中考培优中考综合题面积平分问题

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陕西中考数学25题型总结(无答案)

类型一面积平分问题一、借助三角形中线平分图形面积1. 请在图中过点A作一条直线，使它平分ABC的面积.2. 如图，点D是ABC边AC上的一定点，取BC的中点M，连接DM，过点A作AE∥DM交BC于点E，作直线DE. 求证：直线DE平分ABC的面积.3. 如图，四边形ABCD是某商业用地示意图. 现准备过点A修一条笔直的道路（其占地面积不计），使其平分四边形ABCD的面积. 请你在图中作出这条路所在的直线，写出做法，并说明理由.4. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点. 如果AB=, CD=，且，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，请说明理由.5. 请你在图①中作出一条直线，使它将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；在图②中作出两条直线，使它们将圆O四等分.6. 如图①，点M是矩形ABCD内一定点. 请你在图①中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分为面积相等的两部分；如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分.7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，DC⊥BC，OB⊥BC，OB=6，BC=4，CD=4，开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处. 为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路的宽度不计），并且使这条路所在的直线将四边形OBCD分成面积相等的两部分. 你认为直线是否存在？若存在，求出直线的表达式；若不存在，请说明理由.类型二面积最值问题1. 如图请你利用作位似图形的方法，在R tABC中，作出两边分别落在两直角边上的与正方形CNPM位似的最大正方形CN`P`M`2. 如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上. 在边长为（3+）的正三角形ABC 及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E`F`P`N`，且使正方形E`F`P`N`的面积最大，并求此时正方形的边长3、如图，在边长为（3+）的正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由。

中考25题常考类型------面积均分问题

中考 25 题常考类型 ------ 面积均分问题本节课讲了两种类型，第一种三角形和不规则四边形面积均分问题；第二种特殊的四边形面积均分问题。

在讲三角形面积均分时学生很容易就理解三角形的中线就能均分三角形面积。

但是在具体的题中要求过三角形一边的某一个定点均分三角形面积。

这道题学生觉得有难度，需要老师架一个梯度，帮助学生突破这种过定点等分的情形，其中需要用到蝴蝶模型，所以在讲过定点面积等分问题前给学生铺垫了蝴蝶模型。

即就是平行线剪的三角形面积相等，借助同底等高，不仅可以面积相等，还可以根据平行线做的位置不同转变三角形的位置。

引入：等腰三角形面积等分---一般三角形面积等分得到结论：三角形的中线能够等分三角形的面积。

师：在没有任何条件限制下，等分三角形面积我们知道找三角形中线即可。

那么要是有条件限制呢？比如过三角形ABC一边BC上的一定点P的直线如何等分三角形面积？先抛出问题，引发学生独立思考，再进行小组合作。

师：在解决这个问题前我们先来看一个模型---蝴蝶模型。

引入蝴蝶模型。

小结：我们发现蝴蝶模型存在等积转化的方法，即可以构造平行线，转化面积。

师：我们思考这个问题，已经会用中线等分面积了，那如何使得过定点的直线等分三角形面积？生：（思考中）生：（小组合作中）生：我考虑借助蝴蝶模型进行等积转化。

师：很好，给其他同学也提供了思路，可以朝这个方向思考。

再思考蝴蝶模型在什么线中产生的？生：平行线中产生，所以要构造平行线。

师：很棒，那么我们是等积转化，如何转化？在什么情况下可以转化成等分面积的情形呢？生：在已知中线可以等分面积的基础上，考虑结合中点构造平行线和蝴蝶模型。

生：我连接AP，取BC边上的中点M，连接AM，过M作MD平行于AP交AB于点D，连接DP，构造平行线，得到等积模型，从而得到三角形APM和三角形ADP面积相等，将这两个三角形面积进行转化，得到四边形DPCA的面积等于三角形AMC的面积，即就是四边形DPCA的面积等于三角形ABC的一半，即直线DP即为所求的直线。

中考压轴题全解——解答题之面积问题

中考压轴题全解——解答题之面积问题
中考压轴题全解——解答题之面积问题
一、面积最大值
当一个三角形（或其他多边形）的形状或大小发生变化时，会产生面积变化。

利用已知条件求出变化过程中该三角形的面积。

主要有以下几种方法：
•1.直接法求三角形面积
•2.补全法求三角形面积
•3.分制法求三角形面积
•4,平移法求三角形面积
二、面积最小值
面积最小问题是指一个图形在变化过程中，面积存在一个最小值。

通常情况下，三角形有一条边不变，只要使得这条边上的高的值最小即可。

三、图形面积比值
四、重叠部分面积
当对一个图形进行平移、旋转或轴对称变换时，与另外一个图形产生的重叠部分面积会发生变化。

求两个图形重叠部分面积时，通常要找出临界位置，画出图形，再分别求出相应的面积即可。

五、面积大加、减、乘、除
666。

中考数学专题探究面积问题(2)(含详细解答)

中考数学专题----面积问题〔2〕面积倍分问题面积问题在中考中占有很重要的地位，一般情况下，计算一些根本图形的面积，可以直接运用图形的面积公式，对于一些不规那么的图形面积的计算，可以对图形进行转化，这类问题虽然解题方法比较灵活多样，但难度一般不太大。

但是，在中考压轴题中，有关面积的问题常常以动态的方式出现，经常与函数知识联系起来，有时还需要分类讨论。

因此，对考生要求较高，在解题时，要注意分清其中的变量和不变量，并把运动的过程转化成静止的状态，做到动静结合，以静求动。

中考数学面积问题的考点主要有：〔1〕面积的函数关系式问题；〔2〕面积的最值问题；〔3〕面积的倍分问题。

前二个考点在上次的专题中已经讲过，今天我们来探究面积的倍分问题。

一、典型例题： 1、〔2021江苏扬州〕如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米〔3a >〕．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．〔1〕假设4a =厘米，1t =秒，那么PM =______厘米；〔2〕假设5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；〔3〕假设在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；〔4〕是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？假设存在，求a 的值；假设不存在，请说明理由．分析：问题〔1质也容易解决，问题〔3出t 和a 的关系式，利用t 要在问题〔3〕的根底上，让梯形积相等即可。

解．〔1〕34PM =，〔2〕2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 〔3〕PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--==，，当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=N2)(2)(3)(3t t t a a t t a a t a t ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-⎪⎭⎫⎝⎛+--=化简得66a t a =+，3t ≤，636aa∴+≤，那么636a a ∴<≤，≤，〔4〕36a <≤时，梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，那么CN PM =()3t a t t a ∴-=-，把66a t a=+代入，解之得a =±a = 所以，存在a，当a =PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．温馨提示：此题考查与面积有关的问题，解答的关键是将梯形的面积相等转化后求解，另外，在解决这一类问题时，要善于运用数形结合的思想，把几何条件转化，建立适宜的数学模型，此题就充分运用了方程的思想。

2023年中考数学专题复习：二次函数综合题(面积问题)

2023年中考数学专题复习：二次函数综合题（面积问题）1．如图所示，二次函数22y x x m =-++的图像与x 轴的一个交点为A （3，0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)求点B 、点C 的坐标；(3)若抛物线的顶点是M ，求△ACM 的面积．2．如图，抛物线2y x bx c =++经过()1,0A -、()4,5B 两点，点E 是线段AB 上一动点，过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段EF 的最大值；(3)抛物线与x 轴的另一个交点为点C ，在抛物线上是否存在一个动点P ，使得25ACP ABC S S ∆∆=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数23y ax bx=++的图像与x正半轴相交于点B，负半轴相交于点A，其中A点坐标是（－1，0），B点坐标是（3，0）．(1)求此二次函数的解析式；(2)如图1，点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作PD x⊥轴于点D，交线段BC于点E，线段BC把△CPD 分割成两个三角形的面积比为1∶2，求P点坐标；(3)如图2，若点H在抛物线上，点F在x轴上，当以B、C、H、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．4．如图，已知直线y＝43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-12x2+bx+c经过点A（-2，0）．与点C（0，4）．与x轴的正半轴交于点B．(1)求抛物线的表达式；(2)如果D是抛物线上一点，AD与线段BC相交于点E，且AD将四边形ABDC分成面积相等的两部分，求DE AE的值；(3)如果P是x轴上一点，∠PCB=∠ACO，求∠PCO的正切值．6．如图，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点.C 连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为抛物线在第三象限的一个动点，PM x ⊥轴于点M ，交AC 于点G ，PE AC ⊥于点E ，当PGE 的面积为1时，求点P 的坐标；(3)如图2，若Q 为抛物线上一点，直线OQ 与线段AC 交于点N ，是否存在这样的点Q ，使得以A ，O ，N 为顶点的三角形与ABC 相似．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．8．如图，二次函数23y ax bx =++的图象经过点A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数23y ax bx =++图象上有一动点P ，x 轴正半轴上有一点D ，且OD =2，当S △PCD =3时，求出点P 的坐标；(3)若点M 在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD 为直角边的Rt MCD ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+4x +c 与直线AB 相交于点A (0，1)和点B (3，4)．(1)求该抛物线的解析式；(2)设C 为直线AB 上方的抛物线上一点，连接AC ，BC ，以AC ，BC 为邻边作平行四边形ACBP ，求四边形ACBP 面积的最大值；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y =a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，是否存在点E 使得△ADE 是以AD 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出．．．．点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴的交点为C ()0,3-，顶点为()1,4D -．(1)求抛物线的表达式；(2)若平行于x轴的直线与抛物线交于M，N两点，与抛物线的对称轴交于点H，若点H到x轴的距离是线，求线段MN的长；段MN长的12(3)若经过C，D两点的直线与x轴相交于点E，F是y轴上一点，且AF∥CD，在抛物线上是否存在点P，使直线PB恰好将四边形AECF的周长和面积同时平分？如果存在, 求出点P的坐标；如果不存在，请说明理．11．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．(1)求该抛物线和直线BC的解析式；(2)设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣2，0）、B （6，0）两点，与y 轴交于点 C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为（4，3）．(1)求抛物线的解析式与直线l 的解析式；(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接P A 、PD ，求△P AD 面积最大值；(3)由（2）并求出点 P 的坐标．13．已知抛物线2y ax c =+过点()2,0A -和()1,3D -两点，交x 轴于另一点B ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点P 是BD 上方抛物线上一点，连接AD ，BD ，PD ，当BD 平分ADP 时，求P 点坐标；(3)将抛物线图象绕原点O 顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M ，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E 、F 是旋转前后抛物线的交点．①直线EF 的解析式是______；②点G 、H 是“心形”图案上两点且关于EF 对称，则线段GH 的最大值是______．14．如图，抛物线2142y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线AC 的函数表达式；(2)若D 是第一象限内抛物线上一动点，且△BCD 的面积等于△AOC 的面积，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，连接AD ，试判断在抛物线上是否存在点M ，使∠MDA ＝∠ACO ？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y x b =+与x 轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点B ，过A ，B 两点的抛物线交x 轴于另一点C ，且2OA OC =，点F 是直线AB 下方抛物线上的动点，连接F A ，FB ．(1)求抛物线解析式；(2)当点F 与抛物线的顶点重合时，ABF 的面积为______；．(3)求四边形F AOB 面积的最大值及此时点F 的坐标．(4)在（3）的条件下，点Q 为平面内y 轴右侧的一点，是否存在点Q 及平面内另一点M ，使得以A ，F ，Q ，M 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．16．抛物线224y ax ax =--交x 轴于(2,0)A -、B 两点，交y 轴于C ；直线AD 交抛物线于第一象限内点D ，且D 的横坐标为5，(1)求抛物线解析式；(2)点E 为直线AD 下方抛物线上一动点，且21ADE S =，求点E 的坐标；(3)抛物线上是否存在点P ，使PCO DAO CBO ∠+∠=∠，若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，3OA =，4OC =，抛物线24y ax bx =++经过点B ，且与x 轴交于点()1,0D -和点E ．(1)求抛物线的表达式：(2)若P 是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP ，PE ，当四边形OCPE 的面积最大时，求点P 的坐标，此时四边形OCPE 的最大面积是多少；(3)若N 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M ，使以点C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，抛物线与x 轴交于点()2,0B -、()4,0C 两点，与y 轴交于点()0,2A ；(1)求出此抛物线的解析式；(2)如图1，在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求AMC S △的最大值；(3)如图2，将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围；19．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，OA =OC =3．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 为直线AC 下方抛物线上一点，连接BP 并交AC 于点Q ，若AC 分ABP △的面积为1：2两部分，请求出点P 的坐标；(3)在y 轴上是否存在一点N ，使得45BCO BNO ∠+∠=︒，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知二次函数2(0)y x bx c a =++≠的图像与x 轴的交于A 、(1,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -．(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；(2)D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．答案1．(1)2y x 2x 3=-++(2)()0,3C 、()1,0B -(3)32．(1)223y x x =-- (2)254(3)存在，点P 的坐标为(12)或(12)+或()12-或(12)-3．(1)2y x 2x 3=-++(2)P 点坐标115(,)24或(2,3)(3)F 点坐标为：(1,0)、(5,0)、)2,0、()2-4．(1)y ＝﹣43x 2﹣83x +4 (2)S 最大＝252，D （﹣32，5） (3)存在，Q （﹣2，198）5．(1)抛物线解析式为y =-12x 2+x +4； (2)14DE AE =； (3)∠PCO 的正切值13或3．6．(1)223y x x =+-(2)()14P --，或()23--，(3)存在，坐标为⎝⎭或⎝⎭或或(-7．(1)2142y x x =+- (2)24=--S m m ，4(3)()4,4Q -或(2-+-或(2--+或()4,4-8．(1)2+23y x x =-+(2)P 1（32，154），P 2（2，3）(3)存在点M 其坐标为1M 43539（，）或2M9．(1)241y x x =-++ (2)274(3)存在，E （4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．10．(1)223y x x =--(2)1或1-(3)在抛物线上存在点3(4P -，15)16-，使直线PB 恰好将四边形AECF 的周长和面积同时平分11．(1)y ＝﹣12x 2+4x ﹣6，y ＝32x ﹣6 (2)152(3)存在，点Q 的坐标为（4，﹣2）12．(1)（1）y =-14x 2+x +3，y =12x +1 (2)274(3)(1,154)(2)232,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)①y x =； 14．(1)A (－2，0)，B (4，0)，C (0，4)，24y x =+(2)(2，4)(3)存在，(－23，289)或(－6，－20)15．(1)2142y x x =-- (2)3(3)FAOB S 四边形有最大值12，此时点F 的坐标为()2,4-(4)存在，点Q 的坐标()18,2Q -，()26,6Q -，()35,3Q -，()41,1Q -16．(1)2142y x x =-- (2)191,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭；E 2（2，-4） (3)存在，（8，20）17．(1)y ＝－x 2＋3x ＋4(2)P （2，6）；四边形OCPE 的面积最大为16(3)存在； M 113,28⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 252728,⎛⎫ ⎪⎝⎭或M 355,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 453,22⎛⎫- ⎪⎝⎭18．(1)211242y x x =-++ (2)2(3)34m -≤-或32m -≤(2)（-2，-3）或（-1，-4）(3)（0，2）或（0，-2）20．(1)223y x x =+-，(3,0)A - (2)315,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)存在，(2,3)--或(0,3)-或(2,5)。

中考培优-中考综合题-------面积平分问题

中考综合题-------面积平分问题破解策略等分图形面积的过程中，常用等积变换法，等积变换的基本图形为：如图，12l l ∥，点123A A A ，，在上，点B ，C 在上，则123A BC A BC A BC S S S ∆∆∆==．图形等分面积的常见类型有：（1）已知：△ABC ．作法：作中线AD ．结论：直线AD 平分△ABC 的面积．（2）已知：平行四边形ABCD ．作法：过对角线交点O 作直线．结论：过点O 的直线平分平行四边形ABCD 的面积．（3）已知：梯形ABCD ，AD ∥BC ．作法：过中位线EF 中点O （或上、下底边中点连线HG 的中点O ）作直线，且与上、下底均相交．结论：过点O 且与上、下底均相交的直线平分梯形ABCD 的面积．（4）已知：△ABC ，P 为AC 边上的定点．作法：作△ABC 的中线AD ，连结PD ，过点A 作AE ∥PD ，交BC 于点E ．结论：直线PE 平分△ABC 面积．（5）已知：四边形ABCD ．作法：连结AC ，过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，连结AE ，作△ABE 的中线AF ．结论：直线AF 平分平行四边形ABCD 的面积．（6）已知：四边形ABCD ，点P 为AD 上的定点．作法：连结PB ，PC ．作AE ∥PB ，DF ∥PC ，分别交直线BC 于点E ，F ，连结PE ，PF ，作△PEF 的中线PG ．结论：直线PG 平分四边形ABCD 的面积．（7）已知：五边形ABCDE ．作法：连结AC ，AD ，作BF ∥AC ，EG ∥AD ，分别交直线CD 于点F ，G ，连结AF ，AG ，作△AFG 的中线AH ．结论：直线AH 平分五边形ABCDE 的面积．进阶训练1．如图，已知五边形ABOCD 各定点坐标为A （3，4），B （0，2），O （0，0），C （4，0），D （4，2），请你构造一条经过顶点A 的直线，将五边形ABOCD 平分为面积相等的两部分，并求出该直线的表达式．答：如图：AD21直线的表达式为843y x =-．【提示】连结AO ，作BM ∥AO 交x 轴于点M ，连结AC ，作DN ∥AC 交x 轴于点N ，取MN 中点F ，则直线AF 将五边形ABOCD 分为面积相等的两部分．作AH ⊥x 轴于点H ，则△BMO ∽△AOH ，可得点M 的坐标．同理可得点N 的坐标．从而求得点F 的坐标．确定直线AF 的表达式．2．过四边形ABCD 的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD 的面积分成1：2的两部分．答：如图：【提示】连结AC ，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ，取BE 的一个三等分点F 或G ，则直线AF 或AG 即为所求． 3．设w 是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与w 的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为w 的“化方”．（1）阅读填空如图1，已知矩形ABCD ，延长AD 到点E ，使DE ＝DC ，以AE 为直径作半圆，延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．理由：连结AH ，EH ．因为AE 为直径，所以∠AHE ＝90°，所以∠HAE ＋∠HEA ＝90°．因为DH ⊥AE ，所以∠ADH ＝∠EDH ＝90°．所以∠AHD ＝∠HED ，所以△ADH ∽．所以AD DH DH DE=，即2=DH AD DE ⋅ 因为DE ＝DC ，所以2DH ＝，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是：先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图2，请作出与平行四边形ABCD 等积的正方形（不要求写出具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图3，△ABC 的顶点再正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）． 3．（1）△HDE ；AD ·DC ；（2）作图如下：（3）矩形；作图如下：（4）作图如下：【提示】（2）作法：①分别过点A ，D 作直线BC 的垂线，垂足分别为11B C ，； ②延长AD 至点E ，使得1DE DC =； ③以AE 为直径作半圆；图2DCBA图1HGFED C B A11AD EFGHEGFABCDDCBA④延长1C D交半圆于点H；⑤以DH为边向右作正方形DFGH．则正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．（3）作法：①作△ABC的中位线MN；②分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为E，D；③延长BC至点F，使得CF＝CD；④以BF为直径作半圆；⑤延长DC交半圆于点G；⑥以CG为边向右作正方形CGHI．则正方形CGHI与△ABC等积．（4）作法：①连结BD，过点A作AE∥BD交CD的延长线于点E；②作△EBC的中位线MN；③分别过点B，C作MN的垂线，垂足分别为F，G；④延长BC至点H使得CH＝CG；⑤以BH为直径作半圆；⑥延长GC交半圆于点I；⑦以CI为边向右作正方形CIJK．则正方形CIJK 与四边形ABCD等积．n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把村边形转化，为等积的”1边形．…一直至转化为等积的三角形，从而实现化方．如图4，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的正方形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作圈）练习题1．问题探究：（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．问题解决：（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b ＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．AB CAB CD2．探索发现：（1）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为S，则△ACD 的面积为．联系拓展：（2）在图2中，E、F分别是▱ABCD的边AB、BC的中点，若▱ABCD的面积为S，求四边形BEDF的面积？并说明理由．（3）在图3中，E、F分别是▱ABCD 的边AB、BC上的点，且AE=AB，BF=BC，若▱ABCD的面积为S，则四边形BEDF的面积为．解决问题：（4）如图4中，矩形ABCD中，AB=nBC（n为常数，且n＞0）．E是AB边上的一个动点，F是BC边上的一个动点．若在两点运动的过程中，四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的，请探究线段AE、BF 应满足怎样的数量关系，并说明理由．3．如果图1，已知直线m∥n，A、B为直线n上两定点，C、D为直线m上两动点，容易证明：△ABC的面积=△ABD的面积；问题探究（1）在图2中画出与四边形ABCD面积相等且以AB为一条边的三角形．（2）在图3中，已知正方形ABCD的边长为4，G是边CD上一点，以CD为边作正方形GCEF，当CG=a 时，求△BDF的面积．问题解决（3）李大爷家有一块正方形的果园如图4所示，由于修建道路，图中三角形BCE区域将被占用，现决定在DE右侧补给一块土地，补偿后，果园将调整为四边形ABMD，要求补偿后的四边形ABMD的面积与原来形正方形ABCD的面积相等且M在射线BE上．请你在图4中通过画图来确定M点的位置，并简要叙述画法和理由；若AB=4，CE=a，求出上图中tan∠MDC的值．4．问题提出（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为；问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．问题解决（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）5．提出问题：爸爸出差回家带了一个分布均匀的等腰三角形蛋糕礼物给儿子（如图1，AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，双胞胎儿子大毛和小毛决定只切一刀将这块蛋糕平分吃（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）大毛很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮大毛在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小毛觉得大毛的方法很好，所以自己模仿着在蛋糕上过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小毛会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（用图2说明）（3）若AB=BC=5cm，AC=6cm，如图3，你能找出几条△ABC的“等分积周线”，请分别画出，并简要说明确定的方法．6．（1）请在图①中画出与△ABC面积相等的三个三角形：△ABC1、△ABC2、△ABC3，其中点C1、C2、C3为△ABC所在平面上异于点C的三个不同点；（2）请在图②中射线BC上通过画图确定一点E，使得S△ABE =S四边形ABCD，并简要叙述画法和理由；问题解决（4）李大爷家有一块果园如图③中的四边形ABCD，由于修路，图中三角形CEF区域将被占用，现决定在DF的右侧补给他一块土地，要求补偿前后的总面积不变，已知∠A=135°，∠B=60°，∠D=105°，AB=350m，BE=（100+50）m，CF=300m，DF=100m，若所补区域为三角形DFG，且点G在射线EF上，请求出符合条年的FG的长度．7．问题探究（1）如图1，点E为矩形ABCD内一点，请过点E作一条直线，将矩形ABCD的面积分为相等的两部分；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为对角线AC上一点，且AC=3AP，请问在边CD上是否存在一点E，使得直线PE将矩形ABCD的面积分为2：3两部分，如果存在求出DE的长；如果不存在，请说明理由；解决问题（3）如图3，现有一块矩形空地ABCD，AB=80米，BC=60米，P为对角线AC上一点，且PC=3AP，计划在这块空地上修建一个四边形花园AECF，使得E、F分别在线段AD、AB上，且EF经过点P，若每平方米的造价为100元，请求出修建该花园所需费用的范围（其他费用不计）．8．平面上有三点M、A、B，若MA=MB，则称点A、B为点M的等距点．问题探究：（1）如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为AB上一点，试在AC上确定一点Q，使点P、Q 为点A的等距点；（2）如图②，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P是AD边上一定点，试在BC边上找点Q，使点P、Q为点O的等距点，并说明理由．问题解决：（3）如图③，在正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上一动点，在边CD上是否存在点Q，使点B、Q为点P的等距点，同时使四边形BCQP的面积为正方形ABCD面积的一半？若存在这样的点Q，求出CQ 的长；若不存在，说明理由．9．提出问题在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．探究问题（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=4，请你过点C画出△ABC的一条“等分积周线”，与AB交于点D，并求出CD的长；（2）如图②，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，过点C画一条直线CE，其中点E为AB上一点，你觉得CE可能是△ABC的“等分积周线”吗？请说明理由；解决问题（3）西安市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处．在某地的街心花园中有一块如图③所示的空地ABCD，其中∠A=∠B=90°，AB=4，BC=6，CD=5，现要在这块空地上修建一条笔直的水渠（渠宽不计），使这条水渠所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积，且要求这条水渠必须经过BC边．请你画出所有满足条件的水渠，说明理由，并求出该水渠与BC边的交点到点B的距离．10.我们定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．（1）如图1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，请你在图1中用尺规作图作出△ABC的一条“等分积周线”；（2）在图1中，过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法‘若不能，请说明理由．（3）如图2，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=3，BC=8，CD=5．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；（4）如图3，在△ABC中，AB=BC=6cm，AC=8cm，请你不过△ABC的顶点，画出△ABC的一条“等分积周线”，并说明理由．。

