二重积分习题总结
二重积分复习题
二重积分复习题二重积分复习题第九章二重积分复习题一、选择题 1.设D{(x,y)|x2y24}，则二重积分dxdy（）（A）（B）2（C） 3（D） 4 3. 设区域D是单位圆x y21在第一象限的部分，则二重积分xydxdy（）dy (B) 0dyxydy (D) 0y2a2 (a>0) 所围成区域的面积为S ，则 a0a2x2dx=（ (A) S (B)1 2 S (C) 1 3 S (D) 1S 5. 交换二次积分顺序后，f(x,y)dy=（）f(x,y)dx (B) 00 f(x,y)dxf(x,y)dx (D) 0f(x,y)dxdxdy（），其中D由直线y x,y2x,y1所围.(C) 1 (D)7. 设D由y1,x2及y x所围成，则f(x,y)dxdy（）f(x,y)dy 2f(x,y)dyf(x,y)dx (D) 0f(x,y)dx8. 设D:xy21,则xdxdy＝（）(A) (B)1 (C)0 (D) 29. 设区域D为1x2,3y4，积分(C) 0 (D) ln210. 二次积分f(x,y)dx（）f(x,y)dy （B）dxf(x,y)dyf(x,y)dy （D）f(x,y)dy11. 若区域D为xy21，则二重积分f(x,y)dxdy化为累次积分为（）（A）（C）f(x,y)dy f(x,y)dy（B）（D）f(x,y)dyf(x,y)dx14. 设区域Ｄ是由x轴 y轴和直线x+y=1所围成,则2dxdy＝（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 15. 设f(x,y)连续，则dxf(x,y)dy( )arcsinyf(x,y)dx (B)arcsinyf(x,y)dx f(x,y)dxarcsinyf(x,y)dx (D)arcsiny16. 设区域D由y1,x2和y x围成，则f(x,y)dxdy（(A) (C)dy f(x,y)dx(B) (D)dx f(x,y)dxdy f(x,y)dxdx f(x,y)dx18. 设D是由|x|1,|y|1围成的平面区域，则二重积分xd（） (A) 1 (B) 2 (C) 20. 设D由y x,y0及x2y21所围 ,则d( ).(C) (D) 248222221. 设D{(x,y)|x y4}，则二重积分(x y)dxdy（）(A) (B)(A)2 (B) 4 (C)6 (D) 8二、填空题 1.xedxdy = （D由y x、x轴和x1所围）f(x,y)dx在交换积分次序后的累次积分为_____________.3．改变二次积分f(x,y)dy的积分次序得f(x,y)为连续函数，则交换二次积分dy2f(x,y)dx的次序为 . -x --x2f(x,y)dy的积分次序后为 .6. 设D为矩形0x 1 , 1y 1 ，则二重积分 3 dxdy D1,则f(x,y)dxdy化为二次积分为 . 7. 设D:9. 交换二次积分顺序后，10.f(x,y)dy=______________.f(x,y)dx在交换积分次序后的累次积分为_____________.12. 改变二次积分13. 交换积分次序dx f(x,y)dy的顺序dy f(x,y)dx= .14. 变换积分顺序后，15．二次积分f(x,y)dy .f(x,y)dy交换次序后所成的二次积分是18. 交换二次积分的次序19.f(x,y)dy_________________，其中D由x________dxdy__________y21所围.20. 交换积分21. 交换dx f(x,y)dy dxx 2 2xf(x,y)dy的次序得f(x,y)dy的积分顺序为22. 交换积分顺序后23. 交换积分f(x,y)dy .f(x,y)dy的次序得24. 二次积分三、解答题 1. 计算dx f(x,y)dy交换次序后所成的二次积分是 .2x ydxdy，其中D由y0,y x,x1所围 Dy x,y,x2所围 ()dxdy,其中D由xDxdxdy,其中D由y x,y x2所围xD4. 计算二重积分，其中D:y x yxydxdydxdy，D由y2x,x2y与x2围成的第一象限中的区域xD,y x,y2围成，求二重积分(x1)dxdy xDe dxdy，其中Ｄ是闭区域：｜x｜＋｜y｜≤１ D10. 计算二重积分12. 设D是以O(0,0),A(1,0),B(1,1)为顶点的三角形区域，求13、计算积分15、求16. 求17. 求xcos(x y)dxdy.(x1)dxdy,D由yx1及x轴围成.e dxdyD,其中D{(x,y)|0x1,x y1}．xyxe dxdy.D是矩形:1x 2 , 1y 3. D2y)dxdy D:0x1,0y2ye dxdy，其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所围成的区域. D 18. 计算二重积分19. 计算20. 计算(x6y)dxdy,D由y x,y3x,x1围成xydxdy，其中D由y x,y1,x2所围.21、利用二重积分求由平面x2y22. 计算23. 求z1和三个坐标面围成的体积.(x y)dxdy，其中D由y x,y1,x2所围.(x2y)dxdy D：由yx,x2,y0所围.26. 求edxdyy x,y0及x1所围27. 交换积分顺序并计算dy exdx。
第6章 二重积分习题详解
习 题 6-51. 略2．利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) 22sin sin d DI x y σ=⎰⎰其中{(,)0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；(2) 22(49)d DI x y σ=++⎰⎰其中22{(,)4}D x y x y =+≤.解 (1) 在积分区域D 上，0sin 1x ≤≤，0sin 1y ≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤，又D 的面积等于2π，因此2220sin sin d π.Dx y σ≤≤⎰⎰(2) 在积分区域D 上，2204x y ≤+≤，从而22229494()925,x y x y ≤++≤++≤，又D 的面积等于4π，因此2236π(49)d 100π.Dx y σ≤++≤⎰⎰3. 计算下列二重积分： (1) 22()d D xy σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；(2) (32)d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域； (3)323(3)d D xx y y σ++⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤；(4) cos()d Dx x y σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为(0,0)，(π,0)和(π,π)的三角形闭区域．(5) Dσ⎰⎰，其中D是由两条抛物线y 2y x =所围成的闭区域； (6) 2d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由圆周224xy +=及y 轴所围成的右半闭区域；(7) ed x yD σ+⎰⎰，其中{(,)|||||1}D x y x y =+≤；(8)22()d Dxy x σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域．解 (1) 1311112222221111128()d d ()d d (2)d .333Dy x y x x y y x y x x x σ-----⎡⎤+=+=+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) D 可用不等式表示为03,02y x x ≤≤-≤≤，于是22222000220(32)d d (32)d [3]d 20(422)d .3xxDx y x x y y xy y xx x x σ--+=+=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)11323323(3)d d (3)d Dx x y y y x x y y x σ++=++⎰⎰⎰⎰14113330001d ()d 1.44x x y y x y y y y ⎡⎤=++=++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰(4) D 可用不等式表示为0,0πy x x ≤≤≤≤，于是ππ00πcos()d d cos()d [sin()]d 3(sin 2sin )d π.2xxDx x y x x x y y x x y x x x x x σ+=+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5) D可用不等式表示为201x y x ≤≤≤≤，于是237111424000226d d (-)d .3355Dx x x y x y x x x x σ⎡====⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰(6) D可用不等式表示为022x y ≤≤-≤≤，于是22222222164d d d (4)d .215Dxy y y x y y y σ--==-=⎰⎰⎰⎰ (7) 12D D D = ，其中1{(,)|11,10}D x y x y x x =--≤≤+-≤≤，1{(,)|11,01}D x y x y x x =-≤≤-+≤≤，于是120111110112112111ed e d e d e d e d e d e d (e e )d (e e )d e e .x yx y x y D D D x x x y x y x x x x x y x y x x σσσ+++++----+----=+=+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(8) D 可用不等式表示为,022yx y y ≤≤≤≤，于是 2222223222232002()d d ()d 19313d d .322486yy Dyy x y x y x y x x x x y x y y y y σ+-=+-⎡⎤⎛⎫=+-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 改变下列二次积分的积分次序：(1) 1d (,)d yy f x y x ⎰⎰ ； (2)2220d (,)d y y y f x y x ⎰⎰；(3) 1d (,)d y f x y x ⎰ ；(4)212d (,)d xx f x y y -⎰ ；(5)eln 1d (,)d xx f x y y ⎰⎰； (6)πsin 0sin2d (,)d xxx f x y y -⎰⎰．解 (1) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|0,01}D x y x y y =≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|1,01}x y x y x ≤≤≤≤，于是原式11d (,)d .xx f x y y =⎰⎰(2) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中2{(,)|2,02}D x y y x y y =≤≤≤≤，D可改写为{(,)|04}2xx y y x ≤≤≤≤，原式402d (,)d .x x f x y y =⎰⎰(3) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|01}D x y x y =≤≤，D可改写为{(,)|011}x y y x ≤≤-≤≤，于是原式110d (,)d .x f x y y -=⎰(4) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|212}D x y x y x =-≤≤≤，D可改写为{(,)|2101}x y y x y -≤≤≤≤，于是原式1102d (,)d .yy f x y x -=⎰⎰(5) 所给二次积分等于二重积分(,)d D f x y σ⎰⎰，其中{(,)|0ln ,1e}D x y y x x =≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|e e,01}y x y x y ≤≤≤≤，于是原式1eed (,)d .y y f x y x =⎰⎰(6) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，将D 表示为12D D ，其中1{(,)|arcsin πarcsin ,01}D x y y x y y =≤≤-≤≤，2{(,)|2arcsin π,10}D x y y x y =-≤≤-≤≤，于是原式1πarcsin 0πarcsin 12arcsin d (,)d d (,)d .yyyy f x y x y f x y x ---=+⎰⎰⎰⎰5. 