考研数学：夹逼准则的推论
高数 夹逼准则与两个重要极限
对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{sin n}{n}$和$sum_{n=1}^{infty}(1 + frac{1}{n})^{n}$的级数，可以利 用两个重要极限的结论判断其收敛性。
综合应用夹逼准则和两个重要极限
在判断一些复杂级数的收敛性时，可以将夹逼准则和两个重要极限结合起来使用，通过巧妙的放缩和变换， 找到夹逼的级数或函数，从而判断原级数的收敛性。
解答
首先找到与原数列相关的不等式关系， 即∑(ξi1)^2Δxi≤∑f(ξi)Δxi≤∑(ξi)^2Δxi。然 后验证不等式两侧的数列极限是否存 在且相等。对于左侧数列和右侧数列， 当n趋向于无穷大时，其极限均为1/3 （可以通过定积分的几何意义或定积 分计算公式进行验证）。因此根据夹 逼准则，原数列的极限存在且为1/3， 即函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积 分为1/3。
利用(1+1/x)^x在x→∞时的极限为e，可以对一些涉及指数函数的 复杂表达式进行逼近处理。
在求解某些微分方程时，可以利用这两个重要极限简化方程形 式或求解过程。
在概率论与数理统计中，这两个重要极限也经常出现，例如在 求解某些概率分布或统计量的极限性质时。
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02
利用第二个重要极限求解幂函数、指数函数相关问题，如求
(1+x)^(1/x)在x=0处的极限值。
结合洛必达法则等其他求极限方法，可以求解更复杂的极限问
03
题。
拓展：其他常见极限形式及求解方法
∞/∞型极限
通过分子分母同除以某个趋于 无穷的变量来转化为0/0型极 限求解。
1^∞型极限
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧数学中的极限是指函数在某一点趋于无限接近于某个值的情况，它是许多数学问题的基础。
在解题过程中，有两个重要极限解题技巧，它们分别是夹逼定理和洛必达法则。
1. 夹逼定理夹逼定理，也称为夹挤准则，通常用于解决极限存在性和唯一性问题。
该定理的原理是：如果存在两个函数在某一点附近夹住一个待求极限函数，那么这个待求极限函数的极限也必须在相同的范围内。
夹逼定理的具体应用方式是：（1）先找到一个上界函数和较小的下界函数；（2）证明当自变量趋于无穷或趋近于某个特定值时，这两个函数都趋于相同的极值；（3）再用这两个函数夹住待求函数，证明它的极限也必须在两个函数的极值之间。
以下是一个夹逼定理的求解例子：先考虑如下无穷级数：$${\sum}_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$$通过比级数原型，我们已经得知该级数是收敛的。
现在我们使用夹逼定理证明该级数的和为2：而级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}}$是等比数列，它的总和是 2. 因此，$$0\leq{\sum}_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\leq{\sum}_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}}=2$$2. 洛必达法则洛必达法则是解决函数极限问题中的常用方法之一，通常用于解决不定式的极限问题。
该方法的原理是：如果一个函数的极限值不易确定，但它可以表示成两个导数之比的形式，那么这两个导数的极限必须存在，且该比的极限值等于两个导数的比值的极限值。
具体应用方式如下：（1）求出函数的导数；（2）将导数表达式分别表示成分子分母两个函数的形式；（4）如果分母函数的极限为0或发散，则寻找一种不同的解决方法；（5）利用极限值相等的洛必达法则，得出函数极限。
我们知道，当$x\to1$时，$x-1$趋于0。
因此，将式子重写为：$$\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$$抵消$x-1$后，我们得到：使用洛必达法则代替极限，我们必须求出分子和分母的导数：当$x\to1$时，$2x$趋近于2，因此该极限等于2。
利用夹逼准则求极限
