我发现了筛法的计算公式(最后稿)

我发现了筛法的计算公式

孟庆馀［江苏连云港］

2010年5月

[摘要]：

笔者在探索中，发现了有关素数与合数关系的三条主要规律：

１、区段（区域）性的规律。

２、逐项相除四舍五入的规律。

３、随从数的规律。

根据这三条规律推导出一个公式, 它可以计算出任一已知素数后边紧跟的那个素数和任意大的一个自然数之前共有多少个素数的问题。

这个公式是：

m p =

2N -N [ (211p p +311p p -3211p p p ±…±13211-n p p p p Λ)+ （ )1111132131211-±±++-n p p p p p p p p p ΛΛ（-n p 1）]+（1-n ）

[关键词]：

筛法公式、逐项相除、四舍五入、区段、随从数。

[正文]：

笔者在多年的探索中，发现了有关素数与合数关系的一些规律，根据这些规律找到了一个可以对埃拉多斯染尼氏（Eratosthenes ）筛法进行计算的公式，即“筛法计算公式”(它包括计算素数和计算奇合数两个公式)，计算素数的公式也可以称为“素数公式"。给素数找出一个通项表达式，即已知任一素数后边紧跟的那个素数的公式，这是一个缠绕着数学家的世界难题，时至今日都没有解决。笔者的这个公式能较好地解决任一已知素数后边紧跟的那个素数的问题。

一、“筛法计算公式”(用于计算素数)

m p =

2N -N [ (211p p +311p p -3211p p p ±…±13211-n p p p p Λ)+ （)1111132131211-±±++-n p p p p p p p p p ΛΛ（-n

p 1）]+（1-n ） …（1） 式中m p 为1~N 数列中素数个数；N 为任意大的自然数（2n p ≤N <21+n p ）

；n p p p p ,,,,321K 为素数，其中：1p = 2，2p = 3，3p = 5，…,6p = 13，…；n ≥2 。

计算（1）式应先根据N 的值（1+≤n n p N p ＜），来确定n 的值，再根据n 值确定公式的大小（项数），最后进行计算。计算时将N 乘以括弧内各项，然后

一项一项．．．．（121--n 次）相除，除不尽时必须四舍五入．．．．

取整数，最后进行加减，得出的结果是素数个数。根据定理2确认是否是素数，是第几个素数和1～N 数列中共有多少个素数。

这里n 为已知素数序号，m p 为未知（要计算的）素数个数，m p ＝n ，当求出m p 值后即应以n 代表素数序号。

二、“筛法计算公式” 推导的依据和过程

我们知道任何数学公式的发现、推导都离不开该数列自身固有的规律。 “先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一。”华罗庚《数学归纳法》。那么素数序列到底有什么规律呢? 笔者的回答是没有任何规律。U. 杜德利在《基础数论》中写得清楚：“素数却如此杂乱无章地散布在整数中，甚至原因也可能说不清楚"。[德]汉斯. 拉德枚彻、[德] 奥托. 托普利茨在合著的《数学欣赏》中写到：“较自然的方法是试求任一已知素数后边紧跟的那个素数。但是由于素数组成的极端的无规则性，所作的这种尝试最后都失败了。" 在素数序列上找不到规律, 那么可否从合数序列上去寻找规律呢？因为素数与合数是相辅相成、相互依存的。笔者通过摸索发现合数序列是有规律的, 我们可以通过合数的规律来研究、了解素数及其与合数的关系。合数的有规律与素数的无规律好比是筛法的筛子，筛眼的大小我们用已知素数来编是有规律的，而且从筛眼大的到筛眼小的我们可以编n 种，筛掉的合数是有规律的(根据筛眼的大小知道)，而留在筛子里的素数是没有规律的一样。

笔者通过大量事例摸索出三条主要规律：

第一、区段（区域）性的规律。

合数随着区段的增加其规律也在变化，在同一区段内合数的规律是一样的。

区段是以前一个素数的平方到后一个素数的平方来划分。用符号 2n p ≤N <21+n p 或

1+≤n n p N p ＜表示。这是奇合数最基本的一条规律。这个规律两千多年前已经被人们发现。

第二、逐项相除四舍五入的规律。

在两数相除时一定要一项一项．．．．相除, 除不尽时必须而且只能四舍五入取整．．．．．．数．

。这是关键性的一条规律。 第三、随从数的规律。（注：“随从数" 也叫后继数，就是紧接在某一个自然数后面的一个数。例如，1的随从是2，2的随从是3，3的随从是4 等等。）

