分数拆项法
分数计算技巧及分数计算的技巧
分数计算技巧对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧。
分数计算技巧也是数学竞赛中的考点之一。
1.凑整法与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……，从而使运算得到简化。
2.约分法3.裂项法将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，从而简化运算。
例7 在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。
解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1、而分母不同的分数的和等于1，似乎无从下手。
但如果巧用1/n-1/（n+1）=1/n(n+1)来做，就非常简单了。
所以，要求的10个数是：2、6、12、20、30、42、56、72、90、10。
本题的解不是唯一的，例如由1/10+1/30=1/9+1/45可知，用9和45可以替换上面解答中的10和30，同样符合要求。
4.代数法5.分组法解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。
分母为n的分数之和为6．一些典型例题1、解：观察这些分数的分母，都是连续自然数的和，我们可以先求出分母来，再进行裂项计算。
2、计算:3、4、5、6、练习题在做分数的计算题时，只要正确利用分数的基本性质和四则运算法则，一般都能得到正确结果。
但有时按常规方法计算就显得相当麻烦。
下面我们来学习分数运算中的某些技巧，通过这些运算技巧的学习，可以达到简化计算的目的，从而提高同学们的计算速度。
一、阅读思考想一想，你能很快说出下面每组式子的答案吗？分析与解：3组中，每组2个式子的结果都相等，分别是21、61、201。
总结规律：如果一个分数的分子是1，分母是2个相邻自然数的乘积，那么这个分数就可以拆分成2个分数的差。
应用规律：在计算分数加、减法的时候，先将其中的一些分数适当拆分，使得有一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化，我们把这种方法叫做裂项法（也叫拆项法）。
分数的拆项公式
分数的拆项公式分数拆项公式是数学中非常重要的一个公式，它的作用在于将一个分数分解成若干个分数之和的形式。
这个公式的应用非常广泛，不仅在初中、高中阶段的数学教学中经常出现，而且在实际生活和工作中也有着很多重要的应用。
分数的拆项公式可以写成以下形式：$$ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}+\frac{e}{f} $$其中，$ a , b , c ,d, e, f$ 是整数，且 $b \neq 0, d \neq 0$，并且$\frac{a}{b}$, $\frac{c}{d}$, 和 $\frac{e}{f}$ 都是真分数。
这个公式的意义是将一个分数 $\frac{a}{b}$ 拆分成两个真分数 $\frac{c}{d}$ 和 $\frac{e}{f}$ 之和的形式。
通俗地讲，就是把一个物体分成两个小块再合并起来，就可以得到原来的物体。
举个例子：$$ \frac{5}{6}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2} $$这个例子中，我们将分数 $\frac{5}{6}$ 拆成了两个分数$\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ 的和，这两个分数的和等于$\frac{5}{6}$。
这个公式有许多重要的应用，下面我们就来介绍一些常见的应用。
1. 相关定理的证明分数的拆项公式在相关定理的证明中经常被使用，比如最小公倍数和最大公约数的性质。
在证明这些性质时，我们通常需要将一个分数拆分成若干个分数之和的形式，从而方便我们进行推导和证明。
举个例子，假设我们要证明最小公倍数的性质：“任意两个正整数 $a, b$ 的最小公倍数是它们的乘积除以它们的最大公约数”。
我们可以利用分数的拆项公式，将 $\frac{ab}{(a,b)}$ 拆分成两个分数之和的形式，然后根据各自的乘积和最大公约数的关系来证明该性质。
2. 分数的加减运算分数的拆项公式可以方便我们进行分数的加减运算。
我们只需要将要加减的分数拆分成若干个分数之和的形式，然后再将同类项相加减即可。
分数运算技巧(二)拆项法