利用极坐标计算下列各题： (1) 22e d xy Dσ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域；(2) arctand Dyxσ⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=，221x y +=及直线0y =，y x =所围成的在第一象限内的闭区域.解 (1) 在极坐标中，{(,)|02,02π}D ρθρθ=≤≤≤≤，故原式22π240d e d π(e 1).ρθρρ=⋅=-⎰⎰(2) 在极坐标中，π{(,)|12,0}4D ρθρθ=≤≤≤≤，故原式π224013d d π.64θρρ==⎰⎰ 6. 选用适当的坐标计算下列各题：(1) 22d D x yσ⎰⎰，其中D 是由直线2x =，y x =及曲线1xy =所围成的闭区域；(2)Dσ，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴围成的在第一象限内的闭区域； (3) 22()d Dx y σ+⎰⎰，其中D 由直线y x =，y x a =+，y a =，3(0)y a a =>围成的闭区域；(4) Dσ，其中D 是圆环形闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤．解 (1) 选用直角坐标，1{(,)|,12}D x y y x x x=≤≤≤≤，故 22212219d .4x x D x x dx dy yy σ==⎰⎰⎰⎰ (2) 选用极坐标，π{(,)|01,0}2D ρθρθ=≤≤≤≤，故π200d d d d ππd (π2).28DDσρρθθρρρρ===⋅=-⎰⎰⎰(3) 选用直角坐标，33322222240()d d ()d (2)d 14.3a y ay aDa xy y x y x ay a y y a σ-+=+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰(4) 选用极坐标，π{(,)|01,0}2D ρθρθ=≤≤≤≤，故2π23302d d d d π().3baDDb a σρρρθθρρ=⋅==-⎰⎰⎰⎰复 习 题 A一、填空题1. 设D 是正方形区域{(,)|01,01}x y x y ≤≤≤≤，则d d D xy x y =⎰⎰___________.1;42. 已知D 是长方形区域{(,)|,01}x y a x b y ≤≤≤≤，又已知()d d 1Dy f x x y =⎰⎰，则()d baf x x =⎰______________. 2;3. 若D 是由1x y +=和两坐标轴围城的三角形区域，则二重积分()d d Df x x y ⎰⎰可以表示为定积分1()d d ()d Df x x y x x ϕ=⎰⎰⎰，那么()x ϕ=_____________. (1)();x f x -4. 若2111()()d (,)d d (,)d x x y x y x f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰，那么区间12[(),()]x y x y =____________.[,1];y5. 若d (,)d d (cos ,sin )d aax f x y y rf r r r βαθθθ-=⎰⎰⎰，则区间(,)αβ=____________. π,π.2⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题1. 设D 是由(0),0y kx k y =>=和1x =所围成的三角形区域，且21d d 15Dxy x y =⎰⎰，则k =( ). A ；A. 1;B.C. D. 2. 设1D 是正方形区域， 2D 是1D 的内切圆区域， 3D 是1D 的外接圆区域， 1D 的中心点在(1,1)-点，记222222123222123e d d ,e d d ,e d d ,y xy y xy y xy D D D I x y I x y I x y ------===⎰⎰⎰⎰⎰⎰则123,,I I I 的大小顺序为( ) B ；A. 123;I I I ≤≤B. 213;I I I ≤≤C. 312;I I I ≤≤D.321.I I I ≤≤3. 将极坐标系下的二次积分:π2sin 00d (cos ,sin )d I rf r r r θθθθ=⎰⎰化为直角坐标系下的二次积分，则I =( ) D ；A.1111d (,)d I y f x y x -=⎰⎰; B. 2d (,)d I x f x y y =⎰;C. 11d (,)d I y f x y x -=⎰;D. 1111d (,)d I x f x y y -=⎰⎰.4. 设D 是第二象限内的一个有界闭区域，而且01y <<.记122123d ,d ,d ,DDDI yx I y x I y x σσσ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰则123,,I I I 的大小顺序为( ) C ；A. 123;I I I ≤≤B. 213;I I I ≤≤C. 312;I I I ≤≤D. 321.I I I ≤≤5. 计算旋转抛物面2212x y z +=+在12z ≤≤那部分曲面的面积的公式是( ) C ．A. 221x y σ+≤⎰⎰;B. 224x y σ+≤⎰⎰;C.224x y σ+≤⎰⎰;D.221x y σ+≤⎰⎰.三、计算题1. 计算重积分e d d x Dx y ⎰⎰，其中D 是由0,e x x y ==和2y =所围成的区域.解 2ln 211e d d d e d 2)1d (1.yx x Dx y y x y y ==-=⎰⎰⎰⎰⎰2. 计算重积分22d d D x x y y⎰⎰，其中D 是由2,x y x =-=和1xy =所围成的区域.解 1211223222d d d d ()94d .x x D x x y x x y y x x x y------==-+=⎰⎰⎰⎰⎰3. 计算重积分()d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是由222x y +≤和222x y x +≥所围成的区域.解π3π22ππ2cos 0427π43π2cos 2()d d d (cos sin )d d cos sin )d d (cos s π.in )2d Dx y x y r r r r r r r rr r r r θθθθθθθθθθθ+=+⋅++⋅++⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰4. 将二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰化为两种顺序的二次积分，积分区域D 给定如下:(1) D 是以(0,0),(1,0),(0,2)为顶点的三角形区域;(2) D 是区域2222{(,)|1,0}(0,0)x y x y y a b a b+≤≥>>;(3) D 是区域22{(,)|,1}x y y x y x ≥≤-; (4) D 是由y x =和3y x =所围成的区域;(5) D 是由0,1,y y y x ===和2y x =-所围成的区域. 解 (1)12(1)21200(,)d d (,)d d (,)d .y x Df x y x f x y y y f x y x σ--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)(,)d d (,)d d (,)d .abaDf x y x f x y y y f x y x σ-==⎰⎰⎰⎰(3) 221112102(,)d (,)d d (,)d d (,)d .x xDf x y x f x y y y f x y x y f x y x σ-==+⎰⎰⎰⎰⎰(4) 311(,)d d (,)d d (,)d .xxyDf x y x f x y y y f x y x σ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)12131120122(,)d d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d .x y x yDf x y x f x y y x f x y y x f x y y y f x y x σ+-=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5. 将二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰化成在直角坐标下两种顺序的二次积分，并进一步化成在极坐标下的二次积分，其中积分区域D 给定如下:(1) D 是区域22{(,)|2}x y x y y +≤; (2) D 是区域22{(,)|1,1}x y x y x y +≤+≥; (3) D 是区域22{(,)|14}x y x y ≤+≤; (4) D 是由,0y x y ==和1x =所围成的区域. 解(1)112π2sin 110d (,)d d (,)d d (cos ,sin )d .x f x y y y f x y x rf r r r θθθθ-==⎰⎰⎰⎰⎰(2) π1112101010sin cos d (,)d d (,)d d (cos ,sin )d .xyx f x y y y f x y x rf r r r θθθθθ--+==⎰⎰⎰⎰(3)1112211111122111d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d x f x y y x f x y y x f x y y x f x y y x f x y y x f x y y x f x y y x f x y y--------+++=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2π21d (cos ,sin )d .rf r r r θθθ⎰⎰ (4)π11114cos 000d (,)d d (,)d d (cos ,sin )d .xyx f x y y y f x y x rf r r r θθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰6. 设D 是长方形区域{(,)|,}x y a x b c y d ≤≤≤≤，试证明:()d ()d ()()d bdacDf x xg x x f x g y σ=⎰⎰⎰⎰ (设(),()f x g x 连续).证明()()d d ()()d ()d ()d ()d ()d .bdbdbdacacacDf xg y x f x g y y f x x g y y f x x g x x σ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰7. 将二重积分22()d Df xy σ+⎰⎰化为二次积分，其中D 是半圆区域{(,)|0x y y ≤.解 2222π()d π()d ()d .2R R Df x y rf r r f t t σ+==⎰⎰⎰⎰8. 