法做进一步的归纳和总结，同时也是对《高等代数》250P 例3的补充说明，希望对初学者认识线性空间以及后续的学习有一定的帮助。

一、数域P 上的线性空间V ——数域P 的作用和角色凡是涉及数与空间中向量（取自集合V 中的元素）的乘积，即通常所说的数量乘法，其中的数都是取自数域P 。

例如：线性变换、同构定义中的第二条保持数量乘法，判别向量的线性相关性等这些问题都是依赖数域P 的。

同一线性空间V 指定数域的不同，通常对于我们的结果也会造成很大差别。

1.数域P 对线性空间V 的线性变换判别的影响例1：把复数域看作复数域上的线性空间，ξξ=A解：举反例如下，系数k 取自复数域i k =，)())(()(ai b bi a i k +-A =+A =A αai b --=，而ai b bi a i bi a i k +=-=+A =A )())(()(α，显然)()(ααA ≠A k k ，故变换A 不是线性的。

例2：把复数域看作实数域上的线性空间，ξξ=A解：系数k 取自实数域R k ∈，kbi ka kbi ka bi a k k -=+A =+A =A )())(()(α， kbi ka bi a k bi a k k -=-=+A =A )())(()(α，容易验证A 也保持向量的加法，故A 是线性的。

线形空间的维数与基

浅谈线性空间的维数与基摘要本文通过对有限维线性空间中基和维数的讨论，总结出了有限维线性空间的基和维数的求解方法，并且，用不同的方法对线性空间的基和维数的应用进行了探讨.关键词：线性空间；维数；基；同构；子空间THE DISCUSSING TO THE DIMENSIONS ANDBASES OF LINEAR SPACEABSTRACTIn this paper, by discussing dimensions and bases of finite dimensions linear space, we Summarizes the methods to soluting dimensions and bases of finite dimensional linear space. Moreover, the application of the bases and dimensions are discussed in different ways.Keywords: linear space; dimension; base; isomorphism; subspace .目录摘要 (1)关键词： (1)ABSTRACT (2)一、基本概念 (4)二、线性空间的基和维数求解方法 (5)2.1、定义法 (5)2.2、利用相关定理求维数与基 (8)三、线性空间基和维数的应用 (10)3.1、次子空间的应用 (10)3.2、在同构线性空间中的应用 (12)四、有限维线性空间基的扩充 (13)五、参考文献 (15)致谢 (15)一、基本概念定义1.2、U 中向量集H 如果满足下述两个条件，① 向量集H 是线性相关的；② U 中每一个向量可以由H 中有限个向量线性表出；则H 是U 的一个基，只含0向量的基是空集。

定义1.3、U 称为有限维的，如果U 有一个基包含有限多个向量，否则U 称为无限维的，有限维线性空间的一个基所含向量个数称为U 的维数。

线性空间的基与维数

线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是由一组元素构成的集合，这些元素之间满足线性运算的性质。

在线性空间中，基与维数是两个重要的概念。

一、线性空间的基线性空间的基是指线性空间中的一组线性无关的元素，通过这组元素可以表示整个线性空间中的任意元素。

换言之，线性空间中的每个元素都可以唯一地由基中的元素线性组合而成。

线性空间的基具有以下特性：1. 基中的元素线性无关，即任意一个基中的元素不能被其他基中的元素线性表示。

2. 基中的元素张成整个线性空间，即线性空间中的任意元素都可以由基中的元素线性组合而成。

3. 基中的元素个数是唯一的，即同一个线性空间中的不同基所包含的元素个数是相同的，这个个数称为线性空间的维数。

二、线性空间的维数线性空间的维数是指线性空间中的基所包含的元素的个数，用整数表示。

维数是衡量线性空间大小的一个重要指标。

线性空间的维数具有以下性质：1. 对于一个线性空间，如果存在一个有限的基，则该线性空间的维数是有限的。

2. 对于一个线性空间，如果不存在有限的基，则该线性空间的维数是无限的。

维数是线性空间一个重要的性质，它决定了线性空间的很多性质。

在线性代数中，我们可以通过求解线性方程组的秩来确定线性空间的维数。

三、基与维数的应用基与维数在线性代数的各个分支中有广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景：1. 线性变换的表示：线性变换可以由一个矩阵表示，基的选择与线性变换的矩阵表示密切相关。

