2015年北京高考数学文科试题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文科)第一部分(选择题共40分)一㊁选择题:共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},则AɘB=()A.{x|-3<x<2}B.{x|-5<x<2}C.{x|-3<x<3}D.{x|-5<x<3}2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=23.下列函数中为偶函数的是()A.y=x2s i n xB.y=x2c o s xC.y=|l n x|D.y=2-x4.某校老年㊁中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90B.100C.180D.3005.执行如图所示的程序框图,输出的k值为()A.3B.4C.5D.6(第5题)(第7题)6.设a,b是非零向量. a㊃b=|a||b| 是 aʊb 的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1B.2C.3D.28.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注: 累计里程 指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为() A.6升B.8升C.10升 D.12升第二部分(非选择题共110分)二㊁填空题:共6小题,每小题5分,共30分.9.复数i(1+i)的实部为.10.2-3,312,l o g25三个数中最大的数是.11.在әA B C中,a=3,b=6,øA=2π3,则øB= .12.已知(2,0)是双曲线x2-y2b2=1(b>0)的一个焦点,则b= .13.如图,әA B C及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为.(第13题)14.高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩㊁数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示,甲㊁乙㊁丙为该班三位学生.(第14题)从这次考试成绩看,①在甲,乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是;②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是.三㊁解答题:共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=s i n x-23s i n2x2.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;[]上的最小值.(Ⅱ)求f(x)在区间0,2π316.(本小题满分13分)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{a n}的第几项相等?17.(本小题满分13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲㊁乙㊁丙㊁丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中 表示购买, ✕ 表示未购买.商品甲乙丙丁顾客人数100 ✕217✕ ✕200 ✕300 ✕ ✕85 ✕✕✕98✕ ✕✕(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(Ⅱ)估计顾客在甲㊁乙㊁丙㊁丁中同时购买3种商品的概率;(Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙㊁丙㊁丁中哪种商品的可能性最大?18.(本小题满分14分)如图,在三棱锥V-A B C中,平面V A Bʅ平面A B C,әV A B为等边三角形,A CʅB C且A C= B C=,O,M分别为A B,V A的中点.(Ⅰ)求证:V Bʊ平面M O C;(Ⅱ)求证:平面M O Cʅ平面V A B;(Ⅲ)求三棱锥V-A B C的体积.(第18题)19.(本小题满分13分)设函数f(x)=22-k l n x,k>0.(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,e]上仅有一个零点.20.(本小题满分14分)已知椭圆C:x2+3y2=3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线A E与直线x=3交于点M.(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)若A B垂直于x轴,求直线B M的斜率;(Ⅲ)试判断直线B M与直线D E的位置关系,并说明理由.。
2015年高考数学真题-北京卷(文)
绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(5分)若集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则A∩B=()A.{x|﹣3<x<2}B.{x|﹣5<x<2}C.{x|﹣3<x<3}D.{x|﹣5<x<3}2.(5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=23.(5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|lnx|D.y=2﹣x4.(5分)某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90B.100C.180D.3005.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的k值为()A.3B.4C.5D.66.(5分)设,是非零向量,“=||||”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1B.C.D.28.(5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升二、填空题9.(5分)复数i(1+i)的实部为.5三个数中最大数的是.10.(5分)2﹣3,,log211.(5分)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=.12.(5分)已知(2,0)是双曲线x2﹣=1(b>0)的一个焦点,则b=.13.(5分)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为.14.(5分)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是;②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是.三、解答题(共80分)15.(13分)已知函数f (x )=sin x ﹣2sin2.(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间[0,]上的最小值.16.(13分)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10,a 4﹣a 3=2(1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 2=a 3,b 3=a 7,问:b 6与数列{a n }的第几项相等?17.(13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?18.(14分)如图,在三棱锥V ﹣ABC 中,平面VAB ⊥平面ABC ,△VAB 为等边三角形,AC ⊥BC 且AC =BC =,O ,M 分别为AB ,VA 的中点.(1)求证:VB ∥平面MOC ;(2)求证:平面MOC ⊥平面VAB (3)求三棱锥V ﹣ABC 的体积.19.(13分)设函数f(x)=﹣klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.20.(14分)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.。
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2015年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(5分)若集合A={|﹣5<<2},B={|﹣3<<3},则A∩B=()A.{|﹣3<<2} B.{|﹣5<<2} C.{|﹣3<<3} D.{|﹣5<<3} 2.(5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A.(﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(+1)2+(y+1)2=1 C.(+1)2+(y+1)2=2 D.(﹣1)2+(y﹣1)2=23.(5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=2sin B.y=2cos C.y=|ln| D.y=2﹣4.(5分)某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为()5.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的值为()A.3 B.4 C.5 D.66.(5分)设,是非零向量,“=||||”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1 B.C.D.28.(5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况100千米平均耗油量为 ( )A .6升B .8升C .10升D .12升二、填空题9.(5分)复数i (1+i )的实部为 . 10.(5分)2﹣3,,log 25三个数中最大数的是 .11.(5分)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B= . 12.(5分)已知(2,0)是双曲线2﹣=1(b >0)的一个焦点,则b= .13.(5分)如图,△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ,P (,y )为D 中任意一点,则=2+3y 的最大值为 .14.(5分)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是;②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是.三、解答题(共80分)15.(13分)已知函数f()=sin﹣2sin 2.(1)求f()的最小正周期;(2)求f()在区间[0,]上的最小值.16.(13分)已知等差数列{an }满足a1+a2=10,a4﹣a3=2(1)求{an}的通项公式;(2)设等比数列{bn }满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{an}的第几项相等?17.(13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?18.(14分)如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.19.(13分)设函数f()=﹣ln,>0.(1)求f()的单调区间和极值;(2)证明:若f()存在零点,则f()在区间(1,]上仅有一个零点.20.(14分)已知椭圆C:2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.2015年北京市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共40分)1.(5分)若集合A={|﹣5<<2},B={|﹣3<<3},则A∩B=()A.{|﹣3<<2} B.{|﹣5<<2} C.{|﹣3<<3} D.{|﹣5<<3}【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可.【解答】解:集合A={|﹣5<<2},B={|﹣3<<3},则A∩B={|﹣3<<2}.故选:A.【点评】本题考查集合的交集的运算法则,考查计算能力.2.(5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A.(﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(+1)2+(y+1)2=1 C.(+1)2+(y+1)2=2 D.(﹣1)2+(y﹣1)2=2【分析】利用两点间距离公式求出半径,由此能求出圆的方程.【解答】解:由题意知圆半径r=,∴圆的方程为(﹣1)2+(y﹣1)2=2.故选:D.【点评】本题考查圆的方程的求法,解题时要认真审题,注意圆的方程的求法,是基础题.3.(5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=2sin B.y=2cos C.y=|ln| D.y=2﹣【分析】首先从定义域上排除选项C,然后在其他选项中判断﹣与的函数值关系,相等的就是偶函数.【解答】解:对于A,(﹣)2sin(﹣)=﹣2sin;是奇函数;对于B,(﹣)2cos(﹣)=2cos;是偶函数;对于C,定义域为(0,+∞),是非奇非偶的函数;对于D,定义域为R,但是2﹣(﹣)=2≠2﹣,2≠﹣2﹣;是非奇非偶的函数;故选:B.【点评】本题考查了函数奇偶性的判断;首先判断定义域是否关于原点对称;如果不对称,函数是非奇非偶的函数;如果对称,再判断f(﹣)与f()关系,相等是偶函数,相反是奇函数.4.(5分)某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为()【分析】由题意,老年和青年教师的人数比为900:1600=9:16,即可得出结论.【解答】解:由题意,老年和青年教师的人数比为900:1600=9:16,因为青年教师有320人,所以老年教师有180人,故选:C.【点评】本题考查分层抽样,考查学生的计算能力,比较基础.5.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的值为()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的a,的值,当a=时满足条件a<,退出循环,输出的值为4.【解答】解:模拟执行程序框图,可得=0,a=3,q=a=,=1不满足条件a<,a=,=2不满足条件a<,a=,=3不满足条件a<,a=,=4满足条件a<,退出循环,输出的值为4.故选:B.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题.6.(5分)设,是非零向量,“=||||”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由便可得到夹角为0,从而得到∥,而∥并不能得到夹角为0,从而得不到,这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项.【解答】解:(1);∴时,cos=1;∴;∴∥;∴“”是“∥”的充分条件;(2)∥时,的夹角为0或π;∴,或﹣;即∥得不到;∴“”不是“∥”的必要条件;∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件.故选:A.【点评】考查充分条件,必要条件,及充分不必要条件的概念,以及判断方法与过程,数量积的计算公式,向量共线的定义,向量夹角的定义.7.(5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1 B.C.D.2【分析】几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,结合直观图求相关几何量的数据,可得答案【解答】解:由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为正方形如图:其中PB⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形∴PB=1,AB=1,AD=1,∴BD=,PD==.PC═该几何体最长棱的棱长为:故选:C.【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题,根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键8.