交换下列积分的顺序:(1) 1d (,)d yy f x y x ⎰; (2) eln 10d (,)d xx f x y y ⎰⎰; (3) 220d (,)d xx x f x y y ⎰⎰;(4) 12201d (,)d d (,)d xxx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰;(5)212201d (,)d d (,)d x xx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰.解 (1) 21d (,)d ;x xx f x y y ⎰⎰(2) 1eed (,)d ;y y f x y x ⎰⎰(3) 2420222d (,)d d (,)d ;y y y y f x y x y f x y x +⎰⎰⎰⎰(4) 120d (,)d ;y yy f x y x -⎰⎰(5)12d (,)d .y y f x y x -⎰9. 交换下列积分的顺序，并化为极坐标下的二次积分:(1)1d (,)d y f x y x ⎰;(2) 00d (,)d (0)ax f x y y a >⎰;(3) 1d (,)d x x f x y y ⎰;(4)120d (,)d y yy f x y x -⎰⎰.解 (1) 1π11d (,)d d (cos ,sin )d ;x f x y y rf r r r θθθ-=⎰⎰⎰(2)ππ2cos 4cos 2π0004d (,)d d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d ;a aaa a y f x y x rf r r r rf r r r θθθθθθθθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)π12cos 2π0104d (,)d d (cos ,sin )d ;yy f x y x rf r r r θθθθ=⎰⎰⎰⎰(4)π21224cos sin 01d (,)d d (,)d d (cos ,sin )d .xxx f x y y x f x y y rf r r r θθθ-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰10. 用二重积分计算以下图形D 的面积: (1) D 由2e ,e ,1x x y y x ===所围成; 解 21e 20e 1d d d (e 1).2xx DS x y σ===-⎰⎰⎰⎰(2) D 由2,2y x x y =+=所围成; 解 21229d d d .2y yDS y x σ--===⎰⎰⎰⎰(3) D 由极坐标下不等式(1cos )r a θ≤+及r a ≤所确定. 解 1π(1cos )222π02115π2d π2d d π2.224a D S a a r r a θσθ+⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰11. 用二重积分计算下列曲面所围立体的体积: (1) 221z x y =--及0z =;解 2π122200π(1)d d (1)d .2DV x y r r r σθ=--=-=⎰⎰⎰⎰(2) 22z x y ≥+及2222x y z z ++≤;解2π122207π1)d d 1)d .6DV x y r r r σθ=--=-=⎰⎰⎰⎰ (3) 22z x y =+，三坐标平面及平面1x y +=. 解 112222001()d d ()d .6xDV x y x x y y σ-=+=+=⎰⎰⎰⎰。
二重积分的计算小结
二重积分的计算小结在数学中，二重积分是一种用来计算平面上曲线下的面积的方法。
它是定积分的扩展，可以用于计算更加复杂的形状的面积，例如圆形、椭圆形和弧形等。
在本文中，我们将详细介绍二重积分的计算方法，并提供一些重要的应用案例和技巧。
同时，我们还将讨论二重积分的性质以及它与其他数学概念的关系。
设 $f(x,y)$ 是定义在闭区域 $D$ 上的实函数，将闭区域 $D$ 分成许多小的矩形区域，其中第 $i$ 个小矩形的面积为 $\Delta A_i$，选择任意一点 $(x_i^*, y_i^*)$ 作为该矩形的代表点，则二重积分的近似值可以表示为：$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*, y_i^*) \Delta A_i$$其中，$n$ 是划分区域时小矩形的个数，$\Delta A_i$ 是第 $i$ 个小矩形的面积。
当划分的小矩形越来越小，并且代表点 $(x_i^*, y_i^*)$ 在每个小矩形内部时，这个近似值将趋近于一个常数，即二重积分的值。
我们用符号 $\iint_D f(x,y) dA$ 表示二重积分的值，其中 $dA$ 表示对面积的微元。
接下来，我们将介绍几种计算二重积分的方法。
一、二重积分的计算方法1. 矩形法（Riemann和）：将区域 $D$ 划分为若干个小的矩形区域，计算每个矩形的面积和函数值，并将它们相加得到近似值。
2. 二次积分法（Fubini定理）：根据 Fubini 定理，我们可以将二重积分转化为两个一重积分的乘积：$$\iint_D f(x,y) dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy\right) dx$$3. 极坐标法：当区域 $D$ 的形状具有旋转对称性时，使用极坐标计算二重积分可以更加简便。
通过转化为极坐标系，并利用极坐标下的Jacobian 行列式，可以将原二重积分转化为对一重积分的积分。
4. 线性代换法：对于不规则区域，我们可以通过线性代换将其转换为规则区域，然后再进行计算。
二重积分复习题
二重积分复习题 1. 计算下列二重积分:(1)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1};解：积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是⎰⎰+Dd y x σ)(22y d y x dx ⎰⎰--+=111122)(x d y y x ⎰--+=111132]31[ x d x ⎰-+=112)312(113]3232[-+=x x 38=. (2)⎰⎰+Dd y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:解：积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2-x . 于是⎰⎰+Dd y x σ)23(y d y x dx x⎰⎰-+=2020)23(dx y xy x ⎰-+=222]3[ dx x x ⎰-+=202)224(0232]324[x x x -+=320=. (3)⎰⎰++Dd y y x x σ)3(223, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};解：⎰⎰++Dd y y x x σ)3(323⎰⎰++=1032310)3(dx y y x x dy ⎰++=1001334]4[dy x y y x x ⎰++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=1412141=++=.(4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域.解：积分区域可表示为D : 0≤x ≤π, 0≤y ≤x . 于是,⎰⎰+Dd y x x σ)cos(⎰⎰+=x dy y x xdx 00)cos(π⎰+=π)][sin(dx y x x x⎰-=π0)s i n 2(s i n dx x x x ⎰--=π0)c o s 2c o s 21(x x xd+--=0|)c o s 2c o s 21(πx x x dx x x ⎰-π0)cos 2cos 21(π23-=..2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分:(1)⎰⎰Dd y x σ, 其中D 是由两条抛物线x y =, 2x y =所围成的闭区域;解：积分区域图如, 并且D ={(x , y )| 0≤x ≤1, x y x ≤≤2}. 于是⎰⎰D d y xσ⎰⎰=102dy y x dx xx⎰=10223]32[dx y x x x 556)3232(10447=-=⎰dx x x .(2)⎰⎰Dd xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域; 解：积分区域图如, 并且D ={(x , y )| -2≤y ≤2, 240y x -≤≤}. 于是⎰⎰⎰⎰⎰----=22402240222222]21[dy y x dx xy dy d xy yy Dσ1564]10132[)212(22225342=-=-=--⎰y y dy y y . (3)⎰⎰+Dy x d e σ, 其中D ={(x , y )| |x |+|y |≤1};解：积分区域图如, 并且D ={(x , y )| -1≤x ≤0, -x -1≤y ≤x +1}⋃{(x , y )| 0≤x ≤1, x -1≤y ≤-x +1}. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+---++=111111x x y xx x yxDyx dy e dx e dy e dx e d eσ⎰⎰+---+--+=1110111][][dy e e dx e ex x y x x x y x⎰⎰---+-+-=11201112)()(dx e e dx e ex x101201112]21[]21[---+-+-=x x e ex x e e =e -e -1. (4)⎰⎰-+Dd x y x σ)(22, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.解：积分区域图如, 并且D ={(x , y )| 0≤y ≤2, y x y ≤≤21}. 于是⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=-+2022232222022]2131[)()(dy x x y x dx x y x dy d x y x y y y y Dσ 613)832419(2023=-=⎰dy y y .3. 改换下列二次积分的积分次序: (1)⎰⎰ydx y x f dy 01),(;解：由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以⎰⎰⎰⎰=1101),(),(xy dy y x f dx dx y x f dy .(2)⎰⎰y ydx y x f dy 2202),(;解：由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤2, y 2≤x ≤2y }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤4, x y x ≤≤2}, 所以⎰⎰y ydx y x f dy 222),(⎰⎰=402),(xx dy y x f dx .(3)⎰⎰---221110),(y y dx y x f dy ;解：由根据积分限可得积分区域}11 ,10|),{(22y x y y y x D -≤≤--≤≤=, 如图. 因为积分区域还可以表示为}10 ,11|),{(2x y x y x D -≤≤≤≤-=, 所以⎰⎰⎰⎰-----=22210111110),(),(x y ydy y x f dx dx y x f dy(4)⎰⎰--21222),(x x xdy y x f dx ;解：由根据积分限可得积分区域}22 ,21|),{(2x x y x x y x D -≤≤-≤≤=, 如图. 因为积分区域还可以表示为}112 ,10|),{(2y x y y y x D -+≤≤-≤≤=, 所以⎰⎰--21222),(x x xdy y x f dx ⎰⎰-+-=101122),(y ydx y x f dy .(5)⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),(;解：由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, e y ≤x ≤ e }, 所以⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(⎰⎰=10),(eey dx y x f dy4. 