第九章 相关与简单线性回归分析
生物统计学习题答案第九章
生物统计学习题答案第九章第九章生物统计学习题答案第一节：描述统计学习题答案1. 样本的均值是样本观测值的算术平均数。
计算样本均值的方法是将所有观测值相加，然后除以样本的大小。
2. 样本的中位数是将样本观测值按照大小排序，然后找出中间位置的观测值。
如果样本的大小为奇数，中位数就是排序后的中间值；如果样本的大小为偶数，中位数就是排序后中间两个值的平均数。
3. 样本的众数是样本中出现次数最多的观测值。
一个样本可以有一个或多个众数，也可以没有众数。
4. 样本的范围是最大观测值与最小观测值之间的差异。
计算样本范围的方法是将最大观测值减去最小观测值。
5. 样本的方差是观测值与样本均值之间的差异的平方的平均数。
计算样本方差的方法是将每个观测值与样本均值之间的差异平方，然后将所有差异平方相加，最后除以样本的大小减一。
6. 样本的标准差是样本方差的平方根。
计算样本标准差的方法是将样本方差的结果开根号。
第二节：推断统计学习题答案1. 置信区间是用来估计总体参数的范围。
置信区间的计算方法是使用样本统计量和置信水平来计算。
2. 假设检验是用来判断总体参数是否等于某个特定值的方法。
假设检验的步骤包括建立原假设和备择假设、选择适当的检验统计量、计算观测值的p值、根据p值来判断是否拒绝原假设。
3. 单样本t检验是用来比较一个样本的均值与总体均值之间是否存在显著差异的方法。
单样本t检验的步骤包括建立原假设和备择假设、计算t值、计算p 值、根据p值来判断是否拒绝原假设。
4. 独立样本t检验是用来比较两个独立样本的均值是否存在显著差异的方法。
独立样本t检验的步骤包括建立原假设和备择假设、计算t值、计算p值、根据p值来判断是否拒绝原假设。
5. 配对样本t检验是用来比较同一组样本在两个不同时间点或条件下的均值是否存在显著差异的方法。
配对样本t检验的步骤包括建立原假设和备择假设、计算差异值、计算差异值的均值和标准差、计算t值、计算p值、根据p值来判断是否拒绝原假设。
第九章 SPSS的线性回归分析
第九章 SPSS的线性回归分析线性回归分析是一种常用的统计方法，用于探索自变量与因变量之间的线性关系。
在SPSS中，进行线性回归分析可以帮助研究者了解变量之间的关系，并预测因变量的数值。
本文将介绍如何在SPSS中进行线性回归分析，并解释如何解释结果。
一、数据准备。
在进行线性回归分析之前，首先需要准备好数据。
在SPSS中，数据通常以数据集的形式存在，可以通过导入外部文件或手动输入数据来创建数据集。
确保数据集中包含自变量和因变量的数值，并且数据的质量良好，没有缺失值或异常值。
二、进行线性回归分析。
在SPSS中进行线性回归分析非常简单。
首先打开SPSS软件，然后打开已经准备好的数据集。
接下来，依次点击“分析”-“回归”-“线性”，将自变量和因变量添加到相应的框中。
在“统计”选项中，可以选择输出各种统计信息，如残差分析、离群值检测等。
点击“确定”按钮后，SPSS会自动进行线性回归分析，并生成相应的结果报告。
三、解释结果。
线性回归分析的结果报告包括了各种统计信息和图表，需要仔细解释和分析。
以下是一些常见的统计信息和图表：1. 相关系数，线性回归分析的结果报告中通常包括了自变量和因变量之间的相关系数，用来衡量两个变量之间的线性关系强度。
相关系数的取值范围为-1到1，接近1表示两个变量呈正相关，接近-1表示呈负相关，接近0表示无相关。
2. 回归系数，回归系数用来衡量自变量对因变量的影响程度。
回归系数的符号表示自变量对因变量的影响方向，系数的大小表示影响程度。
在结果报告中，通常包括了回归系数的估计值、标准误、t值和显著性水平。
3. 残差分析，残差是因变量的观测值与回归方程预测值之间的差异，残差分析可以用来检验回归模型的拟合程度。
在结果报告中，通常包括了残差的分布图和正态概率图，用来检验残差是否符合正态分布。
4. 变量间关系图，在SPSS中，可以生成自变量和因变量之间的散点图和回归直线图，用来直观展示变量之间的线性关系。
9 第九章 回归与相关
估计。
一）、加权最小二乘估计 假定各观测值的权重为Wi，求解回归方 程就要使得以下加权后的残差平方和最小
ss残W Wi Yi aw bw X
2
bw
aW
WX WY WXY W l l WX WX W WY b WX Y b W
二、直线回归方程的求法 直线方程为： a为Y轴上的截距；b为斜率，表示X 每改变一个单位，Y的变化的值，称为回 归系数； 表示在X值处Y的总体均数 估计值。为求a和b两系数，根据数学上 的最小二乘法原理，可导出a和b的算式 如下：
例9-1 某地方病研究所调查了8名正常 儿童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表91。估计尿肌酐含量（Y）对其年龄（X） 的关系。
表14，rs界值表，P<0.01,故可认为当地居 民死因的构成和各种死因导致的潜在工作损 失年数WYPLL的构成呈正相关。 二、相同秩次较多时rs的校正 当X及Y中，相同秩次个数多时，宜用下式校 正
第四节
加权直线回归