2. 向量空间的表示：向量空间中的向量可以由线性组合表示，基的选择可以简化向量空间中向量的表示和计算。

3. 子空间的判断：基与维数可以用来判断一个子集是否构成了线性空间的子空间。

4. 线性方程组的解空间：线性方程组的解空间可以由基与维数表示。

总结：线性空间的基与维数是线性代数中的重要概念。

基是线性空间中一组线性无关的元素，可以表示线性空间中的任意元素；维数是基所包含的元素的个数，它决定了线性空间的很多性质。

维数、基与坐标

(k) k ()
对任意αV,kK成立.从而
(0) (0) 0 () 0
() ((1)) (1) () () (k11 k22 krr ) (k11) (k22 ) (krr )
k1 (1) k2 (2 ) kr (r )
(2) 若有不全为零的k1,k2,…,kr使
则有
(k11 k2 2 kr r ) 0
由于σ是单射，又只有零元素0才映射到0，
故
k11 k2 2 kr r 0 即若 (1), (2 ),, (r ) 线性相关也必有 α1,α2,…,αr线性相关；
(3) 由于维数就是线性空间中线性无
关元素的最大个数，设V与W同构，则若V 中最大的线性无关元素组为α1,α2,…,αm,那么 σ(α1), σ(α2),…,σ(αr)也是W中线性无关的，且任何多于m个的元素组必线性相关.这样，W 的维数必等于V的维数；
设 ε1,ε2,…,εn与η1,η2, …,ηn是n维线性空间V中的两组基.由基的定义，它们必可以互相线性表出.设 η1,η2, …,ηn由ε1,ε2,…,εn线性表出的关系式为
1 a111 a12 2 a1n n , 2a211a222 a2n n , n an11 an2 2 ann n .
(1, 2 ,3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 ) A
其中
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 )B
1 1 1 1
A
2 0 2
1 2 0
0 2 0
3 03
1 1 1 1
B
0 0 0
1 0 0
2 1 0
3 13
于是
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, 2 ,3 , 4 )A1B

线性代数课件向量空间的基和维

线性无关
如果只有当$k_1 = k_2 = ldots = k_s = 0$时，才有$k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s = 0$，则称向量组$V$线性无关。
极大线性无关组
极大线性无关组的定义：如果向量组$V$ 的一个部分组$V_1$ 满足
2. 向量组$V$中任意一个向量都可以由 $V_1$线性表示。
特征值与特征向量的性质
不同特征值对应的特征向量线性无关；k重特征值至多对应k个线性无关的特征向量。
3
特征值与特征向量的应用
在矩阵对角化、矩阵的幂运算、微分方程求解等问题中，特征值与特征向量具有重要作用。
二次型化标准型及规范型
二次型的标准型
通过可逆线性变换，将二次型化为只含有平方项的二次型，称为二次型的标准型。
正交矩阵的性质
正交矩阵的行列式为±1；正交矩阵的逆和转置都是正交矩阵；正交矩阵保持向量的长度和夹角不变。
正交变换与正交矩阵的关系
正交变换在标准正交基下的矩阵表示是正交矩阵；正交矩阵对应的线性变换是正交变换。
06
向量空间的应用举例
线性方程组解的结构
线性方程组解的存在性
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性方程组有解。
子空间的交与和
子空间的交
两个子空间的交集仍是一个子空间，它包含同时属于两个子空间
的所有向量。
子空间的和
由两个子空间中所有向量线性组合生成的向量空间，称为这两个
子空间的和。
性质
子空间的交与和都是子空间，但两个子空间的和不一定等于它们
所在的向量空间的全部。
05
向量空间中的正交性

基与维数的几种求法

基与维数的几种求法线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间v中，如果有n个向量α1,,αn满足用户:(1)α1,α2,αn线性无关。

(2)v中任一向量α总可以由α1,α2,,αn线性则表示。

那么称v为n维（有限维）线性空间，n为v的维数，记为dimv=n，并称α1,α2,,αn为线性空间v的一组基为。

如果在v中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成v为无限维的。

基准1设v=xax=0，a为数域p上m⨯n矩阵，x为数域p上n佩向量，谋v的维数和一组基为。

解设矩阵a的秩为r，则齐次线性方程组ax=0的任一基础解系都是v的基，且v的维数为n-r。

基准2数域p上全体形似对矩阵的乘法及数与矩阵的乘法所共同组成⎪的二阶方阵，-ab⎪⎪的线性空间，谋此空间的维数和一组基为。

⎪⎪0a⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪为线性空间,v=｜a,b∈p⎪⎪的一组线性毫无关系的向⎪⎪⎪⎪-10⎪⎪01⎪⎪⎪-ab⎪⎪⎪0a⎪⎪0a⎪⎪01⎪⎪00⎪量组，且对v中任一元素⎪=a⎪+b⎪⎪有ab1001-ab⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪⎪,⎪为v的一组基为，v的维数为2。