中考几何平分面积问题方法总结

中考几何平分面积问题方法总结1、三角形的面积平分①三角形的中线将三角形面积平分②构造以下模型，通过等面积转换，作出面积平分线如图，在梯形ABCD中，易证△OAB和△OCD面积相等，我们不妨称之为“蝴蝶模型”。

构造蝴蝶模型的关键点：平行线构造蝴蝶模型的目的：等面积转换例1、如图，过△ABC的底边BC上一定点P，求作一直线l，使其平分△ABC的面积.简答：取BC中点M，连接AM，则△ABM和△ACM的面积相等，连接AP，过M作AP的平行线MN，构造“蝴蝶模型”如图，∵△OAN和△OPM面积相等，∴△BNP和四边形ACPN面积相等。

2、平行四边形的面积平分结论1：过平行四边形中心的任意一条直线，平分该平行四边形的面积。

结论2：任何图形，只要能找到它的中心，那么过中心的直线平分这个图形的面积。

例2、如图平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点，过点P求作一条直线，使其平分平行四边形ABCD的面积。

简答：连接BD、AC交于O点，则直线PO即为所求作的直线。

可用全等证明，过程略。

例3、现有如图的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮师傅设计三种不同的分割方案.简答：如图所示，三种方法都是取大小两个平行四边形的中心，连接即可。

3、梯形的面积平分结论1：梯形上下底中点的连线平分该梯形的面积。

结论2：过梯形上下底中点的连线的中点，且与上下底有交点的直线，平分该梯形的面积。

例4、如图：五边形ABCDE可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线，使直线平分五边形ABCDE的面积；⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.简答：（1）取梯形上下两底中点连线的中点O，取矩形的中心P，则直线OP即为所求作直线l；（2）这样的直线有无数条，设直线l与AE交于M，与BC交于N，取MN中点G，则过G点且与线段AE、BC均有交点的直线平分五边形ABCDE的面积。

