不定积分第二种换元法
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不定积分的第二类换元积分法
回 代
ln
x2 a2 x
a
a
C1
ln |xx2a2| C 1-ln a
ln|x x2a2|C
❖（2）根式代换(去根式)
例4
求
1 dx x(13 x)
解 令 xt6 (t 0),dx6t5dt
1 dx x(13 x)
6t5 dt t 3 (1 t 2 )
6t 2 1 t2
dt
6
t2 1-1 1t2 dt
2 x2-a2 atant.
d xasettcatn dt
ysexc
例1 求 a2-x2dx (a0)
解 令 xasitn dxaco tdtst - ,
2 2
a2 -x2dx a2-a2sin 2tacotsdt
a2co2stdt
a2
1co2stdt 2
辅助三角形
a2 1
(t sin2t)C
1 dx x4 1
t-3
t1-41-t12dt
- t3 dt -1 1 dt(41)
1 t 4
4 1t4
-1 1t4 C 2
x4 1 2x2
C.
13
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铃
（2）求
dx 4x2 9
解
dx
4x2 9
dx
(2x)2 32
1 d(2x) 2 (2x)2 32
1ln2x 4x29C 2
不定积分的第二类换元积分法
1
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铃
一、第二类换元法根本定理
❖定理2
设xj(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f [j(t)]j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式
《微积分》第二节 不定积分的第二类换元积分法
dx a sec t tan t d t
∴ 原式
a sect tan t a tan t
dt
sect d t
ln sec t tan t C1
t
ln
x a
x2 a2 a
C1
x2 a2
(C C1 ln a)
当x a 时 , 令 x u , 则 u a , 于是
du u 2 a2 ln u
2
,
2
sec tdt ln| sect tan t | C1
ln
x a
ln( x
x2 a
a2
C1
x2 a2 ) C.
x2 a2
x
t a
(C C1 ln a)
例4. 求
解:
当x
a时,
令
x
a sec t
,
t
(0,
π 2
)
,
则
x2 a2 a2 sec2 t a2 a tan t
x5 dx
1 x2
t2 1 2
t tdt
t 4 2t 2 1 dt
1 t5 2 t3 t C 1 (8 4x2 3x4 ) 1 x2 C.
53
15
例6 求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 e x e x t 2 1,
x lnt2 1,
dx
t
2t 2
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1( x) 是 x (t)的反函数 .
证: 设 f [ (t)] (t)的原函数为 (t) , 令 F ( x) [ 1( x) ] (t) f [ (t)] (t)
则
不定积分(二)
不定积分
令 x = sec t , 则 dx = sect tantdt
∴∫ 1
∫
dx x 1
2
1
dx = ∫ sect tan tdt 2 x2 1 sec t 1 1 =∫ sec t tan tdt = ∫ sec tdt tan t
1
1 cos t 1 =∫ dt = ∫ dt = ∫ d sin t 2 2 cos t cos t cos t
t 1 +1 t dt = ∫ dt = ∫ 2 2 1+ t 1+ t
8
8
(t ) 1 + 1 (t 1)(t + 1) + 1 = ∫ dt = ∫ dt 2 2 1+ t 1+ t
4 2 4 4
不定积分
(t 2 1)(1 + t 2 )(t 4 + 1) + 1 = ∫ dt 2 1+ t
1 1 1 1 = ∫ dt + 2(9 x2 ) 2 = t + (9 x2 ) 2 + C 2 3
x 2 = arcsin + 9 x + C 3
不定积分
2,令 x = tant, 则 dx = sec tdt ,
2
∫
1+ x2 dx x
∫
1+ x dx = ∫ x
2
1 + tan 2 t sec2 tdt tan t
1
1+ x2
t
x
3,令 x = 3 sec t , 则 dx = 3sect tantdt ∫ x
1
2
1 x 9
2
dx
∫x
令 x = sec t , 则 dx = sect tantdt
∴∫ 1
∫
dx x 1
2
1
dx = ∫ sect tan tdt 2 x2 1 sec t 1 1 =∫ sec t tan tdt = ∫ sec tdt tan t
1
1 cos t 1 =∫ dt = ∫ dt = ∫ d sin t 2 2 cos t cos t cos t