分数计算技巧二——拆项法【知识要点和基本方法：】异分母分数相加减，通常先通分，把异分母分数变成同分母分数后再相加减。
有一些分数计算题如果按照常规方法计算就会十分复杂，必须运用某些技巧，寻找简便的方法。
当分母之间存在某种特殊规律时，运用这些规律，就能使这些计算简化，如果分母是相邻的两个自然数的乘积，可以通过拆项的方法，使其中一部分分数可以相互抵消，从而简化计算过程。
一般地，可以利用下面的等式，巧妙的将分数变形，然后求分数的和。
1 (1) N N+=1N－11N+1(2)N N+=12（1N－12N+）【例题讲解：】例1计算：112⨯+123⨯+134⨯+145⨯+…+14950⨯思路点拨：112⨯=11－12 123⨯=12－13 134⨯=13－14 145⨯=14－15 (1)4950⨯=149－150解：112⨯+123⨯+134⨯+145⨯+…+14950⨯=11－12+12－13+13－14+14－15+ ……+149－150=11－150=49 50例2计算：124⨯+146⨯+168⨯+……+198100⨯思路点拨：124⨯=12（12－14）146⨯=12（14－16）168⨯=12（16－18）………198100⨯=12（198－1100） 124⨯+146⨯+168⨯+……+198100⨯ =12（12－14）+12（14－16）+12（16－18）+……+12（198－1100） =12（12－14+14－16+16－18+……+198－1100） =12（12－1100） =12×49100=49200例3 计算1123⨯⨯+1234⨯⨯+……+19899100⨯⨯ 思路点拨：1123⨯⨯=12（112⨯－123⨯） 1234⨯⨯=12（123⨯－134⨯） … … …19899100⨯⨯=12（19899⨯－199100⨯） 解： 1123⨯⨯+1234⨯⨯+……+19899100⨯⨯ =12（112⨯－123⨯）+12（123⨯－134⨯）+……+12（19899⨯－199100⨯） =12（112⨯－123⨯+123⨯－134⨯+……+19899⨯－199100⨯） =12（112⨯－199100⨯） =494919800例4 计算： 1+112++1123+++11234++++......+1123 (99100)+++++ 思路点拨：1+2=(12)22+⨯ 1+2+3=(13)32+⨯ 1+2+3+4=(14)42+⨯ … … …1+2+3+4+……+100=(1100)1002+⨯解；1+112++1123+++11234++++……+1123 (99100)+++++=1+1(12)22+⨯+1(13)32+⨯+1(14)42+⨯+……+1(1100)1002+⨯=1+2(12)2+⨯+2(13)3+⨯+2(14)4+⨯+……+2(1100)100+⨯=2（112⨯+123⨯+134⨯+……+1100101⨯）=2（1－12+12－13+13－14+14－……+1100－1101）=2（1－1 101）=199 100模仿练习题；1．134⨯+145⨯++14950⨯2．113⨯+135⨯+157⨯+……119951997⨯+119971999⨯3．1234⨯⨯+1345⨯⨯+1456⨯⨯+1567⨯⨯+1678⨯⨯+1789⨯⨯4．1+112++1123+++……+1123 (99100)++++++……+112 3 (1990)+++拓展提高：1．112+120+130+142+156+172+1902．34+328+370+3130+32083．1+12+22+12+13+23+33+23+13+……+110+210…+910+1010+910…+210+1104．11+1316+15112+17120+19130+21142+23156+25172+27190。
小六数学第13讲：分数裂项与分拆
第十三讲分数裂项与分拆1. “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：③对于分子不是1的情况我们有：2. 裂差型裂项的三大关键特征：①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
②分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”③分母上几个因数间的差是一个定值。
3.复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N。
N取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