(5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况100千米平均耗油量为()A.6升B.8升 C.10升D.12升【分析】由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,由此得到该车每100千米平均耗油量.【解答】解:由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8;故选:B.【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力.二、填空题9.(5分)复数i(1+i)的实部为﹣1 .【分析】直接利用复数的乘法运算法则,求解即可.【解答】解:复数i(1+i)=﹣1+i,所求复数的实部为:﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题考查复数的基本运算,复数的基本概念,考查计算能力.10.(5分)2﹣3,,log 25三个数中最大数的是 log 25 .【分析】运用指数函数和对数函数的单调性,可得0<2﹣3<1,1<<2,log 25>log 24=2,即可得到最大数.【解答】解:由于0<2﹣3<1,1<<2,log 25>log 24=2,则三个数中最大的数为log 25.故答案为:log 25. 【点评】本题考查数的大小比较,主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用,属于基础题.11.(5分)在△ABC 中,a=3,b=,∠A=,则∠B= .【分析】由正弦定理可得sinB ,再由三角形的边角关系,即可得到角B .【解答】解:由正弦定理可得,=,即有sinB===,由b <a ,则B <A ,可得B=.故答案为:. 【点评】本题考查正弦定理的运用,同时考查三角形的边角关系,属于基础题.12.(5分)已知(2,0)是双曲线2﹣=1(b >0)的一个焦点,则b= .【分析】求得双曲线2﹣=1(b >0)的焦点为(,0),(﹣,0),可得b的方程,即可得到b的值.【解答】解:双曲线2﹣=1(b>0)的焦点为(,0),(﹣,0),由题意可得=2,解得b=.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的焦点的求法,属于基础题.13.(5分)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(,y)为D中任意一点,则=2+3y的最大值为7 .【分析】利用线性规划的知识,通过平移即可求的最大值.【解答】解:由=2+3y,得y=,平移直线y=,由图象可知当直线y=经过点A时,直线y=的截距最大,此时最大.即A(2,1).此时的最大值为=2×2+3×1=7,故答案为:7.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.14.(5分)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙;②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学.【分析】(1)根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次;(2)根据散点图2,观察丙的对应的坐标,如果横坐标大于纵坐标,说明总成绩名次大于数学成绩名次,反之小于.【解答】解:由高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知,两个图中,同一个人的总成绩是不会变的.从第二个图看,丙是从右往左数第5个点,即丙的总成绩在班里倒数第5.在左边的图中,找到倒数第5个点,它表示的就是丙,发现这个点的位置比右边图中丙的位置高,所以语文名次更“大”①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙;②观察散点图,作出对角线y=,发现丙的坐标横坐标大于纵坐标,说明数学成绩的名次小于总成绩名次,所以在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学;故答案为:乙;数学.【点评】本题考查了对散点图的认识;属于基础题.三、解答题(共80分)15.(13分)已知函数f()=sin﹣2sin2.(1)求f()的最小正周期;(2)求f()在区间[0,]上的最小值.【分析】(1)由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f()=2sin(+)﹣,由三角函数的周期性及其求法即可得解;(2)由∈[0,],可求范围+∈[,π],即可求得f()的取值范围,即可得解.【解答】解:(1)∵f()=sin﹣2sin2=sin﹣2×=sin+cos﹣=2sin(+)﹣∴f()的最小正周期T==2π;(2)∵∈[0,],∴+∈[,π],∴sin(+)∈[0,1],即有:f()=2sin(+)﹣∈[﹣,2﹣],∴可解得f ()在区间[0,]上的最小值为:﹣.【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值的应用,属于基本知识的考查.16.(13分)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10,a 4﹣a 3=2(1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 2=a 3,b 3=a 7,问:b 6与数列{a n }的第几项相等?【分析】(I )由a 4﹣a 3=2,可求公差d ,然后由a 1+a 2=10,可求a 1,结合等差数列的通项公式可求(II )由b 2=a 3=8,b 3=a 7=16,可求等比数列的首项及公比,代入等比数列的通项公式可求b 6,结合(I )可求【解答】解:(I )设等差数列{a n }的公差为d .∵a 4﹣a 3=2,所以d=2∵a 1+a 2=10,所以2a 1+d=10∴a 1=4,∴a n =4+2(n ﹣1)=2n+2(n=1,2,…)(II )设等比数列{b n }的公比为q ,∵b 2=a 3=8,b 3=a 7=16, ∴∴q=2,b 1=4 ∴=128,而128=2n+2∴n=63∴b 6与数列{a n }中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用,属于对基本公式应用的考查,试题比较容易.17.(13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?【分析】(1)从统计表可得,在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人,从而求得顾客同时购买乙和丙的概率.(2)根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人,求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.(3)在这1000名顾客中,求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率,从而得出结论.【解答】解:(1)从统计表可得,在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人,故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2.(2)在这1000名顾客中,在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300(人),故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3.(3)在这1000名顾客中,同时购买甲和乙的概率为=0.2,同时购买甲和丙的概率为=0.6,同时购买甲和丁的概率为=0.1,故同时购买甲和丙的概率最大.【点评】本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用,属于基础题.18.(14分)如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.【分析】(1)利用三角形的中位线得出OM ∥VB ,利用线面平行的判定定理证明VB ∥平面MOC ;(2)证明:OC ⊥平面VAB ,即可证明平面MOC ⊥平面VAB(3)利用等体积法求三棱锥V ﹣ABC 的体积.【解答】(1)证明:∵O ,M 分别为AB ,VA 的中点,∴OM ∥VB ,∵VB ⊄平面MOC ,OM ⊂平面MOC ,∴VB ∥平面MOC ;(2)∵AC=BC ,O 为AB 的中点,∴OC ⊥AB ,∵平面VAB ⊥平面ABC ,OC ⊂平面ABC ,∴OC ⊥平面VAB ,∵OC ⊂平面MOC ,∴平面MOC ⊥平面VAB(3)在等腰直角三角形ACB 中,AC=BC=,∴AB=2,OC=1,∴S △VAB =, ∵OC ⊥平面VAB ,∴V C ﹣VAB =•S △VAB =,∴V V ﹣ABC =V C ﹣VAB =. 【点评】本题考查线面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定,考查体积的计算,正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键.19.(13分)设函数f()=﹣ln,>0.(1)求f()的单调区间和极值;(2)证明:若f()存在零点,则f()在区间(1,]上仅有一个零点.【分析】(1)利用f'()≥0或f'()≤0求得函数的单调区间并能求出极值;(2)利用函数的导数的极值求出最值,利用最值讨论存在零点的情况.【解答】解:(1)由f()=f'()=﹣由f'()=0解得=f()与f'()在区间(0,+∞)上的情况如下:)f()在=处的极小值为f()=,无极大值.(2)证明:由(1)知,f()在区间(0,+∞)上的最小值为f()=.因为f()存在零点,所以,从而≥e当=e时,f()在区间(1,)上单调递减,且f()=0所以=是f()在区间(1,)上唯一零点.当>e时,f()在区间(0,)上单调递减,且,所以f()在区间(1,)上仅有一个零点.综上所述,若f()存在零点,则f()在区间(1,]上仅有一个零点.【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用,在高考中属于常见题型.20.(14分)已知椭圆C :2+3y 2=3,过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,直线AE 与直线=3交于点M . (1)求椭圆C 的离心率;(2)若AB 垂直于轴,求直线BM 的斜率;(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系,并说明理由.【分析】(1)通过将椭圆C 的方程化成标准方程,利用离心率计算公式即得结论;(2)通过令直线AE 的方程中=3,得点M 坐标,即得直线BM 的斜率; (3)分直线AB 的斜率不存在与存在两种情况讨论,利用韦达定理,计算即可.【解答】解:(1)∵椭圆C :2+3y 2=3, ∴椭圆C 的标准方程为:+y 2=1,∴a=,b=1,c=,∴椭圆C 的离心率e==; (2)∵AB 过点D (1,0)且垂直于轴, ∴可设A (1,y 1),B (1,﹣y 1),∵E (2,1),∴直线AE 的方程为:y ﹣1=(1﹣y 1)(﹣2), 令=3,得M (3,2﹣y 1), ∴直线BM 的斜率BM ==1;(3)结论:直线BM 与直线DE 平行. 证明如下:当直线AB 的斜率不存在时,由(2)知BM =1, 又∵直线DE 的斜率DE ==1,∴BM ∥DE ;当直线AB 的斜率存在时,设其方程为y=(﹣1)(≠1),设A (1,y 1),B (2,y 2), 则直线AE 的方程为y ﹣1=(﹣2), 令=3,则点M (3,),∴直线BM 的斜率BM =,联立,得(1+32)2﹣62+32﹣3=0,由韦达定理,得1+2=,12=,∵BM ﹣1====0,∴BM =1=DE ,即BM ∥DE ;综上所述,直线BM 与直线DE 平行.【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题,涉及到韦达定理等知识,考查计算能力,注意解题方法的积累,属于中档题.。
2015高考真题——数学文(北京卷)Word版含答案
2015高考真题——数学文(北京卷)Word版含答案绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国考试数学(文)(北京卷)本试卷共5页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本市卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)若集合A={x|□5<x<2},B={x|□3<x<3},则A□B=A. {x|3<x<2}B. {x|5<x<2}C. {x| 3<x<3}D. {x|5<x<3}(2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(A)(x-1)2+(y-1)2=1 (B)(x+1)2+(y+1)2=1(C)(x+1)2+(y+1)2=2 (D)(x-1)2+(y-1)2=2(3)下列函数中为偶函数的是()(A)y=x2sx (B)y=x2cosx(C)Y= x| (D)y=2x(4)某校老年,中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体情况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年人数为()(A)90 (B)100 (C)180 (D)300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300(5) 执行如果所示的程序框图,输出的k值为(A)3 (B)4 (C)5 (D)6(6)设a,b是非零向量,"a?b="是"a//b"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(7)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为(A)1 (B)(B)(D)2(8)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
注:"累计里程"指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(A)6升(B)8升(C)10升(D)12升第二部分(非选择题共110分)二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)(9)复数i(1+i)的实数为(10)2-3, ,log25三个数中最大数的是(11)在△ABC中,a=3,b=,A=,B=(12)已知(2,0)是双曲线=1(b>0)的一个焦点,则b=.(13)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y 的最大值为(14)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下,甲、乙、丙为该班三位学生。
2015年北京高考文科数学真题及答案
2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ).
A.(x-1)2+(y-1)2=1
B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2
D.(x-1)2+(y-1)2=2
【答案】D
【难度】简单
【点评】本题考察圆的一般方程式。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 1,第九章《圆》有详细讲解,
18.(本小题 14 分) 如图,在三棱锥 E-ABC 中,平面 EAB ⊥平面 ABC,三角形 EAB 为等边三角形,AC⊥ BC,且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,EA 的中点。 求证:EB//平面 MOC. 求证:平面 MOC⊥平面 EAB 求三棱锥 E-ABC 的体积。
【答案】 (1)因为 M,O 分别为线段 AV 和 AB 的中点,所以 MO 为△ABV 的中位线,从而有 MO∥BV
sin x 3 cos x 3 2sin(x ) 3
3
故周期为 2π
(2)因为 0 x 2 ,所以 x
3
3
3
所以 f(x)的最小值为 f ( 2 ) 3 3
【难度】中等
【点评】本题考查三角函数的计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 2,第六章《三角函数》中有详
10.2-3,3 ,log25 三个数中最大数的是____________.