画出积分区域, 把积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2≤a 2}(a >0);解：积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)sin ,cos (d f d a.(2){(x , y )|x 2+y 2≤2x };解：积分区域D 如图. 因为}cos 20 ,22|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤-=D , 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰-=22cos 20)sin ,cos (ππθρρθρθρθd f d .(3){(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}, 其中0<a <b ;解：积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)sin ,cos (bad f d .(4){(x , y )| 0≤y ≤1-x , 0≤x ≤1}.解：积分区域D 如图. 因为}sin cos 10 ,20|),{(θθρπθθρ+≤≤≤≤=D , 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰+=θθρρθρθρθπsin cos 120)sin ,cos (d f d .5. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1)⎰⎰101),(dy y x f dx ;解：积分区域D 如图所示. 因为}csc 0 ,24|),{(}sec 0 ,40|),{(θρπθπθρθρπθθρ≤≤≤≤⋃≤≤≤≤=D ,所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ)sin ,cos (),(),(11⎰⎰=4s e c)s i n ,c o s (πθρρθρθρθd f d ⎰⎰+24c s c)s i n ,c o s (ππθρρθρθρθd f d .(2)⎰⎰+xxdy y x f dx 32220)(;解：积分区域D 如图所示, 并且 }sec 20 ,34|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤=D , 所示⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+xxDDd d f d y x f dy y x f dx 3222220)()()(θρρρσ⎰⎰=34s e c 20)(ππθρρρθd f d .(3)⎰⎰--2111),(x xdy y x f dx ;解：积分区域D 如图所示, 并且}1sin cos 1 ,20|),{(≤≤+≤≤=ρθθπθθρD ,所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰--==10112)sin ,cos (),(),(x xDDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ⎰⎰+=2sin cos 101)sin ,cos (πθθρρθρθρθd f d(4)⎰⎰21),(x dy y x f dx .解：积分区域D 如图所示, 并且}sec tan sec ,40|),{(θρθθπθθρ≤≤≤≤=D ,所以⎰⎰210),(x dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f θρρθρθρσ)sin ,cos (),(⎰⎰=40sec tan sec )sin ,cos (πθθθρρθρθρθd f d6. 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值: (1)⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ;解：积分区域D 如图所示. 因为}cos 20 ,20|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤=, 所以⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ⎰⎰⋅=Dd d θρρρ2⎰⎰⋅=20cos 202πθρρρθa d d ⎰=2044cos 4πθθd a 443a π=. (2)⎰⎰+xa dy y x dx 0220;解：积分区域D 如图所示. 因为}sec 0 ,40|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤=, 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+Dxad d dy y x dx θρρρ0220⎰⎰⋅=40sec 0πθρρρθa d d ⎰=4033sec 3πθθd a )]12ln(2[63++=a . (3)⎰⎰-+xxdy y xdx 221221)(;解：积分区域D 如图所示. 因为}tan sec 0 ,40|),{(θθρπθθρ≤≤≤≤=D , 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+--Dxx d d dy y xdx θρρρ212122102)(12tan sec 40tan sec 02140-==⋅=⎰⎰⎰-πθθπθθθρρρθd d d .(4)⎰⎰-+220220)(y a a dx y x dy .解：积分区域D 如图所示. 因为}0 ,20|),{(a D ≤≤≤≤=ρπθθρ, 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+-Dy a a d d dx y x dy θρρρ222022)(420028a d d aπρρρθπ=⋅=⎰⎰.7. 利用极坐标计算下列各题: (1)⎰⎰+Dy xd e σ22，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域;解：在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以⎰⎰⎰⎰=+DDy x d d e d e θρρσρ222)1()1(2124420202-=-⋅==⎰⎰e e d e d ππρρθπρ. (2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解：在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰+=++DDd d d y x θρρρσ)1ln()1ln(222)12ln 2(41)12ln 2(212)1ln(2012-=-⋅=+=⎰⎰πρρρθπd d .(3)σd xyDarctan⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域.解：在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=DDDd d d d d xy θρρθθρρθσ)arctan(tan arctan ⎰⎰⋅=4021πρρθθd d ⎰⎰==40321643ππρρθθd d . 8. 选用适当的坐标计算下列各题:(1)dxdy yx D22⎰⎰，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域. 解：因为积分区域可表示为}1 ,21|),{(x y x x y x D ≤≤≤≤=, 所以d x d y y x D22⎰⎰dy y dx x x x ⎰⎰=211221⎰-=213)(dx x x 49=. (2)⎰⎰++--Dd yx y x σ222211, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解：在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⋅+-=++--DDd d d y x y x θρρρρσ2222221111)2(811102220-=+-=⎰⎰ππρρρρθπd d .(3)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D 是由直线y =x , y =x +a , y =a , y =3a (a >0)所围成的闭区域;解：因为积分区域可表示为D ={(x , y )|a ≤y ≤3a , y -a ≤x ≤y }, 所以⎰⎰+Dd y x σ)(22⎰⎰-+=aaya y dx y x dy 322)(4332214)312(a dy a y a ay aa =+-=⎰. (4)σd y x D22+⎰⎰, 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}.解：在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以 σd y x D22+⎰⎰)(3233202a b dr r d ba -==⎰⎰πθπ.。
《极坐标系下二重积分的计算》内容小结、题型及典型题
《极坐标系下⼆重积分的计算》内容⼩结、题型及典型题⼀、极坐标系中区域的类型以下命名⽅式借⽤直⾓坐标系中平⾯区域的命名⽅式，以变量命名。
1、θ-型区域设平⾯区域D夹在两条射线如果任取ϴ∈(α,β)，以极点(0,0)为起点做射线穿过区域，射线与区域的边界曲线的交点不多于两个，则把该区域称为ϴ-型区域，如图1，图2中展⽰的两个区域都为型区域。
如果对任⼀ϴ∈(α,β)对应的射线穿进区域时与区域边界线的交点（内交点）和穿出区域时与边界线的交点（外交点）的极径ρ的取值都有统⼀的关于ϴ变量的函数关系式，则区域为简单ϴ-型区域。
简单ϴ-型区域可以⽤不等式描述为对于简单区域其中ϴ变量范围的获取⽅法：从极轴开始，逆时钟⽅向连续旋转射线，则射线开始进⼊区域，与区域相切位置对应极⾓取值为变量ϴ的取值区间的左端点，离开区域与区域相切位置对应极⾓取值为变量ϴ的取值区间的右端点，并且ϴ=α, ϴ=β两条射线与区域相切的两点将区域的边界曲线分割成内外两条边界曲线。
内、外边界曲线ρ关于变量ϴ变量的表达式即为ρ的取值范围。
因此，为获得ρ变量的取值范围，需要将区域的内、外边界线描述为极⾓ϴ变量的函数关系式。
2 ρ-型区域设平⾯区域D夹在两个以极点为圆⼼的同⼼圆内。
如果任取ρ∈(a,b)，以极点(0,0)为圆⼼做圆逆时钟穿过区域，圆与区域的边界曲线的交点不多于两个，则把该区域称为ρ-型区域。
如果对任⼀ρ∈(a,b)对应圆逆时钟穿进区域时与区域边界线的交点和穿出区域时与边界线的交点的极⾓ϴ的取值都有统⼀的关于ρ变量的函数关系式，则区域为简单ρ-型区域。
简单ρ-型区域可以⽤不等式描述为对于简单区域ρ变量范围的获取⽅法：从极点开始（ρ=0），以极点为圆⼼做半径连续增加的圆，则圆开始进⼊区域，与区域相切位置（或第⼀个交点位置）对应极径取值a为变量ρ的取值区间的左端点，离开区域与区域相切位置（或最后⼀个交点）对应极径取值b为变量ρ的取值区间的右端点，并且ρ=a, ρ=b两个圆与区域相切（或相交）的两点将区域的边界曲线分割成两条边界曲线。
二重积分总结及习题
Dxy
z z 1 dxdy; x y
2
2
(3) 重心
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，在点
( x , y ) 处的面密度为 ( x , y )，假定 ( x , y )在 D 上连
续，平面薄片的重心
i 1
f ( i , i ) i ，
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时， 这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y ) 在闭 区域 D 上的二重积分，记为 f ( x , y )d ，即
D n
lim f ( i , i ) i . f ( x , y )d 0
f ( r cos , r sin ) r dr .