⎪10⎪⎪01⎪方法二在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

基准3假设r[x]n就是一切次数大于n的实系数多项式迎上零多项式所构成的线性空间，证明：1,(x-1),(x-1),,(x-1)构成r[x]n的基。

证明实地考察k1⋅1+k2(x-1)++kn(x-1)的系数为0得kn=0，并代入上式可得xn-2的系数kn-1=0依此类推便存有kn=kn-1==k1=0，故1,(x-1),,(x-1)又r[x]的维数为n,于是1,(x-1),,(x-1)为r[x]的基。

方法三利用定理：数域p上两个非常有限佩线性空间同构的充份必要条件就是它们存有相同的维数。

例4设a=⎪，证明：由实数域上的矩阵a的全体实系数多项式f(a)共同组成的空间v=⎪f(a)｜a=⎪⎪⎪0-1⎪⎪⎪⎪与复数域c作为实数域r上的线性空间10⎪⎪⎪v'={a+bi｜a,b∈r}同构，并非谋它们的维数。

基与维数的求法

线性空间基和维数的求法（邓云斯、李秀珍、高华艳）方法一(定义法):根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足:(1)n ααα,2,1 线性无关；(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示. 那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基.如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就成为无限维的. 例1 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基. 解易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2. 方法二(维数确定基法):在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基.例2 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----构成[]n R x 的基.证明 ()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=由1n x-的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -=依此类推便有110n n k k k -====，故()()11,1,,1n x x ---线性无关又[]nR x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---为[]nR x 的基.方法三(利用同构求维数法):数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 例3 设0110A -⎛⎫=⎪⎝⎭，证明：由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组成的空间()0110V f A A ⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间{}',V a bi a b R =+∈｜同构，并求它们的维数.证明 V 中任一多项式可记为()()=,,f A aE bA a b R +∈，建立'V 到V 的如下映射()()11111111:,a bi f A a E b A a b R σα=+→=+∈易证σ是'V 到V 上既是单射又是满射即一一映射. 再设222,a b i α=+ 22,,a b R K R ∈∈，则有()()()()()()()121212121212a a b b i a a E b b A σαασσασα+=+++=+++=+⎡⎤⎣⎦()()()111111k ka kbi ka E ka A k x σασσ=+=+=故σ是'V 到V 的同构映射，所以V 到'V 同构另外，易证'V 的一个基为1，i ，故'dim 2V ='VVdim 2V ∴=方法四(求可逆矩阵确定基法)：设12,,,n ααα与12,,,n βββ是n 维线性空间V 中两组向量，已知12,,,n βββ可由12,,,n ααα线性表出：11112121n n a a a βααα=+++ 21212222n n a a a βααα=+++ 1122n n n nn n a a a βααα=+++令111212122212n n n n nn a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭如果12,,,n ααα为V 的一组基，那么当且仅当A 可逆时，12,,,n βββ也是V 的一组基.例4 已知231,,,x x x 是[]4p x 的一组基，证明()()231,1,1,1x x x +++也是[]4p x 的一组基.证明因为23111000x x x =⋅+⋅+⋅+⋅23111100x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅()223111210x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅ ()323111331x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅且11110123000120001A =≠ 所以()()231,1,1,1x x x +++也为[]4p x 的一组基.方法五(向量等价求基法):如果空间V 中一向量组与V 中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基.例5 设[]2R x 表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明22,,1x x x x x +-+为这空间的一组基.证明 ()()()2212310k x x k x x k x ++-++=则121233000k k k k k k +=⎧⎪-+=⎨⎪= ⎩解得3210k k k ===于是22,,1x x x x x +-+线性无关，它们皆可由2,,1x x 线性表示，因此22,,1x x x x x +-+与2,,1x x 等价，从而[]2R x 中任意多项式皆可由22,,1x x x x x +-+线性表示，故22,,1x x x x x +-+为[]2R x 的基.