利用夹逼准则求极限夹逼准则（或称夹逼定理）是微积分中常用的一种方法，用于求解函数极限问题。
夹逼准则通常用于解决一些函数极限不存在或无法直接求解的情况。
夹逼准则的核心思想是，如果一个函数f(x)在一些点x0的左侧（或右侧）始终小于等于另一个函数g(x)，并且这两个函数的极限都等于L，则当x趋近于x0时，函数f(x)的极限也等于L。
夹逼准则可以形式化地表示如下：设函数f(x)与g(x)定义在点x0附近的一些开区间上（除去x0），且满足对于任意的x，都有f(x)≤g(x)。
如果lim┬(x→x₀)f(x) = L ，lim┬(x→x₀)g(x) = L ，则lim┬(x→x₀)f(x) 也等于 L。
下面我们将利用夹逼准则来求解一个极限的例子。
例子：求极限lim┬(x→0)sin(x)/x。
我们知道 sin(x) 是一个周期函数，且当x≠0 时，有 -1 ≤ sin(x) ≤ 1 ，因此对于任意的 x ，都有 -1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x。
当 x 趋近于 0 时，-1/x 和 1/x 分别趋近于正无穷和负无穷，即lim┬(x→0)(-1/x) = -∞ ，lim┬(x→0)(1/x) = ∞。
根据夹逼准则，我们可以得到lim┬(x→0)sin(x)/x = 0。
解析：根据夹逼准则，我们首先找到两个函数 f(x) 和 g(x) ，使得对于任意的 x ，都有f(x) ≤ sin(x)/x ≤ g(x)。
我们可以取f(x)=-1/x和g(x)=1/x。
对于任意的 x ，有f(x) ≤ sin(x)/x ≤ g(x)。
即 -1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x ，当x≠0 时，该不等式恒成立。
然后我们再来看一下f(x)和g(x)的极限。
当 x 趋近于 0 时，-1/x 和 1/x 分别趋近于 -∞ 和∞ ，因此有lim┬(x→0)(-1/x) = -∞ ，lim┬(x→0)(1/x) = ∞。
考研数学：夹逼准则
考研数学：夹逼准则夹逼定理也称为迫敛性定理，分为函数和数列夹逼定理。
该定理不仅给出了判定数列及函数收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具。
数列的迫敛性设收敛数列{}n a ，都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且{}n b lim n n c a →∞=。
证明：任意的0ε>，由lim lim n n n n a b a →∞→∞==，分别存在正数1N 与2N ，使得当1n N >时有n a a ε-<，当2n N >时有n b a ε<+。
取{}012max ,,NN N N =，则当n N>时，n n n a c b ≤≤，n a a ε-<与n b a ε<+均成立，即有n n n a a c b a εε-<≤≤<+，从而有n c a ε-<，证毕。
函数的迫敛性设lim ()lim ()x x x x f x g x A→→==，且在某0(;)o U x δ'内有()()()f x h xg x ≤≤，则lim ()x x h x A →=。
证明：任意的0ε>，分别存在正数1δ与2δ，使得当010x x δ<-<时有()A f x ε-<，当020x x δ<-<时有()g x A ε<+。
取{}12min ,,N δδδ'=，则当00x x δ<-<时，()()()f x h x g x ≤≤，()A f x ε-<与()g x A ε<+均成立，即有()()()A f x h x g x A εε-<≤≤<+，从而有()h x A ε-<，所以0lim ()xxh x A →=。
夹逼准则即迫敛性的核心思想是放缩，在考研范围内主要用于判断数列的敛散性。
高等数学第一章第6节夹逼准则
x0 x0 2 x0 2 x0 x0 1 x0 x0 1
-2-
x
第六节
极限存
x x0
证
0,
lim g( x ) A, lim h( x ) A,
第 一 章 函 数 极 限 连 续
所以 1 , 2 0, 使当 0 | x x0 | 1 时, 恒有 | g( x ) A | 即 A g ( x ) A 当 0 | x x0 | 2 时, 恒有
- 16 -
x 0
解
1 x
令u(1 x)
1 x
limln u ln e 1
u e
例12
