考研数学：夹逼准则的推论

考研数学：夹逼准则的推论

夹逼准则是高等数学里求极限的重要方法之一，适用于函数与数列极限的计算及反常积分的计算。在考研数学中是要求考生重点掌握的一块内容，其考查方式多样，需要考生掌握关于夹逼准则的重点题型和基本的放缩技巧，同时也要会使用并证明夹逼准则的推论：无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，下面重点讲解该推论的证明及应用。

一、夹逼准则（函数）：如果

（1）当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-⋃+时，

()()();

g x f x h x ≤≤（2）0lim ()x x g x A →=，0lim ()x x h x A →=，则0

lim ()x x f x →存在，且等于A 。此准则必须对所求极限的函数进行适当放大和缩小，且经放大和缩小得到的函数的极限易求且相等。夹逼准则的关键在于，找两个极限值相同的函数()g x 和()h x ，使得()()()g x f x h x ≤

≤。二、夹逼准则的推论：无穷小量⨯有界量=无穷小量

即0lim ()0x x f x →=，且当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-⋃+时，存在0M >，使得()g x M ≤，则

0lim ()()0x x f x g x →=。证明：由条件可得

()()()

f x

g x M f x ≤即()()()()M

f x f x

g x M f x -≤≤因为0lim ()0x x f x →=，故0

0lim ()lim ()0x x x x M f x M f x →→-==，由夹逼准则可得0lim ()()0

x x f x g x →=例：求极限201lim sin x x x

→分析：由于0x →时，2x 为无穷小量，1sin

x 的极限虽然不存在，但1sin 1x ≤，因此为有界量，根据推论可得该极限为0。

解：由于20lim 0x x →=，且1sin 1x ≤，所以201lim sin 0x x x →=