中考数学专题综合与实践试题演练

专题三综合与实践类型一面积平分问题试题演练1. (1)如图①，已知△ABC ，在BC 上找一点D ，连接AD ，使得AD 平分BC ；(2)如图②，已知直线l 1∥l 2，点A 和点B 分别为直线l 2上两定点，在直线l 1上任取两点M 、N ，连接AM 、AN 、BM 、BN ，AN 与BM 交于点P ，则S △AMP ________S △BNP (用“＞”、“＜”或“＝”表示)；(3)如图③，已知一块Rt △ABC 花园中，∠BAC ＝90°，AC ＝40米，BC ＝50米，AD 为花园内平分花园面积的一条小路(小路宽度忽略不计)，现在要从AB 边上的水源E 点处向BC 边上拉一条笔直的水管，且要使得水管两边的花地面积相等，已知E 点距离A 点为10米，现有与AB 等长的水管，问该水管是否够用？第1题图2. (2019西安交大附中模拟)问题探究(1)如图①，在平面直角坐标系内，M 是边长为4的正方形ABCO 边上一点，请过点M (0，3)作一条直线，使它将正方形的面积平分，求这条直线的解析式；(2)如图②，在平面直角坐标系中有A (1，4)，B (4，0)两点，请过点C (3，43)作一条直线将△ABO 的面积平分，求这条直线的解析式；问题解决(3)农民张伯伯有一块四边形空地如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝2km ，BC ＝4km.∠BAD ＝90°，∠BCD ＝90°，∠ABC ＝120°，张伯伯想过点C 修一条路将四边形ABCD 的面积分为相等的两部分，这样的路是否存在？若存在，求出路的长度；若不存在，请说明理由．第2题图3. 问题探究(1)请在图①中作两条直线，使它将半圆O 的面积三等分；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，请在图②中过点A作两条直线，使它们将矩形ABCD 的面积三等分，并说明理由；问题解决(3)如图③，李师傅有一块平行四边形ABCD的菜地，其中AB＝AC＝100米，BC＝120米，菜地A处有一用来灌溉的水源．李师傅现准备修两条笔直的小路将菜地面积三等分后给自己的三个儿子，要求三个儿子能在灌溉时共用A处水源，那么李师傅能否实现自己的想法？若能，请通过计算、画图说明；若不能，请说明理由．第3题图4. (2019陕西黑马卷)问题提出(1)如图①，已知直线a∥b，点A、B是直线a上不同的两点，分别过点A、B作AC⊥b，BD⊥b，垂足记为点C、D，则线段AC和线段BD的数量关系为AC____BD；(填“＞”，“＜”或“＝”)问题探究(2)如图②，在△ABC中，点M、N分别是AB、AC的中点，过点A作直线a∥BC，点P是直线a上的任意一点，连接PM、P N、MN，若四边形BCNM的面积为3，则△PMN的面积为________；问题解决(3)如图③，有一块四边形空地ABCD, AD∥BC，∠B＝60°，AB＝10米，AD＝30米，BC＝8米，点E 是BC上一点，且BE＝2米．市政为了美化城市，计划将这块空地改造成一片牡丹园，为了方便行人行走，计划在牡丹园中间过点E修一条笔直的小路(路的宽度不计)，使得小路的另一出口在AD上的点F处，且EF恰好将四边形ABCD的面积平分．请你帮助市政设计出小路EF的位置(在图中画出EF)，并求EF的长(结果保留根号)．第4题图类型二面积最值问题(2012、2011.25)试题演练1. (2012陕西25题12分)如图，正三角形ABC的边长为3＋ 3.(1)如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；(3)如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．第1题图2.在正方形ABCD中，AB＝100，点E、F分别在边AB、BC上，且∠EDF＝45°.问题探究(1)如图①，请直接写出线段AE，EF，CF之间的数量关系：________；(2)如图②，若AE＝25，求四边形DEBF的面积；问题解决(3)如图③，AB＝100 m，公园设计部门为了给儿童提供更舒适、更安全的活动场地，准备将正方形空地中的DEBF部分作为儿童活动区，并用围栏围起来，只留三个出入口，即点D、E、F，将儿童活动区(即四边形DEBF)划分为△DEF和△BEF两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草，则是否存在一种设计方案，使得儿童活动区面积最大？若存在，求出儿童活动区面积的最大值；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2019陕师大附中模拟)发现问题(1)如图①，直线a∥b，点B、C在直线b上，点D为AC的中点，过点D的直线与a，b分别相交于M、N两点，与BA的延长线交于点P，若△ABC的面积为1，则四边形AMNB的面积为________；探究问题(2)如图②，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠DAC ＝13∠BAC ，DA ＝2，求△ABC 面积的最小值；拓展应用(3)如图③，矩形花园ABCD 的长AD 为400米，宽CD 为300米，供水点E 在小路AC 上，且AE ＝2CE ，现想沿BC 上一点M 和CD 上一点N 修一条小路MN ，使得MN 经过E ，并在四边形AMCN 围城的区域内种植花卉，剩余区域铺设草坪，根据项目的要求种植花卉的区域要尽量小．请根据相关数据求出四边形AMCN 面积的最小值，及面积取最小时点M 、N 的位置．(小路的宽忽略不计)第3题图类型三线段最值问题(2018、2016、2015.25)1. 问题探究(1)如图①，点E 是正△ABC 高AD 上的一定点，请在AB 上找一点F ，使EF ＝12AE ，并说明理由；(2)如图②，点M 是边长为2的正△ABC 高AD 上的一动点，连接CM ，求12AM ＋MC 的最小值；问题解决(3)如图③，A 、B 两地相距600 km ，AC 是沿东西方向向两边延伸的一条笔直的铁路．点B 到AC 的最短距离为360 km.今计划在铁路线AC 上修建一个中转站M ，再在BM 间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A 到M 再通过公路由M 到B 的总运费最少，请确定中转站M 的位置，并求出AM 的长．(结果保留根号)第1题图2. 问题探究(1)如图①，试在线段BC 上画出点E 使得AE ＋DE 的值最小；(2)如图②，∠B ＝30°，点D 在射线BC 上，且BD ＝10，E 、F 分别为射线BA 、BC 上的两个动点，试求DE ＋EF 的最小值；问题解决：(3)如图③，C 、A 、B 三个城市由三条主道路AC 、AB 、BC 连接，已知AC ＝62，∠A ＝45°，AB ＝10，为缓解因汽车数量“井喷式”增长而导致的交通拥堵，增加人们出行的幸福指数，省规划厅计划分别在线段BC 、AB 、AC 上选取D 、E 、F 处开口修建便捷通道．请说明如何选取D 、E 、F 使得DE ＋EF ＋FD 最小，并请求出该最小值．第2题图3. 问题提出(1)如图①，点M 、N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK ＋NK 最小；问题探究(2)如图②，在等边三角形ABC 内有一点P ，且P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的大小；(3)如图③，矩形ABCD是某公园的平面图，AB＝303米，BC＝60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A、B、C的距离之和最小．是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA＋EB＋EC的最小值；若不存在，请说明理由．第3题图4. (1)如图①，AD是△ABC的中线，则线段AB＋AC________2AD(填“>”、“<”或“＝”)；(2)如图②，在矩形ABCD中，CD＝3，BC＝4，点E为BC的中点，若点F为CD上任意一点，试确定CF为何值时，△AEF的周长最小；(3)如图③，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P为AB上任意一点，Q为AC上任意一点，连接PO、BQ、P Q.若AC＝2，BC＝1，则当点Q在线段AC上何处时，OP＋PQ＋QB取得最小值．第4题图类型四辅助圆问题(2014～2019.25)1.问题提出(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为________；(2)如图②，已知矩形ABCD ，AB ＝4，AD ＝6，点E 为AD 的中点，以BC 为直径作半圆O ，点P 为半圆O 上一动点，求E 、P 之间的最大距离；问题解决(3)某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD 和弦CB 所对的劣弧组成的，果园主人现要从入口D 到弧BC ︵上的一点P 修建一条笔直的小路DP .已知AD ∥BC ，∠ADB ＝45°，BD ＝1202米，BC ＝160米，过弦BC 的中点E 作EF ⊥BC 交弧BC ︵于点F ，又测得EF ＝40米．修建小路平均每米需要40元(小路宽度不计)，不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？第1题图2. 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；(1)如图①，已知筝形ABCD 的两条对角线长分别为a 、b ，则该筝形的面积为________； (2)如图②，已知△ABC ，BC ＝2，∠BAC ＝45°，求BC 边上的高线AD 的最大值；(3)如图③，现有一边长为6 cm 的正方形木料ABCD ，要利用其直角做一个四边形工件，在其相邻的两条边AB 、BC 上，取它们的三等分点E 、F ，要在木料内找一点G ，使得∠EGF ＝30°，且四边形BFGE 的面积最大．问正方形木料ABCD 内，是否存在符合要求的点G ？若存在，请求出四边形BFGE 面积的最大值；若不存在，请说明理由．第2题图3. 在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠B ＝60°； (1)如图①，已知∠D ＝30°，则∠A ＋∠C ＝________．(2)已知AD ＝3，CD ＝4，在(1)的条件下，利用图①，连接BD ，并求出BD 的长度；(3)如图②，已知∠ADC ＝75°，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，BD ＝6，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧符合如图②所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．第3题图4.问题提出(1)如图①，请在正方形ABCD内画出一个以点C为顶点、BC为腰的等腰三角形CBP；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)如图②，在平面直角坐标系中，已知A(2，0)，B(8，0)，点P是y轴正半轴上一个动点，当∠APB 最大时，求点P的坐标；问题解决(3)某游乐场的平面如图③所示，经测量可知：∠DOC＝60°，OA＝400 m，AB＝200 3 m，场所保卫人员想在线段OD上的一点M处安装监控装置，用来监控OC上的AB段，为了让监控效果达到最佳，必须要求∠AMB最大，请问在线段OD上是否存在这样的一点M？若存在，请求出此时OM的长和∠AMB的度数；若不存在，请说明理由．第4题图5. (2019陕西副题25题12分)问题提出(1)如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC；问题探究(2)如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM. 试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1∶6的两部分．求点N到点M的距离；问题解决(3)如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30 m，BC＝40 m. 根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？(结果保留整数．参考数据：2≈1.4，3≈1.7)第5题图6. (2018西安高新一中模拟)实践探索：(1)如图①，已知线段AB，以AB为弦，在图①中作出一个⊙O；(2)如图②，在矩形ABCD中，AD＝4，点P在边DC上且∠APB＝60°，试判断矩形ABCD的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图③，有一块矩形ABCD的板材，AB＝62＋12，BC＝62＋6，现截去了一块等腰直角三角形ADE，工人想将剩下的板材合理利用，截出一个四边形AMFN，且满足点F在边BC上，CF∶BF＝1∶2，点M在AE上，点N在AB上，∠MFN＝90°，这个四边形AMFN的面积是否存在最大值？若存在，试求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．第6题图参考答案类型一面积平分问题1.解：(1)如解图①，D为BC的中点，连接AD，则AD平分△ABC的面积；第1题解图①(2)＝；【解法提示】∵△ABM 和△ABN 的底边相等，高均为l 1与l 2之间的距离， ∴S △ABM ＝S △ABN ，∵S △AMP ＝S △ABM －S △ABP ，S △BNP ＝S △ABN －S △ABP ， ∴S △AMP ＝S △BNP .(3)∵AD 平分△ABC 的面积，即S △ABD ＝S △ACD ， ∴AD 为斜边BC 上的中线， ∴D 为BC 的中点，如解图②，连接DE ，过点A 作AF ∥DE 交BC 于点F ，连接EF 交AD 于点G ，第1题解图②∵AF ∥DE ，由(2)得S △AEG ＝S △DFG ，∵S △BEF ＝S △ABD －S △AEG ＋S △DFG ，S 四边形AEFC ＝S △ACD －S △DFG ＋S △AEG ， ∴S △BEF ＝S 四边形AEFC ， ∴EF 平分S △ABC ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，∵△ABC 是直角三角形，AC ＝40米，BC ＝50米， ∴AB ＝BC 2－AC 2＝30米， ∵AE ＝10米， ∴BE ＝20米， ∵sin B ＝EH BE ＝AC BC ＝45，∴EH ＝16米，在Rt △BEH 中，∵BE 2＝EH 2＋BH 2， ∴BH ＝12米，∵S △ABC ＝12AB ·AC ＝600(平方米)，EF 平分S △ABC ，∴S △BEF ＝12S △ABC ＝300(平方米)，又∵S △BEF ＝12BF ·EH ，且EH ＝16米，∴BF ＝752米，∴HF ＝BF －BH ＝512米，在Rt △EHF 中，HF ＝512米，EH ＝16米，∴EF ＝HF 2＋EH 2＝51452＞51442＝5×122＝30米＝AB ，∴该水管不够用．2. 解：(1)如解图①，∵四边形ABCO 是正方形，点M 在AO 上，根据中心对称图形面积平分模型，直线必过正方形ABCD 的对称中心，即对角线的交点H ，易知H (2，2)．第2题解图①设直线MH 的解析式为y ＝kx ＋3. ∵直线MH 过点H (2，2)， ∴直线MH ：y ＝－12x ＋3；(2)设直线AB 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1. ∵直线过点A (1，4)，点B (4，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝k 1＋b 10＝4k 1＋b 1，解得⎩⎨⎧k 1＝－43b 1＝163，∴直线AB ：y ＝－43x ＋163，∴C (3，43)在直线AB 上，如解图②.第2题解图②设直线CD 将△AOB 的面积二等分，则S △ADC ＝12S △AOB ＝12×12×4×4＝4.易知直线OA 的解析式为y ＝4x ，如解图②，过点C 作CE ∥x 轴交AD 于点E ， ∴点E 的坐标为(13，43)．∴CE ＝3－13＝83，∴S △ADC ＝CE ·（y A －y D ）2＝4，∴y D ＝1，∴点D 的坐标为(14，1)．设直线CD 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)．将点C (3，43)，D (14，1)代入得，⎩⎨⎧3k 2＋b 2＝4314k 2＋b 2＝1，解得⎩⎨⎧k 2＝433b 2＝3233，∴这条直线的解析式为y ＝433x ＋3233；(3)存在．如解图③，建立平面直角坐标系，使AD 在x 轴上，AB 在y 轴上，过点C 作CG ⊥y 轴，CF ⊥x 轴，过点B 作直线BE ∥AC 交x 轴于点E ，连接CE .由题意，得S 四边形ABCD ＝S △CED ，取DE 的中点H ，连接CH ，直线CH 即为所求直线．第2题解图③在Rt △CGB 中，∠CBG ＝180°－∠ABC ＝60°，BC ＝4， ∴GB ＝2，CG ＝OF ＝23， ∴C (23，4)， ∴OG ＝CF ＝4.在Rt △CFD 中，∠CDF ＝180°－∠ABC ＝60°，CF ＝4， ∴FD ＝433，∴OD ＝1033，设直线AC 的解析式为y ＝k 3x ，∵直线过点C (23，4)， ∴直线AC ：y ＝233x .又∵BE ∥AC ，∴直线BE ：y ＝233x ＋2.当y ＝0时，x ＝－3， ∴E (－3，0)．∴DE ＝OE ＋OF ＋FD ＝1333，易得HF ＝536.在Rt △CHF 中，由勾股定理得CH ＝（536）2＋42＝6516(km )．∴存在这样的路，且路的长度为6516km . 3. 解：(1)作直线如解图①所示；第3题解图①(2)如解图②所示，直线AP 、AQ 即为所求．理由如下：如解图②，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4， ∴矩形ABCD 的面积为12.设过点A 的直线分别交BC 、CD 于点P 、Q ，使直线AP 、AQ 把矩形ABCD 的面积三等分，则S △ABP ＝S △ADQ ＝4，即12×3BP ＝12×4DQ ＝4， ∴BP ＝83，DQ ＝2，∴当BP ＝83，DQ ＝2时，直线AP 、AQ 把矩形ABCD 的面积三等分；第3题解图②(3)李师傅能实现自己的想法．如解图③，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E .∵AB ＝AC ＝100米，BC ＝120米， ∴BE ＝12BC ＝60米，∴在Rt △ABE 中， AE ＝AB 2－BE 2＝80米，∴S ▱ABCD ＝BC ·AE ＝120×80＝9600(平方米)，过点A 作AF ⊥CD ，垂足为点F ， ∵CD ＝AB ＝100米，CD ·AF ＝BC ·AE ， ∴AF ＝BC ·AE CD ＝120×80100＝96(米)．设过点A 的直线分别交BC 、CD 于点P 、Q ，使直线AP 、AQ 把平行四边形ABCD 的面积三等分，则S △ABP＝S △ADQ ＝13×9600＝3200(平方米)，即12BP ·AE ＝12DQ ·AF ＝3200， ∴BP ＝80米，DQ ＝2003米，∴当BP ＝80米，DQ ＝2003米时，直线AP 、AQ 把平行四边形ABCD 的面积三等分．第3题解图③4. 解：(1)＝； (2)1；【解法提示】∵在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，∴MN ∥BC ，MN ＝12BC ，∴S △AMN ＝14S △ABC ，∴S 四边形BCNM ＝3S △AMN ，∵S 四边形BCNM ＝3，∴S △AMN ＝1.又∵直线a ∥BC ，MN ∥BC ，∴直线a ∥MN ，∴S △PMN ＝S △AMN ＝1.(3)如解图，在CD 上取点G ，使得CG ＝DG ，过点G 作HK ∥AB ，交AD 于点H ，交BC 的延长线于点K ，连接BH 、AK ，相交于点O ，连接EO 并延长交AD 于点F ，此时EF 即为所求．第4题解图过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，在Rt △ABQ 中，AB ＝10米，∠ABQ ＝60°， ∴BQ ＝5米，AQ ＝53米． ∵BE ＝2米，∴EQ ＝3米．过点E 作EP ⊥DA 交DA 的延长线于点P ，则四边形EQAP 是矩形， ∴EP ＝53米，AP ＝EQ ＝3米． ∵G 是CD 的中点，CK ∥HD ，∴∠KCG ＝∠HDG ，∠CKG ＝∠DHG ，CG ＝DG . ∴△CKG ≌△DHG (AAS )．∴CK ＝DH ，又由作图及题知HK ∥AB ，AD ∥BC . ∴四边形ABKH 是平行四边形， ∴AH ＝BK .∴AH ＝BC ＋CK ＝BC ＋HD ＝AD －HD . ∴HD ＝12(AD －BC )＝12×(30－8)＝11米．∴AH ＝AD －HD ＝30－11＝19米． ∵FH ＝BE ＝2米， ∴AF ＝AH －FH ＝17米． ∴PF ＝P A ＋AF ＝3＋17＝20米．在Rt △EPF 中，由勾股定理得EF ＝EP 2＋PF 2＝（53）2＋202＝519米．类型二面积最值问题1. 解：(1)如解图①，正方形E ′F ′P ′N ′即为所求；(2分)第1题解图①(2)设正方形E ′F ′P ′N ′的边长为x ， ∵△ABC 为正三角形，∴AE ′＝BF ′＝33x ， ∴x ＋233x ＝3＋3，∴x ＝9＋3323＋3，即x ＝33－3.∴(1)中作出的正方形E ′F ′P ′N ′的边长是33－3；(3)如解图②，连接NE 、EP 、PN ，则∠NEP ＝∠NEM ＋∠PEH ＝90°.第1题解图②设正方形DEMN 、正方形EFPH 的边长分别为m 、n (m ≥n )，它们的面积和为S ，则NE ＝2m ，PE ＝2n . ∴PN 2＝NE 2＋PE 2 ＝2m 2＋2n 2 ＝2(m 2＋n 2)． ∴S ＝m 2＋n 2＝12PN 2.延长PH 交ND 于点G ，则PG ⊥ND .在Rt △PGN 中，PN 2＝PG 2＋GN 2＝(m ＋n )2＋(m －n )2. ∵AB ＝AD ＋DE ＋EF ＋BF ＝33m ＋m ＋n ＋33n ＝3＋3，即m ＋n ＝3，∴①当(m －n )2＝0时，即m ＝n 时，S 最小． ∴S 最小＝(32)2×2＝92.②当(m －n )2最大时，S 最大．即当m 最大且n 最小时，S 最大． ∵m ＋n ＝3，由(2)知，m 最大＝33－3. ∴n 最小＝3－m 最大＝3－(33－3) ＝6－3 3.∴S 最大＝(33－3)2＋(6－33)2＝27＋9－183＋36＋27－363 ＝99－54 3.2. 解：(1)EF ＝AE ＋CF ；【解法提示】如解图①，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCE ′，∴ED ＝E ′D ，∠ADE ＝∠CDE ′，又∵∠EDF ＝45°， ∴∠ADE ＋∠FDC ＝45°，即∠CDE ′＋∠FDC ＝∠E ′DF ＝45°， ∴∠EDF ＝∠E ′DF . 在△DEF 和△DE ′F 中， ⎩⎪⎨⎪⎧ED ＝E ′D ∠EDF ＝∠E ′DF DF ＝DF， ∴△DEF ≌△DE ′F (SAS )， ∴EF ＝E ′F ＝E ′C ＋CF ＝AE ＋CF .(2)如解图②，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°至△DCN ′处，设EF ＝N ′F ＝a (a ＞0)，∵正方形ABCD 的边长为100，∠EDF ＝45°，AE ＝25， ∴BE ＝100－25＝75， ∴BF ＝a 2－752， ∴a ＝100＋25－a 2－752，解得a ＝85，∴S 四边形DEBF ＝S 正方形ABCD －S △DFN ′＝1002－12×85×100＝5750；(3)存在．如解图③，连接AC ，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°至△DCE ″处，由(2)得S 四边形DEBF ＝S 正方形ABCD －S △DFE ″＝10000－50EF ， ∴当EF 最小时，S 四边形DEBF 最大， ∵EF 2＝BE 2＋BF 2， ∴当BE ＝BF 时，EF 最小，此时EF ∥AC ， ∴BE BA ＝EF AC ，即BE 100＝EF 1002， ∴BE EF ＝22， ∴∠EFB ＝45°， ∴BE ＝BF ，∴AE ＝FC ＝BC －BF ＝100－BE ，∴EF ＝E ″F ＝FC ＋CE ″＝200－2BE ＝2BE ，解得BE ＝100(2－2)，∴EF ＝2BE ＝2002－200，∴S 四边形DEBF ＝10000－50×(2002－200)＝20000－10000 2.∴当BE ＝BF ＝100(2－2)m 时，儿童活动区的面积最大，最大面积为(20000－100002)m 2.第2题解图3. 解：(1)1；【解法提示】∵a ∥b ，∴∠MAD ＝∠NCD ，∵AD ＝DC ，∠ADM ＝∠CDN ，∴△ADM ≌△CDN (ASA )，∴S △ADM ＝S △CDN ，∴S 四边形AMNB ＝S △ABC ＝1.(2)如解图①，延长AD 至点F ，使得DF ＝DA ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，交BC 于点H ，FE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，连接EG .∵∠FEA ＝∠FGA ＝∠GAE ＝90°， ∴四边形AEFG 是矩形，∵∠DAC ＝13∠BAC ＝30°，AD ＝DF ＝2,∴AF ＝4，EF ＝12AF ＝2，AE ＝3EF ＝23，∴S 矩形AEFG ＝43，∵矩形AEFG 是中心对称图形，D 是对称中心， ∴过点D 的任意直线平分矩形AEFG 的面积， ∴S 四边形ACHG ＝12S 矩形ABCD ＝23，∵S △ABC ≥S 四边形ACHG , ∴S △ABC ≥23，∴当BC 与GE 重合时，△ABC 的面积最小，最小值为23；图① 图②第3题解图(3)如解图②，取AE 的中点G ，作GH ⊥CD 于点H ，GF ⊥BC 于F ，连接FH ，则四边形GHCF 是矩形．∵AE ＝2EC ，AG ＝EG ， ∴EC ＝EG ， ∴点E 在FH 上， ∵AC ＝3EC ，∴S △ACM ＝3S △ECM ，S △ACN ＝3S △ECN , ∴S 四边形AMCN ＝3S △CMN ,∴当△CMN 的面积最小时，四边形AMCN 的面积最小， ∵矩形CFGH 是中心对称图形，由(2)可知：当MN 与FH 重合时，△MCN 的面积最小， ∵AC ＝3002＋4002＝500(米), ∴CG ＝23×500＝10003(米),∵GH ∥AD ，∴CG CA ＝GH AD ＝CH CD ，即10003500＝GH 400＝CH300， ∴GH ＝8003米，CH ＝200米，∴△MCN 的面积的最小值为12×200×8003＝800003(平方米),∴四边形AMCN 的面积的最小值为80000平方米，此时CM ＝CF ＝GH ＝8003米，CN ＝CH ＝200米．类型三线段最值问题1. 解：(1)如解图①，作EF ⊥AB ，垂足为点F ，点F 即为所求．第1题解图①理由如下：∵点E 是正△ABC 的高AD 上的一点， ∴∠BAD ＝30°. ∵EF ⊥AB ，∴EF ＝12AE ；(2)如解图②，作MN ⊥AB ，垂足为点N ，第1题解图②∵△ABC 是正三角形，AD 为高， ∴∠BAD ＝12∠BAC ＝30°，∵MN ⊥AB ，∴在Rt △AMN 中，MN ＝12AM ，当C 、M 、N 三点共线时，12AM ＋MC ＝MN ＋MC ＝CN .此时12AM ＋MC 的值最小，最小值即为CN 的长．∵△ABC 是边长为2的正三角形， ∴CN ＝BC ·sin60°＝2×32＝3，即12AM ＋MC 的最小值为3； (3)如解图③，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，在AC 异于点B 的一侧作∠CAN ＝30°. 过点B 作BF ⊥AN ，垂足为点F ，交AC 于点M ，点M 即为所求．第1题解图③在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝6002－3602＝480 km ，在Rt △MBD 中，∠MBD ＝∠MAF ＝30°，则MD ＝BD ·tan30°＝120 3 km ， ∴AM ＝(480－1203)km .2. 解：(1)如解图①，过点A 作BC 的对称点A ′，连接A ′D 交BC 于点E .则点E 即为使得AE ＋DE 的值最小的点；第2题解图①(2)如解图②，作点D 关于AB 的对称点D ′，过点D ′作D ′F ⊥BC 于点F ，交AB 于点E ，则DE ＋EF ＝D ′E ＋EF ≥D ′F ，连接BD ′.∵点D 和点D ′关于AB 对称，∴∠D ′BE ＝∠ABC ＝30°，BD ′＝BD ＝10， ∴∠D ′BF ＝2∠ABC ＝60°， ∴D ′F ＝BD ′·sin ∠D ′BF ＝10×32＝53，即DE ＋EF 的最小值为53；第2题解图②(3)如解图③，分别作点D 关于AB 、AC 的对称点D 1、D 2，连接D 1D 2、AD 1、AD 2、ED 1、FD 2，第2题解图③根据对称性，有DE ＝D 1E ，DF ＝D 2F ，则DE ＋EF ＋DF ＝D 1E ＋EF ＋FD 2≥D 1D 2，由轴对称可得：AD ＝AD 1＝AD 2，∠DAC ＝∠D 2AC ，∠DAB ＝∠D 1AB ，∴D 1D 2是顶角为90°的等腰三角形的底边，要想底边长D 1D 2最小，只要腰长最小，根据垂线段最短，当AD ⊥BC 时，腰长最小，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ，在Rt △ACH ，∵AC ＝62，∴AH ＝CH ＝6，∴BH ＝AB －AH ＝4，在Rt △BHC 中，由勾股定理得BC ＝213，根据等面积法AB ·CH ＝BC ·AD ，∴AD ＝301313，∴D 1D 2＝302613，即DE ＋EF ＋DF 最小值为302613.3. 解：(1)如解图①，连接MN ，与直线l 交于点K ，点K 即为所求；第3题解图①(2)如解图②，把△APB 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACP ′，由旋转的性质，P ′A ＝P A ＝3，P ′C ＝PB ＝4，∠P AP ′＝60°， ∴△APP ′是等边三角形， ∴PP ′＝P A ＝3，∠AP ′P ＝60°，∵PP ′2＋P ′C 2＝32＋42＝25，PC 2＝52＝25， ∴PP ′2＋P ′C 2＝PC 2， ∴∠PP ′C ＝90°，∴∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°， ∴∠APB ＝∠AP ′C ＝150°；第3题解图②(3)如解图③，把△ABE 绕点B 逆时针旋转60°得到△A ′BE ′，由旋转的性质，A ′B ＝AB ＝303，BE ′＝BE ，A ′E ′＝AE ，∠E ′BE ＝60°，∠A ′BA ＝60°， ∴△E ′BE 是等边三角形， ∴BE ＝EE ′，∴EA ＋EB ＋EC ＝A ′E ′＋EE ′＋EC ≥A ′C . 即EA ＋EB ＋EC 的最小值为A ′C 的长度．过点A ′作A ′G ⊥BC 交CB 的延长线于点G ，则∠A ′BG ＝90°－∠A ′BA ＝90°－60°＝30°. ∴A ′G ＝12A ′B ＝12AB ＝12×303＝153米，GB ＝3A ′G ＝3×153＝45米，∴GC ＝GB ＋BC ＝45＋60＝105米，在Rt △A ′GC 中，A ′C ＝A ′G 2＋GC 2＝3013米， ∴EA ＋EB ＋EC 的最小值为3013米．第3题解图③4. 解：(1)>；(2)如解图①，作点E 关于CD 的对称点E ′，连接AE ′交DC 于点F ，连接EF 、AE . 若在边CD 上任取与点F 不重合的一点F ′，连接AF ′、EF ′、E ′F ′，由EF ′＋AF ′＝E ′F ′＋AF ′＞AE ′＝E ′F ＋AF ＝EF ＋AF 可知，当点F 为AE ′与DC 的交点时，△AEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，CD ＝3，BC ＝4，点E 为BC 的中点， ∴AB ＝3，E ′C ＝EC ＝2，BE ′＝6， ∵CF ∥AB ，∴Rt △E ′CF ∽Rt △E ′BA ， ∴CF BA ＝E ′C E ′B， ∴CF ＝E ′C E ′B ·AB ＝26×3＝1，∴当CF 为1时，△AEF 的周长最小；第4题解图①(3)如解图②，作点B 关于AC 的对称点B ′，作点O 关于AB 的对称点O ′，连接AB ′，QB ′，PO ′，B ′O ′，B ′P ，BB ′，AO ′，OO ′，则QB ＝QB ′，OP ＝O ′P .∴OP ＋PQ ＋QB ＝O ′P ＋PQ ＋QB ′，当点Q 在AC 的中点(与点O 重合)，点P 在AB 的中点时，B ′O ′≤B ′P ＋O ′P ≤PQ ＋QB ′＋O ′P ， ∴OP ＋PQ ＋QB 的最小值为B ′O ′.∵在矩形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝2，BC ＝1， ∴∠BAC ＝30°，AB ＝3，∵点B 、B ′关于AC 对称，点O 、O ′关于AB 对称，∴∠B ′AC ＝30°，AB ′＝AB ＝3，∠O ′AB ＝30°，AO ′＝AO ＝1， ∴∠B ′AO ′＝90°，∴B ′O ′＝AB ′2＋AO ′2＝（3）2＋12＝2， ∴OP ＋PQ ＋QB 的最小值为2. 设B ′O ′交AC 于点Q ′，∵在Rt △AO ′B ′中，AO ′＝1，B ′O ′＝2， ∴∠AB ′O ′＝30°，则∠AO ′B ′＝60°，∵在△AO ′Q ′中，∠Q ′AO ′＝∠Q ′AB ＋∠BAO ′＝60°， ∴△AO ′Q ′是等边三角形， ∴AQ ′＝AO ′＝1＝AO ， ∴点Q ′在AC 的中点处，∴当点Q 为AC 的中点时，OP ＋PQ ＋QB 取得最小值．第4题解图②类型四辅助圆问题1. 解：(1)254；【解法提示】如解图①，记AO 交BC 于点K ，∵点O 是△ABC 的外接圆的圆心，AB ＝AC ，∴AK ⊥BC ，BK ＝12BC ＝6，∴AK ＝AB 2－BK 2＝8，在Rt △BOK 中，OB 2＝BK 2＋OK 2，设OB ＝x ，∴x 2＝62＋(8－x )2，解得x ＝254， ∴OB ＝254.第1题解图①(2)如解图②，连接EO 并延长，交半圆于点P ，此时E 、P 之间的距离最大，在BC ︵上任取异于点P 的一点P ′，连接OP ′，P ′E ，∴EP ＝EO ＋OP ＝EO ＋OP ′＞EP ′，即EP ＞EP ′. ∵AB ＝4，AD ＝6，∴EO ＝4，OP ＝OC ＝12BC ＝3.∴EP ＝OE ＋OP ＝7.∴E 、P 之间的最大距离为7；第1题解图②(3)如解图③，延长FE 交BD 于点M ， ∵EF ⊥BC ，BE ＝CE ，BC ︵是劣弧， ∴BC ︵所在圆的圆心在射线FE 上，设圆心为O ，半径为R ，连接OC ，则OC ＝R ，OE ＝R －40，BE ＝CE ＝12BC ＝80,在Rt △OEC 中，R 2＝802＋(R －40)2, 解得：R ＝100， ∴OE ＝OF －EF ＝60.过点D 作DG ⊥BC ，垂足为点G ， ∵AD ∥BC ，∠ADB ＝45°， ∴∠DBC ＝45°.在Rt △BDG 中，DG ＝BG ＝BD2＝120，在Rt △BEM 中，ME ＝BE ＝80， ∵ME ＞OE .∴点O 在△BDC 内部．∴连接DO 并延长交BC ︵于点P ，则DP 为入口D 到BC ︵上一点P 的最大距离．在BC 上任取一点异于点P 的点P ′，连接OP ′，P ′D . ∴DP ＝OD ＋OP ＝OD ＋OP ′＞DP ′，即DP ＞DP ′.过点O 作OH ⊥DG ，垂足为点H ，则OH ＝EG ＝BG －BE ＝40，DH ＝DG －HG ＝DG －OE ＝60， ∴OD ＝OH 2＋DH 2＝2013. ∴DP ＝OD ＋OP ＝2013＋100,∴修建这条小路最多要花费40×(2013＋100)＝(80013＋4000)元．第1题解图③2. 解：(1)12ab ；【解法提示】∵四边形ABCD 是筝形，∴AB ＝AD ，CB ＝CD .∵AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC .∴∠DAC ＝∠BAC .∴AC 垂直平分BD .∴S △ABC ＝S △ADC ＝12·12b ·a .∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12ab .(2)∵BC ＝2，∠BAC ＝45°，∴点A 在以BC 为弦，且弦BC 所对的圆心角为90°的BAC ︵上．设△ABC 的外接圆圆心为O ， ∴∠BOC ＝90°.如解图①，连接OB 、OC ， ∴OB ＝OC ＝22BC ＝1. 要使得BC 边上的高线最长，则点A 在BC 的垂直平分线上，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，延长DO ，交⊙O 于点A . ∵△BOC 是等腰直角三角形，OD ⊥BC ， ∴OD ＝22. ∴BC 边上的高线AD 的最大值为AO ＋OD ＝1＋22；第2题解图①(3)存在．∵四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别为AB 、BC 的三等分点， ∴AB ⊥BC ，BE ＝BF ＝13AB ＝2 cm .∴△BEF 为等腰直角三角形，且S △BEF 为定值，EF ＝2 2 cm . ∴要使得四边形BFGE 面积最大，只需使得△EFG 面积最大即可． ∵∠EGF ＝30°，EF 为定长，∴点G 在以EF 为弦，所对圆心角为60°的EGF ︵上(不含E 、F 两点)．设△EFG 的外接圆圆心为O ，在△EFG 中，EF 为定长，要使得△EFG 面积最大，即底边EF 上的高取得最大值即可；如解图②，连接BD ，连接BO 并延长，交⊙O 于点G ，交EF 于点M ，第2题解图②∴BO 垂直平分EF ，即MG 垂直平分EF ，此时△EFG 的面积最大，连接OE 、OF ，则∠EOF ＝60°. ∵OE ＝OF ，∴△EOF 为等边三角形．∴OE ＝OF ＝EF ＝2 2 cm ，OM ＝ 6 cm . ∵OM ⊥EF ， ∴M 为EF 的中点． ∴BM ＝12EF ＝ 2 cm .∴BG ＝BM ＋OM ＋OG ＝(32＋6)cm . ∵△BEF 为等腰直角三角形， ∴BM 为∠EBF 的平分线．∴BG 在正方形ABCD 的对角线所在的直线上，且BD ＝6 2 cm . ∵32＋6＜62，∴点G 在线段BD 上，即点G 在正方形ABCD 内部．∴存在符合要求的点G ，且四边形BFGE 面积的最大值为12EF ·BG ＝12×22×(32＋6)＝(6＋23) cm 2.3. 解：(1)270°；【解法提示】∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝360°，且∠B ＝60°，∠D ＝30°， ∴∠A ＋∠C ＝270°.(2)如解图①，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAQ ，连接DQ ，则∠CBD ＝∠ABQ ，∠C ＝∠BAQ ，CD ＝AQ ＝4，BD ＝BQ ，∠DBQ ＝60°， ∴△BDQ 是等边三角形． ∴BD ＝DQ .∵∠C ＋∠BAD ＝270°， ∴∠BAQ ＋∠BAD ＝270°. ∴∠DAQ ＝90°.则BD ＝DQ ＝AD 2＋AQ 2＝5；第3题解图①(3)能．如解图②，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAH ，连接DH ，作△AHD 的外接圆⊙O ，连接AO ，与DH 交于点K .第3题解图②由(2)知△BDH 是等边三角形，∴S 四边形ABCD ＝S △BAH ＋S △ABD ＝S △DBH －S △ADH .∴当△ADH 面积最大时，四边形ABCD 的面积最小． ∵∠ABC ＝60°，∠ADC ＝75°，∴∠BAD ＋∠BAH ＝∠BAD ＋∠BCD ＝360°－75°－60°＝225°. ∴∠DAH ＝135°. ∵DH ＝DB ＝6，∴点A 在定圆⊙O 上运动，当O 、A 、B 共线时，△ADH 的面积最大，此时OB ⊥DH .则HK ＝KD ＝3. ∵AH ＝AD ，∴∠AHD ＝∠ADH ＝22.5°.在HK 上取一点F ，使得FH ＝F A ，则△AKF 是等腰直角三角形，设AK ＝FK ＝x ，则FH ＝AF ＝2x , ∴3＝x ＋2x ，解得x ＝32－3.∴△ADH 的面积最大值为12×6×(32－3)＝92－9.∴四边形ABCD 的面积的最小值为34×62－(92－9)＝93－92＋9. 4. 解：(1)如解图①，等腰三角形CBP 即为所求(点P 为正方形ABCD 内的弧BD ︵上的任意一点)；第4题解图①(2)以AB 为弦的圆，圆心Q 必过AB 的垂直平分线，如解图②，取AB 的中点D ，则D (5，0)， ∴圆心Q 的横坐标为5，⊙Q 与y 轴交于点P ，即以AB 为弦的圆，圆半径PQ 最小为5， ∵sin ∠AQD ＝12AB AQ ＝3AQ ，∴当AQ ＝BQ 取得最小值时，sin ∠AQD 最大，∠AQD 最大，即∠AQB 最大，此时其所对圆周角∠APB 最大，连接PQ .当PQ ＝5时，AQ ＝BQ ＝5，此时PQ ⊥y 轴且点P 为⊙O 与y 轴的切点，则Q 点的纵坐标为±52－（8－22）2＝±4，∵点P 在y 轴正半轴上， ∴点P 的坐标为(0，4)；第4题解图②(3)存在．如解图③，过点A 、B 作⊙N 且与OD 相切于点M ，连接MN 并延长，交OC 于点E ，连接MA 、MB 、NA 、NB ，过点N 作NF ⊥AB 于点F，第4题解图③∵∠MOA ＝∠BOM ，OM 为⊙N 的切线， ∴∠OMA ＝∠OBM . ∴△OMA ∽△OBM . 即OM OB ＝OAOM， ∴OM 2＝OA ·OB ＝400×(400＋2003)． ∴OM ＝(200＋2003)m . 易得FB ＝12AB ＝1003m ，∵∠O ＝60°，∠OME ＝90°， ∴∠MEO ＝30°. ∵OM ＝(200＋2003)m . ∴OE ＝2OM ＝(400＋4003)m ， ∴BE ＝OE －OB ＝2003m . ∴FE ＝FB ＋BE ＝3003m . ∴在Rt △NFE 中， NF ＝FE ·tan ∠MEO ＝300 m .∴在Rt △BNF 中，tan ∠BNF ＝FB NF ＝1003300＝33.∴∠BNF ＝30°. ∵AB ︵＝AB ︵，∴∠AMB ＝12∠ANB ＝∠BNF ＝30°.5．解：(1)如解图①所示，Rt △ABC 即为所求．(只要画出一个符合要求的Rt △ABC 即可)第5题解图①(2)如解图②，连接OB .∵O 是正方形ABCD 的对称中心，且BM ＝CM ， ∴S △BOM ＝18×282＜17×282.∴点N 不可能在BM 上，由对称性，可知点N 也不可能在MC 上．显然，点N 不在AD 边上． ∴设点N 在AB 边上，连接ON .由题意，得12(BN ＋14)×14＝17×282，解得BN ＝2.由对称性知，当点N 在CD 边上时，可得CN ＝2.∴MN ＝142＋22＝102；第5题解图②(3)如解图③，过点A 作AH ⊥BD 于点H ，第5题解图③在Rt △ABD 中，AB ＝30，AD ＝40，∴BD ＝50，AH ＝24.易得S △AEF ＝S △CEF .∴S 四边形AECF ＝2S △AEF ＝2×12×EF ·AH ＝24EF . 由题意可知，只有S 四边形AECF 最小时，按设计要求在矩形ABCD 内种植红、黄两种花卉的费用最低．要使S 四边形AECF 最小，就需EF 最短．∵AH ⊥EF ，tan ∠HAD ＝tan ∠ABD ＝43<3，tan ∠BAH ＝tan ∠ADB ＝34＜3， ∴∠HAD ＜60°，∠BAH ＜60°.又∵∠EAF ＝60°，∴E 、F 两点分布在AH 异侧．∴△AEF 为锐角三角形．作其中任一锐角△AEF 的外接圆⊙O ，过O 作OG ⊥EF 于点G ，连接OA 、OF ，则EF ＝2GF ，∠GOF ＝∠EAF ＝60°.在Rt △OGF 中，OF ＝2OG ，GF ＝3OG ，∴EF ＝23OG ，又∵OA ＋OG ≥AH ，OA ＝OF ＝2OG ，∴2OG ＋OG ≥24，得OG ≥8.∴EF ＝23OG ≥16 3.∴当圆心O 在AH 上，即AE ＝AF 时，EF ＝16 3.∴EH ＝83＜18＝BH ，FH ＝83<32＝HD .∴当AE ＝AF 时，点E 、F 在BD 上．∴S 四边形AECF 的最小值为24×163＝384 3.∴3843×210＋(30×40－3843)×180＝216000＋115203≈235584(元)．∴按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用约为235584元．6. 解：(1)如解图①，⊙O 即为所求；第6题解图①【作法提示】①分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，交AB 两侧于E 、F 两点；②连接EF ，交AB 于点O ；③以点O 为圆心，OA 长为半径作圆，⊙O 即为所求．(2)存在．当△APB 是等边三角形时，矩形ABCD 的面积最小．如解图②，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，则PQ ＝4，∠P AQ ＝60°，∴AQ ＝PQ tan ∠P AQ ＝4tan60°＝433，则AB ＝2AQ ＝833，即矩形ABCD 面积的最小值为4×833＝3233；第6题解图②(3)存在．∵AB ＝62＋12，BC ＝62＋6，△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ＝AD ＝BC ＝62＋6.∴EC ＝DC －DE ＝AB －DE ＝6.又∵CF BF ＝12， ∴CF ＝BC 2＋1＝6，BF ＝2BC 2＋1＝6 2. 如解图③，连接EF ，则EF ＝CE 2＋CF 2＝62＝BF ，即△ECF 是等腰直角三角形，绕点F 顺时针旋转△FEM ，使得EF 与BF 重合，得到△FBM ′，则∠NFM ′＝∠NFB ＋∠BFM ′＝∠NFB ＋∠EFM ＝180°－∠MFN －∠EFC ＝45°为定角，BF ＝62为定长，第6题解图③∴当NB ＝BM ′时，NM ′最小，则AM ＋AN 最大，即四边形AMFN 面积最大．作△FNM 的外接圆⊙Q ，连接NQ 、QM ′，则∠NQM ′＝2∠NFM ＝90°，由圆的对称性知，∠NQB ＝12∠NQM ′＝45°.由BM ′＋QM ′＝BM ′＋QF ＝BM ′＋2BM ′＝BF ＝62，可得BM ′＝12－62，即NM ′＝2BM ′＝24－122，则AM ＋AN ＝AB ＋AE －(NB ＋ME )＝AB ＋AE －(NB ＋BM ′)＝AB ＋AE － NM ′＝242，则S 四边形AMFN 最大＝12EF ·(AM ＋AN )＝12×62×242＝144.。