t 1 +1 t dt = ∫ dt = ∫ 2 2 1+ t 1+ t
8
8
(t ) 1 + 1 (t 1)(t + 1) + 1 = ∫ dt = ∫ dt 2 2 1+ t 1+ t
4 2 4 4
不定积分
(t 2 1)(1 + t 2 )(t 4 + 1) + 1 = ∫ dt 2 1+ t
1 1 1 1 = ∫ dt + 2(9 x2 ) 2 = t + (9 x2 ) 2 + C 2 3
x 2 = arcsin + 9 x + C 3
不定积分
2,令 x = tant, 则 dx = sec tdt ,
2
∫
1+ x2 dx x
∫
1+ x dx = ∫ x
2
1 + tan 2 t sec2 tdt tan t
1
1+ x2
t
x
3,令 x = 3 sec t , 则 dx = 3sect tantdt ∫ x
1
2
1 x 9
2
dx
∫x
25-不定积分换元法
万能凑幂法
f(xn)xn1dx1n f(xn)dxn f (xn)1xdx1 n f(xn)x1ndxn
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1) dx d(4x) (2)
4 x 4x
(3)
x 4x2
(2)0 a2 1x2dx1aarctaaxnC
(2)1
1 x2a2
dx1 lnxa 2a xa
C
(2)2
1 dxarcsinx C
a2x2
a
(2)3
1 dxlnx ( x2a2)C
ln xex ln1xex C xlnxln 1xexC
分析:
1 xex(1 xex)
1xexx(e1xxxeexx)
1 xex
11xex
(x1)exdxxexdxexdxd(xex)
例15. 求 ff((xx))f(fx)3(fx2)(x)dx.
解: 原式 ff((xx))1ff(x 2)(fx()x)dx
x2a2
a2 C
x2 a2
例12 . 求 co4sxdx.
解: c4 ox s(c2x o )2s(1cos2x)2 2
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (t2 a x n 1 )2dstae 2 nxxd c x
(t4 a x 2 n ta 2x n 1 )d ta xn
1 tan5 x 2 tan3 x taxn C
第二类换元法
第四章
不定积分 不定积分的第二类换元法
定理 设
是单调可导函数, 且
具有原函数, 则有换元公式
其中 t 1( x)是 x (t)的反函数.
证 设 f [ (t)] (t)的原函数为(t), 令F ( x) [ 1( x)]
则
F ( x)
d dt d t dx
f [ (t)] (t)
1((tt))
a
0
f
(t)d t
a
0
f (x)dx
a
0 [ f ( x) f (x)]dx
令 x t
当 f ( x) f ( x)时
当 f ( x) f ( x)时
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例4 填空
2
sin 5x cos 7 x d x
2
0.
例5 填空
d dx
x
0
sin100
(
x
t)
d
t
_s_in__10_0_x__
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例6
求
xd x d x. 3x2 4
解
原式
1 6
d(3 x 2 3x2
4) 4
1 3
3x2 4 C.
例7 求
解
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C.
暨南大学珠海学院苏保河主讲
x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 = a2
2 cos2 t d t
0
y a2 x2
a2 2
2 0
(1
不定积分 不定积分的第二类换元法
定理 设
是单调可导函数, 且
具有原函数, 则有换元公式
其中 t 1( x)是 x (t)的反函数.
证 设 f [ (t)] (t)的原函数为(t), 令F ( x) [ 1( x)]
则
F ( x)
d dt d t dx
f [ (t)] (t)
1((tt))
a
0
f
(t)d t
a
0
f (x)dx
a
0 [ f ( x) f (x)]dx
令 x t
当 f ( x) f ( x)时
当 f ( x) f ( x)时
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例4 填空
2
sin 5x cos 7 x d x
2
0.
例5 填空
d dx
x
0
sin100
(
x
t)
d
t
_s_in__10_0_x__
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例6
求
xd x d x. 3x2 4
解
原式
1 6
d(3 x 2 3x2
4) 4
1 3
3x2 4 C.
例7 求
解
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C.