在一些情况下，根据专业知识考虑 并结合实际数据，某些观察值对于估计 回归方程显得更“重要”，而有些不 “重要”，此时可以采用加权最小二乘
lYY的分析 如图9－4，p点的纵坐标被回归直线与均数 截成三个线段：
图9－4
平方和划分示意图
第一段 第二段
第三段
上述三段代数和为：
移项：
p点是散点图中任取一点，将所有的点子都
按上法处理，并将等式两端平方后再求和，
则有：
它们各自的自由度分别为： 可计算统计量F：
SS回 SS 残
2
F
回 残
表9-3某省1995年到1999年居民死因构成与WYPLL构成
第九章 相关分析
第九章 相关分析
( y y)2
=
( y yc )2
+
( yc y)2
由此可以推导出：
( y yc ) ( y y) ( yc y)
2 2
2
2
Lyy (a bx a b x) Lyy b ( x x)
2 2
Lyy b Lxx
表明两变量完全不相关。 （4）当计算相关系数的原始数据较多（如50项以 上）时，认为相关系数在0.3以下为无相关， 0.3以上为有相关；0.3-0.5为低度相关；0.5-0.8 为显著相关；0.8以上为高度相关。
9
第九章 相关分析
相关系数计算分析例题
生产费用
序 月产量 号 1 1.2 2 2.0 3 3.1 4 3.8 5 5.0 6 6.1 7 7.2 8 8.0 ∑ 36.4
2 2
x n y y
2
2
0.97
说明产量和生产费用之间存在高度正相关。
第九章 相关分析
第三节
回 归 分 析
一、回 归 分 析 的 意 义 回归分析是对具有相关关系的两个或两个以 上变量之间的数量变化的一般关系进行测定，确 立一个相应的数学表达式，以便从一个已知量来 推测另一个未知量，为估算预测提供一个重要的 方法。 二、回 归 的 种 类 按自变量的个数分 按回归线的形态分 一元回归 多元回归 线性回归 非线性回归
Lxx x b b y Lyy
y br r x
Lyy L21 xx
第九章 相关分析
五 回归分析与相关分析的特点
1、回归分析必须区分自变量和因变量，而相关 分析不必区分。 2、回归分析的两个变量一个是自变量，一个是 因变量，通过给定自变量的值来推算因变量 的可能值；而相关分析的两个变量都是随机 变量。 3、回归分析中对于因果关系不甚明确的两个变量， 可以建立两个回归方程；而相关分析只能计算 出一个相关系数。 4、一种回归方程只能做一种推算，即只能给出自 变量的值来推算因变量的值，不能逆推。
第九章 相关与回归分析
第9章相关与回归分析【教学内容】相关分析与回归分析是两种既有区别又有联系的统计分析方法。
本章阐述了相关关系的概念与特点;相关关系与函数关系的区别与联系;相关关系的种类;相关关系的测定方法(直线相关系数的含义、计算方法与运用);回归分析的概念与特点;回归直线方程的求解及其精确度的评价;估计标准误差的计算。
【教学目标】1、了解相关与回归分析的概念、特点和相关分析与回归分析的区别与联系；2、掌握相关分析的定性和定量分析方法；3、掌握回归模型的拟合方法、对回归方程拟合精度的测定和评价的方法。
【教学重、难点】1、相关分析与回归分析的概念、特点、区别与联系；2、相关与回归分析的有关计算公式和应用条件。
第一节相关分析的一般问题一、相关关系的概念与特点（一）相关关系的概念在自然界与人类社会中,许多现象之间是相互联系、相互制约的,表现在数量上也存在着一定的联系。
这种数量上的联系和关系究其实质,可以概括为两种不同类型,即函数关系与相关关系。
相关关系:是指现象之间客观存在的,在数量变化上受随机因素的影响,非确定性的相互依存关系。
例如,商品销售额与流通费用率之间的关系就是一种相关关系。
（二）相关关系的特点1、相关关系表现为数量相互依存关系。
2、相关关系在数量上表现为非确定性的相互依存关系。
二、相关关系的种类1、相关关系按变量的多少,可分为单相关和复相关2、相关关系从表现形态上划分,可分为直线相关和曲线相关3、相关关系从变动方向上划分,可分为正相关和负相关4、按相关的密切程度分,可分为完全相关、不完全相关和不相关三、相关分析的内容相关分析是对客观社会经济现象间存在的相关关系进行分析研究的一种统计方法。
其目的在于对现象间所存在的依存关系及其所表现出的规律性进行数量上的推断和认识,以便为回归分析提供依据。
相关分析的内容和程序是:(1)判别现象间有无相关关系(2)判定相关关系的表现形态和密切程度第二节相关关系的判断与分析一、相关关系的一般判断（一）定性分析对现象进行定性分析,就是根据现象之间的本质联系和质的规定性,运用理论知识、专业知识、实际经验来进行判断和分析。
第九章双变量线性回归与相关
1 ( X X )2 SYˆ SY .X n ( X X )2
当X
X时，SYˆ
SY X n
Syˆ 是 Yˆ 的标准误。
例 计算当X0=150时， yˆ 95%可信区间。 yˆ 的95%可信区间为：
（46.52, 51.75）Kg
其含义是：当身高为150cm时，15岁男童的体重
的总体均数为49.135kg（点值估计），95%可信区 间为：（46.52, 51.75）Kg （区间估计）。
男性：身高(cm)-105＝标准体重(kg) 女性：身高(cm)-100＝标准体重(kg)