ln(1 x) lim 1. x 0 x ex 1 . 求 lim x 0 x
令 u e x 1
解
原式
u lim 1 u 0 ln(1 u )
ex 1 lim 1. x 0 x
第 一 章 函 数 极 限 连 续
1 n 1 x 1 n 1 (1 ) (1 ) (1 ) , n1 x n
由于 x n , 而
1 n 1 1 n 1 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x n n x n 1 n 1 n 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x n1 n1 n1
所以
第 一 章 函 数 极 限 连 续
sin x lim 1 x 0 x sin x sin( x ) sin t lim lim lim 1 x 0 x 0 t 0 x x t
2020考研数学：夹逼准则的推论
2020考研数学：夹逼准则的推论夹逼准则是高等数学里求极限的重要方法之一，适用于函数与数列极限的计算及反常积分的计算。
在考研数学中是要求考生重点掌握的一块内容，其考查方式多样，需要考生掌握关于夹逼准则的重点题型和基本的放缩技巧，同时也要会使用并证明夹逼准则的推论：无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，下面重点讲解该推论的证明及应用。
一、夹逼准则（函数）：如果（1）当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-⋃+时，()()();g x f x h x ≤≤（2）0lim ()x x g x A →=，0lim ()x x h x A →=，则0lim ()x x f x →存在，且等于A 。
此准则必须对所求极限的函数进行适当放大和缩小，且经放大和缩小得到的函数的极限易求且相等。
夹逼准则的关键在于，找两个极限值相同的函数()g x 和()h x ，使得()()()g x f x h x ≤≤。
二、夹逼准则的推论：无穷小量⨯有界量=无穷小量即0lim ()0x x f x →=，且当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-⋃+时，存在0M >，使得()g x M ≤，则0lim ()()0x x f x g x →=。
证明：由条件可得()()()f xg x M f x ≤即()()()()M f x f x g x M f x -≤≤因为0lim ()0x x f x →=，故()00lim ()lim ()0x x x x M f x M f x →→-==，由夹逼准则可得：0lim ()()0x x f x g x →=例：求极限201lim sin x x x→分析：由于0x →时，2x 为无穷小量，1sinx 的极限虽然不存在，但1sin 1x ≤，因此为有界量，根据推论可得该极限为0。
解：由于20lim 0x x →=，且1sin 1x≤，所以201lim sin 0x x x →=以上内容即为考研数学考试对夹逼准则部分的要求，以及考生应该达到的学习的程度。
考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点
考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点考研数学单侧极限和夹逼定理复习要点为什么会有单侧极限这种极限计算方法，是因为在x→∞，x→a包括x→+∞和x→-∞，x→a+和x→a-，而不同的趋近，极限趋近值也不相同，因此需要分别计算左右极限，根据极限的充要条件来判断极限是否存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢?第一：e∞,arctan∞,因为x趋近于+∞，e∞→+∞，arctan∞→π/2，x 趋近于-∞，e∞→0，arctan∞→-π/2;第二：绝对值;第三：分段函数在分段点处的极限。
有个这几条我们就可以在计算极限时知道什么情况下分左右极限计算，什么时候正常计算。
夹逼定理分为函数极限的夹逼定理和数列极限的夹逼定理。
要明确夹逼定理是将极限计算出来的方法，而不是用来判断极限是不是存在，以数列极限为例，即n→∞，yn→?，若存在N>0，当n>N时，找到xn，zn，且xn→A，zn→B，A≠B，则不能说明yn极限不存在，函数极限也是一样的。
