线性代数 矩阵定义和基本运算

不成立!
矩阵乘法的应用
例 前面线性方程组可以转化为矩
阵的一次方程求解问题. 令
⎛ a11
a12
A
=
⎜ ⎜
a21
a22
⎜⎝ am1
am2
得到矩阵形式
a1n ⎞
a2n
⎟ ⎟
amn ⎟⎠
X
=⎛⎜⎜xx12
⎞ ⎟ ⎟
⎜⎝xn⎟⎠
⎛b1 ⎞
b=⎜⎜b2
⎟ ⎟
⎜⎝bm⎟⎠
AX = b
方阵的正整数次幂
Ak = AA A
a 21
2
+a
13
+
a
a23
12
a 22
xx3aa3 与1233 ⎟⎟⎠⎞⎪⎩⎪⎨⎧
x1 x2 x3
= = =
b11t1 b21t1 b31t1
+ b12t2 + b22t2 + b32t2
⎧ ⎪
y 1
=
(a b 11 11
+a b 12 21
+
a b )t 13 31 1
+
⎪⎪ ⎨ ⎪
y2
=
(a b 11 12
2.对角阵
Λ
=
⎛ ⎜ ⎜⎝
a11
记： Λ = diag{a11, a22 ,
, ann}
0⎞ 0 ⎟⎟⎠
⎞ ⎟ ann ⎟⎠
3.数量阵
⎛k A = ⎜⎜⎝
记： A = diag{k , k ,
⎞ k ⎟⎟⎠ , k}
4.单位阵
⎛1
⎞
En = ⎜⎜⎝
1⎟⎟⎠
记： En = diag{1,1, ,1}
⎜0 1 2 2 1⎟
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
00 00
8 0
9 1
⎟ ⎟⎟⎠
⎜⎛ 1 0 0 0 0⎟⎞
⎜5 0 6 0 0⎟
⎜ ⎜⎜⎝
2 0
3 0
4 0
0 0
0 0
⎟ ⎟⎟⎠
⎜⎛ 4 4 3 2 1⎟⎞ ⎜1 2 3 0 0⎟ ⎜⎝ 1 0 0 0 0⎟⎠
它们是梯形阵吗? 不是!
请你记住梯形阵的特点,尊重梯形阵的定义.
它们统称为梯形阵
⎛ 1 0 0 0 0⎞
⎜ ⎜
−9
6
0
0
0
⎟ ⎟
⎜ 1 2 3 0 0⎟
⎜ ⎝
5
2
3
3
0
⎟ ⎠
⎜⎛1 2 3 4 5⎟⎞ ⎜0 0 7 8 0⎟ ⎜⎝0 0 0 0 0⎟⎠
上阶梯阵
下阶梯矩阵
⎜⎛ 0 0 0 0⎟⎞ ⎜1 0 0 0⎟ ⎜⎝ 2 2 0 0⎟⎠
⎜⎛ 5 7 0 12 3⎟⎞
若 f (x) = am xm + am−1xm−1 + a1x + a0 为 x的多项式
则 f ( A) = am Am + am−1Am−1 + a1A + a0En 为A的多项式
如果 g( A) = bs As + bs−1As−1 + b1A + b0En
显然 f ( A)g( A) = g( A) f ( A) ？
• 解 设原点O到P的距离|OP|=r, 由射线OX(即x
轴正方向) 到OP所成的角
则
|OP'|=|OP|=r, x=rcosθ, y=rsinθ.
• x'=rcos(θ+α)
•
=rcosθcosα-rsinθsinα
•
=xcosα-ysinα
• y'=rsin(θ+α)
•
=rcosθsinα+rsinθcosα
Bn
例
设
A
=
⎛1
⎜⎜⎝
2 3
⎞ ⎟⎟⎠
,B
=
⎛⎜⎝1
1 2
C 1
3
⎞ ⎟⎠
,
C
=
AB
求：
n
又如
⎡0 1 1 1⎤
A
=
⎢⎢1 ⎢0
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
,
⎢⎣1 0 1 0⎥⎦
⎡2 1 1 0⎤
1
4
A2 = ⎢⎢0 1 1 1⎥⎥ .