2. 改变下列二次积分的积分次序：
(1)
1 dx 1
2
x2
f ( x , y ) dy;
( 2)
0 dy
1
1 y 2 1 y
2
f ( x , y ) dx.
y x2
解 (1) 积分区域为 1 x 2, D: 2 1 y x .
f ( x , y )d
D
1 1 x 2
1 dx 0
f ( x , y ) dy.
3. 计算
D
x 2 d . 其中 D 由 y x , y 1 , x 2 围成． x y2
4. 计算 y x 2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
1
y
y 2x x2
在极坐标系中，D 可表示为
, 0 r 2 cos .
二重积分习题及答案
在第一象限部分.
y
解: (1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
1 D1
D1, D2 两部分, 则
1 o 1 x
I D1 dxdy D2 dxdy
D2
1
dx
1
1
x2 dy
1 dx
1
x2
dy
0
2 3
(2) 提示:
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
1 求 x2e y2dxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号.
解 采用直角坐标
1
( x y )dxdy 4 dx
1 x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域
二重积分的计算方法例题及解析
二重积分的计算方法例题及解析一、利用直角坐标计算二重积分1. 例题- 计算∬_D(x + y)dσ，其中D是由直线y = x，y = x^2所围成的闭区域。
2. 解析- （1）首先确定积分区域D的范围：- 联立方程<=ft{begin{array}{l}y = x y = x^2end{array}right.，- 解得<=ft{begin{array}{l}x = 0 y = 0end{array}right.和<=ft{begin{array}{l}x = 1 y = 1end{array}right.。
- 所以在x的范围是0≤slant x≤slant1，对于每一个x，y的范围是x^2≤slant y≤slant x。
- （2）然后将二重积分化为累次积分：- ∬_D(x + y)dσ=∫_0^1dx∫_x^2^x(x + y)dy。
- （3）先计算内层积分：- ∫_x^2^x(x + y)dy=∫_x^2^xxdy+∫_x^2^xydy。
- ∫_x^2^xxdy=x<=ft(y)<=ft.rve rt_x^2^x=x(x - x^2)=x^2-x^3。
- ∫_x^2^xydy=(1)/(2)y^2<=ft.rvert_x^2^x=(1)/(2)(x^2-x^4)。
- 所以∫_x^2^x(x + y)dy=x^2-x^3+(1)/(2)(x^2-x^4)=(3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4。
- （4）再计算外层积分：- ∫_0^1((3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4)dx=(3)/(2)×(1)/(3)x^3-(1)/(4)x^4-(1)/(2)×(1)/(5)x^5<=ft.rvert_0^1。
- =(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(10)=(10 - 5 - 2)/(20)=(3)/(20)。
习题详解-第8章 二重积分
习题8-11. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)Dm x y d μσ=⎰⎰.2. 试比较下列二重积分的大小： (1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；(2)ln()Dx y d σ+⎰⎰与2ln()Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰习题8-21. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) ()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤；(2) (32)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域；(3) 22()Dx y x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；(4) 2Dx yd σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0；(5) ln Dx yd σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；(6) 22Dx d σy ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域.解：(1) 111111()()20.Dx y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰(2) 22220(32)(32)[3(2)(2)]xDx y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰223202220[224]4.330x x dx x x x =-++=-++=⎰(3) 3222222200193()()()248yy Dy x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰43219113.96860y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.Dx yd σ=⎰⎰(5) 44201041ln ln (ln ln )2(1)2110e De e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-⎰⎰⎰⎰⎰. (6) 122224111311122222119()()124642x Dx x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域； (3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x=所围成的闭区域；(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1221201(,)(,)(,).xx y ydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 24414(,)(,).y xy dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(3) 12222111112(,)(,)(,).xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)21111(,)(,).xdx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰3. 交换下列二次积分的积分次序：(1) 1(,)ydy f x y dx ⎰⎰； （2）2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3) ln 10(,)e xdx f x y dy ⎰⎰； (4) 123301(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解：(1) 111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.(2) 222402(,)(,).y x ydy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰(3) ln 11(,)(,)y e xeedx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(4) 123323012(,)(,)(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.解：11100037(623)(62).22V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.解：3111222000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰习题8-3 1. 画出积分区域，把二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20(,)(cos ,sin ).aDf x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 2cos 20(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθπσθθθ-=⎰⎰⎰⎰(3) 221(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(4)12cos sin 0(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθθσθθθ+=⎰⎰⎰⎰2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1)220)ady x y dx +⎰；(2)21;xxdx ⎰⎰解：(1)4422320)248aaa a dy x y dx d r dr πππθ+==⋅=⎰⎰⎰.(2) 2sin 31244cos 600001sin 3cos x x dx d r dr d πθπθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰244466400011c o s 111(c o s )[(c o s )(c o s )]cos cos cos d d d πππθθθθθθθ-=-=--⎰⎰⎰531cos cos 4()3530πθθ--=--+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分： (1) 22xy De d σ+⎰⎰,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1；(2) 22ln(1)Dxy d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)arctanDyd σx⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域；(4)Dσ其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.解：(1) 22222100112(1).20xy r r De d d e rdr e e πσθππ+==⋅=-⎰⎰⎰⎰(2) 23112222201ln(1)ln(1)[ln(1)]2201Dr r x y d d r rdr r dr r ππσθ++=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰212(1)[ln 22](2ln 21)441r r r dr rππ+-=-=-+⎰. (3) 222244010133arctan arctan(tan ).32264Dy d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)Dσ3cos 222022cos 12()230R R d R r d ππθππθθθ--==--⎰⎰⎰ 3333221(s i n )33R R R d πππθθ-=--=⎰.4. 求由曲面z =x 2+y 2与z .解：两条曲线的交线为x 2+y 2=1，因此，所围成的立体体积为：2122200()]().6DV x y d d r r rdr ππσθ=+=-=⎰⎰⎰⎰习题8-41. 计算反常二重积分()x y De dx dy -+⎰⎰，其中D ：x ≥0,y ≥x .2. 计算反常二重积分222()Ddx dyx y +⎰⎰，其中D ：x 2+y 2≥1. 解：1.22201()2a aaax yx x aaa xe dx edy eedx e e ---------=-=-+-⎰⎰⎰所以2()211lim ().22a x y a a a De edxdy e e --+--→+∞-=-+-=⎰⎰2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-⎰⎰，得222211lim 2().2()2R Ddxdy x y R ππ→+∞=-=+⎰⎰复习题8（A ）1. 将二重积分d d (,)Df x y x y ⎰⎰化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解：(1) 12211221(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=⎰⎰⎰⎰(2) 244004(,)(,).yy xdx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰2. 交换下列两次积分的次序：(1)d d 10(,)yy f x y x ⎰;(2)d d 20(,)a x f x y y ⎰;(3)d d +d d 12201(,)(,)xxx f x y y x f x y y -⎰⎰⎰⎰．