这一点一定要注意，防止理解偏差。
单调有界收敛定理主要应用是解决数列极限计算问题，一般情况下，题目的类型是固定的，例如：已知X1=a,Xn=f(Xn-1)，n=1,2,.....，求数列{Xn}的极限。
当看到这种类型的题目，我们要先知道可以应用于单调有界收敛定理来证明，也就是要证明两点，第一：证明数列有界;第二：证明数列单调。
综合以上两点就可以依据该定理证明数列极限存在，再将Xn=f(Xn-1)两边同时取极限，即可以得到数列极限的值。
上述几种方法原理比较简单，但是需要同学们在做题目中多去总结，掌握其具体的解题思路，也要将知识点和不同类型的题目建立联系，拓宽自己的解题能力。
很多同学都会有这样的感觉，为什么我就是想不到这样解题呢?像这样的'问题在现阶段出现是正常的，因为我们要通过复习来解决问题，所以我们只要认真对待就可以了，首先接受这种方法，然后理解这种方法，最后看看这个解题思路跟题目中的哪个条件是紧密联系在一起的，弄清楚并记住，下次如果做题时遇到了这个条件，我们是不是就可以尝试的做做，时间久了自然而然的就有了自己的解题思路。
夹逼准则的推导
夹逼准则的推导
夹逼准则是一种常用的游戏战术，主要是通过夹击敌方棋子，进而控制棋盘。
推导夹逼准则需要考虑以下几个方面：
1. 判断夹击的效果。
夹击可以直接吃掉敌方棋子，也可以迫使
敌方棋子移动，进而掌控棋盘。
因此，在考虑夹击时，需要考虑对方棋子行动的可能性，以及夹击后自己的棋子是否能够占领更好的位置。
2. 考虑夹击的位置。
夹击的位置要尽可能靠近敌方棋子，以增
加夹击的效果。
同时，夹击的位置也要注意自己的棋子是否能够被对方反夹。
3. 避免夹击失误。
夹击是一种冒险的战术，容易出现失误。
因此，在夹击时需要考虑对方的反击，以及自己棋子的保护措施。
通过以上几个方面的考虑，可以推导出夹逼准则的具体应用方法。
在实际游戏中，可以灵活运用夹逼准则，以取得更好的胜利。
- 1 -。
高数夹逼定理
高数夹逼定理
高数夹逼定理是指：如果函数f(x)、g(x)和h(x)在区间[a,b]上满足
f(x)≤g(x)≤h(x)，并且lim{x→c}f(x) = lim{x→c}h(x) = L，则
lim{x→c}g(x)也存在且等于L。
简单来说，当一个函数在某处的极限不存在，但却可以通过夹逼定理确定它的极限。
这个定理在高等数学中应用广泛，特别是在极限计算方面。
比如说，我们要求lim{x→0}(sinx/x)。
这个函数在x=0时的极限并不存在，因为分母为0。
但是我们可以将它“夹”在两个函数之间，即cosx≤(sinx/x)≤1，当x趋近于0时，cosx和1都趋近于1，因此根据夹逼定理，(sinx/x)的极限也存在且等于1。
显然，夹逼定理的证明需要基于极限的定义和基本性质。
在实际运用时，我们需要找到一系列“夹”住目标函数的函数，并且能够证明它们的极限存在并相等。
总之，高数夹逼定理为我们提供了一种计算一些特定极限的方法，因而在高等数学中具有重要的地位。
夹逼定理的几何解释-概念解析以及定义
夹逼定理的几何解释-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述夹逼定理是数学中的一个重要定理，也是微积分中常用的一个概念。
该定理在数学推导和证明中具有重要作用，同时在几何中也有着重要的应用。
本文将对夹逼定理进行深入解释，特别是在几何中的具体应用和解释。
通过对夹逼定理的理论和实际应用进行详细的分析和论证，旨在帮助读者更好地理解夹逼定理的重要性和实际意义。
同时，也展望夹逼定理在未来的应用前景，探讨其在数学和几何研究中的潜在价值和意义。
通过本文的阐述，希望读者能够深入了解夹逼定理，并对其在数学和几何领域的应用有更深入的认识和理解。
1.2 文章结构文章结构：本文将分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将对夹逼定理进行概述，介绍文章的结构和目的。
在正文部分，将详细探讨夹逼定理的定义、在几何中的应用以及重点探讨夹逼定理的几何解释。
在结论部分，将总结夹逼定理的重要性，探讨其实际意义，并展望夹逼定理在未来的应用前景。
整篇文章将通过清晰的逻辑结构和丰富的案例分析，深入解读夹逼定理在几何中的重要性和应用价值。
1.3 目的:本文的主要目的是通过深入探讨夹逼定理在几何中的应用和几何解释，帮助读者更好地理解和应用夹逼定理。