中考数学解答重难专题专题三第25题综合与实践试题演练

专题三第25题综合与实践类型一面积平分问题（2017、2013、2010.25）试题演练1. (1)如图①，已知△ABC ，在BC 上找一点D ，连接AD ，使得AD 平分BC ；(2)如图②，已知直线l 1∥l 2，点A 和点B 分别为直线l 2上两定点，在直线l 1上任取两点M 、N ，连接AM 、AN 、BM 、BN ，AN 与BM 交于点P ，则S △AMP ________S △BNP (用“＞”、“＜”或“＝”表示)；(3)如图③，已知一块Rt △ABC 花园中，∠BAC ＝90°，AC ＝40米，BC ＝50米，AD 为花园内平分花园面积的一条小路(小路宽度忽略不计)，现在要从AB 边上的水源E 点处向BC 边上拉一条笔直的水管，且要使得水管两边的花地面积相等，已知E 点距离A 点为10米，现有与AB 等长的水管，问该水管是否够用？第1题图2. (2019西安交大附中模拟)问题探究(1)如图①，在平面直角坐标系内，M 是边长为4的正方形ABCO 边上一点，请过点M (0，3)作一条直线，使它将正方形的面积平分，求这条直线的解析式；(2)如图②，在平面直角坐标系中有A (1，4)，B (4，0)两点，请过点C (3，43)作一条直线将△ABO 的面积平分，求这条直线的解析式；问题解决(3)农民张伯伯有一块四边形空地如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝2km ，BC ＝4km.∠BAD ＝90°，∠BCD ＝90°，∠ABC ＝120°，张伯伯想过点C 修一条路将四边形ABCD 的面积分为相等的两部分，这样的路是否存在？若存在，求出路的长度；若不存在，请说明理由．第2题图3. 问题探究(1)请在图①中作两条直线，使它将半圆O的面积三等分；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，请在图②中过点A作两条直线，使它们将矩形ABCD 的面积三等分，并说明理由；问题解决(3)如图③，李师傅有一块平行四边形ABCD的菜地，其中AB＝AC＝100米，BC＝120米，菜地A处有一用来灌溉的水源．李师傅现准备修两条笔直的小路将菜地面积三等分后给自己的三个儿子，要求三个儿子能在灌溉时共用A处水源，那么李师傅能否实现自己的想法？若能，请通过计算、画图说明；若不能，请说明理由．第3题图4. (2019陕西黑马卷)问题提出(1)如图①，已知直线a∥b，点A、B是直线a上不同的两点，分别过点A、B作AC⊥b，BD⊥b，垂足记为点C、D，则线段AC和线段BD的数量关系为AC____BD；(填“＞”，“＜”或“＝”) 问题探究(2)如图②，在△ABC中，点M、N分别是AB、AC的中点，过点A作直线a∥BC，点P是直线a上的任意一点，连接PM、P N、MN，若四边形BCNM的面积为3，则△PMN的面积为________；问题解决(3)如图③，有一块四边形空地ABCD, AD∥BC，∠B＝60°，AB＝10米，AD＝30米，BC＝8米，点E 是BC上一点，且BE＝2米．市政为了美化城市，计划将这块空地改造成一片牡丹园，为了方便行人行走，计划在牡丹园中间过点E修一条笔直的小路(路的宽度不计)，使得小路的另一出口在AD上的点F处，且EF恰好将四边形ABCD的面积平分．请你帮助市政设计出小路EF的位置(在图中画出EF)，并求EF的长(结果保留根号)．第4题图类型二面积最值问题(2012、2011.25)试题演练1. (2012陕西25题12分)如图，正三角形ABC的边长为3＋ 3.(1)如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；(3)如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．第1题图2.在正方形ABCD中，AB＝100，点E、F分别在边AB、BC上，且∠EDF＝45°.问题探究(1)如图①，请直接写出线段AE，EF，CF之间的数量关系：________；(2)如图②，若AE＝25，求四边形DEBF的面积；问题解决(3)如图③，AB＝100 m，公园设计部门为了给儿童提供更舒适、更安全的活动场地，准备将正方形空地中的DEBF部分作为儿童活动区，并用围栏围起来，只留三个出入口，即点D、E、F，将儿童活动区(即四边形DEBF)划分为△DEF和△BEF两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草，则是否存在一种设计方案，使得儿童活动区面积最大？若存在，求出儿童活动区面积的最大值；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2019陕师大附中模拟)发现问题(1)如图①，直线a∥b，点B、C在直线b上，点D为AC的中点，过点D的直线与a，b分别相交于M、N 两点，与BA 的延长线交于点P ，若△ABC 的面积为1，则四边形AMNB 的面积为________；探究问题(2)如图②，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠DAC ＝13∠BAC ，DA ＝2，求△ABC 面积的最小值；拓展应用(3)如图③，矩形花园ABCD 的长AD 为400米，宽CD 为300米，供水点E 在小路AC 上，且AE ＝2CE ，现想沿BC 上一点M 和CD 上一点N 修一条小路MN ，使得MN 经过E ，并在四边形AMCN 围城的区域内种植花卉，剩余区域铺设草坪，根据项目的要求种植花卉的区域要尽量小．请根据相关数据求出四边形AMCN 面积的最小值，及面积取最小时点M 、N 的位置．(小路的宽忽略不计)第3题图类型三线段最值问题(2018、2016、2015.25)1. 问题探究(1)如图①，点E 是正△ABC 高AD 上的一定点，请在AB 上找一点F ，使EF ＝12AE ，并说明理由； (2)如图②，点M 是边长为2的正△ABC 高AD 上的一动点，连接CM ，求12AM ＋MC 的最小值；问题解决(3)如图③，A 、B 两地相距600 km ，AC 是沿东西方向向两边延伸的一条笔直的铁路．点B 到AC 的最短距离为360 km.今计划在铁路线AC 上修建一个中转站M ，再在BM 间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A 到M 再通过公路由M 到B 的总运费最少，请确定中转站M 的位置，并求出AM 的长．(结果保留根号)第1题图2. 问题探究(1)如图①，试在线段BC 上画出点E 使得AE ＋DE 的值最小；(2)如图②，∠B ＝30°，点D 在射线BC 上，且BD ＝10，E 、F 分别为射线BA 、BC 上的两个动点，试求DE ＋EF 的最小值；问题解决：(3)如图③，C 、A 、B 三个城市由三条主道路AC 、AB 、BC 连接，已知AC ＝62，∠A ＝45°，AB ＝10，为缓解因汽车数量“井喷式”增长而导致的交通拥堵，增加人们出行的幸福指数，省规划厅计划分别在线段BC 、AB 、AC 上选取D 、E 、F 处开口修建便捷通道．请说明如何选取D 、E 、F 使得DE ＋EF ＋FD 最小，并请求出该最小值．第2题图3. 问题提出(1)如图①，点M 、N 是直线l 外两点，在直线l 上找一点K ，使得MK ＋NK 最小；问题探究(2)如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且P A＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的大小；问题解决(3)如图③，矩形ABCD是某公园的平面图，AB＝303米，BC＝60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A、B、C的距离之和最小．是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA＋EB＋EC的最小值；若不存在，请说明理由．第3题图4. (1)如图①，AD是△ABC的中线，则线段AB＋AC________2AD(填“>”、“<”或“＝”)；(2)如图②，在矩形ABCD中，CD＝3，BC＝4，点E为BC的中点，若点F为CD上任意一点，试确定CF为何值时，△AEF的周长最小；(3)如图③，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P为AB上任意一点，Q为AC上任意一点，连接PO、BQ、P Q.若AC＝2，BC＝1，则当点Q在线段AC上何处时，OP＋PQ＋QB取得最小值．第4题图类型四辅助圆问题(2014～2019.25)1.问题提出(1)如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，点O 是△ABC 的外接圆的圆心，则OB 的长为________；问题探究(2)如图②，已知矩形ABCD ，AB ＝4，AD ＝6，点E 为AD 的中点，以BC 为直径作半圆O ，点P 为半圆O 上一动点，求E 、P 之间的最大距离；问题解决(3)某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD 和弦CB 所对的劣弧组成的，果园主人现要从入口D 到弧BC ︵上的一点P 修建一条笔直的小路DP .已知AD ∥BC ，∠ADB ＝45°，BD ＝1202米，BC ＝160米，过弦BC 的中点E 作EF ⊥BC 交弧BC ︵于点F ，又测得EF ＝40米．修建小路平均每米需要40元(小路宽度不计)，不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？第1题图2. 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；(1)如图①，已知筝形ABCD 的两条对角线长分别为a 、b ，则该筝形的面积为________；(2)如图②，已知△ABC ，BC ＝2，∠BAC ＝45°，求BC 边上的高线AD 的最大值；(3)如图③，现有一边长为6 cm 的正方形木料ABCD ，要利用其直角做一个四边形工件，在其相邻的两条边AB 、BC 上，取它们的三等分点E 、F ，要在木料内找一点G ，使得∠EGF ＝30°，且四边形BFGE 的面积最大．问正方形木料ABCD 内，是否存在符合要求的点G ？若存在，请求出四边形BFGE 面积的最大值；若不存在，请说明理由．第2题图3. 在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠B ＝60°；(1)如图①，已知∠D ＝30°，则∠A ＋∠C ＝________．(2)已知AD ＝3，CD ＝4，在(1)的条件下，利用图①，连接BD ，并求出BD 的长度；(3)如图②，已知∠ADC ＝75°，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，BD ＝6，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧符合如图②所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．第3题图4.问题提出(1)如图①，请在正方形ABCD内画出一个以点C为顶点、BC为腰的等腰三角形CBP；(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)如图②，在平面直角坐标系中，已知A(2，0)，B(8，0)，点P是y轴正半轴上一个动点，当∠APB 最大时，求点P的坐标；问题解决(3)某游乐场的平面如图③所示，经测量可知：∠DOC＝60°，OA＝400 m，AB＝200 3 m，场所保卫人员想在线段OD上的一点M处安装监控装置，用来监控OC上的AB段，为了让监控效果达到最佳，必须要求∠AMB最大，请问在线段OD上是否存在这样的一点M？若存在，请求出此时OM的长和∠AMB的度数；若不存在，请说明理由．第4题图5. (2019陕西副题25题12分)问题提出(1)如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC；问题探究(2)如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM. 试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1∶6的两部分．求点N到点M的距离；问题解决(3)如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30 m，BC＝40 m. 根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？(结果保留整数．参考数据：2≈1.4，3≈1.7)第5题图6. (2018西安高新一中模拟)实践探索：(1)如图①，已知线段AB，以AB为弦，在图①中作出一个⊙O；(2)如图②，在矩形ABCD中，AD＝4，点P在边DC上且∠APB＝60°，试判断矩形ABCD的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图③，有一块矩形ABCD的板材，AB＝62＋12，BC＝62＋6，现截去了一块等腰直角三角形ADE，工人想将剩下的板材合理利用，截出一个四边形AMFN，且满足点F在边BC上，CF∶BF＝1∶2，点M在AE上，点N在AB上，∠MFN＝90°，这个四边形AMFN的面积是否存在最大值？若存在，试求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．第6题图参考答案类型一面积平分问题1. 解：(1)如解图①，D 为BC 的中点，连接AD ，则AD 平分△ABC 的面积；第1题解图①(2)＝；【解法提示】∵△ABM 和△ABN 的底边相等，高均为l 1与l 2之间的距离， ∴S △ABM ＝S △ABN ，∵S △AMP ＝S △ABM －S △ABP ，S △BNP ＝S △ABN －S △ABP ，∴S △AMP ＝S △BNP .(3)∵AD 平分△ABC 的面积，即S △ABD ＝S △ACD ，∴AD 为斜边BC 上的中线，∴D 为BC 的中点，如解图②，连接DE ，过点A 作AF ∥DE 交BC 于点F ，连接EF 交AD 于点G ，第1题解图②∵AF ∥DE ，由(2)得S △AEG ＝S △DFG ，∵S △BEF ＝S △ABD －S △AEG ＋S △DFG ，S 四边形AEFC ＝S △ACD －S △DFG ＋S △AEG ，∴S △BEF ＝S 四边形AEFC ，∴EF 平分S △ABC ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，∵△ABC 是直角三角形，AC ＝40米，BC ＝50米，∴AB ＝BC 2－AC 2＝30米，∵AE ＝10米，∴BE ＝20米，∵sin B ＝EH BE ＝AC BC ＝45， ∴EH ＝16米，在Rt △BEH 中，∵BE 2＝EH 2＋BH 2，∴BH ＝12米，∵S △ABC ＝12AB ·AC ＝600(平方米)，EF 平分S △ABC ，∴S △BEF ＝12S △ABC ＝300(平方米)，又∵S △BEF ＝12BF ·EH ，且EH ＝16米，∴BF ＝752米，∴HF ＝BF －BH ＝512米，在Rt △EHF 中，HF ＝512米，EH ＝16米，∴EF ＝HF 2＋EH 2＝51452＞51442＝5×122＝30米＝AB ，∴该水管不够用．2. 解：(1)如解图①，∵四边形ABCO 是正方形，点M 在AO 上，根据中心对称图形面积平分模型，直线必过正方形ABCD 的对称中心，即对角线的交点H ，易知H (2，2)．第2题解图①设直线MH 的解析式为y ＝kx ＋3. ∵直线MH 过点H (2，2)， ∴直线MH ：y ＝－12x ＋3；(2)设直线AB 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1. ∵直线过点A (1，4)，点B (4，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝k 1＋b 10＝4k 1＋b 1，解得⎩⎨⎧k 1＝－43b 1＝163，∴直线AB ：y ＝－43x ＋163，∴C (3，43)在直线AB 上，如解图②.第2题解图②设直线CD 将△AOB 的面积二等分，则S △ADC ＝12S △AOB ＝12×12×4×4＝4.易知直线OA 的解析式为y ＝4x ，如解图②，过点C 作CE ∥x 轴交AD 于点E ， ∴点E 的坐标为(13，43)．∴CE ＝3－13＝83，∴S △ADC ＝CE ·（y A －y D ）2＝4，∴y D ＝1，∴点D 的坐标为(14，1)．设直线CD 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)．将点C (3，43)，D (14，1)代入得，⎩⎨⎧3k 2＋b 2＝4314k 2＋b 2＝1，解得⎩⎨⎧k 2＝433b 2＝3233，∴这条直线的解析式为y ＝433x ＋3233；(3)存在．如解图③，建立平面直角坐标系，使AD 在x 轴上，AB 在y 轴上，过点C 作CG ⊥y 轴，CF ⊥x 轴，过点B 作直线BE ∥AC 交x 轴于点E ，连接CE .由题意，得S 四边形ABCD ＝S △CED ，取DE 的中点H ，连接CH ，直线CH 即为所求直线．第2题解图③在Rt △CGB 中，∠CBG ＝180°－∠ABC ＝60°，BC ＝4， ∴GB ＝2，CG ＝OF ＝23， ∴C (23，4)， ∴OG ＝CF ＝4.在Rt △CFD 中，∠CDF ＝180°－∠ABC ＝60°，CF ＝4，∴FD ＝433，∴OD ＝1033，设直线AC 的解析式为y ＝k 3x ， ∵直线过点C (23，4)， ∴直线AC ：y ＝233x .又∵BE ∥AC ，∴直线BE ：y ＝233x ＋2.当y ＝0时，x ＝－3， ∴E (－3，0)．∴DE ＝OE ＋OF ＋FD ＝1333，易得HF ＝536.在Rt △CHF 中，由勾股定理得CH ＝（536）2＋42＝6516(km )．∴存在这样的路，且路的长度为6516km . 3. 解：(1)作直线如解图①所示；第3题解图①(2)如解图②所示，直线AP 、AQ 即为所求．理由如下：如解图②，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4， ∴矩形ABCD 的面积为12.设过点A 的直线分别交BC 、CD 于点P 、Q ，使直线AP 、AQ 把矩形ABCD 的面积三等分，则S △ABP ＝S △ADQ ＝4，即12×3BP ＝12×4DQ ＝4， ∴BP ＝83，DQ ＝2，∴当BP ＝83，DQ ＝2时，直线AP 、AQ 把矩形ABCD 的面积三等分；第3题解图②(3)李师傅能实现自己的想法．如解图③，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E . ∵AB ＝AC ＝100米，BC ＝120米， ∴BE ＝12BC ＝60米，∴在Rt △ABE 中， AE ＝AB 2－BE 2＝80米，∴S ▱ABCD ＝BC ·AE ＝120×80＝9600(平方米)，过点A 作AF ⊥CD ，垂足为点F ， ∵CD ＝AB ＝100米，CD ·AF ＝BC ·AE ， ∴AF ＝BC ·AE CD ＝120×80100＝96(米)．设过点A 的直线分别交BC 、CD 于点P 、Q ，使直线AP 、AQ 把平行四边形ABCD 的面积三等分，则S △ABP＝S △ADQ ＝13×9600＝3200(平方米)，即12BP ·AE ＝12DQ ·AF ＝3200， ∴BP ＝80米，DQ ＝2003米，∴当BP ＝80米，DQ ＝2003米时，直线AP 、AQ 把平行四边形ABCD 的面积三等分．第3题解图③4. 解：(1)＝； (2)1；【解法提示】∵在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，∴MN ∥BC ，MN ＝12BC ，∴S △AMN ＝14S △ABC ，∴S 四边形BCNM ＝3S △AMN ，∵S 四边形BCNM ＝3，∴S △AMN ＝1.又∵直线a ∥BC ，MN ∥BC ，∴直线a ∥MN ，∴S △PMN ＝S △AMN ＝1.(3)如解图，在CD 上取点G ，使得CG ＝DG ，过点G 作HK ∥AB ，交AD 于点H ，交BC 的延长线于点K ，连接BH 、AK ，相交于点O ，连接EO 并延长交AD 于点F ，此时EF 即为所求．第4题解图过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，在Rt △ABQ 中，AB ＝10米，∠ABQ ＝60°， ∴BQ ＝5米，AQ ＝53米． ∵BE ＝2米，∴EQ ＝3米．过点E 作EP ⊥DA 交DA 的延长线于点P ，则四边形EQAP 是矩形， ∴EP ＝53米，AP ＝EQ ＝3米． ∵G 是CD 的中点，CK ∥HD ，∴∠KCG ＝∠HDG ，∠CKG ＝∠DHG ，CG ＝DG . ∴△CKG ≌△DHG (AAS )．∴CK ＝DH ，又由作图及题知HK ∥AB ，AD ∥BC . ∴四边形ABKH 是平行四边形， ∴AH ＝BK .∴AH ＝BC ＋CK ＝BC ＋HD ＝AD －HD . ∴HD ＝12(AD －BC )＝12×(30－8)＝11米．∴AH ＝AD －HD ＝30－11＝19米． ∵FH ＝BE ＝2米， ∴AF ＝AH －FH ＝17米． ∴PF ＝P A ＋AF ＝3＋17＝20米．在Rt △EPF 中，由勾股定理得EF ＝EP 2＋PF 2＝（53）2＋202＝519米．类型二面积最值问题1. 解：(1)如解图①，正方形E ′F ′P ′N ′即为所求；(2分)第1题解图①(2)设正方形E ′F ′P ′N ′的边长为x ， ∵△ABC 为正三角形， ∴AE ′＝BF ′＝33x ， ∴x ＋233x ＝3＋3，∴x ＝9＋3323＋3，即x ＝33－3.∴(1)中作出的正方形E ′F ′P ′N ′的边长是33－3；(3)如解图②，连接NE 、EP 、PN ，则∠NEP ＝∠NEM ＋∠PEH ＝90°.第1题解图②设正方形DEMN 、正方形EFPH 的边长分别为m 、n (m ≥n )，它们的面积和为S ，则NE ＝2m ，PE ＝2n . ∴PN 2＝NE 2＋PE 2 ＝2m 2＋2n 2 ＝2(m 2＋n 2)． ∴S ＝m 2＋n 2＝12PN 2.延长PH 交ND 于点G ，则PG ⊥ND .在Rt △PGN 中，PN 2＝PG 2＋GN 2＝(m ＋n )2＋(m －n )2. ∵AB ＝AD ＋DE ＋EF ＋BF ＝33m ＋m ＋n ＋33n ＝3＋3，即m ＋n ＝3，∴①当(m －n )2＝0时，即m ＝n 时，S 最小． ∴S 最小＝(32)2×2＝92.②当(m －n )2最大时，S 最大．即当m 最大且n 最小时，S 最大． ∵m ＋n ＝3，由(2)知，m 最大＝33－3. ∴n 最小＝3－m 最大＝3－(33－3) ＝6－3 3.∴S 最大＝(33－3)2＋(6－33)2＝27＋9－183＋36＋27－36 3＝99－54 3.2. 解：(1)EF ＝AE ＋CF ；【解法提示】如解图①，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCE ′， ∴ED ＝E ′D ，∠ADE ＝∠CDE ′，又∵∠EDF ＝45°， ∴∠ADE ＋∠FDC ＝45°，即∠CDE ′＋∠FDC ＝∠E ′DF ＝45°， ∴∠EDF ＝∠E ′DF . 在△DEF 和△DE ′F 中， ⎩⎪⎨⎪⎧ED ＝E ′D ∠EDF ＝∠E ′DF DF ＝DF， ∴△DEF ≌△DE ′F (SAS )， ∴EF ＝E ′F ＝E ′C ＋CF ＝AE ＋CF .