北方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg) 南方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+48(kg)
回归与相关是研究变量之间相互关系的统计分 析方法，它是一类双变量或多变量统计分析方法 （本章主要介绍双变量分析方法），在实际之中有 着广泛的应用。
如年龄与体重、年龄与血压、身高与体重、体 重与肺活量、体重与体表面积、毒物剂量与动物死 亡率、污染物浓度与污染源距离等都要运用回归与 相关方法对资料进行统计分析。
变量之间的关系： （１）直线关系（线性 关系）； （２）曲线关系（非线 性关系）。 在回归与相关分析中， 直线回归与相关是最简单 的一种，是本章主要内容。
变量间的关系 函数关系： 确定的关系。 例如园周长与半径：y=2πr 。
回归关系：不确定的关系（随机的关系）。 例如血压和年龄的关系，称为直线 回归 (linear regression)。
北方人理想体重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg)
变量间的回归关系 由于生物间存在变异，故两相关变量之间的关 系具有某种不确定性，如同性别、同年龄的人，其 肺活量与体重有关，肺活量随体重的增加而增加， 但体重相同的人其肺活量并不一定相等。因此，散 点呈直线趋势，但并不是所有的散点均在同一条直 线上，肺活量与体重的关系与严格对应的函数关系 不同，它们之间是一种回归关系，称直线回归。这 种关系是用直线回归方程来定量描述。
第九章 回归分析(一元线性回归)(1)
将表中各对数据描在坐标平面上得图
数 据 和 拟 合 直 线
这样的图称为观测数据的散点图。 从图上可以看出，随着温度x的升高， 某化学过程的生产量y的平均值也在增加， 它们大致成一直线关系，但各点不完全在一 条直线上，这是由于y还受到其它一些随机 因素的影响。
温度 xi
为了研究某一化学反应过程中温度 x 对产
品得率 Y 的影响. 测得数据如下：
C 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
得率 yi %
为了研究这些数据所蕴藏的规律性， 将温度 x i 作 为横坐标，得率 y i 作为纵坐标, 在 xoy 坐标系中作 散点图 从图易见, 虽然这些点是散乱的, 但大体上散布在 某条直线附近, 即该化学反应过程中温度与产品
回归分析正是研究预报变量之变动对响 应变量之变动的影响程度，其目的在于根据 已知预报变量的变化来估计或预测响应变量 的变化情况。
“回归（regression）”名称的由
来：
回归名称的由来要归功于英国统计学F．高尔顿 （F．Galton：1822～1911），他把这种统计分析方法 应用于研究生物学的遗传问题，指出生物后代有回 复或回归到其上代原有特性的倾向。高尔顿和他的 学生、现代统计学的奠基者之一K．皮尔逊 （K．Pearson：1856～1936）在研究父母身高与其 子女身高的遗传问题时，在观察了1078对夫妇后， 以每对夫妇的平均身高作为x，取他们的一个成年儿 子的身高为y，将结果绘成散点图后发现成一条直线。 计算出回归方程为
统计学第九章 相关与回归分析
第九章相关与回归分析Ⅰ. 学习目的和要求本章所要学习的相关与回归分析是经济统计分析中最常重要的统计方法之一。
具体要求：1.掌握有关相关与回归分析的基本概念；2.掌握单相关系数的计算与检验的方法，理解标准的一元线性回归模型，能够对模型进行估计和检验并利用模型进行预测；3.理解标准的多元线性回归模型，掌握估计、检验的基本方法和预测的基本公式，理解复相关系数和偏相关系数及其与单相关系数的区别；4.了解常用的非线性函数的特点，掌握常用的非线性函数线性变换与估计方法，理解相关指数的意义；5.能够应用Excel软件进行相关与回归分析。
Ⅱ. 课程内容要点第一节相关与回归分析的基本概念一、函数关系与相关关系当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值与之相对应，这种关系称为确定性的函数关系。
当一个或几个相互联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但仍按某种规律在一定的范围内变化。
这种关系，称为具有不确定性的相关关系。
变量之间的函数关系和相关关系，在一定条件下是可以互相转化的。
116117二、相关关系的种类按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关。
按相关的方向可分为正相关和负相关。
按相关的形式可分为线性相关和非线性相关。
按所研究的变量多少可分为单相关、复相关和偏相关。
三、相关分析与回归分析相关分析是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。
回归分析是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。