解：(1)211d (,)d d (,)d x yxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰.(2) 200d (,)d d (,)d aaa a x f x y y y f x y x =⎰⎰⎰.(3)1221201d (,)d +d (,)d d (,)d xxy yx f x y y x f x y y y f x y x --=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 计算下列二重积分：(1) e d x y Dσ+⎰⎰， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;(2) d d 2Dx y x y ⎰⎰,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成；(3) d d (1)Dx x y -⎰⎰,D 由y =x 和y =x ３围成；(4) d d 22()Dx y x y +⎰⎰，D :︱x ︱+︱y ︱≤1;(5) d 1sin Dy σy ⎰⎰，D 由22y x π=与y =x 围成；(6) d (4)Dx y σ--⎰⎰，D 是圆域x 2＋y 2≤R 2；解: (1)1111111211111e d ()()()1x y x y x x x x Ddx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰.(2) 5322224211121129d d ()()2253151xDx x x y x y dx x ydy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰. (3) 3112430011117(1)d d (1)()325460x x Dx x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰.(4)1122220()d d 4()xDx y x y dx x y dy -+=+⎰⎰⎰⎰33241201412124(2)4()33323330x x x x x x dx x =--+=--+=⎰.(5) 222200sin 12sin d (sin sin )y y Dy y dy dx y y y dy y y πππσπ==-⎰⎰⎰⎰⎰ 222222sin (cos )1(cos sin )10ydy yd y y y y ππππππ=+=+-=-⎰⎰. (6)3222(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3R DR x y d r r rdr R d ππσθθθθθθ--=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰3222[2(sin cos )]430R R R πθθθπ=--=. 4. 已知反常二重积分e d 2y Dx σ-⎰⎰收敛，求其值．其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一象限所围成的区域．解：设2249(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则22222200015555ed ()236144144144aaa a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰. 所以225e d lime d 144ay ya DD x x σσ--→+∞==⎰⎰⎰⎰. 5. 计算e d 2x x +∞--∞⎰．解：由第四节例2以及2y =e x -是偶函数，可知2e d x x +∞--∞=⎰6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积．解：曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此，所围空间立体的体积为：222220016(4)d d (4)2(8)8D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=⎰⎰⎰⎰.7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ，1）的切线ey x 1=．(1) 求由曲线y =ln x ，直线ey x 1=和y =0所围成的平面图形D 的面积；(2) 求以平面图形D 为底，以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积．解：(1) 1ln (ln )12221e e e ee S xdx x x x =-=--=-⎰.(2) 221120013()()2220y y e y y y y y y e e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-⎰⎰⎰.（B ）1. 交换积分次序：(1) 311(,)xxdx f x y dy -⎰⎰； （2）0112(,)y dy f x y dx --⎰⎰；(3) 224(,)x x f x y dy -⎰；(4) 110(,)dx x y dy ⎰.解：(1) 3111(,)(,)xxydx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰.(2) 01101221(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy ---=⎰⎰⎰⎰.(3) 2242402(,)(,)(,)x x f x y dy dy f x y dx dy f x y dx -=+⎰⎰⎰.(4) 211121(,)(,)(,)y dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰⎰.2. 计算积分2122x xxdx dy x y +⎰⎰.解：222sin sin 144cos cos 2220000cos cos xxx r dx dy d rdr d dr x y r πθπθθθθθθθ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4sin ln 24(ln cos )cos 20d ππθθθθ==-=⎰. 3. 计算积分112201yy dy dx x y ++⎰⎰.解：111114cos 4cos cos 222200000sin sin [sin ]111yy r dy dx d rdr d dr dr x y r r ππθθθθθθθθ==-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 44001ln 21(tan sin arctan )arctan (cos )cos 2cos d d ππθθθθθθ=-⋅=+⎰⎰令cos t θ=,则原式211ln 21ln 21ln 211(arctan ln(12222dt dt t t t t t =+=+=+++ln 213ln 213ln ln 22242224ππ=---.4. 设函数f (x )在区间0,1⎡⎤⎣⎦上连续，且1()f x dx A =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.解：设1'()()()(1)(0)F x f x f x dx F F A ==-=⎰，则.11111()()()[(1)()](1)()()(())xdx f x f y dy f x F F x dx F f x dx F x d F x =-=-⎰⎰⎰⎰⎰21()111(1)(1)[(1)(0)][(1)(0)](1)(1)(0)22220F x F A F A F F F F F A AF AF =-=--+=--21[(1)(0)]22A A F F =-=. 5. 计算2D x yd σ⎰⎰，其中D 是由直线y =0,y =1及双曲线x 2－y 2=1所围成的闭区域.解：11222022(13Dx yd dy ydx y y σ==+⎰⎰⎰⎰35122222011122(1)(1)(1)1)335150y d y y =++=⋅+=⎰. 6. 计算222y xdx e dy ⎰⎰.解：2222222240000211(1)220y y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e e ====-⎰⎰⎰⎰⎰.7. 证明211()()d ()()d 1b xb n n aaadx x y f y y b y f y y n ---=--⎰⎰⎰，其中n 为大于1的正整数. 证：22()()d ()()bxbb n n aaaydx x y f y y dy x y f y dx ---=-⎰⎰⎰⎰11()()1b n b yax y f y dy n -=--⎰11()()d 1bn ab y f y y n -=--⎰。
二重积分的计算小结
二重积分的计算小结一、知识要点回顾1. 二重积分的定义；2. 二重积分的几何意义及其物理模型。
二重积分()f(x,y)d 的几何意义就是以体积，其物理模型就是一个曲顶柱体。
3. 二重积分在直角坐标系下的计算(1)若积分区域D是由两条直线x=a,x=b,以及两条曲线y= l(x),y= 2(x) ( i(x)2(x),a x b)所围成，则b xf(x, y)dxdy = a dx 心)f(x, y)dy2(y),c y d)所围成，则d yDf(x, y)dxdy c dy y f(x, y)dx4. 极坐标下二重积分的计算法为底，以(s)为顶的曲顶柱体的(D)i(y)1 1o sinydy o ysin ydy 1 sin1.x=r cos ,y= r sin如果区域D 是由从极点出发的两条射线()和两条曲线r r1( ),r r2( ) ( r1( ) r2())所围成，则d f(x, y)dxdy d f(rcos ,r sin )rd drr2()d f(rcos ,rsin )rdrr1()5•曲线坐标下二重积分的计算法设函数x x(u, v), y y(u,v)在直角坐标平面uOv 上的封闭区域 D 上连续，有一阶 连续偏导数，而且雅克比行列式(x, y) (u,v)(x) (x) (u) (v) (y) (y) (u)(v)D f(x, y)dxdyf(x(u,v), y(u, v)) J dudv重积分的计算举例1. • 计算二重积分 D2y 所围成的区域.解：画出积分域如图所示 解方程组沁dxdy，其中D 为由直线y x解得图中的两个交点为(0,0),(1,1) , D 可表示为D={( x,y)|02y 1, y xy },沁dxdy D ydy ；节x1 0(yy 2)沁y dy图4与曲线x曰 疋sin(,D2x ysi n()D22x y)dxdy3,计算二重积分 的封闭区域。
对二重积分的总结
对二重积分的总结1. 什么是二重积分？二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算平面上某个区域上的二元函数在该区域上的积分值。
在数学中，我们可以将二重积分看作是某个函数在二维平面上的累积效果。
二重积分通常用来计算平面上的面积、质量分布以及物体的质心等。
2. 二重积分的表示方法二重积分的表示方法有两种常见形式：定积分形式和累次积分形式。
定积分形式定积分形式的二重积分表示为：$\\iint_R f(x, y) \\,dx \\,dy$其中R表示被积函数f(x,y)在平面上的积分区域。
累次积分形式累次积分形式的二重积分表示为：$\\int_a^b \\int_c^d f(x, y) \\,dy \\,dx$这种形式先对y进行积分，得到一个含有x的函数，再对x进行积分得到最终结果。
3. 二重积分的计算方法对于二重积分的计算，可以根据具体的情况选择不同的计算方法，主要有以下几种常见的方法：直接计算直接计算是最常见的计算二重积分的方法。
根据被积函数的具体形式和积分区域的特点，可以利用定积分的计算规则直接进行计算。
极坐标转换对于具有圆形对称结构或者与极轴或极角相关的被积函数，使用极坐标转换可以大大简化积分的计算过程。
变量代换是一种常见的数学方法，对于一些复杂的积分问题，可以通过选取适当的变量代换，将原积分问题转化为更简单的形式进行计算。
分割求和对于一些具有复杂形状的积分区域，可以通过将区域进行适当的分割，然后对每个小区域进行积分，再将结果进行求和，从而得到整个区域的积分值。
4. 二重积分的性质二重积分具有一些重要的性质，包括线性性、可加性和保号性等。
线性性二重积分具有线性性，即对于常数c和两个可积函数f(x,y)和g(x,y)，有：$\\iint_R (cf(x, y)+g(x, y)) \\,dx \\,dy = c\\iint_R f(x, y) \\,dx \\,dy + \\iint_Rg(x, y) \\,dx \\,dy$可加性若区域R可分为若干个互不相交的子区域 $R_1, R_2, \\ldots, R_n$，则有：$\\iint_R f(x, y) \\,dx \\,dy = \\iint_{R_1} f(x, y) \\,dx \\,dy + \\iint_{R_2} f(x, y) \\,dx \\,dy + \\ldots + \\iint_{R_n} f(x, y) \\,dx \\,dy$保号性如果f(x,y)在区域R上恒大于等于零，即 $f(x, y) \\geq 0$，则有：$\\iint_R f(x, y) \\,dx \\,dy \\geq 0$5. 二重积分的应用二重积分在实际问题中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：面积计算二重积分可以用于计算平面上区域的面积。
高数二重积分习题加答案
D3
D3
D1
D2
1
dx
x2
( x2 y)dy
1
dx
1 ( y x2 )dy 11.