【答案】log25 【难度】中等 【点评】本题考查函数的计算。在高一数学(文)强化提高班上学期,第三章《函数综合》中有详细讲解, 其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学(文)强化提高班中有对复数相关知识的总 结讲解。
在高考精品班数学(文)强化提高班、百日冲刺班中均有对圆相关知识的总结讲解,同时高清课程《平面
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(北京卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题:共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},则A∩B=()A.{x|-3<x<2}B.{x|-5<x<2}C.{x|-3<x<3}D.{x|-5<x<3}2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=23.下列函数中为偶函数的是( )A.y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2-x4.某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )类别人数老年教师900中年教师 1 800青年教师 1 600合计 4 300A.90B.100C.180D.3005.执行如图所示的程序框图,输出的k值为( )A.3B.4C.5D.66.设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )A.1B.√2C.√3D.28.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2015年5月1日12 35 0002015年5月15日48 35 600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( )A.6升B.8升C.10升D.12升第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题:共6小题,每小题5分,共30分.9.复数i(1+i)的实部为.10.2-3,312,log25三个数中最大的数是.11.在△ABC中,a=3,b=√6,∠A=2π3,则∠B=.12.已知(2,0)是双曲线x2-y 2b=1(b>0)的一个焦点,则b= .13.如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为.14.高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是;②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是.三、解答题:共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)已知函数f(x)=sin x-2√3sin2x2.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间[0,2π3]上的最小值.已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{a n}的第几项相等?17.(本小题13分)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.商品甲乙丙丁顾客人数100 √×√√217 ×√×√200 √√√×300 √×√×85 √×××98 ×√××(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=√2,O,M 分别为AB,VA的中点.(Ⅰ)求证:VB∥平面MOC;(Ⅱ)求证:平面MOC⊥平面VAB;(Ⅲ)求三棱锥V-ABC的体积.19.(本小题13分)设函数f(x)=x 22-kln x,k>0.(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,√e]上仅有一个零点.已知椭圆C:x2+3y2=3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(Ⅲ)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.。
2015年北京高考数学真题及答案(文科)
数学(文)(北京卷) 第 1 页(共 12 页)绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试数 学(文)(北京卷)本试卷共5页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)若集合{|52}A x x =-<<,{|33}B x x =-<<,则A B =I(A ){|32}x x -<< (B ){|52}x x -<< (C ){|33}x x -<<(D ){|53}x x -<<(2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(A )22(1)(1)1x y -+-= (B )22(1)(1)1x y +++= (C )22(1)(1)2x y +++= (D )22(1)(1)2x y -+-= (3)下列函数中为偶函数的是(A )2sin y x x = (B )2cos y x x = (C )|ln |y x =(D )2x y -=(4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为 (A )90 (B )100 (C )180 (D )300数学(文)(北京卷) 第 2 页(共 12 页)(5)执行如图所示的程序框图,输出的k 值为(A )3 (B )4 (C )5 (D )6(6)设,a b 是非零向量.“||||⋅=a b a b ”是“∥a b ”的(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件(7)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为(A )1 (B (C (D )2(8)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为 (A )6升 (B )8升 (C )10升(D )12升1俯视图数学(文)(北京卷) 第 3 页(共 12 页)第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
2015年北京市高考数学试卷(文科)(解析版)
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本的老年教师人数为( )
7.(5 分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A.90
B.100
C.180
5.(5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为(
2.(5 分)圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( )
A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1
B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2
D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2
【考点】J1:圆的标准方程. 菁优网版 权所有
【专题】11:计算题;5B:直线与圆. 【分析】利用两点间距离公式求出半径,由此能求出圆的方程. 【解答】解:由题意知圆半径 r= , ∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2. 故选:D. 【点评】本题考查圆的方程的求法,解题时要认真审题,注意圆的方程的求法,是基础题.
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?
19.(13 分)设函数 f(x)= ﹣klnx,k>0. (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1, ]上仅有一个零点.
20.(14 分)已知椭圆 C:x2+3y2=3,过点 D(1,0)且不过点 E(2,1)的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点,直线 AE 与直线 x=3 交于点 M.
2015年北京市高考数学试卷(文科)
2015年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(每小题 分 共 分).若集合{}52A x x =-<<,{}33B x x =-<<,则✌∩ ( ) ✌.{}32x x -<< .{}52x x -<< .{}33x x -<<.{}53x x -<<.圆心为()1,1且过原点的圆的方程是( )✌.()()22111x y -+-=.()()22111x y +++= .()()22112x y +++=.()()22112x y -+-=.下列函数中为偶函数的是( ) ✌.2sin y x x =.2cos y x x = .ln y x =.2x y -=.某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为( )✌.90.100.180.300.执行如图所示的程序框图,输出的k 值为( )✌.3 .4 .5 .6 .设,a b是非零向量,❽a b a b⋅=❾是❽a b//❾的()✌.充分而不必要条件 .必要而不充分条件.充分必要条件 .既不充分也不必要条件 .某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()✌.1 2 3 .2.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)2015年5月1日 12 35000 2015 年5月15日4835600注:❽累计里程❾指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为 ( ) ✌.6升 .8升 .10升 .12升二、填空题.复数()1i i +的实部为 ..13222,3,log 5-三个数中最大数的是 . .在ABC 中,23,6,3a b A π==∠=,则B ∠ . .已知()2,0是双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点,则b ..如图,ABC 及其内部的点组成的集合记为D ,(,)P x y 为D 中任意一点,则23z x y =+的最大值为 ..高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生. 从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ;②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是 .三、解答题(共80分).已知函数()2sin 232x f x x =-. (1)求()f x 的最小正周期;(2)求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值..已知等差数列{}n a 满足124310,2a a a a +=-= ( )求{}n a 的通项公式;( )设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==,问:6b 与数列{}n a 的第几项相等? .某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中❽ ❾表示购买,❽×❾表示未购买.甲 乙 丙 丁 100 × 217 × × 200 × 300× × 85 × × × 98×××( )估计顾客同时购买乙和丙的概率;( )估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;( )如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?.如图,在三棱锥V ABC -中,平面VAB ⊥平面ABC ,VAB 为等边三角形,AC ⊥BC 且2AC BC == ,O ,M 分别为AB ,VA 的中点. ( )求证:VB ∥平面MOC ; ( )求证:平面MOC ⊥平面VAB ( )求三棱锥V ABC -的体积..设函数()2ln (0)2x f x k x k =->.( )求()f x 的单调区间和极值;( )证明:若()f x 存在零点,则()f x 在区间(e 上仅有一个零点. .已知椭圆C 2233x y +=,过点(1,0)D 且不过点(2,1)E 的直线与椭圆C 交于,A B 两点,直线AE 与直线3x =交于点M . ( )求椭圆C 的离心率;( )若AB 垂直于x 轴,求直线BM 的斜率;( )试判断直线BM 与直线DE 的位置关系,并说明理由.年北京市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(每小题 分 共 分).( ❿北京)若集合✌⌧﹣ <⌧< ❝, ⌧﹣ <⌧< ❝,则✌∩ ()✌. ⌧﹣ <⌧< ❝ . ⌧﹣ <⌧< ❝ . ⌧﹣ <⌧< ❝ . ⌧﹣ <⌧< ❝【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可.【解答】解:集合✌⌧﹣ <⌧< ❝, ⌧﹣ <⌧< ❝,则✌∩ ⌧﹣ <⌧< ❝.故选:✌..( ❿北京)圆心为( , )且过原点的圆的方程是()✌.(⌧﹣ )♈♈♈ (⍓﹣ )♈♈♈ .(⌧)♈♈♈ (⍓)♈♈♈ .(⌧)♈♈♈ (⍓)♈♈♈ .(⌧﹣ )♈♈♈ (⍓﹣ )♈♈♈ 【分析】利用两点间距离公式求出半径,由此能求出圆的方程.【解答】解:由题意知圆半径❒,∴圆的方程为(⌧﹣ )♈♈♈ (⍓﹣ )♈♈♈ .故选: ..( ❿北京)下列函数中为偶函数的是()✌.⍓⌧♈♈♈♦♓⏹⌧ .⍓⌧♈♈♈♍☐♦⌧ .⍓●⏹⌧ .⍓﹣♈♈♈⌧【分析】首先从定义域上排除选项 ,然后在其他选项中判断﹣⌧与⌧的函数值关系,相等的就是偶函数.【解答】解:对于✌,(﹣⌧)♈♈♈♦♓⏹(﹣⌧) ﹣⌧♈♈♈♦♓⏹⌧;是奇函数;对于 ,(﹣⌧)♈♈♈♍☐♦(﹣⌧) ⌧♈♈♈♍☐♦⌧;是偶函数;对于 ,定义域为( , ∞),是非奇非偶的函数;对于 ,定义域为 ,但是 ﹣(﹣♈♈♈⌧) ♈♈♈⌧≠ ﹣♈♈♈⌧, ♈♈♈⌧≠﹣ ﹣♈♈♈⌧;是非奇非偶的函数;故选.( ❿北京)某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有 人,则该样本的老年教师人数为()类别人数老年教师 中年教师 青年教师 合计 ✌. . . . 【分析】由题意,老年和青年教师的人数比为 : : ,即可得出结论.【解答】解:由题意,老年和青年教师的人数比为 : : ,因为青年教师有 人,所以老年教师有 人,故选: ..( ❿北京)执行如图所示的程序框图,输出的 值为()✌. . . .【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的♋, 的值,当♋时满足条件♋<,退出循环,输出 的值为 .【解答】解:模拟执行程序框图,可得,♋,❑♋, 不满足条件♋<,♋, 不满足条件♋<,♋, 不满足条件♋<,♋, 满足条件♋<,退出循环,输出 的值为 .故选: ..( ❿北京)设,是非零向量,❽ ❾是❽❾的()✌.充分而不必要条件 .必要而不充分条件.充分必要条件 .既不充分也不必要条件【分析】由便可得到夹角为 ,从而得到∥,而∥并不能得到夹角为 ,从而得不到,这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项.【解答】解:( );∴时,♍☐♦ ;∴;∴∥;∴❽❾是❽∥❾的充分条件;( )∥时,的夹角为 或⇨;∴,或﹣;即∥得不到;∴❽❾不是❽∥❾的必要条件;∴总上可得❽❾是❽∥❾的充分不必要条件.故选✌..( ❿北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()✌. . . .【分析】几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,结合直观图求相关几何量的数据,可得答案【解答】解:由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为正方形如图:其中 ⊥平面✌,底面✌为正方形∴ ,✌,✌,∴ , .该几何体最长棱的棱长为:故选: ..