⎢1 0 0 0⎥
2
3
⎢⎣0 2 1 1⎥⎦
则 A2 表示从 i 市经一次中转到 j 市的单向航线的条数
⎜ ⎜
a 21
a 22
⎜⎜⎝ am1
a m2
a 1n
⎟⎞
a 2n
⎟
⎟
amn ⎟⎟⎠
简记为
A
=
(a ij
) m×n
脚标
列矩阵
(a a a )
11
12
1n
行矩阵
⎜⎛a11 ⎟⎞ ⎜a21⎟ ⎜⎟ ⎜⎜⎝am1 ⎟⎟⎠
⎜⎛ a11 a12
当m=n时，即矩阵 的行数与列数相同
An×n
=
⎜ ⎜
a 21
a 22
k = 1 A k = −1 − A 1A = A oA=O
k(lA) = (kl) A,(k + l) A = kA + lA,
k( A + B) = kA + kB
结论：矩阵与数的线性结构相似
矩阵的乘法
{y 1 y2
=a x +a x
11 1
12 2
=a x +a x
21
A
1
=
⎜⎜⎝⎛
a22 11
梯形阵是最常用的矩阵!
矩阵的运算
一、线性运算
1.相等:两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同 的行数与列数, 且对应元素相等.即
( ) ( ) = B = b A = a ij m × n
ij m×n
形式相同
( ) ( ) 例1 设
x+ y x− y
2z + w z−w
=
1 3
2 4
对应元素相等
a =b
a 12
a 22
a 13
a 23
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛
b11 b21 b31
⎜⎜⎝⎛
ab 11 11
ab 21 11
+ +
ab 12 21
ab 22 21
+ +
ab 13 31
ab 23 31
b12 ⎟⎞
b22 ⎟ b32 ⎟⎠
=
C
= (cij ) =
ab 11 12
ab 21 12
+ +
ab 12 22
ij
ij
求：x, y, z, w
2.加、减 法 设矩阵
( ) ( ) A =
a ij
与 B= b
m×n
ij m×n
定义
A + B = (aij + b )ij m×n A − B = (aij − b )ij m×n
( ) ( ) 负矩阵
A=
a ij m × n
的负矩阵为
−a ij m×n
( ) 记作 -A,即
出
B1 0 0 0
港C
0
0
0
1
D
1010
例2：一个煤矿、一个发电厂和一条铁路互相之间的消 耗可以用下面的数表表示：
煤矿
电厂
铁路
煤（煤矿）
0
0.6
0.5
电（电厂）
0.3
0.1
0.1
运费（铁路）
0.2
0.1
0
以上两个数表具有共同形式，把数抽出按照原来顺 序得到一个新的数学对象.
• 例3 线性方程组的系数表示
例
(A =
1 1
)0
1
,
f (x) =
x2 − 2x +1. 则
f ( A) = O.
矩阵的转置
⎜⎛ a11 a12
A
=
⎜ ⎜
a21
a22
⎜⎜⎝am1 am2
a1n ⎟⎞
⎜⎛a11 a21
a2n
⎟ ⎟
⎯转⎯⎯置→⎜⎜a12
a22
amn⎟⎟⎠
⎜⎜⎝a1n a2n
am1 ⎟⎞
am2
⎟ ⎟
=
AT
amn⎟⎟⎠
b⎤ ⎡1 2⎥⎦ ⎢⎣1
2⎤ −1⎥⎦ ,
即
⎡a + 6 ⎢⎣a − 3
b b
+ −
4⎤ 2⎥⎦
=
⎡a ⎢⎣
+ 5
b
2a − b⎤ 4 ⎥⎦ ,
⎧a + 6 = a + b,
亦即
⎪⎪b + 4 ⎨⎪a − 3
= =
2a − b, 5,
⎪⎩b − 2 = 4.
