2020高考数学阶段性测试题五

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2020年5月浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟阶段性评估数学试题(含答案)

9.函数
f (x)
=
x3
− 3x2
+ (2 − a)x −1, x
b.
恒有零点的条件不可能是
A. a 0, b 3
B. a 0,b 2
C. a 0,b 1
D. a = 0,b e
10.已知数列{an} 满足 a1 = a(a −1), an+1 = 2an2 − anan+1 ，则下列选项中正确的是
16. 已知 a,b R ，设函数 f (x) =| tan x + a | + | sin x cos x + b |, x [0, ] 上的最大值为 M (a,b) ，则 4
M (a,b) 的最小值为_______________.
17.已知向量 a, b, c 满足 | a |= 1,| b |= 2 2, a b = 0,| c − a |= 2 | c − b | ，则 | c + b − x (b + 2a) | 的最小值是 _______________.
D. [2, 3)
2.双曲线 x2 − y2 = 1的离心率为 3 ，则 m = m
3 +1
1
A. 3 − 1
B.
C.
2
2
5x + 6 y 30,
3.若实数 x, y 满足约束条件 3 y 2x,
则 z = x + 3y 的最小值是
x 1
27
A.10
B.3
C.
2
4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的
起，得到几何图形 B − ECDA （如图 2），记
直线 DC 与直线 EB 所成的角为，二面角

2020届湖北省襄阳五中高考第五次适应性考试数学(理)试卷(有答案)(加精)

普通高等学校招生全国统一考试（模拟五）数学（理科）试题本试题卷共4页，23题（含选考题），全卷满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答，用签字笔直接答在答题卡上对应答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。

1、若集合A={y|y=32x }，B={x|y=ln(x+1)}，则(∁R A)∩B= A ．(－1,+∞) B ．(－1,0) C ．Φ D ．[0,+∞)2、已知z=(i i -+11)1902+(ii +-11)2017，其中i 为虚数单位，1902是襄阳五中元年，2017是襄阳五中学生的好运年！！！则复数z 的共轭复数z 的虚部是A ．1B ．－iC ．－1D ．i 3、“所有9的倍数的数都是3的倍数，5不是9的倍数，故5不是3的倍数．”上述推理A ．不是三段论推理，且结论不正确B ．不是三段论推理，但结论正确C ．是三段论推理，但小前提错D ．是三段论推理，但大前提错 4、下列关于命题的说法错误的是 A ．“a =2”是“函数f (x)=log a x 在区间(0,+∞)上为增函数”的充分不必要条件 B ．命题“若随机变量X~N(1,4)，P(X ≤0)=m ，则P(0<X<2)=1－2m ”为真命题 C ．命题“若x 2－3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x ≠2，则x 2－3x+2≠0” D ．若命题P ：∃n ∈N ，2n >1000，则⌝P ：∀n ∈N ，2n >1000 5、从区域[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…， (x n ，y n )，其中两个数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率p 的近似值为 A ．nm2 B ．nm4 C ．mn 2 D ．mn 4 6、某几何体的三视图如图所示，其体积为 A ．32 B ．34 C ．310 D ．387、运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为 A ．－23 B ．0 C ．－1D ．21 8、已知函数f (x)=sin(ωx+6π)+ω (ω>0)的部分图象如图所示，则下列选项判断错误的是 A ．()()33f x f x ππ-=+ B ．()()13f x f x π+--=C ．7()23f π=D ．||MN π= 9、我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接收雨水。

河南省2020届高三数学阶段性测试试题五文

2016—2017学年高中毕业班阶段性测试（五）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 若集合{}|210A x R x =∈-=的子集个数是A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知复数z ，则“0z z +=”事故“z 为纯虚数”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知之间的一组数据：若y 关于x 的线性回归方程为ˆ9.49.1yx =+，则a 的值为 A. 52 B. 53 C. 54 D. 554.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A.42π+ B. 422π+ C. (42π D. (422π+5.执行如图所示的程序框图，若输入的3p =，则输出的n =A. 6B. 7C. 8D. 9《九章算术》中，将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.在阳马P-ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且2PD CD AD ==，则该阳马外接球的体积为 A.92π B. 9π C. 272π D. 27π 7.在ABC ∆中，若tan tan 1A B >，则ABC ∆是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D.以上都不对8.设函数()1x f x x=+，则使得()()31f x f x >-成立的x 取值范围是 A. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 11,,42⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 9.将函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴方程为 A. 8x π= B. 4x π= C. x π= D.32x π= 10.已知函数()()()23,320f x x g x ax a a =-=+->，若对任意的[]11,1x ∈-总存在[]21,2x ∈使得()()12f x g x =成立，则实数a 的值为 A. 14 B. 12 C. 45D.1 11.函数3x x y e=的图象大致为 12. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线右支上一点（异于右顶点），12PF F ∆的内切圆与x 轴切于点()2,0，过2F 的直线l 与双曲线交于A,B 两点，若使2AB b =的直线恰有三条，则暑期小的离心率的取值范围是A. (B. ()1,2C. )+∞ D. ()2,+∞ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若方程22113x y m m+=--表示椭圆，则实数m 的取值范围为 . 14.设实数,x y 满足100y x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .15.在正方形ABCD 中，2,,AB M N =分别是,BC CD边上的两个动点，且MN =，则AM AN ⋅的最小值为 .16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +>，则C 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和22.n S n n =+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：3 5.2n T ≤< 18.（本题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也成为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限度，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下，空气质量为一级，在35—75微克/立方米之间，空气质量为二级；在75微克/立方米以上，空气质量为超标.为了比较甲、乙两城市2016年的空气质量情况，省环保局从甲、乙两城市全年的检测数据中各随机抽取20天的数据作为样本，制成如图所示的茎叶图（十位为茎，个位为叶）.（1）求甲、乙两城市所抽取20天数据的中位数m 甲和m 乙；（2）从茎叶图里空气质量超标的数据中随机抽取2个，求这2个数据都来自甲城市的概率.19.（本题满分12分）如图，在多面体ABC DEF -中，4,3,5,4,2,3AB AC BC AD BE CF ======,且BE ⊥平面ABC ，//AD 平面BEFC .（1）求证：//CF 平面ABED ；（2）求多面体ABC DEF -的体积.20.（本题满分12分）已知A,B,C 三点满足2,3AB AC BC ==，以AB 的中点O为原点，以向量AB 的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系.（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）若对任意的实数[]0,1b ∈，直线y kx b =+被轨迹E 截得的弦长不小于22，求实数k 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()ln .xf x e x =- （1）求曲线()y f x =在点处的切线方程；（2）证明：() 2.f x >请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2020年5月浙江省七彩阳光新高考研究联盟2020届高三毕业班阶段性质量评估数学试题(解析版)

绝密★启用前浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020届高三毕业班下学期阶段性联合质量评估数学试题(解析版)2020年5月考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}ln(1)0A xx =-≤∣，{}03B x x =<<∣，则()R A B =（） A. (0,1](2,3)B. (2,3)C. (0,1)(2,3)D. [2,3) 【答案】A【解析】【分析】首先解对数不等式，求出集合A ，进而求出A R 的补集,再根据集合的交集运算,即可求出结果. 【详解】因为{}ln(1)0A xx =-≤∣,所以{}{}01112A x x x x =<-≤=<≤∣∣, 所以{1R A x x =≤∣或}2x >,又{}03B x x =<<∣,所以()R A B =(]()0,12,3.故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集的运算以及对数不等式的解法,属于基础题.2.双曲线221x y m-=则m =（）1C. 12D. 2【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程得222,1,1a m b c m ===+,结合离心率列方程,解得结果. 【详解】因为双曲线221x y m-=,所以222,1,1a m b c m ===+ 因为221x y m -=所以2211332c c m m a a m +==∴=∴=, 故选：C【点睛】本题考查双曲线离心率,考查基本分析求解能力,属基础题.3.若实数x ,y 满足约束条件5630321x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则 3 z x y =+的最小值是（）A. 10B. 3C. 272D.113 【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数求出结果．【详解】由约束条件作出可行域,如下图：。

2020届高三阶段5考试数学(理科)答案

高考数学三模试卷理科考后试卷讲解和试卷分析有差距呀！怎么办？苦学加巧学呗！！！还能怎样！为了胜利，拼了吧！！！不拼搏一把，不知自己能那么优秀！！！试卷讲解开始啦！！一、选择题（本大题共12小题，共60分）1已知集合{|A x y==和集合22{log(1)}B y y x==+，则A B=U（）A．[1,)-+∞ B．(0,1] C．[1,0]- D．[0,1]本题考查仔细审题能力和最基础的集合运算，要知道本体再求什么！是求A BU！！！解答：[{11}[1,1],{0}0,)A x xB y y=-≤≤=-=≥=+∞，[1,)A B=-+∞U选A 2.欧拉公式cos sinixe x i x=+（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”, 复数341ieπ表示的点位于复平面内的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限本题考查套公式能力和复数除法，复数对应的点的坐标解答：34112233122cos sin44i ieπππ-====--+，对应点⎛⎝⎭在第三象限。

选C3．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( )高考要求的能力水平你们考后显现出的能力水平A.01B.02C.07 D .04本题考察随机数表使用方法！08（12个）； 02 （第2个）； 14（第3个）； 07（第4个）；02 （重复了不要）； 01（第5个）； 04（第6个）选 D.4．有6个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有两人相邻的不同坐法有( ) A. 36种 B. 48种 C ．72种 D ．96种考察排列组合问题的通用解法，优先特殊元素排列法！---“定死一个看一个”只有三类做法 1. aa-a-a 2. a-aa-a 3.a-a-aa （a 代表人，-代表空座位）计算得 44372A =5.已知G 是△ABC 的重心，若GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，x ，y ∈R ，则 x +y = ( ） A. 1 B . -1 C.13 D. 13- 考察重心性质和响亮基底表示：解：如图GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x −y =−16. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（）A ．2 5 B. 2 C. 217 D. 3本题考查三视图还原直观图：本题还原后的直观图为：弧线AB 最短侧面展开图：ABCGBA B4257.古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图直线2x =交抛物线24y x =于,A B 两点，点,A B 在y 轴上的射影分别为C ，D ，从长方形ABCD 中任取一点，则该点位于阴影部分的概率为( )A.12 B . 13C.23 D. 25考察最基本的面积比例和简单的几何概型解：由题意知：直线和抛物线所包围的弓形面积是△OAB 面积的三分之四，而△OAB 面积是矩形ABCD 面积的二分之一，所以弓形面积是矩形ABCD 面积的三分之二。