暨南大学珠海学院苏保河主讲
x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 = a2
2 cos2 t d t
0
y a2 x2
a2 2
2 0
(1
不定积分第二种换元法
通过简单的积分问题，如 $int x^2 dx$，展示如何使用第二种换元法进行求解。解析过程中强调变量代 换和积分区间的调整。
复杂实例解析
总结词
复杂实例展示了方法的实际应用
详细描述
选取具有挑战性的不定积分问题，如 $int frac{e^x}{x} dx$，逐步展示如何通过第二种 换元法化简积分，并最终得出答案。
扩展微积分的应用范围
掌握第二种换元法后，学生可以在更广泛的 领域应用微积分知识，解决实际问题。
在其他数学领域的应用
在实变函数中的应用
实变函数是研究实数范围上的函数的数学分 支，第二种换元法在实变函数中也有广泛的 应用。
在复变函数中的应用
复变函数是研究复数范围内函数的数学分支， 其中许多问题可以通过第二种换元法得到解 决。
在第二种换元法中，首先需要选择一个适当的换元函数，通常是为了简化被积函数的形式。然后确定新变量的范 围，将原不定积分中的自变量替换为新变量。接着将被积函数转化为新变量的函数，最后根据新变量的范围计算 不定积分的结果。
04
第二种换元法实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例有助于理解基本概念和方法
详细描述
THANKS
感谢观看
03
第二种换元法原理
第二种换元法的定义
总结词
不定积分的第二种换元法是通过引入新的变量来简化不定积分的过程。
详细描述
不定积分的第二种换元法是一种基于变量替换的方法，通过选择适当的换元函 数，将原不定积分转化为更易于计算的形式。
第二种换元法的适用范围
总结词
第二种换元法适用于被积函数难以直接积分的情况，尤其是含有根号或三角函数 的不定积分。
意义
不定积分第二种换元法的意义在于，它提供了一种有 效的工具来解决一些难以处理的不定积分问题。在实 际应用中，许多物理、工程和科学问题都需要解决不 定积分，而第二种换元法可以帮助我们更准确地计算 这些不定积分，从而为解决实际问题提供更可靠的数 学支持。此外，不定积分第二种换元法也是数学理论 体系的重要组成部分，它推动了数学的发展和进步。
复杂实例解析
总结词
复杂实例展示了方法的实际应用
详细描述
选取具有挑战性的不定积分问题，如 $int frac{e^x}{x} dx$，逐步展示如何通过第二种 换元法化简积分，并最终得出答案。
扩展微积分的应用范围
掌握第二种换元法后，学生可以在更广泛的 领域应用微积分知识，解决实际问题。
在其他数学领域的应用
在实变函数中的应用
实变函数是研究实数范围上的函数的数学分 支，第二种换元法在实变函数中也有广泛的 应用。
在复变函数中的应用
复变函数是研究复数范围内函数的数学分支， 其中许多问题可以通过第二种换元法得到解 决。
在第二种换元法中，首先需要选择一个适当的换元函数，通常是为了简化被积函数的形式。然后确定新变量的范 围，将原不定积分中的自变量替换为新变量。接着将被积函数转化为新变量的函数，最后根据新变量的范围计算 不定积分的结果。
04
第二种换元法实例解析
简单实例解析
总结词
简单实例有助于理解基本概念和方法
详细描述
THANKS
感谢观看
03
第二种换元法原理
第二种换元法的定义
总结词
不定积分的第二种换元法是通过引入新的变量来简化不定积分的过程。
详细描述
不定积分的第二种换元法是一种基于变量替换的方法，通过选择适当的换元函 数，将原不定积分转化为更易于计算的形式。
第二种换元法的适用范围
总结词
第二种换元法适用于被积函数难以直接积分的情况，尤其是含有根号或三角函数 的不定积分。
意义
不定积分第二种换元法的意义在于，它提供了一种有 效的工具来解决一些难以处理的不定积分问题。在实 际应用中，许多物理、工程和科学问题都需要解决不 定积分，而第二种换元法可以帮助我们更准确地计算 这些不定积分，从而为解决实际问题提供更可靠的数 学支持。此外，不定积分第二种换元法也是数学理论 体系的重要组成部分，它推动了数学的发展和进步。
不定积分第二类换元法公式
不定积分第二类换元法公式
换元的根本目的是要将式子中原本的根号去掉。
比如：
被积函数含根式√(a^2-x^2），令x = asint，源式化为a*cost。
利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式x = φ(t)。
此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。
由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法：
（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b），可直接令t =√(ax+b）；
（2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：
被积函数含根式√(a^2-x^2），令x = asint
被积函数含根式√(a^2+x^2），令x = atant
被积函数含根式√(x^2-a^2），令x = asect
注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便。
20190917考点9 不定积分的第二换元法