故 a=8,b=6.
方阵 An×n 的多项式
构成的矩阵.
可换矩阵
设 A、B 均为n阶方阵，若 AB = BA ，则称是可换的.
例设
A
=
⎡1 ⎢⎣1
2⎤ −1⎥⎦
,
B
=
⎡a ⎢⎣ 3
b⎤ 2⎥⎦ .
若矩阵 A与 B 可交换，求 a ,b 的值 . 解 由于 AB = BA ，即
⎡1 ⎢⎣1
2 ⎤ ⎡a −1⎥⎦ ⎢⎣3
b⎤ 2⎥⎦
=
⎡a ⎢⎣ 3
•
=xsinα+ycosα
•即
2. 二次曲线
• 例2 一般方程为
ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0
• 按 x，y，1 顺序可以写成矩阵形式
⎛a b d⎞
⎜⎜⎝
b d
c e
e f
⎟⎟⎠
几种特殊形式的矩阵
1.零阵
⎛0 Om×n = ⎜⎜⎝ 0
注： O1×2 ≠ O 2×3
(B + C) A = BA + CA 3.k( AB) = (kA)B = A(kB) 4.Em Am×n = A = A E m×n n
5.设A, B为同阶方阵,则
性质的证明: 定义，矩阵相等条件
请特别注意 性质5,如果 不是同阶方 阵结果不成 立.
AB = A B = B A = BA
A B m×n n×m = Am×n Bn×m 成立吗
5. 三角阵
上三角阵 下三角阵
⎛a11
a12
⎜ ⎜
a22
⎜⎝
⎜⎛
a 11
⎜ a21
a 22
⎜
⎜⎜⎝ an1
a n2
a1n ⎞
a2n
⎟ ⎟
ann ⎟⎠
⎟⎞
⎟
⎟
a nn
⎟⎟⎠
6. 梯形阵 设 A = (aij )m×n
若当i >j时(i<j)时,恒有 aij = 0
且各行中第一个（最后一个)非零元素前(后) 面零元素的个数随行数增大而增多(减少), 称为上(下)梯形矩阵. 简称为上(下)梯形阵.
⎟ 由m×n个数按一定的
amn
⎟⎟⎠
次序排成的m行n列的 矩形数表称为m×n矩 阵,简称矩阵.
横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的 列，m为行数，n为列数
a ij 为矩阵第i行j列的元素.
元素为实数的称为实矩 阵,我们只讨论实矩阵.
矩阵的表示：大写字母A、B、C等。例如
⎜⎛
a 11
a 12
A
=
A0 = E Ak+l = Ak Al
( AB)k ≠ Ak B k
问题
( AB)k
=
Ak Bk 成立的
条件?