高考数学专题检测卷五解析几何

专题检测卷(五) 解析几何(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·济南质检)若双曲线C ：x 2m －y 2＝1(m >0)的一条渐近线的方程为3x ＋2y ＝0，则m ＝( ) A.49B.94C.23D.32解析由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±1mx (m >0).3x ＋2y ＝0可化为 y ＝－32x ，所以1m ＝32，解得m ＝49.故选A.答案 A2.(2020·北京西城区二模)若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋a ＝0与x 轴、y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.(－∞，0] C.[0，＋∞)D.[5，＋∞)解析将圆的一般方程化作标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－a ，则该圆的圆心坐标为(2，－1)，半径r ＝5－a .因为该圆与x 轴、y 轴均有公共点，所以⎩⎪⎨⎪⎧2≤5－a ，1≤5－a ，5－a >0，解得a ≤1，则实数a 的取值范围是(－∞，1].故选A. 答案 A3.(2020·河南六市模拟)已知P 为圆C ：(x －5)2＋y 2＝36上任意一点，A (－5，0).若线段P A 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则点Q 的轨迹方程为( ) A.x 29＋y 216＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x <0)D.x 29－y 216＝1(x >0)解析如图，由题意知|QA |＝|QP |，||QA |－|QC ||＝||QP |－|QC ||＝|PC |＝6<|AC |＝10，所以动点Q 的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线，其方程为x 29－y 216＝1.故选B.答案 B4.(2020·辽宁五校模拟)仿照“Dandelin 双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美地证明了平面截圆柱的截面为椭圆面.如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.32解析由题意可知椭圆的长轴与两球心连线的夹角为30°，所以椭圆的长轴2a ＝2sin 30°＝4，a ＝2，椭圆的短轴长等于球的直径，所以b ＝1，c ＝3，e ＝c a ＝32，故选D. 答案 D5.(2020·江南十校素质测试)已知点P 在圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上，点Q 在直线l ：x －2y ＋1＝0上，且点Q 的横坐标x ∈[－1，a ).若|PQ |既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤35，115 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，115D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，＋∞ 解析如图，直线l ：x －2y ＋1＝0与x 轴交于点Q 1(－1，0).连接Q 1C 并延长，交圆C 于点P 1.过点C 作CQ 2⊥直线l 于点Q 2，交圆C 于点P 2，则|P 2Q 2|为|PQ |的最小值.易知直线CQ 2：y ＝－2x ＋2.设Q 2(x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋2，x －2y ＋1＝0，解得x 2＝35，∴a >35.设点Q 3(x 3，y 3).为点Q 1关于点Q 2的对称点，则x 3＝115.当a >115时，|PQ |无法取到最大值，当35<a ≤115时，|PQ |的最大值为|P 1Q 1|，∴35<a ≤115.故选A. 答案 A6.(2020·青岛检测)已知直线y ＝k (x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k (x －2)与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |－2|MN |，则( ) A.λ<－16 B.λ＝－16 C.－12<λ<0D.λ＝－12解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2.因为直线y ＝k (x －1)经过抛物线C 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k 2.同理可得|MN |＝8＋2k 2.所以λ＝4＋4k 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋2k 2＝4－16＝－12.故选D. 答案 D7.(2020·南昌调研)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A.(2，5) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，52 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，52D.(5，2＋1)解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0的圆心坐标为(0，5)，半径为3.因为圆C 上有且仅有两点到直线bx －ay ＝0的距离为1，所以圆心(0，5)到直线bx －ay ＝0的距离d 的范围为2<d <4，即2<5a a 2＋b2<4.又a 2＋b 2＝c 2，所以2<5a c <4，即54<e <52.故选C. 答案 C8.(2020·潍坊模拟)如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P (x 0，23)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0>p 2是抛物线C 上一点.以P 为圆心的圆与线段PF 交于点Q ，与过焦点F且垂直于x 轴的直线交于点A ，B ，|AB |＝|PQ |，直线PF 与抛物线C 的另一交点为M .若|PF |＝3|PQ |，则|PQ ||FM |＝( )A.1B. 3C.2D. 5解析如图，连接P A ，PB .因为|AB |＝|PQ |，所以△P AB 是正三角形.又x 0>p2，所以x 0－p 2＝32|PQ |.又因为|PF |＝x 0＋p 2＝3|PQ |，所以x 0＝3p 2.所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，23，所以(23)2＝2p ·3p 2.因为p >0，所以p ＝2.所以F (1，0)，P (3，23)，所以|PQ |＝33|PF |＝33·（23－0）2＋（3－1）2＝433，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线PF 的方程为y ＝3(x －1).由⎩⎨⎧y ＝3（x －1），y 2＝4x ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，所以|FM |＝13＋1＝43，所以|PQ ||FM |＝ 3.故选B.答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.过点P(2，2)作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是()A.0<r<2 2B.若△P AB为直角三角形，则r＝4C.△P AB外接圆的方程为x2＋y2＝4D.直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2＝0解析因为过点P(2，2)作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的切线有两条，则点P 在圆C外，则r<|PC|＝42，故A错误；若△P AB为直角三角形，则四边形P ACB 为正方形，则2r＝|PC|＝42，解得r＝4，故B正确；由P A⊥CA，PB⊥CB，可得点P，A，C，B共圆，所以△P AB的外接圆就是以PC为直径的圆，即x2＋y2＝8，故C错误；将(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2与x2＋y2＝8相减即得直线AB的方程，所以直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2＝0，所以D正确.故选BD.答案BD10.(2020·潍坊模拟)已知双曲线x24－y22＝sin2θ(θ≠kπ，k∈Z)，则不因θ改变而变化的是()A.焦距B.离心率C.顶点坐标D.渐近线方程解析由题意，得双曲线的标准方程为x24sin2θ－y22sin2θ＝1，则a＝2|sin θ|，b＝2|sin θ|，则c＝a2＋b2＝6|sin θ|，则双曲线的焦距为2c＝26|sin θ|，顶点坐标为(±2|sin θ|，0)，离心率为e＝ca＝62，渐近线方程为y＝±22x.所以不因θ改变而变化的是离心率、渐近线方程.故选BD. 答案BD11.设P 是椭圆C ：x 22＋y 2＝1上任意一点，F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，则( ) A.|PF 1|＋|PF 2|＝2 2 B.－2<|PF 1|－|PF 2|<2 C.1≤|PF 1|·|PF 2|≤2 D.0≤PF 1→·PF 2→≤1解析椭圆C 的长轴长为22，根据椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝22，故A 正确；||PF 1|－|PF 2||≤|F 1F 2|＝22－1＝2，所以－2≤|PF 1|－|PF 2|≤2，B 错误；|PF 1|·|PF 2|＝14[(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2]，而0≤(|PF 1|－|PF 2|)2≤4，所以1≤|PF 1|·|PF 2|≤2，C 正确；PF 1→·PF 2→＝(OF 1→－OP →)·(OF 2→－OP →)＝OF 1→·OF 2→－OP →·(OF 1→＋OF 2→)＋|OP →|2＝|OP →|2－1，根据椭圆性质有1≤|OP |≤2，所以0≤PF 1→·PF 2→＝|OP →|2－1≤1，D 正确.故选ACD. 答案 ACD12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，∠EPF 的外角平分线交x 轴于点Q ，过点Q 作QN ⊥PE 交EP 的延长线于点N ，作QM ⊥PF 交线段PF 于点M ，则( )A.|PE |＝|PF |B.|PF |＝|QF |C.|PN |＝|MF |D.|PN |＝|KF |解析由抛物线的定义，得|PE |＝|PF |，A 正确；∵PN ∥QF ，PQ 是∠FPN 的平分线，∴∠FQP ＝∠NPQ ＝∠FPQ ，∴|PF |＝|QF |，B 正确；若|PN |＝|MF |，则由PQ 是∠FPN 的平分线，QN ⊥PE ，QM ⊥PF ，得|QM |＝|QN |，从而有|PM |＝|PN |，于是有|PM |＝|FM |，则有|QP |＝|QF |，∴△PFQ 为等边三角形，∠FPQ ＝60°，也即有∠FPE ＝60°，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，如图，由选项A、B知|PE|＝|QF|，又PE∥QF，∴EPQF是平行四边形，∴|EF|＝|PQ|，∴△EKF≌△QNP，∴|KF|＝|PN|，D正确.故选ABD.答案ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2020·武汉质检)已知以x±2y＝0为渐近线的双曲线经过点(4，1)，则该双曲线的标准方程为________.解析由题知，双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0).因为点(4，1)在双曲线上，所以λ＝42－4＝12，所以双曲线的标准方程为x212－y23＝1.答案x212－y23＝114.已知点A(－5，0)，B(－1，－3)，若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是________.解析由题意可得|AB|＝（－1＋5）2＋（－3－0）2＝5，根据△MAB和△NAB的面积均为5可得M，N到直线AB的距离均为2，由于直线AB的方程为y－0－3－0＝x＋5－1＋5，即3x＋4y＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r＋2，解得r＝1，若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r－2，解得r＝5.故r的取值范围是(1，5). 答案(1，5)15.如图，点A，B分别是椭圆x225＋y2b2＝1(0<b<5)的长轴的左、右端点，F为椭圆的右焦点，直线PF 的方程为15x ＋y －415＝0，且P A →·PF →＝0，设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________.解析依题意得直线AP 的方程为x －15y ＋5＝0，直线PF 与x 轴的交点为(4，0)，即F (4，0)，∴b 2＝25－16＝9，即椭圆方程为x 225＋y 29＝1.设M (m ，0)(－5≤m ≤5)，则M 到直线AP 的距离为|m ＋5|4，又|MB |＝|5－m |，所以|m ＋5|4＝|5－m |，∵－5≤m ≤5，∴m ＋54＝5－m ，解得m ＝3，∴M (3，0).设椭圆上的点(x ，y )(x ∈[－5，5])到M (3，0)的距离为d ，则d 2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 225＝1625x 2－6x ＋18＝1625⎝ ⎛⎭⎪⎫x －75162＋6316，∵x ∈[－5，5]，∴当x ＝7516时，d 2最小，此时d min ＝374. 答案37416.(2020·烟台诊断)已知F 为抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，点A (1，p )，M 为抛物线上任意一点，且|MA |＋|MF |的最小值为3，则该抛物线的方程为________.若线段AF 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点，则四边形APFQ 的面积为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析由题意，得抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线的方程为y ＝－p 2.因为|MF |等于点M 到准线的距离，所以当p >12p 时，|MA |＋|MF |的最小值为点A 到准线y ＝－p 2的距离，而|MA |＋|MF |的最小值为3，所以3p2＝3，解得p ＝2，满足p >12p ；当p ≤12p 时，|MA |＋|MF |的最小值为|AF |，而|MA |＋|MF |的最小值为3，所以（1－0）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p －p 22＝3，解得p ＝42，不满足p ≤12p .综上所述，p ＝2.因此抛物线的方程为x 2＝4y .由p ＝2得，点A (1，2)，焦点F (0，1)，则线段AF 的垂直平分线的方程为x ＋y －2＝0，且|AF |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.设线段AF 的垂直平分线与抛物线的交点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x 2＝4y .解得⎩⎨⎧x 1＝－2＋23，y 1＝4－23或⎩⎨⎧x 2＝－2－23，y 2＝4＋23，则|PQ |＝（4＋23－4＋23）2＋（－2－23＋2－23）2＝4 6.所以四边形APFQ 的面积S ＝12|AF |·|PQ |＝12×2×46＝4 3. 答案 x 2＝4y 4 3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2020·北京适应性考试)已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为A (0，1)，B (0，－1)，焦距为2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝m 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD ，BM 的斜率的积为－14.证明：点D 在x 轴上. (1)解由题意知c ＝3，b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝4. ∵焦点在x 轴上，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明由题意可设M (－x 0，m )，N (x 0，m )，－1<m <1，则x 20＝4(1－m 2).①∵点D 在直线AN 上一点，A (0，1)， ∴AD →＝λAN →＝λ(x 0，m －1)， ∴OD →＝OA →＋AD →＝(λx 0，λ(m －1)＋1)， ∴D (λx 0，λ(m －1)＋1). ∵B (0，－1)，M (－x 0，m )，∴k BD ·k BM ＝λ（m －1）＋2λx 0·m ＋1－x 0＝－14. 整理，得4λ(m 2－1)＋8(m ＋1)＝λx 20. 将①代入上式得(m ＋1)[λ(m －1)＋1]＝0. ∵m ＋1≠0，∴λ(m －1)＋1＝0， ∴点D 在x 轴上.18.(本小题满分12分)(2020·浙江卷)如图，已知椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M (B ，M 不同于A ).(1)若p ＝116，求抛物线C 2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值. 解 (1)由p ＝116，得抛物线C 2的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫132，0. (2)由题意可设直线l ：x ＝my ＋t (m ≠0，t ≠0)，点A (x 0，y 0). 将直线l 的方程代入椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，得 (m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－2＝0，所以点M 的纵坐标y M ＝－mtm 2＋2. 将直线l 的方程代入抛物线C 2：y 2＝2px ，得y 2－2pmy －2pt ＝0，所以y 0y M ＝－2pt ，解得y 0＝2p （m 2＋2）m，因此x 0＝2p （m 2＋2）2m 2.由x 202＋y 20＝1，得1p 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 4≥160，当且仅当m ＝2，t ＝105时，p 取到最大值1040.19.(本小题满分12分)(2019·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为(1，0)，且经过点A (0，1).(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点.(1)解由题意，得b 2＝1，c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1. 又y 1＝kx 1＋t ，从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1. 同理，|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2. 所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k （t －1）（x 1＋x 2）＋（t －1）2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 2－21＋2k 2k 2·2t 2－21＋2k 2＋k （t －1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 1＋2k 2＋（t －1）2 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t . 又|OM |·|ON |＝2，所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0，0).20.(本小题满分12分)(2020·沈阳一监)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (2，2)，点B 在抛物线C 上，且满足OF →＝FB →－2F A →(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程；(2)过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l ′，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l ′与抛物线C 交于M ，N 两点，△OPQ 的面积记为S 1，△OMN 的面积记为S 2，求证：1S 21＋1S 22为定值. (1)解设B (x 0，y 0)，∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴OF →＝FB →－2F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－p 2，y 0－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 2，2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2－4，y 0－4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p 2－4＝p 2，y 0－4＝0，∴⎩⎨⎧x 0＝4，y 0＝4. ∵点B 在抛物线C 上，∴42＝2p ×4，∴p ＝2，∴y 2＝4x .(2)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意得，直线l 的斜率存在且不为零.设l ：x ＝my ＋1，代入y 2＝4x 得，y 2－4my －4＝0.∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.∴|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝16m 2＋16＝4m 2＋1.因此S 1＝12|y 1－y 2|×1＝2m 2＋1.同理可得，S 2＝21m 2＋1.∴1S 21＋1S 22＝14（m 2＋1）＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1＝14（m 2＋1）＋m 24（m 2＋1）＝14. ∴1S 21＋1S 22为定值，定值为14. 21.(本小题满分12分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.(1)证明因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2，又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4>|AB |.由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0).(2)解当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83).当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83).22.(本小题满分12分)(2020·东北三校一联)已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线l ：x＝－12相切，与定圆F ：(x －1)2＋y 2＝14外切.(1)求动圆圆心P 的轨迹C 的方程；(2)过曲线C 上位于x 轴两侧的点M ，N (MN 不与x 轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足分别为M 1，N 1，直线l 交x 轴于点A ，记△AMM 1，△AMN ，△ANN 1的面积分别为S 1，S 2，S 3，且S 22＝4S 1S 3，求证：直线MN 过定点.(1)解设P (x ，y )，⊙P 的半径为R ，则R ＝x ＋12，|PF |＝R ＋12，∴点P 到直线x ＝－1的距离与到定点F (1，0)的距离相等，故点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)证明设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2，设直线MN ：x ＝ty ＋n (t ≠0，n >0).将直线MN 的方程代入y 2＝4x 消去x 并整理，得y 2－4ty －4n ＝0，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4n <0.∵S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12·|y 1|，S 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12·|y 2|， ∴4S 1S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|y 1y 2| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 1＋n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 2＋n ＋12|y 1y 2| ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 2y 1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12t （y 1＋y 2）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·|－4n | ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4nt 2＋4t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·4n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·4n . ∵S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12·|y 1－y 2| ＝12⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， ∴S 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·(16t 2＋16n )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122(t 2＋n ).∵S 22＝4S 1S 3，∴n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122(t 2＋n )，即2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122，解得n ＝12. ∴直线MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.。

2020高考数学刷题首选卷第二章函数、导数及其应用考点测试5函数的定义域和值域(文)(含解析)

考点测试5 函数的定义域和值域高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读会求一些简单函数的定义域和值域一、基础小题1．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( )A ．(0，4)B ．(4，＋∞)C ．(0，4)∪(4，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 C解析由条件可得log 2x －2≠0且x >0，解得x ∈(0，4)∪(4，＋∞)．故选C ． 2．函数y ＝x (3－x )＋x －1的定义域为( ) A ．[0，3] B ．[1，3] C ．[1，＋∞) D．[3，＋∞) 答案 B解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x (3－x )≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3．故选B ．3．函数f (x )＝－2x 2＋3x (0<x ≤2)的值域是( ) A ．－2，98 B ．－∞，98C ．0，98D ．98，＋∞答案 A解析 f (x )＝－2x －342＋98(x ∈(0，2])，所以f (x )的最小值是f (2)＝－2，f (x )的最大值是f 34＝98．故选A ．4．已知函数f (x )＝2＋log 3x ，x ∈181，9，则f (x )的最小值为( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．0 答案 A解析由函数f (x )在其定义域内是增函数可知，当x ＝181时，函数f (x )取得最小值f 181＝2＋log 3 181＝2－4＝－2，故选A ．5．已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f x2＋f (x －1)的定义域为( )A ．(－2，0)B ．(－2，2)C ．(0，2)D ．－12，0答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f x2＋f (x－1)的定义域为(0，2)，故选C ．6．函数y ＝x ＋2－x 的值域为( ) A ．94，＋∞ B．94，＋∞ C ．－∞，94 D ．－∞，94答案 D解析令t ＝2－x ≥0，则t 2＝2－x ，x ＝2－t 2，∴y ＝2－t 2＋t ＝－t －122＋94(t ≥0)，∴y ≤94，故选D ．7．已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是( ) A ．{x |x ≠－1} B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2} 答案 C解析 f [f (x )]＝1f (x )＋1＝11x ＋1＋1，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，11＋x＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2．故选C ．8．若函数y ＝f (x )的值域是[1，3]，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A ．[－8，－3] B ．[－5，－1] C ．[－2，0] D ．[1，3] 答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为[－2，0]．故选C ．9．函数y ＝16－4x的值域是( )A ．[0，＋∞) B．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4) 答案 C解析由已知得0≤16－4x<16，0≤ 16－4x<16＝4，即函数y ＝16－4x的值域是[0，4)．故选C ．10．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪(2，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 A解析当x <1时，x －1<0，此时y ＝2x －1<0；当2≤x <5时，1≤x －1<4，此时14<1x －1≤1，12<2x －1≤2，即12<y ≤2，综上，函数的值域为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2．故选A ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，－2≤x ≤0，1x，0<x ≤3，则函数f (x )的值域是________．答案－14，＋∞解析当－2≤x ≤0时，x 2＋x ＝x ＋122－14，其值域为－14，2；当0<x ≤3时，1x 的值域为13，＋∞，故函数f (x )的值域是－14，＋∞．12．函数f (x )＝x －1x ＋1的值域为________．答案 [－1，1)解析由题意得f (x )＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1，∵x ≥0，∴0<2x ＋1≤2，∴－2≤－2x ＋1<0，∴－1≤1－2x ＋1<1，故所求函数的值域为[－1，1)．二、高考小题13．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x答案 D 解析函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ．故选D ．14．(2018·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．答案 [2，＋∞)解析由题意可得log 2x －1≥0，即log 2x ≥1，∴x ≥2．∴函数的定义域为[2，＋∞)． 15．(2016·江苏高考)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．答案 [－3，1]解析若函数有意义，则需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1． 16．(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f [f (－3)]＝0．又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3．17．(2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．答案－32解析 ①当a >1时，f (x )在[－1，0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1，0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32．18．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，2]解析当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0，1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2．三、模拟小题19．(2018·广东珠海一中等六校第三次联考)函数f (x )＝12－x＋ln (x ＋1)的定义域为( )A ．(2，＋∞) B．(－1，2)∪(2，＋∞) C ．(－1，2) D ．(－1，2] 答案 C解析函数的定义域应满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，1＋x >0，∴－1<x <2．故选C ．20．(2018·河南联考)已知函数f (x )＝x ＋2x－a (a >0)的最小值为2，则实数 a ＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析由2x－a ≥0得x ≥log 2a ，故函数的定义域为[log 2a ，＋∞)，易知函数f (x )在[log 2a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (log 2a )＝log 2a ＝2，解得a ＝4．故选B ．21．(2018·江西南昌三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ≤1)，ln x (x >1)，那么函数f (x )的值域为( )A ．(－∞，－1)∪[0，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，＋∞)C ．[－1，0)D ．R 答案 B解析函数y ＝x －2(x ≤1)的值域为(－∞，－1]，函数y ＝ln x (x >1)的值域为(0，＋∞)，故函数f (x )的值域为(－∞，－1]∪(0，＋∞)．故选B ．22．(2018·邵阳石齐中学月考)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个答案 C解析 ∵函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是[0，1]，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴[a ，b ]⊆[－2，2]．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整数数对(a ，b )有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(－1，2)，(0，2)共5个．故选C ．23．(2019·汕头模拟)函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1，2]，则函数的值域为________．答案 [0，8]解析当x ＝0时，y min ＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝32－1＝8，故值域为[0，8]． 24．(2018·江苏常州期中)若函数f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，则函数f (log 12x )的定义域为________．答案 14，1解析 ∵f (x ＋1)的定义域是[－1，1]，∴f (x )的定义域是[0，2]，则f (log 12x )的定义域为0≤log 12x ≤2，∴14≤x ≤1．一、高考大题1．(2016·浙江高考)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0，6]上的最大值M (a )．解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0，当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2，2a ]． (2)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2． ①f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2，34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.二、模拟大题2．(2018·山东青岛月考)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域．解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为[1，9]，要使[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1，3]．又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3． ∵x ∈[1，3]，∴log 3x ∈[0，1]，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6． ∴函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为[6，13]．3．(2019·山西太原一中月考)已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0，1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解 f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0，1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0，1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1．∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a，a ≥1，∴g (a )在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取得最大值1．4．(2018·陕西渭南尚德中学一模)已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3． (1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3＝x ＋322－214，又x ∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f －32＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，所以所求函数的值域为－214，15．(2)对称轴为x ＝－2a －12．①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12≥3，即a ≤－52时，f (x )max ＝f (1)＝2a －3，所以2a －3＝1，即a ＝2，不满足题意； ③当1<－2a －12<3，即－52<a <－12时，此时，f (x )max 在端点处取得，令f (1)＝1＋2a －1－3＝1，得a ＝2(舍去)，令f (3)＝9＋3(2a －1)－3＝1，得a ＝－13(舍去)．综上，可知a ＝－13．。

2020高考数学(理科)全真模拟卷五(含答案解析)

2020高考全真模拟卷五数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|A x x a =>，{}2|430B x x x =-+≤，若A B B =I ，则实数a 的取值范围是（）A ．3a >B ．3a ≥C ．1a ≤D ．1a <2．在复平面内，复数(1i)(2i)z =+-对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，四边形ABCD 为正方形，ADE ∆为等腰直角三角形，设向量BC a =u u u v v ，BA b =u u u v v ，则CE =uu u v （）A ．1322a b --v vB ．1322a b -v vC ．1322a b -+v vD ．1322a b +v v4．巳知函数1(),2(){2(1),2x x f x f x x ≥=+<，则2(log 3)f =A ．﹣32B ．2C ．16D ．565．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A =，2b =，ABC ∆的面积等于23，则ABC ∆外接圆的面积为（）A ．16πB ．8πC ．6πD ．4π6．已知实数,,a b c ，22log aa =-，121()log 2b b =-，231()2cc -=，则（）A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>7．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1，A 2，点M 为椭圆上不同于A 1，A 2的一点，若直线M A 1与直线M A 2的斜率之积等于−12，则椭圆的离心率为（） A ．12B ．13C ．√22D ．√338．如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道），那么从A 到B 的最短线路有（）条A ．100B ．400C ．200D ．2509．已知函数()2ln ||f x x x =-，则()f x 的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是（）A ．3CD BC =u u u r u u u rB ．0CA CE ⋅=u u u r u u u rC ．AB u u u r 与DE 共线D ．CA CB CE CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．64B ．48C ．40D ．5612．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()20f =，当0x >时，有()()20xf x f x x '->成立，则不等式()20x f x >的解集是（）A ．()()2,02,-+∞UB ．()()2,00,2-UC ．()2,+∞D ．()(),22,-∞-+∞U第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省黄冈中学2020年高考适应性考试理科数学模拟卷（五）含参考答案及评分标准