4. “裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：①②裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数拆项法5
分数的简便计算（五）分数拆分 班级： 姓名： 【基础知识详解】拆项法：把一个分数拆成几个分数的和或差后能互相抵消，达到简化计算的目的，这种方法叫做分数的拆分法，又叫裂项法、或拆项法。
计算规律： (1))1(1+⨯a a =a 1-11+a(2)ba ⨯1=（a 1-b 1）×a b -1（a<b ）(3)若a 、b 、c 是三个连续的自然数，并且a<b<c ，那么c b a ⨯⨯1=（b a ⨯1-cb ⨯1）×21（4）若a 、b 、c 、d 是四个连续的自然数，并且a<b<c<d ，那么d c b a ⨯⨯⨯1=（c b a ⨯⨯1-d c b ⨯⨯1）×31典 型 例 题 精 讲【例1】计算：211⨯+321⨯+431⨯+……+50491⨯试一试：计算：211⨯+321⨯+431⨯+541⨯+651⨯【例2】计算：311⨯+531⨯+751⨯+971⨯+ (99971)【例3】计算：411⨯+741⨯+1071⨯+13101⨯+16131⨯+19161⨯【例4】计算：21 +61+121+201+301+421+561+721+901【例5】计算：151+351+631+991+1431+1951+2551【例6】计算：1+612+1213+2014+3015+4216+5617+7218+9019 【例7】514⨯+954⨯+1394⨯+17134⨯+21174⨯+25214⨯+29254⨯【例8】614⨯+1164⨯+16114⨯+……+76714⨯+81764⨯【例9】211998⨯+321998⨯+431998⨯+541998⨯+651998⨯【例10】21-34-154-354-634-994-1434-1954-2554思维拓展训练： （1）212⨯+322⨯+432⨯+542⨯+……+100992⨯ （2）523⨯+853⨯+1183⨯+……+23203⨯ （3）437⨯+547⨯+657⨯+767⨯+877⨯+987⨯（4）318⨯+538⨯+758⨯+978⨯+1198⨯ （5）1212-+1412-+1612-+1812-+……+15012-（6）1-61+421+561+721 （7）21+61+121+201+301+421+561+721 （8）1-21-61-121-201-301-421-561（9）81+241+481+801+1201+1681+2241+2881（10）41+281+701+1301+2081（11）42×（81+241+481+801+1201+1681） （12）23+67+1213+2021+3031 （13）211+612+1213+1214+……+9900199（14）311+1512+3513+6314+9915+14316 （15）411⨯+741⨯+1071⨯+13101⨯+……+100971⨯（16）67+1213+2021+3031+4243+5657+7273+9091 （17）312⨯+532⨯+752⨯+ (99972)（18）31 +151+351+631+991（19）211⨯+321⨯+431⨯+541⨯+……+100991⨯（20）3122⨯+5342⨯+7562⨯+……+2119202⨯（21）311⨯+531⨯+751⨯+971⨯+1191⨯+13111⨯（22）421⨯+641⨯+861⨯+1081⨯+……+48461⨯+50481⨯（23）211⨯+321⨯+431⨯+541⨯+……+200420031⨯+200520041⨯（24）1+381+5241+7481+9801+……+193601（25）1121+1361+15121+17201+19301+21421（26）12-21-43-87-1615-3231-6463（27）161+3121+5201+7301+9421（28）1+361+5121+7201+9301+11421+13561+15721+17901 （29）614⨯+1164⨯+16114⨯+21164⨯+……+76714⨯+81764⨯（30）851⨯+1181⨯+14111⨯+……+101981⨯ （31）411⨯+741⨯+1071⨯+……+100971⨯复习巩固：（32）2002减去它的21，再减去余下的31，再减去余下的41，依次类推，一直到最后减去余下的20021，那么最后得数是多少？（33）12-21-43-87-1615-3231-6463。