1 0
1
x2
15
例7 证明
b
dx
x
(x
y)n2
f
(
y)dy
1
b
(b
y)n1
f
( y)dy.
aa
n1 a
证
b
dx
x
(x
y)n2
f
( y)dy
a
a
y b
y x
bdy b( x y)n2 f ( y)dx ay
0 3a2 r 2
a0
2a
3 a
1
d (3a2 r 2 )
0 3a2 r 2
2a a2 r 2 d (a2 r 2 )
a0
6
3
4
2 3
6
2 3
a2.
练习题
交换下列二次积分的次序:
1 2y
3 3 y
1. 0 dy0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx;
y2
R2,求
D
x2 a2
y2 b2
dxdy.
y
解 由对称性
D
x 2dxdy
D
y 2dxdy
1 2
D
(x2
y2 )dxdy
O
Rx
D
x2 a2
y2 b2
dxdy
1 2
1 a2
1 b2
D
(x2
y2 )dxdy
1 2
1 a2
1 b2
二重积分的例题及解析
二重积分的例题及解析二重积分是微积分中的重要概念，用于求解平面上的面积、质量、质心等物理量。
下面将介绍一些常见的二重积分例题，并进行解析。
例题1：计算二重积分D (x+y) dA，其中D为由直线y=x和y=2x以及y=4所围成的区域。
解析：首先，我们需要确定积分的上下限。
由于D区域被直线y=x和y=2x以及y=4所围成，因此x的取值范围为2到4，而y的取值范围为x到4。
因此，我们可以将积分式写为：D (x+y) dA = ∫2^4 ∫x^4 (x+y) dy dx接下来，我们对y进行积分，得到：∫2^4 (xy + y^2/2) |x^4 dx对于这个积分式，我们先计算内层的积分：∫(xy + y^2/2) |x^4 = x(x^4) + (x^4)^2/2 - x(x^2/2) -(x^2/2)^2/2= x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8接下来，我们对x进行积分，得到：∫2^4 (x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8) dx= 1/6 x^6 + 1/16 x^9 - 1/8 x^4 - 1/32 x^5 |2^4= (1/6 * 4^6 + 1/16 * 4^9 - 1/8 * 4^4 - 1/32 * 4^5) - (1/6 * 2^6 + 1/16 * 2^9 - 1/8 * 2^4 - 1/32 * 2^5)= 138.75因此，二重积分D (x+y) dA的结果为138.75。
例题2：计算二重积分D (x^2 + y^2) dA，其中D为单位圆盘x^2 + y^2 ≤ 1。
解析：由于D为单位圆盘，即x^2 + y^2 ≤ 1，我们可以将积分式写为：D (x^2 + y^2) dA = D r^2 dA其中，r为点(x, y)到原点的距离，即r = √(x^2 + y^2)。
因此，我们可以将积分式转化为极坐标形式：D r^2 dA = D r^3 dr dθ由于D为单位圆盘，θ的取值范围为0到2π，r的取值范围为0到1。
二重积分练习题答案
8、 ∫∫ x − y dxdy ， D : x = 0, y = 0, x = 1, y = 1 y
D
1
解： 原式 = ∫∫ ( y − x)dxdy + ∫∫ ( x − y )dxdy
D1 D2
D1
D2
0
1
x
= ∫ dx
0
1
∫x ( y − x)dy + ∫ dx
1 0
1
∫0 ( x − y) 2 y
f ( x, y )dx
D
.
( -1,-1)
⎞ ⎛ 1 ⎜ - ,-1⎟ ⎝ 2 ⎠
1
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3、 D : x 2 + y 2 ≥ ax ， 2 + y 2 ≤ 2 ax ( a > 0) 将 ∫∫ f ( x, y ) dxdy 设 x
二重积分练习题
一、填空
x2 1、设 D : x = 2, y = x, xy = 1, ∫∫ 3 dxdy = y D
2 x x 2 x2 ∫∫ y3 dxdy = ∫1 dx ∫1x y 3 dy D
13 5
.
(2, 2)
(1,1)
1 (2, ) 2
2、设 D : y = x, y = 2 x, y = −1，将 ∫∫ f ( x, y )dxdy 化为累 次积分 =
D1 D2
0
1
x
= ∫ dθ
4 0
π
∫
sec θ
0
f (r cosθ , r sin θ )rdr f (r cosθ , r sin θ )rdr
第九讲 二重积分的计算内容提要与典型例题
简述为“你对称，我奇偶”
2021/5/27
10
5 关于二重积分的换元法
f(x,y)在D上连续 变换T： x=x(u,v),y=y(u,v)
将 uov 平面上的闭区域D1 变成 xoy 平面的闭区域D
（1） x=x(u,v),y=y(u,v)在D1上具有连续的一阶偏导数
x x
（2）在D1上
J(u,v)(x, y) (u,v)
00
0x
11
1
1
202d 1/5/27x f(x)f(y)d yf(x)dx f(y)dy
20
00
0
0
1
[ f(x)dx]2 A2
0
A2 I
2
例7 设 f(x)在 (, ) 上连 试将续 二重积分
If( x2y2)d D:yx1
D
化成定积分
解 由积分域和被积函数的对称性 有
I4 f( x2y2)d D 1 : 0 x 1 ,0 y x
f
(
x
y)dxdy
12D
f
(u)dudv
u
1 0
f
Au
(u)du
dv
1A
f
Au
(u)du dv
2A
Au
20
uA
10f(u)A (u)d uAf(u)A (u)du
2 2021/5/27 A
0
24
0
A
f(u)[A| u|]du f(u)[A| u|]du
A
0
A
f ( u )[ A | u |]du
202分1/5/区27 域的特点，化成极坐标计算较为简单
13
积分限如何确定 02 显然 r 呢？
二重积分习题总结
一、主要内容
定义
二
几何意义
重
积
性质
分
计算法
定义
n
D
f (x, y)d lim 0 i1
f (xi , yi )i
(与分法无关、点的无取关法）
性质 与定积分相类似的性质（线性性、对称性 对区域的可加性、比较性、估值、中值）
计算
利 用 直 角 坐 标 选 择 坐利 标用 极 坐 标化 二 次 积 分
1、计算二重积分
1、
D
y x2
所围；
y2
d,其 中D:1
3
1 ln 2
y
3, y x y2
12 2
2、 x(1 yf(x2 y2))d,其中D: y x3,
D
y 1, x 1所围； 2
5
2 计 y 算 x 2 d .其 D : 1 中 x 1 ,0 y 1 . D
利 用 变 量 代 换
对称性
1. D关于x轴对称（x轴上方部分为D1)
则 f(x ,y)d 2 D 1f(x ,y)d 当 f(x ,y)f(x , y)
D
0
当 f(x , y)f(x ,y)
2. D关于y轴对称（y轴右边部分为D1)
则 f(x ,y)d 2 D 1f(x ,y)d 当 f(x ,y)f( x ,y)
D
c 1(y)
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴
的直线与区域边界相交不多于两个交点.