通过相关与回归分析虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是无法准确地判断现象内在联系的有无，也无法单独以此来确定何种现象为因，何种现象为果。
只有以实质性科学理论为指导，并结合实际经验进行分析研究，才能正确判断事物的内在联系和因果关系。
四、相关图相关图又称散点图。
它是以直角坐标系的横轴代表变量X ，纵轴代表变量Y,将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用来反映两变量之间相关关系的图形。
第九章相关与简单线性回归分析
第九章相关与简单线性回归分析第一节相关与回归的基本概念一、变量间的相互关系现象之间存在的依存关系包括两种：确定性的函数关系和不确定性的统计关系，即相关关系。
二、相关关系的类型1、从相关关系涉及的变量数量来看：简单相关关系；多重相关或复相关。
2、从变量相关关系变化的方向看：正相关；负相关。
3、从变量相关的程度看：完全相关；不相关；不完全相关。
二、相关分析与回归分析概述相关分析就是用一个指标 (相关系数) 来表明现象间相互依存关系的性质和密切程度；回归分析是在相关关系的基础上进一步说明变量间相关关系的具体形式，可以从一个变量的变化去推测另一个变量的变化。
相关分析与回归分析的区别：目的不同：相关分析是用一定的数量指标度量变量间相互联系的方向和程度；回归分析是要寻求变量间联系的具体数学形式，要根据自变量的固定值去估计和预测因变量的值。
对变量的处理不同：相关分析不区分自变量和因变量，变量均视为随机变量；回归区分自变量和因变量，只有因变量是随机变量。
注意：相关和回归分析都是就现象的宏观规律/ 平均水平而言的。
第二节简单线性回归一、基本概念如果要研究两个数值型／定距变量之间的关系，以收入x 与存款额y 为例，对n 个人进行独立观测得到散点图，如果可以拟合一条穿过这一散点图的直线来描述收入如何影响存款，即简单线形回归。
二、回归方程在散点图中，对于每一个确定的x值，y的值不是唯一的，而是符合一定概率分布的随机变量。
如何判断两个变量之间存在相关关系？要看对应不同的x，y 的概率分布是否相同/y 的总体均值是否相等。
在x=xi 的条件下，yi 的均值记作E(yi) ，如果它是x 的函数，E(yi) =f(xi) ，即回归方程，就表示y 和x 之间存在相关关系，回归方程就是研究自变量不同取值时，因变量y的平均值的变化。
当y的平均值和x呈现线性关系时，称作线性回归方程，只有一个自变量就是一元线性回归方程。
—元线性回归方程表达式：E(yJ= a + B X i，其中a称为常数，B称为回归系数对于每一个真实的y ,其表达式为y i = a +B x+ £ i, yi是随机变量，「是随机误差，由于「的值不固定，从而使x和y呈现出不确定的关系。
回归分析与相关性检验方法
回归分析与相关性检验方法引言回归分析和相关性检验方法是统计学中常用的两种分析方法。
它们主要用于研究变量之间的关联程度和预测某一变量对其他变量的影响。
在实际应用中，回归分析和相关性检验方法具有广泛的应用领域，例如经济学、医学、社会科学等。
本文将对回归分析和相关性检验方法进行详细介绍，并给出相应的案例应用。
一、回归分析回归分析是一种统计学方法，用于研究因变量和一个或多个自变量之间关系的强度和方向。
回归分析有两种基本类型：简单线性回归和多元线性回归。
1. 简单线性回归简单线性回归是指当因变量和自变量之间存在一种线性关系时使用的回归分析方法。
简单线性回归的模型可以表示为：$y = \\beta_0 + \\beta_1x + \\epsilon$，其中y表示因变量，x表示自变量，$\\beta_0$和$\\beta_1$是回归系数，表示截距和斜率，$\\epsilon$表示误差项。
简单线性回归的关键是通过最小二乘法估计回归系数，然后进行显著性检验和模型拟合度的评估。
通过显著性检验可以确定回归系数是否显著不为零，进而得出自变量对因变量的影响是否显著。
2. 多元线性回归多元线性回归是指当因变量和多个自变量之间存在一种线性关系时使用的回归分析方法。
多元线性回归的模型可以表示为：$y = \\beta_0 + \\beta_1x_1 +\\beta_2x_2 + ... + \\beta_nx_n + \\epsilon$，其中y表示因变量，x1,x2,...,x n表示自变量，$\\beta_0, \\beta_1, \\beta_2, ..., \\beta_n$表示回归系数，$\\epsilon$表示误差项。
多元线性回归的关键也是通过最小二乘法估计回归系数，并进行显著性检验和模型拟合度的评估。
多元线性回归可以通过检验回归系数的显著性，判断各个自变量是否对因变量产生显著影响。
二、相关性检验方法相关性检验方法是用于检测变量之间关系的非参数统计学方法。
第九章 相关性系数
人均GDP和人均消费金额之间的相关系数为0.9938。
9-19
相关系数的性质 性质1（取值）： 1. r 的取值范围是 [-1,1] 2. |r|=1，为完全相关
r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负相关
3. 4. 5. 6.