分数运算技巧(二)拆项法
分数运算技巧(二)拆项法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII分数计算技巧二——拆项法【知识要点和基本方法：】异分母分数相加减，通常先通分，把异分母分数变成同分母分数后再相加减。
有一些分数计算题如果按照常规方法计算就会十分复杂，必须运用某些技巧，寻找简便的方法。
当分母之间存在某种特殊规律时，运用这些规律，就能使这些计算简化，如果分母是相邻的两个自然数的乘积，可以通过拆项的方法，使其中一部分分数可以相互抵消，从而简化计算过程。
一般地，可以利用下面的等式，巧妙的将分数变形，然后求分数的和。
1 (1) N N+=1N－11N+1(2)N N+=12（1N－12N+）【例题讲解：】例1计算：112⨯+123⨯+134⨯+145⨯+…+14950⨯思路点拨：112⨯=11－121 23⨯=12－131 34⨯=13－141 45⨯=14－15………1 4950⨯=149－150解：112⨯+123⨯+134⨯+145⨯+…+14950⨯=11－12+12－13+13－14+14－15+ ……+149－150=11－150=49 50例2计算：124⨯+146⨯+168⨯+……+198100⨯思路点拨：124⨯=12（12－14）1 46⨯=12（14－16）1 68⨯=12（16－18）………1 98100⨯=12（198－1100）1 24⨯+146⨯+168⨯+……+198100⨯=12（12－14）+12（14－16）+12（16－18）+……+12（198－1100）=12（12－14+14－16+16－18+……+198－1100）=12（12－1100）=12×49100=49 200例3计算1123⨯⨯+1234⨯⨯+……+19899100⨯⨯思路点拨：1 123⨯⨯=12（112⨯－123⨯）1 234⨯⨯=12（123⨯－134⨯）………1 9899100⨯⨯=12（19899⨯－199100⨯）解：1123⨯⨯+1234⨯⨯+……+19899100⨯⨯=12（112⨯－123⨯）+12（123⨯－134⨯）+……+12（19899⨯－1 99100⨯）=12（112⨯－123⨯+123⨯－134⨯+……+19899⨯－199100⨯）=12（112⨯－199100⨯）=4949 19800例4计算： 1+112++1123+++11234++++……+1123 (99100)+++++思路点拨：1+2=(12)22+⨯1+2+3=(13)32+⨯1+2+3+4=(14)42+⨯………1+2+3+4+……+100=(1100)1002+⨯解； 1+112++1123+++11234++++……+1123 (99100)+++++=1+1(12)22+⨯+1(13)32+⨯+1(14)42+⨯+……+1(1100)1002+⨯=1+2(12)2+⨯+2(13)3+⨯+2(14)4+⨯+……+2(1100)100+⨯=2（112⨯+123⨯+134⨯+……+1100101⨯）=2（1－12+12－13+13－14+14－……+1100－1101）=2（1－1 101）=199 100模仿练习题；1．134⨯+145⨯++14950⨯2．113⨯+135⨯+157⨯+……119951997⨯+119971999⨯3．1234⨯⨯+1345⨯⨯+1456⨯⨯+1567⨯⨯+1678⨯⨯+1789⨯⨯4．1+112++1123+++……+1123 (99100)++++++……+112 3 (1990)+++拓展提高：1．112+120+130+142+156+172+1902．34+328+370+3130+32083．1+12+22+12+13+23+33+23+13+……+110+210…+910+1010+910…+210+1104．11+1316+15112+17120+19130+21142+23156+25172+27190。
拆项积分法
拆项积分法
拆项积分法，也称为部分分式法，是一种用于求解一些特定形式的积分问题的方法。
它将一个多项式分母拆解成两个或多个简单的分式，以便更容易进行积分计算。
拆项积分法的基本步骤如下：
1.将多项式分母因式分解：将多项式分母分解为不可约因式
的乘积。
2.写成部分分式的形式：将多项式分解后的分母写成简单分
式的形式。
这些简单分式可能是线性分式（分子是常数，分母是一次方程），二次分式（分子是一次多项式，分母是二次方程）或更高阶次的分式。
