2020北京各区一模数学试题分类汇编--三角函数(学生版)
2023年北京中考数学一模分类汇编——函数探究题(学生版)
2023年北京中考数学一模分类汇编——函数探究题1．（2023•海淀区一模）“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．（1）建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：水平距离x/m00.41 1.42 2.4 2.8竖直高度y/m00.480.90.980.80.480根据上述数据，回答下列问题：①野兔本次跳跃的最远水平距离为m，最大竖直高度为m；②求满足条件的抛物线的解析式；（2）已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m．若在野兔起跳点前方2m处有高为0.8m的篱笆，则野兔此次跳跃（填“能”或“不能”）跃过篱笆．2．（2023•西城区一模）如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.3m 的树，距离这棵树10m的N处有一面高2.2m的围墙．建立如图所示的平面直角坐标系．已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a＜0）.（1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：x02610121416y00.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56①根据上述数据．求这些数据满足的函数关系；②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由．（2）某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04x2+bx．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式：（A）﹣0.04×82+8b＞2.3；（B）﹣0.04×182+18b＞2.2；（C）﹣0.04×182+18b＜2.2；（D）．其中正确的不等式是．（填上所有正确的选项）3．（2023•东城区一模）已知乒乓球桌的长度为274cm ，某人从球桌边缘正上方高18cm 处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．（1）建立如图2所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y （单位：cm ）与水平距离x （单位：cm ）近似满足函数关系y ＝a （x ﹣h 1）2+k （a ＜0）．乒乓球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如表所示．根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；水平距离x /cm 04080120160竖直高度y /cm1842504218（2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系y ＝﹣0.005（x ﹣h 2）2+8．判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由．4．（2023•朝阳区一模）一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种．测得一些数据如下：滑行时间t/s012340261220滑行距离s/m（1）s 是t的函数（填“一次”、“二次”或“反比例”）；（2）求s关于t的函数表达式；（3）已知第二位滑雪者也从该山坡滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足函数关系t．记第一位滑雪者滑完全程所用时间为t1，第二位滑雪者滑完全程所用时间为t2，则t1t2（填“＜”，“＝”或“＞”）．5．（2023•丰台区一模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.01（x﹣30）2+9．据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m．（1）水面的宽度OA＝m；（2）要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量．6．（2023•石景山区一模）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一、篮圈中心距离地面的竖直高度是3.05m，小石站在距篮圈中心水平距离6.5m处的点A练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分，当篮球运行的水平距离是x（单位：m）时，球心距离地面的竖直高度是y（单位：m）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练：（1）第一次训练时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：0123456水平距离x/m2.0 2.73.2 3.5 3.6 3.5 3.2竖直高度y/m①在平面直角坐标系xOy中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求y与x满足的函数解析式；③小石第一次投篮练习没能投进，请说明理由；（2）第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小石的出手高度是m．7．（2023•通州区一模）如图，OC是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口C离地面垂直高度为1.5米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线．（1）灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点B，此时，喷水口C喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表．水平距离x/米00.61234竖直高度y/米 1.5 1.71875 1.8752 1.875 1.5结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程OB的长度．（2）为了全面灌溉，喷水口C可以喷出不同射程的水流，喷水口C喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式，此水流最大射程OE＝2米，求此水流距离地面的最大高度．8．（2023•平谷区一模）如图所示，某农场的小麦收割机正在收割小麦，脱离后的谷粒沿着喷射管道飞出，飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，谷粒从喷射出到着陆的过程中，谷粒的竖直高度y（单位：m）与距离喷射口的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）谷粒距离喷射口的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）的几组数据如下：水平距离x/m02345竖直高度y/m 3.5 4.3 4.4 4.3 4.0根据上述数据，若用货车接运谷粒，保证和喷射口在同一平面的情况下，谷粒落下过程中恰好落到车箱的中心点．若货车车箱的中心点距地面1.9米，则货车车箱的中心点应距离喷射口几米？（2）谷粒喷出的同时石子等较重的杂质会跟随谷粒一起在重力作用下沿抛物线①被分离出来，谷皮和颗粒等较轻的杂质也会跟着谷粒一起沿抛物线②被分离出来，若已知两条抛物线的解析式分别为：A：y＝﹣0.09（x﹣3.2）2+4.42B：y＝﹣0.12（x﹣2.8）2+4.44则A、B对应的抛物线分别为A：；B：（写①或②即可）．9．（2023•门头沟区一模）甲，乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．比赛中，甲同学连续进行了两次发球．（1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如下：水平距离x/m0123456竖直高度y/m1 2.4 3.44 4.24 3.4根据以上数据，回答下列问题：①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是m；②在水平距离5m处，放置一个高1.55m的球网，羽毛球（填“是”或“否”）可以过网；③求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系y ＝﹣0.1（x﹣5）2+3.3．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度2.4m 时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为d1，第二次接球的起跳点的水平距离为d2，则d1﹣d20（填“＞”“＜”或“＝”）．10．（2023•房山区一模）如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x ﹣h）2+k（a＜0）．（1）拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m23681012竖直高度y/m4 5.47.2 6.440根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（2）一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.288（x﹣5）2+7.2，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为d1，“新拱门”的跨度为d2，则d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）．11．（2023•延庆区一模）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，建立平面直角坐标系xOy，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．小明训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m012345竖直高度y/m 1.8 2.43 2.88 3.15 3.24 3.15根据上述数据，解决下列问题：（1）直接写出实心球竖直高度的最大值是；（2）求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（3）求实心球从出手到落地点的水平距离．12．（2023•大兴区一模）羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m02468…竖直高度y/m11…请根据上述数据，解决问题：（1）直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）；（2）已知羽毛球场的球网高度为1.55m，当发球点O距离球网5m时羽毛球（填“能”或“不能”）越过球网．13．（2023•顺义区一模）铅球运动员在比赛时，铅球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．在某次比赛的一次投掷过程中，铅球被掷出后，设铅球距运动员出手点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m）．由电子监测获得的部分数据如下：水平距离x/m0369121518…竖直高度y/m2.00 4.25 5.60 6.05 5.60 4.25 2.00…（1）根据上述数据，直接写出铅球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x ﹣h）2+k（a＜0）；（2）请你建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出y与x的函数图象；（3）请你结合所画图象或所求函数关系式，直接写出本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离．14．（2023•燕山一模）某数学兴趣小组设计了一个弹珠投箱游戏：将无盖正方体箱子放在水平地面上，弹珠从箱外投入箱子，弹珠的飞行轨迹可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系（正方形ABCD为箱子正面示意图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行）．某同学将弹珠从点P处抛出，弹珠的竖直高度y（单位：dm）与水平距离x（单位：dm）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．下面是弹珠的水平距离x与竖直高度y的几组数据：水平距离x/dm0123456竖直高度y/dm 2.50 4.25 5.50 6.25 6.50 6.25 5.50（1）直接写出弹珠竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）若点B的坐标为（8，0），BC＝2dm，则该同学抛出的弹珠投入箱子（填“能”或“不能”）．。
2020年北京各区高三一模数学分类---解析几何
【答案】①②
【分析】将 代入 也成立得①正确；利用不等式可得 ，故②正确；联立 得四个交点，满足条件的最小正方形是以 为中点，边长为2的正方形，故③不正确.
【详解】对于①，将 代入 得 成立，故曲线 关于直线 对称，故①正确；
对于②，因为 ，所以 ，所以 ，
所以曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ，故②正确；
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为 ，根据双曲线的定义可得 ，根据余弦定理可得 ，再根据离心率公式即可求得结果.
【详解】设双曲线 实半轴长，半焦距分别为 ，因为 ，所以 ，
因为以 ， 为焦点的双曲线经过点 ，所以 ， ，
在三角形 中由余弦定理得 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ， ，则
因为 ，所以椭圆 的半焦距
设椭圆 的左焦点为 ，则 ，连接 ，由椭圆的定义可得
即 ，解得 ，故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质以及椭圆的基本性质，其中利用定义求 是解题的关键，属于中档题.
9.（2020朝阳一模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，点 是抛物线 上一点， 于 .若 ， ，则抛物线 的方程为（）
A. B. C. D.【答源自】B【分析】根据抛物线的定义求得 ，然后在直角三角形中利用 可求得 ，从而可得答案.
【详解】根据抛物线的定义可得 ，又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以抛物线 的方程为 .故选：B
【点睛】本题考查了抛物线的定义，利用定义得 是解题关键，属于基础题.