湖北省黄冈中学2020年高考适应性考试模拟卷（五）数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合|A x x a ，2|430Bx xx ，若A B B I ，则实数a 的取值范围是（）A ．3aB ．3a C ．1a D ．1a 2．在复平面内，复数(1i)(2i)z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若,BE BA BDR u u u r uu u r uu u r ，则A ．34B ．14C ．14D ．344．定义在R 上的函数2,10(),01x x f x x x ，且1(2)(),()2f x f xg x x ，则方程()()f x g x 在区间[5,9]上的所有实数根之和最接近下列哪个数（）A ．14B ．12C ．11D ．105．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A，2b ，ABC 的面积等于23，则ABC 外接圆的面积为（）A ．16πB ．8πC ．6πD ．4π6．已知实数,,a b c ，22log aa ，121()log 2bb ，231()2cc，则（）A ．b c aB ．c b a C ．ba c D ．ca b 7．已知椭圆221112211:1(0)xy C a b ab与双曲线222222222:1(0,0)xy C a b ab有相同的焦点12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF ,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ，则21e e 的取值范围是A ．13，B ．13，C ．12，D ．12，8．如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道），那么从A 到B 的最短线路有（）条A ．100B ．400C ．200D ．2509．已知函数ln 2ln 6f x x x ，则A ．f x 在2,6上单调递增B ．f x 在2,6上的最大值为2ln2C ．f x 在2,6上单调递减D ．yf x 的图象关于点4,0对称10．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是（）A ．3CD BCuu u r uu u r B ．0CA CE u u u r u u u r C ．AB uu u r与DE 共线D ．CA CBCE CDuu u r uu u r u u u r u u u r 11．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为()12．已知函数f x 是定义在R 上的奇函数，20f ，当0x时，有2xf x f xx成立，则不等式20x f x的解集是（）A ．2,02,U B ．2,00,2U C ．2,D ．,22,U第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届浙江省高三下学期6月新高考进阶数学试题(解析版)

2020届浙江省高三下学期6月新高考进阶数学试题一、单选题1．已知(){}2ln 2A x Ny x x =∈=--∣，{B y Ny =∈=∣，则()NA B ＝（） A ．{}1,2 B ．{}0,1C ．{}1,2,3D ．∅【答案】A【解析】首先确定集合,A B 中的元素，然后再由集合的运算法则计算．【详解】由220x x -->得1x <-或2x >，∴{|2}A x N x =∈>，{0,1,2}NA =，10x -≥，11x -≤≤，011x ≤-≤，∴1e ≤≤，即1y e ≤≤，又y N ∈，∴1y =或2，即{1,2}B =，∴(){1,2}NA B =．故选：A ．【点睛】本题考查集合的综合运算，解题关键是确定集合中的元素．一定要注意代表元的形式，对于与函数有关的数集，要注意是函数的定义域还是函数的值域．2．多项式396x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项是（） A ．216 B ．216-C ．540D ．540-【答案】D【解析】由于296x x =+-，故只需求解6的常数项即可. 【详解】解：因为332669x x ⎡⎤==⎢⎥⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()631663rrr rr r r T C C x --+⎛==- ⎝，令30r -=，得3r =，所以常数项为：()3363540C -=-.故选：D.【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是二项式定理的展开式的通项公式.解题时多项式应化为二项式，这样求解较方便.3．正项等比数列{}n a ，m n p q +=+，“m n p q a a a a +≥+”是“mn pq <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先判断是否是充分条件，可令m n p q ===，显示条件成立，但结论不成立，故不充分；再证是否是必要条件，不妨假设m 最大，则n 最小，且0m p q n -=->，设{}n a 公比为,0x x >再得到()mnpqx x x x +-+(1)()m pp n xx x -=--，对x 分01x <<，1x =，1x >讨论，可证得m n p q x x x x +>+，从而得到m n p q a a a a +≥+，得到答案. 【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为(0)x x >，因为m n p q +=+，当m n p q a a a a +≥+时，令m n p q ===，不等式成立，但是mn pq <不成立；故“m n p q a a a a +≥+”是“mn pq <”的不充分条件；当mn pq <时，显然,,,m n p q 互不相等，设{}n a 公比为,0x x >m n p q a a a a +≥+等价于1111m n p q x x x x ----+≥+，即m n p q x x x x +≥+，因为m n p q +=+，mn pq <，所以()m p q m pq +-<，即()()0m p m q -->，不妨假设m 最大，所以n 最小，所以0m p q n -=->，()m n p q x x x x +-+(1)(1)p m p n q n x x x x --=---(1)()m p p n x x x -=--当1x >时，1m p x ->，p n x x >，∴m n p q x x x x +>+；当1x =时，m n p q x x x x +=+；当01x <<时，1m p x -<，p n x x <，∴m n p q x x x x +>+；综上知，当mn pq <时，有m n p q a a a a +≥+，故“m n p q a a a a +≥+”是“mn pq <”的必要条件.即“m n p q a a a a +≥+”是“mn pq <”的必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，等比数列的通项公式及性质，作差法比较厌，还考查了学生的分析推理能力，转化与化归思想，难度较大.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体两两垂直的平面共有（）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对【答案】D【解析】先根据三视图还原几何体的直观图，结合线面、面面垂直的判定定理即可. 【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD -，其中ABCD 为边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAC ⊥平面ABCD ,又,,AD AB PA AD AB PA A ⊥⊥⋂=, 所以AD ⊥平面PAB ,平面PAD ⊥平面PAB ,又AC BD ⊥,,PA BD PA AC A ⊥⋂=,所以BD ⊥平面PAC ,平面PBD ⊥平面PAC ,同理可证：CD ⊥平面PAD ，CB ⊥PAB ，故平面PBC ⊥平面PAB ，平面PCD ⊥平面PAD ，故该几何体两两垂直的平面共有7对.故选：D 【点睛】本题主要考查线面、面面垂直的判定定理，属于基础题. 5．若4AB =，3AC CB =，平面内一点P ，满足||||PA PC PB PCPA PB ⋅⋅=，sin PAB ∠的最大值是（） A ．23B ．12C ．13D ．16【答案】C【解析】由条件可得3,1AC BC ==，PC 是角平分线，然后由角平分线的性质可得3PA ACPB BC==，设PB x =，则3PA x =，然后221692222cos 22343393x x x PAB x x +-∠==+≥=⨯⨯，即可得出sin PAB ∠的最大值. 【详解】由4AB =，3AC CB =可得3,1AC BC == 因为||||PA PC PB PC PA PB ⋅⋅=，所以APC BPC ∠=∠，即PC 是角平分线所以由角平分线的性质可得3PA ACPB BC== 设PB x =，则3PA x =，由,PA PB AB PA PB AB +>-<可得12x <<因为221692222cos 22343393x x x PAB x x +-∠==+≥=⨯⨯当且仅当233x x =，即x =cos PAB ∠的最小值为3所以sin PAB ∠的最大值是13故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积、余弦定理和利用基本不等式求最值，考查了学生的分析转化能力，属于中档题.6．已知函数22()(sin )(cos )()k k f x x x k Z +=-∈，()2121()(sin )(cos )k k g x x x k Z --+-=∈，()f x 与()g x 的最小正周期分别是（）A ．2,21k k ππ-B ．,2kππ C ．2,21k ππ- D ．,2ππ【答案】D【解析】用特殊值2k =分析，求出()f x 的周期，可知AB 错误，又33()sin cos g x x x =-，再验证并得到C 错，从而得到答案.【详解】令2k =，则44()sin cos cos2f x x x x =-=-，最小正周期为π，故AB 错误，33()sin cos g x x x =-，若其周期为23π，由(0)1g =-，21()38g π+=，则2()(0)3g g π≠，故C 错误，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查了三角函数的周期，考查了特殊值法的应用，属于中档题.7．新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE 上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（） A ．310B ．13C ．1130D ．25【答案】C【解析】5个快递送到5个地方有55120A =种方法，全送错的方法：第一步A 送错有4种可能，然后第二步是关键，考虑A 送错的地方对应的快递，如A 送到丙地，第二步考虑快递C ，而C 送错位置分两类，一类是送到甲，一类是送其他三个地方，再对剩下的3个快递分别考虑即可完成．【详解】5个快递送到5个地方有55120A =种方法，全送错的方法数：先分步：第一步快递A 送错有4种方法，第二步考虑A 所送位置对应的快递，假设A 送到丙地，第二步考虑快递C ，对C 分类，第一类C 送到甲地，则剩下,,B D E 要均送错有2种可能（丁戊乙，戊乙丁），第二类C 送到乙丁戊中的一个地方，有3种可能，如送到丁地，剩下的,,B D E 只有甲乙戊三地可送，全送错有3种可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴总的方法数为4(1233)44⨯⨯+⨯=，所求概率为441112030P ==．故选：C ．【点睛】本题考查古典概型，快递送错位置与信装错信封（信封上已写地址）是同一回事，属于典型的计数问题，注意其求解方法，分类还是分步要确定好． 8．函数()0xy xx =>的最小值是（）A ．1eB ．11ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1D ．0+（无最小值，无限趋向于0）【答案】B 【解析】将()0xy xx =>变形得ln ln y x x =，可得ln x x y e =，求得该函数的导数，利用导数研究函数ln x xy e =的单调性与极值，进而可得出该函数的最小值.【详解】当0x >时，在等式x y x =两边取自然对数得ln ln y x x =，ln x xy e ∴=，()ln ln 1x x y e x '∴=+，令0y '=，得1=x e.当10x e<<时，0y '<，此时函数ln x xy e =单调递减；当1x e>时，0y '>，此时函数ln x x y e =单调递增. 因此，函数ln x xy e =在1=x e 处取得最小值，即1min 1e y e ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，将函数解析式变形为ln x x y e =是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9．双曲线上22221(0)x y b a a b-=>>有两点A 、B ，O 为坐标原点，F 为双曲线焦点，满足OA OB ⊥，当A 、B 在双曲线上运动时，使得恒222111||||||OA OB OF +≤成立，则离心率取值范围是（）A ．12⎦B ．32⎦C ．⎭ D ．⎛ ⎝ 【答案】A【解析】先根据OA OB ⊥得到12120x x y y +=，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得到2222221m a b k b a =+-，从而得到22222211||||b a a b OA OB -+=为定值，即可求解离心率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB :y kx m =+ 因为OA OB ⊥，即12120OA OB x x y y ⋅=+=联立22221y kx mx y a b=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()22222222220b a k x kma x a m a b ----=2122222kma x x b a k +=-，()22212222a m b x x b a k-+=- ()()()2212121112y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++代入得2222212222m b a b k y y b a k-=- 所以()2222222212122222220a m b m b a b k x x y y b a k b a k-+-+=+=-- 整理得2222221m a b k b a=+-即由()0,0O 到直线AB :y kx m =+的距离d =所以距离为一个定值又()()222222211||||||||||||||||||OA OB AB OA OB OA OB OA OB +==⋅⋅+ 又11||||||22ABCSOA OB AB d =⋅=⋅ 即()222||||||OA OB AB d ⋅=所以()2222222222211||11||||||||AB k b a d ma bOA OB OA OB +-+====⋅ 又222111||||||OA OB OF +≤所以222221112b a e a bc -+≤⇒<≤又b a e >⇒<12e +<≤ 故选：A 【点睛】此题考查双曲线的离心率，难点是联立方程后的化简过程，对计算的要求较高，属于较难题目. 10．函数43221()x ax bx ax f x x--++=，a ∀，b R ∈，[1,2]x ∈上()f x 最大值(),M a b 的最小值为（）A ．916B ．932C ．716D ．732【答案】B 【解析】令1t x x=-，把函数式变形化简为2()()2f x g t t at b ==+--，注意30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后由(,)M a b 定义有(,)(0)M a b g ≥①，3(,)2M a b g ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭②，3(,)4M a b g ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭③，由①＋②＋2×③结合绝对值不等式的性质，计算后可得最小值．【详解】221()a f x x ax b x x =--++，令1t x x=-，则2()()2f x g t t at b ==+--， [1,2]x ∈，则130,2t x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，由题意(,)(0)2M a b g b ≥=-，3173(,)242M a b g a b ⎛⎫≥=-- ⎪⎝⎭，3413(,)4164M a b g a b ⎛⎫≥=-- ⎪⎝⎭3412(,)228M a b a b ⇒≥+-，∴173341(,)(,)2(,)224228M a b M a b M a b b a b a b ++≥-+--++- 17334192242288b a b a b ≥-+--++-=， ∴9(,)32M a b ≥．当且仅当553,322b a ==等号同时成立． ∴(,)M a b 的最小值为932．故选：B ．【点睛】本题考查求绝对值函数的最值，考查绝对值不等式的性质和应用，考查运算求解能力，属于中档题．二、填空题11．在复变函数中，自变量z 可以写成(cos sin )i z r i r e θθθ=⨯+=⨯，其中||r z =，θ是z 的辐角．点(),x y 绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点()2,3A 绕原点逆时针旋转3arcsin5得A '_______；复变函数ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，z =_______．【答案】118(,)55- 1-【解析】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos 1313αα==A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，利用两角和差公式求得A '的坐标；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+，化简可得z . 【详解】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos ,sin 1313αα==则A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，则cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=-，sin()sin cos cos sin 65αβαβαβ+=+=，则118)55z i '=+=-+，故A '的坐标为118(,)55-；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+，得1z =-. 故答案为：118(,)55-；1- 【点睛】本题考查了复数的运算，结合考查了两角和的正弦、余弦公式，还考查了学生阅读理解能力，分析能力，运算能力，属于中档题.12．在ABC 中，35AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，cos C 的最小值为_______．【解析】可先用向量的数量积公式将原式变形为：cos 3cos 5cos bc A ac B ab C +=，然后再结合余弦定理整理为222379a b c +=，再由cos C 的余弦定理得到,a b 的关系式，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】已知23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，可得cos 3cos 5cos bc A ac B ab C +=，将角A,B,C 的余弦定理代入得222379a b c +=，由222222239c 9s 22o a ba b C c ab ab ++-==≥，当b =时取到等号，故cos C.【点睛】本是考查了向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅是解题关键.属于中档题.13．“520”告白季，心形方程成为数学爱好者表白的不二之选．已知椭圆经旋转和对称变换后可得心形方程．若心形方程22||1x x y y -+=，则x y +的取值范围是_______．【答案】,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】当0x ≥时，有221x xy y -+=，配方得22()133()2x y x y xy ++-=≤⋅，解得x y +的范围，当0x <时，有221x xy y ++=，配方得22()1()2x y x y xy ++-=≤，再解得x y +的范围，综合可得x y +的取值范围. 【详解】（1）当0x ≥时，有221x xy y -+=，配方得22()133()2x y x y xy ++-=≤⋅，则2()4x y +≤，得22x y -≤+≤，当且仅当0x y =≥时取得最值，则1x y ==时，x y +有最大值为2；又由0x ≥时，有2210x yx y -+-=，则22()4(1)0y y ∆=---≥，得243y ≤，y ≤≤，即2x y ≤+≤；（2）当0x <时，有221x xy y ++=，配方得22()1()2x y x y xy ++-=≤，则24()3x y +≤，得x y ≤+≤0x y =<时取得最值，则x y ==x y +有最小值为3-；综合（1）（2）可得x y +∈3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了有条件等式求值域，可利用等式，结合基本不等式构建不等式，再解构建的不等式求得值域，注意取“=”条件，还考查了分析推理能力，运算能力，难度较大. 14．三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 为线段OA 上动点，点Q 为平面OBC 上动点，且满足13OP OA ≤，OP BQ =，PQ 和OB 所成角θ，cos θ的最小值为_______．【答案】3【解析】如图所示,根据已知可设()10,0,03P t t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，()0,0,1A ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，(),,0Q a b ，由OP BQ =可得：()2221a b t -+=，(),,PQ a b t →=-，()1,0,0OB →=，cos cos ,OB PQ θ→→==.