3.拆分系数：对每个简单分式进行拆分系数，即找到适当的
常数使得多项式分子等于简单分式形式的分子。
4.做代换：对拆分后的每个简单分式进行代换，引入新的变
量或符号，以便对该分式进行积分计算。
5.积分计算：根据拆分后的每个简单分式的形式，进行相应
的积分计算。
6.构造等式：将各个简单分式的积分结果重新组合，得到原
始问题的积分结果。
需要注意的是，拆项积分法的成功应用需要对多项式分解和常见的简单分式形式有一定的熟悉度。
此外，有时候拆项积分法需要进行部分分数的部分系数的求解，这可能需要使用方程组
求解等技巧。
拆项积分法在求解一些具体的积分问题中非常有用。
它可以将复杂的积分问题转化为简单的求和或积分计算，从而得到最终答案。
然而，在实际应用中，根据不同的多项式形式以及其分母的因式分解情况，需要灵活运用并选择合适的分解和拆项方式。
分数的拆项公式
分数的拆项公式分数的拆项公式是将一个分数分解成若干个分数之和或差的表达式。
在数学中，有许多不同的分数的拆项公式，下面将介绍其中的一些常见的拆项公式。
1. 通分法（分数的加减法）：分数的加减法中，我们需要将要相加或相减的分数的分母化为相同的公分母，然后将分子相加或相减即可。
例如：1/3 + 1/4 = (4/12) + (3/12) = 7/122. 公因数分解法：当分数的分子和分母有公因数时，可以将其进行公因数分解，然后再相加或相减。
例如：12/18 = (2×2×3)/(2×3×3) = 2/33. 二次公式法：对于分数a/b，如果分子和分母同时是二次公式，可以将其分解为两个二次公式相加或相减的形式。
例如：(2x^2 + 3x + 1)/(x^2 + 4x + 4) = [(x+1)(2x+1)]/[(x+2)(x+2)]4. 分数的乘法：分数的乘法可以通过分子和分母的相乘得到结果。
如果两个分数相乘，可以将分子和分母分别相乘，然后再进行约分。
例如：(3/4) × (2/5) = (3×2)/(4×5) = 6/20 = 3/105. 分数的除法：分数的除法可以通过将被除数乘以除数的倒数来得到结果。
如果两个分数相除，可以将除数倒数乘以被除数，然后再进行约分。
例如：(2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = (2×5)/(3×4) = 10/12 = 5/6需要注意的是，在分数的拆项公式中，我们需要进行分数的化简和约分，使得结果尽可能简洁。
此外，拆项的方法还包括分数分解、分配律、因式分解等。
应根据具体题目的要求和分数的形式选择合适的方法进行拆项。
以上是一些常见的分数的拆项公式，希望能对你有所帮助。
简便运算——拆分、裂项、拆项
分数的巧算——裂项前面我们介绍了运用定律和性质以及数字的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法)进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。
一般地，形如)1(1+⨯a a 可以拆成111+-a a ；形如)n (1+⨯a a 的分数可以拆成)11(1n a a n +-⨯形如b a b a ⨯+的分数可以拆成b 11+a ；等等。
同学们可以结合例题思考其中的规律。
王牌例题①形如)1(1+⨯a a 可以拆成111+-a a 100991431321211计算：⨯++⨯+⨯+⨯ 【思路导航】因为这个算式中的每个加数都可以分裂成两个数的差，如211211-=⨯，3121321-=⨯，4131431-=⨯，……，其中的部分分数可以相互抵消，这样计算就简便多了，1001991()4131()3121()211(-++-+-+-= 原式100199141313121211-++-+-+-= 1009910011=-=举一反三①403917616515411⨯++⨯+⨯+⨯ 、15141141311312112111111012⨯+⨯+⨯+⨯+⨯、42130120112161213+++++、72156********+++-、王牌例题②形如)n (1+⨯a a 的分数可以拆成)11(1n a a n +-⨯50481861641421计算：⨯++⨯+⨯+⨯ 【思路导航】因为4121422-=⨯，6141642-=⨯，8161862-=⨯，……，所以，将算式中的每一项先扩大2倍后，再分裂成两个数的差，求算式的和，最后把求得的和再乘21即可。