10.（2020朝阳一模）在 中， ， .若以 ， 为焦点的双曲线经过点 ，则该双曲线的离心率为（）
2020北京高考一模数学分类汇编----三角函数与解三角形
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．若函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，若函数 在区间 上单调递增，则a的最大值为（）
A． B． C． D．
7．如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动.当圆M滚动到圆 时，圆 与直线 相切于点B，点A运动到点 ，线段AB的长度为 则点 到直线 的距离为（）
2020北京高考一模数学分类汇编---三角函数与解三角形
一、单选题
1．函数 （ ）的最小正周期为 ，则 满足（ ）
A．在 上单调递增B．图象关于直线 对称
C． D．当 时有最小值
2．“割圆术”是我国古代计算圆周率 的一种方法.在公元 年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求 .当时刘微就是利用这种方法，把 的近似值计算到 和 之间，这是当时世界上对圆周率 的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率 ，则 的近似值是（）（精确到 ）（参考数据 ）
∴ ，
∴ .
故选：A.
【点睛】
本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.
12．D
【解析】
试题分析：由已知可得 有两个不等实根 .
考点：1、余弦定理；2、函数的极值.
2020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数(解析版)
1 / 312020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数（2020海淀一模）已知函数f (x )=|x -m |与函数g (x )的图象关于y 轴对称.若g (x )在区间(1，2)内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A. [-1，+∞) B. (-∞，-1]C. [-2，+∞)D. (-∞，-2]【答案】D【解析】函数()f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称,()=()g x f x x m \-=+，()g x 在区间(12)，内单调递减， 则22m m -砛?，， 故选：D ．（2020西城一模）设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A. (]0101， B. (]099，C. (]0100， D. ()0+∞，2 / 31【答案】B【解析】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .（2020西城一模）下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ）3 / 31A. 2y x =+B. y sinx =C. 3y x x =-D. 2x y =【答案】C【解析】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除； B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除； 故选：C .（2020东城一模）设函数()()120f x x x x=+-<，则()f x （ ） A. 有最大值 B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数【答案】A【解析】0x <Q ，()()112224f x x x x x ⎡⎤∴=+=--+-≤--=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即 1x =-时取等号，()f x ∴有最大值，又由对勾函数的图象可知()f x 在(),0-∞上不具单调性. 故选：A.（2020丰台一模）已知函数()e 1,0,,0.x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. (),1-∞-B. (],1-∞-C. ()1,0-D. [)1,0-4 / 31【答案】A【解析】不妨设00x >当0k ≥时，()00=e 10xf x ->，()000f x kx -=-≤，不存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则0k ≥不满足题意当k 0<时，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则方程00e 1xkx -=-有非零的正根，即函数()e 1,0x y x =->与(),0y kx x =->有交点先考虑函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切的情形设切点为11(,)x y ，则11111e 1x x k e y kx y ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，整理得()111e 10xx -+=令()()1e 1,0xg x x x =-+≥，则()0e xg x x '=≥，即函数()g x 在[)0,+∞上单调递增则()(0)0g x g ≥=，所以方程()111e 10xx -+=的根只有一个，且10x =，即1k -=则函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切时，切点为原点所以要使得函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点，则1k ->，即1k <-所以实数k 的取值范围是(),1-∞- 故选：A（2020丰台一模）已知132a =，123b =，31log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>【答案】C5 / 31【解析】66121342372⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，0a b ∴<<331log log 021c =<=Q b a c ∴>>故选：C（2020朝阳区一模）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. 21y x =-+C. 2log y x =D. ||2x y =【答案】D【解析】函数3y x =是奇函数，不符合；函数21y x =-+是偶函数，但是在(0,)+∞上单调递减，不符合；函数2log y x =不是偶函数，不符合；函数||2x y =既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增，符合. 故选：D（2020朝阳区一模）已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (-∞B. 3[0,]2C. [0,2]D.【答案】C【解析】（1）当1x ≤时，由()2a f x ≥得23(2)2x a x ≥-，6 / 31当314x <≤时，2322x a x ≤-232()4x x =-恒成立，因为222333933()()()42416443332()2()2()444x x x x x x x -+-+-+==---913316()32442()4x x =-++- 令34t x =-，则104t <≤，令193()2164y t t =++，则219(1)216y t'=-0<， 所以193()2164y t t =++在1(0,]4上递减，所以11938()212444164y ≥++==⨯， 即913316()32442()4x x -++-的最小值为2， 所以此时2a ≤，当34x ≤时，2322x a x ≥-913316()32442()4x x =-++-1393[()]324416()4x x =--++-恒成立， 因为1393[()]324416()4x x --++-1324≤-⨯0=，当且仅当0x =时取等， 所以0a ≥，（2）当1x >时，由()2a f x ≥得21ln 2xa x ≤+恒成立， 令21ln 2x y x =+(1)x >，则22ln 11(ln )2x y x -'=+，7 / 31由0y '>得12x e >，由0y '<得121x e <<，所以函数21ln 2x y x =+12(1,)e 上递减，在12(,)e +∞上递增，所以x =min 22y ==+a ≤ 综上所述：02a ≤≤. 故选：C（2020石景山一模）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 22y x =-+B. 2x y -=C. ln y x =D. 1y x=【答案】D【解析】由基本函数的性质得：22y x =-+为偶函数，2xy -=为非奇非偶函数，ln y x =为非奇非偶函数，1y x=为奇函数，且在区间()0,∞+上单调递减. 故选：D（2020石景山一模）设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数：①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()2f x x =；8 / 31③()21f x x =-；具有性质P 的函数的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】对于①：取121,1x x ==-，则 12()1,()1f x f x ==-此时，12(0)02x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()121(1)022f x f x ++-==. 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭故函数①具有性质P .对于②：假设存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭， 则222121211222224x x x x x x x x f +++⋅+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ()()22121222f x f x x x ++=. 所以22112224x x x x +⋅+22122x x +=，化简得：2221212122()0044x x x x x x +--=⇒=即：12x x =.与“存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭” 矛盾.9 / 31故函数②不具有性质P .对于③：取12x x = 12()1,()1f x f x ==此时，12(0)12x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()1211122f x f x ++== 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭故函数③具有性质P . 故选：C.（2020怀柔一模）若函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.【答案】)+∞. 【解析】由题可知：函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减 等价于'()0f x ≤在(,)22ππ-恒成立 即()'()cos sin 0=--≤xf x ex x a 在(,)22ππ-恒成立则cos sin 4π⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭a x x x 在(,)22ππ-恒成立所以max4π⎤⎛⎫≥+⎪⎥⎝⎭⎦a x ，10 / 31由(,)22x ππ∈-，所以3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x故cos 42π⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦x(4π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x所以a ≥)∈+∞a故答案为：)+∞（2020怀柔一模）函数f(x)=|log 2x|的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】易知函数值恒大于等于零，同时在（0，1）上单调递减且此时的图像是对数函数的图像关于x 轴的对称图形，在单调递增．故选A ．（2020密云一模）已知函数21,0()(2),0x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______________.11 / 31【答案】(,3)-∞【解析】函数()f x 的图象如图所示：因为方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根， 所以()y f x =图象与直线32y x a =+有且只有两个交点即可， 当过(0,3)点时两个函数有一个交点，即3a =时，32y x a =+与函数()f x 有一个交点， 由图象可知，直线向下平移后有两个交点， 可得3a <， 故答案为：(,3)-∞．（2020顺义区一模）11.若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.【答案】0【解析】要求函数()1y f x =-的零点, 则令()10y f x =-=,即()1f x =,12 / 31又因为：()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩, ①当0x ≤时,()xf x e =,1x e =,解得0x =.②当0x >时,()21f x x =-,211x -=,解得x =,所以x =综上所以,函数()1y f x =-的零点是0或.故答案为：0（2020顺义区一模）当[]0,1x ∈时,若函数()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是（ ）A. [)2,+∞B. (]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭C. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. (][)20,1,+U ∞【答案】B【解析】当[]0,1x ∈时,又因为m 为正实数,函数()()21f x mx =-的图象二次函数,在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间[1m ，1)为增函数; 函数()22m mg x x x =+=+,是斜率为1的一次函数.13 / 31最小值为()min 2m g x =,最大值为()max 12m g x =+; ①当11m≥时,即01m <≤时, 函数()()21f x mx =-在区间[]0,1 为减函数,()2mg x x =+在区间[]0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max min f x g x ≥,()()max min 00f g ≥即()2012mm ⨯-≥,解得2m ≤, 所以01m <≤ ②当101m<<时,即1m >时, 函数()()21f x mx =-在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间[1m ，1)为增函数,()2mg x x =+在区间[]0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max minf xg x ≥()()max min 00f g ≥即()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点 ,14 / 31()()()()10011m f g f g ⎧>⎪≥⎨⎪<⎩,()()2201021112m m m m ⎧⨯-≥+⎪⎪⎨⎪⨯-≥+⎪⎩ 解得12m <≤或52m >综上所述：正实数m 的取值范围为(]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭.故选:B（2020顺义区一模）若3log 0.2a =，0.22b =，20.2c =，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】A【解析】33log 0.2log 10a =<=,0.20221b =>=, 2000.20.21c <<==,所以01a c b <<<<,即a c b <<. 故选：A（2020延庆一模）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( )A. 1y x=B. y tanx =C. x x y e e -=-D. 2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】对于A 选项，反比例函数1y x=，它有两个减区间，15 / 31对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意； 对于C 选项，令()xxf x e e -=-知()xx f x ee --=-，所以()()0f x f x +-=所以()x xf x e e -=-为奇函数，又x y e =在定义内单调递增，所以xy e -=-单调递增，所以函数x xy e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数. 故选：C（2020海淀一模）已知函数()x f x e ax =+. (I )当a =-1时，①求曲线y = f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； ②求函数f (x )的最小值；(II )求证:当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1y lnx =-有且只有一个交点. 【解析】 (I)当1a =-时，①函数()xf x e x =-，0(0)=1f e ∴=，()1x f x e =-'，即0(0)1=0f e -'=，16 / 31∴曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线方程为1y =.②令()1>0x f x e -'=，得0x >，令()1<0x f x e -'=，得0x <， 所以()f x 在(0,+)∞上单增，在(,0)-∞单减,∴函数()f x 的最小值为min ()(0)1f x f ==.(II) 当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点. 等价于()()ln 10xg x e ax x x =++->有且只有一个零点.()()10x g x e a x x'=++>， 当()0,1x ∈时，11,1xe x>>， ()2,0a ∈-Q ，则()10x g x e a x'=++>， 当[)1,x ∈+∞时，12,0xe e x>>>， ()2,0a ∈-Q ，则()10x g x e a x'=++>， ()g x ∴在()0,∞+上单增，又1121()220e a g e e e e=+-<-<Q ， ()220e g e e ae e e =+>->，由零点存在性定理得()g x 有唯一零点，即曲线() y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点. （2020西城一模）设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈17 / 31(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【解析】 (Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.（2020东城一模）已知函数()ln 1a f x x x=--. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围；18 / 31（2）求()f x 的单调区间；（3）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值. 【解析】（1）由()ln 1a f x x x =--得()221'(0)a x af x x x x x+=+=>. 由已知曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，所以()'1f x =-存在大于零的实数根，即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围(),0-∞. （2）由()2',0,x af x x a R x+=>∈可得 当0a ≥时， ()'0f x >，所以函数()f x 的增区间为()0,∞+； 当0a <时，若(),x a ∈-+∞， ()'0f x >，若()0,x a ∈-， ()'0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(),a -+∞，减区间为()0,a -.（3）由()ln x ag x x+=及题设得()()()()22ln 1'ln ln ax f x x g x x x --==， 由10a -<<可得01a <-<，由（2）可知函数()f x 在(),a -+∞上递增， 所以()110f a =--<，取x e =，显然1e >，()ln 10a af e e e e=--=->，所以存在()01,x e ∈满足()00f x =，即存在()01,x e ∈满足()0'0g x =，所以()g x ， ()'g x 在区间（1，+∞）上情况如下：x 0(1,x ） 0x 0(+x ，）∞19 / 31()'g x － 0 + ()g x ↘ 极小 ↗所以当-1<a<0时，g （x ）在（1，+∞）上存在极小值. （2020丰台一模）已知函数()()ln 1f x a x x x =+-+.（1）若曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）当0a =时，求证：()0f x ≥； （3）若函数()f x 在区间()1,+?上存在极值点，求实数a 的取值范围.【解析】（1）因为()()ln 1f x a x x x =+-+， 所以()ln a f x xx '=+.由题知()e ln e 1eaf '=+=， 解得0a =.（2）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以()ln f x x '=.当()0,1x ∈时，()0f x ¢<，()f x 在区间()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()1,+?上单调递增；所以()10f =是()f x 在区间()0,+?上的最小值.20 / 31所以()0f x ≥.（3）由（1）知，()ln ln a x x af x xxx +'=+=.若0a ≥，则当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()1,+?上单调递增，此时无极值.若0a <，令()()g x f x '=， 则()21a g x x x '=-. 因为当()1,x ∈+∞时，()0g x ¢>，所以()g x 在()1,+?上单调递增.因为()10g a =<，而()()eee 10aaa g a a a -=-+=->，所以存在()01,eax -∈，使得()00g x =.()f x ¢和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值()0f x . 综上，a 的取值范围是(,0)-∞.21 / 31（2020朝阳区一模）已知函数()11xx f x e x +=--. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（3）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线也是曲线ln y x =的切线.【解析】（1）因为()11xx f x e x +=--， 所以001010)2(e f -=+=-，()2(1)2e xx f x -'=+，02(01)203e ()f -'==+.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=. （2）函数()f x 有且仅有两个零点.理由如下： ()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠.因为22()e 0(1)xf 'x x =+>-，所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增.因为(0)20f =>，21(2)3e 0f --=-<，所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x .因为2e (2)30f =->，545()e 904f =-<，所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x . 综上，()f x 有且仅有两个零点.（3）曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线方程为00()-=-x x y e e x x ，即0000e e e x x x y x x =-+.22 / 31设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，则031e xx =，031e x x =，30y x =-，即切点为001(,)ex x -. 所以曲线ln y x =在点001(,)e x x -处的切线方程为 0001e ()ex x y x x +=-，即00e 1x y x x =--. 因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x ex +=-. 所以00000000011e e e (1)(1)1x x xx x x x x x -+-+=-=-=--.所以这两条切线重合所以结论成立.（2020石景山一模）已知函数()2f x x =(0x >)，()lng x a x =(0a >).（1）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，过()f x 上一点()1,1作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由. 【解析】（1）令()()()2ln h x f x g x x a x =-=-(0x >)所以()2222a x a x x h x x='-=-令()2220x x xh a -'==，解得x =. 当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表： .23 / 31所以在()0,∞+的最小值为ln ln 2222a a a ah a =-=- 令0h >，解得02e a <<. 所以当02e a <<时，()0h x >恒成立，即()()f x g x >恒成立. （2）可作出2条切线.理由如下：当1a =时，()ln g x x =.设过点()1,1的直线l 与()ln g x x =相切于点()00,P x y ，则()00011y g x x -'=-即000ln 111x x x -=-整理得000ln 210x x x -+=令()ln 21x x m x x -=+，则()m x 在()0,∞+上的零点个数与切点P 的个数一一对应.()ln 1m x x '=-，令()ln 10x m x '=-=解得x e =.24 / 31当x 变化时，()m x '，()m x 的变化情况如下表：所以()m x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增.且2222211124ln 110m e e e e e ⎛⎫=⨯-+=-+>⎪⎝⎭()ln 2110m e e e e e =⨯-+=-+<()2222ln 2110m e e e e =⨯-+=>所以()m x 在21,e e ⎛⎫⎪⎝⎭和()2,e e 上各有一个零点，即ln 210x x x -+=有两个不同的解. 所以过点()1,1可作出ln y x=2条切线.（2020怀柔一模）已知函数()ln ,()xf x xg x e ==.