方法六（求两个子空间交集的基确定维数法）：对以一组向量1212,,,ααββ为列向量做成的矩阵施行行初等变换和列初等变换，不改变矩阵1212,,,ααββ间的线性关系.任何一个m n ⨯矩阵A ，总可以通过行初等变换和列变换化为标准阶梯型矩阵：00rI B ⎛⎫⎪⎝⎭，其中r I 表示r 阶单位矩阵.依据这两个定理，我们可以很方便地求出12V V 的一个基，从而确定了维数.例 6 设()()112212,,,V L V L ααββ==是数域F 上四维线性空间的子空间，且()()()()12121,2,1,0,1,1,1,1;2,1,0,1,1,1,3,7.ααββ==-=-=-求12V V 的一个基与维数. 解若12r V V ∈，则存在1212,,,x x y y F --∈，使11221122r x x y y ααββ=+=-- (1)即有112211220x x y y ααββ+++= (2)若1212,,,ααββ线性无关，（2）仅当2120x x y y ====时成立那么12V V 是零子空间，因而没有基，此时维数为0，12V V +是直和若存在不全为零的数1212,,,x x y y 使（2）成立，则12V V 有可能是非零子空间若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r .以1212,,,ααββ为列向量作矩阵A ，经行初等变换将A 化为标准阶梯形矩阵A .112110121110104110300130117000A A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−−−→= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行初等变换212143βααβ=-++()1212435,2,3,4r ααββ∴=-+=-+=-是12V V 的一个基 ()12dim 1V V =同时知，12,αα是1V 的一个基，1dim 2V =12,ββ是2V 的一个基，2dim 2V =1212,,,ααββ是12V V +的一个基，()()12dim =3V V A +=秩方法七(极大无关组确定基法):线性空间V 中任意一个向量α，都可以表示成V 中的一组线性无关向量组的线性组合，则这一组线性无关向量组就是V 的基. 例7 求112()V L αα=，与212()V L ββ=，的交的基和维数. 设12(1,2,1,0)(11,1,1)αα=⎧⎨=-⎩，，12(21,0,1)(11,3,7)ββ=-⎧⎨=-⎩，，解任取12V V α∈，则11122V x x αααα∈=+，，且21122V y y ααββ∈=+，，1122112x x y y αααββ=+=+（注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在1V 、2V 中的表示，并非本题所求，即要在空间21V V 中将α线性表出）11221120x x y y ααββ∴+--=，求1212,,,x x y y121212121222122020300x x y y x x y y x x y x y y ---=⎧⎪+-+=⎪⎨+-=⎪⎪--=⎩ ７解得1212(,,,)(,4,3,)x x y y k k k k =--1212(4)(3)(5,2,3,4)k k k αααββ∴=-=-+=-故12V V 是一维的，基是(5,2,3,4)-易知(5,2,3,4)-是非零向量，是线性无关的.方法八（利用维数公式求子空间的基和维数法）：按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果1,2V V 是有限维线性空间V 的两个子空间，那么()()()()121212d i m d i m d i m d i m V V V V V V +=++例8 已知()()123,1,2,1,0,1,0,2αα=-=()()121,0,1,3,2,3,1,6ββ==--求由向量12,αα生成的4p 的子空间()112,V L αα=与向量1,2ββ生成的子空间()212,V L ββ=的交与和空间的维数的一组基.解因为()121212,,,V V L ααββ+=，对以1212,,,ααββ为列的矩阵施行行初等变换：30120000110311032011001112360003A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭秩A =秩3B =，所以12V V +的维数是3且1212,,,ααββ为极大线性无关组，故它们是12V V +的一组基.又由12,αα线性无关知1V 的维数为2，同理2V 的维数也为2，由维数公式知12V V 的维数为()2231+-=.从矩阵B 易知12122ββαα+=-,故()123,3,2,3ββ+=--是12,V V 公有的非零向量，所以它是交空间12V V 的一组基.方法九(替换定理法):由替换定理确定交空间的维数. 替换定理：设向量组12,,,r ααα线性无关，并且12,,,r ααα可由向量组12,,,s βββ线性表出，那么()1r s ≤()2必要时可适当对12,,,s βββ中的向量重新编号，使得用12,,,r ααα替换12,,,r βββ后所得到的向量组121,,,,,,r r s αααββ+与向量组12,,,s βββ等价.特别，当r s =时，向量组12,,,s ααα与向量组12,,,s βββ等价.例9 已知向量组()()()()12342,0,1,3,0,3,1,0,1,2,0,2,2,6,3,3,αααα====设它们是向量组1,23,βββ的线性组合，又设向量组12,,,m r r r 与向量组123,,βββ等价，试求12,,,m r r r 生成的空间的交空间的基和维数.解 2013041107010*********10120212021202263306200000----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然1234,,,αααα线性相关，123,,ααα线性无关由替换定理知123,,ααα与123,,βββ等价，进而知12,,,m r r r 与123,,ααα等价于是()12,,,m L r r r 维数为3，基为()123124,,;,,L αααααα维数为2，基为12,,αα因此，()()12412,,,,,m L L r r r ααα⊂故()124,,L ααα与()12,,,m L r r r 的交空间的基为12,,αα维数为2。