所以2150482862642422(⨯⨯++⨯+⨯+⨯= 原式21)501481()8161()6141()4121(⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+-= 21)50121(⨯-=215024⨯=256=举一反三②999719717515311⨯++⨯+⨯+⨯ 、10097110717414112⨯++⨯+⨯+⨯ 、3733113919515113⨯++⨯+⨯+⨯ 、20811301701281414++++、王牌例题③形如b a b a ⨯+的分数可以拆成b 11+a ；56154213301120912731计算：1-+-+-【思路导航】因为311311+=，41314343127+=⨯+=，51415454209+=⨯+=，615165653011+=⨯+=，716176764213+=⨯+=，817187875615+=⨯+=……所以)8171()7161()6151(5141()4131(311+-+++-+++-+=原式81717161615151414131311--++--++--+=87811=-=举一反三③301120912765211 1-+-+、561542133011209411 2+-+-、6599815499814399813299812119983⨯+⨯+⨯+⨯+⨯、6301162091276 4⨯-⨯+⨯、王牌例题④641321161814121计算：+++++【思路导航】解法一：这道题如果先通分再相加，就比较复杂；如果给原式先“借”来一个641，最后再“还”一个641，就可以通过口算得出结果。
六年级简便运算中的拆项法
六年级简便运算中的拆项法六年级简便运算中的拆项法介绍了运算定律和性质以及数的特点，可以用巧算和简算的方法。
今天我们研究如何使用替换法和拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算以及等差数列的求和运算及其应用。
裂项法示例：111a(a1)aa 1等差数列：a1，a2，……。
an公差d=后一项减前一项(d=a2-a1)项数：n=(an-a1+1)/d和=(n/2)×(a1+an)典型例题：例1：计算111112233499100练1：计算①11114556673940②22221112121313145455 ③1+1/2+1/6+1/12+1/20+3/35 例2：计算：11112446684850练2：计算①11113557799799②1111155********例3：计算1-1/7+1/11-1/13+1/17-1/19练3：计算6/×(6-1/7911)×(6+1/2)例4：1/2+1/4+1/8+。
+1/256练4：2/9+3/16+4/25+。
+10/100例5：计算①1+2+3+。
+100②2+4+6+。
+100③1+3+5+。
+99方法：1+2+3+。
+100101×100/25050由此推出求和公式：n×(a1+an)/2即：第一个数加上最后一个数的和乘以项数除以2项数=最后一数减第一个数的差除以相邻两数差练5：计算3+6+9+。
+198例6：计算1+11111+2+2+3+3+3+。
+100例7：计算1/2+1/3+1/4+。
+1/101-1/102练7：(1+2+3)×(1/2+1/3+1/4)-(1+2+3+4)×(1/2+1/3)。
分数拆项法(2021年整理)
分数拆项法（2021年整理）分数拆项法是一种用于化简分式的方法，它的主要思想是把一个分式或多个分式拆成两个或多个较简单的分式。
一、分数拆项法的基本原理对于一个分式，我们需要找到合适的方法，使其化简为两个或多个较简单的分式，从而更容易计算或求解。
分数的基本性质是：分式的分子和分母都可以同乘或同除一个数或者一个含有变量的式子，而不改变分数本身的值。
因此，我们可以根据这个性质，把一个分式拆分成几个因式，然后分离出分式分子中与分母有公因式的部分，再将剩余的部分合并为一个较简单的分子或分母。
1、约分一个分式可以被约分，即分子和分母可以同时除以一个公因数，从而化简为最简分数。
例如，$\frac{8}{20}$ 可以约分为 $\frac{2}{5}$。
2、合并同类项对于一些含有分数的表达式，可以通过将分子合并为同类项、分母合并为同类项的方式，使得整个表达式简化。
例如：$$\frac{3}{x+1}+\frac{1}{x-1}=\frac{3(x-1)+1(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x-2}{x^2-1}$$3、拆项拆项就是将一个分式分解成两个或多个较简单的分式。