（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当0x >时，证明：()()f x x g x <<；（3）判断曲线()f x 与()g x 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由.25 / 31【解析】（1）()ln f x x =的定义域(0,)+∞1()(1)1f x k f x=⇒'='=由 又(1)0f =所以()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：1y x =-. （2）设()()ln (0)h x f x x x x x =-=->，11'()101x h x x x x-=-==⇒=由， '(),()h x h x x 随变化如下:max ()(1)ln1110h x h ∴==-=-< ()f x x ∴<设()(),=-=-xs x x g x x e 则'()1e 0xs x =-<在(0,)x ∈+∞上恒成立(0,())x s x ∈+∴∞在上单调递减()(0)10()∴<=-<⇒<s x s x g x综上()()f x x g x <<（3）曲线()f x 与()g x 存在公切线，且有2条，理由如下：26 / 31由（2）知曲线()f x 与()g x 无公共点，设12,l l 分别切曲线()f x 与()g x 于2112(,ln ),(,)xx x x e ，则22112211:ln 1;:(1)x x l y x x l y e x e x x =⋅+-=⋅+-， 若12l l =，即曲线()f x 与()g x 有公切线，则222122121(1)10ln 1(1)x x x ex e x x x e x ⎧=⎪⇒-++=⎨⎪-=-⎩ 令()(1)1xh x e x x =-++，则曲线()f x 与()g x 有公切线，当且仅当()h x 有零点，'()1x h x xe =-+Q ，当0x ≤时，'()0h x >，()h x 在(),0-∞单调递增，当0x >时，()''()10=-+<xh x x e ，'()h x 在()0,∞+单调递减'(0)10,'(1)10h h e =>=-<又，所以存在0(0,1)x ∈，使得000'()10=-+=xh x x e 且当0(0,)x x ∈时，'()0,()h x h x >单调递增， 当0(,)x x ∈+∞时，'()0,()h x h x <单调递减0max 0000001()()(1)1(1)10x h x h x e x x x x x ∴==-++=-++>，27 / 31又22(2)310,(2)30--=-<=-+<h eh e所以()h x 在00(2,),(,2)-x x 内各存在有一个零点故曲线()f x 与()g x 存在2条公切线.（2020密云一模）已知函数()()1xf x e ax =+，a R ∈.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0M f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）判断函数()f x 的零点个数.【解析】（1）()(1)x f x e ax =+Q ，()(1)(1)x x x f x e ax ae e ax a ∴'=++=++，设曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线的斜率为k ， 则0(0)(1)(1)1x x k f e ax ae e a a ='=++=+=+， 又(0)1f =，∴曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线方程为：1(1)y a x -=+，即(1)10a x y +-+=；（2）由（1）知，()(1)x f x e ax a '=++，故当0a =时，()0x f x e '=>，所以()f x 在R 上单调递增；当0a >时，1(,)a x a +∈-∞-，()0f x '<；1(a x a+∈-，)+∞，()0f x '>；28 / 31()f x ∴的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a+-，)+∞； 当0a <时，同理可得()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-，递减区间为1(a a+-，)+∞； 综上所述，0a =时，()f x 单调递增为(,)-∞+∞，无递减区间； 当0a >时，()f x 的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a+-，)+∞； 当0a <时，()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-，递减区间为1(a a+-，)+∞； （3）当0a =时，()0xf x e =>恒成立，所以()f x 无零点；当0a ≠时，由()(1)0x f x e ax =+=，得：1x a=-，只有一个零点． （2020顺义区一模）已知函数2()2ln f x x a x =-,其中a R ∈ （1）当2a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在最小值Q ,求证:1Q ≤.【解析】（1）2a =时,22()4ln ,(1)1f x x x f =-=4()2f x x x'=-切线斜率(1)242k f '==-=-曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为：12(1)y x -=--即：230x y +-=（2）()222()2(0)x a a f x x x x x-'=-=>29 / 31①当0a ≤时,()0f x '≥恒成立()f x 在(0,)+∞单调递增,()f x 无最小值②当0a >时,由()0f x '=得x =x =(x ∈时,()0f x '<,()f x在(单调递减)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x在)+∞单调递增所以()f x 存在最小值,ln Q fa a a ==-下面证明1Q ≤.设函数()ln (0),()1(ln 1)ln g a a a a a g a a a '=->=-+=-由()0g a '=得1a =,易知()g a 在(0,1)单调递增,在(1,)+∞单调递减 所以()g a 的最大值为(1)1g = 所以()1g a ≤恒成立,1Q ≤得证.（2020延庆一模）已知函数()2221,1ax a f x x +-=+其中0a ≠ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.【解析】（1）2222(1)1()(1)x a f x x -'==+当时，. 所以切线的斜率(0)2k f '==；又(0)0f =.30 / 31所以曲线()y f x =在原点处的切线方程为：2y x =.（2）22222(1)(21)2()(1)a x ax a xf x x +-'+-=+()()22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++ 当0a >时，()0f x '=解得 121,x a x a=-=则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为21()f a a=，若()f x 存在最小值，则()0x ∈+∞，时， 2()(0)1f x f a ≥=-恒成立，即2222111ax a a x +-≥-+， 所以()2221ax a x ≥-即2112a a x-≤在(0,)x ∈+∞恒成立，31 / 31 所以2102a a -≤.又因为 0a >，所以210a -≤，则01a <≤. 当0a <时，()0f x '=解得 121,x a x a =-=则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为1-，若()f x 存在最大值，则()0x ∈+∞，时，2()(0)1f x f a ≤=-恒成立，即2222111ax a a x +-≤-+，所以()2221ax a x ≤-即2112a a x -≤在(0,)x ∈+∞恒成立，所以2102a a -≤.又因为 0a <，所以210a -≥，则1a ≤-. 综上所述，a 的取值范围为(,1](0,1]-∞-⋃.。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--解三角形(原卷版)
1 / 32020北京各区一模数学试题分类汇编—解三角形（2020海淀一模）在△ABC中，4AB B π=∠=，点D 在边BC 上，2,3ADC π∠=CD =2，则AD =___；△ACD 的面积为____.（2020顺义区一模）在ABC ∆中，若8ac =，7a c +=，3B π=，则b =_________.（2020延庆一模）在ABC V 中，10AB D =，是BC 边的中点.若660AC A =∠=︒，，则AD 的长等于________；若45CAD AC ∠=︒=，，则ABC V 的面积等于____________.（2020西城一模）已知ABC V 满足，且23b A π==，求sinC 的值及ABC V 的面积.（从①4B π=，②a =a =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）（2020东城一模）在①222b a c +=+,②cos sin a B b A =,③sin cos B B +=一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ______________,3A π=,b =求ABC ∆的面积.（2020丰台一模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，3A π=.（1）当2b =时，求a ；（2）求sin B C 的取值范围.2 / 3（2020朝阳区一模）在△ABC 中，sin cos()6b A a B π=-. （1）求B ； （2）若5c =，.求a . 从①7b =，②4C π=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.（2020石景山一模）已知锐角ABC V ，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A π=②13a =③15c =④1sin 3C =（1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求ABC V 的面积.（2020怀柔一模）已知在ABC ∆中，2a =，b =①π4A =；②B A >；③sin sin B A <；④4c =. （1）直接写出所有可能满足的条件序号； （2）在（1）条件下，求B 及c 的值.（2020密云一模）在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=.3 / 3（1）已知_______________，计算ABC V 的面积；请①a =2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分. （2）求cos cos B C +的最大值.。
三角函数(学生版)--2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.83(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.24(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1B.23-1C.32D.1-35(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.46(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.327(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f (x )=sin2x 和g (x )=sin 2x -π4，下列说法正确的有()A.f (x )与g (x )有相同的零点B.f (x )与g (x )有相同的最大值C.f (x )与g (x )有相同的最小正周期D.f (x )与g (x )的图像有相同的对称轴9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=2+1，则sin (α+β)=.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x -3cos x 在0,π 上的最大值是．一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.22(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.783(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f (x )=(3sin x +cos x )cos x -12，若f (x )在区间-π4,m 上的值域为-32,1，则实数m 的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π125(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cos ωx x ∈R 在0,π 内恰有两个对称中心，f π =1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若f α +g α =35，则cos 4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-19256(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f (x )=sin2ωx +cos2ωx (ω>1)的一个零点是π2，且f (x )在-π6,π16 上单调，则ω=()A.54 B.74C.94D.1147(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin 2x +φ ϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0 ，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π29(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sinωx+3cosωx(ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y=f x -2logπx有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y=f x+φ为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y=f x 在0,π3上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y=f x 在0,π上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256 .A.1B.2C.3D.410(2024·河北保定·二模)已知tanα=3cosαsinα+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-7911(2024·河北衡水·三模)已知sin(3α-β)=m sin(α-β)，tan(2α-β)=n tanα，则m，n的关系为()A.m=2nB.n=m+1m C.n=mm-1D.n=m+1m-112(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin2α2+sinα的值是()A.25B.45C.65D.8513(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sinα+β=2cosα+β，sinαsinβ-3cosαcosβ=0，则tanα-β=()A.-1B.-32C.-12D.12二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-30815(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-1219(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为1222(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.25(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.。