r = 0，不存在线性相关关系 -1r<0，为负相关 0<r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系 越不密切
3. 因变量与自变量之间的关系用一个线性方 程来表示
9-30
回归模型
(regression model)
1. 回答“变量之间是什么样的关系？” 2. 方程中运用
1 个数值型因变量(响应变量)
被预测的变量
1 个或多个数值型或分类型自变量 (解释变量)
用于预测的变量
3. 主要用于预测和估计
9-31
一元线性回归模型
9-5
函数关系
1. 是一一对应的确定关系 2. 变量 y 完全依赖于 x ， 称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自 变量，y 称为因变量 y 3. 各观测点落在一条线上
x
9-6
函数关系
(几个例子)
某种商品的销售额y与销售量x之间的关系 可表示为 y = px (p 为单价)
atistics
第9章 相关与回归分析
9
通过本章的学习，我们应该知道： 1. 如何判别相关关系 2. 回归分析的基本假定 3. 一元线性回归分析的内容
9-4
第11章
学习目标
1. 2. 3. 4. 5. 6.
一元线性回归
相关系数与线性回归分析
相关系数与线性回归分析数据分析是现代社会中不可或缺的一部分，它帮助我们了解事物之间的相互关系。
在数据分析中，相关系数与线性回归分析是常用的统计工具，它们可以揭示变量之间的关联和预测未来的趋势。
本文将以深入浅出的方式介绍相关系数与线性回归分析的原理、应用和局限性。
相关系数是用来衡量两个变量之间的统计依赖性的指标。
它的取值范围从-1到1，其中0表示没有线性关系，1表示完全正相关，-1表示完全负相关。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
皮尔逊相关系数是用来衡量两个连续变量之间线性关系的强弱的指标。
它的计算公式为cov(X,Y)/(σX σY)，其中cov(X,Y)代表X和Y的协方差，σX和σY分别代表X和Y的标准差。
如果相关系数接近于1，则表示两个变量之间存在强正相关关系；如果接近于-1，则表示存在强负相关关系；如果接近于0，则表示两个变量之间没有线性关系。
斯皮尔曼等级相关系数是用来衡量两个有序变量之间的相关性的指标。
它通过将每个变量的原始值转换为等级值，并计算等级之间的差异来确定相关性。
斯皮尔曼等级相关系数的取值范围与皮尔逊相关系数相同，但它不要求变量之间呈现线性关系。
相关系数的应用非常广泛。
在金融领域中，相关系数可以用来衡量不同证券之间的关联性，帮助投资者构建更稳健的投资组合。
在医学研究中，相关系数可以用来分析不同变量对疾病风险的影响，为医生提供指导性建议。
在社会科学中，相关系数可以帮助研究者了解不同因素对人们态度和行为的影响，从而改善政策和社会管理的决策。
除了相关系数，线性回归分析也是一种常用的统计方法。
线性回归分析通过拟合一条直线来描述两个变量之间的关系，它的基本形式为Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示回归系数，ε表示误差项。
线性回归分析的目标是找到最佳拟合线，使得回归系数能够准确地预测Y的变化。
线性回归分析的应用广泛。
在市场营销中，线性回归分析可以帮助企业了解消费者购买意愿与价格、促销活动等因素之间的关系，从而制定更有效的营销策略。
简单线性回归分析
注意：对于服从双变量正态分布的同样一组资料，若 同时做了相关分析和回归分析，则相关系数的 t 检验 与回归系数的 t 检验等价，且 t r = t b 。
3. 总体回归系数的区间估计：
b ± tα / 2,υ S b
0.1584±2.074×0.0246=（0.1074，0.2095）
（三）线性回归分析的前提条件： LINE
1.回归模型的方差分析:
总变异的分解：
Y P
ˆ Y −Y
Y −Y
ˆ Y −Y
Y
Y
X
图10-3
Y的总变异分解示意图
ˆ − Y )2 + ∑ (Y − Y )2 ˆ ∑ (Y − Y ) = ∑ (Y
2
SS 总 = SS 回归 + SS 残差
ν总 = n −1
ν 回归 = 1
ν 残差 = n − 2
X1 )
X2)
22.5 21.5 28.5 26.0 35.0 20.0 23.0 24.8 23.3 27.0 26.0 28.0
X3)
69 79 59 73 92 83 57 67 83 65 58 68
