不定积分第二种换元法

2dx
1 a
1
1
x a
2d
x a
1arctaxnC.
a
a
6
例 求
x2
1 dx. 8x25
解
x2
81x25dx(x41)2
dx（分母配方） 9
1 32
x
3
1 42
1dx13
1
x42
3
d 1
x34
1arcx ta 4nC.
3
3
7
例 求
dx (a0). a2x2
解
dx
1x
x
a2 x2
第二节 不定积分的换元积分法
integration by substitution
第一类换元法 第二类换元法 小结
1
换元积分法
一、第一类换元法
1.定理设 f (u)具有原函数, u(x)可导,
则有换元公式
f[(x)](x)d xf[(x)d ](x)
u(x) f(u)du u (x )
第一类换元公式（凑微分法）
第一换元积分法是不定积分的基础， 且有很大的灵活性, 可通过三角恒等变换、 代数运算、加一项减一项、上，下同除以 一个因子等方法，使积分变得易求.
15
换元积分法
例
求
x (1 x)3 dx
解
x (1 x)3 dx
x(11x)13 dx
1
1
[(1x)2(1x)3]d(1x)
11x2(1 1x)2C
(s2x i n 2 s4 ix n s6 ix n )d (sx ) in
1si3x n 2si5x n 1si7x n C 357
解
1 dx x(12lnx)
121lnxd(lnx)
1 212 1ln xd(12ln x)
1
ln12lnxC.
2
10
凑微分的常用方法
(4) f (ex)exdx f (ex)dex
例 求 ex dx. 1ex
解
ex dx dex d(1ex)
1ex
1ex
1ex
21exC.
11
例 求
d( )arcs in C
1(x)2 a
a
a
凑微分的常用方法
(2 )f(x )x 1 d x 1 f(x )d (x )
特别 1 ， x 1 2 地 f( 1 x ) d x f( 1 x ) d ( 1 x ).
1 2 ,1 x f(x )d x 2 f(x )d (x ).
8
例 求 x x21dx.
dx
1 2sinx cosx
dx
22
tanx 2
1 cosx 2
2
d
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
lntan x C 2
ln csxccoxtC
se x d x cln se x c ta x n C
19
换元积分法
例 求 si2nxco5sxdx
解 si2nxco5sxdxsi2n xco4xsd(sx i)n si2x n (1si2x n )2d (sx i)n
1 1 exdx.
解
1
1 e
x dx
11exexexdx
11exex dxdx1exexdx
dx 1 1exd(1ex)
xln 1(ex)C .
12
凑微分的常用方法
( 5 ) f( x )f( x ) d x f( x ) d ( x ) f 1 2 [f( x )2 ] C 例 求a1rcxt2xadnx. 解a1 rx2 c xdt x aa nrc xa tda rn c xtan
1 4 2x3dx1 4 2x1dx 1 8 2 x 3 d (2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d (2 x 1 )
12 x 3 312 x 1 3 C
12
12
18
换元积分法
f(ta x)sne 2xd cxf(tax)n dtaxn
例 求 cscxdx
解
cs cxdx
1 sin x
14
例 求 a asciox x n sb bcsiox xnsd.x
解 a a s cx x io n b b c s sx x i o d n s x d ( a a s sx i x i n b n b c cx x o o ) s s
la n sx i n b cx o C s .
换元积分法
证 f (u)dux f (u)duu ux f(u)(x)
f((x))(x) ( x)
第一换元积分法
若遇到积分 f[(x)](x)dx
不易计算时,通过变换 u(x)化为不定积分
f (u)du来计算, 积分后再将 u(x)代入.
3
换元积分法
sixd n xco x sC
例 求 sin2xdx
解
法一
sin2xdx
1
2
sin2xd(2 x )
u2x
1 sinudu 1cosuC
2
2
1co2sxC 2
xdx x1 C
1
法二 sin2xdx2sinxcoxd sx
2 sinxd(sixn)usinx2 uduu2 C
six n2C 4
换元积分法
xdx x1 C
1
法三 sin2xdx 2sinxcoxd sx
1(arcxt)a2nC. 2
13
凑微分的常用方法
(6 )f f( (x x ) )d x f( 1 x )d(x f) ln f(x ) C
例 求
1 4 x2 arcsixndx.
2
解
原式
1
d(x)
1x2 arcsixn 2
2
2
arc1sixnd(arcs2xin)
lnarcsixnC. 2
2
2coxsd(cox)suco xs2 udu
u2Ccoxs2C
注 同一个积分用不同的方法计算,可能 得到表面上不一致的结果,但是实际上都 表示同一族函数.
5
2、凑微分的常用方法
(1) f(axb)dxa1 f(axb)d(axb)
例 求
1 a2 x2dx.
解
a2
1
x2dx
1 a2
1
1
x a2
（适当凑出常数）
解 x x21dx1 x21d(x21) 2
12(x2
3
1)2
C1(x2
3
1)2
C.
23
3
例 求
e3
x
dx .
x
解
e3
x
dx
2e3 xd( x)
x
2 e3 xd(3 x) 2e3 x C.
3
3
9
凑微分的常用方法
(3)
f
(lnx) 1 dx x
f
(lnx)dlnx
例7
求
1 dx. x(12lnx)
16
换元积分法
例
1 a2 x2dx(a0)
解 原式= 21aa 1xdxa 1xdx
1lnaxlnaxC 2a
1 lna 2a a
x x
C
例
求
(1
1 x2
x1
)e xdx
解
原式
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x1
e xd(x
1 )
x
x1
e x
C
17
换元积分法
例
求
1 2x3
dx 2x1
解 原式 (2 x 3 2 2 x x 3 1 ) (2 2 x x 3 1 2 x 1 )d x