线性空间的基与维数

线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有加法和数乘运算的集合，并满足线性空间的定义和性质。

在线性空间中，基和维数是两个核心概念，它们对于理解线性空间的结构和性质具有重要意义。

一、线性空间的定义和性质线性空间是指满足以下定义和性质的集合：1. 集合中存在加法运算，即对于任意两个元素x和y，存在相应的元素x+y；2. 集合中存在数乘运算，即对于任意元素x和数k，存在相应的元素kx；3. 加法和数乘运算满足封闭性，即对于任意元素x和y，x+y和kx 仍然属于该集合；4. 加法满足结合律和交换律，即对于任意元素x、y和z，(x+y)+z=x+(y+z)和x+y=y+x；5. 加法满足单位元存在性，即存在一个元素0，对于任意元素x，有x+0=x；6. 加法满足逆元存在性，即对于任意元素x，存在相应的元素-y，使得x+(-y)=0；7. 数乘运算满足结合律和分配律，即对于任意元素x和k、l，有k(lx)=(kl)x和(k+l)x=kx+lx；8. 数乘运算满足单位元存在性，即对于任意元素x，有1x=x。

二、在线性空间中，基是指一个线性无关且能生成整个空间的向量组。

即对于线性空间V，存在向量组{v1, v2, ..., vn}，满足以下条件：1. 线性无关性：向量组中的任意有限个向量线性无关，即不存在非零标量c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0；2. 生成性：向量组的线性组合能够生成整个线性空间V，即对于任意向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn。

线性空间的维数是指基中向量的个数，用n表示。

记作dim(V) = n。

三、线性空间的基与维数的性质线性空间的基与维数具有以下性质：1. 基的个数是唯一的：线性空间V的任意两个基所含向量个数相同；2. 维数的唯一性：线性空间V的维数唯一，与基的选择无关；3. 向量组的性质：线性空间V中的任意向量组若线性无关，则含有的向量个数不超过维数；4. 维数与子空间：线性空间V的任意非零子空间的维数小于等于V的维数；5. 维数与线性变换：线性空间V到线性空间W的线性映射T是满射时，有dim(W) ≤ dim(V)；当T是一一映射时，有dim(W) ≥ dim(V)。

基和维数的关系

基和维数的关系
基和维数是线性代数中的两个重要概念，它们之间有着密切的关系。

在矩阵论中，基的数量决定了矩阵的列空间的维数，也就是列向量的线性独立的数量。

因此，如果一个矩阵的列向量数量为 n，但其列向量中有重复的向量，那么矩阵的列空间的维数就会小于 n。

这时，我们需要找到一组线性无关的向量作为基，从而得到列空间的基和维数。

另一方面，矩阵的行空间的维数也和其基的数量有关系。

矩阵的行空间是由其行向量张成的向量空间，而行向量的数量和它们的线性独立的数量相同。

因此，矩阵的行空间的维数取决于它的行向量的线性独立的数量，也就是它的基的数量。

除了列空间和行空间，矩阵还有一个重要的概念——零空间。

零空间是由矩阵的所有零空间向量张成的向量空间。

零空间向量是指矩阵乘以该向量得到的结果为零向量的向量。

矩阵的零空间的维数也和其基的数量有关系。

根据线性代数的基本定理，矩阵的列空间和零空间的维数之和等于矩阵的列数。

因此，如果知道了矩阵的列空间的维数，就可以求得它的零空间的维数。

总之，基和维数在线性代数中起着至关重要的作用。

它们的关系非常紧密，互相影响。

通过矩阵的基和维数，我们可以更好地理解矩阵的性质和特征。

线性空间的基与维数及线性同构

有
1 E 11 = 0 0 E 21 = 1
0 0 , E 12 = 0 0 0 0 , E 22 = 0 0
1 , 0 0 1
k1 k 2 , k 1 E 11 + k 2 E 12 + k 3 E 21 + k 4 E 22 = k3 k4
1 ( a 0 − a 1 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．唯一的．
T
例２所有二阶实矩阵组成的集合 V，对于矩阵的加法和数量乘法，的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性空间．空间．对于 V 中的矩阵
λα ↔ λ ( x1 , x2 ,⋯, xn )
T
结论１．数域 P上任意两个n 维线性空间都同构．同构的线性空间之间具有反身性、对称性２．同构的线性空间之间具有反身性、与传递性．与传递性．３．同维数的线性空间必同构．同维数的线性空间必同构．
同构的意义在线性空间的抽象讨论中，在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质．关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
二、元素在给定基下的坐标
定义２定义２设α 1 , α 2 ,⋯ ,α n是线性空间 Vn的一个基 , 对
于任一元素 α ∈ Vn , 总有且仅有一组有序数 x1 , x 2 ,⋯ , x n , 使