北京2022高三数学理分类汇编(含9区一模及上年末试)专项：三角函数
xyO π2π1-1北京2022高三数学理分类汇编（含9区一模及上年末试）专项：三角函数一、选择题1 ．（2020届北京大兴区一模理科）函数21cos ()cos xf x x-=（ ）A ．在ππ(,)22-上递增 B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减C ．在ππ(,)22-上递减 D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增 2 ．（北京市东城区一般校2020届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能．．是 第6题图A ．41sin(2)55y x =+B ．31sin(2)25y x =+C ．441sin()555y x =- D ．441sin()555y x =+ 3 ．（北京市顺义区2020届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知函数()()ϕ+=x x f 2sin ,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对R ∈x 恒成立,且()()2f f ππ<.则下列结论正确的是 （ ）A ．11211-=⎪⎭⎫⎝⎛πf B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛5107ππf fC ．()x f 是奇函数D ．()x f 的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ4 ．（北京市丰台区2020届高三上学期期末考试 数学理试题 ）函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．2sin(2)4y x π=-B ．2sin(2)4y x π=+C ．32sin()8y x π=+D ．72sin()216x y π=+二、填空题5 ．（2020届北京大兴区一模理科）函数f x x x()s i nc o s =的最大值是 。
6 ．（2020届北京海边一模理科）在ABC ∆中，若4,2,a b ==1cos 4A =-，则_____,sin ____.c C ==7 ．（2020届北京海边一模理科）已知函数π()sin2f x x =，任取t ∈R ，定义集合： {|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||2}PQ ≤.设, t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-. 则 （1）函数()h t 的最大值是_____；（2）函数()h t 的单调递增区间为________.8 ．（2020届北京市延庆县一模数学理）在ABC ∆中，c b a ,,依次是角C B A ,,的对边，且c b <.若6,32,2π===A c a ，则角=C .9 ．（2020届门头沟区一模理科）在∆ABC 中，若2a =，3c =，tan 15B =，则b = ．10．（北京市东城区2020届高三上学期期末考试数学理科试题）若3sin 5α=-，且tan 0α>，则cos α= ．11．（北京市海淀区北师特学校2020届高三第四次月考理科数学）在△ABC 中，若π,4B b ∠==，则C ∠= ． 12．（北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学理科试题）已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范畴是______．13．（北京市顺义区2020届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在ABC ∆中,若815sin ,41cos ,4=-==A B b ,则=a _______,=c ________. 14．（北京市丰台区2020届高三上学期期末考试 数学理试题 ）已知ABC ∆中，，BC=1，sin C C =，则ABC ∆的面积为______．15．（北京市昌平区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）在ABC △中，若b =1c =，tan B =，则a = .16．（【解析】北京市石景山区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）在ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒=，则BC 边上的高等于 ．17．（北京市房山区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，,3,3A a b π===则=c ，△ABC 的面积等于 . 三、解答题18．（2020届北京大兴区一模理科）在∆A B C中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3cos 5A，π4B，2b ．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求sin C 及∆A B C 的面积．19．（2020届北京丰台区一模理科）已知函数22()(sin cos )2cos .f x x x x =+-（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在3[,]44ππ上的值域.20．（2020届北京海边一模理科）已知函数2()2cos )f x x x =--.（Ⅰ）求π()4f 的值和()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值和最小值.21．（2020届北京市延庆县一模数学理）已知x x x f 2sin 22sin 3)(-=.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若]6,0[π∈x ，求)(x f 的最小值及取得最小值时对应的x 的取值．22．（2020届北京西城区一模理科）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4．（Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）设()()()cos g x f x f x x x =⋅-+，求()g x 的单调递增区间．23．（2020届东城区一模理科）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B =． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，求ac 的最大值．24．（2020届房山区一模理科数学）已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()22Cf =且2c ab =， 试判定△ABC 的形状．25．（2020届门头沟区一模理科）已知：函数2π()sin cos()2f x x x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的对称轴方程； （Ⅱ）当7π[0,]12x ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．26．（北京市东城区一般高中示范校2020届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 已知函数,2cos 26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 其中R x ∈,0>ω.（1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间.27．（北京市东城区一般校2020届高三3月联考数学（理）试题 ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c C π=，5=a ，ABC ∆的面积为.（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求)3cos(π-B 的值.28．（北京市东城区2020届高三上学期期末考试数学理科试题）已知函数2()cos cos f x x x x a =++．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．29．（北京市海淀区北师特学校2020届高三第四次月考理科数学）已知πsin()4A +=，ππ(,)42A ∈．（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x=+的值域．30．（北京市西城区2020届高三上学期期末考试数学理科试题）在△ABC 中，已知21cos 2B B =-．（Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．31．（北京市顺义区2020届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知函数()()0,,sin 2162cos 62cos 2>∈-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωωπωπωR x x x x x f 的最小正周期为π. (I)求ω的值;(II)求函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,4ππ上的最大值和最小值.32．（北京市通州区2020届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知函数()21sin cos cos 2f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．33．（北京市丰台区2020届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点． （Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值；（Ⅱ） 若∣AB ∣=32, 求OA OB ⋅的值.34．（北京市昌平区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数1sin cos )2sin sin 32()(2+⋅-=xx x x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.35．（【解析】北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分） 已知函数2()sin cos cos 1222x x x f x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.36．（【解析】北京市石景山区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．37．（北京市房山区2020届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知函数sin 2cos 21()2cos x x f x x++=.（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域； （Ⅱ）若523)4(=+παf ，求αcos 的值.北京2020届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：三角函数参考答案一、选择题 1. D 2. D 3. 答案D 因为()()6f x f π≤恒成立,因此6π是函数的对称轴,即2,62k k Zππϕπ⨯+=+∈,因此,6k k Zπϕπ=+∈,又()()2f f ππ<,因此sin()sin(2)πϕπϕ+<+,即sin sin ϕϕ-<,因此sin 0ϕ>,因此6πϕ=,即()sin(2)6f x x π=+.由222262k x k πππππ-+≤+≤+,得36k x k ππππ-+≤≤+,即函数的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ,因此D 正确,选D.4. 【答案】B解：由图象可知52882Tπππ=-=，因此函数的周期T π=，又2T ππω==，因此2ω=。
2020年北京各区高三一模考试数学分类汇编---数学文化