勾股定理
9-1，(2016 年 15 题 4 分)计算：
(
1 x
1
1 x2
)dx
_______
9-2，(2016 年 24 题 8 分)计算：计算 x cos x2dx
9-3，(2015 年 7 题 4 分) (x2 sin x)dx 【 】
A. -2x-1+cosx+C
1 dt
a2 sin 2 t
1
a2
csc2 x
1 a2
cot
t
C
1 a2
a2 x2 C x
根据三角函数定义，由图可见：
设 x=a•tant,有 sint= x a2 x2
则 dx=asec2tdt； 1 = a2 x2 sint x
a2 x2 a2(1 tan2 t) asect
ln | t 1 | C t 1
ln | x 2 1 | C x 2 1
倍数是 6，设 6 x =t>0，则
x
3
=t
3
x
=t2,有
6
5
x=t ,dx=6t dt,
dx
x3 x
6t 5 t3 t2
dt
6
t
t3
1
dt
6
t
3
1 t 1
1
dt
9-6，(2015 年 23 题 8 分) 计算
4
x x2
dx
3
考点习题：用第二换元法求不定积分 (答 案)
(1)
x 1 dx
3 3x 1
求不定积分的几种基本方法
(7) sec2 xdx d tan x; (8) csc2 xdx d cot x;
(9)
1 dx d arcsin x;
1 x2
(10)
1 1 x2
dx
d
arctan
x.
二、 第二类换元法
第一类换元法是通过变量代换 u (x) ，将积分
f ((x))(x)dx 化为积分 f (u)du ．第二类换元法是通 过变量代换 x (t) ，将积分 f (x)dx 化为积分 f ((t))(t)dt. 在求出后一个积分后,再以 x (t) 的
设函数 u u(x) 及 v v(x) 具有连续导数．那么，
(uv) uv uv, 移项，得 uv (uv) uv.
目录 上一页 下一页 退 出
对这个等式两边求不定积分，得
uvdx uv uvdx.
（5-4）
公式（5-4）称为分部积分公式. 如果积分 uvdx
不易求,而积分 uvdx 比较容易时,分部积分公式就可用了.
作代换 x asin t 或 x acost ；含有 x2 a2 时，可作
代换 x a tant；含有 x2 a2 时，可作代换 x asect.
利用第二类换元法求不定积分时，还经常用到倒代换
即 x 1 等．
例19
求
t dx
x
. x2 1
解
令
x
1 t
,则
1 dx dt,
t2
因此
x2 1
x
在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到
的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分
公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中 常数a＞0).
(14) tan xdx ln cos x C
不定积分的第二类换元积分法
dt t C
x 回代： arcsin C a
>>>
例7 求
解
1 a 2 x 2 dx
(a 0)
原式
x a tant
1 (a sec t )2 d (a tant )
1 1 dt t C a a 1 x 回代： arctan C a a
（ 2） 求 解
dx
dx 4x2 9
4x2 9 dx
(2 x) 2 32
1 d ( 2 x) 2 (2 x) 2 32
1 ln 2 x 4 x 2 9 C 2
（ 3） 求 解
xdx 2x x2 xdx
2x x2
( x 1)dx 2x x
6t 2 t 2 1 1 dt 6 dt 2 2 1 t 1 t
1 6 1 dt 6[t arctant ] C 2 1 t
6[6 x arctan6 x ] C
根式代换(去根式) 1 dx 例4 求 1 ex
第四章
第三节
不定积分
不定积分的换元积分法
主要内容：
第二类换元法.
内 容 回 顾
一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=(x)可导, 则有
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u )du ] f [ ( x)] ( x)dx
F [ ( x)] C
2 2
a 2 x 2 dx a 2 a 2 sin 2 t a costdt
2
求不定积分的几种基本方法
x
dx x2
1
1 dt arcsin t C arcsin 1 C.
1 t2
x
综合起来，得
x
dx arcsin 1 C.
x2 1
x
在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到
的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分 公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中 常数a＞0).
1 2x
dx 3
1 2
1 2x
3
(2x
3)dx
1 2
1 2x
3
d(2x
3)
1 2
1du u
1 ln u C 1 ln 2x 3 C.
2
2
，
一般地，对于积分
f (ax b)dx 总可以作变量代换
u ax b，把它化为
f
(ax
b)dx
3
1
(x2
3
1) 2
C.