( ❿北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)年 月 日 年 月 日 注:❽累计里程❾指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每 千米平均耗油量为 ()✌. 升 . 升 . 升 . 升【分析】由表格信息,得到该车加了 升的汽油,跑了 千米,由此得到该车每 千米平均耗油量.【解答】解:由表格信息,得到该车加了 升的汽油,跑了 千米,所以该车每 千米平均耗油量 ÷ ;故选: .二、填空题.( ❿北京)复数♓( ♓)的实部为﹣ .【分析】直接利用复数的乘法运算法则,求解即可.【解答】解:复数♓( ♓) ﹣ ♓,所求复数的实部为:﹣ .故答案为:﹣ ..( ❿北京) ﹣♈♈♈,,●☐♑♉♉♉♉♉ 三个数中最大数的是●☐♑♉♉♉♉♉ .【分析】运用指数函数和对数函数的单调性,可得 < ﹣♈♈♈< , << ,●☐♑♉♉♉♉♉ >●☐♑ ,即可得到最大数.【解答】解:由于 < ﹣♈♈♈< , << ,●☐♑♉♉♉♉♉ >●☐♑ ,则三个数中最大的数为●☐♑♉♉♉♉♉ .故答案为:●☐♑♉♉♉♉♉ ..( ❿北京)在△✌中,♋,♌,∠✌,则∠ .【分析】由正弦定理可得♦♓⏹,再由三角形的边角关系,即可得到角 .【解答】解:由正弦定理可得,,即有♦♓⏹ ,由♌<♋,则 <✌,可得 .故答案为:..( ❿北京)已知( , )是双曲线⌧♈♈♈﹣ (♌> )的一个焦点,则♌.【分析】求得双曲线⌧♈♈♈﹣ (♌> )的焦点为(, ),(﹣, ),可得♌的方程,即可得到♌的值.【解答】解:双曲线⌧♈♈♈﹣ (♌> )的焦点为(, ),(﹣, ),由题意可得 ,解得♌.故答案为:..( ❿北京)如图,△✌及其内部的点组成的集合记为 , (⌧,⍓)为 中任意一点,则 ⌧⍓的最大值为 .【分析】利用线性规划的知识,通过平移即可求 的最大值.【解答】解:由 ⌧⍓,得⍓,平移直线⍓,由图象可知当直线⍓经过点✌时,直线⍓的截距最大,此时 最大.即✌( , ).此时 的最大值为 × × ,故答案为: ..( ❿北京)高三年级 位学生参加期末考试,某班 位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙;②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学.【分析】( )根据散点图 分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次;( )根据散点图 ,观察丙的对应的坐标,如果横坐标大于纵坐标,说明总成绩名次大于数学成绩名次,反之小于.【解答】解:由高三年级 位学生参加期末考试,某班 位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙;②观察散点图,作出对角线⍓⌧,发现丙的坐标横坐标大于纵坐标,说明数学成绩的名次小于总成绩名次,所以在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学;故答案为:乙;数学.三、解答题(共 分).( ❿北京)已知函数♐(⌧) ♦♓⏹⌧﹣ ♦♓⏹♈♈♈.( )求♐(⌧)的最小正周期;( )求♐(⌧)在区间☯, 上的最小值.【分析】( )由三角函数恒等变换化简函数解析式可得♐(⌧) ♦♓⏹(⌧)﹣,由三角函数的周期性及其求法即可得解;( )由⌧∈☯, ,可求范围⌧∈☯,⇨,即可求得♐(⌧)的取值范围,即可得解.【解答】解:( )∵♐(⌧) ♦♓⏹⌧﹣ ♦♓⏹♈♈♈♦♓⏹⌧﹣ ×♦♓⏹⌧♍☐♦⌧﹣♦♓⏹(⌧)﹣∴♐(⌧)的最小正周期❆ ⇨;( )∵⌧∈☯, ,∴⌧∈☯,⇨,∴♦♓⏹(⌧)∈☯, ,即有:♐(⌧) ♦♓⏹(⌧)﹣∈☯﹣, ﹣ ,∴可解得♐(⌧)在区间☯, 上的最小值为:﹣..( ❿北京)已知等差数列 ♋⏹❝满足♋♉♉♉♉♉ ♋♉♉♉♉♉ ,♋♉♉♉♉♉﹣♋♉♉♉♉♉ ( )求 ♋⏹❝的通项公式;( )设等比数列 ♌⏹❝满足♌♉♉♉♉♉ ♋♉♉♉♉♉,♌♉♉♉♉♉ ♋ ,问:♌ 与数列 ♋⏹❝的第几项相等?【分析】(✋)由♋♉♉♉♉♉﹣♋♉♉♉♉♉ ,可求公差♎,然后由♋♉♉♉♉♉ ♋♉♉♉♉♉ ,可求♋♉♉♉♉♉,结合等差数列的通项公式可求(✋✋)由♌♉♉♉♉♉ ♋♉♉♉♉♉ ,♌♉♉♉♉♉ ♋ ,可求等比数列的首项及公比,代入等比数列的通项公式可求♌ ,结合(✋)可求【解答】解:(✋)设等差数列 ♋⏹❝的公差为♎.∵♋♉♉♉♉♉﹣♋♉♉♉♉♉ ,所以♎∵♋♉♉♉♉♉ ♋♉♉♉♉♉ ,所以 ♋♉♉♉♉♉ ♎∴♋♉♉♉♉♉ ,∴♋⏹ (⏹﹣ ) ⏹(⏹, ,⑤)(✋✋)设等比数列 ♌⏹❝的公比为❑,∵♌♉♉♉♉♉ ♋♉♉♉♉♉ ,♌♉♉♉♉♉ ♋ ,∴∴❑,♌♉♉♉♉♉ ∴ ,而 ⏹∴⏹∴♌ 与数列 ♋⏹❝中的第 项相等.( ❿北京)某超市随机选取 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中❽ ❾表示购买,❽×❾表示未购买.甲乙丙丁 ×× × × × × ×××× ××( )估计顾客同时购买乙和丙的概率;( )估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 种商品的概率;( )如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?【分析】( )从统计表可得,在这 名顾客中,同时购买乙和丙的有 人,从而求得顾客同时购买乙和丙的概率.( )根据在甲、乙、丙、丁中同时购买 种商品的有 人,求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 种商品的概率.( )在这 名顾客中,求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率,从而得出结论.【解答】解:( )从统计表可得,在这 名顾客中,同时购买乙和丙的有 人,故顾客同时购买乙和丙的概率为 .( )在这 名顾客中,在甲、乙、丙、丁中同时购买 种商品的有 (人),故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 种商品的概率为 .( )在这 名顾客中,同时购买甲和乙的概率为 ,同时购买甲和丙的概率为 ,同时购买甲和丁的概率为 ,故同时购买甲和丙的概率最大..( ❿北京)如图,在三棱锥✞﹣✌中,平面✞✌⊥平面✌,△✞✌为等边三角形,✌⊥ 且✌, , 分别为✌,✞✌的中点.( )求证:✞∥平面 ;( )求证:平面 ⊥平面✞✌( )求三棱锥✞﹣✌的体积.【分析】( )利用三角形的中位线得出 ∥✞,利用线面平行的判定定理证明✞∥平面 ;( )证明: ⊥平面✞✌,即可证明平面 ⊥平面✞✌( )利用等体积法求三棱锥✞﹣✌的体积.【解答】( )证明:∵ , 分别为✌,✞✌的中点,∴ ∥✞,∵✞⊄平面 , ⊂平面 ,∴✞∥平面 ;( )∵✌, 为✌的中点,∴ ⊥✌,∵平面✞✌⊥平面✌, ⊂平面✌,∴ ⊥平面✞✌,∵ ⊂平面 ,∴平面 ⊥平面✞✌( )在等腰直角三角形✌中,✌,∴✌, , ,∴△✞✌∵ ⊥平面✞✌,∴✞ ﹣✞✌ ❿△✞✌ ,∴✞✞﹣✌ ✞ ﹣✞✌ ..( ❿北京)设函数♐(⌧) ﹣ ●⏹⌧, > .( )求♐(⌧)的单调区间和极值;( )证明:若♐(⌧)存在零点,则♐(⌧)在区间( , 上仅有一个零点.【分析】( )利用♐(⌧)≥ 或♐(⌧)≤ 求得函数的单调区间并能求出极值;( )利用函数的导数的极值求出最值,利用最值讨论存在零点的情况.【解答】解:( )由♐(⌧)♐(⌧) ⌧﹣由♐(⌧) 解得⌧♐(⌧)与♐(⌧)在区间( , ∞)上的情况如下:✠ ( ,) () ♐(⌧)﹣ ♐(⌧)❽❻所以,♐(⌧)的单调递增区间为(),单调递减区间为( ,);♐(⌧)在⌧处的极小值为♐() ,无极大值.( )证明:由( )知,♐(⌧)在区间( , ∞)上的最小值为♐() .因为♐(⌧)存在零点,所以,从而 ≥♏当 ♏时,♐(⌧)在区间( ,)上单调递减,且♐() 所以⌧是♐(⌧)在区间( ,)上唯一零点.当 >♏时,♐(⌧)在区间( ,)上单调递减,且,所以♐(⌧)在区间( ,)上仅有一个零点.综上所述,若♐(⌧)存在零点,则♐(⌧)在区间( , 上仅有一个零点..( ❿北京)已知椭圆 :⌧♈♈♈ ⍓♈♈♈ ,过点 ( , )且不过点☜( , )的直线与椭圆 交于✌, 两点,直线✌☜与直线⌧交于点 .( )求椭圆 的离心率;( )若✌垂直于⌧轴,求直线 的斜率;( )试判断直线 与直线 ☜的位置关系,并说明理由.【分析】( )通过将椭圆 的方程化成标准方程,利用离心率计算公式即得结论;( )通过令直线✌☜的方程中⌧,得点 坐标,即得直线 的斜率;( )分直线✌的斜率不存在与存在两种情况讨论,利用韦达定理,计算即可.【解答】解:( )∵椭圆 :⌧♈♈♈ ⍓♈♈♈ ,∴椭圆 的标准方程为: ⍓♈♈♈ ,∴♋,♌,♍,∴椭圆 的离心率♏ ;( )∵✌过点 ( , )且垂直于⌧轴,∴可设✌( ,⍓♉♉♉♉♉), ( ,﹣⍓♉♉♉♉♉),∵☜( , ),∴直线✌☜的方程为:⍓﹣ ( ﹣⍓♉♉♉♉♉)(⌧﹣ ),令⌧,得 ( , ﹣⍓♉♉♉♉♉),∴直线 的斜率 ;( )结论:直线 与直线 ☜平行.证明如下:当直线✌的斜率不存在时,由( )知 ,又∵直线 ☜的斜率 ☜ ,∴ ∥ ☜;当直线✌的斜率存在时,设其方程为⍓(⌧﹣ )( ≠ ),设✌(⌧♉♉♉♉♉,⍓♉♉♉♉♉), (⌧♉♉♉♉♉,⍓♉♉♉♉♉),则直线✌☜的方程为⍓﹣ (⌧﹣ ),令⌧,则点 ( ,),∴直线 的斜率 ,联立,得( ♈♈♈)⌧♈♈♈﹣ ⌧♈♈♈﹣ ,由韦达定理,得⌧♉♉♉♉♉ ⌧♉♉♉♉♉ ,⌧♉♉♉♉♉⌧♉♉♉♉♉ ,∵ ﹣ ,∴ ☜,即 ∥ ☜;综上所述,直线 与直线 ☜平行.参与本试卷答题和审题的老师有:❑♓♦♦;刘长柏;♍♒♋⏹♑❑;♦;♦●;♦♎☐⍓❑♒;双曲线;❍♋♦♒♦;吕静;♍♋☐❑;雪狼王;♍♦♦(排名不分先后)菁优网年 月 日。
高考真题-2015年北京市高考数学试卷文科
2015年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(5分)若集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则A∩B=()A.{x|﹣3<x<2}B.{x|﹣5<x<2}C.{x|﹣3<x<3}D.{x|﹣5<x<3} 2.(5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=23.(5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinx B.y=x2cosx C.y=|lnx|D.y=2﹣x4.(5分)某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90 B.100 C.180 D.3005.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的k值为()A.3 B.4 C.5 D.66.(5分)设,是非零向量,“=||||”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1 B.C.D.28.(5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升 B.8升 C.10升D.12升二、填空题9.(5分)复数i(1+i)的实部为.10.(5分)2﹣3,,log25三个数中最大数的是.11.(5分)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=.12.(5分)已知(2,0)是双曲线x2﹣=1(b>0)的一个焦点,则b=.13.(5分)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为.14.(5分)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是;②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是.三、解答题(共80分)15.(13分)已知函数f(x)=sinx﹣2sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,]上的最小值.16.(13分)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{a n}的第几项相等?17.(13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?18.(14分)如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.19.(13分)设函数f(x)=﹣klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.20.(14分)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.2015年北京市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共40分)1.(5分)若集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则A∩B=()A.{x|﹣3<x<2}B.{x|﹣5<x<2}C.{x|﹣3<x<3}D.{x|﹣5<x<3}【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可.【解答】解:集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则A∩B={x|﹣3<x<2}.故选:A.【点评】本题考查集合的交集的运算法则,考查计算能力.2.(5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2【分析】利用两点间距离公式求出半径,由此能求出圆的方程.【解答】解:由题意知圆半径r=,∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.故选:D.【点评】本题考查圆的方程的求法,解题时要认真审题,注意圆的方程的求法,是基础题.3.(5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinx B.y=x2cosx C.y=|lnx|D.y=2﹣x【分析】首先从定义域上排除选项C,然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系,相等的就是偶函数.【解答】解:对于A,(﹣x)2sin(﹣x)=﹣x2sinx;是奇函数;对于B,(﹣x)2cos(﹣x)=x2cosx;是偶函数;对于C,定义域为(0,+∞),是非奇非偶的函数;对于D,定义域为R,但是2﹣(﹣x)=2x≠2﹣x,2x≠﹣2﹣x;是非奇非偶的函数;故选:B.【点评】本题考查了函数奇偶性的判断;首先判断定义域是否关于原点对称;如果不对称,函数是非奇非偶的函数;如果对称,再判断f(﹣x)与f(x)关系,相等是偶函数,相反是奇函数.4.(5分)某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90 B.100 C.180 D.300【分析】由题意,老年和青年教师的人数比为900:1600=9:16,即可得出结论.【解答】解:由题意,老年和青年教师的人数比为900:1600=9:16,因为青年教师有320人,所以老年教师有180人,故选:C.【点评】本题考查分层抽样,考查学生的计算能力,比较基础.5.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的k值为()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的a,k的值,当a=时满足条件a<,退出循环,输出k的值为4.【解答】解:模拟执行程序框图,可得k=0,a=3,q=a=,k=1不满足条件a<,a=,k=2不满足条件a<,a=,k=3不满足条件a<,a=,k=4满足条件a<,退出循环,输出k的值为4.故选:B.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题.6.(5分)设,是非零向量,“=||||”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由便可得到夹角为0,从而得到∥,而∥并不能得到夹角为0,从而得不到,这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项.【解答】解:(1);∴时,cos=1;∴;∴∥;∴“”是“∥”的充分条件;(2)∥时,的夹角为0或π;∴,或﹣;即∥得不到;∴“”不是“∥”的必要条件;∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件.故选:A.