高中数学直线参数方程测试题

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三直线的参数方程

(课前部分)

编写者:

【学习目标】

理解直线的参数式方程以及明确它的形式特征,明确参数t 的几何意思。

【学习重点】

直线的参数式方程以及参数t 的几何意义。

【学习难点】

理解直线的参数方程中t 的几何意义.

【学法指导】通过探究直线上两点间的距离及利用向量的有关知识,让学生积极、主动地参与观察,分析、进而得出直线的参数式方程,培养了学生运用类比法的数学思想方法解决问题

通过本节课的学习,不仅要让学生学会知识,更重要的是由学会变为会学,让学生在探究活动中,自主探究知识,逐步掌握自主获得知识的学习方法。

【复习回顾】

1 、我们知道经过平面内的定点M0(x0,y 0)及斜率k 应用直线方程的点斜式就可以写出直线方程,那么你认为有几种办法能确定斜率k 值呢?

2 、直线方程的方向向量如何确定?平面向量的共线定理是什么?

3 、数轴上两点对应的数分别为t1,t 2 ,则两点间的距离是什么?

【自主学习】

大家都知道,当我们把平面向量中所有的单位向量的起点放在坐标原点,那么他们的终点的轨迹是以坐标原点为圆心的单位圆。那么你能写出一个倾斜角为α的直线的一个方向单位向量吗?

已知直线上定点M 0,M 是直线上的任意一点,当M 移动时,M0M 发生了哪些变化?与直线L 的单位方向向量e 之间什么关系?

设直线l的倾斜角为,定点M 0、动点M 的坐标

分别为M0(x0,y0)、M (x,y)

如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标?

通过对上面的问题的分析,你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好?又应当怎样选择参数呢?请同学们自己动手推导一下直线的参数方程的标准式,对比教材P35 的推导过程.

请同学们进一步思考直线的参数方程中哪些是变量?哪些是常量?每一个量的几何意义又是什么?形式上有什么要求?

根据直线的参数方程的公式请大家写出经过点M0(-2,3),倾斜角为30°的直线L 的参数方程?

通过这个方程请大家求出:(1)当t=1 时对应的点P1的坐标。(2)当t= -1 时对应的点P2的坐标。(3)当t=0 时对应的点P3的坐标。(4)求出直线L 上与点M0相距为 2 的点的坐标。

画图找到这些点,做好标注!

有人说t>0 时,t 表示向量M 0M 的长度,你同意吗?t<0 时又如何呢?通过对以上的分析你能总结出参数t 的几何意义吗?如有困难参看教材P36例 1 的上面部分。

由于直线的倾斜角α [0 ,),所以这个方向单位向量很特别,方向如何?请同学们自己动手画出图形,写出这个向量e 的坐标。

将你的答案与教材中的答案进行对比,哪一个更好呢?你还有没有更好的办法进行求解呢?)若把直线的参数方程的标准形式

由此,易得参数t 具有如下的性质:若直线l 上两点A、B 所对应的参数分别为t A,t B ,则性质一:A、B 两点之间的距离为| AB | |t A t B |,特别地,A、B 两点到M 0的距离分别为

|t A |,|t B |.

性质二:A、B 两点的中点所对应的参数为tA tB,若M0是线段AB 的中点,则

2

t A t B 0 ,反之亦然。(你还能提出和解决哪些问题?)

通过对参数t 所具有的性质的分析,请同学们动手做一做教材的例2,然后将你的答案与教材的进行对比,一定要规范自己的书写步骤呦!当a 2b21时,t没有上述的几何意义,我

们称起为非标准形式。

将下面参数方程的一般式化成标准式?

注意:只有直线参数方程的标准式的t 才具有相应的几何意义,一般形式的弦长公式如下:

|M0M | a2b2|t | |M1M 2 | a2b2|t1 t2 |

当我们利用直线参数方程求解时,往往题中给的参数方程并不是标准式,例如:动点M做等速直

线运动,它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9,12 ,运动开始时,点位于A(1,1),选取时间t 为参数,求点M的轨迹的参数方程。

请思考:此时的t 有没有前述的几何意义?我们怎么办呢?

x x 0

y y 0

改写为:

t cos

t sin

t 为参数,[0, ) )

x

y

a

b

t

t( t为参数)

当a,b 满足什么条件,可

使

t 有上述的几何意

义?

9t

12 t

( t 为参数)

[ 质疑汇总]

(1)个人自学问题:

(2)组内共同讨论仍然存在的问题

[ 自学总结] 请同学们自己构建知识网络。

y y0 2b2( a 2 b 2t)

a

2

b

2

同学们,通过大家的自主学习我想每个人都有不同的收获,我们对知识掌握的是否像我们想象的那样毫无问题呢?下面我们自己来检测一下吧!当你竭尽全力,时间自

会主持公道

将你的答案与教材中的答案进行对比,哪一个更好呢?你还有没有更好的办法进行求解呢?) 若把直线的参数方程的标准形式

2)直线 x y 1 0 的一个参数方程是 勇攀高峰:

1、、直线 l 过点 P 0( 4,0),倾斜角为 ,且与圆 x 2 y 2 7相交于 A 、B 两点。

6

( 1)求弦长 AB.

(2)求 P 0A 和 P 0B 的长。

2、已知经过点 P (2,0),斜率为 的直线和抛物线 相交于 A,B 两点 ,设线段 AB 的中点为 M, 求点 M 的坐

标 .

2

3、已知双曲线 x 2 - y 2 = 1 ,过点 P (2,1)的直线交双曲线于 P 1,P 2,求线段 P 1P 2的 中点 M 的

轨迹方程。

x =2+ t ,

4、求直线 (t 为参数 )被双曲线 x 2- y 2= 1 截得的弦长 .

y = 3t

登封造极:

已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60°的直线交椭圆于 A , B 两点,若 FA =2FB ,求则椭圆的离心率。

小试牛刀:

1)直线

3 t sin 20 t cos 20 0

t 为参数)的倾斜角是( A.20

B.70 0

C .110 0

D .160 0

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