(2)如解图②，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°至△DCN ′处，设EF ＝N ′F ＝a (a ＞0)，∵正方形ABCD 的边长为100，∠EDF ＝45°，AE ＝25， ∴BE ＝100－25＝75， ∴BF ＝a 2－752， ∴a ＝100＋25－a 2－752，解得a ＝85，∴S 四边形DEBF ＝S 正方形ABCD －S △DFN ′＝1002－12×85×100＝5750；(3)存在．如解图③，连接AC ，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°至△DCE ″处，由(2)得S 四边形DEBF ＝S 正方形ABCD －S △DFE ″＝10000－50EF ， ∴当EF 最小时，S 四边形DEBF 最大， ∵EF 2＝BE 2＋BF 2， ∴当BE ＝BF 时，EF 最小，此时EF ∥AC ， ∴BE BA ＝EF AC ，即BE 100＝EF1002， ∴BE EF ＝22， ∴∠EFB ＝45°， ∴BE ＝BF ，∴AE ＝FC ＝BC －BF ＝100－BE ，∴EF ＝E ″F ＝FC ＋CE ″＝200－2BE ＝2BE ，解得BE ＝100(2－2)， ∴EF ＝2BE ＝2002－200，∴S 四边形DEBF ＝10000－50×(2002－200)＝20000－10000 2.∴当BE ＝BF ＝100(2－2)m 时，儿童活动区的面积最大，最大面积为(20000－100002)m 2.第2题解图3. 解：(1)1；【解法提示】∵a ∥b ，∴∠MAD ＝∠NCD ，∵AD ＝DC ，∠ADM ＝∠CDN ，∴△ADM ≌△CDN (ASA )，∴S △ADM ＝S △CDN ，∴S 四边形AMNB ＝S △ABC ＝1.(2)如解图①，延长AD 至点F ，使得DF ＝DA ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，交BC 于点H ，FE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，连接EG .∵∠FEA ＝∠FGA ＝∠GAE ＝90°， ∴四边形AEFG 是矩形，∵∠DAC ＝13∠BAC ＝30°，AD ＝DF ＝2,∴AF ＝4，EF ＝12AF ＝2，AE ＝3EF ＝23，∴S 矩形AEFG ＝43，∵矩形AEFG 是中心对称图形，D 是对称中心， ∴过点D 的任意直线平分矩形AEFG 的面积， ∴S 四边形ACHG ＝12S 矩形ABCD ＝23，∵S △ABC ≥S 四边形ACHG , ∴S △ABC ≥23，∴当BC 与GE 重合时，△ABC 的面积最小，最小值为23；图① 图②第3题解图(3)如解图②，取AE 的中点G ，作GH ⊥CD 于点H ，GF ⊥BC 于F ，连接FH ，则四边形GHCF 是矩形． ∵AE ＝2EC ，AG ＝EG ， ∴EC ＝EG ， ∴点E 在FH 上， ∵AC ＝3EC ，∴S △ACM ＝3S △ECM ，S △ACN ＝3S △ECN , ∴S 四边形AMCN ＝3S △CMN ,∴当△CMN 的面积最小时，四边形AMCN 的面积最小， ∵矩形CFGH 是中心对称图形，由(2)可知：当MN 与FH 重合时，△MCN 的面积最小， ∵AC ＝3002＋4002＝500(米), ∴CG ＝23×500＝10003(米),∵GH ∥AD ，∴CG CA ＝GH AD ＝CH CD ，即10003500＝GH 400＝CH300， ∴GH ＝8003米，CH ＝200米，∴△MCN 的面积的最小值为12×200×8003＝800003(平方米),∴四边形AMCN 的面积的最小值为80000平方米，此时CM ＝CF ＝GH ＝8003米，CN ＝CH ＝200米．类型三线段最值问题1. 解：(1)如解图①，作EF ⊥AB ，垂足为点F ，点F 即为所求．第1题解图①理由如下：∵点E 是正△ABC 的高AD 上的一点，∴∠BAD ＝30°. ∵EF ⊥AB ， ∴EF ＝12AE ；(2)如解图②，作MN ⊥AB ，垂足为点N ，第1题解图②∵△ABC 是正三角形，AD 为高， ∴∠BAD ＝12∠BAC ＝30°，∵MN ⊥AB ，∴在Rt △AMN 中，MN ＝12AM ，当C 、M 、N 三点共线时，12AM ＋MC ＝MN ＋MC ＝CN .此时12AM ＋MC 的值最小，最小值即为CN 的长．∵△ABC 是边长为2的正三角形， ∴CN ＝BC ·sin60°＝2×32＝3，即12AM ＋MC 的最小值为3； (3)如解图③，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，在AC 异于点B 的一侧作∠CAN ＝30°. 过点B 作BF ⊥AN ，垂足为点F ，交AC 于点M ，点M 即为所求．第1题解图③在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝6002－3602＝480 km ，在Rt △MBD 中，∠MBD ＝∠MAF ＝30°，则MD ＝BD ·tan30°＝120 3 km ， ∴AM ＝(480－1203)km .2. 解：(1)如解图①，过点A 作BC 的对称点A ′，连接A ′D 交BC 于点E .则点E 即为使得AE ＋DE 的值最小的点；第2题解图①(2)如解图②，作点D 关于AB 的对称点D ′，过点D ′作D ′F ⊥BC 于点F ，交AB 于点E ，则DE ＋EF ＝D ′E ＋EF ≥D ′F ，连接BD ′.∵点D 和点D ′关于AB 对称，∴∠D ′BE ＝∠ABC ＝30°，BD ′＝BD ＝10， ∴∠D ′BF ＝2∠ABC ＝60°， ∴D ′F ＝BD ′·sin ∠D ′BF ＝10×32＝53，即DE ＋EF 的最小值为53；第2题解图②(3)如解图③，分别作点D 关于AB 、AC 的对称点D 1、D 2，连接D 1D 2、AD 1、AD 2、ED 1、FD 2，第2题解图③根据对称性，有DE ＝D 1E ，DF ＝D 2F ，则DE ＋EF ＋DF ＝D 1E ＋EF ＋FD 2≥D 1D 2，由轴对称可得：AD ＝AD 1＝AD 2，∠DAC ＝∠D 2AC ，∠DAB ＝∠D 1AB ，∴D 1D 2是顶角为90°的等腰三角形的底边，要想底边长D 1D 2最小，只要腰长最小，根据垂线段最短，当AD ⊥BC 时，腰长最小，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ，在Rt △ACH ，∵AC ＝62，∴AH ＝CH ＝6，∴BH ＝AB －AH ＝4，在Rt △BHC 中，由勾股定理得BC ＝213，根据等面积法AB ·CH ＝BC ·AD ，∴AD ＝301313，∴D 1D 2＝302613，即DE ＋EF ＋DF 最小值为302613.3. 解：(1)如解图①，连接MN ，与直线l 交于点K ，点K 即为所求；第3题解图①(2)如解图②，把△APB 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACP ′，由旋转的性质，P ′A ＝P A ＝3，P ′C ＝PB ＝4，∠P AP ′＝60°， ∴△APP ′是等边三角形， ∴PP ′＝P A ＝3，∠AP ′P ＝60°，∵PP ′2＋P ′C 2＝32＋42＝25，PC 2＝52＝25， ∴PP ′2＋P ′C 2＝PC 2， ∴∠PP ′C ＝90°，∴∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°， ∴∠APB ＝∠AP ′C ＝150°；第3题解图②(3)如解图③，把△ABE 绕点B 逆时针旋转60°得到△A ′BE ′，由旋转的性质，A ′B ＝AB ＝303，BE ′＝BE ，A ′E ′＝AE ，∠E ′BE ＝60°，∠A ′BA ＝60°， ∴△E ′BE 是等边三角形， ∴BE ＝EE ′，∴EA ＋EB ＋EC ＝A ′E ′＋EE ′＋EC ≥A ′C . 即EA ＋EB ＋EC 的最小值为A ′C 的长度．过点A ′作A ′G ⊥BC 交CB 的延长线于点G ，则∠A ′BG ＝90°－∠A ′BA ＝90°－60°＝30°. ∴A ′G ＝12A ′B ＝12AB ＝12×303＝153米，GB ＝3A ′G ＝3×153＝45米，∴GC ＝GB ＋BC ＝45＋60＝105米，在Rt △A ′GC 中，A ′C ＝A ′G 2＋GC 2＝3013米， ∴EA ＋EB ＋EC 的最小值为3013米．第3题解图③4. 解：(1)>；(2)如解图①，作点E 关于CD 的对称点E ′，连接AE ′交DC 于点F ，连接EF 、AE . 若在边CD 上任取与点F 不重合的一点F ′，连接AF ′、EF ′、E ′F ′，由EF ′＋AF ′＝E ′F ′＋AF ′＞AE ′＝E ′F ＋AF ＝EF ＋AF 可知，当点F 为AE ′与DC 的交点时，△AEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，CD ＝3，BC ＝4，点E 为BC 的中点， ∴AB ＝3，E ′C ＝EC ＝2，BE ′＝6， ∵CF ∥AB ，∴Rt △E ′CF ∽Rt △E ′BA ， ∴CF BA ＝E ′C E ′B， ∴CF ＝E ′C E ′B ·AB ＝26×3＝1，∴当CF 为1时，△AEF 的周长最小；第4题解图①(3)如解图②，作点B 关于AC 的对称点B ′，作点O 关于AB 的对称点O ′，连接AB ′，QB ′，PO ′，B ′O ′，B ′P ，BB ′，AO ′，OO ′，则QB ＝QB ′，OP ＝O ′P .∴OP ＋PQ ＋QB ＝O ′P ＋PQ ＋QB ′，当点Q 在AC 的中点(与点O 重合)，点P 在AB 的中点时，B ′O ′≤B ′P ＋O ′P ≤PQ ＋QB ′＋O ′P ， ∴OP ＋PQ ＋QB 的最小值为B ′O ′.∵在矩形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝2，BC ＝1， ∴∠BAC ＝30°，AB ＝3，∵点B 、B ′关于AC 对称，点O 、O ′关于AB 对称，∴∠B ′AC ＝30°，AB ′＝AB ＝3，∠O ′AB ＝30°，AO ′＝AO ＝1， ∴∠B ′AO ′＝90°，∴B ′O ′＝AB ′2＋AO ′2＝（3）2＋12＝2， ∴OP ＋PQ ＋QB 的最小值为2. 设B ′O ′交AC 于点Q ′，∵在Rt △AO ′B ′中，AO ′＝1，B ′O ′＝2， ∴∠AB ′O ′＝30°，则∠AO ′B ′＝60°，∵在△AO ′Q ′中，∠Q ′AO ′＝∠Q ′AB ＋∠BAO ′＝60°， ∴△AO ′Q ′是等边三角形， ∴AQ ′＝AO ′＝1＝AO ， ∴点Q ′在AC 的中点处，∴当点Q 为AC 的中点时，OP ＋PQ ＋QB 取得最小值．第4题解图②类型四辅助圆问题1. 解：(1)254；【解法提示】如解图①，记AO 交BC 于点K ，∵点O 是△ABC 的外接圆的圆心，AB ＝AC ，∴AK ⊥BC ，BK ＝12BC ＝6，∴AK ＝AB 2－BK 2＝8，在Rt △BOK 中，OB 2＝BK 2＋OK 2，设OB ＝x ，∴x 2＝62＋(8－x )2，解得x ＝254， ∴OB ＝254.第1题解图①(2)如解图②，连接EO 并延长，交半圆于点P ，此时E 、P 之间的距离最大，在BC ︵上任取异于点P 的一点P ′，连接OP ′，P ′E ，∴EP ＝EO ＋OP ＝EO ＋OP ′＞EP ′，即EP ＞EP ′. ∵AB ＝4，AD ＝6，∴EO ＝4，OP ＝OC ＝12BC ＝3.∴EP ＝OE ＋OP ＝7.∴E 、P 之间的最大距离为7；第1题解图②(3)如解图③，延长FE 交BD 于点M ， ∵EF ⊥BC ，BE ＝CE ，BC ︵是劣弧， ∴BC ︵所在圆的圆心在射线FE 上，设圆心为O ，半径为R ，连接OC ，则OC ＝R ，OE ＝R －40，BE ＝CE ＝12BC ＝80,在Rt △OEC 中，R 2＝802＋(R －40)2, 解得：R ＝100， ∴OE ＝OF －EF ＝60.过点D 作DG ⊥BC ，垂足为点G ， ∵AD ∥BC ，∠ADB ＝45°， ∴∠DBC ＝45°.在Rt △BDG 中，DG ＝BG ＝BD2＝120，在Rt △BEM 中，ME ＝BE ＝80， ∵ME ＞OE .∴点O 在△BDC 内部．∴连接DO 并延长交BC ︵于点P ，则DP 为入口D 到BC ︵上一点P 的最大距离．在BC 上任取一点异于点P 的点P ′，连接OP ′，P ′D . ∴DP ＝OD ＋OP ＝OD ＋OP ′＞DP ′，即DP ＞DP ′.过点O 作OH ⊥DG ，垂足为点H ，则OH ＝EG ＝BG －BE ＝40，DH ＝DG －HG ＝DG －OE ＝60， ∴OD ＝OH 2＋DH 2＝2013. ∴DP ＝OD ＋OP ＝2013＋100,∴修建这条小路最多要花费40×(2013＋100)＝(80013＋4000)元．第1题解图③2. 解：(1)12ab ；【解法提示】∵四边形ABCD 是筝形，∴AB ＝AD ，CB ＝CD .∵AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC .∴∠DAC ＝∠BAC .∴AC 垂直平分BD .∴S △ABC ＝S △ADC ＝12·12b ·a .∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12ab .(2)∵BC ＝2，∠BAC ＝45°，∴点A 在以BC 为弦，且弦BC 所对的圆心角为90°的BAC ︵上．设△ABC 的外接圆圆心为O ， ∴∠BOC ＝90°.如解图①，连接OB 、OC ， ∴OB ＝OC ＝22BC ＝1. 要使得BC 边上的高线最长，则点A 在BC 的垂直平分线上，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，延长DO ，交⊙O 于点A . ∵△BOC 是等腰直角三角形，OD ⊥BC ， ∴OD ＝22. ∴BC 边上的高线AD 的最大值为AO ＋OD ＝1＋22；第2题解图①(3)存在．∵四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别为AB 、BC 的三等分点， ∴AB ⊥BC ，BE ＝BF ＝13AB ＝2 cm .∴△BEF 为等腰直角三角形，且S △BEF 为定值，EF ＝2 2 cm . ∴要使得四边形BFGE 面积最大，只需使得△EFG 面积最大即可． ∵∠EGF ＝30°，EF 为定长，∴点G 在以EF 为弦，所对圆心角为60°的EGF ︵上(不含E 、F 两点)．设△EFG 的外接圆圆心为O ，在△EFG 中，EF 为定长，要使得△EFG 面积最大，即底边EF 上的高取得最大值即可；如解图②，连接BD ，连接BO 并延长，交⊙O 于点G ，交EF 于点M ，第2题解图②∴BO 垂直平分EF ，即MG 垂直平分EF ，此时△EFG 的面积最大，连接OE 、OF ，则∠EOF ＝60°. ∵OE ＝OF ，∴△EOF 为等边三角形．∴OE ＝OF ＝EF ＝2 2 cm ，OM ＝ 6 cm . ∵OM ⊥EF ， ∴M 为EF 的中点． ∴BM ＝12EF ＝ 2 cm .∴BG ＝BM ＋OM ＋OG ＝(32＋6)cm . ∵△BEF 为等腰直角三角形， ∴BM 为∠EBF 的平分线．∴BG 在正方形ABCD 的对角线所在的直线上，且BD ＝6 2 cm . ∵32＋6＜62，∴点G 在线段BD 上，即点G 在正方形ABCD 内部．∴存在符合要求的点G ，且四边形BFGE 面积的最大值为12EF ·BG ＝12×22×(32＋6)＝(6＋23) cm 2.3. 解：(1)270°；【解法提示】∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝360°，且∠B ＝60°，∠D ＝30°， ∴∠A ＋∠C ＝270°.(2)如解图①，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAQ ，连接DQ ，则∠CBD ＝∠ABQ ，∠C ＝∠BAQ ，CD ＝AQ ＝4，BD ＝BQ ，∠DBQ ＝60°， ∴△BDQ 是等边三角形． ∴BD ＝DQ .∵∠C ＋∠BAD ＝270°， ∴∠BAQ ＋∠BAD ＝270°. ∴∠DAQ ＝90°.则BD ＝DQ ＝AD 2＋AQ 2＝5；第3题解图①(3)能．如解图②，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAH ，连接DH ，作△AHD 的外接圆⊙O ，连接AO ，与DH 交于点K .第3题解图②由(2)知△BDH 是等边三角形，∴S 四边形ABCD ＝S △BAH ＋S △ABD ＝S △DBH －S △ADH .∴当△ADH 面积最大时，四边形ABCD 的面积最小． ∵∠ABC ＝60°，∠ADC ＝75°，∴∠BAD ＋∠BAH ＝∠BAD ＋∠BCD ＝360°－75°－60°＝225°. ∴∠DAH ＝135°. ∵DH ＝DB ＝6，∴点A 在定圆⊙O 上运动，当O 、A 、B 共线时，△ADH 的面积最大，此时OB ⊥DH .则HK ＝KD ＝3. ∵AH ＝AD ，∴∠AHD ＝∠ADH ＝22.5°.在HK 上取一点F ，使得FH ＝F A ，则△AKF 是等腰直角三角形，设AK ＝FK ＝x ，则FH ＝AF ＝2x , ∴3＝x ＋2x ，解得x ＝32－3.∴△ADH 的面积最大值为12×6×(32－3)＝92－9.∴四边形ABCD 的面积的最小值为34×62－(92－9)＝93－92＋9. 4. 解：(1)如解图①，等腰三角形CBP 即为所求(点P 为正方形ABCD 内的弧BD ︵上的任意一点)；第4题解图①(2)以AB 为弦的圆，圆心Q 必过AB 的垂直平分线，如解图②，取AB 的中点D ，则D (5，0)， ∴圆心Q 的横坐标为5，⊙Q 与y 轴交于点P ，即以AB 为弦的圆，圆半径PQ 最小为5， ∵sin ∠AQD ＝12AB AQ ＝3AQ ，∴当AQ ＝BQ 取得最小值时，sin ∠AQD 最大，∠AQD 最大，即∠AQB 最大，此时其所对圆周角∠APB 最大，连接PQ .当PQ ＝5时，AQ ＝BQ ＝5，此时PQ ⊥y 轴且点P 为⊙O 与y 轴的切点，则Q 点的纵坐标为±52－（8－22）2＝±4，∵点P 在y 轴正半轴上， ∴点P 的坐标为(0，4)；第4题解图②(3)存在．如解图③，过点A 、B 作⊙N 且与OD 相切于点M ，连接MN 并延长，交OC 于点E ，连接MA 、MB 、NA 、NB ，过点N 作NF ⊥AB 于点F，第4题解图③∵∠MOA ＝∠BOM ，OM 为⊙N 的切线， ∴∠OMA ＝∠OBM . ∴△OMA ∽△OBM . 即OM OB ＝OAOM， ∴OM 2＝OA ·OB ＝400×(400＋2003)． ∴OM ＝(200＋2003)m . 易得FB ＝12AB ＝1003m ，∵∠O ＝60°，∠OME ＝90°， ∴∠MEO ＝30°. ∵OM ＝(200＋2003)m . ∴OE ＝2OM ＝(400＋4003)m ， ∴BE ＝OE －OB ＝2003m . ∴FE ＝FB ＋BE ＝3003m . ∴在Rt △NFE 中， NF ＝FE ·tan ∠MEO ＝300 m .∴在Rt △BNF 中，tan ∠BNF ＝FB NF ＝1003300＝33.∴∠BNF ＝30°. ∵AB ︵＝AB ︵，∴∠AMB ＝12∠ANB ＝∠BNF ＝30°.5．解：(1)如解图①所示，Rt △ABC 即为所求．(只要画出一个符合要求的Rt △ABC 即可)第5题解图①(2)如解图②，连接OB .∵O 是正方形ABCD 的对称中心，且BM ＝CM ， ∴S △BOM ＝18×282＜17×282.∴点N 不可能在BM 上，由对称性，可知点N 也不可能在MC 上．显然，点N 不在AD 边上． ∴设点N 在AB 边上，连接ON .由题意，得12(BN ＋14)×14＝17×282，解得BN ＝2.由对称性知，当点N 在CD 边上时，可得CN ＝2.∴MN ＝142＋22＝102；第5题解图②(3)如解图③，过点A 作AH ⊥BD 于点H ，第5题解图③在Rt △ABD 中，AB ＝30，AD ＝40，∴BD ＝50，AH ＝24.易得S △AEF ＝S △CEF .∴S 四边形AECF ＝2S △AEF ＝2×12×EF ·AH ＝24EF . 由题意可知，只有S 四边形AECF 最小时，按设计要求在矩形ABCD 内种植红、黄两种花卉的费用最低．要使S 四边形AECF 最小，就需EF 最短．∵AH ⊥EF ，tan ∠HAD ＝tan ∠ABD ＝43<3，tan ∠BAH ＝tan ∠ADB ＝34＜3， ∴∠HAD ＜60°，∠BAH ＜60°.又∵∠EAF ＝60°，∴E 、F 两点分布在AH 异侧．∴△AEF 为锐角三角形．作其中任一锐角△AEF 的外接圆⊙O ，过O 作OG ⊥EF 于点G ，连接OA 、OF ，则EF ＝2GF ，∠GOF ＝∠EAF ＝60°.在Rt △OGF 中，OF ＝2OG ，GF ＝3OG ，∴EF ＝23OG ，又∵OA ＋OG ≥AH ，OA ＝OF ＝2OG ，∴2OG ＋OG ≥24，得OG ≥8.∴EF ＝23OG ≥16 3.∴当圆心O 在AH 上，即AE ＝AF 时，EF ＝16 3.∴EH ＝83＜18＝BH ，FH ＝83<32＝HD .∴当AE ＝AF 时，点E 、F 在BD 上．∴S 四边形AECF 的最小值为24×163＝384 3.∴3843×210＋(30×40－3843)×180＝216000＋115203≈235584(元)．∴按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用约为235584元．6. 解：(1)如解图①，⊙O 即为所求；第6题解图①【作法提示】①分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，交AB 两侧于E 、F 两点；②连接EF ，交AB 于点O ；③以点O 为圆心，OA 长为半径作圆，⊙O 即为所求．(2)存在．当△APB 是等边三角形时，矩形ABCD 的面积最小．如解图②，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，则PQ ＝4，∠P AQ ＝60°，∴AQ ＝PQ tan ∠P AQ ＝4tan60°＝433，则AB ＝2AQ ＝833，即矩形ABCD 面积的最小值为4×833＝3233；第6题解图②(3)存在．∵AB ＝62＋12，BC ＝62＋6，△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ＝AD ＝BC ＝62＋6.∴EC ＝DC －DE ＝AB －DE ＝6.又∵CF BF ＝12， ∴CF ＝BC 2＋1＝6，BF ＝2BC 2＋1＝6 2. 如解图③，连接EF ，则EF ＝CE 2＋CF 2＝62＝BF ，即△ECF 是等腰直角三角形，绕点F 顺时针旋转△FEM ，使得EF 与BF 重合，得到△FBM ′，则∠NFM ′＝∠NFB ＋∠BFM ′＝∠NFB ＋∠EFM ＝180°－∠MFN －∠EFC ＝45°为定角，BF ＝62为定长，第6题解图③∴当NB ＝BM ′时，NM ′最小，则AM ＋AN 最大，即四边形AMFN 面积最大．作△FNM 的外接圆⊙Q ，连接NQ 、QM ′，则∠NQM ′＝2∠NFM ＝90°，由圆的对称性知，∠NQB ＝12∠NQM ′＝45°.由BM ′＋QM ′＝BM ′＋QF ＝BM ′＋2BM ′＝BF ＝62，可得BM ′＝12－62，即NM ′＝2BM ′＝24－122，则AM ＋AN ＝AB ＋AE －(NB ＋ME )＝AB ＋AE －(NB ＋BM ′)＝AB ＋AE － NM ′＝242，则S 四边形AMFN 最大＝12EF ·(AM ＋AN )＝12×62×242＝144.。