例如，$\frac{x+3}{x^2-4x+3}$ 可以拆项为 $\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-3}$，其中分子分别为 $1$ 和 $2$ 是两个相应的加项系数。
4、通分当两个分母不同时，需要找到它们的最小公倍数，将它们分别乘以适当的倍数，通分合并。
例如：三、分数拆项法的注意事项1、在进行分数拆项时，需要注意分母是否为零，避免出现除数为零的情况。
2、在通分时，需要找到它们的最小公倍数，并进行相应的乘法和化简，以免出现错误。
3、在拆项时，需要根据分式的特点，找到合适的拆分方式，以便更好地进行计算。
分数的拆项公式
分数的拆项公式分数的拆项公式是指将一个分数进行拆项，将其拆分成多个分数的和（或差）的公式。
在数学中，拆项可以帮助我们化简复杂的分数表达式，使计算更为简便和易于理解。
下面将介绍分数的拆项公式及其相关参考内容。
1. 通分的拆项公式：对于两个分数的和或差进行拆项时，首先需要将其通分，使得分母相同，然后再进行拆项。
通分后的拆项公式如下：- 两个分数的和拆项公式：$\frac{a}{c}+\frac{b}{c} =\frac{a+b}{c}$。
- 两个分数的差拆项公式：$\frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$。
2. 不通分的拆项公式：如果两个分数的分母不同，我们不能直接使用通分的拆项公式，而需要先找到一个公共的分母，并进行拆项。
常用的方法是求最小公倍数。
不通分的拆项公式如下：- 两个分数的和拆项公式：$\frac{a}{c}+\frac{b}{d} = \frac{a\cdot d + b \cdot c}{c \cdot d}$。
- 两个分数的差拆项公式：$\frac{a}{c}-\frac{b}{d} = \frac{a\cdot d - b \cdot c}{c \cdot d}$。
3. 多个分数的拆项公式：当有多个分数需要进行拆项时，可以通过多次使用通分的拆项公式来进行拆分。
拆项的顺序可以根据需要灵活选择，通常从两个分数开始拆起。
多个分数的拆项公式如下：- 多个分数的和拆项公式：$\frac{a_1}{c_1}+\frac{a_2}{c_2}+\frac{a_3}{c_3}+... =\frac{m}{n}$，其中$m$为拆项后的分子部分，$n$为拆项后的分母部分。
- 多个分数的差拆项公式：$\frac{a_1}{c_1}-\frac{a_2}{c_2}-\frac{a_3}{c_3}-... = \frac{m}{n}$，其中$m$为拆项后的分子部分，$n$为拆项后的分母部分。
不定积分拆项
不定积分拆项
在积分中，拆项是指将被积函数进行拆分或分解，使得积分可以更容易计算。
不定积分的拆项有多种方法，以下介绍其中几种常见的拆项方法：
1. 分式拆分：对于有分式形式的被积函数，可以通过分式拆分将其拆解为几个简单分式的和或差，从而更容易计算。
例如，对于有理函数 $\frac{1}{x(x+1)}$ 可以使用分式拆分方法将其拆解为 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$ 的形式，再进行不定积分。
2. 部分分数拆分：对于有理函数，可以使用部分分数拆分方法将其拆解为若干个部分分数的和或差，从而更容易计算。
部分分数拆分的基本思想是将有理函数表示为一个多项式的形式再进行拆解。
例如，将 $\frac{2x+1}{x^2+4x+3}$ 拆解为
$\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+3}$ 的形式，再进行不定积分。
3. 倒代换：对于某些特殊的被积函数，可以通过倒代换（反代换）的方式进行拆项。
倒代换是指通过变量代换将被积函数转化为另一个较为简单的表达式，再进行不定积分。
例如，对于$\int \frac{1}{x\sqrt{1+x}} dx$ 可以使用倒代换 $u =
\sqrt{1+x}$，将被积函数转化为 $\int \frac{2}{u^2-1} du$ 的形式，再进行不定积分。
以上是不定积分中常用的拆项方法，拆项的具体方法需要根据被积函数的具体形式和特点选择适合的拆项方法进行处理。
拆分法简便运算
简便运算一、知识要点本节主要介绍怎样用拆分法〔也叫裂项法、拆项法〕进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，到达简化运算的目的。
一般地，形如1a ×(a+1) 的分数可以拆成1a －1a+1 ；形如1a ×〔a+n 〕的分数可以拆成1n ×〔1a －1a+n 〕，形如a+b a ×b 的分数可以拆成1a +1b等等。