在介绍夹逼定理的定义和在几何中的具体应用之后，我们将重点分析夹逼定理在几何中的几何解释，从而帮助读者更好地理解夹逼定理的几何意义和用途。
通过本文的阐述，读者将能够更深入地理解夹逼定理的重要性和实际意义，以及展望夹逼定理在未来的潜在应用。
希望本文能够帮助读者在数学和几何学科中更好地理解和应用夹逼定理。
2.正文2.1 夹逼定理的定义夹逼定理（也称作夹紧定理）是微积分中的一项重要定理，用于证明一个数列的极限。
具体来说，对于一个数列{an}，如果存在另外两个数列{bn} 和{cn}，并且对于所有的n，都满足不等式bn ≤an ≤cn，同时数列{bn} 和{cn} 的极限都为L，那么数列{an} 的极限也为L。
极限 定理
极限定理极限定理(也称为夹逼定理或夹逼准则)是微积分中的重要概念之一。
它帮助我们理解函数极限的行为，并在计算和证明数学问题时起到重要的作用。
本文将通过介绍极限定理的基本原理和一些常见的应用来解释这一概念。
首先，我们需要了解什么是极限。
在微积分中，极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值也以某种方式趋近于一个确定的值。
在数学符号中，我们通常用lim来表示极限。
例如，lim(x→0)表示当x趋近于0时的极限。
极限定理就是一系列用来计算和证明函数极限的工具。
其中最基本的定理之一是夹逼定理。
夹逼定理的思想是通过比较函数与上下界之间的关系来确定函数的极限。
夹逼定理可以用来计算一些不易处理或复杂的极限。
例如，考虑一下函数f(x) = x^2sin(1/x)。
当x趋近于0时，sin(1/x)的值在-1和1之间变动。
我们希望计算lim(x→0)f(x)。
直接计算不太容易，但我们可以利用夹逼定理。
首先，我们选择两个辅助函数g(x) = x^2和h(x) = -x^2，它们分别作为f(x)的上界和下界。
根据夹逼定理，如果对于所有x的值，f(x)一直介于g(x)和h(x)之间，且lim(x→0)g(x)和lim(x→0)h(x)同时存在，那么lim(x→0)f(x)也存在，并且与lim(x→0)g(x)和lim(x→0)h(x)相等。
通过计算可以得出，当x趋近于0时，g(x)和h(x)的极限均为0。
另外，我们可以看出，对于所有x的值，g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
因此，根据夹逼定理，我们可以得出lim(x→0)f(x) = 0。
夹逼定理的一个重要应用是计算无穷小量的极限。
无穷小量是指当x趋近于无穷大或负无穷大时，函数的取值逐渐趋近于零。
例如，考虑函数g(x) = sin(1/x)/x。
当x趋近于无穷大时，sin(1/x)的值在-1和1之间变动，而x越大，1/x就越接近于零。
我们希望计算lim(x→∞)g(x)。
高数求极限,夹逼定理与积分方法选择中,分子分母次数齐与不齐的判断
高数求极限,夹逼定理与积分方法选择中,分子分母次数齐与不齐的判断高等数学中求极限是相当重要的内容，其中夹逼定理及积分方法是求解极限的两种常用方法。
在具体操作过程中，我们还需要根据分子分母次数是否相同来判断应该采用哪种方法。
一、夹逼定理夹逼定理是一种经典的极限求解方法，它可以解决一些比较复杂的极限问题。
其实际意义是通过构造两个较容易确定极限的数列，来证明一个复杂的数列的极限值。
在具体应用夹逼定理时，我们需要注意以下几点：1.需要找到一个已知的数列，其极限值等于所求数列的极限值。
2.需要用一个已知数列的上界和下界来夹逼所求数列。
3.需要证明已知数列的上界和下界极限值是相等的。
四、需要证明所求数列一定夹在已知数列的上下界之间。
二、积分方法积分方法也是求解极限的一种重要方法，它的实质是将原来的极限转化为一个积分问题，然后通过积分计算得到极限值。
在具体操作过程中，我们需要注意以下几点：1.需要将极限转化为一个区间中函数的积分。
2.需要确定积分区间和被积函数的性质。
3.需要注意积分区间的边界值，避免积分不收敛。
三、分子分母次数齐与不齐的判断在确定采用何种方法求解极限时，我们还需要根据分子分母次数是否齐平衡来进行判断。
当分子分母次数齐平衡时，我们可以通过分子除以分母来简化表达式，然后再采用夹逼定理或积分方法来求解极限。
而当分子分母次数不齐平衡时，我们需要通过其他方法来求解，如泰勒展开、洛必达法则等。
综上所述，高等数学中求解极限的几种常用方法必须掌握，其中夹逼定理和积分方法是比较常用的求解极限方法。