中考面积平分问题

思考：对于不规则图形如何做面积平分线？
作业：如图，四边形ABCD是某商业用地示意图，现准备过点A修一条笔直的道路（宽度不计），使其平分四边形ABCD的面积.请你在图中作出这条路所在的直线，写出作法，并说明理由.
A
D
B
C
如图，在同学们放学路上，有一块矩形的草坪，很多同学为了少走一些路，就从草坪上面踩过，学校既为了方便学生行走又为了保护小草，于是决定，从草坪中铺一条小路（宽度不计），小路可以怎么样来铺？
为了铺好路之后草坪看起来更加美观，要求小路两边的草坪面积要相等，应该怎么样来铺小路？
面积平分问题
简单的面积平分问题
—三角形面积平分问题
A
证明：过点A作直线AE⊥BC于点E.
∵AD是中线 ∴BD=CD
B D E C
思考：对于任意三角形是否有三角形中线平分三角形面积？
探索：
三角形中，高相同，底相等，则面积相等三角形任意边的中线都将这个三角形分为等底同高的两个面积相等的三角形
结论：三角形的中线平分三角形的面积
四边形的面积平分问题
例：如图，在平行四边形中ABCD中，
对角线AC、BD相交于点O,点M是四边形内一定点请你做出一条直线，过点M且平分平行四边形 ABCD的面积.
分析：AC将平行四边形分为两个等底等高的两个三角形，所以 AC平分四边形ABCD的面积，同理得：BD也平分四边形ABCD的面积. AC、BD都过点O，O又是平行四边形ABCD的中心. 猜想：过点M、O的直线平分平行四边形ABCD. 验证：连接MO并延长交AB于点E，CD于点F . A D
F
C
.M
O
E
B
∴EF平分平行四边形ABCD,EF所在的直线即为所求.

面积的平分问题

面积的平分问题(1)平分三角形面积：找中线；问题1、某住宅小区有一块平行四边形花园，现在物业公司要对其进行绿化，要求用一条直线为分界线把这块平行四边形空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块用来植绿色植被，如果你是设计师，你应该怎样设计，才能满足要求？(2)平分平行四边形面积：找过对称中心的直线；问题2、如果花园形状是梯形，要求用一条直线为分界线把这块梯形空地分成面积相等的两块，如果你是设计师，你应该怎样设计，才能满足要求？(3)平分梯形面积：找两底中点所在直线；等积变形成三角形；等积变形成平行四边形问题3、如果花园形状是任意四边形，要求用一条直线为分界线把这块四边形空地分成面积相等的两块，如果你是设计师，你应该怎样设计，才能满足要求？(4)平分一般四边形：变形成等积的三角形。

思考如果花园形状是任意四边形ABCD，四边形内部有一条折线小路AEC刚好平分四边形面积，现在小区的物业公司想把折线小路修成直线小路，由于各种条件限制，小路要通过点A ，并且只能修在AC 和点E 之间，同时还要平分四边形面积，请你帮助设计？相关题目有一块梯形状的土地，现要平均分给两个农户种植(即将梯形的面积两等分)，试设计两种方案(平分方案画在备用图上)，并给予合理的解释。

解：设梯形上、下底分别为a 、b ，高为h 。

方案一：如图1，连结梯形上、下底的中点E 、F ，则S 四边形ABFE ＝S 四边形EFCD ＝(a ＋b)h 4方案二：如图2，分别量出梯形上、下底a 、b 的长，在下底BC 上截取BE ＝12(a ＋b)，连接AE ，则S △ABE ＝S 四边形AECD ＝(a ＋b)h 4 。

方案三：如图3，连结AC ，取AC 的中点E ，连结BE 、ED ，则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积的一半。

分析此方案可知，∵AE ＝EC ，∴S △AEB ＝S △EBC ，S △AED ＝S △ECD ，∴S △AEB ＋S △AED ＝S △EBC ＋S △ECD ，∴图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积的一半A B C D 备用图⑴A B C D 备用图⑵A B C D E F 图1A B C D E 图 2A B C D E 图 3。

中考数学解答重难专题专题三第25题综合与实践

5. 请你在图①中过点P作一条直线平分平行四边形ABCD的面积；在图②中过点M
作一条直线平分矩形ABCD的面积；在图③中作出两条直线(要求其中一条直线必
须过点 N)四等分正方形ABCD的面积．
解：作图如解图①，直线PO为所要求作的直线；
第5题图
作图如解图②，直线MO为所要求作的直线；作
图如解图③，直线NO，QO为所要求作的直线．
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是
AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为___2_13____．
(4)异侧线段差最大值问题
第4题图
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
解决思路：将异侧点转化为同侧即可解决．
，2∠DAB＝45°，则△OEF
(2)利用垂线段最短及轴对称性质
问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得 PMN转化在同一条直线上，想到作点P 关于OB的对称点P′，即求P′N＋MN的最小值，因此只要P′M⊥OA.利用垂线段最短求解．
12. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，则AP的值为___6_____．
第12题图
第13题图
13. 如图，在△ABE中，BE＝，AE＝2，以AB为边向三角形外作正方形ABCD，连接DE.则DE的最大值为___3___2__．
(2)费马点问题
2．求线段AP的最大值问题
当上图中AP取最大值时，利用旋转可得AP＝A′P，AB＝A′C＝a，且AC＝b，因为等腰△APA′中，∠APA′＝α为定值，所以AA′取最大值时，AP也取得最大值，而AA′≤AC＋A′C＝AB＋AC＝a＋b，所以A、C、A′三点共线时，AA′取得最大值为a＋b，再在等腰△APA′中计算AP最大值即可．

备战2020中考数学一轮专项训练：面积平分问题(含解析)

备战2020中考数学一轮专项训练：面积平分问题前言：“一学就会，一考就废？”，正是因为考试后缺少了这个环节从小学到初中，学生们经历了无数次考试。

通过考试可以检测同学们对知识的理解、掌握情况，提高应试能力。

但对待考试，部分同学只关注自己的分数，而对试卷的分析和总结缺乏重视。

结果常常出现一些题在考试中屡次出现，但却一错再错的情况。

这样，学生们无法从考试中获益，考试也就失去了它的重要意义。

做好试卷分析和总结是十分有必要的。

那么，怎样做好试卷分析呢？我认为，应从下面两点做起：一．失分的原因主要有如下四方面：（1）考试心理：心理紧张，马虎大意；（2）知识结构：知识面窄，基础不扎实；（3）自身能力：审题不清，读不懂题意；（4）解题基本功：答题规范性差。

只有查出、找准原因，才能对症下药，从弱项方面加强训练，以提高成绩。

二．“扭转乾坤”的方法做题的过程中对每一道题要试图问如下几个问题？（1）怎样做出来的？——想解题方法；（2）为什么这样做？——思考解题原理；（3）怎样想到这种方法？——想解题的基本思路；（4）题目体现什么样的思想？——揭示本质，挖掘规律；（5）是否可将题目变化？——一题多变，拓宽思路；（6）题目是否有创新解法？——创新、求异思维。

转变，让我们从一轮复习开始。

按照上面两点认真完成后面练习题。

希望每一位同学经过一轮复习后，能够扭转“一考就废”的局面，最后决胜中考。

1. 问题探究在矩形ABCD 中，AD ＝a ，AB ＝b (b >a )，P 为AB 边上一点，且PB ＝m (m <a )，在CD 边上有两点M 、N .(1)如图①，求证：△MPB 的面积与△NPB 的面积相等；(2)如图②，延长AB 到点S ，使BS ＝PB ，以BS 为边在直线AB 上方作正方形BSRQ ，连接AR 、AQ 、AC 、CR ，若△ACR 的面积等于矩形ABCD 面积的14，试确定a 、b 、m 的关系；第1题图问题解决(3)如图③，有一片矩形绿地ABCD ，现要修建一条高速公路，该公路要占用绿地△ABE ，按照施工要求，高速公路的边缘AE 不能超过BC 的中点，为补偿占用的绿地，试在AE 的延长线上找出一点F ，使四边形ADCF 的面积与原矩形ABCD 的面积相等，试在图③中画出图形并说明理由． (1)证明：如解图①，∵△MPB 与△NPB 同底等高， ∴S △MPB ＝S △NPB ；第1题解图①(2)解： S △ACR ＝S △ACQ ＋S △AQR ＋S △CQR ＝12b (a －m )＋12m 2＋12m (a －m )＝12(ab ＋am －bm )，∵S △ACR ＝14S 矩形ABCD ，∴12(ab ＋am －bm )＝14ab ，∴ab ＋2am －2bm ＝0；(3)解：如解图②，连接AC ，过点B 作BF ∥AC 交AE 的延长线于点F ，连接CF .第1题解图②设AC 到BF 的距离为h ，则S △ABC ＝12AC ·h ，S △ACF ＝12AC ·h ， ∴S △ABC ＝S △ACF ， ∴S △ABE ＝S △CEF ， ∴S 矩形ABCD ＝S 四边形ADCF .2. 问题探究(1)如图①，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若△ABC 的面积为S ，则△ACD 的面积为________；(2)在图②中，当点E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、BC 的中点时，记四边形BEDF 的面积为S 1；当点E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AB 、BC 上时，且满足AE ＝13AB ，BF ＝13BC ，记此时的四边形BEDF 的面积为S 2.证明：S 1＝S 2； (3)如图③，在矩形ABCD 中，AB ＝nBC (n 为常数，且n ＞0)，点E 是AB 边上任意一点，点F 是BC 边上任意一点，若四边形BEDF 的面积始终等于矩形面积的12，请探究线段AE 、BF应满足怎样的数量关系，并说明理由．第2题图(1)解：12S ；【解法提示】∵ AD 为△ABC 中BC 边的中线， ∴DC 为BC 的一半，由图可知△ABC 与△ADC 同高，又知△ABC 的面积为S ，∴S △ACD ＝12S ； (2)证明：如解图①，连接BD, 当点E 、F 分别为AB 、BC 上的中点，第2题解图①由(1)可知S △BED ＝12S △ABD ， S △BDF ＝12S △BCD ，又∵根据平行四边形的性质可知S △ABD ＝S △BCD ＝12S ▱ABCD ， ∴S 1＝S △BED ＋S △BDF ＝12S ▱ABCD ，当点E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AB 、BC 上时，且满足AE ＝13AB ，BF ＝13BC ，∴BE ＝23AB ，则S △BDE ＝23S △ABD ，S △BFD ＝13S △BCD ，又∵S △ABD ＝S △BCD ＝12S ▱ABCD ， ∴S 2＝S △BDE ＋S △BFD ＝12S ▱ABCD . 综上所述，可证：S 1＝S 2；(3)解：如解图②，连接BD ，第2题解图②由题意可知四边形BEDF 的面积始终等于矩形面积的12，即根据等面积可知：AB ·BC ＝2(12BE ·AD ＋12BF ·AB )， ∵AB ＝nBC ，∴AB ·BC ＝2(12BE ·1n AB ＋12BF ·AB )＝BE ·1n AB ＋BF ·AB ，∴BC ＝1n BE ＋BF ， ∴1n AB ＝1n BE ＋BF ， ∴AE ＝nBF .。

专题二次函数与面积有关的问题(知识解读)-中考数学(全国通用)

专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。

与面积有关的问题，更是常见。

本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。

同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。

【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。

）方法二：铅锤法铅锤高水平宽⨯=21S方法三：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【类型二：面积平分】【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