研究,a t 范围，化简计算即可得出结果. 【详解】如图所示,根据已知可设()(0,0,1),(1,0,010,0,03),(0,1,0),(,,0)A B C Q P t t a b ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭OP BQ =()2221a b t ∴-+=，(),,PQ a b t →=-，()1,0,0OB →=，cos cos ,OB PQ θ→→===，1t a t -≤-≤，11t a t -≤≤+，13t ≤，cos θ∴=≥==令187m a =-，则()21717766s 3co m m m m θ+⎛⎫==+≥⎪⎝⎭，此时13t =，79a =符合条件.故答案为：73.【点睛】本题考查考查线线角求法、空间向量应用，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.三、双空题15．如表是随机变量102a ξ⎛⎫<<⎪⎝⎭的分布列，()E ξ=_______，()2D ξ∈_______． ξ0 12Pa12a -a【答案】1 ()0,4【解析】利用期望的公式求出()E ξ，再根据()2D ξ422()[]E E ξξ=-，化简求取值范围. 【详解】由题()E ξ01221a a a =⋅+-+=,又4444()01(12)2114E a a a a ξ=⋅+⋅-+⋅=+，2()E ξ=22201(12)212a a a a ⋅+⋅-+⋅=+，则()2D ξ422()[]E E ξξ=-22114(12)410a a a a =+-+=-+，1(0,)2a ∈，令2()410,f a a a =-+1(0,)2a ∈，则()f a 在1(0,)2a ∈递增，得()(0,4)f a ∈，故()2D ξ∈()0,4.故答案为：1；()0,4. 【点睛】本题考查了期望与方差的计算，熟记并灵活运用公式是解题的关键，属于中档题.16．已知2x y +=，2x >-，3y >-，则2223x y x y +++的最小值为_______，此时x y -_______．【答案】4725-【解析】令2,3m x n y =+=+，则0,0,7m n m n >>+=，再化简2223x y x y +++493m n =+-，利用49m n +149()()7m n m n=++化简，均值不等式求最值，得到答案. 【详解】令2,3m x n y =+=+，则0,0,7m n m n >>+=，再化简2223x y x y +++493m n=+-，又49m n +149()()7m n m n =++13149131225()77777n m m n =++≥+=，当且仅当49n m m n=时取得最小值，又7m n +=，得1421,55m n ==，即当46,55x y ==时，2223x y x y +++有最小值254377-=，此时x y -=25-. 故答案为：47；25-.【点睛】本题考查了基本不等式求最值，结合考查了换元法的应用，属于中档题.17．直线1: 2l y x =-与直线2:(0)l y kx k k =+>相交于点P ．直线1l 与x 轴交于点1P ，过点1P 作x 轴的垂线交直线2l 于点1Q ，过点1Q 作y 轴的垂线交直线1l 于点2P ，过点2P 作x 轴的垂线交直线2l 于点2Q ，，这样一直作下去，可得到一系列点1P 、1Q 、2P 、2Q ，，点(1,2,3)n P n =的横坐标构成数列{}n x .那么，k =_______时，{}n x 为周期数列；k =_______时，{}n x 为等比数列．【答案】1 2【解析】由题意依次计算1P 、1Q 、2P 、2Q ，，归纳出结论n x ，再由周期数列和等比数列的定义求解．【详解】1l 的方程是2y x =-，2l 的方程是y kx k =+，则1(2,0)P ，()12,3Q k ，2(23,3)P k k -，22(23,33)Q k k k --，223(233,33)P k k k k -+-，2233(233,333)Q k k k k k -+-+，23234(2333,333)P k k k k k k -+--+，…，∴211233(1)3n n n x k k k --=-+++-⋅，∴()13121n nk k x k-⎡⎤--⎣⎦=-+，要使{}n x 为周期数列，则存在*n N ∈且1n >，2n x =，即()1310n k k -⎡⎤--=⎣⎦， ∵0k >，只有1k =且n 为奇数时满足题意，故1k =，要使{}n x 为等比数列，则2213x x x =，22(23)2(233)k k k -=-+，∵0k >，∴2k =，此时12(1)n n x -=⨯-，{}n x 是等比数列．故答案为：1；2．【点睛】本题考查周期数列与等比数列的概念，考查归纳推理．解题关键是是由归纳推理得出n x 的表达式．也可由数列的前几项满足条件得出k 值，然后检验数列{}n x 后面的项也满足条件即可．四、解答题18．在非直角ABC 中，4tan tan tan tan tan 3A B C B C ++=⋅，5a =. （1）求sin A ；（2）若AD 是角平分线，AD =，求ABCS ．【答案】（1）4sin 5A =；（2）12. 【解析】（1）先根据内角和为π得到tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅，从而可求tan A 的值，利用同角的三角函数的基本关系式可求sin A .（2）由（1）可得sin2A =，设,AB x AC y ==，则根据面积公式可得()3011x y xy +=，再由余弦定理得,x y 的关系，两者结合可求30xy =，从而可求面积. 【详解】（1）因为()()tan tan tan A B C B C π=--=-+，故tan tan tan 1tan tan B CA B C+=--，整理得到tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅，所以4tan tan tan tan tan 3A B C B C ⋅=.因为,B C 为三角形内角，故tan tan 0B C ≠，故4tan 3A =，因为A 为三角形内角，故0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故4sin 5A ==. （2）设,AB x AC y ==. 由（1）知0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5A =，故3cos 5A =，故2312sin 52A =-，而0,24A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故5sin 25A =. 由ADBADCABCSSS+=可得111sin sin sin 22222A A AD AB AD AC AB AC A ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯，故()245541155x y xy +⨯⨯=⨯，整理得到()3011x y xy +=. 由余弦定理可得2232255x y xy +-⨯=，整理得到：()216255x y xy +-=，故()21212880259000xy xy --⨯=即()()121750300xy xy +-=，故30xy =，所以面积为14301225⨯⨯=. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形以及面积公式的应用，当解三角形中遇到角平分线时，可考虑用面积关系来讨论，本题数据较大，不易计算.19．四面体A BCD -中，3AB AC AD BC BD =====，E 是AB 上一动点，F 、G 分别是CD 、EF 的中点．（1）当E 是AB 中点，3CD =时，求证：DG BC ⊥；（2）1AE =，当四面体A BCD -体积最大时，求二面角D CE B --的平面角的正弦值．【答案】（1）见解析；（22203【解析】（1）当3CD =时，四面体A BCD -是正四面体，通过正四面体的性质建立空间直角坐标系，通过计算得0BC DG =，从而得证. （2）取AB 的中点H ，连接CH ，DH ，FH ，易证明13A BCD A CDHB CDH CDHV V V SAB ---=+=，设CF x =，利用勾股定理计算得到FH ，利用体积公式22411127272333244A BCD CDHV S AB x x x x -==⋅⋅⋅-⋅=-，算出体积表达式，进行配方得到体积取最大值时364CF =，22227364FH CH CF x CF =-=-==，故,,CH DH AB 两两互相垂直，利用空间直角坐标系计算得出答案. 【详解】（1）取BC 的中点H ，连接DH ，BF ，DH BF O =，连接OA ，过O 做CD 的平行线交BD 于点M ，如图，3AB AC AD BC BD =====，3CD =，∴ 此三棱锥是正四面体，∴O 为BCD ∆的中心，AO ⊥ 面BCD ，以O 为坐标原点，分别以OF ，OM ，OA 为空间直角坐标系的x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，易知，2293394DH DC CH =-=-=，1332OH DH ==，233OD DH ==，22936AO AD OD =-=-= ∴(3,0,0)B - ，33(,,0)22C -，33(,,0)22D ，(0,0,6)A ，36(,0,)22E -，3(,0,0)F ，6(0,0,)G ， ∴333(,,0)2BC =- ，336(,,)2DG =-- ，∴0BC DG = ，∴DG BC ⊥得证. （2）如图，取AB 的中点H ，连接CH ，DH ，FH ， 3AB AC AD BC BD =====，∴ ABC ，ABD △ 均为等边三角形， ∴AB CH ⊥，AB DH ⊥，CH DH H =，,CH DH ⊂面CDH ，∴AB ⊥面CDH ，∴13A BCD A CDHB CDH CDHV V V SAB ---=+=，设CF x = ，则222223279()24CH DH BC BH ==-=-=，222274FH CH CF x =-=-， ∴22411127272333244A BCD CDHV S AB x x x x -==⋅⋅⋅-⋅=-，∴24222727729()4864A BCD V x x x -=-=--+， ∴当2278x =，即36x = 时，四面体A BCD -体积有最大值，此时， 222273644FH CH CF x =-=-=， ∴FH CF =，∴CDH △为等腰直角三角形，CH DH ⊥，如图，以H 为坐标原点，HC 为x 轴，HD 为y 轴，HA 为z 轴，建立空间直角坐标系，1AE =，∴3(0,0,)2B -，(,0,0)2C，(0,,0)2D ，1(0,0,)2E ，∴(CD =，1()2CE =，3()2CB =- 设面CDE 的法向量为111(,,)n x y z = ，由0n CD = ，0n CE =得，11110221022x y x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ∴取(1,1,3n =，设面BCE 的法向量为222(,,)m x y z = ，由0m CB = ，0m CE =得，2222302102x z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ∴取(0,1,0)m =，∴cos 2929n m n mθ===⋅ ，∴sin 29θ= ，故答案是29. 【点睛】（1）此题通过传统方法需要证明点G 在高线OA ，比较繁琐，建系可以有效的避免这一点，证明起来比较简单；（2）第二问的关键是找到什么时候四面体A BCD -的体积最大，需要构建体积表达式，利用函数的方法求出四面体A BCD -的体积最大时满足的条件，后建系计算即可得出答案，此题计算较为复杂，大家要细心解答.20．在数列{}n a 中，11a =，22a =，2134n n n a a a ++=+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）n b =n S是数列{n b 的前n项和，n n T =，求证：1232n T T T ++⋅⋅⋅+<．【答案】（1）()11324155n n n a --=⋅+-⋅；（2）证明见解析.【解析】（1）由题得()2114n n n n a a a a ++++=+，构造数列{}1n n a a ++为等比数列，得1134n n n a a -++=⋅，从而有1294n n n a a -+-=⋅，对n 分奇偶，采用累加法求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得42n nn b =-，则可得n S ，故131122121n n n T +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，采用裂项相消法求12n T T T ++⋅⋅⋅+即可证明. 【详解】（1）由2134n n n a a a ++=+得，()2114n n n n a a a a ++++=+，又213a a +=，所以数列{}1n n a a ++为首项为3，公比为4的等比数列，故1134n n n a a -++=⋅，又2134n n n a a +++=⋅，则有1294n n n a a -+-=⋅，所以当n 为奇数时，()()()131532n n n a a a a a a a a -=+-+-+-⋅⋅⋅+()32231214432191441941455n n n ----⋅=++++=+⋅=⋅⋅⋅+⋅-，当n 为偶数时，1113234455n n n n a a --+=⋅-=⋅-，经验证12,a a 均符合，故()11324155n n n a --=⋅+-⋅；（2）4n n b ==，则42n nn b =-，所以()()224442224442221412n n nnn S -⋅-⋅=+++-+++⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-- 11124233n n ++=⋅-+，所以()()11112323112212122121124233n nn n n n n n n n n b T ++++⋅⎛⎫====⋅- ⎪----⎝+⎭-所以122312112131111221212211n n n T T T +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥---⎛⎫++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+- ⎪-⎝⎭⎝⎭⎣-⎝⎦⎭ 131312212n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式，数列的通项公式，数列求和，考查了累加法，裂项相消法这些数列求解的基本方法，综合考查了学生的运算求解能力.21．已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>，过抛物线焦点F 的直线1l 、2l 分别交抛物线于A 、B 、C 、D （B 、C 在x 轴上方），()11,A x y ，()22,B x y ，1214y y =-.（1）求抛物线Γ的标准方程；（2）若45BFC ∠=︒，求AB CD ⋅的最小值．【答案】（1）2y x =；（2）24162-【解析】（1）设直线1l 的方程为2p x ky =+，联立抛物线方程与2px ky =+，利用韦达定理写出12y y ，解出p 的值；（2）设直线1l 的倾斜角为α，利用含α的式子表示弦长AB ，同理可得CD ，得出AB CD ⋅的表达式，然后利用三角恒等变换结合三角函数等知识点求解最值.【详解】解：（1）由题意得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为2p x ky =+，代入()220y px p =>得：2220y pky p --=，则21214yy p ⋅=-=-，得12p =，当AB x ⊥轴时，21214y y p ⋅=-=-成立，所以抛物线Γ的标准方程为：2y x =.（2）设直线1l 的倾斜角为α，则直线2l 的倾斜角为45α+，如图所示，分别过点,A B 作,BM AN 分别垂直于抛物线2y x =的准线，垂足分别为M 、N ，再分别作BP AQ 、垂直于x 轴，则cos BF p BF α⋅+=，得1cos pBF α=-，cos p AF AF α-⋅=，得1cos pAF α=+,所以22211cos 1cos sin sin p p p AB AF BF αααα=+=+==+-，同理可得()()2221sin 45sin 45p CD αα==++所以()22211sin sin 4522sin AB CD ααααα⋅==⋅+⎡⎤⎫⋅+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 2211241621212sin 2242πα=≥=-⎡⎛⎛⎫-++ ⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭当且仅当242ππα-=， 3=8πα时AB CD ⋅取最小值.所以AB CD ⋅的最小值为24-【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，难度较大.解答时要合理设元，巧妙利用韦达定理求解，关于弦长最值问题一定要现将弦长用所设未知量表示出来，然后设法求出最值. 22．函数()ax f x e x =-，0a >.（1）对任意[0,)x ∈+∞，21()12f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围；（2）若1a >，对任意(,)x e ∈+∞，2()(6)ln 60ln f x ax ax x x+--+≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1a ≥；（2）>1a 【解析】（1）由已知条件得21102axe x x ---≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，令()2112ax g x e x x =---，即需()0g x ≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，对()g x 求导，分析其导函数的正负，得出()g x 的图象变化趋势，可得出a 的取值范围；（2）不等式2()(6)ln 60ln f x ax ax x x+--+≥等价于()()22ln 26ln 6ln 2ax x e ax ax x x e +-≥-+，令()226x F x e x x =+-，对函数()F x 求导，分析函数的单调性，运用单调性求解不等式，得到ln xa x≥在(,)x e ∈+∞上恒成立，令()ln xG x x=，对其求导函数，研究其单调性，根据函数()G x 的最值，可得a 的取值范围．【详解】（1）由函数()axf x e x =-，得不等式21()12f x x ≥+等价于21102ax e x x ---≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，令()2112axg x e x x =---，则()'1ax g x ae x =--，令()()'1ax h x g x ae x ==--，则()'21axh x a e =-，因为0a >，所以()'21axh x a e =-在R 上单调递增，又[0,)x ∈+∞，所以()()'2'2101ax h x a e h a =-≥=-，当210a -≥时，即1a ≥时，()'0h x ≥，所以()h x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()010h x h a ≥=-≥，即()'0g x ≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以21102axe x x ---≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，满足题意，所以1a ≥满足；当210a -<时，即01a <<时，()'00h <，又()'h x 在[0,)+∞上单调递增，所以存在唯一0[0,)x ∈+∞使得()'0h x =，即02021ln ax a ex a a==-，，所以()'h x 在0[0,)x 上()'0h x <，()h x 在0[0,)x 上单调递减，()'h x 在()0+x ∞，上()'>0h x ，()h x 在()0+x ∞，上单调递增，所以()()0h x h x ≥，而()000122ln 11+ln 1ax a a h x ae x a a a a-+=--=-=，令()()'22ln 1,>0aH a a a H a a-=-+=，所以()H a 在()01，上单调递增，所以()()12ln11+10H a H <=-=，所以()00h x <，即()'00g x <，又()'010g a =-<，()'+x g x →+∞→∞，，所以存在()10+x x ∈∞，使得()'0g x =，即1110ax x ae --=，且()'g x 在()10x ，上()'0g x <，()g x 在()10x ，上单调递减，()'g x 在()1+x ∞，上()'>0g x ，()g x 在()1+x ∞，上单调递增，所以()()1g x g x ≥，而()00g =，所以()10g x <，这与()0g x ≥在[0,)+∞上恒成立相矛盾，所以01a <<不满足题意，综上可得a 的取值范围1a ≥；（2）因为(,)x e ∈+∞，所以不等式2()(6)ln 60ln f x ax ax x x+--+≥等价于()()22ln 26ln 6ln 2ax x e ax ax x x e +-≥-+，令()226xF x e x x =+-，则()()'22623xxF x e x e x =+-=+-，因为()'F x 在R 上单调递增，且()()'12+13>0F e =-，1'2112+3022F e ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在唯一的2112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()'20F x =，所以()2x x ∈-∞，时，()'0F x <，()F x 在()2x -∞，上单调递减，()2+x x ∈∞，时，()'>0F x ，()F x 在()2+，x ∞上单调递增，因为(,)x e ∈+∞，1a >，所以>1,ln >1ax e x >，所以要使()()22ln 26ln 6ln 2ax x e ax ax x x e +-≥-+在(,)x e ∈+∞上成立，即()()ln F ax F x ≥在(,)x e ∈+∞上成立，则需ln >1ax x ≥，即ln x a x≥在(,)x e ∈+∞上恒成立，令()ln x G x x=，则()2'1ln x G x x -=，因为(,)x e ∈+∞，所以ln >1x ，所以1ln 0x -<，即()'0G x <，所以()ln x G x x=在(,)x e ∈+∞上单调递减，所以()()ln 1e G x G e e e <==，所以1a e≥ ，又>1a ，所以a 的取值范围是>1a ．【点睛】本题考查运用导函数解决不等式的恒成立问题中求参数的范围的问题，关键在于构造合适的函数，通过对其导函数取得正负的区间，得出所构造的函数的单调性，属于难题.。