当我们用“筛法公式” 计算奇合数时所得出的值是随从数的,那么这个随从数必定是奇合数；如果用“筛法公式”计算素数时，所得出的值是随从数的，那么这个随从数必定是素数。这是判断性的一条规律。

上面这三条规律是推导、产生“筛法计算公式”的重要基础和依据。两千多年前埃拉多斯染尼氏（Eratosthenes ）根据第一条规律发现了筛法，而今天笔者根据第二、三条規律找到了筛法的计算公式。

现在就上面三条规律来分析一下合数的规律及其与素数的关系。因为偶数中

只有2是素数，其余都是合数，为简便明了、少费笔墨，这里我们只讨论奇数、奇合数和素数。

从第二个素数3的平方9 起，是3 的整倍数的奇数有：9, 15, 21, 27, …… 从第三个素数5的平方25起，是5 的整倍数的奇数有：25, 35,45, 55, …… 从第四个素数7的平方49起，是7 的整倍数的奇数有：49, 63, 77, 91, …… 从上面3，5，7 的整倍数看，我们发现了合数的第一个规律即区段性的规律。每增加一个区段，就要增加计算一个素数的倍数，我们将增加的这个素数序号，同时也作为这个区段的区号。下面计算几个区段的奇数来看看奇合数的规律： 一区段 因为公式规定n ≥2,即必须从二区段起计算, 所以这个区段不必计算。

二区段 只计算第二个素数3的倍数的个数。正整数N ≥9 而＜25，即从9~23。在这个区段内用2×3（乘以２是为了将３的偶数倍数剔除, 下同）分别除以各个奇数，除不尽时必须四舍五入．．．．

取整数得到： 〔9〕=2,〔11〕=2,〔13〕=2，〔15〕=3，〔17〕=3，〔19〕=3，〔21〕=4，〔23〕=4。 （注：〔〕号中的数为奇数，等号后面的数为奇数除以2×3四舍五入取整所得的值。）

上面得到的值是奇数中素数3 的倍数的个数 (含3在内)，也是奇合数的个数，而3 是素数不是奇合数，必须减去1。以m s 代表奇合数个数。 用公式)12(3

2--⨯=N m s 计算得到： 〔9〕=1,〔11〕=1,〔13〕=1，〔15〕=2，〔17〕=2，〔19〕=2，〔21〕=3，〔23〕=3。 三区段 增加计算第三个素数5的倍数的个数。N ≥25 而＜49，即从25~47，在这个区段内不但要计算3 的倍数，还要计算5 的倍数。这里我们发现有些奇数既是3 的倍数，同时又是5 的倍数，如45=3×3×5，如果不把它减去，计算的结果就会比实际个数多，所以必须减去2×3×5的倍数。

这个区段的公式是： )13(5

321521321--⨯⨯-⨯+⨯=）（N m s 计算时一定要一项一项．．．．

先除（不能先通分后加减再除），除不尽时必须而且只能四舍五入．．．．

取整数，然后加减。这是奇合数的第二个规律即逐项相除四舍五入的规律。

用上式计算得到：

〔25〕=4,〔27〕=5,〔29〕=5,〔31〕=5,〔33〕=6,〔35〕=7,〔37〕=7, 〔39〕=8, 〔41〕=8,〔43〕=8,〔45〕=9,〔47〕=9。

四区段 再增加计算第四个素数 7 的倍数的个数, N ≥49 而＜121，即从49~119，在这个区段里我们不仅要分别计算3，5，7 的倍数，同时还要减去重复计算的3、5 的倍数，3、7 的倍数和5、7 的倍数。这里我们又发现，还有些奇数同时是3、5、7 三个数的倍数，如105=3×5×7，必须再加上2×3×5×7 的倍数，否则将多减了。

这个区段的公式是：

)14()7

532173215321721521321(--⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯+⨯=N m s 计算得：

〔49〕=10，〔51〕=11，〔53〕=11，〔55〕=12，〔57〕=13，〔59〕=13，