【点评】考查充分条件,必要条件,及充分不必要条件的概念,以及判断方法与过程,数量积的计算公式,向量共线的定义,向量夹角的定义.7.(5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1 B.C.D.2【分析】几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,结合直观图求相关几何量的数据,可得答案【解答】解:由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为正方形如图:其中PB⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形∴PB=1,AB=1,AD=1,∴BD=,PD==.PC═该几何体最长棱的棱长为:故选:C.【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题,根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键8.(5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升 B.8升 C.10升D.12升【分析】由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,由此得到该车每100千米平均耗油量.【解答】解:由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8;故选:B.【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力.二、填空题9.(5分)复数i(1+i)的实部为﹣1.【分析】直接利用复数的乘法运算法则,求解即可.【解答】解:复数i(1+i)=﹣1+i,所求复数的实部为:﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题考查复数的基本运算,复数的基本概念,考查计算能力.10.(5分)2﹣3,,log25三个数中最大数的是log25.【分析】运用指数函数和对数函数的单调性,可得0<2﹣3<1,1<<2,log25>log24=2,即可得到最大数.【解答】解:由于0<2﹣3<1,1<<2,log25>log24=2,则三个数中最大的数为log25.故答案为:log25.【点评】本题考查数的大小比较,主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用,属于基础题.11.(5分)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=.【分析】由正弦定理可得sinB,再由三角形的边角关系,即可得到角B.【解答】解:由正弦定理可得,=,即有sinB===,由b<a,则B<A,可得B=.故答案为:.【点评】本题考查正弦定理的运用,同时考查三角形的边角关系,属于基础题.12.(5分)已知(2,0)是双曲线x2﹣=1(b>0)的一个焦点,则b=.【分析】求得双曲线x2﹣=1(b>0)的焦点为(,0),(﹣,0),可得b的方程,即可得到b的值.【解答】解:双曲线x2﹣=1(b>0)的焦点为(,0),(﹣,0),由题意可得=2,解得b=.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的焦点的求法,属于基础题.13.(5分)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为7.【分析】利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.【解答】解:由z=2x+3y,得y=,平移直线y=,由图象可知当直线y=经过点A时,直线y=的截距最大,此时z最大.即A(2,1).此时z的最大值为z=2×2+3×1=7,故答案为:7.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.14.(5分)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙;②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学.【分析】(1)根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次;(2)根据散点图2,观察丙的对应的坐标,如果横坐标大于纵坐标,说明总成绩名次大于数学成绩名次,反之小于.【解答】解:由高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知,两个图中,同一个人的总成绩是不会变的.从第二个图看,丙是从右往左数第5个点,即丙的总成绩在班里倒数第5.在左边的图中,找到倒数第5个点,它表示的就是丙,发现这个点的位置比右边图中丙的位置高,所以语文名次更“大”①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙;②观察散点图,作出对角线y=x,发现丙的坐标横坐标大于纵坐标,说明数学成绩的名次小于总成绩名次,所以在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学;故答案为:乙;数学.【点评】本题考查了对散点图的认识;属于基础题.三、解答题(共80分)15.(13分)已知函数f(x)=sinx﹣2sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,]上的最小值.【分析】(1)由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f(x)=2sin(x+)﹣,由三角函数的周期性及其求法即可得解;(2)由x∈[0,],可求范围x+∈[,π],即可求得f(x)的取值范围,即可得解.【解答】解:(1)∵f(x)=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin(x+)﹣∴f(x)的最小正周期T==2π;(2)∵x∈[0,],∴x+∈[,π],∴sin(x+)∈[0,1],即有:f(x)=2sin(x+)﹣∈[﹣,2﹣],∴可解得f(x)在区间[0,]上的最小值为:﹣.【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值的应用,属于基本知识的考查.16.(13分)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{a n}的第几项相等?【分析】(I)由a4﹣a3=2,可求公差d,然后由a1+a2=10,可求a1,结合等差数列的通项公式可求(II)由b2=a3=8,b3=a7=16,可求等比数列的首项及公比,代入等比数列的通项公式可求b6,结合(I)可求【解答】解:(I)设等差数列{a n}的公差为d.∵a4﹣a3=2,所以d=2∵a1+a2=10,所以2a1+d=10∴a1=4,∴a n=4+2(n﹣1)=2n+2(n=1,2,…)(II)设等比数列{b n}的公比为q,∵b2=a3=8,b3=a7=16,∴∴q=2,b1=4∴=128,而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用,属于对基本公式应用的考查,试题比较容易.17.(13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?【分析】(1)从统计表可得,在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人,从而求得顾客同时购买乙和丙的概率.(2)根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人,求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.(3)在这1000名顾客中,求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率,从而得出结论.【解答】解:(1)从统计表可得,在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人,故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2.(2)在这1000名顾客中,在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300(人),故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3.(3)在这1000名顾客中,同时购买甲和乙的概率为=0.2,同时购买甲和丙的概率为=0.6,同时购买甲和丁的概率为=0.1,故同时购买甲和丙的概率最大.【点评】本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用,属于基础题.18.(14分)如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.【分析】(1)利用三角形的中位线得出OM∥VB,利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC;(2)证明:OC⊥平面VAB,即可证明平面MOC⊥平面VAB(3)利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积.【解答】(1)证明:∵O,M分别为AB,VA的中点,∴OM∥VB,∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,∴VB∥平面MOC;(2)∵AC=BC,O为AB的中点,∴OC⊥AB,∵平面VAB⊥平面ABC,OC⊂平面ABC,∴OC⊥平面VAB,∵OC⊂平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,∴AB=2,OC=1,∴S=,△VAB∵OC⊥平面VAB,∴V C=•S△VAB=,﹣VAB=V C﹣VAB=.∴V V﹣ABC【点评】本题考查线面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定,考查体积的计算,正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键.19.(13分)设函数f(x)=﹣klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.【分析】(1)利用f'(x)≥0或f'(x)≤0求得函数的单调区间并能求出极值;(2)利用函数的导数的极值求出最值,利用最值讨论存在零点的情况.【解答】解:(1)由f(x)=f'(x)=x﹣由f'(x)=0解得x=f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)上的情况如下:X (0,)()f'(x)﹣0+f(x)↓↑所以,f(x)的单调递增区间为(),单调递减区间为(0,);f(x)在x=处的极小值为f()=,无极大值.(2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f()=.因为f(x)存在零点,所以,从而k≥e当k=e时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()=0所以x=是f(x)在区间(1,)上唯一零点.当k>e时,f(x)在区间(0,)上单调递减,且,所以f(x)在区间(1,)上仅有一个零点.综上所述,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用,在高考中属于常见题型.20.(14分)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.【分析】(1)通过将椭圆C的方程化成标准方程,利用离心率计算公式即得结论;(2)通过令直线AE的方程中x=3,得点M坐标,即得直线BM的斜率;(3)分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论,利用韦达定理,计算即可.【解答】解:(1)∵椭圆C:x2+3y2=3,∴椭圆C的标准方程为:+y2=1,∴a=,b=1,c=,∴椭圆C的离心率e==;(2)∵AB过点D(1,0)且垂直于x轴,∴可设A(1,y1),B(1,﹣y1),∵E(2,1),∴直线AE的方程为:y﹣1=(1﹣y1)(x﹣2),令x=3,得M(3,2﹣y1),∴直线BM的斜率k BM==1;(3)结论:直线BM与直线DE平行.证明如下:当直线AB的斜率不存在时,由(2)知k BM=1,又∵直线DE的斜率k DE==1,∴BM∥DE;当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x﹣1)(k≠1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y﹣1=(x﹣2),令x=3,则点M(3,),∴直线BM的斜率k BM=,联立,得(1+3k2)x2﹣6k2x+3k2﹣3=0,由韦达定理,得x1+x2=,x1x2=,∵k BM﹣1====0,∴k BM=1=k DE,即BM∥DE;综上所述,直线BM与直线DE平行.【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题,涉及到韦达定理等知识,考查计算能力,注意解题方法的积累,属于中档题.第21页(共21页)。
2015年北京市高考数学试卷文科【精编】
2015年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(5分)若集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则A∩B=()A.{x|﹣3<x<2}B.{x|﹣5<x<2}C.{x|﹣3<x<3}D.{x|﹣5<x<3} 2.(5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=23.(5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinx B.y=x2cosx C.y=|lnx|D.y=2﹣x4.(5分)某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90 B.100 C.180 D.3005.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的k值为()A.3 B.4 C.5 D.66.(5分)设,是非零向量,“=||||”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1 B.C.D.28.(5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升 B.8升 C.10升D.12升二、填空题9.(5分)复数i(1+i)的实部为.10.(5分)2﹣3,,log25三个数中最大数的是.11.(5分)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=.12.(5分)已知(2,0)是双曲线x2﹣=1(b>0)的一个焦点,则b=.13.(5分)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为.14.(5分)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是;②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是.三、解答题(共80分)15.(13分)已知函数f(x)=sinx﹣2sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,]上的最小值.16.(13分)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{a n}的第几项相等?17.(13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?18.(14分)如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.19.(13分)设函数f(x)=﹣klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.20.(14分)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.2015年北京市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共40分)1.