2020版高考数学一轮复习加练半小时阶段滚动检测(五)文

阶段滚动检测（五）一、填空题1.设全集U ＝R ，集合M ＝{x |0<x ≤1}，N ＝{x |x ≤0}，则M ∩(∁U N )＝________.2.已知函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减，且函数f (x ＋2)为偶函数.则下列结论正确的是________.(填序号) ①f (π)<f (3)<f (2)； ②f (π)<f (2)<f (3)； ③f (2)<f (3)<f (π)； ④f (2)<f (π)<f (3).3.(2019·连云港期中)已知函数f (x )＝－xa ＋x x是奇函数，则f (x )<0的解集为________.4.在等差数列{a n }中，a 7＝8，前7项和S 7＝42，则其公差d ＝________.5.(2018·宿迁模拟)若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________.6.已知单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角为________.7.(2018·苏州市第五中学考试)设正三棱锥A －BCD 的底面边长和侧棱长均为4，点E ，F ，G ，H 分别为棱AB ，BC ，CD ，BD 的中点，则三棱锥E －FGH 的体积为________.8.设l ，m ，n 为直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中真命题的个数为________.①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β； ③若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β； ④若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α.9.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值是________.10.设f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)－f (x )＝0，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，又g (x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，若方程f (x )＝g (x )恰有两解，则k 的取值范围是________.11.(2018·苏锡常镇调研)已知a >0，b >0，且2a ＋3b＝ab ，则ab 的最小值是________.12.(2018·南通考试)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝8，∠B ＝45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足(AB →·AD →)·(AC →·AD →)＝4，则AD 长度的最小值为________.13.已知点M (3,2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，当△PMF 周长取最小值时，点P 的坐标为________.14.如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，给出下列命题：①－2是函数y ＝f (x )的极值点； ②1是函数y ＝f (x )的极小值点；③y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零；④y＝f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减.则正确命题的序号是________.二、解答题15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的值；(2)若a＝2，求b＋c的取值范围.16.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C1C上一点，且CF＝2a.(1)求证：C1E∥平面ADF；(2)试在BB1上找一点G，使得CG⊥平面ADF.17.数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋…＋b n3n ＋1，求数列{b n }的通项公式； (3)令c n ＝a n b n4，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和T n .18.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *).(1)求a 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(1－an )log 3(a 2n ·a n ＋1)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .19.已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0).(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求实数a 的取值范围.20.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，椭圆的右焦点为(1,0)，离心率为e ＝12，直线l ：y ＝kx＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ·k OB ＝－34.(1)求椭圆的方程及△AOB 的面积；(2)在椭圆上是否存在一点P ，使四边形OAPB 为平行四边形？若存在，求出OP 的取值范围，若不存在，请说明理由.答案精析1.{x|0<x≤1}解析∵∁U N＝{x|x>0}，∴M∩(∁U N)＝{x|0<x≤1}∩{x|x>0}＝{x|0<x≤1}.2.③解析因为函数f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，所以当x∈[2,6]时，f(x)单调递增，f(2)＝f(4－2)，因为2<4－2<3<π，所以f(2)<f(3)<f(π).3.{x|x>1或－1<x<0}解析由于函数f(x)为奇函数，故f(－x)＝＋x a－x－x＝－－x a＋xx，解得a＝1.故f(x)＝－x＋xx，令－x＋xx<0，解得x>1或－1<x<0.4.2 3解析∵a 7＝8，S7＝a1＋a72＝42，∴a 1＝4，∴d ＝23.5.4解析函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，故得到函数的周期为π2，故得到2πω＝π2⇒ω＝4.6.3π4解析因为|a ＋b |＝|a －b |，所以a ⊥b ，cos 〈a ，b －a 〉＝ab －a |a ||b －a |＝－a 22＝－22，因此〈a ，b －a 〉＝3π4.7.223解析因为正三棱锥A －BCD 的底面边长和侧棱长均为4，所以正三棱锥A －BCD 的体积为212×43，又三棱锥E －FGH 的底面积为正三棱锥A －BCD 底面积的四分之一，三棱锥E －FGH 的高为正三棱锥A －BCD 的高的二分之一，因此三棱锥E －FGH 的体积为12×14×212×43＝223.8.3解析 ①②④正确；对于③，若α⊥β，l ∥α，则l ∥β或l ⊂β或l 与β相交，故③错误. 9.1解析作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，直线z ＝x ＋y 过点C (0,1)时，z ＝x ＋y 取最大值为1.10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，43，411，－45解析 ∵f (x ＋2)－f (x )＝0，∴f (x )是周期为2的函数，根据题意画出函数的图象，过点A 时斜率为43，相切时斜率为1，过点B 时斜率为411，过点C 时斜率为－45.11.2 6解析因为2a ＋3b＝ab ≥22a ·3b，∴ab ≥26，当且仅当2b ＝3a 时取等号. 因此ab 的最小值是2 6. 12. 2解析以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知，B (－1，－1)，C (7，－1)，设D (x ，y )，所以AB →＝(－1，－1)， AC →＝(7，－1)，AD →＝(x ，y )，所以(AB →·AD →)·(AC →·AD →) ＝(－x －y )(7x －y )＝4，即(x ＋y )(y －7x )＝4，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝m ，y －7x ＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18m －n ，y ＝18m ＋n ，所以mn ＝4，所以AD ＝x 2＋y 2＝18m －n2＋m ＋n2＝1850m2＋2n2＋12mn＝2825m2＋n2＋24≥2810mn＋24＝2，当且仅当5m＝n＝±25时，AD取得最小值 2.13.(2,2)解析要求△PMF周长的最小值，只需求MP＋PF的最小值，设点P在准线上的射影为D，则根据拋物线的定义可知PF＝PD，∴要求PM＋PF的最小值，即求PM＋PD的最小值，当D，P，M三点共线时PM＋PD值最小，∵M(3,2)，∴P点的纵坐标y＝2，此时由y2＝2x，得x＝2，即P(2,2).14.①③④解析①由导数图象可知，当x<－2时，f′(x)<0，函数单调递减，当x>－2时，f′(x)>0，函数单调递增，∴－2是函数y＝f(x)的极小值点，∴①正确.②当x>－2时，f′(x)>0，函数单调递增，∴1不是函数y＝f(x)的极小值点，∴②错误.③当x>－2时，f′(x)>0，函数单调递增，∴y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零，∴③正确.④当x<－2时，f′(x)<0，函数单调递减，∴y＝f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，∴④正确.故正确命题的序号是①③④.二、解答题15.解(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍)，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝a 2，a ＝2，A ＝π3，∴b 2＋c 2－bc ＝4，即(b ＋c )2－3bc ＝4， ∵bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，∴(b ＋c )2＝4＋3bc ≤4＋34(b ＋c )2，∴(b ＋c )2≤16，即b ＋c ≤4，又∵b ＋c >2，∴2<b ＋c ≤4. 16.(1)证明 ∵E 为AB 的中点，连结CE 交AD 于O ，连结FO ，则CO CE ＝CF CC 1＝23，∴FO ∥EC 1，∵FO ⊂平面AFD ，C 1E ⊄平面AFD ， ∴C 1E ∥平面AFD .(2)解在平面C 1CBB 1内，过点C 作CG ⊥DF ，交BB 1于点G ，在Rt△FCD 和Rt△CBG 中，FC ＝CB ，∠CFD ＝∠BCG ， ∴Rt△FCD ≌Rt△CBG ，而AD ⊥BC ，CC 1⊥AD 且CC 1∩BC ＝C ，CC 1，BC ⊂平面C 1CBB 1， ∴AD ⊥平面C 1CBB 1，∵CG ⊂平面C 1CBB 1，∴AD ⊥CG .∵CG ⊥DF ，AD ∩FD ＝D ，AD ，DF ⊂平面ADF ， ∴CG ⊥平面ADF ，此时BG ＝CD ＝a . 17.解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，a 1＝2也满足该式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *).(2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)，①a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1，② ②－①得b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，而b 1＝8，故b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *).(3)∵c n ＝a n b n 4＝n (3n ＋1)＝n ·3n＋n ， ∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n )＋(1＋2＋…＋n )，令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，③则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1，④ ③－④得，－2H n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1 ＝－3n 1－3－n ×3n ＋1，H n ＝n －n ＋1＋34，∴数列{c n }的前n 项和T n ＝n －n ＋1＋34＋n n ＋2. 18.解 (1)因为6S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *)，所以当n ＝1时，6S 1＝6a 1＝9＋a ，当n ≥2时，6a n ＝6(S n －S n －1)＝2×3n ，即a n ＝3n －1，因为{a n }是等比数列，所以a 1＝1，则9＋a ＝6，得a ＝－3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1 (n ∈N *).(2)由(1)得b n ＝(1－an )log 3(a 2n ·a n ＋1)＝(3n －2)(3n ＋1)，所以T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝11×4＋14×7＋…＋1n －n ＋＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1 ＝n 3n ＋1(n ∈N *). 19.解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解. 设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a >G (x )min 即可.而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝G (1)＝－1.所以a >－1.所以实数a 的取值范围是(－1，＋∞).(2)由h (x )在[1,4]上单调递减，得当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立. 所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞. 20.解 (1)由已知c ＝1，c a ＝12， ∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A ，B 不在坐标轴上，则A ，B 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，化简得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，由Δ>0得4k 2－m 2＋3>0， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 24m 2－123＋4k 2＋km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km3＋4k 2＋m 2 ＝3m 2－12k 23＋4k 2. ∵k OA ·k OB ＝－34，∴y 1y 2x 1x 2＝－34，即y 1y 2＝－34x 1x 2， ∴3m 2－12k 23＋4k 2＝－3m 2＋93＋4k 2，即2m 2－4k 2＝3，∵AB ＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋k 2k 2－m 2＋＋4k 22＝＋k 2＋4k 22·3＋4k 22 ＝＋k 23＋4k 2. 点O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k 2， ∴S △AOB ＝12d ·AB ＝12|m |1＋k 2＋k 23＋4k 2 ＝12m 21＋k 2·＋k 23＋4k 2＝123＋4k 22·243＋4k 2＝ 3. (2)若存在平行四边形OAPB 使P 在椭圆上，则OP →＝OA →＋OB →，设P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2， y 0＝y 1＋y 2＝6m3＋4k2， ∵P 在椭圆上，∴x 204＋y 203＝1，从而化简得16k 2m 2＋4k 22＋12m 2＋4k 22＝1，化简得4m 2＝3＋4k 2，①由k OA ·k OB ＝－34，知2m 2－4k 2＝3.② 联立方程①②知m ＝0，故不存在P 在椭圆上的平行四边形.。

2020年山东省新高考数学第五次模拟检测试卷含解析

2020年新高考数学第五次模拟试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，3]B．[﹣2，0]C．[0，3]D．[﹣3，3]2．若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为﹣i B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数为﹣1﹣i3．命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是（）A．∃x∈R，x2+x≤1B．∀x∈R，x2+x≤1C．∃x∈R，x2+x＜1D．∀x∈R，x2+x＜14．点P是△ABC内一点，且＝+，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是（）A．1：3B．2：3C．1：4D．2：15．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，直线x＝a与双曲线的一条渐近线的交点为B．若∠BFA＝30°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．36．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．7．已知数列{a n}前n项和为S n，满S n＝an2+bn（a，b为常数），且a9＝，设函数f（x）＝2+sin2x﹣2sin2，则数列{y n}的前17项和为（）A．B．9πC．11D．178．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝mx，若函数y＝f（x）﹣2g（x）恰有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，1）C．（﹣）D．（﹣∞，）二、多项选择题（共4小题）9．函数f（x）＝2sin（x+）的图象可由函数g（x）＝sin2x﹣cos2x的图象如何变化得到（）A．先将g（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位B．先将g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10．调查机构对全国互联网彳行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中“90后“占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的“90后”人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的“90后“人数比80前少D．互联网行业中从事运营岗位的“90后”人数比80后多11．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，的图象如图所示，令g （x）＝f（x）+f'（x），则下列关于函数的说法中正确的是（）A．若函数h（x）＝g（x）+2的两个不同零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|的最小值为B．函数g（x）的最大值为2C．函数g（x）的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线y＝﹣3x+1平行D．函数g（x）图象的对称轴方程为12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60°B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DC．当点F移动至BC1中点时，A1F与B1D相交于一点E，且＝2D．在BC1上存在点F，使异面直线A1F与CD所成角是30°三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0与直线l：x+ay+1＝0相交所得弦AB的长为4，则a ＝．14．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为时，log2a•log2（2b）取得最大值．15．若定义域为R的函数f（x）满足f'（x）＞f（x），则不等式ef（lnx）﹣xf（1）＜0的解集为（结果用区间表示）．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3，记弧A2A3的长为l3，则l1+l2+l3＝．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4，记弧A3A4的长为l4，…，当弧长l n＝8π时，n＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在△ABC中，M是AC的中点，．（1）若，求AB的长；（2）若的面积．18．在公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d．（1）求{a n}的通项公式；（2）若a1，a4，a13成等比数列，求数列的前n项和S n．19．山东省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91﹣100、81﹣90、71﹣80，61﹣70、51﹣60、41﹣50、31﹣40、21﹣30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明．某同学化学学科原始分为65分，该学科C+等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C+等级．而C+等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为x，，求得x≈66.73．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ～N（60，122）．（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B+，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间（72，84）的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X表示这4人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望．（附：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.682，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.997）20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC＜AB，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，平面ACV⊥平面ABC，∠ACV＝45°，D为线段AB．上一点，且满足AD＝CV．（1）若E为AC的中点，求证：BE⊥CV；（2）当DV的长度最小时，求二面角A﹣BC﹣V的余弦值．21．在直角坐标系xOy中，设椭圆的左焦点为F1，短轴的两个端点分别为A，B，且∠AF1B＝60°，点在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m（k＞0）与椭圆C和圆O分别相切于P，Q两点，当△OPQ面积取得最大值时，求直线l的方程．22．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝mx2．（1）若函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围（2）设F（x）＝f（x）﹣g（x），已知F（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞1．参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，3]B．[﹣2，0]C．[0，3]D．[﹣3，3]【分析】先求集合B，再求并集．解：∵B＝{x|x2﹣3x≤0}，∴B＝{x|0≤x≤3}，∴A∪B＝[﹣2，3]，故选：A．2．若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为﹣i B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数为﹣1﹣i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵z＝＝，∴z的虚部为﹣1，|z|＝，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．∴正确的选项为C．故选：C．3．命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是（）A．∃x∈R，x2+x≤1B．∀x∈R，x2+x≤1C．∃x∈R，x2+x＜1D．∀x∈R，x2+x＜1【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案解：全称命题的否定为特称命题，命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是∃x∈R，x2+x＜1，故选：C．4．点P是△ABC内一点，且＝+，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是（）A．1：3B．2：3C．1：4D．2：1【分析】如图所示，由＝+，可得＝．即可得出△ABP的面积与△ABC的面积之比．解：如图所示，∵＝+，＝．∴△ABP的面积与△ABC的面积之比＝＝．故选：C．5．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，直线x＝a与双曲线的一条渐近线的交点为B．若∠BFA＝30°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【分析】求出B的坐标，利用已知条件列出a、c关系，然后求解离心率即可．解：由题意可得A（a，0），双曲线的渐近线方程为：ay±bx＝0，不妨设B点为直线x ＝a与y＝的交点，则B点的坐标（a，b），因为AB⊥FB，∠BFA＝30°，所以tan∠BFA＝＝＝，解得e＝2．故选：C．6．已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【分析】首先确定外接球的球心，进一步确定球的半径，最后求出球的表面积．解：如图所示：三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则：SD＝，设外接球的半径为R，则：在△BOD中，利用勾股定理：，解得：R＝所以：S＝4π•R2＝4．故选：D．7．已知数列{a n}前n项和为S n，满S n＝an2+bn（a，b为常数），且a9＝，设函数f（x）＝2+sin2x﹣2sin2，则数列{y n}的前17项和为（）A．B．9πC．11D．17【分析】化简函数的解析式，利用数列的和求出通项公式，判断数列是等差数列，然后求解数列的和即可．解：f（x）＝sin2x+cos x+1，由，得a n＝2na﹣a+b，{a n}为等差数列，a1+a17＝2a9＝π，y1+y17＝f（a1）+f（a17）＝sin2a1+cos a1+1+sin2a17+cos a17+1＝sin2a1+cos a1+1+sin（2π﹣2a1）+cos（π﹣a1）+1＝2，数列{y n}的前17项和为2×8+1＝17．故选：D．8．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝mx，若函数y＝f（x）﹣2g（x）恰有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，1）C．（﹣）D．（﹣∞，）【分析】根据所给函数f（x），画出函数图象，根据g（x）＝mx及y＝f（x）﹣2g（x）恰有三个零点，即可根据图象判断m的取值范围．解：由题意，画出函数f（x）＝的图象如下图所示：f（x）﹣2g（x）恰有三个零点即f（x）＝2g（x）有三个不同交点，即f（x）＝2mx有三个不同交点由图象可知，当直线斜率在k OA，k OB之间时，有三个交点即k OA＜2m＜k OB所以﹣可得故选：A．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．函数f（x）＝2sin（x+）的图象可由函数g（x）＝sin2x﹣cos2x的图象如何变化得到（）A．先将g（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位B．先将g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．先将g（x）的图象上所有点向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：把函数g（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）的图象上所有点向左平移个单位，可得y＝2sin（2x+）的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数f（x）＝2sin （x+）的图象．或者先将g（x）＝2sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y＝2sin（x﹣）的图象，再向左平移个单位，可得可得函数f（x）＝2sin（x+）的图象．故选：AD．10．调查机构对全国互联网彳行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（）A．互联网行业从业人员中“90后“占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的“90后”人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的“90后“人数比80前少D．互联网行业中从事运营岗位的“90后”人数比80后多【分析】根据扇形统计图，逐一判断选项，得出答案．解：设整个行业人数为1，A，因为互联网行业从业人员中“90后“占56%，故正确；B，互联网行业中从事技术岗位的“90后”人数为1×0.56×0.396≈0.22＝22%，故正确；C，互联网行业中从事运营岗位的“90后“人数为1×0.56×0.17≈0.1＞0.03，故错误；D，互联网行业中从事运营岗位的“90后”人数0.1＜0.41，故错误，故选：AB．11．已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，的图象如图所示，令g （x）＝f（x）+f'（x），则下列关于函数的说法中正确的是（）A．若函数h（x）＝g（x）+2的两个不同零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|的最小值为B．函数g（x）的最大值为2C．函数g（x）的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线y＝﹣3x+1平行D．函数g（x）图象的对称轴方程为【分析】由图象结合最值可求A，结合周期可求ω，然后代入f（）＝2，及|φ|＜，可求φ，从而可求f（x），进而可求g（x），结合正弦函数，余弦函数的性质分别进行判断解：由图象可知，A＝2，＝，∴T＝2π，ω＝1，∴f（x）＝2cos（x+φ），∵f（）＝2cos（+φ）＝2，且|φ|＜，∴φ＝﹣，f（x）＝2cos（x﹣），∵g（x）＝f（x）+f'（x）＝2cos（x﹣）﹣2sin（x﹣）＝2cos（x+），A：由h（x）＝g（x）+2＝0可得cos（x+）＝﹣，则|x1﹣x2|的最小值为＝，故A正确；B：结合余弦函数的性质可知，f（x）的最大值2，故B错误；C：根据导数的几何意义可知，过点P的切线斜率k＝f′（x）＝﹣2sin（x+），不存在斜率为﹣3的切线方程，故C错误；D：令x+＝kπ可得，x＝k，k∈z，故D错误．故选：A．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60°B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1DC．当点F移动至BC1中点时，A1F与B1D相交于一点E，且＝2D．在BC1上存在点F，使异面直线A1F与CD所成角是30°【分析】根据题意，分别对选项中的命题进行分析、判断正误即可．解：对于A，当点F移动到BC1的中点时，直线A1F与平面BDC1所成角由小到大再到小，如图1所示；且F为B1C的中点时最大角的余弦值为＝＝＜，最大角大于60°，所以A错误；对于选项B，在正方形中，DB1⊥面A1BC1，又A1F⊂面A1BC1，所以A1F⊥B1D，B正确；对于选项C，F为BC1的中点时，也是B1C的中点，它们共面于平面A1B1CD，且必相交，设为E，连A1D和B1C，如图2，根据△A1DE∽△FB1E，可得＝＝2，所以C正确；对于D，当点F从B运动到C1时，异面直线A1F与CD所成角由大到小再到大，且F为B1C的中点时最小角的正切值为＝＞，最小角大于30°，所以D错误．故选：AD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0与直线l：x+ay+1＝0相交所得弦AB的长为4，则a＝﹣1．【分析】根据题意，由圆的方程分析圆心与半径，分析可得直线l经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可得1+2a+1＝0，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，圆C的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心C（1，2），半径r ＝2；又由弦AB的长为4，则直线l经过圆心，则有1+2a+1＝0，解可得a＝﹣1；故答案为：﹣1．14．已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．【分析】由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a＝4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤＝＝＝4，当且仅当a＝2b＝4时，取等号，即当a＝4时，log2a•log2（2b）取得最大值，故答案为：4．15．若定义域为R的函数f（x）满足f'（x）＞f（x），则不等式ef（lnx）﹣xf（1）＜0的解集为（0，e）（结果用区间表示）．【分析】由题目要求解的不等式是ef（lnx）﹣xf（1）＜0，由此想到构造函数g（x）＝，求导后结合f'（x）＞f（x），可知函数g（x）是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集．解：令g（x）＝，则g′（x）＝，因为f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，由ef（lnx）＜xf（1），得：＜，即g（lnx）＜g（1），因为函数g（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以lnx＜1．所以不等式的解集是（0，e）．故答案为（0，e）．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3，记弧A2A3的长为l3，则l1+l2+l3＝4π．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4，记弧A3A4的长为l4，…，当弧长l n＝8π时，n＝12．【分析】根据弧长公式，分别求出l1、l2、l3，因此发现规律，进行归纳总结．解：由题意l1＝，l2＝，l3＝，所以l1+l2+l3＝4π；l8＝8π，即，解得n＝12；故答案为：4π；12．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在△ABC中，M是AC的中点，．（1）若，求AB的长；（2）若的面积．【分析】（1）根据正弦定理进行求解即可．（2）根据余弦定理结合三角形的面积公式进行计算即可．解：（1），…………………………在△ABC中，由正弦定理得，∴．…………………………（2）在△BCM中，由余弦定理得＝，∴12＝4+BC2﹣2BC，解得BC＝4（负值舍去），…………………………∴，…………………………18．在公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d．（1）求{a n}的通项公式；（2）若a1，a4，a13成等比数列，求数列的前n项和S n．【分析】（1）由题意可得a1＝3，d＝2或a1＝6，d＝1，再由等差数列的通项公式可得所求；（2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求a n，求得＝＝（﹣），再由数列的裂项相消求和可得所求和．解：（1）公差为d的等差数列{a n}中，a1d＝6，a1∈N，d∈N，且a1＞d，可得a1＝3，d＝2或a1＝6，d＝1，则a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；或a n＝6+n﹣1＝n+5，n∈N*；（2）a1，a4，a13成等比数列，可得a1a13＝a42，即a1（a1+12d）＝（a1+3d）2，化为d＝0或2a1＝3d，由（1）可得a1＝3，d＝2，则a n＝2n+1，＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．19．山东省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91﹣100、81﹣90、71﹣80，61﹣70、51﹣60、41﹣50、31﹣40、21﹣30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明．某同学化学学科原始分为65分，该学科C+等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C+等级．而C+等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为x，，求得x≈66.73．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ～N（60，122）．（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B+，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间（72，84）的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X表示这4人中等级成绩在区间[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望．（附：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.682，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.954，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.997）【分析】（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足N（60，122），结合正态分布的对称性即可求得（72，84）内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数．（2）根据各等级人数所占比例可知在区间[61，80]内的概率为，由二项分布即可求得X的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解【解答】解（1）（i）设小明转换后的物理等级分为x，，求得x≈82.64．小明转换后的物理成绩为8；（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布N（60，122），所以P（72＜ξ＜84）＝P（60＜ξ＜84）﹣P（60＜ξ＜72）＝P（36＜ξ＜84）＝P（48＜ξ＜72）＝（0.954﹣0.682）＝0.136．所以物理原始分在区间（72，84）的人数为2000×0.136＝272（人）；（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间[61，80]内的概率为，随机抽取4人，则X～B（4，）．P（X＝0）＝（）4＝，P（X＝1）＝C（）3＝，P（X＝2）＝C（）2（）2＝，P（X＝3）＝C（）3（）1＝，P（X＝4）＝（）4＝．X的分布列为X01234P数学期望E（X）＝4×＝．20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC＜AB，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，平面ACV⊥平面ABC，∠ACV＝45°，D为线段AB．上一点，且满足AD＝CV．（1）若E为AC的中点，求证：BE⊥CV；（2）当DV的长度最小时，求二面角A﹣BC﹣V的余弦值．【分析】（1）利用面面垂直的性质能证明BV⊥CV．（2）过V作VO⊥AC于O，推导出VO⊥面ABC，VO＝VC sin45°＝VC，过O作OH⊥BC于H，连结VH，则∠VHO是二面角A﹣BC﹣V的平面角，由此能求出当DV 的长度最小时，二面角A﹣BC﹣V的余弦值．解：（1）证明：∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，∵侧面ACV⊥底面ABC，侧面ACV∩底面ABC＝AC，∴BE⊥面ACV，∵VC⊂面ACV，∴BE⊥CV．（2）解：过V作VO⊥AC于O，∵侧面ACV⊥底面ABC，∠ACV＝45°，∴VO⊥面ABC，VO＝VC sin45°＝VC，过O作OH⊥BC于H，连结VH，则∠VHO是二面角A﹣BC﹣V的平面角，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ACB＝45°，∴OH＝OC sin45°•sin45°＝，∴当DV的长度最小时，二面角A﹣BC﹣V的余弦值：cos∠VHO＝＝＝．21．在直角坐标系xOy中，设椭圆的左焦点为F1，短轴的两个端点分别为A，B，且∠AF1B＝60°，点在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m（k＞0）与椭圆C和圆O分别相切于P，Q两点，当△OPQ 面积取得最大值时，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由∠AF1B＝60°，可得a＝2b，由点在C上，可得+＝1，解得b2＝1，a2＝4，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）联立，根据判别式求出4k2+1＝m2，即可求出点P的坐标，可得|OP|，再求出|OQ|，表示出三角形的面积，根据基本不等式即可求出．解：（Ⅰ）由∠AF1B＝60°，可得a＝2b，由点在C上，可得+＝1，∴b2＝1，a2＝4，∴椭圆C的方程为+y2＝1，（Ⅱ）联立，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∵直线l与椭圆相切，∴△＝16（4k2+1﹣m2）＝0，即4k2+1＝m2，设P（x1，y1），可得x1＝＝﹣，则y1＝＝，∴|OP|2＝+＝＝＝4﹣又直线l与圆O相切，可得|OQ|＝，则|OQ|2＝＝＝4﹣∴|PQ|＝＝＝，∴S△OPQ＝|PQ|•|OQ|＝•＝•＝•≤，当且仅当k＝1时取等号，此时m2＝1+4＝5，则m＝±，故直线l的方程为y＝x+或y＝x﹣．22．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝mx2．（1）若函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围（2）设F（x）＝f（x）﹣g（x），已知F（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞1．【分析】（1）函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点等价于﹣g（﹣x）＝﹣的图象与f（x）＝xlnx的图象有交点，等价于在（0，+∞）上有解，设φ（x）＝﹣（x＞0），利用导数得到φ（x）min﹣，所以，从而求得m的取值范围；（2）先求出导函数F'（x）＝lnx﹣mx+1，由题意可得，进而得到＝，设t＝，t∈（0，1），则lnx1+lnx2+2＝，要证x1x2＞1，只需证：lnx1+lnx2+2＞2，即证：，设h（t）＝，t∈（0，1），利用导数得到h（t）＜h（1）＝0，即．解：（1）函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点，即﹣g（﹣x）＝﹣的图象与f（x）＝xlnx的图象有交点，即﹣＝xlnx在（0，+∞）上有解，即在（0，+∞）上有解，设φ（x）＝﹣（x＞0），则φ'（x）＝，∴当x∈（0，e）时，φ（x）为减函数，当x∈（e，+∞）时，φ（x）为增函数，∴φ（x）min＝φ（e）＝﹣，∴，∴m；（2）证明：由已知可得F（x）＝f（x）﹣g（x）＝xlnx﹣，则F'（x）＝lnx﹣mx+1，∵F（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，∴，解得：m＝，且m＝，∴＝，即lnx1+lnx2+2＝＝，设t＝，t∈（0，1），则lnx1+lnx2+2＝，要证x1x2＞1，即证ln（x1x2）＞ln1，即证lnx1+lnx2＞0，只需证：lnx1+lnx2+2＞2，即＞2，即证：，设h（t）＝，t∈（0，1），则h'（t）＝＞0，∴h（t）在（0，1）上单调递增，∴h（t）＜h（1）＝0，即得证，∴x1x2＞1．。