3
例5 求
xex2 dx.
解 令 u x2,则 du 2xdx ,有
xex2 dx 1 ex2 (2x)dx 1 eudu
2
2
，
1 eu C 1 ex2 C.
2
2
凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式．在
解 为使被积函数有理化．利用三角公式
令 x a sin t,t ( , ), 则它是
22
sin2 t cos2 t 1
关于不定积分中第二类换元法思想的探讨
第二类换元法是指将不定积分的求解过程转化为一个关于一个变量的定积分的求解。
这种方法主要用于求解形如$\int f(x,y)dx$ 或$\int f(x,y)dy$ 的不定积分。
具体来说，第二类换元法的基本思想是：将原本关于$x$ 或$y$ 的不定积分，通过换元的方式转化为关于另一个变量的定积分，然后利用定积分的求解方法求解。
例如，对于不定积分$\int f(x,y)dx$，假设存在一个变量$t=t(x,y)$，使得$dt=f(x,y)dx$。
那么，原来的不定积分$\int f(x,y)dx$ 就可以转化为$\int dt=\int t(x,y)dt$ 的形式，即一个关于$t$ 的定积分。
这样，就可以利用定积分的求解方法，解决原来的不定积分问题。
同样地，对于不定积分$\int f(x,y)dy$，也可以通过类似的方法将其转化为关于另一个变量的定积分。
第二类换元法的关键在于找到合适的变量$t$，使得原本的不定积分能够转化为关于$t$ 的定积分。
通常需要利用高中数学中学过的一些技巧，才能找到合适的变量$t$。
第二类换元法是一种有效的解决不定积分问题的方法，在数学学习和应用中有重要的意义。
然而，要想使用第二类换元法求解不定积分，需要先掌握较为熟练的定积分求解技巧，才能保证求解的准确性。
此外，在使用第二类换元法时，需要注意一些问题，例如换元后可能出现的分段定积分等。
这些问题可能会导致求解过程的复杂性增加，因此需要谨慎处理。
总的来说，第二类换元法是一种有效的解决不定积分问题的方法，但也需要先熟悉定积分的基本知识，并注意一些问题，才能在求解过程中取得成功。
不定积分 换元法
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求 解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 a
du
1
a m 1
1
u
m 1
C
注: 当
时
例2. 求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
想到公式
1 a
2
解:
1 ( x)2
a
dx
1 u2
arctan u C
dx
du
令u
2
2
2
dx
2
(x 2
2
a )
2
2
1 2
d( x a )
2
3 2
a
2
(x
2
a )
d( x a )
2
2
例12 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 2 1 (1 2 cos 2 x cos 2 x) 4
4 2 2
1
x a
, 则 du 1 a
1 a
a 1 u2
du
arctan u C
例3. 求
解:
a
dx
x 2 1 (a)
x d (a) x 1 (a) 2
想到
du 1 u
2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
3
例9. 求 解法1
1 ex .
dx
(1 e ) e 1 e
不定积分第2换元法
2011-3-14
不定积分的计算
例12
解法 1
dt 分项 dt dt 解： I 3 = ∫ = ∫ −∫ x 1+ e = t t (t − 1) t −1 t
回代
dx 求 I3 = ∫ 1+ ex
= ln( t − 1) − ln t + C = x − ln(1 + e ) + C
x
1+ e − e e dx I3 = ∫ 1 + e x dx = ∫ dx − ∫ 1 + e x 凑微分，分项 x d ( e + 1) x = x − ln( e + 1) + C = x−∫ x e +1
x
x2 − a2
====== =====
t = arccos 代回
1 a
∫
1 dt = t + C a a + C x
t
a
sin t = x 2 − a 2 / x cot = a / x tan t = x 2 − a 2 / a
a x
1 arccos a
( x ∈ ( a , +∞ ))
解法 2 x x x
2011-3-14
不定积分的计算
第一、二换 元法的异同
(1) 两种换元法都以下面积分等式为依据： 两种换元法都以下面积分等式为依据： ∫ f ( x ) dx = ∫ f [ϕ ( t )] ϕ ′ ( t ) dt = ∫ g ( t ) dt
其中： x = ϕ ( t )
(2) 两种换元法的区别在于： 两种换元法的区别在于：
2011-3-14
− 代回t =arcsin x21
不定积分的计算
例12
解法 1
dt 分项 dt dt 解： I 3 = ∫ = ∫ −∫ x 1+ e = t t (t − 1) t −1 t
