2020高考数学 阶段性测试题五

阶段性测试题五(平面向量)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．(文)(2020～2020·重庆市期末)已知a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若a 与a －b 共线，则实数x ＝( )

A ．－1

2

B.12 C ．1 D ．2

[答案] B

[解析] a －b ＝(1－x,1)，∵a 与a －b 共线，∴2(1－x )－1＝0，∴x ＝1

2

.

(理)(2020～2020·厦门市质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量

c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( )

A ．－2

B ．－13

C ．－1

D ．－23

[答案] C

[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线，

∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.

2．(2020～2020·黄冈市期末)若AB →·BC →＋AB →2

＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] B

[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →

， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．

3．(2020～2020·北京石景山区期末)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )

A ．－1

B ．－ 3

C ．－3

D ．1

[答案] C

[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3， 3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3.

4．(2020～2020·浙江宁波市期末)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →

＝－1，则|AD →

|的最小值是( )

A.12

B.32

C. 2

D.22

[答案] D

[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →

＝－1， ∴|AB →|·|AC →

|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →

|＝2，

∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →

|＝4， ∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →

)，

∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)

＝14(|AB →|2＋|AC →|2

－2)≥14(4－2)＝12， ∴|AD →

|≥22

.

5．(2020～2020·泉州五中模拟)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3

2

，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( )

A.12

B.1

3 C.1

4 D.15

[答案] A [解析] ∵|a －b |＝

32，∴|a |2＋|b |2

－2a ·b ＝34

， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，

设|b |＝x ，则1＋x 2

－x ＝34，∵x >0，∴x ＝12

.

6．(2020～2020·开封市二模)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA

→

＋λCB →

，则λ＝( )

A ．－13

B ．－23

C. 13

D.23

[答案] D

[解析] ∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →

)＝13CA →＋23CB →，

∴λ＝2

3

.

7．(文)(2020·山东淄博一模)在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →

，则CM →·CB →

等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6 [答案] B

[解析] CM →·CB →

＝(CA →＋AM →)·CB → ＝(CA →＋13AB →)·CB →

＝CA →·CB →＋13AB →·CB →

＝13

|AB →|·|CB →

|·cos45°

＝13×32×3×2

2

＝3. (理)若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →

的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19

[答案] D

[解析] 据已知得cos B ＝72

＋52

－62

2×7×5＝1935

，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →

|×(－cos B )＝

7×5×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－

1935＝－19. 8．(2020～2020·吉林延吉市质检)若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x

＋3y

的最小值为( )

A ．12

B ．2 3

C ．3 2

D ．6

[答案] D

[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x

＋3y

＝32x

＋3y ≥232x ＋y

＝6，等号在x

＝1

2

，y ＝1时成立． 9．(2020～2020·安徽东至县一模)若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →

＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( )

A ．－1

B ．0 C.

－1＋5

2

D.1＋52

[答案] A

[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →

＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、

B 、

C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →

＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1.

10．(2020～2020·天津五县区期末)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →

·(AB →＋AC →

)( )

A ．最大值为8

B ．最小值为2

C ．是定值6

D ．与P 的位置有关

[答案] C

[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，

A (0，3)，A

B →＋A

C →

＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，