X4)
2.00 2.40 3.00 1.00 2.80 1.45 1.50 1.50 0.90 0.65 1.83 2.00
1. 线性（linear）：反应变量与自变量的呈线
性变化趋势。
2. 独立性（independence）：任意两个观察值
相互独立，一个个体的取值不受其他个体的 影响。
前提条件（续）：
3. 正态性（normal distribution）：在给定
值X时，Y的取值服从正态分布
4. 等方差性（equal variance）: 对应于不
回归分析与相关分析联系区别
回归分析与相关分析联系、区别简单线性回归分析是对两个具有线性关系的变量,研究其相关性,配合线性回归方程,并根据自变量的变动来推算和预测因变量平均发展趋势的方法;回归分析Regression analysis通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化;主要内容和步骤：首先依据经济学理论并且通过对问题的分析判断,将变量分为自变量和因变量,一般情况下,自变量表示原因,因变量表示结果；其次,设法找出合适的数学方程式即回归模型描述变量间的关系；接着要估计模型的参数,得出样本回归方程；由于涉及到的变量具有不确定性,接着还要对回归模型进行统计检验,计量经济学检验、预测检验；当所有检验通过后,就可以应用回归模型了;回归的种类回归按照自变量的个数划分为一元回归和多元回归;只有一个自变量的回归叫一元回归,有两个或两个以上自变量的回归叫多元回归;按照回归曲线的形态划分,有线性直线回归和非线性曲线回归;相关分析与回归分析的关系一相关分析与回归分析的联系相关分析是回归分析的基础和前提,回归分析则是相关分析的深入和继续;相关分析需要依靠回归分析来表现变量之间数量相关的具体形式,而回归分析则需要依靠相关分析来表现变量之间数量变化的相关程度;只有当变量之间存在高度相关时,进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义;如果在没有对变量之间是否相关以及相关方向和程度做出正确判断之前,就进行回归分析,很容易造成“虚假回归”;与此同时,相关分析只研究变量之间相关的方向和程度,不能推断变量之间相互关系的具体形式,也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况,因此,在具体应用过程中,只有把相关分析和回归分析结合起来,才能达到研究和分析的目的;二相关分析与回归分析的区别1．相关分析中涉及的变量不存在自变量和因变量的划分问题,变量之间的关系是对等的；而在回归分析中,则必须根据研究对象的性质和研究分析的目的,对变量进行自变量和因变量的划分;因此,在回归分析中,变量之间的关系是不对等的;2．在相关分析中所有的变量都必须是随机变量；而在回归分析中,自变量是确定的,因变量才是随机的,即将自变量的给定值代入回归方程后,所得到的因变量的估计值不是唯一确定的,而会表现出一定的随机波动性;3．相关分析主要是通过一个指标即相关系数来反映变量之间相关程度的大小,由于变量之间是对等的,因此相关系数是唯一确定的;而在回归分析中,对于互为因果的两个变量如人的身高与体重,商品的价格与需求量,则有可能存在多个回归方程;需要指出的是,变量之间是否存在“真实相关”,是由变量之间的内在联系所决定的;相关分析和回归分析只是定量分析的手段,通过相关分析和回归分析,虽然可以从数量上反映变量之间的联系形式及其密切程度,但是无法准确判断变量之间内在联系的存在与否,也无法判断变量之间的因果关系;因此,在具体应用过程中,一定要注意把定性分析和定量分析结合起来,在定性分析的基础上展开定量分析;。
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第九章相关与简单线性回归分析第一节相关与回归的基本概念一、变量间的相互关系现象之间存在的依存关系包括两种：确定性的函数关系和不确定性的统计关系，即相关关系。
二、相关关系的类型1、从相关关系涉及的变量数量来看：简单相关关系；多重相关或复相关。
2、从变量相关关系变化的方向看：正相关；负相关。
3、从变量相关的程度看：完全相关；不相关；不完全相关。
二、相关分析与回归分析概述相关分析就是用一个指标（相关系数）来表明现象间相互依存关系的性质和密切程度；回归分析是在相关关系的基础上进一步说明变量间相关关系的具体形式，可以从一个变量的变化去推测另一个变量的变化。