回代
dx 求 I3 = ∫ 1+ ex
= ln( t − 1) − ln t + C = x − ln(1 + e ) + C
x
1+ e − e e dx I3 = ∫ 1 + e x dx = ∫ dx − ∫ 1 + e x 凑微分，分项 x d ( e + 1) x = x − ln( e + 1) + C = x−∫ x e +1
x
x2 − a2
====== =====
t = arccos 代回
1 a
∫
1 dt = t + C a a + C x
t
a
sin t = x 2 − a 2 / x cot = a / x tan t = x 2 − a 2 / a
a x
1 arccos a
( x ∈ ( a , +∞ ))
解法 2 x x x
2011-3-14
不定积分的计算
第一、二换 元法的异同
(1) 两种换元法都以下面积分等式为依据： 两种换元法都以下面积分等式为依据： ∫ f ( x ) dx = ∫ f [ϕ ( t )] ϕ ′ ( t ) dt = ∫ g ( t ) dt
其中： x = ϕ ( t )
(2) 两种换元法的区别在于： 两种换元法的区别在于：
2011-3-14
− 代回t =arcsin x21
不定积分第2换元法
sin
x1 2
2 arcsin x 1 x 1
4 (x 1)2 C
sin
2t
x1 2
4( x1)2
22
2020/2/29
不定积分的计算
例11 求积分 I
dx
x x2 a2
(a 0)
解：当a x 时，令x 1, t (0, 1 )
t
a
解：当0 x a,
xa sin t ,dxa costdt
I1
a2 x2 a cost
a2 a4
cos2 sin 4
t t
dt
a
t
x c ostsin
t
x/ a2
a x2
/
a
a2 x2 tan t x / a2 x2
1 sec2 t 积分 1 1
第二换元法例(续1)
解：I 2
ax,代换asect tan tdt
x aSe c t x 2 a 2 atgt
a sect a tan t
x
x2 a2
整理
1
dt 1 t C
a
a
sin t x2 a2 / x
t
a
令x12sin t
4 cos2 tdt 2 (1 cos2t)dt
4( x1)2 2cost
sin 2t 2sin t cost
分项积分
2t sin 2t C
2 t
x-1 2 x 1 4 (x 1)2
4 (x 1)2
2
2
代回t
a
rc
不定积分第二类换元法
不定积分第二类换元法
第二类换元法的目的是为了消去根号，化为简单函数的不定积分。
它分为根式换元和三角换元。
可以令x=以另外变量t的函数，把这个函数代入原被积表达式中，即可得到一个以t为积分变量的不定积分，这个不定积分若容易求设结果为F（t）+C,则要把这个结果中的t换回x的函数。
根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。
这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。
连续函数，一定存在定积分和不定积分，若在有限区间[a，b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在，若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
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d( )arcs in C
1(x)2 a
a
a
凑微分的常用方法
(2 )f(x )x 1 d x 1 f(x )d (x )
特别 1 ， x 1 2 地 f( 1 x ) d x f( 1 x ) d ( 1 x ).
1 2 ,1 x f(x )d x 2 f(x )d (x ).
8
例 求 x x21dx.
解
法一
sin2xdx
1
2
sin2xd(2 x )
u2x
1 sinudu 1cosuC
2
2
1co2sxC 2
xdx x1 C
1
法二 sin2xdx2sinxcoxd sx
2 sinxd(sixn)usinx2 uduu2 C
six n2C 4
换元积分法
xdx x1 C
1
法三 sin2xdx 2sinxcoxd sx
2dx
1 a
1
1
x a
2d
x a
1arctaxnC.
a
a
6
例 求
x2
1 dx. 8x25
解
x2
81x25dx(x41)2
dx（分母配方） 9
1 32
x
3
1 42
1dx13
1
x42
3
d 1
x34
1arcx ta 4nC.
3
3
7
例 求
dx (a0). a2x2
解
dx
1x
x
a2 x2
解
1 dx x(12lnx)
121lnxd(lnx)
1 212 1ln xd(12ln x)
1
ln12lnxC.
2
10
凑微分的常用方法
(4) f (ex)exdx f (ex)dex
例 求 ex dx. 1ex
解
ex dx dex d(1ex)
1ex
1ex
1ex
21exC.