(5分)若集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则A∩B=()A.{x|﹣3<x<2}B.{x|﹣5<x<2}C.{x|﹣3<x<3}D.{x|﹣5<x<3}【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可.【解答】解:集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则A∩B={x|﹣3<x<2}.故选:A.【点评】本题考查集合的交集的运算法则,考查计算能力.2.(5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2【分析】利用两点间距离公式求出半径,由此能求出圆的方程.【解答】解:由题意知圆半径r=,∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.故选:D.【点评】本题考查圆的方程的求法,解题时要认真审题,注意圆的方程的求法,是基础题.3.(5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinx B.y=x2cosx C.y=|lnx|D.y=2﹣x【分析】首先从定义域上排除选项C,然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系,相等的就是偶函数.【解答】解:对于A,(﹣x)2sin(﹣x)=﹣x2sinx;是奇函数;对于B,(﹣x)2cos(﹣x)=x2cosx;是偶函数;对于C,定义域为(0,+∞),是非奇非偶的函数;对于D,定义域为R,但是2﹣(﹣x)=2x≠2﹣x,2x≠﹣2﹣x;是非奇非偶的函数;故选:B【点评】本题考查了函数奇偶性的判断;首先判断定义域是否关于原点对称;如果不对称,函数是非奇非偶的函数;如果对称,再判断f(﹣x)与f(x)关系,相等是偶函数,相反是奇函数.4.(5分)某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90 B.100 C.180 D.300【分析】由题意,老年和青年教师的人数比为900:1600=9:16,即可得出结论.【解答】解:由题意,老年和青年教师的人数比为900:1600=9:16,因为青年教师有320人,所以老年教师有180人,故选:C.【点评】本题考查分层抽样,考查学生的计算能力,比较基础.5.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的k值为()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的a,k的值,当a=时满足条件a<,退出循环,输出k的值为4.【解答】解:模拟执行程序框图,可得k=0,a=3,q=a=,k=1不满足条件a<,a=,k=2不满足条件a<,a=,k=3不满足条件a<,a=,k=4满足条件a<,退出循环,输出k的值为4.故选:B.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题.6.(5分)设,是非零向量,“=||||”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由便可得到夹角为0,从而得到∥,而∥并不能得到夹角为0,从而得不到,这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项.【解答】解:(1);∴时,cos=1;∴;∴∥;∴“”是“∥”的充分条件;(2)∥时,的夹角为0或π;∴,或﹣;即∥得不到;∴“”不是“∥”的必要条件;∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件.故选:A.【点评】考查充分条件,必要条件,及充分不必要条件的概念,以及判断方法与过程,数量积的计算公式,向量共线的定义,向量夹角的定义.7.(5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1 B.C.D.2【分析】几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,结合直观图求相关几何量的数据,可得答案【解答】解:由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为正方形如图:其中PB⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形∴PB=1,AB=1,AD=1,∴BD=,PD==.PC═该几何体最长棱的棱长为:故选:C.【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题,根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键8.(5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升 B.8升 C.10升D.12升【分析】由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,由此得到该车每100千米平均耗油量.【解答】解:由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8;故选:B.【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力.二、填空题9.(5分)复数i(1+i)的实部为﹣1.【分析】直接利用复数的乘法运算法则,求解即可.【解答】解:复数i(1+i)=﹣1+i,所求复数的实部为:﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题考查复数的基本运算,复数的基本概念,考查计算能力.10.(5分)2﹣3,,log25三个数中最大数的是log25.【分析】运用指数函数和对数函数的单调性,可得0<2﹣3<1,1<<2,log25>log24=2,即可得到最大数.【解答】解:由于0<2﹣3<1,1<<2,log25>log24=2,则三个数中最大的数为log25.故答案为:log25.【点评】本题考查数的大小比较,主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用,属于基础题.11.(5分)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=.【分析】由正弦定理可得sinB,再由三角形的边角关系,即可得到角B.【解答】解:由正弦定理可得,=,即有sinB===,由b<a,则B<A,可得B=.故答案为:.【点评】本题考查正弦定理的运用,同时考查三角形的边角关系,属于基础题.12.(5分)已知(2,0)是双曲线x2﹣=1(b>0)的一个焦点,则b=.【分析】求得双曲线x2﹣=1(b>0)的焦点为(,0),(﹣,0),可得b的方程,即可得到b的值.【解答】解:双曲线x2﹣=1(b>0)的焦点为(,0),(﹣,0),由题意可得=2,解得b=.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的焦点的求法,属于基础题.13.(5分)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为7.【分析】利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.【解答】解:由z=2x+3y,得y=,平移直线y=,由图象可知当直线y=经过点A时,直线y=的截距最大,此时z最大.即A(2,1).此时z的最大值为z=2×2+3×1=7,故答案为:7.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.14.(5分)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙;②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学.【分析】(1)根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次;(2)根据散点图2,观察丙的对应的坐标,如果横坐标大于纵坐标,说明总成绩名次大于数学成绩名次,反之小于.【解答】解:由高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知,两个图中,同一个人的总成绩是不会变的.从第二个图看,丙是从右往左数第5个点,即丙的总成绩在班里倒数第5.在左边的图中,找到倒数第5个点,它表示的就是丙,发现这个点的位置比右边图中丙的位置高,所以语文名次更“大”①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙;②观察散点图,作出对角线y=x,发现丙的坐标横坐标大于纵坐标,说明数学成绩的名次小于总成绩名次,所以在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学;故答案为:乙;数学.【点评】本题考查了对散点图的认识;属于基础题.三、解答题(共80分)15.(13分)已知函数f(x)=sinx﹣2sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,]上的最小值.【分析】(1)由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f(x)=2sin(x+)﹣,由三角函数的周期性及其求法即可得解;(2)由x∈[0,],可求范围x+∈[,π],即可求得f(x)的取值范围,即可得解.【解答】解:(1)∵f(x)=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin(x+)﹣∴f(x)的最小正周期T==2π;(2)∵x∈[0,],∴x+∈[,π],∴sin(x+)∈[0,1],即有:f(x)=2sin(x+)﹣∈[﹣,2﹣],∴可解得f(x)在区间[0,]上的最小值为:﹣.【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值的应用,属于基本知识的考查.16.(13分)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{a n}的第几项相等?【分析】(I)由a4﹣a3=2,可求公差d,然后由a1+a2=10,可求a1,结合等差数列的通项公式可求(II)由b2=a3=8,b3=a7=16,可求等比数列的首项及公比,代入等比数列的通项公式可求b6,结合(I)可求【解答】解:(I)设等差数列{a n}的公差为d.∵a4﹣a3=2,所以d=2∵a1+a2=10,所以2a1+d=10∴a1=4,∴a n=4+2(n﹣1)=2n+2(n=1,2,…)(II)设等比数列{b n}的公比为q,∵b2=a3=8,b3=a7=16,∴∴q=2,b1=4∴=128,而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用,属于对基本公式应用的考查,试题比较容易.17.(13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?【分析】(1)从统计表可得,在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人,从而求得顾客同时购买乙和丙的概率.(2)根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人,求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.(3)在这1000名顾客中,求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率,从而得出结论.【解答】解:(1)从统计表可得,在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人,故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2.(2)在这1000名顾客中,在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300(人),故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3.(3)在这1000名顾客中,同时购买甲和乙的概率为=0.2,同时购买甲和丙的概率为=0.6,同时购买甲和丁的概率为=0.1,故同时购买甲和丙的概率最大.【点评】本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用,属于基础题.18.(14分)如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.【分析】(1)利用三角形的中位线得出OM∥VB,利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC;(2)证明:OC⊥平面VAB,即可证明平面MOC⊥平面VAB(3)利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积.【解答】(1)证明:∵O,M分别为AB,VA的中点,∴OM∥VB,∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,∴VB∥平面MOC;(2)∵AC=BC,O为AB的中点,∴OC⊥AB,∵平面VAB⊥平面ABC,OC⊂平面ABC,∴OC⊥平面VAB,∵OC⊂平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,∴AB=2,OC=1,∴S=,△VAB∵OC⊥平面VAB,∴V C=•S△VAB=,﹣VAB=V C﹣VAB=.∴V V﹣ABC【点评】本题考查线面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定,考查体积的计算,正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键.19.(13分)设函数f(x)=﹣klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.【分析】(1)利用f'(x)≥0或f'(x)≤0求得函数的单调区间并能求出极值;(2)利用函数的导数的极值求出最值,利用最值讨论存在零点的情况.【解答】解:(1)由f(x)=f'(x)=x﹣由f'(x)=0解得x=f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)上的情况如下:X (0,)()f'(x)﹣0+f(x)↓↑所以,f(x)的单调递增区间为(),单调递减区间为(0,);f(x)在x=处的极小值为f()=,无极大值.(2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f()=.因为f(x)存在零点,所以,从而k≥e当k=e时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()=0所以x=是f(x)在区间(1,)上唯一零点.当k>e时,f(x)在区间(0,)上单调递减,且,所以f(x)在区间(1,)上仅有一个零点.综上所述,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用,在高考中属于常见题型.20.(14分)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.【分析】(1)通过将椭圆C的方程化成标准方程,利用离心率计算公式即得结论;(2)通过令直线AE的方程中x=3,得点M坐标,即得直线BM的斜率;(3)分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论,利用韦达定理,计算即可.【解答】解:(1)∵椭圆C:x2+3y2=3,∴椭圆C的标准方程为:+y2=1,∴a=,b=1,c=,∴椭圆C的离心率e==;(2)∵AB过点D(1,0)且垂直于x轴,∴可设A(1,y1),B(1,﹣y1),∵E(2,1),∴直线AE的方程为:y﹣1=(1﹣y1)(x﹣2),令x=3,得M(3,2﹣y1),∴直线BM的斜率k BM==1;(3)结论:直线BM与直线DE平行.证明如下:当直线AB的斜率不存在时,由(2)知k BM=1,又∵直线DE的斜率k DE==1,∴BM∥DE;当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x﹣1)(k≠1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y﹣1=(x﹣2),令x=3,则点M(3,),∴直线BM的斜率k BM=,联立,得(1+3k2)x2﹣6k2x+3k2﹣3=0,由韦达定理,得x1+x2=,x1x2=,∵k BM﹣1====0,∴k BM=1=k DE,即BM∥DE;综上所述,直线BM与直线DE平行.【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题,涉及到韦达定理等知识,考查计算能力,注意解题方法的积累,属于中档题.第21页(共21页)。