(全国卷)2020届高考数学专题阶段评估模拟卷5 解析几何文

专题阶段评估(五) 解析几何———————————————————————————————————— 【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题共60分)只有一项是符合题目要求的)1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝02．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2xD ．y ＝±12x3．(2013·陕西卷)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形5．圆x 2＋y 2－ax ＋2＝0与直线l 相切于点A (3,1)，则直线l 的方程为( ) A ．2x －y －5＝0 B ．x －2y －1＝0 C ．x －y －2＝0D ．x ＋y －4＝06．已知k ∈R ，则直线y ＝k (x －1)＋2被圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0截得的弦长的最小值为( )A. 2 B ．1 C ．2 2D ．27．(2013·广东省惠州市调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝410x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为( ) A ．x 2－y 29＝1B ．x 2－y 2＝15 C ．x 29－y 2＝1D ．x 29－y 29＝18．(2013·深圳市调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于一点M (1，m )，点M 到抛物线焦点的距离为3，则双曲线的离心率等于( )A ．3B ．4C ．13D ．149．(2013·山东卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝010．(2013·安徽省“江南十校”联考)已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，且点A 、B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为( )A ．4 2B ．6 2C ．4D ．611．(2013·全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C ．x 227＋y 218＝1 D ．x 218＋y 29＝1 12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c,0)(c ＞0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，交双曲线右支于点P ，切点为E ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为( )A.10 B ．105C ．102D ． 2第Ⅱ卷 (非选择题共90分)13．已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R )，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝________.14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 15．(2013·广州市调研)圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －15＝0上到直线x －2y ＝0的距离为5的点的个数是________．16．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若OP →·OQ →＝－2，求实数k 的值．18.(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A 、B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．19．(本小题满分12分)(2013·北京东城期末)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (0，2)，且长轴长与短轴长的比是2∶1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 上在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值．20．(本小题满分12分)(2013·广东湛江二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．21．(本小题满分13分)(2013·皖南八校三模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，点F 2(c,0)到直线l ：x ＝a 2c的距离为3.(1)求椭圆E 的方程；(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →，求出该圆的方程．22．(本小题满分13分)(2013·开封第一次模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|PA →－PB →|＜253时，求实数t 的取值范围．详解答案一、选择题1．A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1，又因为直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0. 2．A 由题意得，双曲线的离心率e ＝c a ＝3，故a b ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，选A. 3．B 由题意知点在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．4．B 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e 1＝1＋b 2a 2，椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1的离心率e 2＝ 1－b 2m2，则1＋b 2a 2·1－b 2m2＝1，即m 2＝a 2＋b 2. 5．D 由已知条件可得32＋12－3a ＋2＝0，解得a ＝4，此时圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心为C (2,0)，半径为2，则直线l 的方程为y －1＝－1k AC(x －3)＝－x ＋3，即x ＋y －4＝0，故应选D.6．D 因为直线y ＝k (x －1)＋2过定点A (1,2)，而该点与圆心(1,1)的距离为1，已知当定点A (1,2)为弦的中点时，其弦长最短，其值为2r 2－d 2＝22－1＝2.7．C 由已知可得抛物线y 2＝410x 的焦点坐标为(10，0)，a 2＋b 2＝10.又双曲线的离心率e ＝10a ＝103，a ＝3，b ＝1，∴双曲线的方程为x 29－y 2＝1.故选C.8．A 点M 到抛物线焦点的距离为p2＋1＝3，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∴m 2＝8.双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，两边平方得y 2＝b 2a2x 2，把(1，m )代入上式得8＝b 2a 2，即b 2＝8a 2.∴双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝a 2＋8a 2a 2＝3. 9．A 设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形PACB 的外接圆方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54①，圆C ：(x －1)2＋y 2＝1②，①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．10．C 因为m ＋n ＋2＝(m ＋1)＋(n ＋1)表示点A 、B 到准线的距离之和，所以m ＋n ＋2表示焦点弦AB 的长度，因为抛物线焦点弦的最小值是其通径的长度，所以m ＋n ＋2的最小值为4.11．D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1. ②①－②得x 1＋x 2x 1－x 2a2＝－y 1－y 2y 1＋y 2b2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2. ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a2.而k AB ＝0－－13－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1. 12．C 如图所示，设F ′为双曲线的右焦点，连接PF ′，由题意，知OE ⊥PF ，|OE |＝a 2，又因为OE →＝12(OF →＋OP →)，所以E 为PF 中点，所以|OP |＝|OF |＝c ， |EF |＝c 2－a 24.所以|PF |＝2c 2－a 24.又因为|OF |＝|OF ′|，|EF |＝|PE |，所以PF ′∥OE ，|PF ′|＝2|OE |＝a .因为|PF |－|PF ′|＝2a ，所以2c 2－a 24－a ＝2a ，即c ＝102a ，故e ＝c a ＝102. 二、填空题13．解析： l 1⊥l 2的充要条件是2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13.答案： 1314．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为AB 过F 1且A ，B 在椭圆上，如图，则△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，解得a ＝4.又离心率e ＝c a ＝22，故c ＝2 2. 所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝1 15.解析：圆的方程x 2＋y 2＋2x ＋4y －15＝0化为标准式为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝20，其圆心坐标为(－1，－2)，半径r ＝25，由点到直线的距离公式得圆心到直线x －2y ＝0的距离d ＝|－1－2×－2|12＋－22＝355，如图所示，圆到直线x －2y ＝0的距离为5的点有4个．答案： 416．解析：由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，PA 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5，∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取最小值－2.答案：－2 三、解答题17．解析： (1)设圆心C (a ，a )，半径为r . 因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，易得a ＝0，r ＝2，所以圆C 的方程是x 2＋y 2＝4.(2)因为OP →·OQ →＝2×2×cos〈OP →，OQ →〉＝－2，且OP →与OQ →的夹角为∠POQ ，所以cos ∠POQ ＝－12，∠POQ ＝120°，所以圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1，又d ＝1k 2＋1，所以k ＝0.18．解析： (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x x ＝y ＋m 得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 1y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)，故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.19.解析： (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶1，c ＝2，解得a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)证明：由题意知，两直线PA ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k .又由(1)知，P (1，2)，则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x －1，y 24＋x 22＝1，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x B ＝1·x B ＝k 2－22k －22＋k 2，同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k2，则x A －x B ＝42k 2＋k 2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k2＋k 2.所以k AB ＝y A －y Bx A －x B＝2为定值． 20．解析： (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0.①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，代入双曲线方程得 34c 2a2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋4＝0，∴ (3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.21．解析： (1)由题知2|F 1F 2|＝|MF 1|＋|MF 2|，即2×2c ＝2a ，得a ＝2c .又由a 2c－c ＝3，解得c ＝1，a ＝2，b ＝ 3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．(ⅰ)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y ＝kx ＋m ，则r ＝|m |k 2＋1，r 2＝m 2k 2＋1，①由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m 消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－33＋4k 2.又∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即4(1＋k 2)(m 2－3)－8k 2m 2＋3m 2＋4k 2m 2＝0，化简得m 2＝127(k 2＋1)，②由①②求得r 2＝127.所求圆的方程为x 2＋y 2＝127.(ⅱ)若AB 的斜率不存在，设A (x 1，y 1)，则B (x 1，－y 1)，∵OA →⊥OB →，∴OA →·OB →＝0，有x 21－y 21＝0，x 21＝y 21，代入x 214＋y 213＝1，得x 21＝127.此时仍有r 2＝|x 21|＝127. 综上，总存在以原点为圆心的圆x 2＋y 2＝127满足题设条件．22．解析： (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)＞0，得k 2＜12.x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t＝8k 2t 1＋2k 2，y ＝y 1＋y 2t ＝1t[k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt1＋2k2. ∵点P 在椭圆C 上，∴8k22[t 1＋2k 2]2＋2－4k2[t1＋2k 2]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|PA →－PB →|＜253，∴1＋k 2|x 1－x 2|＜253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＜209，∴(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 41＋2k22－4·8k 2－21＋2k 2＜209，∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＞0，∴k 2＞14. ∴14＜k 2＜12. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k2，又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2＜4， ∴－2＜t ＜－263或263＜t ＜2，∴实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫263，2.。

【精准解析】百师联盟2020届高三练习题五(全国II卷)数学(文)试题

b2
b
但 a b ；综上，“ a b ”是“ a 1 ”的既不充分也不必要条件，故选：D. b
【点睛】本题考查充分条件必要条件的判断，属于基础题.
4.函数 f ( x)
ln
x
lg
x 2
2 x
的定义域为(
)
A. [1, 2]
B. [2, )
C. [1, 2)
D. (1, 2]
【答案】C
【解析】
3 2
且 f (x) 2 | x | cos x 1 e|x| f (x) ，故函数 f (x) 为偶函数，
2
-6-
当 x [0,1] 时， f (x) 2x cos x 1 ex ， 2
所以 f (x) 2 cos x 2x sin x 1 ex ， f (0) 3 0 ， f (1) 2cos1 2sin1 1 e 0 ，
件为( )
A. k 350?
B. k 300?
C. k 100?
D. k 150?
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后输出的结果，从而得出所
求．
【详解】解：根据题意可知该循环体运行情况如下：
-3-
第 1 次： S 1 32 ， k 2 3 1 7 第 2 次： S 32 72 ， k 2 7 1 15
外接圆与抛物线 C 的准线相切，则该圆面积为( )
A.
4
B.
2
9
C.
16
3
D.
4
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意可得 MOF 的外接圆的圆心 P 一定在抛物线上，且圆心 P 在 OF 的垂直平分线上，所以| OF | p ，从而求出外接圆的半径以及圆的面积；

2020年吉林省示范高中高考数学五模试卷(文科)

