二面角的定义

A
B

A
C a

A


B
O
O
a
B

面积法
A M
B
C
O N
三角形ABC在平面 N内的射影为BCO 三角形ABC的面积 为S，三角形BCO的 面积为S射
cos(∮)=
S射 S
例题分析 例1. 在棱长为a的正方体 ABCD－A1B1C1D1中， 求（1）平面C1BD与平面 ABCD所成角的大小； （2）二面角A－B1D1－C 的大小。
∵AB1在平面ABC内的射影为AB，CAAB， ∴CAB1A，AB=BB1=1，得AB1= 2。∵直线B1C与 平面ABC成300角，∴B1CB=300，B1C=2， Rt△B1AC中，由勾股定理得AC= 2 ，∴AQ=1。 在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN= 6 。
3
sinAQN=
6 3
。即二面角B-B1C-A的正弦值为
6 3
。
二面角
练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P 直圆所在的平面，C是圆上任一点， 则二面角P-BC-A的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A 2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等 于P到棱的距离的一半，则这个二 面角的度数是多少？ 60º
D A
O
D1 A1
P
C1 B1
C B
二面角
例2.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分 别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º ∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。 C 在 α 解： PB上取不同于P 的一点O， M 在α内过O作OC⊥AB交PM于C， P O A 在β内作OD⊥AB交PN于D， B 连CD，可得 D N ∠COD是二面角α-AB-β的平面角 β 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º ∴CO=a， DO=a， PC 2 a ， PD 2 a 又∵∠MPN=60º C ∴CD=PC 2 a
又∵PA=5，PB=8，AB=7 1 由余弦定理得 cos P
2 ∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º ∴这二面角的度数为120º
P A α
二面角
例4．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影 是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1， BC= 2，求二面角P-AB-C的正切值。
∴∠COD=90º 因此，二面角的度数为90º a
P
O
二面角
例3．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α ,PB⊥β,且 PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。
解：过PA、PB的平面PAB与 棱ι 交于O点 β B ∵PA⊥α ∴PA⊥ι ι O ∵PB⊥β ∴PB⊥ι ∴ι⊥平面PAB ∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
B1 C1 A1 Q
N
B A
C
分析：易知，平面ABC与 平面BCC1B1垂直故可由面 面垂直的性质来寻找从一 个半平面到另一个半平面 的垂线。
解：由直三棱柱性质得平面ABC ⊥平面BCC1B1， 过A作AN ⊥平面BCC1B1，垂足为N，则AN ⊥平 面BCC 1 B 1 ，（AN即为我们要找的垂线）在平面 BCB 1 内过N作NQ棱B 1 C，垂足为Q，连QA，则 NQA即为二面角的平面角。
平面ACD，
B
C
D
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∴平面ABD⊥平面BDC， 平面ACD⊥平面BDC。 ② 在图甲中 。 ∵AB=AC=a，∠BAC=90
(甲图）
BD=DC=BC/2=2/2
在图乙中 ∵△ABC是等边三角形
∴ ∠ BAC=60
。
D （乙图）
C
B
例6、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面 AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。
P
解：取AB 的中点为E，连PE，OE
1 OE 2 BC
∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º ∴OE∥BC且 OE⊥AB ，因此 PE⊥AB A ∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角 1 3 在Rt△PBE中，BE 2，PB=1，PE 2
E B O
C
在Rt△POE中， OE 2 tanPEO ∴ 2 2 ∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为 2
二、二面角的求法 1、直接法： ⑴定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角。 ⑵三垂线定理法: 在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB，垂足为B，
⑶垂面法:
a
O
再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则∠AOB就是 二面角的平面角。 过二面角内一点A作AB⊥ 于B，作AC⊥ 于C，面ABC交棱a于点 O，则∠BOC就是二面角的平面角。

1 2 2 ，PO 2
P
E
O
例5 已知：Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的 高，以AD为折痕使∠BDC成直角。 求证：① 平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC 。 ② ∠ BAC = 60 A
证明：① 在图乙中 ∵AD⊥BD，AD⊥DC， ∴AD⊥平面BDC， 又∵AD 平面ABD，AD
二面角
二面角
一、二面角的定义
从空间一直线出发的 两个半平面所组成的 图形叫做二面角。
α
ι
β
二面角
二面角的平面角
一个平面垂直于二面角
的 棱 ， 并 与 两 半 平
面分别相交于射线 PA、PB 垂足为P，则∠APB叫做二面
ι
γ
P A B
β
角 的平面角
α
二面角的求法
ι
ι
O A
α
二面角的求法
几点说明：
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向 棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角 在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。 ⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另 一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法 得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。
△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为△A1B1C1，故这两个 平面所成二面角的余弦值为
S A1B1C1 S AB1E 2 3
A1 D1 C1 B1 E M
D
C
A
B
例7：在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中， BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与 平面ABC成300角，求二面角B-B1CA的正弦值
C
B
β
B
p
α
O
ι
A
二面角
一、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
ι
β α
二、二面角的平面角
ι
α
β
小
结
1、定义 B γ P A 2、求二面角的平面角方法 ①点P在棱上 —定义法 ②点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③点P在二面角内 —垂面法
ι
p
B
α
β
A B
pβ
β
B
p
α
A
⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选 择，所以此法一般不用。
⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。
⑸间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积 公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避 免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。
A
AB=AD， BC=CD
已知三个侧面的顶 角,求相邻两个侧 面所成的角
B
D
C
注意一些全等 三角形或相似 三角形
已知:四棱锥P-ABCD的底面ABCD是AB=2,BC= 2的矩形, 侧面PAB是等边三 角形,且侧面PAB 底面ABCD.求平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角 的正弦值.
Ｐ
Ａ Ｅ Ｂ Ｆ
Ｄ
Ｃ
如下图：ＡＢＣＤ是正方形，Ｖ是平面ＡＢＣＤ外一点，且ＶＡ＝ＡＢ＝ＶＣ＝ＡＢ， 求二面角Ａ－ＶＢ－Ｃ的大小。
Ｖ
Ｄ Ａ
Ｅ Ｃ
Ｂ
在三棱角S-ABC中,SA 平面ABC , AB BC , DE垂直平分SC , 且分别交 AC , SC于D, E , 又SA AB a, BC (1)求证 : SC 平面BDE; (2)求平面BDE与平面BDC所成的二面角大小. 2a ,