线形空间的维数与基

定义1.3、U 称为有限维的，如果U 有一个基包含有限多个向量，否则U 称为无限维的，有限维线性空间的一个基所含向量个数称为U 的维数。

线性空间的基与维数及线性同构

f
(
n

1)( a
)
T
设 1 , 2 ,, n 是n维线性空间V n的一组基,在
这组基下,V n中的每个向量都有唯一确定的坐标. 而向量的坐标可以看作Rn中的元素,因此向量与它的坐标之间的对应就是V n到 Rn的一个映射.
由于 Rn中的每个元素都有V n中的向量与之对应,同时V n中不同的向量的坐标不同,因而对应Rn 中的不同元素.我们称这样的映射是V n与 Rn的一个 1 1对应的映射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义１满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n个元素
1,2 ,,n
(1) 1 , 2 ,, n线性无关;
思考题解答
解令
k1 f 1(x) k2 f 2(x) k3 f 3(x) k4 f 4(x) 0 则得
(k1 2 k 2 k 3 2 k 4) x3 (2 k1 3 k 2 5 k 4) x2
(4 k1 9 k 2 6 k 3 7 k 4)x (k1 k 2 5 k 3 5 k 4) 0.
空间．对于V中的矩阵
E
11

1 0
0 0
,
E
12

0 0
1 , 0
E
21

0 1
0 0
,
E
22

0 0
0 1

线性空间基与维数

( k a 1 ,k a 2 , ,k a n ) T k ( a 1 ,a 2 , ,a n ) T
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上式表:在明向量用坐标 ,它表们示的后运算就归结为坐标,因的而运线算性V空 n的间讨论就归结R为 n的讨.论
下面更确切地点说. 明这一定义设U、V是两个线性空间，如果它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间U与 V同构.
有
f3(x)3f1(x)2f2(x),
f4(x)4f1(x)f2(x).
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的向量时，就称 V是无限维的．
若 1 , 2 , , n 为 V n 的一 ,则 V n 可个表基
V n x 1 1 x 2 2 x n n x 1 , x 2 , , x n R
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二、元素在给定基下的坐标
定义２设1,2,,n是线性V空 n的间一个 ,对基于任一元 V素 n,总有且仅有一组有
V n
x 11 x 22 x n n
Rn
x (x 1 , x 2 , , x n )T
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(2)设
(x1,x2, ,xn)T
则有
(y1,y2, ,yn)T ( x 1 , x 2 , , x n ) T ( y 1 ,y 2 , ,y n ) T
(a11, a12, a21, a22)T .
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例在 3 线 R [x 性 ]n 中 ,取空一间组基
11 , 2(xa ),3(xa )2, , n(xa )n 1
则由泰勒公式知 f(x)f(a)f'(a)(xa)f''(a)(xa)2 2!

线性空间的维数与基变换矩阵

线性空间的维数与基变换矩阵线性空间是线性代数中的重要概念，它是一个满足一定性质的集合，其中的元素可以进行线性组合并满足线性运算规则。

在线性空间中，维数是一个关键的性质，它反映了该空间的自由度以及其内部的结构。

与维数相关的还有基变换矩阵，它是在不同基底下表示同一个向量时所需要的矩阵。

1. 维数的定义在线性代数中，一个线性空间的维数定义为该空间的一个基底中所含元素的个数。

换句话说，维数表示了线性空间的最大线性无关向量的个数，也可以理解为该空间的坐标系的最少坐标数。

例如，二维平面上的点可以用两个坐标表示，因此该平面的维数为2。

类似地，三维空间的维数为3。

2. 维数的性质（1）维数是唯一确定的：对于一个给定的线性空间，其维数是唯一确定的，不受选取基底的影响。

（2）维数的加法性：如果两个线性空间V和W都是某个线性空间U的子空间，则V和W的维数之和等于U的维数。

换句话说，两个子空间的维数不会重合。

3. 基变换矩阵在线性空间中，我们可以通过改变基底来表示同一个向量。

基变换矩阵是一种描述基底变换关系的工具，它将一个基底下的坐标表示转换为另一个基底下的坐标表示。

具体来说，设有一个线性空间V，它有两个基底B和B'，其中B={v1,v2,...,vn}，B'={v'1,v'2,...,v'n}。

对于向量v∈V，可以用B和B'下的坐标表示为[x]B和[x]B'。

基变换矩阵P定义为：[x]B'=P[x]B。

4. 基变换矩阵的计算方法（1）基底向量的表示：假设B中的向量可以由B'中的向量线性表示，即vi=∑(j=1 to n)a_ij*v'j，其中a_ij是一个常数。