相关分析与回归分析的区别：目的不同：相关分析是用一定的数量指标度量变量间相互联系的方向和程度；回归分析是要寻求变量间联系的具体数学形式，要根据自变量的固定值去估计和预测因变量的值。
对变量的处理不同：相关分析不区分自变量和因变量，变量均视为随机变量；回归区分自变量和因变量，只有因变量是随机变量。
注意：相关和回归分析都是就现象的宏观规律/平均水平而言的。
第二节简单线性回归一、基本概念如果要研究两个数值型／定距变量之间的关系，以收入x与存款额y为例，对n个人进行独立观测得到散点图，如果可以拟合一条穿过这一散点图的直线来描述收入如何影响存款，即简单线形回归。
二、回归方程在散点图中，对于每一个确定的x值，y的值不是唯一的，而是符合一定概率分布的随机变量。
如何判断两个变量之间存在相关关系？要看对应不同的x，y的概率分布是否相同/y的总体均值是否相等。
在x=xi的条件下，yi的均值记作E(yi)，如果它是x的函数，E(yi) =f(xi)，即回归方程，就表示y和x之间存在相关关系，回归方程就是研究自变量不同取值时，因变量y的平均值的变化。
当y的平均值和x呈现线性关系时，称作线性回归方程，只有一个自变量就是一元线性回归方程。
一元线性回归方程表达式：E(yi )= α+βxi，其中α称为常数，β称为回归系数。
对于每一个真实的y i ，其表达式为y i =α+βx+εi ，yi 是随机变量，εi 是随机误差，由于εi 的值不固定，从而使x 和y 呈现出不确定的关系。
三、回归方程的建立与最小二乘法回归方程中描述的是总体关系，总体不知道的情况下，只能通过样本来估计总体，即通过样本的散点图来估计总体回归直线的系数α和β。
如何根据样本散点图拟合出一条最佳的估计直线？使用最小二乘法。
设从总体中抽取一个样本，观测值为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…(x n ,y n )，穿过这n 个观测点可以得到无数直线y=a+bx ，最佳直线就是与各个点都比较接近的这条直线，即各点到该直线的铅直距离即偏差之和最小，但偏差有正有负会抵消，需要对所有偏差求平方和，使得∑(yi-ŷ)2最小，即最小二乘法原理。
根据最小二乘法准则拟合的回归方程记作ŷ= a+bx 。
根据最小二乘法原理可推导出b=121()()()ni ni xi x yi y xi x ==---∑∑，a=y bx -为了便于计算，也可将上述公式分解为：b=22()i i i i i i n x y x y n x x --∑∑∑∑∑由此通过最小二乘法所确定的a 、b 带入待估计的直线方程式得到ŷ=a+bx 就是总体线性回归方程E(y i )= α+βx i 的最佳估计方程。
斜率b 的意义：x 发生一个单位的变化时，y 相应发生的变化量。
第三节 回归方程的假定和检验一、回归方程的基本假定对于总体线性回归方程E(y i )= α+βx i ，需要作出一些基本假定： A 、对于x 的每一个取值xi ，yi 是随机变量/y 的子总体，所有yi 的方差相等。
B 、所有yi 的均值都在一条直线上，其数学表达式为E(y i )= α+βx i ，由于α和β对于所有子总体yi 都是一样的，所以α和β是总体参数。
C 、随机变量yi 是统计独立的。
这三个假定可以写为：随机变量yi 在统计上是相互独立的，它们的均值=E(y i )= α+βx i ，方差=σ2。
D 、出于假设检验需要，还要求y 的每一个子总体yi 都满足正态分布。
综合回归分析中估计和检验的两方面需要，对总体数据结构有如下假定：y 1= α+βx 1+ε1，y 2= α+βx 2+ε2，……y n = α+βx n +εn ，其中，ε1，ε2….εn 是随机变量，相互独立，且都服从相同正态分布N(0, σ2)二、回归方程的检验在拟合回归直线前，需要对总体变量之间是否存在线形关系进行检验，否则拟合回归直线是没有意义的。
1、作出假设H 0：β=0 ； H 1：β≠0类似于方差分析，β=0意味着各总体均值相等，说明x 和y 之间没有关系，β≠0意味各总体均值不等，说明x 和y 之间有线性关系。
所以可理解为检验各总体均值是否相等，类似方差分析的检验。
2、计算检验统计量 （1）计算偏差平方和总偏差平方和TSS= 21()ni yi y =-∑，反映了观测值yi 围绕均值y 总的离散程度。
剩余平方和RSS= 1(ni yi =-∑ŷi )2，反映了观测值yi 偏离回归直线ŷi 的离散程度，是通过回归直线进行估计之后，仍然未能消除/未被解释的误差，也称残差平方和，说明了除x 对y 的线性影响外，还存在其他未被考虑的因素。