2020年吉林省示范高中高考数学五模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−2,−1,0，1，2，3}，B ={x|log 2x <2}，则A ∩B =( )A. {2,3}B. {1,2，3}C. {0,1，2，3}D. {−2,−1,0，1，2，3}2. 已知i 为虚数单位，则2−2i1+i =( )A. −2B. −2iC. 2D. 2i3. 已知函数f(x)={2x −1,x ∈[0,1](x −b)2,x ∈(1,3)，f(52)=f(0)，则实数b =( ) A. 1B. 52C. 3D. 44. 2020年西部某县一个生态果园公司根据当地的特产开发生产了A ，B 两种不同口味的果汁饮料．现随机抽取了两种果汁饮料各10瓶(均是500mL)组成的一个样本进行了检测，得到某种添加剂指标(毫克/升)的茎叶图如图，则对这种添加剂指标的分析正确的是( )A. A 种果汁饮料添加剂指标的平均值高于B 种果汁饮料添加剂指标的平均值B. A 种果汁饮料添加剂指标的中位数高于B 种果汁饮料添加剂指标的中位数C. A 种果汁饮料添加剂指标的方差高于B 种果汁饮料添加剂指标的方差D. A 种果汁饮料添加剂指标的最小值高于B 种果汁饮料添加剂指标的最小值5. 下面是由一个实体的半圆柱从上底面向下挖去一部分后而得到的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π66.公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表．他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”，重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有2个六边形，每行比上一行多一个六边形(六边形均相同)，设图中前n行晶格点数b n满足b n+1−b n=2n+5，n∈N∗，则b10=()A. 101B. 123C. 141D. 1507.已知函数y=[x]称为高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，如图，则输出的S值为()A. 42B. 43C. 44D. 458.定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x)=f(4−x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x2+x，则不等式f(x)>2的解集为()A. (2k+1,2k+3)，k∈ZB. (2k−1,2k+1)，k∈RC. (4k+1,4k+3)，k∈ZD. (4k−1,4k+1)，k∈Z9.已知F(−√3,0)是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，P为双曲线C右支上一点，圆x2+y2=a2与y轴的正半轴交点为A，|PA|+|PF|的最小值4，则双曲线C的实轴长为()A. √2B. 2C. 2√2D. 2√310.已知函数f(x)=msinx+ncosx(m,n为常数，m⋅n≠0，x∈R)在x=π4处取得最大值2√2，将f(x)的图象向左平移ℎ(ℎ>0)个单位长度以后得到的图象与函数y=ksinx(k>0)的图象重合，则k+ℎ的最小值为()A. 3π4+2√2 B. 5π4+2√2 C. 7π4+√2 D. 7π4+2√211.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2(1,0)，P(1,32)为椭圆上一点，过左顶点A作直线l⊥x轴，Q为直线l上一点，AP⊥F2Q，则直线PQ在x轴上的截距为()A. 2B. 3C. 4D. 512.已知函数f(x)=2x+ax2(a>0)在(0,+∞)上的最小值为3，直线l在y轴上的截距为−1，则下列结论正确个数是()①实数a=1；②直线l的斜率为1时，l是曲线y=f(x)的切线；③曲线y=f(x)与直线l有且仅有一个交点．A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(1,x−1)，(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，则|a⃗+b⃗ |=______．14.任意写出一个自然数n，并且按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n+1，如果n是个偶数，则下一步变成n2，依照上述规律，将5作为首项，构造一个数列{a n}，则{a n}的前20项和为______．15.2019年末至2020年初，某在线教育公司为了适应线上教学的快速发展，近5个月加大了对该公司的网上教学使用软件的研发投入，过去5个月资金投入量x(单位：百万元)和收益y(单位：百万元)的数据如下表：若y与x的线性回归方程为ŷ=3x+a，则资金投入量为16百万元时，该月收益的预报值为______百万元．16.如图，已知直三棱柱ADF−BCE，AD⊥DF，AD=DF=CD=2，M为AB上一点，四棱锥F−AMCD的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF与CM所成角的余弦值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C满足(sinA+sinB)(sinA−sinB)=(sinC−sinB)sinC，△ABC的面积为10√3．(1)求sin2A；(2)sinB+sinC=13√3，求△ABC的周长．1418.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD//BC，平面PAD⊥底面ABCD，PA=PD=AD=2BC=2CD=2，M为PC上一点，PA//平面BDM．(1)求PM：MC的值；(2)求四棱锥P−ABCD外接球的半径．19.搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品．曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子；洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A和B两个广生产，从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示：(1)依据上表，若从上述等级系数为7和8的搪瓷水杯中抽取2件，求这2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的概率；(2)如图是5位网友对两厂生产的搪瓷水杯对比评分图，根据图表，利用评分均值和标准差比较两种搪瓷水杯的评分情况，并说明理由．20.已知抛物线E：y2=2px(p>0)恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点，AB//CD，AD的延长线与抛物,0)．线E的准线的交点M(−12(1)求抛物线E的方程；(2)证明：BD经过抛物线E的焦点．21. 已知函数f(x)=x(lnx −a)，F(x)=x 3−x +m ，若f(x)在(e,f(e))处的切线斜率为1．(1)若f(x)<F(x)在(1,+∞)上恒成立，求m 的最小值M ； (2)当m =M ，x ∈(0,1]时，求证：f(x)>e x ⋅F(x)．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =12+tcosαy =12+tsinα，(t 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 2的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R)．(1)设直线l 2与曲线C 1相交于不同的两点A ，B ，求AB 中点的轨迹C 2的方程； (2)设直线l 1与C 2相交于E ，F 两点，求弦长EF 的最小值．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|2x −1|的最小值为M ；(1)求函数f(x)<4的解集；(2)若a >0，b >0，a +b =1，求证：4a +14b ≥M 2．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={−2,−1,0，1，2，3}，B ={x|0<x <4}， ∴A ∩B ={1,2，3}．故选：B ．可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，对数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：2−2i1+i =2(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2(12−2i +i 2)12−i2 =2×(−2i)2=−2i ．故选：B ．利用复数代数形式的运算法则，计算即可．本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)={2x −1,x ∈[0,1](x −b)2,x ∈(1,3)，则f(0)=20−1=0，f(52)=(52−b)2，若f(52)=f(0)，则(52−b)2=0，解得b =52．故选：B ．由函数的解析式，可得f(0)与f(52)的值，从而得到(52−b)2=0，然后求出b 的值．本题考查分段函数的求值，关键是求出f(0)与f(52)的值，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：A、B种果汁饮料添加剂指标集中在以4为茎的茎上，A种果汁饮料添加剂指标集中在以2为茎的茎上，A错误；B、A种果汁饮料添加剂指标的中位数为23.5，B种果汁饮料添加剂指标的中位数为31.5，B错误；C、A种果汁饮料添加剂指标数据比较集中，而B种果汁饮料添加剂指标数据比较分散，所以B种果汁饮料添加剂指标的方差要大一些，C错误：故D正确．故选：D．根据茎叶图中提供的数据，结合平均数，中位数，方差的计算方法进行判断．本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与平均数的应用问题，是基础性题目．5.【答案】C【解析】解：根据题意，半圆柱挖去一个半圆锥，半圆柱的体积为12×2π=π，半圆锥的体积为13×π2×2=π3，所以该几何体的体积为π−π3=2π3．故选：C．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．6.【答案】C【解析】C【解析】∵b n+1−b n=2n+5，n∈N∗，则(b n+2−b n+1)−(b n+1−b n)=2，所以数列{b n+1−b n}是以7为首项，2为公差的等差数列，当n≥2时，b n=b1+(b2−b1)+(b3−b2)+⋯+(b n−b n−1)=6+7+9+⋯+(2n+3)=6+(7+2n+3)(n−1)2=n2+4n+1，所以b10=141．故选：C．由题中已知易发现{b n+1−b n}是一个等差数列，并且b n可以用新数列的前n项和进行表示，进而求解．本题考查新数列的构造及前n项和的应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：当0<i<3时，log3i=0；3≤i<9时，log3i=1；9≤i<27时，log3i=2；i=27时，log3i=3，所以S=6×1+18×2+3=45．故选：D．模拟执行程序的运行过程，得出输出的结果是累加计算s的值．本题考查了程序框图的运行过程与累加求和问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)为偶函数且满足f(x)=f(4−x)，则f(x+4)=f(4−x−4)=f(−x)= f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，当x∈[0,2]时，f(x)=x2+x，此时若f(x)>2，则有x2+x>2，解可得x>1或x<−2，则有1<x≤2，又由f(x)满足f(x)=f(4−x)，则函数f(x)的图象关于直线x=2对称，则区间[2,4]上，f(x)>2⇒2<x< 3，则在区间[0,4]上，f(x)>2⇒1<x<3，又由f(x)的周期为4，不等式f(x)>2的解集为(4k+1,4k+3)，k∈Z；故选：C．根据题意，分析可得f(x)是周期为4的周期函数，结合函数的解析式分析不等式f(x)>2的解集，结合函数的周期性，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意，A(0,a)，设F′为双曲线的右焦点，则|PF|=2a+|PF′|，F(−√3,0)，F′(√3,0)．∴|PA|+|PF|=|PA|+2a+|PF′|=2a+(|PA|+|PF′|)≥2a+|AF′|=2a+√3+a2，三点P，A，F′共线时取等号．所以2a+√3+a2=4，解得a=1，故实轴长为2．故选：B．设F′为双曲线的右焦点，得到|PF|=2a+|PF′|，通过|PA|+|PF′|≥|AF′|=√3+a2，三点P，A，F′共线时取等号．求出a，即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．10.【答案】D【解析】解：由函数f(x)=msinx +ncosx =√m 2+n 2 sin(x +φ)，其中，tanφ=nm ，在x =π4处取得最大值2√2， ∴√22(m +n)=√m 2+n 2，解得m =n =2，∴函数f(x)=2sinx +2cosx =2√2sin(x +π4).故把f(x)的图象向左平移ℎ(ℎ>0)个单位长度以后，得到函数解析式为f(x)=2sinx +2cosx =2√2sin(x +ℎ+π4). 根据得到的图象与函数y =ksinx(k >0)的图象重合， ∴k =2√2，且ℎ+π4=2tπ，t ∈Z ，求得k =2√2，ℎ=7π4，故k +ℎ的最小值为2√2+7π4，故选：D ．由题意利用正弦函数的图象和性质，求出m 、n 的值，可得f(x)的解析式，再利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得k 和h 的值，可得k +ℎ的最小值．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意，得{1a +94b =1a 2−b 2=1，解得{a 2=4b 2=3，∴A(−2,0)，F 2(1,0)， ∴直线AP 的斜率k AP =321+2=12．又AP ⊥F 2Q ，∴k AP ⋅k F 2Q =−1，即k F 2Q =−1k AP=−2，∴直线F 2Q 的方程y =−2(x −1)，联立{y =−2(x −1)x =−2，得交点Q(−2,6)，∴P 、Q 两点连线的斜率k PQ =−32． ∴PQ 的直线方程为y −32=−32(x −1)，令y =0，得x =2．故直线PQ 在x 轴上的截距为2，故选：A ．由已知列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 的值，得到A ，F 2的坐标，求得直线F 2Q 的方程，进一步求解Q 的坐标，得到PQ 的方程，则答案可求．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：因为f(x)=2x +ax 2的导数为f′(x)=2−2a x3=2(x3−a)x 3，当0<x <√a 3，f′(x)<0，f(x)递减；x >√a 3时，f′(x)>0，f(x)递增．可得f(√a 3)为最小值，且为3，即2√a 3+√a3=3，解得a =1，故①正确；设切点A 为(m,2m +1m 2)，又因为f′(x)=2−2x 3，所以2−2m 3=1，解得m =√23，由切线方程y =x −1可得切点为(√23,√23−1)，代入f(x)=2x +1x 2不成立，所以直线l 不是曲线y =f(x)的切线，故②错误；又设直线l ：y =kx −1，则曲线y =f(x)与直线l 的交点个数等价为方程2x +1x 2=kx −1的根的个数．由2x +1x 2=kx −1可得k =2+1x +1x 3，令t =1x ，可得k =t 3+t +2，t ∈R ，t ≠0，设ℎ(t)=t 3+t +2，t ∈R ，ℎ′(t)=3t 2+1>0，所以ℎ(t)在R 上递增，且ℎ(t)∈R ，而方程k =t 3+t +2，t ∈R ，t ≠0，所以当k =ℎ(0)=2时，k =t 3+t +2无实数根；当k ≠2时，k =t 3+t +2有且只有一个根．故k =2时，曲线y =f(x)与直线l 没有交点；而当k ≠2时，曲线y =f(x)与直线l 有且只有一个交点．故③错误．故选：B ．求得f(x)的导数，以及单调区间，可得最小值，解方程可得a ，可判断①；设切点A 为(m,2m +1m 2)，可得切线的斜率，解方程可得切点，可判断②；设直线l ：y =kx −1，运用函数与方程的关系，以及构造函数法，求得导数和单调性、值域，讨论可判断③．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，以及函数方程的关系，考查方程思想和运算能力，以及推理能力，属于中档题．13.【答案】√5【解析】解：根据题意，向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(1,x −1)，若(a ⃗ −2b ⃗ )⊥a ⃗ ，则(a ⃗ −2b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =1+x 2−2(1+x 2−x)=0，解可得x =1，则(a ⃗ +b ⃗ )=(2,−1)，则|a ⃗ +b ⃗ |=√5；故答案为：√5．根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得(a ⃗ −2b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =1+x 2−2(1+x 2−x)=0，解可得x 的值，即可得(a ⃗ +b ⃗ )的坐标，进而计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的分析计算，属于基础题．14.【答案】70【解析】解：因为a 1=5，a 2=16，a 3=8，a 4=4，a 5=2，a 6=1，a 7=4，所以从第4项开始，数列{a n }是周期为3的数列，所以前20项和为5+16+8+7×5+4+2=70．故答案为：70．按照规律，写出首项为5的数列{a n }的前几项，通过观察找出规律，即可求解．本题主要考查归纳推理的应用，找出数列的规律是解决本题的关键，考查学生的推理能力．15.【答案】56.04【解析】解：由题意得，x −=2+4+8+10+125=7.2，14.21+20.31+31.18+37.83+44.675=29.64，所以a =y −−b ̂x −=29.64−3×7.2=8.04．所以y 关于x 的回归方程为y ̂=3x +8.04．把x =16代入回归方程得y ̂=3×16+8.04=56.04，故预报值为56.04百万元．故答案为：56.04．求出样本中心，代入回归直线方程，求出a ，代入x =16，得到预报值即可．本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．16.【答案】2√25【解析】【分析】本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，异面直线所成角的定义及求法，余弦定理，考查了计算能力，属于中档题．可设AM=x，根据题意即可得出2(x+2)34=512，解出x=12，然后过点M作MN//BE，交EF于点N，并连接CN，从而得出∠CMN为异面直线AF与CM所成角，然后在△CMN中，根据余弦定理即可求出cos∠CMN的值．【解答】解：设AM=x，因为V F−AMCD=13×12×(x+2)×2×2=2(x+2)3，V ADF−BCE=4，所以2(x+2)34=512，解得x=12，如图，过M作MN//BE，交EF于点N，连接CN，则∠CMN为异面直线AF与CM所成角，因为CM=CN=52，MN=2√2，解三角形可得：cos∠CMN=254+8−2542×52×2√2=2√25．故答案为：2√25．17.【答案】解：(1)设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵(sinA+sinB)(sinA−sinB)=(sinC−sinB)sinC，可得(a+b)(a−b)=(c−b)c，化简可得，b2+c2−bc=a2，由余弦定理可得，cosA=b2+c2−a22bc =12，∵0<A<π，∴A=π3，∴sin2A =√32． (2)因为sinB +sinC =13√314，b sinB =c sinC =asinA =2R ，所以b +c =13√314⋅2R =13a 7．由10√3=12bcsinA ， ∴bc =40，因为b 2+c 2−bc =a 2， ∴(b +c)2−3bc =a 2， ∴(13a 7)2−120=a 2，∴a =7，所以△ABC 的周长为7+13=20．【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式可得b 2+c 2−bc =a 2，由余弦定理可得cos A 的值，结合范围0<A <π，可求A ，进而可求sin2A 的值． (2)利用正弦定理化简已知等式可得b +c =13a 7，利用三角形的面积公式可求bc =40，结合余弦定理可求a 的值，即可得解三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)如图，连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，因为平面PAC ∩平面BDM =MN ，PA//平BDM ，所以PA//MN ，所以PMMC =ANNC ．又因为△BCN∽△DAN ，所以ADBC =ANNC =2，故PM MC =2．(2)根据题意，取AD 的中点O ，连接PO ，因为△PAD 为等边三角形，所以PO ⊥AD ，PO =√3．因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD ∩底面ABCD =AD ，所以PO ⊥平面ABCD ．设△PAD 的重心为G ，则GO 平面ABCD ， AG =DG =PG =2√33．解等腰梯形ABCD，可得O为梯形ABCD外接圆的圆心，所以OD=OA=OB=OC=1，所以GD=GA=GB=GC=2√33，故G为四棱锥P−ABCD外接球球心，半径为2√33．【解析】(1)连接AC交BD于点N，连接MN，由已知线面平行转化线线平行，然后结合平行线分线段成比例即可求解；(2)根据题意，取AD的中点O，连接PO，由已知平面几何知识及线线垂直与线面垂直的相互转化关系可确定球心的位置，进而可求．本题主要考查了平行关系的相互转化，垂直的判断及性质的应用及三棱锥外接球半径的求解，属于中档试题．19.【答案】解：(1)设等级系数为7的搪瓷水杯为A，B，C，等级系数为8的搪瓷水杯为a，b，c，则从中抽取2件的基本事件为(A,B)，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,C)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(C,a)，(C,b)，(C,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)，共15种；其中2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的基本事件为(a,b)，(a,c)，(b,c)，共3种，所以P=315=15，(2)因为x B−=(4+6+7+8+9)÷5=6.8，所以B厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.8，标准差为S=1.72，所以B厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1.72，因为x A−=(5+6+6.5+7+8)÷5=6.5，所以A厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.5，S=1，所以A厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为S=1，综上，B 厂生产的糖瓷水杯的评分的均值较高； A 厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差较小，比较稳定．【解析】(1)设等级系数为7的搪瓷水杯为A ，B ，C ，等级系数为8的搪瓷水杯为a ，b ，c ，列出所有的基本事件以及满足条件的事件，求出概率即可； (2)分别求出A ，B 的平均数和标准差，判断即可．本题考查了列举法求概率问题，考查平均数以及标准差问题，是一道常规题．20.【答案】(1)解：根据题意，M(−12,0)为抛物线E 的准线与对称轴的交点，∴p 2=12，则p =1，∴抛物线E 的方程为y 2=2x ；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 1,−y 1)，D(x 2,y 2)，设直线AD 的方程为y =k(x +12)，联立方程组{y =k(x +12)y 2=2x ，得k 2x 2+(k 2−2)x +k 24=0，∴x 1x 2=14且0<x 1<x 2，∴x 1<12<x 2．设BD 与x 轴的交点坐标为(n,0)(n >0)，直线BD 的方程为y =−y 1x 1−n(x −n)，与方程y 2=2x 联立，得y 12(x1−n)2x 2−(2y 12n (x 1−n)2+2)x +y 12n 2(x 1−n)2=0．解得x 1x 2=n 2，∴n 2=14，即n =12．故BD 经过抛物线E 的焦点．【解析】(1)由已知可得M 为抛物线E 的准线与对称轴的交点，从而求得p ，则抛物线方程可求； (2)分别设出A ，B ，D 的坐标，再设出AD 的方程，由抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得A ，D 横坐标的乘积，设BD 的方程，与抛物线方程联立，再由根与系数的关系可得BD 与x 轴的交点的横坐标，则结论得证．本题考查抛物线方程的求法，考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意，f′(x)=lnx −a +1，∴f′(e)=lne −a +1=1，∴a =1，.………(1分)所以f(x)=x(lnx −1)，又f(x)<x 3−x +m ⇔m >xlnx −x 3，令g(x)=xlnx −x 3，则ℎ(x)=g′(x)=1+lnx −3x 2，所以ℎ′(x)=1x−6x =1−6x 2x，.…………………………(3分)∵当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(1,+∞)上是减函数， ∴ℎ(x)<ℎ(1)=−2<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1,+∞)上是减函数， ∴g(x)<g(1)=−1，∴m 的最小值M =−1.………………………………(5分) (2)由(1)知，函数f(x)=x(lnx −1)，x ∈(0,1)，则f′(x)=lnx ，当x ∈(0,1)时，f′(x)<0.故函数f(x)在(0,1)上单调递减．所以f(x)>f(1)=−1.……………………………………(6分) 设函数G(x)=e x ⋅F(x)=(x 3−x −1)e x ，则G′(x)=(x 3+3x 2−x −2)e x ．设函数p(x)=x 3+3x 2−x −2，则p′(x)=3x 2+6x −1，p′(x)在(0,1)上单调递增．当x ∈(0,1)时，p′(0)⋅p′(1)=−8<0，故存在x 0∈(0,1)，使得p′(x 0)=0，.………………(8分) 从而函数p(x)在(0,x 0)上单调递减；在(x 0,1)上单调递增．当x ∈(0,x 0)时，p(x 0)<p(0)=−2．当x ∈(x 0,1)时，p(x 0)<0，p(1)>0，故存在x 1∈(0,1)，使得G′(x 1)=0，.………………………………(10分) 即当x ∈(0,x 1)时，G′(x)<0，当x ∈(x 1,1)时，G′(x)>0，从而函数G(x)在(0,x 1)上单调递减；在(x 1,1)上单调递增．因为G(0)=−1，G(1)=−e ，故当x ∈(0,1)时，G(x)<G(0)=−1，所以f(x)>e x ⋅F(x).…………………………(12分)【解析】(1)根据切线斜率求出a 的值，问题转化为m >xlnx −x 3，令g(x)=xlnx −x 3，根据函数的单调性求出M 即可；(2)代入M 的值，根据函数的单调性分别求出f(x)的最小值和G(x)=e x ⋅F(x)的最大值，证明结论即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)将{x =ρcosθy =ρsinθ代入方程ρ=4cosθ，得x 2+y 2−4x =0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，中点M(x 0,y 0)，则直线l 2普通方程为y =kx(k =tanθ0)， ∴(1+k 2)x 2−4x =0， ∴x 1+x 2=11+k 2，∴x 0=x 1+x 22=21+k 2，y 0=2k1+k 2．消去k ，得C 2的方程为(x −1)2+y 2=1(x ≠0)． (2)根据题意，直线l 1过定点(12,12)，且在C 2的内部． (12+tsinα−1)2+(12+tsinα)2=1，整理可得t 2+(sinα−cosα)t −12=0，所以|EF|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√3−sin2α≥√2．当α=π4时等号成立，故弦长|EF|的最小值为√2．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程之间进行转换，再根据条件求出C 2的方程．(2)利用直线和曲线的位置关系，将问题转换为一元二次方程根和系数关系式，再求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)解：①当x ≥3时，解x −3+2x −1<4，得x <83(无解)，②当12<x <3时，解3−x +2x −1<4，得12<x <2； ③当x ≤12时，解3−x +1−2x <4，得0<x ≤12；综合①②③得：不等式f(x)<4的解集为(0,2)． (2)证明：由(1)知，当x =12，f(x)min =52=M ，因为a >0，b >0，a +b =1，则4a +14b =(a +b)(4a +14b )=4+14+4b a +a 4b ≥174+2√4b a ⋅a 4b =254=M 2，故4a +14b ≥M 2，当且仅当a =45，b =15时，等号成立．【解析】(1)去绝对值，分类讨论可求f(x)<4的解集．(2)由(1)可得f(x)min =52=M ，由a +b =1，可得4a +14b =(a +b)(4a +14b )，利用基本不等式可证得结论．本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．。