11
例 求
2coxsd(cox)suco xs2 udu
u2Ccoxs2C
注 同一个积分用不同的方法计算,可能 得到表面上不一致的结果,但是实际上都 表示同一族函数.
5
2、凑微分的常用方法
(1) f(axb)dxa1 f(axb)d(axb)
例 求
1 a2 x2dx.
解
a2
1
x2dx
1 a2
1
1
x a2
第二节 不定积分的换元积分法
integration by substitution
第一类换元法 第二类换元法 小结
1
换元积分法
一、第一类换元法
1.定理设 f (u)具有原函数, u(x)可导,
则有换元公式
f[(x)](x)d xf[(x)d ](x)
u(x) f(u)du u (x )
第一类换元公式（凑微分法）
（适当凑出常数）
解 x x21dx1 x21d(x21) 2
12(x2
3
1)2
C1(x2
3
1)2
C.233来自 例 求e3x
dx .
x
解
e3
x
dx
2e3 xd( x)
x
2 e3 xd(3 x) 2e3 x C.
3
3
9
凑微分的常用方法
(3)
f
(lnx) 1 dx x
f
(lnx)dlnx
例7
求
1 dx. x(12lnx)
1 4 2x3dx1 4 2x1dx 1 8 2 x 3 d (2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d (2 x 1 )
12 x 3 312 x 1 3 C
12
12
18
换元积分法
f(ta x)sne 2xd cxf(tax)n dtaxn
例 求 cscxdx
解
cs cxdx
1 sin x
1 1 exdx.
解
1
1 e
x dx
11exexexdx
11exex dxdx1exexdx
dx 1 1exd(1ex)
xln 1(ex)C .
12
凑微分的常用方法
( 5 ) f( x )f( x ) d x f( x ) d ( x ) f 1 2 [f( x )2 ] C 例 求a1rcxt2xadnx. 解a1 rx2 c xdt x aa nrc xa tda rn c xtan
换元积分法
证 f (u)dux f (u)duu ux f(u)(x)
f((x))(x) ( x)
第一换元积分法
若遇到积分 f[(x)](x)dx
不易计算时,通过变换 u(x)化为不定积分
f (u)du来计算, 积分后再将 u(x)代入.
3
换元积分法
sixd n xco x sC
例 求 sin2xdx
16
换元积分法
例
1 a2 x2dx(a0)
解 原式= 21aa 1xdxa 1xdx
1lnaxlnaxC 2a
1 lna 2a a
x x
C
例
求
(1
1 x2
x1
)e xdx
解
原式
x1
e xd(x
1 )
x
x1
e x
C
17
换元积分法
例
求
1 2x3
dx 2x1
解 原式 (2 x 3 2 2 x x 3 1 ) (2 2 x x 3 1 2 x 1 )d x
dx
1 2sinx cosx
dx
22
tanx 2
1 cosx 2
2
d
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
lntan x C 2
ln csxccoxtC
se x d x cln se x c ta x n C
19
换元积分法
例 求 si2nxco5sxdx
解 si2nxco5sxdxsi2n xco4xsd(sx i)n si2x n (1si2x n )2d (sx i)n
(s2x i n 2 s4 ix n s6 ix n )d (sx ) in
1si3x n 2si5x n 1si7x n C 357
第一换元积分法是不定积分的基础， 且有很大的灵活性, 可通过三角恒等变换、 代数运算、加一项减一项、上，下同除以 一个因子等方法，使积分变得易求.
15
换元积分法
例
求
x (1 x)3 dx
解
x (1 x)3 dx
x(11x)13 dx
1
1
[(1x)2(1x)3]d(1x)
11x2(1 1x)2C
1(arcxt)a2nC. 2
13
凑微分的常用方法
(6 )f f( (x x ) )d x f( 1 x )d(x f) ln f(x ) C
例 求
1 4 x2 arcsixndx.
2
解
原式
1
d(x)
1x2 arcsixn 2
2
2
arc1sixnd(arcs2xin)
lnarcsixnC. 2
2
14
例 求 a asciox x n sb bcsiox xnsd.x
解 a a s cx x io n b b c s sx x i o d n s x d ( a a s sx i x i n b n b c cx x o o ) s s
la n sx i n b cx o C s .