由此可得到B表示为B'的转置矩阵，记作A=[a_ij]。

（2）基变换矩阵的计算：由于基底之间的关系是线性的，因此可以用增广矩阵的消元法来计算基变换矩阵。

具体操作为，将矩阵[A|I]进行行变换直到左侧变为单位矩阵，右侧部分即为所求的基变换矩阵。

基与维数的几种求法

线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间V 中，如果有n 个向量宀，…n 满足:⑴1,2…，n 线性无关。

⑵V 中任一向量G 总可以由 S ,..0n线性表示。

那么称V 为n 维(有限维)线性空间，n 为V 的维数，记为dim V = n ,并称O∙ι,Ct 2,…，ct n 为线性空间V 的一组基。

如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。

例1设V=IXAX=O?，A 为数域P 上m n 矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。

解设矩阵A 的秩为r ,则齐次线性方程组 AX=O 的任一基础解系都是 V 的基，且V 的维数为n -r 。

[0 a例2数域P 上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成'<-a b 」的线性空间，求此空间的维数和一组基。

方法二在已知线性空间的维数为 n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

例3假定R IX I n 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：1,X -1 , X-1 2川|, X-1 n 4 构成 R IX ]n的基。

n证明考察 k 1+k 2(x -1)+IH+k n (x -1) =0由X n4的系数为0得k n =0 ,并代入上式可得X nJ 的系数k n ∕=0 依此类推便有k n = k n 4I = k 1= 0 ,a,b P 的一组线性无关的向量组，且对V 中任广O a有r0 a=a '0 1、 + b'0 O Ai —a b 」I a b 」J 0」<01‘0 1 ' ‘0 0'<1 0」' <0 1」V 的维数为2。

元素按定义为V 的一组基,故1,(x_1 )，HI,(x_1 )^ 线性无关n 1又RlX n的维数为n,于是I) x_1 ,川，x_1 为RlX(I的基。

线性空间基与维数-精选文档

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二、元素在给定基下的坐标
定义２设 , , , 是线性空间 V 的一个基 ,对 1 2 n n
于任一元素 V ,总有且仅有一组有 n 数 x ,x , ,x ,使 1 2 n
x x x ,
1 1 2 2 n n
维数为 n 的线性空间称为 n 维线性空 , 记作 V . n
当一个线性空间 V中存在任意多个线性无关的向量时，就称 V是无限维的．
若 , , , 为 V 的一个基 , 则 V 可表 1 2 n n n
V x x x x , x , , x R n 1 1 2 2 n n 1 2 n
有序数组 x , x , , x 称为元素在 , , , 这 1 2 n 1 2 n
T x , x , , x 基下的坐标 , 并记作 1 2 n.
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2 例1 在线性空间 P [ x ] 中 , 1 , x , ,p p p p x 4 1 2 3 4
1 (a0 ,a , a2, a3, a4) a 1 1 2 注意线性空间 V 的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．
T
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例２所有二阶实矩阵组成的集合 V，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间．对于 V中的矩阵
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一、线性空间的基与维数
已知：在 R 中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n1 个向量都是线性相关的．
n
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空间 V 中，最多能有多少线性无关的向量？

空间解析几何的向量空间线性相关性基与维数的计算

空间解析几何的向量空间线性相关性基与维数的计算在空间解析几何中，向量空间是一个重要的概念。

理解向量空间的线性相关性基和维数的计算方法对于解决几何问题具有重要作用。

本文将探讨向量空间的线性相关性基和维数的计算方法。

一、线性相关性基的定义和判断在解析几何中，向量空间的线性相关性基是指一组向量中的向量是否可以通过线性组合得到其他向量。

具体来说，对于向量空间V中的一组向量{x1, x2, ..., xn}，如果存在不全为零的数k1, k2, ..., kn，使得k1x1 + k2x2 + ... + knxn = 0，则该组向量线性相关。

反之，如果只有当k1 = k2 = ... = kn = 0时，才有k1x1 + k2x2 + ... + knxn = 0，则该组向量线性无关。

二、线性相关性基的计算方法要判断一组向量是否线性相关，可以通过以下步骤进行计算：1. 将向量组排成矩阵形式，矩阵的每一列对应一个向量。

2. 对矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形。

3. 若行最简形矩阵中存在全零行，则该组向量线性相关，否则线性无关。

举例来说，考虑向量空间V = {(1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9)}，我们将其排成矩阵形式：1 2 32 4 63 6 9进行初等行变换（以化为行最简形）：1 2 30 0 00 0 0可以看到，行最简形矩阵中存在全零行，因此该向量空间的基线性相关。

