二重积分习题总结

被积函数 f (x, y)
f (x2 y2)
注意以下几点
2 积分的关键是定限，定限的关键是将D用 联立不等式表示出来。
（1）直角坐标系：先判断区域的类型，若 为X型，先将区域D投影到x轴上，定出x的 变化范围[a,b], 然后用过[a,b]内任意点且平 行于y轴的直线去穿D,得到 1( x) y 2( x).
定理 设 f ( x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x(u,v), y y(u,v) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x(u,v), y(u,v) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v) ( x, y) 0;
D : a x b, 1( x) y 2( x).
注意以下几点
2 积分的关键是定限，定限的关键是将D用 联立不等式表示出来。
（2）极坐标系：先定出 的变化范围 , 然后以, 内任意角为极角，从原点引一
条射线去穿D, 得到 1( ) r 2( ).
注意以下几点
3 利用函数的奇偶性与积分区域的对称性 计算。
f ( x, y) x e y x cos( xy) f ( x, y)dxdy
D
其中D是由曲线y x 及y x2围成的平面
有界区域，求f ( x, y)。
解 f ( x, y)dxdy a f ( x, y) x e y x cos( xy) a
D
a
f
(x,
y)dxdy
1
x
(1) D关于x轴对称，D1是D的上半部分，
f ( x, y) f ( x, y)
f ( x, y)d 2 f ( x, y)d
D
D1
f ( x, y) f ( x, y)
f ( x, y)d 0
D
二、典型例题
1 利用重积分的性质或交换积分次序来 2 证明等式或不等式。 2 重积分与二次积分的转化。
(u, v ) (3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x, y)dxdy f [ x(u,v), y(u,v)]J (u,v)dudv.
D
D
注意以下几点
1 根据被积函数和积分区域的特点，合理 选择坐标系和积分次序。
坐标系
D的边界
直角坐标系 直线、抛物线、双曲线
极坐标系 圆周(或一部分)、极坐标给出
利用变量代换
对称性
1. D关于x轴对称（x轴上方部分为D1)
则
f
(x,
y)d
2
D1
f
(x,
y)d
D
0
当f (x, y) f (x, y) 当f (x, y) f (x, y)
2. D关于y轴对称（y轴右边部分为D1)
则
f
(x,
y)d
2
D1
f
(x,
y)d
D
0
当f (x, y) f ( x, y) 当f ( x, y) f (x, y)
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy.
a
1( x)
D
X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y
轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
［Y－型］ D : c y d , 1( y) x 2( y).
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
c
1( y)
D
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴
的直线与区域边界相交不多于两个交点.
（２）极坐标系下
D1 : , 1( ) r 2( ).
f (r cos ,r sin )rdrd
D1
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
D2 : , 0 r ( ).
2 dx
0
x2
xe ydy
a dxdy
D
D
3e a 3
a 9 3e 2
f ( x, y) x e y x cos( xy) 9 3e 2
1、计算二重积分
1、
D
y x2
所围；
y2
d ,其中D : 1
3 1 ln 2
y
12 2
3, y x y2
2、 x(1 yf ( x2 y2 ))d ,其中D : y x3 ,
3. D关于x轴、y轴均对称（第一象限部分为D1)
则
f
(x,
y)d
4
D1
f
(x,
y)d
D
0
当f ( x， y f ( x, y) f ( x, y) 当f ( x, y) f (x, y) 或f ( x， y －f ( x, y)
二重积分的计算
（１）直角坐标系下
［X－型］ D : a x b, 1( x) y 2( x).
1
x
f ( x)dx f ( y)dy,
0
0
故2I
1
1
f ( x)dx f ( y)dy
1
f ( x)dx
x
f ( y)dy
0
x
0
0
1
x
1
f ( x)dx[( ) f ( y)dy]
0
0
x
1
f ( x)dx
1
f
(
y)dy
A2 .
0
0
例1 设连续函数f ( x, y)满足
f (r cos ,r sin )rdrd
D2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
D3 : 0 2 , 0 r ( ).
f (r cos ,r sin )rdrd
D3
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
(3)二重积分的换元法：
二重积分 习题课
• 一、主要内容 • 二、典型例题
二重积分
一、主要内容
定义 几何意义
性质 计算法
定义
n
D
f ( x, y)d
lim 0 i1
f ( xi , yi ) i
(与分法无关、点的取法 无关）
性质 与定积分相类似的性质（线性性、对称性 对区域的可加性、比较性、估值、中值）
计算
利用直角坐标 选择坐标利用极坐标 化二次积分
D
y 1, x 1所围； 2
5
2 计算 y x2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1. D
3 重积分的计算。
思考题
设 f ( x)在[0,1]上连续，并设
1
f ( x)dx
A，
0
求
1
dx
1
f ( x) f ( y)dy .
0xFra Baidu bibliotek
思考题解答
1 f ( y)dy不能直接积出, 改变积分次序. x
令I
11
dx f ( x) f ( y)dy,
0x
1y
则原式 dy f ( x) f ( y)dx. 00