2020年北京各区高三一模考试数学分类汇编----数学文化1.（2020海淀一模）形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（ ） (参考数据: lg 2≈0.3010 )A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【分析】32521F =+,设322m =,两边取常用对数估算m 的位数即可. 【详解】32521F =+Q ,设322m =，则两边取常用对数得32lg lg 232lg 2320.30109.632m ===⨯=.9.63291010m =≈，故5F 的位数是10，故选：B ．【点睛】解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg51+=简化计算.2.（2020北京市模拟）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众 多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm )，那么该壶的容量约为（ ）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm【答案】B【解析】设大圆锥的高为h ，所以4610h h -=，解得10h =，故221119651036200333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=≈3cm ，故选B ． 3.（2020北京市模拟）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．①② 【答案】D【解析】因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故结论①正确；当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为1d ==，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故结论②正确的；当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故结论③错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D ．4.（2020怀柔一模）“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（ ）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈o ）A. 3.05B. 3.10C. 3.11D. 3.14【答案】C 【分析】假设圆的半径为r ，根据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，顶角为36024o，计算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果. 【详解】设圆的半径为r ，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形 且顶角为3601524=o o ，所以正二十四边形的面积为2124sin1512sin152⋅⋅⋅⋅=o o r r r 所以2212sin1512sin15 3.11ππ=⇒=≈o o r r ，故选：C【点睛】本题考查分割法使用，考验计算能力与想象能力，属基础题.5.（2020房山一模）党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．如图的统计图反映了2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率＝贫困人数（人）÷统计人数（人）×100%）．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是（ ）A ．2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减B ．2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年C ．2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少9348万D ．2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6%由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图能求出结果．由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图得：在A 中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减，故A 正确；在B 中，2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年，故B 正确；在C 中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少：9899﹣551＝9348万，故C 正确；在D 中，2019年，全国各省份的农村贫困发生率有可能超过0.6%，故D 错误．故选：D ．本题考查命题真假的判断，考查统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.（2020通州一模）中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 {}n a ，则1a = ； n a = . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）8,15n-7。
2023北京高三一模数学汇编：三角函数章节综合
2023北京高三一模数学汇编三角函数章节综合1．（2023·北京房山·统考一模）已知函数()f x 同时满足以下两个条件：①对任意实数x ，都有()()0f x f x +−=；②对任意实数12,x x ，当120x x +≠时，都有()()12120f x f x x x +<+.则函数()f x 的解析式可能为（ ） A ．()2f x x =B ．()2f x x =−C ．()2x f x =D ．()2x f x =−2．（2023·北京西城·统考一模）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(km /s)v 和燃料的质量(kg)M 以及火箭（除燃料外）的质量(kg)N 间的关系为2ln (1)Mv N=+．若火箭的最大速度为12km /s ，则下列各数中与MN最接近的是（ ）（参考数据：e 2.71828=）A ．200B ．400C ．600D ．8003．（2023·北京东城·统考一模）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N 的70次方是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N 的值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．164．（2023·北京西城·统考一模）设c ∈R ，函数,0,()22,0.xx c x f x c x −≥⎧=⎨−<⎩ 若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．{0}[1,)+∞ C ．1(0,)2D ．1{0}[,)2+∞5．（2023·北京丰台·统考一模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则()2f −=（ ） A ．1−B ．0C ．1D ．26．（2023·北京石景山·统考一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A ．()sin f x x =B ．()2xf x =C ．()3f x x x =+D ．()()1e e 2x x f x −=− 7．（2023·北京顺义·统考一模）函数()e e x x f x −=−的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2023·北京顺义·统考一模）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数．为测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流50A I =时，放电时间5h t =．若计算时取lg 20.3≈，则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（ ）A ．1.67B ．1.5C ．2.5D ．0.49．（2023·北京石景山·统考一模）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：/km s ）与燃料的质量M （单位：kg ），火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是2000ln 1M v m ⎛⎫=+⎪⎝⎭．当燃料质量与火箭质量的比值为0t 时，火箭的最大速度可达到0/v km s ．若要使火箭的最大速度达到02/v km s ，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ） A ．202tB ．200t t + C ．02t D ．2002t t +10．（2023·北京朝阳·统考一模）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()()1sin 2R 2sin f x x x x =+∈，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 的最大值为32C ．()f x 的图象关于直线πx =对称D ．()f x 在区间[]0,2π上有3个零点11．（2023·北京房山·统考一模）“π04x <<”是“tan 1x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．（2023·北京西城·统考一模）设lg 2a =，cos 2b =，0.22c =，则（ ） A ．b<c<a B ．c b a << C ．b a c <<D ．a b c <<13．（2023·北京西城·统考一模）函数()sin 2tan f x x x =⋅是（ ） A ．奇函数，且最小值为0 B ．奇函数，且最大值为2 C ．偶函数，且最小值为0D ．偶函数，且最大值为214．（2023·北京西城·统考一模）下列函数中，在区间()0,∞+上为增函数的是（ ） A ．y x =− B ．22y x x =− C ．sin y x =D ．1y x x=−15．（2023·北京石景山·统考一模）若函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ的值是（ ）A ．π3B ．π6C ．π4D ．π1216．（2023·北京丰台·统考一模）在ABC 中，若2cos sin sin A B C =，则该三角形的形状一定是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形17．（2023·北京丰台·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，若角α以x 轴非负半轴为始边，其终边与单位，则α的一个可能取值为（ ） A ．60−︒B ．30−︒C ．45︒D ．60︒18．（2023·北京顺义·统考一模）已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得(21)πk αβ=++”是“cos cos 0αβ+=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件19．（2023·北京房山·统考一模）设函数2ln ,0,()41,0.x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是R ；②1a ∀>，方程()f x a =恰有3个实数根；③0x +∃∈R ，使得()()000f x f x −−=；④若实数1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===.则()()1234x x x x +−的最大值为44e e−.其中所有正确结论的序号是__________.20．（2023·北京朝阳·统考一模）函数()13log ,13,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为________．21．（2023·北京顺义·统考一模）如果函数()f x 满足对任意s ，(0,)t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +<+，则称()f x 为优函数．给出下列四个结论：①()ln(1)(0)g x x x =+>为优函数；②若()f x 为优函数，则(2023)2023(1)f f <； ③若()f x 为优函数，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； ④若()()f x F x x=在(0,)+∞上单调递减，则()f x 为优函数． 其中，所有正确结论的序号是______________．22．（2023·北京东城·统考一模）函数()ln f x x =的定义域是____________．23．（2023·北京海淀·统考一模）已知函数()sin()(02π)f x x ϕϕ=+≤<．若()f x 在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ϕ的一个取值可以为_________．24．（2023·北京房山·统考一模）已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π. (1)求ω值；(2)再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定()f x 的解析式.设函数2()()2sin g x f x x =−，求()g x 的单调增区间.条件①：()f x 是偶函数；条件②：()f x 图象过点π,16⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：()f x 图象的一个对称中心为5π⎫⎪⎝⎭.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.25．（2023·北京东城·统考一模）已知函数()sin si πn 3f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期； (2)若π6x =是函数()()(0)y f x f x ϕϕ=−+>的一个零点，求ϕ的最小值. 26．（2023·北京朝阳·统考一模）设函数()()2sin cos cos 0,0f A x x A x x ωωωω=+>>，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得()f x 存在． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．条件①：()()=f x f x −； 条件②：()f x 的最大值为32； 条件③：()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分． 27．（2023·北京丰台·统考一模）已知函数()2sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()sin g x f x x =，求()g x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．28．