2015年北京市高考数学试卷文科【名师推荐】
2015年北京市高考数学试卷(文科)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(5分)若集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则A∩B=()A.{x|﹣3<x<2}B.{x|﹣5<x<2}C.{x|﹣3<x<3}D.{x|﹣5<x<3} 2.(5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=23.(5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinx B.y=x2cosx C.y=|lnx|D.y=2﹣x4.(5分)某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90 B.100 C.180 D.3005.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的k值为()A.3 B.4 C.5 D.66.(5分)设,是非零向量,“=||||”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1 B.C.D.28.(5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升 B.8升 C.10升D.12升二、填空题9.(5分)复数i(1+i)的实部为.10.(5分)2﹣3,,log25三个数中最大数的是.11.(5分)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=.12.(5分)已知(2,0)是双曲线x2﹣=1(b>0)的一个焦点,则b=.13.(5分)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为.14.(5分)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是;②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是.三、解答题(共80分)15.(13分)已知函数f(x)=sinx﹣2sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,]上的最小值.16.(13分)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{a n}的第几项相等?17.(13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?18.(14分)如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.19.(13分)设函数f(x)=﹣klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.20.(14分)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.2015年北京市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共40分)1.(5分)若集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则A∩B=()A.{x|﹣3<x<2}B.{x|﹣5<x<2}C.{x|﹣3<x<3}D.{x|﹣5<x<3}【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可.【解答】解:集合A={x|﹣5<x<2},B={x|﹣3<x<3},则A∩B={x|﹣3<x<2}.故选:A.【点评】本题考查集合的交集的运算法则,考查计算能力.2.(5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2【分析】利用两点间距离公式求出半径,由此能求出圆的方程.【解答】解:由题意知圆半径r=,∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.故选:D.【点评】本题考查圆的方程的求法,解题时要认真审题,注意圆的方程的求法,是基础题.3.(5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinx B.y=x2cosx C.y=|lnx|D.y=2﹣x【分析】首先从定义域上排除选项C,然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系,相等的就是偶函数.【解答】解:对于A,(﹣x)2sin(﹣x)=﹣x2sinx;是奇函数;对于B,(﹣x)2cos(﹣x)=x2cosx;是偶函数;对于C,定义域为(0,+∞),是非奇非偶的函数;对于D,定义域为R,但是2﹣(﹣x)=2x≠2﹣x,2x≠﹣2﹣x;是非奇非偶的函数;故选:B【点评】本题考查了函数奇偶性的判断;首先判断定义域是否关于原点对称;如果不对称,函数是非奇非偶的函数;如果对称,再判断f(﹣x)与f(x)关系,相等是偶函数,相反是奇函数.4.(5分)某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90 B.100 C.180 D.300【分析】由题意,老年和青年教师的人数比为900:1600=9:16,即可得出结论.【解答】解:由题意,老年和青年教师的人数比为900:1600=9:16,因为青年教师有320人,所以老年教师有180人,故选:C.【点评】本题考查分层抽样,考查学生的计算能力,比较基础.5.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的k值为()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的a,k的值,当a=时满足条件a<,退出循环,输出k的值为4.【解答】解:模拟执行程序框图,可得k=0,a=3,q=a=,k=1不满足条件a<,a=,k=2不满足条件a<,a=,k=3不满足条件a<,a=,k=4满足条件a<,退出循环,输出k的值为4.故选:B.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题.6.(5分)设,是非零向量,“=||||”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由便可得到夹角为0,从而得到∥,而∥并不能得到夹角为0,从而得不到,这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项.【解答】解:(1);∴时,cos=1;∴;∴∥;∴“”是“∥”的充分条件;(2)∥时,的夹角为0或π;∴,或﹣;即∥得不到;∴“”不是“∥”的必要条件;∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件.故选:A.【点评】考查充分条件,必要条件,及充分不必要条件的概念,以及判断方法与过程,数量积的计算公式,向量共线的定义,向量夹角的定义.7.(5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1 B.C.D.2【分析】几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,结合直观图求相关几何量的数据,可得答案【解答】解:由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面为正方形如图:其中PB⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形∴PB=1,AB=1,AD=1,∴BD=,PD==.PC═该几何体最长棱的棱长为:故选:C.【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题,根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键8.(5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升 B.8升 C.10升D.12升【分析】由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,由此得到该车每100千米平均耗油量.【解答】解:由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8;故选:B.【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力.二、填空题9.(5分)复数i(1+i)的实部为﹣1.【分析】直接利用复数的乘法运算法则,求解即可.【解答】解:复数i(1+i)=﹣1+i,所求复数的实部为:﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题考查复数的基本运算,复数的基本概念,考查计算能力.10.(5分)2﹣3,,log25三个数中最大数的是log25.【分析】运用指数函数和对数函数的单调性,可得0<2﹣3<1,1<<2,log25>log24=2,即可得到最大数.【解答】解:由于0<2﹣3<1,1<<2,log25>log24=2,则三个数中最大的数为log25.故答案为:log25.【点评】本题考查数的大小比较,主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用,属于基础题.11.(5分)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=.【分析】由正弦定理可得sinB,再由三角形的边角关系,即可得到角B.【解答】解:由正弦定理可得,=,即有sinB===,由b<a,则B<A,可得B=.故答案为:.【点评】本题考查正弦定理的运用,同时考查三角形的边角关系,属于基础题.12.(5分)已知(2,0)是双曲线x2﹣=1(b>0)的一个焦点,则b=.【分析】求得双曲线x2﹣=1(b>0)的焦点为(,0),(﹣,0),可得b的方程,即可得到b的值.【解答】解:双曲线x2﹣=1(b>0)的焦点为(,0),(﹣,0),由题意可得=2,解得b=.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的焦点的求法,属于基础题.13.(5分)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为7.【分析】利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.【解答】解:由z=2x+3y,得y=,平移直线y=,由图象可知当直线y=经过点A时,直线y=的截距最大,此时z最大.即A(2,1).此时z的最大值为z=2×2+3×1=7,故答案为:7.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.14.(5分)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙;②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学.【分析】(1)根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次;(2)根据散点图2,观察丙的对应的坐标,如果横坐标大于纵坐标,说明总成绩名次大于数学成绩名次,反之小于.【解答】解:由高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知,两个图中,同一个人的总成绩是不会变的.从第二个图看,丙是从右往左数第5个点,即丙的总成绩在班里倒数第5.在左边的图中,找到倒数第5个点,它表示的就是丙,发现这个点的位置比右边图中丙的位置高,所以语文名次更“大”①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙;②观察散点图,作出对角线y=x,发现丙的坐标横坐标大于纵坐标,说明数学成绩的名次小于总成绩名次,所以在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学;故答案为:乙;数学.【点评】本题考查了对散点图的认识;属于基础题.三、解答题(共80分)15.(13分)已知函数f(x)=sinx﹣2sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,]上的最小值.【分析】(1)由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f(x)=2sin(x+)﹣,由三角函数的周期性及其求法即可得解;(2)由x∈[0,],可求范围x+∈[,π],即可求得f(x)的取值范围,即可得解.【解答】解:(1)∵f(x)=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin(x+)﹣∴f(x)的最小正周期T==2π;(2)∵x∈[0,],∴x+∈[,π],∴sin(x+)∈[0,1],即有:f(x)=2sin(x+)﹣∈[﹣,2﹣],∴可解得f(x)在区间[0,]上的最小值为:﹣.【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值的应用,属于基本知识的考查.16.(13分)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{a n}的第几项相等?【分析】(I)由a4﹣a3=2,可求公差d,然后由a1+a2=10,可求a1,结合等差数列的通项公式可求(II)由b2=a3=8,b3=a7=16,可求等比数列的首项及公比,代入等比数列的通项公式可求b6,结合(I)可求【解答】解:(I)设等差数列{a n}的公差为d.∵a4﹣a3=2,所以d=2∵a1+a2=10,所以2a1+d=10∴a1=4,∴a n=4+2(n﹣1)=2n+2(n=1,2,…)(II)设等比数列{b n}的公比为q,∵b2=a3=8,b3=a7=16,∴∴q=2,b1=4∴=128,而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用,属于对基本公式应用的考查,试题比较容易.17.(13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?【分析】(1)从统计表可得,在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人,从而求得顾客同时购买乙和丙的概率.(2)根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人,求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.(3)在这1000名顾客中,求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率,从而得出结论.【解答】解:(1)从统计表可得,在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人,故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2.(2)在这1000名顾客中,在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300(人),故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3.(3)在这1000名顾客中,同时购买甲和乙的概率为=0.2,同时购买甲和丙的概率为=0.6,同时购买甲和丁的概率为=0.1,故同时购买甲和丙的概率最大.【点评】本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用,属于基础题.18.(14分)如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB(3)求三棱锥V﹣ABC的体积.