三、向量空间的维数计算方法向量空间的维数是指一个向量空间中的基向量个数。

维数具有重要的几何意义，它决定了向量空间的维度。

要计算向量空间的维数，可以通过以下步骤进行：1. 找到向量空间的一个基。

2. 统计该基中的基向量个数，即为向量空间的维数。

继续以上述的向量空间V = {(1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9)}为例，我们已经确定了该向量空间是线性相关的。

现在我们需要计算该向量空间的维数。

基与维数的几种求法

线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V中，如果有个向量满足:(1)线性无关。

(2)中任一向量总可以由线性表示。

那么称为维（有限维）线性空间，为的维数，记为，并称为线性空间的一组基。

如果在中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成为无限维的。

例1设，为数域上矩阵，为数域上维向量，求的维数和一组基。

解设矩阵的秩为，则齐次线性方程组的任一基础解系都是的基，且的维数为。

例2数域上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。

解易证为线性空间的一组线性无关的向量组，且对中任一元素有按定义为的一组基，的维数为2。

方法二在已知线性空间的维数为时，任意个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

例3 假定是一切次数小于的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：构成的基。

证明考察由的系数为得，并代入上式可得的系数依此类推便有，故线性无关又的维数为,于是为的基。

方法三利用定理：数域上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。

例4设，证明：由实数域上的矩阵的全体实系数多项式组成的空间与复数域作为实数域上的线性空间同构，并非求它们的维数。

证明中任一多项式可记为，建立到的如下映射易证是到上的单射，满射即一一映射。

再设，则有故是到的同构映射，所以到同构另外，易证的一个基为，，故方法四利用以下结论确定空间的基：设与是维线性空间中两组向量，已知可由线性表出：令如果为的一组基，那么当且仅当可逆时，也是的一组基。

例5已知是的一组基，证明也是的一组基。

证明因为且所以也为的一组基。

方法五如果空间中一向量组与中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基。

例6设表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明为这空间的一组基。

证明则解得于是线性无关，它们皆可由线性表示，因此与等价，从而中任意多项式皆可由线性表示，故为的基。

基与维数的基本概念与应用

基与维数的基本概念与应用线性代数是现代数学中非常重要的一部分，而作为线性代数的基本概念之一，基与维数在很多领域中都有着重要的应用和作用。

在本文中，我们将着眼于基与维数的基本概念和应用，希望能够给读者带来全面且深入的了解。

基的概念基是线性空间的一个基本概念。

在线性代数中，所谓线性空间就是一个向量空间的特殊情形，向量空间由向量组成，这些向量可以用数字来表示。

而基就是指这些向量的数量最少的子集，这个子集中的向量可以表示出这个向量空间中的其他所有向量。

具体来说，基的定义是：如果一个向量空间V中的向量集S有以下两个性质：1. 向量集S中的向量是线性无关的；2. 向量集S中的任意向量都可以用向量集S中的有限个向量线性组合表示（即，对于任意一个向量v∈V，都存在一组系数a1,a2,……,an使得v=a1s1+a2s2+……+ansn，其中si∈S，ai∈K，K是所在域）那么，S就是V的一个基。

基的一些性质包括:1. 基是线性无关的。

2. 基中的任意向量都不可由其他向量线性组合得到。

3. 维数相同的向量空间会有同样数量的基。

4. 所有向量空间都有基，包括零向量空间。

维数的概念维数是向量空间的另一个重要概念。

在数学中，向量空间的维数是指基中向量的数量的大小。

具体来说，如果一个向量空间V有一个n个线性无关向量的基，那么V就称为一个n维向量空间。

维数可以理解为空间中向量的独立自由度，向量空间的维数可以用来区分不同的向量空间，也用来确定矩阵的秩等重要性质。

基的应用基作为线性代数中的基本概念，应用十分广泛。

以下列举了一些基的应用：1. 矩阵乘法：矩阵乘法的前提是两个矩阵的行列数满足要求。

具体来说，矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数。

而每一个矩阵可以看做是向量空间中向量的组合，因而矩阵的乘法实际上就是向量之间的线性组合，而基恰好是向量的组合表示。

2. 解方程组：在线性代数中，矩阵可以看做是线性方程组的系数，而矩阵的秩和向量空间的维数有密切关系。