（2023·北京顺义·统考一模）已知函数()sin cos f x A x x x =的一个零点为π6． (1)求A 和函数()f x 的最小正周期；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若()f x m ≤恒成立，求实数m 的取值范围．29．（2023·北京海淀·统考一模）设函数()()11,1()lg ,1x a x x f x x a x ⎧−++<=⎨−≥⎩ ①当0a =时，((1))=f f _________；②若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是_________．30．（2023·北京西城·统考一模）设(cos ,sin ),(2cos ,2sin )A B ααββ，其中,R αβ∈．当ππ,2==αβ时，AB =____；当AB =αβ−____．参考答案1．B【分析】确定函数为奇函数且单调递减，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】对任意实数x ，都有()()0f x f x +−=，故函数为奇函数； 对任意实数12,x x ，当120x x +≠时，都有()()12120f x f x x x +<+，即()()12120f x f x x x +−<−，即()()12120f x f x x x −<−，()12x x ≠，故函数单调递减.对选项A ：()2f x x =单调递增，不满足；对选项B ：()2f x x =−单调递减，且函数为奇函数，满足； 对选项C ：()2x f x =单调递增，不满足； 对选项D ：()2x f x =−不是奇函数，不满足. 故选：B 2．B【分析】根据所给关系式，求出6e 1MN=−，近似计算得解. 【详解】由题意，火箭的最大速度为12km /s 时，可得122ln (1)MN=+， 即6e 1MN=−， 因为e 2.71828=，所以近似计算可得6e 1402MN=−≈， 故选：B 3．C【分析】利用对数的运算公式计算即可.【详解】由题意知，N 的70次方为83位数，所以()70828310,10N ∈，则827083lg10lg lg10N <<，即8270lg 83N <<，整理得1.171lg 1.185N <<，根据表格可得lg14lg 2lg 7 1.146 1.171=+=<，lg164lg 2 1.204 1.185==>，所以lg lg15N =，即15N =. 故选：C. 4．D【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将(),02,0x x x g x x ≥⎧=⎨<⎩图象平移对参数c 进行分类讨论即可得出其取值范围.【详解】画出函数(),02,0x x x g x x ≥⎧=⎨<⎩的图象如下图所示：函数,0,()22,0.x x c x f x c x −≥⎧=⎨−<⎩可由,0,()2,0.x x x g x x ≥⎧=⎨<⎩分段平移得到，易知当0c 时，函数()f x 恰有一个零点，满足题意； 当0c <时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当0c >时，图象往下平移，当021c <<时，函数有两个零点； 当21c ≥时，()f x 恰有一个零点，满足题意，即12c ≥； 综上可得c 的取值范围是{}10[,)2∞⋃+.故选：D 5．A【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log f x x =， 所以()()222log 21f f −=−=−=−. 故选：A 6．D【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.【详解】对于A ，函数()sin f x x =为奇函数，但在定义域R 上函数不单调，故A 不符合； 对于B ，()2xf x =的定义域为R ，()()22xxf x f x −−===，则()2xf x =为偶函数，故B 不符合；对于C ，()3f x x x =+的定义域为R ，()()3f x x x f x −=−−=−，则()3f x x x =+为奇函数，又函数3,y x y x ==在R 上均为增函数，故()3f x x x =+在R 上为增函数，故C 不符合；对于D ，()()1e e 2x x f x −=−的定义域为R ，()()()1e e 2x x f x f x −−=−=−，则()()1e e 2x x f x −=−为奇函数，又函数e x y −=在R 上为减函数，e x y =在R 上为增函数，故()()1e e 2x xf x −=−在R 上为减函数，故D 符合. 故选：D. 7．B【分析】分析给定函数()f x 的奇偶性、单调性即可判断作答.【详解】函数()e e x x f x −=−定义域为R ，()e e (e e )()x x x x f x f x −−−=−=−−=−，函数()f x 是R 上的奇函数，函数()f x 的图象关于y 轴对称，选项A ，D 不满足；因为函数e x y =在R 上单调递增，e x y −=在R 上单调递减，则函数()f x 在R 上单调递增，选项C 不满足，B 满足. 故选：B 8．B【分析】由已知可得出2020505n n C C ⎧⨯=⎨⨯=⎩，可得出542n⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得n 的近似值.【详解】由题意可得2020505n n C C⎧⨯=⎨⨯=⎩，所以，2020505n n ⨯=⨯，所以，542n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，52lg 42lg 22lg 220.3log 4 1.551012lg 2120.3lg lg 24n ⨯====≈=−−⨯. 故选：B. 9．D【分析】根据对数运算法则可求得()200022000ln 12v t t =++，由此可得结果.【详解】由题意得：()002000ln 1v t =+，()()()220000024000ln 12000ln 12000ln 12v t t t t ∴=+=+=++，2002M t t m∴=+， 即当火箭的最大速度达到02/v km s ，则燃料质量与火箭质量的比值为2002t t +.故选：D. 10．D【分析】A.代入周期的定义，即可判断；B.分别比较两个函数分别取得最大值的x 值，即可判断；C.代入对称性的公式，即可求解；D.根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】A.()()()()11πsin πsin 2πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=−+≠，故A 错误；B.sin y x =，当π2π2x k =+，Z k ∈时，取得最大值1，1sin 22y x =，当π22π2x k =+，Z k ∈时，即ππ4x k =+，Z k ∈时，取得最大值12，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以()f x 的最大值不是32，故B 错误；C.()()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x f x −=−+−=−−≠，所以函数()f x 的图象不关于直线πx =对称，故C 错误；D.()1sin sin 2sin sin cos 02f x x x x x x =+=+=，即()sin 1cos 0x x +=，[]0,2πx ∈，即sin 0x =或cos 1x =−，解得：0,π,2πx =，所以函数()f x 在区间[]0,2π上有3个零点，故D 正确. 故选：D 11．A【分析】当π04x <<时，()tan 0,1x ∈，满足tan 1x <，充分性，取3π4x =计算得到不必要性，得到答案. 【详解】当π04x <<时，()tan 0,1x ∈，满足tan 1x <，充分性； 取3π4x =，满足tan 11x =−<，不满足π04x <<，不必要性.故“π04x <<”是“tan 1x <”的充分而不必要条件. 故选：A 12．C【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定,,a b c 的取值范围即可得出结论. 【详解】根据对数函数lg y x =在定义域内为单调递增可知0lg1lg 2lg101=<<=，即()0,1a ∈； 由三角函数cos y x =单调性可知πcos 2cos02b ==<； 利用指数函数2x y =为单调递增可得0.20221c =>=； 所以b a c <<. 故选：C 13．C【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得2()2sin 1cos 2f x x x ==−，由三角函数值域即可得[)()0,2f x ∈，即可得出结果.【详解】由题可知，()sin 2tan f x x x =⋅的定义域为π|π,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，且2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin cos xf x x x x x x x=⋅=⋅=， 而()22()2sin 2sin ()f x x x f x −=−==，即函数()f x 为偶函数；所以2()2sin 1co Z ,ππ,2s 2f k x x x k x ≠+=−∈=，又(]cos 21,1x ∈−，即[)()1cos 20,2f x x =−∈，可得函数()f x 最小值为0，无最大值. 故选：C 14．D【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，当0x >时，y x x =−=−，则y x =−在()0,∞+上单调递减；对于B 选项，函数22y x x =−在区间()0,∞+上不单调； 对于C 选项，函数sin y x =在()0,∞+上不单调；对于D 选项，因为函数y x =、1y x =−在()0,∞+上均为增函数，所以，函数1y x x=−在()0,∞+上为增函数.故选：D. 15．A【分析】根据正弦型函数的对称性可得对称中心π,03⎛⎫⎪⎝⎭，即可求得最小正周期T ，从而可求ω的值，结合图象代入已知点坐标即可得ϕ的值.【详解】由图可知()2π0,3f m f m ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，所以π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，由图象可得最小正周期T 满足：1πππ2362T ⎛⎫=−−= ⎪⎝⎭，则2ππT ω==，又0ω>，所以2ω=， 则由图象可得π2π6k ϕ⎛⎫⨯−+= ⎪⎝⎭，Z k ∈，所以ππ3k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，所以π3ϕ=.故选：A. 16．A【分析】利用内角和定理及诱导公式得到sin sin()C A B =+，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到0A B −=，即A B =，即可确定出三角形形状．【详解】解：在ABC 中，()sin sin πsin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =−+=+=+⎡⎤⎣⎦，2cos sin sin sin cos cos sin A B C A B A B ∴==+，即sin cos cos sin sin()0A B A B A B −=−=，(),0,πA B ∈，()π,πA B ∴−∈−，0A B ∴−=，即A B =，则ABC 为等腰三角形． 故选：A ． 17．B【分析】根据三角函数的定义得到cos 2α=，再根据特殊角的三角函数判断即可.【详解】依题意可得cos α=30360,Z k k α=︒+⋅︒∈或30360,Z k k α=−︒+⋅︒∈， 所以α的一个可能取值为30−︒. 故选：B 18．A【分析】由诱导公式和余弦函数的特殊函数值，结合充分、必要条件知识进行推理可得.【详解】若存在k ∈Z 使得(21)πk αβ=++，则()()()cos cos 21πcos 2ππcos πcos k k αββββ=++=++=+=−⎡⎤⎣⎦，∴cos cos αβ=−，即cos cos 0αβ+=，∴存在k ∈Z 使得(21)πk αβ=++⇒cos cos 0αβ+=，∴“存在k ∈Z 使得(21)πk αβ=++”是“cos cos 0αβ+=”的充分条件； 当π2αβ==时，cos cos 0αβ==，此时 ∴cos cos 0αβ+=存在k ∈Z 使得(21)πk αβ=++， ∴“存在k ∈Z 使得(21)πk αβ=++”不是“cos cos 0αβ+=”的必要条件.综上所述，“存在k ∈Z 使得(21)πk αβ=++”是“cos cos 0αβ+=”的充分不必要条件.故选：A.19．②③④【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论. 【详解】因为函数2ln ,0,()41,0.x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，其图象如下图所示：对于①，由图可知，函数()f x 的值域不是R ，故①不正确；对于②，由图可知，1a ∀>，方程()f x a =恰有3个实数根，故②正确；对于③，当0x +∃∈R 时，使得有00()()f x f x −=成立，即24+1=−y x x 与ln y x =有交点，这显然成立，故③正确；对于④，不妨设互不相等的实数1234,,,x x x x 满足1234x x x x <<<，当满足()()()()1234f x f x f x f x ===时， 由图可知1222+=−x x ，即124x x +=−， 34ln ln x x =，即34341ln ln ,x x x x −==， 所以()124444114x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图可知，(]41,e x ∈， 而1y x x =−在(]1,e x ∈上单调递减，所以4411e,0e x x ⎡⎫−∈−⎪⎢⎣⎭，所以()12343411440,4e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎤+−=−−∈− ⎪ ⎪ ⎥⎝⎦⎝⎭⎝⎭， 则()()1234x x x x +−的最大值为44e e−，故④正确. 故答案为：②③④.20．(),3−∞【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求1x ≥和1x <的值域，再取并集即可.【详解】因为当1x ≥时，13log 0x ≤， 当1x <时，33x <，所以函数()13log ,13,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为(),3−∞，故答案为：(),3−∞21．