如果 AB=BA 那么有关的因式分解成立 AB=BA
( A + B)2 = A2 + 2 AB + B2
( A + B)n = An + Cn1 An−1B +
C n−1 n
AB n −1
+
⎧
ax 11 1
+a x 12 2
+
⎪⎪ ⎨
ax 21 1
+
ax 22 2
+
⎪
⎪⎩a
m1
x 1
+
ax m2 2
+
+a x =b
1n n
1
+a x =b
2n n
2
+a x =b
mn n
m
系数排成一个矩形数表
⎜⎛ a11 a12 ⎜ a21 a22 ⎜ ⎜⎜⎝ am1 am2
a1n ⎟⎞
这就是 矩阵
a2n ⎟
例1：A
=
⎜⎜⎝⎛
1 −1
−11⎟⎟⎠⎞,
B
=
⎜⎜⎝⎛
1 −1
−11⎟⎟⎠⎞
AB = ⎜⎜⎝⎛
0 0
0 0
⎟⎟⎠⎞
=
O
BA
=
⎜⎜⎝⎛
2 −2
2 −2
⎟⎟⎠⎞
显然 AB ≠ BA
这正是 矩阵与 数的不同
例2：A
=
⎜⎜⎝⎛
2 −3
4 −6
⎟⎟⎠⎞,
B
=
⎜⎜⎝⎛
−1 2
−41⎟⎟⎠⎞,C = ⎜⎜⎝⎛11
−A= −a ij m×n
显然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)
A+O=O+A=A A+(-A)=(-A)+A=O
3.数乘运算
⎜⎛
ka 11
ka 12
kA =
⎜ ka21 ⎜
ka 22
⎜⎜⎝ kam1 kam2
ka 1n
⎟⎞
ka 2n
⎟
⎟
kamn ⎟⎟⎠
称为数与矩阵的乘法，简称为数乘。记作：kA
( a 21 b11
+a b 12 22
+ a22b21
+ a b )t 13 32 2
+ a b23 31 )t1
+
⎪⎪⎩
(a b21 12 + a b 22 22 + a23b32 )t2
B= ⎜⎛ b11 ⎜ b21 ⎜⎝ b31
b12 ⎟⎞ b22 ⎟ b32 ⎟⎠
⎜⎜⎝⎛
a 11
a 21
一般地，有
A = (aij )m×s
B
=
(b ij
) s×n
C = AB = (cij )m×n
⎜⎛b1j ⎟⎞
cij = (ai1 ai2
ais )
⎜b2j ⎟ ⎜⎟
⎜⎜⎝ bsj ⎟⎟⎠
∑ c = a b + a b + + a b ij
i1 1 j
i2 2 j
s
is sj = aikbkj
k =1
C = A B m×n
m×s s×n
如果 m＝1，n＝1时
AB= BA=
(a1, a2 ,
⎛b1 ⎞
⎜⎜b2
⎟ ⎟
(a1,
⎜⎝bs ⎟⎠
, a2 ,
as
)⎜⎜⎛bb12
⎜⎝bs
, as
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
)
s
∑ = aibi i =1
一个数， 一般不写为矩阵
=(cij )s×s S阶方阵
=biaj
几个例题
0 1
⎟⎟⎠⎞
AB
=
⎜⎜⎝⎛
6 −9
−46⎟⎟⎠⎞,
AC
=
⎜⎜⎝⎛
6 −9
−46⎟⎟⎠⎞ ⇒ AB = AC
但是 B ≠ C 请记住：
这又是 矩阵与 数的不同
1.矩阵乘法不满足交换率； 2.不满足消去率； 3.有非零的零因子。
1.( AB)C = A(BC) 2.A(B + C) = AB + AC
第一章：矩阵
1. 矩阵的概念 2. 矩阵的运算 3. 方阵的行列式及其性质 4. 初等变换与矩阵的秩 5. 初等矩阵与逆矩阵 6. 分块矩阵
第一章
1
矩阵的概念－－实际问题的表示
• 例1：四个城市A, B, C, D之间的航线如图
所示： A
B
C
D
通常可以用一个数表来表示上述航线情况：
进
港
A
B
C
D
A0 1 1 1
ab 22 22
+ +
ab 13 32
ab 23 32
⎟⎟⎠⎞
引入求和记号 ∑
n
∑ xi = x1 + x2 +
i =1
+ xn
mn
nm
∑ ∑ aij = ∑ ∑ aij
i=1 j=1
j=1 i=1
n
= ∑xj j =1
双重求和号 连写
可以交换顺序
则
3
∑ cij = aikbkj (i, j = 1, 2) k =1
时,称矩阵为方阵。
⎜⎜⎝ an1
a n2
源自文库
主对角线
a1n ⎟⎞
a 2n
⎟
⎟
a nn
⎟⎟⎠
矩阵的应用—方便表示
1. 坐标变换－－线性函数 例 1 在平面上建立直角坐标系. (1)将平面上每个点P绕原点 向逆时针方向旋转角α到点P'. 写出点P的坐标(x,y)与点P'的 坐标(x',y')之间的函数关系式.