【万唯中考】重难题型第25题综合与实践

题型十五第25题综合与实践注：综合与实践题均为3问，分值为12分．第(1)(2)问为问题探究阶段，一般考查简单尺规作图或计算，第(3)问为问题解决阶段，结合前两问的结论解决问题．类型一面积平分问题(2017、2013、2010.25)【类型解读】面积平分问题近10年涉及3次，题目所给图形：若在第(1)(2)问涉及则结合常见图形，如等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形，若在第(3)问则结合一般四边形．考查点：图形面积二等分和四等分问题．考查形式：过图形上一点或图形内一点作直线平分图形的面积．【满分技法】链接至P64、P119“微专题”．针对训练1.问题探究(1)如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，请你过点A作一条直线AD，其中点D为BC上一点，使直线AD平分△ABC的面积；(2)如图②，点P为▱ABCD外一点，AB＝6，BC＝12，∠B＝45°，请过点P作一条直线l，使其平分▱ABCD的面积，并求出▱ABCD的面积；问题解决(3)如图③，在平面直角坐标系中，四边形OABC是李爷爷家一块土地的示意图，其中OA∥BC，点P 处有一个休息站点(占地面积忽略不计)，李爷爷打算过点P修一条笔直的小路l(路的宽度不计)，使直线l 将四边形OABC分成面积相等的两部分，分别用来种植不同的农作物．已知点A(8，8)、B(6，12)、P(3，6)．你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．第1题图2.问题探究(1)请在图①中作两条直线，使它将半圆O的面积三等分；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，请在图②中过点A作两条直线，使它们将矩形ABCD 的面积三等分，并说明理由；问题解决(3)如图③，李师傅有一块平行四边形ABCD的菜地，其中AB＝AC＝100米，BC＝120米，菜地A处有一用来灌溉的水源．李师傅现准备修两条笔直的小路将菜地面积三等分后给自己的三个儿子，要求三个儿子能在灌溉时共用A处水源，那么李师傅能否实现自己的想法？若能，请通过计算、画图说明；若不能，请说明理由．第2题图3. (2019西安莲湖区模拟)问题提出(1)如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；问题探究(2)如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由；解决问题(3)如图③，刘老伯有一块筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O(0，0)、A(4，0)、B(0，4)、C(6，6)，是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙(墙的宽度不计)，将这块养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．第3题图4.问题探究(1)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，作一条直线平分四边形ABCD的面积；(2)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置关系和数量关系，并证明你的结论；问题解决(3)如图③，五边形OBCDE是西安市周边某村李大爷家的一块耕地缩略图(比例尺1∶15，单位米)，将其放在平面直角坐标系中，则点B(8，0)，C(8，4)，D(4，6)，E(0，6)，点P(0，8)处有一水井(占地面积忽略不计)，李大爷打算过点P修一条笔直的水渠(水渠的宽度不计)，并且使这条水渠所在的直线l将五边形OBCDE分成面积相等的两部分便于灌溉．你认为是否存在直线l能满足李大爷的要求，若能，确定出水渠在五边形耕地上的位置；若不能，请说明理由．第4题图类型二面积最值问题(2012、2011.25)【类型解读】面积最值问题(不涉及辅助圆)近10年考查2次，此类问题多涉及图形变化，考查形式包含：①与图形位似结合求面积最值、面积和最值；②与图形折叠结合求面积最值．【满分技法】1.已知△ABC 两边长及其夹角，利用S △ABC＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；2．已知△ABC 两边长a 、b ，求最大面积，当且仅当这两边垂直(两边夹角为90°)时，S △ABC 最大＝12ab ；3．求四边形面积时转化为求三角形的面积和来求．1. 问题探究(1)如图①，在△OAB 中，∠AOB ＝90°，作△OAB 关于点O 的对称△OCD ，连接AD 、BC . ①作出四边形ABCD ，则四边形ABCD 的形状为____________； ②若AO ＋BO ＝6，求四边形ABCD 的最大面积；(2)如图②，在矩形ABCD 中，对角线的长之和为12，求矩形ABCD 的最大面积；问题解决(3)如图③，李师傅有一个半径为R 的圆形板材⊙O ，他准备利用该板材裁一个矩形，是否能裁出面积最大的矩形？若能，求出矩形的最大面积；若不能，请说明理由．第1题图针对训练2.问题探究(1)请在图①所示的矩形中裁出一个正方形，画出你的裁剪方法，裁剪线用虚线表示；(2)如图②，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，正方形EFGH的四个顶点至少有3个在矩形ABCD 的边上，请通过计算，确定正方形EFGH面积的最大值和最小值；问题解决(3)如图③，有一块三角形铁皮ABC，其中AB＝AC＝10米，BC＝12米，现在需要从这块铁皮上剪下一个正方形PQMN用作一个正方体盒子的盖子，要求正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另外两个顶点分别在△ABC的另两边上．试通过计算确定，如何裁剪，可以使得所得到的正方形面积最大？第2题图3.问题探究(1)如图①，点M、N分别为四边形ABCD的边AD、BC的中点，则四边形BNDM的面积与四边形ABCD 的面积关系是____________；(2)如图②，在四边形ABCD中，点M、N分别为AD、BC的中点，MB交AN于点P，MC交DN于点Q.若S四边形MPNQ＝10，则S△ABP＋S△DCQ的值为多少？问题解决(3)如图③，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，点M、N为AB上两点，且满足BN＝2AM＝2MN，连接MC、MD.若点P为CD上任意一点，连接AP、NP，使得AP与DM交于点E，NP与MC交于点F，则四边形MEPF的面积是否存在最大值？若存在，请求出其最大面积；若不存在，请说明理由．第3题图4.问题提出(1) 如图①，线段AB的长为42，请你作出以AB为斜边且面积最大的Rt△ABC；问题探究(2)如图②，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，请你求出四边形ABCD的面积；问题解决(3)如图③，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，BD＝4.小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合图③中条件的四边形，裁取时要求尽可能节约，你能求出此时四边形ABCD面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．第4题图类型三线段最值问题(2018、2016、2015.25)【类型解读】线段最值问题近10年考查3次，考查形式为利用轴对称的性质和两点之间线段最短，求线段的最小值、三角形或四边形周长的最小值．【满分技法】链接至P63、P120、P123“微专题”．1. 问题探究(1)如图①，点E 是正△ABC 高AD 上的一定点，请在AB 上找一点F ，使EF＝12AE ，并说明理由；(2)如图②，点M 是边长为2的正△ABC 高AD 上的一动点，连接CM ，求12AM ＋MC 的最小值；问题解决(3)如图③，A 、B 两地相距600 km ，AC 是沿东西方向向两边延伸的一条笔直的铁路．点B 到AC 的最短距离为360 km.今计划在铁路线AC 上修建一个中转站M ，再在BM 间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A 到M 再通过公路由M 到B 的总运费最少，请确定中转站M 的位置，并求出AM 的长．(结果保留根号)第1题图2. 问题探究(1)如图①，点M 、N 分别是△ABC 边AB 、AC 上任意一点，在BC 边上确定一点P ，使得PM ＋PN 的值最小；(2)如图②，点M 是边长为2的正方形ABCD 对角线AC 上一动点，N 为CD 边的中点，求△DMN 周长针对训练的最小值；问题解决(3)如图③，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB边的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．若M为x轴上任意一点，N为y轴上任意一点，当四边形MNFE的周长最小时，求出点M、N的坐标，并求出周长的最小值．第2题图3. (2019西安交大附中模拟)问题提出(1)如图①，点M、N是直线l外两点，在直线l上找一点K，使得MK＋NK最小；问题探究(2)如图②，在等边三角形ABC内有一点P.且P A＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数的大小；问题解决(3)如图③，矩形ABCD是草根公园的平面图，AB＝303米，BC＝60米，现需要在公园里修一凉亭E，使得到公园出口A、B、C的距离之和最小，问：是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA＋EB＋EC的最小值，并判断点E是否在对角线BD上；若不存在，请说明理由．第3题图4. (2019西工大附中模拟)问题提出(1)如图①，已知在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，BC ＝2＋23，求点A 到BC 的距离；问题探究(2)如图②，已知边长为3的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边AD 和BC 上，且AE ＝13AD ，CF ＝13BC ，连接BE 、DF ，若点M 、N 分别为BE 、DF 上的动点，连接MN ，求线段MN 长度的最小值；问题解决(3)如图③，已知在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝3，CB ＝CD ＝2，∠ABC ＝60°，连接BD ，将线段BD 沿BA 方向平移至ME ，点D 的对应点为点E ，点N 为边CD 上一点，且DN ＝BM ，连接MN ，MN 的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．第4题图．类型四辅助圆问题(2014～2019.25)【类型解读】利用辅助圆探究满足特殊角的点问题近10年考查6次，考查形式：第(1)(2)问一般考查简单作图或计算，第(3)问一般为利用辅助圆探究满足45°、60°、90°、120°角的点的存在性问题．【满分技法】链接至P96“微专题辅助圆问题”．针对训练1. (2019陕西副题第25题12分)问题提出(1)如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC；问题探究(2)如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM. 试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1∶6的两部分．求点N到点M的距离；问题解决(3)如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30 m，BC＝40 m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这结果保留整数．参考数据：2≈1.4，3≈1.7)两种花卉的种植至少需费用多少元？(2. (2018陕西副题25题12分) 问题提出(1)如图①，在△ABC 中，AB ＝4，∠A ＝135°，点B 关于AC 所在直线的对称点为B ′，则BB ′的长度为________；问题探究(2)如图②，半圆O 的直径AB ＝10，C 是AB ︵的中点，点D 在BC ︵上，且CD ︵＝2BD ︵，P 是AB 上的动点，试求PC ＋PD 的最小值；问题解决(3)如图③，扇形花坛AOB 的半径为20 m ，∠AOB ＝45°.根据工程需要，现想在AB ︵上选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个△PEF ，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带PE ＋EF ＋FP 的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的△PEF 为等腰三角形．试求PE ＋EF ＋FP 的值最小时的等腰△PEF 的面积．(安装损耗忽略不计)第2题图3.(1)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为________；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM＋MN的最小值；(3)如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值？若存在，求这个最小值及此时BF的长度；若不存在，请说明理由．第3题图4.问题探究(1)如图①，⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆心O到AB的距离为________；(2)如图②，线段BC和动点A构成△ABC，已知BC＝6，∠BAC＝60°，过点A作BC边上的高线AD.若点D在线段BC上，求线段AD长度的最小值；问题解决(3)李老师为了增加数学学习的趣味性，设计了一个“寻宝”游戏：如图③，在平面内，线段AB长为6 cm，线段AB外有一动点P，且线段P A长为4 cm，又有一点Q，满足PB＝BQ，且∠PBQ＝90°，当线段AQ的长度最大时，点Q的位置即为藏宝地．请你确定藏宝地的位置及此时藏宝地到点A的距离．第4题图5.问题提出(1)如图①，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AD边上的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，则EF＝________；(2)如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l，且AD＝3，∠BAC＝60°，求△ABC 面积的最小值；问题解决(3)如图③，某园林单位准备将一个四边形花圃ABCD划分为3个区域种植不同的花草．已知在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6 m，点E、F分别为边AB、AD上的点．若要保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，请说明理由．第5题图6. (2019西安交大附中模拟)问题发现(1)如图①，AB为⊙O直径，请在⊙O上找一点P，使∠ABP＝45°；(不必写作法)问题探究(2)如图②，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝32，D是AB上一点，AD＝22，在BC 边上是否存在点P，使∠APD＝45°？若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由；问题解决(3)如图③，为矩形足球场的示意图，其中宽AB＝66米，球门EF＝8米，且EB＝F A.点P、Q分别为BC、AD上的点，BP＝7米，∠BPQ＝135°，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ 上的何处时才能使射门角度(∠EMF)最大？求出此时PM的长．第6题图7. (2019陕师大附中模拟)问题探究(1)如图①，已知等腰△ABC的顶角∠A＝30°，其外接圆半径为2，则底边上的中线AD长为________；(2)如图②，已知△ABC，∠BAC＝60°，BC＝2，点D、E分别为边AC、BC的中点，求DE长的最大值；问题解决(3)如图③，点A、B为两个物资生产站点，且站点A、B相距1 km，现需规划两个物资买卖站点C、D 及道路AC、AD.根据实际需要，站点B在站点C、D所连的线段上，且到站点C、D的距离相等，站点A 对站点C、D的张角为45°，即∠CAD＝45°，若要使得站点A、C的距离与站点A、D的距离和最长，试求AC＋AD的最大值．(结果用根号表示)第7题图8. (1)如图①，等边△ABC的边长为2，点D为BC边上一点，连接AD，则AD长的最小值是________；(2)如图②，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB中点，若P为对角线BD上一动点，Q 为边AD上一动点，计算EP＋PQ的最小值；(3)如图③，已知在四边形ABCD中，∠BAD＝75°，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝42，E为CD边上一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，在AF上截取FP＝FD，连接BP、CP.试问在四边形ABCD内是否存在点P，使得△PBC的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位置，并求出△PBC 的最小面积；若不存在，请说明理由．第8题图参考答案类型一面积平分问题针对训练1.解：(1)如解图①，取BC的中点D，作直线AD，则直线AD平分△ABC的面积；第1题解图①(2)如解图②，连接AC、BD，AC与BD交于点O，则点O为平行四边形ABCD的对称中心，作直线OP，则直线OP平分▱ABCD的面积．第1题解图②∵AB＝6，BC＝12，∠B＝45°，∴点A到BC的距离为6×sin45°＝32，∴S▱ABCD＝12×32＝362；(3)存在．如解图③，过点B作BD⊥x轴于点D，交AO于点E，连接OB、AP，则E(6，6)，直线l交AB于点F，交BD于点G.第1题解图③∵B(6，12)，P(3，6)，∴点P为线段OB的中点．∵OA∥BC，BE∥OC，∴四边形OEBC是平行四边形．∴点P 是平行四边形OEBC 的对称中心， ∴任意一条过点P 的直线平分平行四边形OEB C. ∴过点P 的直线l 只要平分△ABE 的面积即可．设直线l 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则有3k ＋b ＝6，即b ＝6－3k ， ∴直线l 的表达式为y ＝kx ＋6－3k .设直线AB 的表达式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，将点B (6，12)、A (8，8)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝128m ＋n ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝24， ∴直线AB 的表达式为y ＝－2x ＋24.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋6－3k y ＝－2x ＋24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18＋3kk ＋2y ＝12＋18k k ＋2，∴F (18＋3k k ＋2，12＋18k k ＋2)．把x ＝6代入y ＝kx ＋6－3k ，得y ＝3k ＋6， ∴G (6，3k ＋6)．设直线AP 的表达式为y ＝ax ＋c (a ≠0)，将A (8，8)、P (3，6)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋c ＝83a ＋c ＝6，解得⎩⎨⎧a ＝25c ＝245， ∴直线AP 的表达式为y ＝25x ＋245，当x ＝6时，y ＝365，∵365<y G <y B， ∴365＜3k ＋6＜12，解得25＜k ＜2.∵S △BFG ＝12BG ·(x F －6)＝12(12－3k －6)(18＋3k k ＋2－6) ＝12×12×(8－6)×(12－6) ＝3，解得k ＝23或k ＝4(舍去)，∴b ＝6－3k ＝4，∴直线l 的表达式为y ＝23x ＋4.2. 解：(1)作直线如解图①所示；第2题解图①(2)如解图②所示，直线AP 、AQ 即为所求．理由如下：如解图②，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4， ∴矩形ABCD 的面积为12.设过点A 的直线分别交BC 、CD 于点P 、Q ，使直线AP 、AQ 把矩形ABCD 的面积三等分，则S △ABP ＝S △ADQ ＝4，即12×3BP ＝12×4DQ ＝4， ∴BP ＝83，DQ ＝2，∴当BP ＝83，DQ ＝2时，直线AP 、AQ 把矩形ABCD 的面积三等分；第2题解图②(3)李师傅能实现自己的想法．如解图③，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E . ∵AB ＝AC ＝100米，BC ＝120米， ∴BE ＝12BC ＝60米，∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝80米，∴S ▱ABCD ＝BC ·AE ＝120×80＝9600(平方米)，过点A 作AF ⊥CD ，垂足为点F ， ∵CD ＝AB ＝100米，CD ·AF ＝BC ·AE ， ∴AF ＝BC ·AE CD ＝120×80100＝96(米)．设过点A 的直线分别交BC 、CD 于点P 、Q ，使直线AP 、AQ 把平行四边形ABCD 的面积三等分，则S △ABP＝S △ADQ ＝13×9600＝3200(平方米)，即12BP ·AE ＝12DQ ·AF ＝3200， ∴BP ＝80米，DQ ＝2003米，∴当BP ＝80米，DQ ＝2003米时，直线AP 、AQ 把平行四边形ABCD 的面积三等分．第2题解图③3. 解：(1)如解图①，取BC 边的中点D ，连接AD ，则线段AD 即为所求．在Rt △ABC 中，AB ＝3，AC ＝4， ∴BC ＝AB 2＋AC 2＝5，又∵点D 为BC 边的中点， ∴AD ＝12BC ＝52；第3题解图①(2)S △AOM ＝S △BON .理由：S △AOM ＝S △AMN －S △OMN ，S △BON ＝S △BMN －S △OMN ，∵△AMN 与△BMN 同底等高，∴S △BMN ＝S △AMN ，∴S △AOM ＝S △BON ； (3)存在．如解图②，连接AB ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，CE ⊥y 轴于点E ，第3题解图②∵C (6，6)，∴CE ＝OD ＝6，OE ＝CD ＝6， ∴四边形ODCE 为正方形， S 四边形ODCE ＝6×6＝36.∵A (4，0)，B (0，4)，∠AOB ＝90°， ∴S △AOB ＝12×4×4＝8，∵AD ＝6－4＝2，BE ＝6－4＝2，∴S Rt △BCE ＝12×2×6＝6，S Rt △CAD ＝12×2×6＝6，∴S 四边形OACB ＝S 四边形ODCE －S Rt △BCE －S Rt △CAD ＝36－6－6＝24. ∵直线BP 平分四边形OACB 的面积，且点P 在AC 上， ∴S △BPC ＝S 四边形OAPB ＝12×24＝12.又∵S △ABP ＝S 四边形OAPB －S Rt △OAB ＝12－8＝4， ∴S △ABP ＝14S △ABC ，∴AP ＝14A C.∵点A (4，0)，C (6，6)， ∴P (92，32)．设直线BP 的表达式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，将B (0，4)，P (92，32)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝492a ＋b ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－59b ＝4. ∴直线BP 的表达式为y ＝－59x ＋4.4. 解：(1)如解图①，直线l 是AD 或BC 的垂直平分线，则直线l 平分四边形ABCD 的面积；第4题解图①(2)AD ∥EF ∥BC ，EF ＝AD ＋BC2.证明：如解图②，连接AF 并延长与BC 的延长线交于点G ， ∵AD ∥BC ，∴∠D ＝∠FCG ，∠DAF ＝∠G ， ∵DF ＝FC ，∴△ADF ≌△GCF (AAS)， ∴AD ＝CG ，∴BG ＝BC ＋CG ＝BC ＋AD ， ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴在△ABG 中，EF ＝12BG ，EF ∥BG ，∴AD ∥EF ∥BC ，EF ＝AD ＋BC2；第4题解图②(3)能．如解图③，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ，则四边形OBCF 是矩形，DE ∥CF ∥OB ，第4题解图③连接OC 、BF 交于点M ，G 、H 分别是EF 、DC 的中点，连接GH ，取GH 的中点N ，则直线MN 平分五边形OBCDE 的面积．设直线MN 分别与DE 、CF 、OB 交于点L 、R 、K ， ∵G 、H 分别是EF 、DC 的中点， ∴DE ∥GH ∥CF ，∴点N 是LR 的中点，由(2)可得GN ＝EL ＋FR 2，NH ＝LD ＋RC2，∵GN ＝NH ， ∴EL ＋FR 2＝LD ＋RC2， ∴S 四边形EFRL ＝S 四边形CDLR ， ∵S 四边形OKRF ＝S 四边形BCRK ，∴S 四边形EFRL ＋S 四边形OKRF ＝S 四边形CDLR ＋S 四边形BCRK ， ∴直线MN 平分五边形OBCDE 的面积，设线段LK 的中点是Q ，连接PQ ，直线PQ 分别与DE 、OB 交于点A 1、A 2， ∵△A 1QL ≌△A 2QK ，∴直线PQ 平分五边形OBCDE 的面积， ∵M (4，2)，N (3，5)，∴直线MN 的表达式为y ＝－3x ＋14， ∴L (83，6)，K (143，0)∵线段LK 的中点是Q ，∴点Q 的纵坐标是3，点Q 在直线MN 上， ∴点Q (113，3)，∵点P (0，8)，∴直线PQ 表达式为y ＝－1511x ＋8，∴A 1(2215，6)，A 2(8815，0)，∵耕地图比例尺1∶15， ∴2215×15＝22(米)，8815×15＝88(米)， ∴水渠在五边形耕地开挖的位置是：一端位于DE 边上距E 点22米，另一端位于OB 边上距O 点88米．类型二面积最值问题针对训练1. 解：(1)①菱形；②如解图①，∵AO ＝CO ，BO ＝DO ，AO ＋BO ＝6， ∴AC ＋BD ＝2(AO ＋BO )＝12，设AC ＝x ，则BD ＝12－x ，∵由①得四边形ABCD 为菱形，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12x (12－x )＝－12x 2＋6x ＝－12(x －6)2＋18，∴当x ＝6时，S 菱形ABCD 最大＝18，即四边形ABCD 的最大面积为18；第1题解图①(2)如解图②，连接AC 、BD ，在矩形ABCD 中，AC ＝BD ，设AC 与BD 交于点O ， ∵AC ＋BD ＝12，∴AC ＝BD ＝6，OD ＝12BD ＝3，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，在Rt △DOE 中，DE ＝DO ·sin ∠DOE ， ∴S △ACD ＝12AC ·DE ＝12AC ·DO ·sin ∠DOE ，又∵S △ABC ＝S △ACD ， ∴S 矩形ABCD ＝2S △ACD＝AC ·DO ·sin ∠DOE ＝6×3sin ∠DOE ＝18sin ∠DOE ≤18，∴S 矩形ABCD 最大＝18；第1题解图②(3)能裁出面积最大的矩形．如解图③，连接AC ，BD ，在矩形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ＝90°， ∴AC ，BD 均为⊙O 的直径，即AC ＝BD ＝2R ，由(2)知，S 矩形ABCD ＝2S △ACD ＝AC ·DO ·sin ∠DOA ＝2R ·R ·sin ∠DOA ＝2R 2sin ∠DOA ≤2R 2， ∴S 矩形ABCD 最大＝2R 2.第1题解图③2. 解：(1)作图如解图①所示：第2题解图①(2)设AE＝x，则BE＝4－x，∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF，∠HEF＝90°，∴∠AEH＋∠BEF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠AHE＝∠BEF，∴△AEH≌△BFE(AAS)，∴BF＝AE＝x.在Rt△BEF中，由勾股定理得EF2＝BE2＋BF2＝(4－x)2＋x2＝2x2－8x＋16，即S正方形EFGH＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8.∵0≤x≤4，∴当x＝0或4时，正方形EFGH面积最大为16；当x＝2时，正方形EFGH面积最小为8；(3)分类讨论：i)当MN在BC上时，如解图②，过点A作AD⊥BC于点D，第2题解图②∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BD＝CD＝6，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝8.∵四边形PQMN是正方形，∴AD垂直平分MN.设AD交PQ于点K，ND＝x，则PK＝ND＝x，KD＝2x，∵∠AKP＝∠ADC＝90°，∠P AK＝∠CAD，∴△APK∽△ACD，∴AK AD ＝PKCD ，即8－2x 8＝x 6，解得x ＝125，则此时正方形PQMN 的边长为245；ii)当MN 在AB 上时，如解图③，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，交PQ 于点G ，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD ＝8.第2题解图③∵S △ABC ＝12BC ·AD ＝12AB ·CH ＝48，∴CH ＝485.设正方形PQMN 的边长为y ，则CG ＝CH －GH ＝485－y ，∵PQ ∥AB ，∴CG ⊥PQ ，∠CPQ ＝∠CAB ，又∵∠PCQ ＝∠ACB ， ∴△CPQ ∽△CAB ， ∴PQ AB ＝CG CH ，即y10＝485－y 485，解得y ＝24049，则此时正方形PQMN 的边长为24049.∵245＜24049， ∴以△ABC 的一腰为边，另两点在另一腰和底边上时，裁得的正方形面积最大． 3. 解：(1)S 四边形BNDM ＝12S 四边形ABCD ；(2)如解图①，连接BD ， ∵M 、N 是AD 、BC 的中点，∴S △ABM ＝S △BDM ，S △BDN ＝S △CDN ，(等底同高的两个三角形面积相等)由(1)可知，S 四边形BMDN ＝12S 四边形ABCD ，同理，S 四边形ANCM ＝12S 四边形ABCD ，∴S 四边形ANCM ＋S 四边形BMDN ＝S 四边形ABCD ， ∴S 四边形MPNQ ＝S △ABP ＋S △CDQ ＝10；第3题解图①(3)存在最大值．如解图②，连接PM ，设DP ＝x ，则PC ＝4－x ， ∵AM ∥DP ， ∴PE EA ＝PD AM， ∴PE P A ＝PD PD ＋AM ，即PE P A ＝x x ＋1， ∵S △MEP S △APM ＝PE P A，且S △APM ＝12AM ·AD ＝1，∴S △MPE ＝xx ＋1，同理可得S △MPF ＝4－x5－x， ∴S 四边形MEPF ＝x x ＋1＋4－x 5－x ＝2－1x ＋1－15－x ＝2－6－x 2＋4x ＋5＝2＋6（x －2）2－9≤2－23＝43，当x ＝2时，上式等号成立， ∴S 四边形MEPF 的最大值为43.第3题解图②4. 解：(1)如解图①，作线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，以点O 为圆心，在垂直平分线上截取OC ＝OA ，连接AC 、BC ，则Rt △ABC 即为所求；第4题解图①(2)如解图②，连接AC，过点A作CB的垂线交CB的延长线于点E，则∠ABE＝180°－∠ABC＝60°.∴AE＝AB·sin60°＝3，BE＝AB·cos60°＝1，∴CE＝2，∴AC＝AE2＋CE2＝7.∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝7，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12×1×3＋12×7×7×sin60°＝934；第4题解图②(3)能．如解图③，将△BCD绕点D顺时针旋转60°，得到△B′AD，连接BB′，第4题解图③由旋转的性质可知，BD＝B′D，∠B′AD＝∠C，∠B′DA＝∠BDC，∴∠BDB′＝60°，∴△BDB′为等边三角形，∴BB′＝BD＝4，∵∠ABC＋∠ADC＝135°，∴∠BAD＋∠C＝360°－135°＝225°，∴∠BAB′＝360°－∠BAD－∠DAB′＝135°.∵S四边形ABCD＝S△BDB′－S△ABB′，S△BDB′＝12×4×4×sin60°＝43，∴当△ABB′的面积最大时，四边形ABCD的面积最小．由(1)可知，当AB＝AB′时，△ABB′的面积最大，过点A作AM⊥BB′于点M，在BM上截取MN，使MN＝AM，连接AN，易知∠BAM＝67.5°，∠MAN＝45°，∴∠BAN＝∠NBA＝22.5°，∴AN＝BN.∵BB′＝4，AM⊥BB′，∴BM ＝2，设AM ＝MN ＝x ，则BN ＝AN ＝2－x ，在Rt △AMN 中，由勾股定理得AM 2＋MN 2＝AN 2，即x 2＋x 2＝(2－x )2，解得x ＝22－2或x ＝－22－2(不符合题意，舍去)， ∴S △ABB ′最大＝12×4×(22－2)＝42－4，∴四边形ABCD 面积的最小值为43－(42－4)＝43－42＋4.类型三线段最值问题针对训练1. 解：(1)如解图①，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，点F 即为所求．第1题解图①理由如下：∵点E 是正△ABC 的高AD 上的一点， ∴∠BAD ＝30°. ∵EF ⊥AB ，∴在Rt △AEF 中，EF ＝12AE ；(2)如解图②，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为点N ，第1题解图②∵△ABC 是正三角形，AD 为高， ∴∠BAD ＝12∠BAC ＝30°，∵MN ⊥AB ，∴在Rt △AMN 中，MN ＝12AM ，当C 、M 、N 三点共线时，12AM ＋MC ＝MN ＋MC ＝CN .此时12AM ＋MC 的值最小，最小值即为CN 的长．∵△ABC 是边长为2的正三角形， ∴CN ＝BC ·sin60°＝2×32＝3，即12AM ＋MC 的最小值为3； (3)如解图③，过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ，在AC 异于点B 的一侧作∠CAN ＝30°.第1题解图③过点B 作BF ⊥AN ，垂足为点F ，交AC 于点M ，点M 即为所求．在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝6002－3602＝480(km)，在Rt △MBD 中，∠MBD ＝∠MAF ＝30°，则MD ＝BD ·tan30°＝120 3 km ， ∴AM ＝AD －MD ＝(480－1203)km.2. 解：(1)如解图①，作点M 关于BC 的对称点M ′，连接M ′N 交BC 于点P ，则点P 就是所求的点；第2题解图①(2)如解图②，连接BD 交AC 于点O ，∵正方形的对角线互相垂直平分，第2题解图②∴点D 关于AC 的对称点为点B ，连接BN ，交AC 于点M ，连接DM ， ∴DM ＋MN ＝MB ＋MN ＝BN ，在AC 上任取一异于点M 的点M ′，连接BM ′、DM ′、M ′N ，则DM ′＋M ′N ＝BM ′＋M ′N ＞BN ， ∴当B 、M 、N 三点共线时，BN 取得最小值， ∴点M 就是所求的点，∵线段DN 的长为定值，∴当DM ＋MN 的值最小时△DMN 的周长最小，即周长的最小值为BN ＋DN 的值．∵正方形ABCD 的边长为2，N 为DC 的中点， ∴DN ＝1，BN ＝22＋12＝5， ∴△DMN 的周长的最小值为5＋1；(3)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点， ∴点E 坐标为(3，1)，又∵△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处，可知四边形ADFB 是正方形，∴BF ＝AB ＝OC ＝2，CF ＝BC －BF ＝3－2＝1， ∴点F 的坐标为(1，2)，如解图③，作点E 关于x 轴的对称点E ′，作点F 关于y 轴的对称点F ′，连接E ′F ′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，连接FN 、ME 、EF ，在OC 上任取一点N ′(不与点N 重合)，在OA 上任取一点M ′(不与点M 重合)，连接F ′N ′、N ′M ′、M ′E ′、FN ′、EM ′，则EF ＋FN ′＋N ′M ′＋M ′E ＝EF ＋F ′N ′＋N ′M ′＋M ′E ′>EF ＋E ′F ′，则取M 、N 点时四边形MNFE 的周长最小．第2题解图③∴E ′(3，－1)，F ′(－1，2)，设直线E ′F ′的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点E ′、F ′的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝－1－k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝－34b ＝54，∴直线E ′F ′的解析式为y ＝－34x ＋54.当y ＝0时，x ＝53，故点M 的坐标为(53，0)，当x ＝0时，y ＝54，故点N 的坐标为(0，54)．∵点E 与E ′关于x 轴对称，点F 与F ′关于y 轴对称， ∴NF ＝NF ′，ME ＝ME ′，F ′B ＝4，E ′B ＝3.在Rt△BE′F′中，E′F′＝BE′2＋BF′2＝32＋42＝5，∴FN＋NM＋ME＝F′N＋NM＋ME′＝E′F′＝5，在Rt△BEF中，EF＝BE2＋BF2＝12＋22＝5，∴FN＋NM＋ME＋EF＝E′F′＋EF＝5＋5，∴四边形MNFE周长的最小值是5＋ 5.3.解：(1)如解图①，连接MN，交l于点K，则点K即为所求点；第3题解图①(2)如解图②，将△APB绕点B顺时针旋转60°得△CP′B，则P′C＝AP＝3，BP′＝BP＝4，∠BP′C＝∠APB，∠PBP′＝60°，∴△PBP′为等边三角形，∴PP′＝BP＝4，∠PP′B＝60°.第3题解图②在△CP′P中，PC＝5，CP′＝3，PP′＝4，∴PC2＝P′C2＋P′P2，∴∠CP′P＝90°，∴∠BP′C＝∠CP′P＋∠BP′P＝90°＋60°＝150°，∴∠APB＝∠BP′C＝150°；(3)存在．连接AC，根据题意，解图取矩形ABCD中Rt△ABC部分，如解图③，将△ACE绕点C顺时针旋转60°得△NCM，则NM＝AE，CM＝CE，∠ECM＝60°.第3题解图③∴△ECM为等边三角形，∴EM＝CE，∴EA ＋EB ＋EC ＝BE ＋EM ＋MN .由“两点之间，线段最短”可知BE ＋EM ＋MN ≥BN ，当且仅当B 、E 、M 、N 四点共线时等号成立， ∴当EA ＋EB ＋EC 取最小值时E 在BN 上(如解图④)，最小值为BN 的长．第3题解图④连接AN ，易证△ACN 为等边三角形，同理可知，以AB 为边在AB 左侧作等边△ABF ，当EA ＋EB ＋EC 取最小值时E 在CF 上(如解图⑤)，最小值为CF 的长，∴E 为CF 、BN 的交点．第3题解图⑤如解图⑥，作FG ⊥BC ，交CB 的延长线于点G .由题意可知AB ＝303，BC ＝60，∠ABC ＝90°，第3题解图⑥∴BF ＝303，∠FBG ＝30°，∴FG ＝12BF ＝153，BG ＝32BF ＝45，CG ＝CB ＋BG ＝105，∴在Rt △CFG 中，CF ＝FG 2＋CG 2＝3013，即EA ＋EB ＋EC 最小值为3013.综上所述，点E 在BN 与CF 的交点上，如解图⑦，若点E 在对角线BD 上，则点E 为BN 和BD 的交点，即点E 与点B 重合，显然不合题意，故点E 不在对角线BD 上．第3题解图⑦4. 解：(1)如解图①，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设AD ＝x ，在Rt △ABD 中，∠B ＝30°，则BD ＝3AD ＝3x ，在Rt △ACD 中，∠C ＝45°，则CD ＝AD ＝x ， ∴BC ＝BD ＋CD ＝3x ＋x ＝23＋2，解得x ＝2，∴点A 到BC 的距离为2；第4题解图①(2)如解图②，过点E 作EG ⊥DF ，垂足为G ， ∵AE ＝13AD ，CF ＝13BC ，AD ＝BC ＝3，∴AE ＝CF ＝1，∴DE ＝BF ＝2，BE ＝10， ∵DE ∥BF ，∴四边形BEDF 为平行四边形， ∴∠AEB ＝∠GDE ，BE ∥DF ， ∴△BAE ∽△EGD ， ∴BE DE ＝AB EG ，即102＝3EG，解得EG ＝3105，∴线段MN 长度的最小值为BE 与DF 间的距离，即为EG 的长，即为3105；第4题解图②(3)存在．如解图③，连接AC 、DE ，AC 交BD 于点F ，作∠ABC 的平分线交AC 于点O ，连接OD 、OM 、ON ，过点O 作OP ⊥AB 于点P ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，∵AB ＝AD ，CB ＝CD ， ∴AC 垂直平分BD ，又∵AC ＝AC ， ∴△ABC ≌△ADC ， ∴∠BAC ＝∠DAC ，同理可证OB ＝OD ，∠OBC ＝∠ODC ， ∴∠MBO ＝∠OBC ＝∠ODN ＝30°， ∵BM ＝DN ，∴△BOM ≌△DON ，∴OM ＝ON ，∠BOM ＝∠DON ， ∴∠MON ＝∠BOD ， ∴△MON ∽△BOD ， ∴MN BD ＝MO BO ≥OP BO ＝12， ∴MN ≥12BD ，∵AQ ＝AB ·sin60°＝332， BQ ＝AB ·cos60°＝32，∴CQ ＝12，∴AC ＝AQ 2＋CQ 2＝7， ∵CB ·AQ ＝AC ·BF ，即2×332＝7BF ，解得BF ＝3217，∴BD ＝2BF ＝6217，∴MN 的最小值为3217.第4题解图③类型四辅助圆问题针对训练1. 解：（1）如解图①所示, Rt △ABC 即为所求. （只要画出一个符合要求的Rt △ABC 即可）(2分)第1题解图①（2）如解图②，∵O 是正方形ABCD 的对称中心，且BM =CM ，第1题解图②∴S △BOM =18⨯282＜17⨯282.∴点N 不可能在BM 上，由对称性，可知点N 也不可能在MC 上.显然,点N 不在AD 边上.(4分) ∴设点N 在AB 边上,连接ON . 由题意,得12(BN +14)⨯14=17⨯282，解之,得BN =2. 由对称性知,当点N 在CD 边上时,可得CN=2.∴221422+=（6分）（3）如解图③所示,过点A 作AH ⊥BD 于点H ，第1题解图③在Rt △ABD 中，AB=30，AD=40， ∴BD =50，AH =24.易得S △AEF =S △CEF . ∴S 四边形AECF =2S △AEF =212⨯⨯EF ·AH=24EF .由题意可知，只有S 四边形AECF 最小时，按设计要求在矩形ABCD 内种植红、黄两种花卉的费用最低. 要使S 四边形AECF 最小，就需EF 最短.（8分） ∵AH ⊥EF ，tan ∠HAD =tan ∠ABD =433tan ∠ADB =343 ∴∠HAD ＜60°，∠BAH ＜60°.又∵∠EAF =60°，∴E 、F 两点分布在AH 异侧.。