在具体应用时，我们需要根据分子分母次数是否齐平衡来决定选择何种方法。
只有掌握了这些方法和技巧，我们才能更加轻松地解决高等数学中的极限问题。
考研数学夹逼准则
考研数学夹逼准则夹逼准则，也被称为夹逼定理，是高等数学中非常重要的一个定理。
它是求极限、证明不等式以及证明一些重要的数学定理中常用的重要方法之一夹逼准则的基本思想是：如果一个数列在一定条件下可以夹在两个数列之间，而这两个数列的极限相等，那么这个数列的极限也等于这两个数列的极限。
首先，来看一个数列的例子。
假设有一个数列 {an} ，如果对于所有的 n ，都有a ≤ an ≤ b ，且 lim a = lim b = L ，那么对于这个数列来说，它的极限也等于 L。
这个也可以表示为：lim an = L那么，这个夹逼准则其实就是将该数列夹在两个已知数列之间，通过已知数列的极限来推导出该数列的极限。
夹逼准则的应用非常广泛，不仅可以用于数列的极限求解，也可以用于函数极限的求解。
这里就以数列的极限为例来进行说明。
首先，假设存在数列 {an} ，数列 {bn} 和数列 {cn} ，满足以下条件：1. 对于所有的 n ，都有a ≤ an ≤ b ；2. 对于所有的 n ，都有 lim an = lim cn = L ；3. 存在正整数 N0 ，当n ≥ N0 时，有b ≤ bn ≤ c。
根据夹逼准则，我们可以得出结论：当n ≥ N0 时，有 lim an = L。
其实夹逼准则的推导也是非常直观的。
首先，由于对于所有的 n ，都有a ≤ an ≤ b ，我们有a ≤ lim an ≤ b。
也就是说，数列的极限一定被夹在 a 和 b 之间。
另外，由于对于所有的 n ，都有 lim an = lim cn = L ，我们有 L ≤ lim an ≤ L。
也就是说，数列的极限一定等于 L。
那么，结合上述两个结论，我们可以得到 lim an = L ，也就是数列的极限等于 L。
夹逼准则在数学证明中的应用非常广泛，特别是在求极限、证明不等式以及证明一些重要的数学定理中。
它是非常有用的一个方法，可以很有效地帮助我们解决一些复杂的问题。
夹逼定理适用条件
夹逼定理适用条件夹逼定理是微积分中的重要定理之一，它常用于求解极限问题，被广泛应用于实际问题的数学建模和物理学等领域。
本文将介绍夹逼定理的概念、适用条件以及具体的应用实例。
一、夹逼定理的概念夹逼定理又称为挤压定理、夹缝定理等，是用来确定一个无穷小量的极限值的常用方法。
它具有非常普适的适用范围，是求解许多极限问题的重要工具。
夹逼定理的基本思想是用两个已知的函数逐步夹住待求解的函数，以求解出待求解函数的极限值。
在实际应用中，夹逼定理的常见形式为“设函数f(x)、g(x)、h(x)满足f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，且f(x)和h(x)的极限值均为L，则当x趋于a时，g(x)的极限值也是L。
”夹逼定理的适用条件分为三个方面，即夹逼定理的条件、夹逼数列的条件和夹逼函数的条件。
1.三个函数的自变量相同，即存在一个数集{x}，使得f(x)、g(x)和h(x)的值都可以表示为{x}中的某些元素；2.对于{x}中任意一个元素，f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)都成立；3.在x = a的某个去心邻域内，f(x)、g(x)和h(x)都有定义。
（二）夹逼数列的条件1.数列{a(n)}、{b(n)}、{c(n)}满足a(n) ≤ b(n) ≤ c(n)对所有n都成立；2.当n趋近于正无穷时，a(n)和c(n)的极限值都为L，即lim a(n) = lim c(n) = L；3.存在正整数N，使得当n>N时，a(n) ≤ x ≤ c(n)都成立。
1.对于x在某个去心邻域内的所有取值，都满足f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)；2.当x趋近于a时，f(x)和h(x)的极限值均为L。
三、夹逼定理的应用实例实例1：求解sinx/x的极限这里我们用夹逼定理来求解sinx/x的极限。
我们可以将(x/2)cosx表示为夹逼函数的形式，即-x/2 ≤ (x/2)cosx ≤ x/2。
我们知道当x趋近于0时，-x/2和x/2的极限值都为0。
夹逼定理运用
夹逼定理运用夹逼定理（Squeeze theorem）是一种常用的极限求解方法，它可以用于证明一个函数在某一点的极限值。