同学们可以结合例题思考其中的规律。
二、精讲精练【例题1】计算：11×2 +12×3 +13×4 +…..+ 199×100练习1计算下面各题：1. 14×5 +15×6 +16×7 +…..+ 139×402. 110×11 +111×12 +112×13 + 113×14 +114×153. 12 +16 +112 +120 + 130 +1424. 1－16 +142 +156 +172【例题2】计算：12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 148×50练习2计算下面各题：1.13×5 +15×7 +17×9 +…..+ 197×992.11×4 +14×7 +17×10 +…..+ 197×1003.11×5 +15×9 +19×13 +…..+ 133×374.14 +128 +170 +1130 +1208【例题3】计算：113 －712 +920 －1130 +1342 －1556练习3计算下面各题：12 +56 －712 +920 －113014 －920 +1130 －1342 +15563.19981×2 +19982×3 +19983×4 + 19984×5 +19985×64.6×712 －920 ×6+ 1130 ×6【例题4】计算：12 +14 +18 +116 +132 +164练习4计算下面各题：1. 12 +14 +18 +………+12562. 23 +29 +227 +281 +2243【例题5】计算：〔1+12 +13 +14 〕×〔12 +13 +14 +15 〕－〔1+12 +13 +14 +15 〕×〔12 +13+14 〕设1+12 +13 +14 ＝a 12 +13 +14 ＝b原式＝a ×〔b+15 〕－〔a+15 〕×b＝ab+15 a －ab －15 b＝15 〔a －b 〕＝15练习51.〔12 +13 +14 +15 〕×〔13 +14 +15 +16 〕－〔12 +13 +14 +15 +16 〕×〔13 +14 +15 〕2.〔18 +19 +110 +111 〕×〔19 +110 +111 +112 〕－〔18 +19 +110 +111 +112 〕×〔19 +110 +111〕3.〔1+11999 +12000 +12001 〕×〔11999 +12000 +12001 +12002 〕－〔1+11999+12000 +12001 +12002 〕×〔11999 +12000 +12001〕。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分数拆项法
1 / 1 分数拆项法
一、教学过程：
【知识点梳理】
公式一：1
11)1(1+-=+⨯a a a a 公式二:)11(1)(1n
a a n n a a +-⨯=+⨯ 【例题精讲】
例题1、计算：错误!+错误!+错误!+…..+ 错误!
【即时练习】计算下面各题
(1）错误!+错误!＋错误!+…．.+ 错误! （2）错误!+错误!＋错误!+错误!+ 错误!+错误!
(3)＼F （1,10×11） +11１×12 ＋112×1３ + １13×14
＋错误! 例题２、计算：错误!+错误!＋错误!+…..＋ 错误!
【即时练习】计算下面各题:
（1)错误!+错误!+错误!+…..+ 错误! （2）错误!+错误!+错误!+….．+ 错误!
（3）错误!+错误!+错误!+…..+ 错误!
例题3、计算:1＼F(1,3） －＼F(7,12） ＋错误!-错误!+错误!-错误!
【即时练习】计算下面各题：
(1)1错误!+错误!－错误!+错误!-错误! (2） 1错误!－错误!＋错误!－错误!+错误!
（3） 错误!+错误!+错误!+ 错误!+错误!
例题4、计算:错误!+错误!＋错误!+错误!+错误!+错误!
【即时练习】计算下面各题：
(１）12 +1４ +＼Ｆ(1,8) +………+１256
(2）错误!+错误!+错误!+错误!+错误! 【奥赛天天练】
1. 1－错误!+错误!＋错误!+错误!
2. 错误!+错误!+错误!+错误!+错误!
3、１1×３
+错误!+错误!＋……+错误!+错误! 4、计算错误!+错误!+错误!+……+错误!
四、【家庭作业】
1、100991.......431321211⨯++⨯+⨯+⨯
2、40
391......761651541⨯++⨯+⨯+⨯ 3、55
542......141321312212112⨯++⨯+⨯+⨯ 作业完成后家长签名:
欢迎家长对老师教学提出建议或意见:。