中考平分面积问题的探究(齐福德)

平分面积问题的探究近年来，中考中常遇到用一条直线平分一个平面图形面积的作图题，如何迅速解决这类问题呢，首先要掌握好以下一些常用的基本规律。

一.中心对称图形的面积平分在初中数学阶段，我们经常遇到的中心对称图形有圆和平行四边形等。

1. 圆我们知道，圆的对称中心就它的圆心，只要经过圆的圆心作一条直线，便可以将这个圆的面积平分。

2. 平行四边形我们知道，平行四边形的对称中心是两条对角线的交点，只要经过对角线的交点作一条直线，便可以将这个平行四边形的面积平分。

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，同样也可以用这种方式将面积平分。

一般地，对于中心对称图形，我们经过它的对称中心作一条直线便可以将它的面积平分。

二、组合图形的面积平分掌握了中心对称图形的面积平分规律，我们再来解决组合图形的面积平分就不是什么难事了，一般只要通过适当的方法将图形分解成两个中心对称图形的组合，问题便解决了。

例1. 如图1,AF ∥ED ∥BC ，AB ∥EF ∥CD ，请用一条直线将它分成面积相等的两部分。

（2005天津）（18）如图，已知五边形ABCDE 中，AB//ED ，∠A ＝∠B ＝90°，则可以将该五边形ABCDE 分成面积相等的两部分的直线有__________条，满足条件的直线可以这样趋确定： ____________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例2. 如图2,由4个相同大小的圆组成，请用一条直线将它分成面积相等的两部分。

陕西省2019年中考数学试题研究类型1面积平分问题练习

类型1 面积平分问题1. 问题探究(1)定义：两组邻边对应相等的四边形为筝形．写出一个你所学过的是筝形的特殊四边形：______；如图①，已知筝形ABCD ，连接AC ，试证明直线AC 平分该筝形ABCD 的面积；(2)如图②，已知四边形ABCD ，AB ＝AD ，BC ＝DC .在四边形ABCD 中找一点P ，连接PB 、PD ，使折线B —P —D 平分筝形ABCD 的面积，并说明理由；问题解决(3)现有一块如图③所示的菜田ABCD ，且D 处有一水井，现要过水井D 修一条灌溉水渠，该水渠近似为一条直线，且水渠两边菜田的面积相等，已知AB ＝AD ＝20 m ，BC ＝DC ＝20 5 m ，∠BAD ＝90°，则是否能修出这样的水渠？若能，求出该水渠的长度；若不能，请说明理由．第1题图解：(1)菱形(或正方形)；证明：如解图①，第1题解图①在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD BC ＝DC AC ＝AC，∴△ABC ≌△ADC (SSS)．∴直线AC 平分筝形ABCD 的面积；(2)如解图②，连接AC ，取AC 的中点P ，连接BP 、DP ，则折线B —P —D 平分筝形ABCD 的面积．第1题解图②理由如下：∵S △ABP ＝S △BPC ，(三角形等底同高面积相等)∴S △ABP ＝12S △ABC ，同理，S △ADP ＝12S △ADC ， ∴S △ABP ＋S △ADP ＝12S △ABC ＋12S △ADC . ∴S 四边形ABPD ＝12S 四边形ABCD . 即S 四边形ABPD ＝S 四边形BCDP .∴折线B —P —D 平分筝形ABCD 的面积；(3)能．如解图③，设直线DG 平分筝形ABCD 的面积，连接AC 、BD 交于点O ，第1题解图③∵OC >OA ，则S △ABD <S △CBD ，∴点G 在BC 边上．过点D 作线段DG 交BC 于点G ，设BG ＝x ，△DBG 的边BG 上的高为h ，∵AB ＝AD ＝20，∠BAD ＝90°，∴BD ＝20 2.又∵△CBD 是等腰三角形，则有CO ＝DC 2－DO 2＝2000－200＝302，∴12BC ·h ＝12BD ·CO ＝12×205h ＝12×202×30 2 ＝600，∴h ＝12 5.若△DGC 的面积等于四边形ABGD 的面积，即S △DCG ＝S △ABD ＋S △BDG ，则有12(205－x )h ＝12×20×20＋12xh ，即105h －12xh ＝200＋12xh ， ∴x ＝2035，即BG ＝13BC . 过点G 作GH ⊥BD 于点H ，∵AC ⊥BD ，GH ⊥BD ，∴GH ∥AC ，△BGH ∽△BCO ，则BH ＝13BO ，GH ＝13CO ， ∴BH ＝16BD ，DH ＝BD －BH ＝56BD ＝5032，GH ＝13CO ＝102， ∴GD ＝DH 2＋GH 2＝2500×29＋200＝20317. ∴能修出这样的水渠，该水渠的长度为20317 m. 2. 问题提出(1)如图①，已知△ABC ，过点A 作线段AD 交BC 边于点D ，使得AD 平分△ABC 的面积；问题探究(2)如图②，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝60°，AM ＝2，在BC 边上确定一点Q ，使得线段MQ 平分平行四边形ABCD 的面积，并求出MQ 的长；问题解决(3)如图③，在平面直角坐标系中有四边形ABCD ，A (0，2)、B (2，0)、C (4，0)、D (6，4)，过点A 作线段AE 交DC 于点E ，使得AE 平分四边形ABCD 的面积，并求点E 的坐标．第2题图解：(1)如解图①，取BC 边上的中点D ，连接AD ，线段AD 即为所求；第2题解图① 第2题解图②(2)如解图②，连接AC 、BD 交于点O ，连接MO 并延长，交BC 于点Q ，则MQ 即可平分平行四边形ABCD 的面积，且AM ＝CQ ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点M 作MF ⊥BC 于点F ，∵在▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴四边形AEFM 是矩形，AE ＝MF ，AM ＝EF ＝2.在Rt △ABE 中，∠B ＝60°，AB ＝6，∴BE ＝3，AE ＝33，∴FQ ＝BC －BE －EF －QC ＝8－3－2－2＝1，在Rt △MFQ 中，∠MFQ ＝90°，FQ ＝1，MF ＝AE ＝33，∴MQ ＝FQ 2＋MF 2＝12＋（33）2＝27；(3)如解图③，连接BD ，取BD 的中点P ，连接AP 、PC ，则BP ＝PD ，∴S △ABP ＝S △ADP ，S △BCP ＝S △CDP ，∵S 四边形ABCP ＝S △ABP ＋S △BCP ，S 四边形ADCP ＝S △ADP ＋S △DCP ，∴S 四边形ABCP＝S 四边形ADCP ，第2题解图③连接AC ，过点P 作PE ∥AC 交CD 于点E ，连接AE 交PC 于点F ，则S △APE ＝S △CPE ， ∴S △APF ＝S △CEF ，∴S △ADE ＝S 四边形ABCE ，∴线段AE 平分四边形ABCD 的面积．设直线AC 的解析式为y AC ＝kx ＋b (k ≠0)，将点A (0，2)，C (4，0)代入，可求得直线AC 的解析式为y AC ＝－12x ＋2， ∵B (2，0)，D (6，4)，∴线段BD 的中点P 的坐标为(4，2)，∵AC ∥PE,∴设直线PE 的解析式为y PE ＝－12x ＋m ，将点P (4，2)代入，可求得直线PE 的解析式为y PE ＝－12x ＋4. 设直线CD 的解析式为y CD ＝ax ＋n ，将点C (4，0)，D (6，4)代入，可求得直线CD 的解析式为y CD ＝2x －8，∵直线y CD ＝2x －8与y PE ＝－12x ＋4交点为E ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －8y ＝－12x ＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝245y ＝85， ∴点E 的坐标为(245，85)． 3. 问题提出(1)如图①，已知直线a ∥b ，点A 、B 分别是直线a 上不同的两点，分别过点A 、B 作AC ⊥b ，BD ⊥b ，垂足记为点C 、D ，则线段AC 和线段BD 的数量关系为AC ________BD ；(填“>”，“<”或“＝”)问题探究(2)如图②，在△ABC 中，点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，过点A 作直线a ∥BC ，点P 是直线a 上的任意一点，连接PM 、PN 、MN ，若四边形BCNM 的面积为3，则△PMN 的面积为________；问题解决(3)如图③，有一块四边形空地ABCD, AD ∥BC ，∠B ＝60°，AB ＝10米，AD ＝30米，BC ＝8米，点E 是BC 上一点，且BE ＝2米．市政为了美化城市，计划将这块空地改造成一片牡丹园，为了方便行人行走，计划在牡丹园中间过点E 修一条笔直的小路(路的宽度不计)，使得小路的另一出口在AD 上的点F 处，且EF 恰好将四边形ABCD 的面积平分．请你帮助市政设计出小路EF 的位置(在图中画出EF )，并求EF 的长(结果保留根号)．第3题图解：(1)＝；【解法提示】两平行线间的距离处处相等．(2)1；【解法提示】在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，∴MN ∥BC ，MN ＝12BC ， ∴S △AMN ＝14S △ABC ， ∴S 四边形MNCB ＝3S △AMN ，∴S △AMN ＝1.又∵直线a ∥BC ，MN ∥BC ，∴直线a ∥MN ，∴S △PMN ＝S △AMN ＝1.(3)如解图，在CD 上取点G ，使得CG ＝DG ，过点G 作HK ∥AB ，分别交AD 于点H ，交BC 的延长线于点K ，连接BH 、AK ，相交于点O ，连接EO 并延长交AD 于点F ，此时EF 即为所求．第3题解图过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，在Rt △ABQ 中，AB ＝10米，∠ABQ ＝60°，∴BQ ＝5米，AQ ＝53米．∵BE ＝2米，∴EQ ＝3米．过点E 作EP ⊥DA 交DA 的延长线于点P ，则四边形EQAP 是矩形，∴PE ＝AQ ＝53米，AP ＝EQ ＝3米．∵G 是CD 的中点，CK ∥HD ，∴∠KCG ＝∠HDG ，∠CKG ＝∠DHG ，CG ＝DG ，∴△CKG ≌△DHG (AAS)，∴CK ＝DH ，又由作图及题知HK ∥AB ，AD ∥BC ，∴四边形ABKH 是平行四边形，∴AH ＝BK ，∴AH ＝BC ＋CK ＝BC ＋HD ＝AD －HD ，∴HD ＝12(AD －BC )＝12×(30－8)＝11米， ∴AH ＝AD －HD ＝30－11＝19米，∵FH ＝BE ＝2米，∴AF ＝AH －FH ＝17米，∴PF ＝PA ＋AF ＝3＋17＝20米，在Rt △EPF 中，由勾股定理得EF ＝PE 2＋PF 2＝（53）2＋202＝519米．。

初中平分面积周长问题

ECD图1ABCD图21.如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；（2）如图1，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S梯形ABCD＝S △ABE ．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S △ADC ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．2如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ，且BC ≠AC ，在△ABC 上画一条直线，若这条直线．．既平分△ABC 的面积，又平分△ABC 的周长，我们称这条线为△ABC 的“等分积周线”．（1）请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC 的“等分积周线”；（2）在图1中过点C 能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由；（3）如图2，若AB ＝BC ＝5cm ，AC ＝6cm ，请你找出△ABC 的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方法．3在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；A B C 图2A B C 图1（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．4问题探究（1）请你在图①中作一条．．直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；（2）如图②，点M是矩形ABCD内一定点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB＝6，BC＝4，CD＝4．开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路的宽度不计），并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分．你认为直线l是否存在？若存在，求出直线lDBC①②③ABC图1P 1 P 2R 2R 15.如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．（1）求NC ，MC 的长（用t 的代数式表示）；（2）当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形．6（江苏省苏州市）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6．P 是AB 边上的一个动点（异于A 、B 两点），过点P 分别作AC 、BC 边的垂线，垂足为M 、N ．设AP ＝x ．（1）在△ABC 中，AB ＝_________；（2）当x ＝_________时，矩形PMCN 的周长是14；（3）是否存在x 的值，使得△PAM 的面积、△PBN 的面积与矩形PMCN 的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明．7某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S 表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC ，P 1，P 2三等分边AB ，R 1，R 2三等分边AC ．经探究知2121R R P P S 四边形＝13 S △ADE ，请证明．N A CP M BAB图2P 1P 2R 2R 1DQ 1Q 2问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD ，如图2，Q 1，Q 2三等分边DC ．请探究2211P Q Q P S 四边形与S 四边形ABCD 之间的数量关系．问题3：如图3，P 1，P 2，P 3，P 4五等分边AB ，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4五等分边DC ．若S 四边形ABCD＝1，求3322P Q Q P S 四边形．问题4：如图4，P 1，P 2，P 3四等分边AB ，Q 1，Q 2，Q 3四等分边DC ，P 1Q 1，P 2Q 2，P 3Q 3将四边形ABCD 分成四个部分，面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．请直接写出含有S 1，S 2，S 3，S 4的一个等式．1．如图，一次函数7-x y +=与正比例函数x \y 34=的图象交于点A ，且与x 轴交于点B 。

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2018年4月35日中考综合题-------面积平分问题
1．问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．
2．探索发现：
（1）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为S，则△ACD的面积为．
联系拓展：
（2）在图2中，E、F分别是?ABCD的边AB、BC的中点，若?ABCD的面积为S，求四边形BEDF的面积？并说明理由．
（3）在图3中，E、F分别是?ABCD的边AB、BC上的点，且AE=AB，BF=BC，若?ABCD 的面积为S，则四边形BEDF的面积为．
解决问题：
（4）如图4中，矩形ABCD中，AB=nBC（n为常数，且n＞0）．E是AB边上的一个动点，F是BC边上的一个动点．若在两点运动的过程中，四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的，请探究线段AE、BF应满足怎样的数量关系，并说明理由．
3．如果图1，已知直线m∥n，A、B为直线n上两定点，C、D为直线m上两动点，容易证明：△ABC的面积=△ABD的面积；
问题探究
（1）在图2中画出与四边形ABCD面积相等且以AB为一条边的三角形．
（2）在图3中，已知正方形ABCD的边长为4，G是边CD上一点，以CD为边作正方形GCEF，当CG=a时，求△BDF的面积．
问题解决
（3）李大爷家有一块正方形的果园如图4所示，由于修建道路，图中三角形BCE区域将被占用，现决定在DE右侧补给一块土地，补偿后，果园将调整为四边形ABMD，要求补偿后的四边形ABMD的面积与原来形正方形ABCD的面积相等且M在射线BE上．请你在图4中通过画图来确定M点的位置，并简要叙述画法和理由；若AB=4，CE=a，求出上图中tan ∠MDC的值．
4．问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为；问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交
于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）
5．提出问题：爸爸出差回家带了一个分布均匀的等腰三角形蛋糕礼物给儿子（如图1，AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，双胞胎儿子大毛和小毛决定只切一刀将这块蛋糕平分吃（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．
尝试解决：
（1）大毛很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮大毛在图1中作出
这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．
（2）小毛觉得大毛的方法很好，所以自己模仿着在蛋糕上过点C画了一条直线CD交AB 于点D．你觉得小毛会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（用图2说明）
（3）若AB=BC=5cm，AC=6cm，如图3，你能找出几条△ABC的“等分积周线”，请分别画出，并简要说明确定的方法．
6．（1）请在图①中画出与△ABC面积相等的三个三角形：△ABC
1、△ABC
2
、△ABC
3
，其中
点C
1、C
2
、C
3
为△ABC所在平面上异于点C的三个不同点；
（2）请在图②中射线BC上通过画图确定一点E，使得S
△ABE =S
四边形ABCD
，并简要叙述画法和
理由；
问题解决
（4）李大爷家有一块果园如图③中的四边形ABCD，由于修路，图中三角形CEF区域将被占用，现决定在DF的右侧补给他一块土地，要求补偿前后的总面积不变，已知∠A=135°，∠B=60°，∠D=105°，AB=350m，BE=（100+50）m，CF=300m，DF=100m，若所补区域为三角形DFG，且点G在射线EF上，请求出符合条年的FG的长度．
7．问题探究
（1）如图1，点E为矩形ABCD内一点，请过点E作一条直线，将矩形ABCD的面积分为相等的两部分；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为对角线AC上一点，且AC=3AP，请问在边CD上是否存在一点E，使得直线PE将矩形ABCD的面积分为2：3两部分，如果存在求出DE的长；如果不存在，请说明理由；
解决问题
（3）如图3，现有一块矩形空地ABCD，AB=80米，BC=60米，P为对角线AC上一点，且PC=3AP，计划在这块空地上修建一个四边形花园AECF，使得E、F分别在线段AD、AB上，且EF经过点P，若每平方米的造价为100元，请求出修建该花园所需费用的范围（其他费用不计）．
8．平面上有三点M、A、B，若MA=MB，则称点A、B为点M的等距点．
问题探究：（1）如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为AB上一点，试在AC上确定一点Q，使点P、Q为点A的等距点；
（2）如图②，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P是AD边上一定点，试在BC边上找点Q，使点P、Q为点O的等距点，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上一动点，在边CD上是否存在点Q，使点B、Q为点P的等距点，同时使四边形BCQP的面积为正方形ABCD面积的一半？若存在这样的点Q，求出CQ的长；若不存在，说明理由．
9．提出问题
在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
探究问题
（1）如图①，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=4，请你过点C画出△ABC 的一条“等分积周线”，与AB交于点D，并求出CD的长；
（2）如图②，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，过点C画一条直线CE，其中点E为AB 上一点，你觉得CE可能是△ABC的“等分积周线”吗？请说明理由；
解决问题
（3）西安市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处．在某地的街心花园中有一块如图③所示的空地ABCD，其中∠A=∠B=90°，AB=4，BC=6，CD=5，现要在这块空地上修建一条笔直的水渠（渠宽不计），使这条水渠所在的直线既平分四边形ABCD的周长，又平分四边形ABCD的面积，且要求这条水渠必须经过BC边．请你画出所有满足条件的水渠，说明理由，并求出该水渠与BC边的交点到点B的距离．。