其基本思想是，当一个函数在某一点附近夹在两个函数之间时，如果这两个函数的极限值相等，那么夹在中间的函数的极限值也必须等于它们的极限值。
具体来说，设函数f(x)、g(x)和h(x)在某一点x=a附近夹逼，即对于任意正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有：f(x) ≥g(x) ≥h(x) -ε则有：lim(x->a) f(x) = lim(x->a) g(x) = lim(x->a) h(x)这就是夹逼定理的基本结论。
夹逼定理的运用非常广泛，下面列举几个例子：1. 证明一个数列的极限存在：假设存在数列{a_n}，且对于任意正数ε，存在正整数N，使得当n,m>N时，有|a_n -a_m| < ε。
那么根据夹逼定理，数列{a_n}的极限存在，且等于a。
2. 证明一个函数的极限存在：假设存在函数f(x)，且对于任意正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x) - L| < ε。
那么根据夹逼定理，函数f(x)在x=a处的极限存在，且等于L。
3. 证明一个函数的导数存在：假设存在函数f(x)，且对于任意正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x+h) - f(x)| < εh，其中h是一个足够小的正数。
那么根据夹逼定理，函数f(x)在x=a处的导数存在，且等于L。
夹逼定理的应用非常广泛，可以用于证明极限、函数的导数、函数的连续性等问题。
在使用夹逼定理时，需要注意夹逼定理的前提条件，即夹逼定理要求存在两个函数，它们在某一点的极限相等，且夹在中间的函数的极限也等于它们的极限。
夹逼定理
第六节 夹逼定理 无穷小的比较一． 夹逼定理定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )。
（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。
则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧a U 内（或X x ≥时） 满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。
（2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞→)(lim ，A x h x =∞→)(lim ）。
则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞→)(lim ）。
注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。
（2） 定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )，结论仍然成立。
例1： 求下列极限（1）n n n 11lim +∞→ （2）)1...2111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 二．两个重要极限（1）1sin lim 0=→xx x 。
（2）e x x x =+∞→)11(lim ，（e x x x =+→10)1(lim ，e n n n =+∞→)11(lim ）。
例2：求下列极限（1） x x x tan lim 0→ （2） 30sin tan lim xx x x -→ （3）203cos cos lim x x x x -→ 例3：求下列极限（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 212)2(lim -→x x x （3）x x x x )55(lim -+∞→三． 无穷小的比较在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。
夹逼定理：一个数学分析中的神奇工具
夹逼定理：一个数学分析中的神奇工具数学分析是高等数学的基础和核心，它主要研究函数、极限、微积分等概念。
在数学分析中，有一个非常重要而又有趣的定理，叫做夹逼定理（英文：Squeeze Theorem、Sandwich Theorem），也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、迫敛定理、三明治定理。