（２）极坐标系下
D 1: , 1 () r 2 ().
f(rcos,rsin)rdrd
D1
d
2()f(rco,rs si)n rd . r
1()
二重积分典型例题解析.doc
高等数学（2）第11章重积分典型例题解析例1 填空（1）根据二重积分的几何意义，⎰⎰--Dy x y x d d R 222= 。
（其中{}222),(R y x y x D ≤+=）（2）累次积分⎰⎰xxy y x f x d ),(d 1交换积分次序后，得到的积分为 。
（3）已知积分区域D x y x y =≤+≤{(,),}111，二重积分f x y x y D(,)d d ⎰⎰在直角坐标系下化为累次积分的结果是 。
解（1）由二重积分的几何意义，⎰⎰--Dy x y x d d R 222表示球心在圆点，半径为R 的上半球体的体积，故为332R π。
应该填写：332R π。
（2）由已知的累次积分，得积分区域为⎩⎨⎧≤≤≤≤x y x x 10，若变换积分次序，即先积x 后积y ，则积分变量y 的上、下限必须是常量，而积分变量x 的积分上、下限必须是常量或是y 的函数，因此积分区域应表为⎩⎨⎧≤≤≤≤102y y x y ，于是交换后的积分为⎰⎰yyx y x f y 2d ),(d 10。
应该填写：⎰⎰yy x y x f y 2d ),(d 10。
（3）由已知的积分区域为D x y x y =≤+≤{(,),}111可知区域D 满足联立不等式组⎩⎨⎧≤+≤-≤≤-11111y x ，即而解得⎩⎨⎧≤≤-≤≤-0211y x ，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所以可随意选择积分的顺序，若先积x 后积y ，则应填⎰⎰--0211d ),(d x y x f y ，反之应填d d x f x y y (,)--⎰⎰211。
应该填写：d d x f x y y (,)--⎰⎰2011或⎰⎰--0211d ),(d x y x f y例2 单项选择 （1）二重积分x x y x y 2d d 1422≤+≤⎰⎰可表达为累次积分（ ）。
A. d d θθπr r 321202cos ⎰⎰； B.r r 321202d d cos θθπ⎰⎰；C.d d 2x x y xx ----⎰⎰442222； D.d d 2y x x yy ----⎰⎰111122（2）由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是（ ）。
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被积函数 f (x, y)
f (x2 y2)
注意以下几点
2 积分的关键是定限，定限的关键是将D用 联立不等式表示出来。
（1）直角坐标系：先判断区域的类型，若 为X型，先将区域D投影到x轴上，定出x的 变化范围[a,b], 然后用过[a,b]内任意点且平 行于y轴的直线去穿D,得到 1( x) y 2( x).
D : a x b, 1( x) y 2( x).
注意以下几点
2 积分的关键是定限，定限的关键是将D用 联立不等式表示出来。
（2）极坐标系：先定出 的变化范围 , 然后以, 内任意角为极角，从原点引一
条射线去穿D, 得到 1( ) r 2( ).
注意以下几点
3 利用函数的奇偶性与积分区域的对称性 计算。
二重积分 习题课
• 一、主要内容 • 二、典型例题
二重积分
一、主要内容
定义 几何意义
性质 计算法
定义
n
D
f ( x, y)d
lim 0 i1
f ( xi , yi ) i
(与分法无关、点的取法 无关）
性质 与定积分相类似的性质（线性性、对称性 对区域的可加性、比较性、估值、中值）
计算
利用直角坐标 选择坐标利用极坐标 化二次积分
1
x
f ( x)dx f ( y)dy,
0
0
故2I
1
1
f ( x)dx f ( y)dy
1
f ( x)dx
x
f ( y)d
x
1
f ( x)dx[( ) f ( y)dy]
0
0
x
1
f ( x)dx
1
f
(
y)dy
A2 .
0
0
例1 设连续函数f ( x, y)满足
2 dx
0
x2
xe ydy
a dxdy
D
D
3e a 3
a 9 3e 2
f ( x, y) x e y x cos( xy) 9 3e 2
1、计算二重积分
1、
D
y x2
所围；
y2
d ,其中D : 1
3 1 ln 2
y
12 2
3, y x y2
2、 x(1 yf ( x2 y2 ))d ,其中D : y x3 ,
3. D关于x轴、y轴均对称（第一象限部分为D1)
则
f
(x,
y)d
4
D1
f
(x,
y)d
D
0
当f ( x， y f ( x, y) f ( x, y) 当f ( x, y) f (x, y) 或f ( x， y －f ( x, y)
二重积分的计算
（１）直角坐标系下
［X－型］ D : a x b, 1( x) y 2( x).
f (r cos ,r sin )rdrd
D2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
D3 : 0 2 , 0 r ( ).
f (r cos ,r sin )rdrd
D3
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
(3)二重积分的换元法：
(u, v ) (3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x, y)dxdy f [ x(u,v), y(u,v)]J (u,v)dudv.
D
D
注意以下几点
1 根据被积函数和积分区域的特点，合理 选择坐标系和积分次序。
坐标系
D的边界
直角坐标系 直线、抛物线、双曲线
极坐标系 圆周(或一部分)、极坐标给出
(1) D关于x轴对称，D1是D的上半部分，
f ( x, y) f ( x, y)
f ( x, y)d 2 f ( x, y)d
D
D1
f ( x, y) f ( x, y)
f ( x, y)d 0
D
二、典型例题
1 利用重积分的性质或交换积分次序来 2 证明等式或不等式。 2 重积分与二次积分的转化。
利用变量代换
对称性
1. D关于x轴对称（x轴上方部分为D1)
则
f
(x,
y)d
2
D1
f
(x,
y)d
D
0
当f (x, y) f (x, y) 当f (x, y) f (x, y)
2. D关于y轴对称（y轴右边部分为D1)
则
f
(x,
y)d
2
D1
f
(x,
y)d
D
0
当f (x, y) f ( x, y) 当f ( x, y) f (x, y)
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
a
1( x)
D
X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y
轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
［Y－型］ D : c y d , 1( y) x 2( y).
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
f ( x, y) x e y x cos( xy) f ( x, y)dxdy
D
其中D是由曲线y x 及y x2围成的平面
有界区域，求f ( x, y)。
解 f ( x, y)dxdy a f ( x, y) x e y x cos( xy) a
D
a
f
(x,
y)dxdy
1
x
c
1( y)
D
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴
的直线与区域边界相交不多于两个交点.
（２）极坐标系下
D1 : , 1( ) r 2( ).
f (r cos ,r sin )rdrd
D1
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
D2 : , 0 r ( ).
3 重积分的计算。
思考题
设 f ( x)在[0,1]上连续，并设
1
f ( x)dx
A，
0
求
1
dx
1
f ( x) f ( y)dy .
0x
思考题解答
1 f ( y)dy不能直接积出, 改变积分次序. x
令I
11
dx f ( x) f ( y)dy,
0x
1y
则原式 dy f ( x) f ( y)dx. 00
定理 设 f ( x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x(u,v), y y(u,v) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x(u,v), y(u,v) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v) ( x, y) 0;
D
y 1, x 1所围； 2
5
2 计算 y x2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1. D