华中科技大学 流体力学第五章_3

T0 1 2 1.4 1 1 Ma1 1 0.522 1.0541 T1 2 2
1.4 p0 T0 1 1.05411.41 1.2024 p1 T1 p0 1.2024 p1 1.2024 400 kPa 481 kPa
1
1 pe 2c pT0 1 p0
质量流量是压强比的函数。
求质量流量的极大值：
dQm 0 dpe
2 pe p0 1
1
p p0
2 1
1
Qm 8.5 Ae m2 3.36 103 m2 eue 2.7649 915.2
确定喷管喉部气流参数及喉部截面积：
p0 28 105 0 kg/m3 7.8404 kg/m3 RT0 462 773
2 0 1
1 1
2 7.8404 1.33 1
1 1.331
kg/m3 4.9363 kg/m3
2 2 T T0 773 K 663.5 K 1 1.33 1
c RT 1.33 462 663.5 m/s 638.5 m/s
Qm 8.5 A m2 2.697 103 m2 c 4.9363 638.5
2 1 Mae 1 1.5772 1.33 1 0.709
ue Mae RTe 1.5772 1.33 462 548 m/s 915.2 m/s
pe 7 105 e kg/m3 2.7649 kg/m3 RTe 462 548

pb 200 p 0.4158 0.5283 p0 481 p0
出口截面上已达到了临界状态，因此马赫数为 Mae = 1 由截面 A1 的流动参数计算质量流量：
p1 400 103 1 kg/m3 4.9776 kg/m3 RT1 287 280
u1 Ma1 RT1 0.52 1.4 287 280 m/s 174.4 m/s
1 1.4
pe p
pe p 0.5283 p0 p0
2.1117 0.0012 0.5283 0.5340 kg / s
1.4 1 2 1004.5 330 1 0.5283 1.4 kg / s
例 空气在收缩喷管做等熵流动，已知某截面截面积 A1=10 cm2，压强、温度和马赫数分别为 p1 = 400 kPa 、T1 = 280 K 和 Ma1 = 0.52，喷管出口 背压 pb = 200 kPa。求出口截面气流马赫数Mae及喷 管质量流量Qm。 解 为判断背压是否小于临界压强，先由截面 A1的流动 参数求滞止参数。
习题
5-21，5-23，5-25
2．收缩喷管 设收缩喷管进口截面处于滞止状态
由能量方程
ue2 c pTe c pT0 2
T0 , p 0
Te, pe, ue
得到出口速度：
Te ue 2c p T0 Te 2c pT0 1 T0
1 pe ue 2c pT0 1 p0
cp
R 1.4 287 J/(kg K) 1004.5 J/(kg K) 1 1.4 1
1
pe Qm 0 Ae p0
1 pe 2c pT0 1 p0
p/p0
5
x Ma
5
x
例 用缩放喷管把常数 R = 462 J/(kgK)， = 1.33 的过热蒸 汽由亚声速加速为超声速，加速过程近似等熵。已知气 流滞止压强 p0 = 28105 Pa，滞止温度 T0 = 773 K，出口 背压 pb = 7105 Pa。如果喷管设计质量流量Qm = 8.5 kg/s， 试确定出口截面及喉部截面气流参数和管道几何参数。 解 首先确定出口截面上气流各参数和出口截面积： 要求喷管在设计工况下工作，出口截面上气流压 强等于背压，即
Ma
5
A 1 2 1 Ma A* Ma 1
2
1 2 1
1 Ma 2 dp dA 2 Ma p A
x x
p/p0
5
x
x
继续减小背压，扩散段出现超 声速及强烈的压缩波(激波)。压 强和马赫数沿曲线4 变化。气流 通过激波时，p/p0和 Ma沿曲线5 突然上升和下降，成为亚声速。 在出口截面压强达到背压。
x x
p/p0
5
再减小背压，激波向管口移动， 在管口外形成斜激波，斜激波 最终消失。在收缩段为亚声速， 在扩散段为超声速，管内不出 现激波，出口截面压强刚好等 于背压， p/p0和 Ma沿曲线4变 化。这是一种理想的流动状态， 也称为设计工况。
x
Ma
5
x
x x
进一步减小背压，管中的流动 状态不会被改变， p/p0和 Ma仍 然沿曲线 4变化，但是出口截面 压强却大于背压，气体流出管口 后还要经历一个膨胀过程，使压 强最终下降到背压。
p
出口截面上气流为临界状态时喷管流量达到最大。
背压 pb -- 出口外的环境压强 对于不可压缩流体， pe 总是等于 pb。 对于可压缩流体，
当 pb > p*时，pe = pb，出口截面上的流速小于声速；
当 pb < p*时，pe = p*，出口截面上的流速等于声速。
在声速气流中扰动只会影响扰动源的下游，不会 影响上游。当喷管出口达到临界状态后，背压再减小 也不会影响到上游管道内的流动状态，所以流量也不 会再增加了。
1
2 1.4 1
1.4 1.4 1
0.5283
当 pb = 120 kPa，pb/p0 = 0.6 > p*/p0，出口截面未达 到临界状态，流体压强等于背压，即 pe = pb 。
p0 200 103 0 kg/m3 2.1117 kg/m3 RT0 287 330
pe pb 7 105 Pa
Te pe T0 p0
1
7 28
1.331 1.33
0.7090
Te 0.709T0 0.709 773 K 548 K
T0 1 2 1 Mae Te 2 1 1.33 1 1 Mae2 0.709 2
当 pb = 100 kPa，pb/p0 = 0.5 < p*/p0，出口截面流动已达 到临界状态，流体压强等于临界压强，即 pe = p* 。
pe Qm 0 Ae p0
1
1 pe 2c pT0 1 p0
例 空气自大容器经收缩喷管流出，容器内流体压强 p0 = 200 kPa，温度 T0 = 330 K，喷管出口截面积 Ae=12 cm2。求出口外背压分别为 pb = 120 kPa 和 pb = 100 kPa时的喷管质量流量 Qm。
Leabharlann Baidu
解 先判断背压是否小于临界压强。对于空气 =1.4 ，
p 2 p0 1
1 1.4
pe = pb=120 kPa
1.4 1 1.4 120 120 2.1117 0.0012 2 1004.5 330 1 kg / s 200 200 0.5279 kg / s
Qm 1u1 A1 4.9776 174.4 103 kg/s 0.8681 kg/s
3．缩放喷管(拉伐尔(Laval)喷管) 由收缩段和扩散段组成， 可产生超声速气流。 设入口截面压强为 p0 。 当背压等于 p0，没有流动， 压强沿曲线 1变化。 减小背压，亚声速，p/p0 及 Ma 沿曲线 2变化。 再减小背压，在喉部达到声 速。扩散段仍然为亚声速， 流动减速，压强上升，在 出口截面压强上升为背压。 p/p0和 Ma 沿曲线 3 变化。
Te pe T0 p0
1
出口压强相对于滞止压强越小，速度越大。
质量流量：
p 0 p 0
1
1 pe ue 2c pT0 1 p0
pe Qm eue Ae 0 Ae p0