这个定理由法国数学家、物理学家拉格朗日于1835年提出，它可以用来求解一些看似复杂或难以直接计算的极限问题。
夹逼定理的内容如下：一个函数（设它为f）被夹在另外两个函数（设它们分别为g和h，其中g≤h）之间，即g≤f≤h。
如果当自变量x趋于某个值a时，g和h都趋于同一个值A，则f也必然趋于A。
用数学符号表示就是：如果g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim_{x→a} g(x)=lim_{x→a} h(x)=A，则lim_{x→a} f(x)=A这个定理的直观意义就是：如果你大哥和你弟弟是同一天出生的，那么可以证明你们仨是三胞胎，你也是那天出生的！夹逼定理有什么用呢？它可以帮助我们求解一些看似复杂或难以直接计算的极限问题。
例如：1.求lim_{n→∞} (1+1/n)^n 的值。
这个极限问题很经典，它其实就是自然对数e的定义之一。
但如果直接用定义来计算它，会非常麻烦。
我们可以利用夹逼定理来简化计算过程。
首先我们观察到(1+1/n)^n 是一个单调增加的函数（因为当n增大时，括号内大于1的部分增大），而(1+1/(n+1))^(n+1) 是一个单调减少的函数（因为当n增大时，括号内小于1的部分减小）。
所以对任意正整数n都有：(1+1/n)^n ≤ (1+1/(n+1))^(n+1)同时我们还知道当n趋于无穷大时，lim_{n→∞} (1+1/n)^n = lim_{n→∞} (1+1/(n+1))^(n+1)因为两者只相差了一个无穷小量。
所以根据夹逼定理，我们可以找到一个介于两者之间且易于计算极限的函数f(n)，使得(1+1/n)^n ≤ f(n) ≤ ( 0.5 + 0.5 * sqrt(4 + 4 / n) ) ^ n其中最后一项是利用二次方程求根公式得到的，并且可以证明当n 趋近无穷大时lim_{n→∞} ( 0.5 + 0.5 * sqrt(4 + 4 / n) ) ^ n = e 因此我们得到lim_{n→∞} (1+1/n)^n = e这就是夹逼定理的一个应用例子。
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考研数学：夹逼准则的推论
夹逼准则是高等数学里求极限的重要方法之一，适用于函数与数列极限的计算及反常积分的计算。
在考研数学中是要求考生重点掌握的一块内容，其考查方式多样，需要考生掌握关于夹逼准则的重点题型和基本的放缩技巧，同时也要会使用并证明夹逼准则的推论：无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，下面重点讲解该推论的证明及应用。
一、夹逼准则（函数）：如果
（1）当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-⋃+时，
()()();
g x f x h x ≤≤（2）0lim ()x x g x A →=，0lim ()x x h x A →=，则0
lim ()x x f x →存在，且等于A 。
此准则必须对所求极限的函数进行适当放大和缩小，且经放大和缩小得到的函数的极限易求且相等。
夹逼准则的关键在于，找两个极限值相同的函数()g x 和()h x ，使得()()()g x f x h x ≤
≤。
二、夹逼准则的推论：无穷小量⨯有界量=无穷小量
即0lim ()0x x f x →=，且当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-⋃+时，存在0M >，使得()g x M ≤，则
0lim ()()0x x f x g x →=。
证明：由条件可得
()()()
f x
g x M f x ≤即()()()()M
f x f x
g x M f x -≤≤因为0lim ()0x x f x →=，故0
0lim ()lim ()0x x x x M f x M f x →→-==，由夹逼准则可得0lim ()()0
x x f x g x →=例：求极限201lim sin x x x
→分析：由于0x →时，2x 为无穷小量，1sin
x 的极限虽然不存在，但1sin 1x ≤，因此为有界量，根据推论可得该极限为0。
解：由于20lim 0x x →=，且1sin 1x ≤，所以201lim sin 0x x x →=。