【分析】(1)利用三角形的中位线得出OM∥VB,利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC;(2)证明:OC⊥平面VAB,即可证明平面MOC⊥平面VAB(3)利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积.【解答】(1)证明:∵O,M分别为AB,VA的中点,∴OM∥VB,∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,∴VB∥平面MOC;(2)∵AC=BC,O为AB的中点,∴OC⊥AB,∵平面VAB⊥平面ABC,OC⊂平面ABC,∴OC⊥平面VAB,∵OC⊂平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,∴AB=2,OC=1,∴S=,△VAB∵OC⊥平面VAB,∴V C=•S△VAB=,﹣VAB=V C﹣VAB=.∴V V﹣ABC【点评】本题考查线面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定,考查体积的计算,正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键.19.(13分)设函数f(x)=﹣klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.【分析】(1)利用f'(x)≥0或f'(x)≤0求得函数的单调区间并能求出极值;(2)利用函数的导数的极值求出最值,利用最值讨论存在零点的情况.【解答】解:(1)由f(x)=f'(x)=x﹣由f'(x)=0解得x=f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)上的情况如下:X (0,)()f'(x)﹣0+f(x)↓↑所以,f(x)的单调递增区间为(),单调递减区间为(0,);f(x)在x=处的极小值为f()=,无极大值.(2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f()=.因为f(x)存在零点,所以,从而k≥e当k=e时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()=0所以x=是f(x)在区间(1,)上唯一零点.当k>e时,f(x)在区间(0,)上单调递减,且,所以f(x)在区间(1,)上仅有一个零点.综上所述,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用,在高考中属于常见题型.20.(14分)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率;(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.【分析】(1)通过将椭圆C的方程化成标准方程,利用离心率计算公式即得结论;(2)通过令直线AE的方程中x=3,得点M坐标,即得直线BM的斜率;(3)分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论,利用韦达定理,计算即可.【解答】解:(1)∵椭圆C:x2+3y2=3,∴椭圆C的标准方程为:+y2=1,∴a=,b=1,c=,∴椭圆C的离心率e==;(2)∵AB过点D(1,0)且垂直于x轴,∴可设A(1,y1),B(1,﹣y1),∵E(2,1),∴直线AE的方程为:y﹣1=(1﹣y1)(x﹣2),令x=3,得M(3,2﹣y1),∴直线BM的斜率k BM==1;(3)结论:直线BM与直线DE平行.证明如下:当直线AB的斜率不存在时,由(2)知k BM=1,又∵直线DE的斜率k DE==1,∴BM∥DE;当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x﹣1)(k≠1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y﹣1=(x﹣2),令x=3,则点M(3,),∴直线BM的斜率k BM=,联立,得(1+3k2)x2﹣6k2x+3k2﹣3=0,由韦达定理,得x1+x2=,x1x2=,∵k BM﹣1====0,∴k BM=1=k DE,即BM∥DE;综上所述,直线BM与直线DE平行.【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题,涉及到韦达定理等知识,考查计算能力,注意解题方法的积累,属于中档题.第21页(共21页)。
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绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)本试卷共5页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)一、选择题:共8个小题,每小题5分,共40分。
在每小题的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)若集合{}52,A x x =-<<{}33,B x x =-<<则AB =( )( A ) {}32x x -<< ( B ) {}52x x -<< ( C ) {}33x x -<< ( D ) {}53x x -<< (2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) (A )()()22111x y -+-= (B )()()22111x y ++-=(C )()()22112x y +++= (D )()()22112x y -+-=(3)下列函数中为偶函数的是( )(A )2sin y x x = (B )2cos y x x =(C )ln y x = (D )2xy -=(4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年人数为( )(A )90 (B )100 (C )180 (D )300类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计4300(5) 执行如图所示的程序框图,输出的k 值为( )(A )3 (B ) 4 (C) 5 (D) 6(6)设,a b 是非零向量,“a b a b ⋅=”是“a //b ”的( )(A ) 充分而不必要条件(B ) 必要而不充分条件 (C ) 充分必要条件(D ) 既不充分也不必要条件(7)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )(A) 1 (B ) 错误!未找到引用源。
(B ) 错误!未找到引用源。
(D) 2(8)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( )加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程(A )6升 (B )8升 (C )10升 (D )12升第二部分(非选择题共110分)二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) (9)复数()1i i +的实部为.(10)13222,3,log 5-三个数中最大数的是.(11)在ABC ∆中,23,6,,3a b A π==∠=则B ∠= . (12)已知()2,0是双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点,则b =.(13)如图,ABC ∆及其内部的点组成的集合记为D ,(),P x y 为D 中任意一点,则23z x y =+的最大值为 .(14)高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生。
从这次考试成绩看,①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 . ②在语文和数学两个科目中,两同学的成绩名次更靠前的科目是 .三、解答题(共6题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)(15)(本小题13分)已知函数()2sin 2x f x x =-. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值。
(16)(本小题13分)已知等差数列{}n a 满足124310, 2.a a a a +=-= (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==;问:错误!未找到引用源。
与数列{}n a 的第几项相等?(17)(本小题13分)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买。
商品 顾客人数甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98×√××(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大?(18)(本小题14分)如图,在三棱锥V ABC -中,平面VAB ⊥平面ABC ,VAB ∆为等边三角形,AC BC ⊥,且2AC BC ==,,O M 分别为,AB VA 的中点。
(Ⅰ)求证: VB //平面MOC ;(Ⅱ)求证:平面MOC ⊥平面VAB ; (Ⅲ)求三棱锥V ABC -的体积。
(19)(本小题13分)设函数()2ln ,02x f x k x k =->。
(I )求()f x 的单调区间和极值;(II )证明:若()f x 存在零点,则()f x 在区间(上仅有一个零点。
(20)(本小题14分)已知椭圆C :2233x y +=,过点()0,1D 且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于,A B 两点,直线AE 与直线错误!未找到引用源。
3x =交于点M 。
(1)求椭圆C 的离心率;(II )若AB 垂直于x 轴,求直线BM 的斜率;(III )试判断直线BM 与直线DE 的位置关系,并说明理由。
绝密★考试结束前2015年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)参考答案一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)(1)A (2)D (3)B (4)C (5)B (6)A (7)C (8)B 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)(9)1- (10)2log 5 (11)4π(12 (13)7 (14)乙 数学 三、解答题(共6小题,共80分)(15)(13分)解:(Ⅰ)()sin f x x x =2sin 3x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴()f x 的最小正周期为2π.(Ⅱ)20,3x π≤≤.33x πππ∴≤+≤ 当 3x ππ+= 时,即23x π=时,()f x 取得最小值.所以()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭(16)(共13分)解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d . 432, 2.a a d -=∴=又121110,210, 4.a a a d a +=∴+=∴=()()421221,2,.n a n n n ∴=+-=+=(Ⅱ)设等比数列{}n b 的公比为q .23328,16,b a b a ====12, 4.q b ∴==61642128.b -∴=⨯=由12822,63.n n =+∴= ∴6b 与数列{}n a 的第63项相等.(17)(共13分)解:(Ⅰ)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙, 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000= (Ⅱ)从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁, 另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品。
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=(Ⅲ)与(Ⅰ)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=, 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=,所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大。
(18)(共14分)解:(Ⅰ)因为,O M 分别为,AB VA 的中点, 所以OM VB 又因为VB ⊄平面MOC , OM ⊂平面MOC 所以VB平面MOC(Ⅱ)因为AC BC =,O 为AB 的中点, 所以OC AB ⊥.又因为平面VAB ⊥平面ABC ,且OC ⊂平面ABC , 平面VAB 平面ABC AB =所以OC ⊥平面VAB ,又因为OC ⊂平面MOC 所以平面MOC ⊥平面VAB(Ⅲ)在等腰直角ABC ∆中,AC BC ==所以2, 1.AB OC ==所以正VAB ∆的面积VAB S ∆= 又因为OC ⊥平面VAB ,所以13C VAB VAB V OC S -∆=⋅=又因为V ABC C VAB V V --=, 所以3V ABC V -=. (19) (共13分)解:(Ⅰ)由()()2ln 02x f x k x k =-> 所以()f x 的定义域为()0,+∞()2'.k x kf x x x x-=-=令()'0,f x = 解得x =()f x 与()'f x 在区间()0,+∞上的情况如下:所以,()f x 的单调减区间为(,单调增区间为)+∞;()f x 在x =f=()1ln 2k k -.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,()f x 在区间()0,+∞上的最小值为f=()1ln 2k k -. 因为()f x 存在零点,所以()1ln 2k k -0≤,所以k e ≥.① 当k e =时,()f x 在区间(上单调递减,且0f=.所以x =()f x 在区间(上的唯一的零点.② 当k e >时,()f x 在区间(上单调递减,且()110,0.22e kf f -=>=<所以()f x 在区间(上仅有一个零点.综上可知:若()f x 存在零点,则()f x 在区间(上仅有一个零点。
(20) (共14分)解:(Ⅰ)椭圆C 的标准方程为22 1.3x y +=所以a =1,b =c =所以椭圆C的离心率3c e a == (Ⅱ)因为直线AB 过点()1,0D 且垂直于x 轴, 所有可设()()111,,1,.A y B y - 直线AE 的方程为()()1112y y x -=--.令3x =, 得()13,2M y -.所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.(Ⅲ)直线BM 与直线DE 平行,证明如下:①当直线AB 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知1BM k =.又因为DE 的斜率101.21DE k -==- 所以BM DE ②当直线AB 的斜率存在时,设其方程为()()11.y k x k =-≠设()()1122,,,,A x y B x y 则直线AE 的方程为()11112.2y y x x --=-- 令3x =, 得点11133,2x y M x ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭.由()22331x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得()2222316330.k x k x k +-+-= 所以 212221226313331k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩直线BM 的斜率11212323BMx y y x k x +---=-. 因为()()()()()()()11212121131232132BMx k x k x x x x k x x +---------=-- ()()()()12122112332k x x x x x x --++-⎡⎤⎣⎦=--()()()2222213312133131032k k k k k x x ⎛⎫-+-+- ⎪++⎝⎭==--所以1BM DE k k ==, 所以BM DE 综上所述,直线BM 与直线DE 平行.。