由于(yi-y )可以分解为(yi-ŷ)+(ŷ-y )，所以TSS 可分解为RSS +RSSR 。
回归平方和RSSR=1(ni =∑ŷi-y )2，表示通过回归直线被解释掉的误差。
（2）计算检验统计量计算均方：TSS 的自由度为n-1，RSS 的自由度为1(ŷi 始终是同一个值)，RSSR 的自由度为n-2。
所以F=/(2)RSSRRSS n -~F(1，n-2)在显著性水平α的情况下，如果F ＞F α，则拒绝原假设，即总体存在线性相关；反之，如果F ＜F α，则不能拒绝原假设，就没有必要拟合回归直线了。
F 的意义：RSSR 大于RSS ，说明了引入回归直线后能够解释掉的误差大，反映了回归直线是有较强意义的。
第四节 拟合优度和相关系数一、决定系数与相关系数TSS 表示总离差平方和，RSSR 表示通过回归直线被解释掉的误差，RSS 表示回归直线未能作出解释的离差平方和。
如果回归直线对样本观测点拟合得越好，那么各样本观测点与回归直线靠得越近（RSS 越小），由样本回归直线作出解释的离差平方和在总离差平方和中的比重也将越大。
反之，拟和程度越差，RSSR 占TSS 的比重越小。
RSSR/TSS 就是综合度量回归直线对样本观测值拟和优度的指标，也称决定系数/判定系数，用r 2表示。
r 2=1(n i =∑ŷi-y )2/21()ni yi y =-∑也可利用消减误差比例原理PRE=(E 1-E 2)/E 1来解释。
r 2=1(ni =∑ŷi-y )2/21()ni yi y =-∑可化简为：r 2=222(()())()()xi x yi y xi x yi y ----∑∑∑（在SPSS 中显示为R Square ）r 为简单线性相关系数／皮尔逊相关系数，取值范围由0到1。
r 2是就回归模型而言，度量回归模型拟和优度；r 是就两个变量而言，说明两变量间的依存内程度；r 2是非负数，r 可正可负。
二、协方差r =()()xi x yi y -- =()()/(1)xi x yi y n ---Var(X)是变量X 的方差，Var(Y)是变量Y 的方差，Cov （X,Y ）是变量X 和Y 的协方差。
将变量x 和y 的数值对标在坐标图上，计算x 和y 的均值x 和y ，把坐标轴移到x 和y ，得到新坐标轴，观测值变为：(x 1-x ),(x 2-x ),……(x n -x ) (y 1-y ),(y 2-y ),……(y n -y )每对数据的乘积：(x 1-x )(y 1-y ); (x 2-x )(y 2-y ),……(x n -x )(y n -y ) 如果数据观测值落在第一或第三象限，乘积(x i -x )(y i -y )为正；如果数据观测值落在第二或第四象限，乘积(xi-x)(y i-y)为负。
如果x和y之间呈线性相关，观测点会集中在第一三象限或第二四象限；如果均匀落在四个象限，乘积之和为零。
线性相关的程度可以用协方差表示，等于零表示观测点均匀散落在四个象限，不存在线性相关；不等于零表示存在线性相关，大于零正相关，小于零负相关。
协方差绝对值越大，相关程度越强。
单变量方差公式表示变量各观测值相对其平均值的平均偏差，所以协方差表示x和y两变量观测值相对其各自均值所造成的共同平均偏差。
第五节相关系数与回归系数的检验一、相关系数和回归系数的检验１、相关系数r的检验：H：ρ=0 ； H1：ρ≠0检验统计量为，为简化计算，可使用相关系数检验表根据自由度和给定的α来反查临界相关系数。
将计算出的样本r值与临界相关系数r α进行比较，若∣r∣≥rα，则y和x之间存在线性相关关系，r在显著性水平α下显著；若∣r∣＜rα，y和x不存在线性相关关系，r在显著性水平α下不显著。
２、回归系数β的检验对回归系数的检验H0：β=0；H1：β≠0就是要确认线性回归方程是有意义的，β=0意味之间不存在线性相关关系。
所以，H：ρ=0和H0：β=0是等价的。
如果r通过了检验，也必然会导致β通过Ｆ检验。
二、相关系数与回归系数的比较回归系数反映自变量的增量和因变量增量之间的关系。
相关系数反映了真实数据和回归直线靠拢的程度。
相同回归系数可有不同的相关系数，相同的相关系数可有不同的回归系数。
补充说明：不能脱离样本量来判断相关程度。
在回归分析或相关分析中，即使检验的结果是ρ≠0或β≠0也不能得出X 与Y之间存在因果关系的结论。
因为严格的因果关系研究需要进行有对照组的随机试验，即使不能进行对照组试验，也要对观测数据进行多元回归分析才可能部分地控制外来影响，近似分析出可能的因果关系。