陕西省2020届高三数学第五次质量检测试题理

高三数学第五次质量检测试题理(全卷满分150分，答卷时间120分钟)第I 卷一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每题给出的四个选项中，只有一项符合题意。

)1.已知集合22{30},{0}M x R x x N x N x =∈-<=∈≥，则M N =A.{03}x x <<B.{003}x Z x x ∈<<<或C.{03}x Z x ∈<<D.{0,1,2} 2.复数z 满足i ·z ＝2＋3i ，则|z|＝3.已知向量(1,1),(1,2),(,1)a b c k ==-=，且(2)a b c +⊥，则实数k ＝ A.4 B.－4 C.0 D.144.我们常用的数是十进制数，如4657＝4×103＋6×102＋5×101＋7×100，数要用10个数码(又叫数字)：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中110＝1×22＋1×21＋0×20等于十进制的数6，110101＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20，等于十进制的数53。

那么十二进制数66用二进制可表示为 A.1001110 B.1000010 C.101010 D.1110005.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟，均为正整数)分别为x ，y ，10，11，9。

已知这组数据的平均数为10，则它的极差不可能为 A.8 B.4 C.2 D.16.《九章算术》是我国古代著名数学经典。

其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。

问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺。

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阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2020～2020·重庆市期末)已知a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若a 与a －b 共线，则实数x ＝( )A ．－12B.12 C ．1 D ．2[答案] B[解析] a －b ＝(1－x,1)，∵a 与a －b 共线，∴2(1－x )－1＝0，∴x ＝12.(理)(2020～2020·厦门市质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( )A ．－2B ．－13C ．－1D ．－23[答案] C[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.2．(2020～2020·黄冈市期末)若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] B[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．3．(2020～2020·北京石景山区期末)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－1B ．－ 3C ．－3D ．1[答案] C[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3， 3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3.4．(2020～2020·浙江宁波市期末)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )A.12B.32C. 2D.22[答案] D[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4， ∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12， ∴|AD →|≥22.5．(2020～2020·泉州五中模拟)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( )A.12B.13 C.14 D.15[答案] A [解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝12.6．(2020～2020·开封市二模)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA→＋λCB →，则λ＝( )A ．－13B ．－23C. 13D.23[答案] D[解析] ∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.7．(文)(2020·山东淄博一模)在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6 [答案] B[解析] CM →·CB →＝(CA →＋AM →)·CB → ＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB →＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝13×32×3×22＝3. (理)若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19. 8．(2020～2020·吉林延吉市质检)若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x＋3y的最小值为( )A ．12B ．2 3C ．3 2D ．6[答案] D[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y ≥232x ＋y＝6，等号在x＝12，y ＝1时成立． 9．(2020～2020·安徽东至县一模)若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( )A ．－1B ．0 C.－1＋52D.1＋52[答案] A[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1.10．(2020～2020·天津五县区期末)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．最小值为2C ．是定值6D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)，∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.11．(2020～2020·辽宁本溪一中、庄河高中联考)如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.15 B.14 C.13 D.12[答案] A[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15.12．(2020～2020·大庆铁人中学期末)设O 是坐标原点，A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2.则OA →·OB →取得最小值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个[答案] B[解析] 点B (x ，y )所在的平面区域为图中阴影部分，设OA →与OB →夹角为θ，过B 作BC ⊥OP ，垂足为G ，则OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝2|OG |，显然当点B 在E 、F 位置时，OA →·OB→取最小值，故这样的点B 有两个．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2020～2020·大庆铁人中学期末)设向量a ＝(4sin α，3)，b ＝(2,3cos α)，且a ∥b ，则锐角α为________．[答案]π4[解析] ∵a ∥b ，∴12sin αcos α－6＝0，∴sin2α＝1，∵α为锐角，∴α＝π4. 14．(文)(2020～2020·安徽东至县一模)已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．[答案] －255[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－25＝－255. (理)(2020～2020·江苏无锡辅仁中学模拟)已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________.[答案] 5[解析] ∵|a |＝5，a ·b ＝10，∴|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝25＋|b |2＝50，∴|b |＝5.15．(2020～2020·青岛市期末)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．[答案] 5[解析] 由条件知，i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0，∴OA →·OB →＝(－2i ＋j )·(4i ＋3j )＝－8＋3＝－5，又OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos〈OA →，OB →〉＝55cos 〈OA →，OB →〉，∴cos 〈OA →，OB →〉＝－55，∴sin 〈OA →，OB →〉＝255，∴S △OAB ＝12|OA →|·|OB →|·sin〈OA →，OB →〉＝12×5×5×255＝5.16．(2020～2020·吉林省延吉市质检)已知：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则m n＝________.[答案] 3[解析] 设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ， |OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ，两式相除得：m3n ＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，∴mn ＝3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2020～2020·安徽东至县一模)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )．(1)若a ⊥b ，求x 的值． (2)若a ∥b ，求|a －b |. [解析] (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，则x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2，当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)| ＝－22＋02＝2，当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， ∴|a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)| ＝22＋－42＝2 5.18．(本小题满分12分)(文)(2020～2020·长安一中、西安中学、交大附中、师大附中、高新一中模拟)三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(c －a ，b－a )，n ＝(a ＋b ，c )，若m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若sin A ＋sin C 的取值范围． [解析] (1)由m ∥n 知c －a a ＋b ＝b －ac，即得b 2＝a 2＋c 2－ac ，据余弦定理知 cos B ＝12，得B ＝π3.(2)sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin(A ＋π3)＝sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝32sin A ＋32cos A＝3sin(A ＋π6)， ∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，∴A ∈(0，2π3)， ∴A ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(A ＋π6)∈(12，1]， ∴sin A ＋sin C 的取值范围为(32，3]． (理)(2020～2020·浙江六校联考)在钝角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos(π3－2B )的值域．[解析] (1)由m ∥n 得(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0， ∵sin(A ＋C )＝sin B ， ∴2sin B cos A －sin B ＝0，∵B 、A ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴A ＝π3. (2)y ＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B＝1－12cos2B ＋32sin2B ＝sin(2B －π6)＋1，当角B 为钝角时，角C 为锐角，则⎩⎪⎨⎪⎧π2<B <π0<2π3－B <π2⇒π2<B <2π3， ∴5π6<2B －π6<7π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)， ∴y ∈(12，32)．当角B 为锐角时，角C 为钝角，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2π2<2π3－B <π⇒0<B <π6，∴－π6<2B －π6<π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)，∴y ∈(12，32)，综上，所求函数的值域为(12，32)．19．(本小题满分12分)(2020～2020·陕西师大附中模拟)已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·CB →＝18，求边c 的长． [解析] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， △ABC 中，A ＋B ＝π－C,0<C <π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵CA →·CB →＝18，∴ab cos C ＝18，即ab ＝36.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，∴c ＝6.20．(本小题满分12分)(2020～2020·滨州市沾化一中期末)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R .(1)若f (x )＝1－3且x ∈[－π3，π3]，求x ； (2)若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )(|m |<π2)平移后得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值．[解析] (1)依题设，f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋2sin(2x ＋π6)．由1＋2sin(2x ＋π6)＝1－3，得sin(2x ＋π6)＝－32， ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6，∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4. (2)函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )平移后得到函数y ＝2sin2(x －m )＋n 的图象，即函数y ＝f (x )的图象．由(1)得f (x )＝2sin2(x ＋π12)＋1. ∵|m |<π2，∴m ＝－π12，n ＝1. 21．(本小题满分12分)(2020～2020·豫南九校联考)已知向量OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，f (x )＝OP →·OQ →.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及取得最大值时的x 值． [解析] (1)∵OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)， ∴f (x )＝OP →·OQ →＝(2cos x ＋1)cos x －(cos2x －sin x ＋1) ＝2cos 2x ＋cos x －cos2x ＋sin x －1 ＝cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4)， ∴函数f (x )最小正周期T ＝2π.(2)∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π4∈[π4，3π4]，∴当x ＋π4＝π2，即x ＝π4时，f (x )＝2sin(x ＋π4)取到最大值 2.22．(本小题满分14分)(2020～2020·河北衡水中学调研)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(－1,1)，n ＝(cos B cos C ，sin B sin C －32)，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)现在给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝45°，试从中选择两个条件以确定△ABC ，求出所确定的△ABC 的面积．(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)． [解析] (1)因为m ⊥n ，所以－cos B cos C ＋sin B sin C －32＝0，即cos B cos C －sin B sin C ＝－32，所以cos(B ＋C )＝－32，因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(B ＋C )＝－cos A ，所以cos A ＝32，A ＝30°. (2)方案一：选择①②，可确定△ABC ，因为A ＝30°，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0，由余弦定理得，12＝b 2＋(3＋12b )2－2b ·3＋12b ·32解得b ＝2，所以c ＝6＋22，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·2·6＋22·12＝3＋14，方案二：选择①③，可确定△ABC ，因为A ＝30°，a ＝1，B ＝45°，C ＝105°，又sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝6＋24，由余弦定理c ＝a sin C sin A ＝1·sin105°sin30°＝6＋22，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·6＋22·22＝3＋14.(注意：选择②③不能确定三角形)1．(2020～2020·成都市双流中学月考)已知点O 为坐标原点，A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围为( )A ．[－1,0]B ．[－1,2]C ．[0,1]D ．[0,2][答案] D[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2表示的平面区域如图，∵OA →·OM →＝|OA →|·|OM→|cos α，其中α为OA →与OM →的夹角，|OA →|＝2，|OM →|cos α表示OM →在OA →上的投影，显然当M 与B 重合时，取最小值0，当M 与C 重合时，取最大值2，∴0≤OA →·OM →≤2.2．(2020～2020·彬州市月考)设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→|·|PF 2→|的值等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8[答案] A[解析] 不妨设F 1、F 2为双曲线的左、右焦点，P 在双曲线右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4 (1)，又c 2＝a 2＋b 2＝4＋1＝5，∴2c ＝25，∵PF 1→·PF 2→＝0， ∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝(2c )2＝20，将(1)式两边平方得：20－2|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1→|·|PF 2→|＝|PF 1|·|PF 2|＝2.3．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( )A.3π2－φ B.π2＋φ C ．φ－π2D ．φ[答案] A[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，∵π2<φ<π，∴π2<3π2－φ<π， ∴〈a ，b 〉＝3π2－φ.4．(2020～2020·缓化市质检)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(1,1)，若向量b ⊥(λa ＋b )，则实数λ的值为________．[答案] － 13[解析] λa ＋b ＝(2λ，4λ)＋(1,1)＝(2λ＋1,4λ＋1)，∵b ⊥(λa ＋b )， ∴b ·(λa ＋b )＝(2λ＋1)＋(4λ＋1)＝6λ＋2＝0， ∴λ＝－13.5．(2020～2020·莆田一中质检)如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP →＝a ·OA →＋b ·OB →(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是________．[答案] a 2＋b 2＝12[解析] 由题意知，|OA →|2＝|OB →|2＝2r 2，|OP →|2＝r 2，∵|OP →|2＝|aOA →＋bOB →|2＝a 2|OA →|2＋b 2|OB →|2＋2abOA →·OB →＝(a 2＋b 2)·2r 2＝r 2，∴a 2＋b 2＝12.6．已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2. (1)若a ⊥b ，求θ； (2)求|a ＋b |的最大值．[解析] (1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得tan θ＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2，所以θ＝－π4；(2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，|a ＋b |＝sin θ＋12＋1＋cos θ2＝3＋2sin θ＋cos θ＝3＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1. 7．(2020～2020·莆田一中期末)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象与直线y ＝32相切，相邻切点之间的距离为3π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f (32α＋π2)＝2336，求sinα＋π4cos 4π＋2α的值．[解析] (1)由题意得m ·n ＝0，所以f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx ) ＝1＋cos2ωx 2＋3sin2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12，因为函数f (x )的最小正周期为3π，又ω>0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin(23x ＋π6)＋12，所以f (32α＋π2)＝sin(α＋π2)＋12＝cos α＋12＝2326，解得cos α＝513，因为α是第一象限角，故sin α＝1213，所以sin α＋π4cos4π＋2α＝sin α＋π4cos2α＝22cos α－sin α＝－13142.。