①②④【分析】①计算出()()()ln 1ln101st g s g t g s t s t ⎛⎫+−+=+>= ⎪++⎝⎭，故()()()g s g t g s t +>+，得到①正确； ②赋值法得到()()212f f >，()()313f f >，依次类推得到(2023)2023(1)f f <；③举出反例； ④由()()f x F x x=在(0,)+∞上单调递减，得到()()()(),f s t f s f s t f t s t s s t t ++<<++，整理变形后相加得到()()()()()s t f s t s t f s f t ++<++⎡⎤⎣⎦，即()()()f s t f s f t +<+，④正确.【详解】因为(),0,s t ∈+∞，所以()()()()()()()()11ln 1ln 1ln 1ln1s t g s g t g s t s t s t s t+++−+=+++−++=++ 1ln ln 1ln1011s t st st s t s t +++⎛⎫==+>= ⎪++++⎝⎭， 故()()()g s g t g s t +>+，故()ln(1)(0)g x x x =+>是优函数，①正确；因为()f x 为优函数，故()()()1111f f f +>+，即()()212f f >，()()()()21213f f f f +>+=，故()()313f f >，同理可得()()414f f >，……，()()202312023f f >，②正确；例如()2,0f x x x =−>，满足()222()()()20f s t f s f t s t s t st +−−=−+++=−<， 即()()()f s t f s f t +<+，为优函数，但()2f x x =−在()0,x ∈+∞上单调递减，故③错误； 若()()f x F x x=在(0,)+∞上单调递减，任取(),0,s t ∈+∞，,s t s s t t +>+>，则()()()(),F s t F s F s t F t +<+<，即()()()(),f s t f s f s t f t s t s s t t++<<++， 变形为()()()()()(),sf s t s t f s tf s t s t f t +<++<+，两式相加得：()()()()()s t f s t s t f s f t ++<++⎡⎤⎣⎦，因为0s t +>，所以()()()f s t f s f t +<+，则()f x 为优函数，④正确.故答案为：①②④【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.22．(]0,1【分析】由被开方数大于等于0与对数真数大于0即可得到结果.【详解】要使函数有意义，则满足：100x x −≥⎧⎨>⎩，解得：01x <≤ 所以函数()ln f x x =的定义域为(]0,1故答案为：(]0,123．π2（不唯一） 【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】由ππ,π,π33x x ϕϕϕ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 因为()f x 在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且0πϕ≤<2， 所以有ππππ323π62π2ϕϕϕ⎧+≥⎪⎪⇒≤≤⎨⎪+≤⎪⎩， 因此ϕ的一个取值可以为π2， 故答案为：π224．(1)2ω=(2)答案见解析【分析】（1）根据周期公式，即可求解；（2）分别选择条件，根据三角函数的性质，求ϕ，再根据三角函数的单调性，代入公式，即可求解.【详解】（1）由条件可知，2ππω=，解得：2ω=；（2）由（1）可知，()sin(2)(0,0π)f x x ϕωϕ=+><<，若选择条件①：()f x 是偶函数， 所以π20π,Z 2k k ϕ⨯+=+∈，即π2ϕ=， 所以()πsin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ()2cos 22sin 2cos 21g x x x x =−=−，令π2π22π,Z k x k k −+≤≤∈, 解得：πππ,Z 2k x k k −+≤≤∈, 所以函数()g x 的递增区间是ππ2,π,Z k k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦−∈+， 若选择条件②：()f x 图象过点π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭，ππsin 2166f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0πϕ<<， 则ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，即πZ π2,6k k ϕ=+∈，所以π6ϕ=， 所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()2π1sin 22sin 2cos 2cos 2162g x x x x x x ⎛⎫=+−=++− ⎪⎝⎭32cos 212x x +−π213x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭ 令πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤+≤+∈， 解得：5ππππ1212k x k −+≤≤+， 所以()g x 的单调递增区间是5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤−++∈⎢⎥⎣⎦. 如选择条件③：()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以5π2π,Z 12k k ϕ⨯+=∈，5ππ6k ϕ=−，0πϕ<<，π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()2π1sin 22sin 2cos 2cos 21622g x x x x x x ⎛⎫=+−=++− ⎪⎝⎭32cos 2122x x =+−π213x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭ 令πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤+≤+∈， 解得：5ππππ1212k x k −+≤≤+， 所以()g x 的单调递增区间是5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤−++∈⎢⎥⎣⎦. 25．(1)2π (2)π3【分析】（1）三角函数恒等变换的公式，化简函数()π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而求得函数的最小正周期；（2）由（1）得到函数ππ66y x x ϕ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据题意，得到方程πsin 3ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解.【详解】（1）解：由函数1()sin sin sin sin 32f x x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭3πsin cos 226x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期为2πT =.（2）解：由ππ()()66y f x f x x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=−+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为6x π=是函数()()(0)y f x f x ϕϕ=−+>的一个零点，ππππ06666ϕ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 023ϕ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，即πsin 32ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 可得ππ2π33k ϕ+=+或π2π2π,Z 33k k ϕ+=+∈， 即2πk ϕ=或ππ,Z k k ϕ=+∈23， 又因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为π3.26．(1)选择条件②③，()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ (2)最大值为32，最小值为0.【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简()f x ，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.【详解】（1）若选择条件①，因为()2sin 2cos 2A f x x x ωω=+，所以()()()22sin 2cos sin 2cos 22A A f x x x x x ωωωω−=−+−=−+， 由()()=f x f x −可得sin 20A x ω=对x ∈R 恒成立，与0,0A ω>>矛盾，所以选择条件②③，由题意可得()()()()22sin cos cos sin 2cos f x A x x x A x x ωωωωω−=−−+−=−+， 设ππ22ϕ−<<，由题意可得()()111sin 2cos 222222A f x x x x ωωωϕ=++=++， 其中cos ϕ=sin ϕ=因为()f x 的最大值为3213222+=，解得A = 所以1sin 2ϕ=，π6ϕ=， 由()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2可得π22T =， 所以2ππ2T ω==解得1ω=， 所以()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （2）由正弦函数的图象可得当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，最小值为0. 27．(1)()π2sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)和最小值为0【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到,ωϕ，进而得到()f x 的解析式；（2）根据三角恒等变换化简()g x ，进而分析在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】（1）由图象可知：3ππ2π4144T ωω⎛⎫=⨯−=∴= ⎪⎝⎭， 将点π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()y f x =得πππ2sin 22π444f k ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， π0π4ϕϕ<<∴= ∴()π2sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）())π()()sin sin cos sin 2cos 2sin 24g x f x x x x x x x x ⎛⎫=+=−− ⎪⎝⎭ 由π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得πππ2,444x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦ 当ππ244x −=−时，即()min 0,0x g x ==；当ππ244x −=时，即()max π,4x g x ==28．(1)2A =；π(2)[)2,+∞【分析】（1）解方程π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可求A ，然后把函数()f x 降幂，辅助角公式后再求周期. （2）若()f x m ≤恒成立，即求max ()f x m ≤.【详解】（1）()sin cos 2f x A x x x =的一个零点为π6 ππππsin cos 06663f A ⎛⎫∴=⋅= ⎪⎝⎭，即11022A ⋅=，2A ∴= ()π2sin cos 2sin 222sin 23f x x x x x x x ⎛⎫∴=⋅==− ⎪⎝⎭ 所以函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的最小正周期为2ππ2=. （2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ2π2,333x ⎡⎤∴−∈−⎢⎥⎣⎦当ππ232x −=时有最大值，即 ()max π2sin 22f x ==. 若()f x m ≤恒成立，即max ()f x m ≤,所以2m ≥，故m 的取值范围为[)2,+∞.29． 1 (][),02,−∞⋃+∞【分析】由分段函数解析式先求()1f ，再求()()1f f 的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a 的取值范围.【详解】当0a =时，()21,1()lg ,1x x f x x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩， 所以()1lg10f ==，所以()()()101f f f ==，令()0f x =，可得当1x <时，()()110x a x −++=，所以=1x −或1x a =−，当0a =或2a ≥时，方程()()110x a x −++=在(),1−∞上有唯一解=1x −，当a<0或02a <<时，方程()()110x a x −++=在(),1−∞上的解为=1x −或1x a =−，当1x ≥时，lg 0x a −=，所以当0a ≥时，10a x =，当a<0时，方程lg 0x a −=在[)1+∞，上无解， 综上，当a<0时，函数()f x 有两个零点1,1a −−，当0a =时，函数()f x 有两个零点1,1−，当02a <<时，函数()f x 有三个零点1,1,10a a −−，当2a ≥时，函数()f x 有两个零点1,10a −，因为()f x 恰有2个零点，所以2a ≥或0a ≤，所以a 的取值范围是(][),02,−∞⋃+∞.故答案为：1；(][),02,−∞⋃+∞.30． π3（答案不唯一）【分析】将ππ,2==αβ代入计算可得()()1,0,0,2A B −，利用两点间距离公式可知AB =AB =即可得()()22cos 2cos sin 2sin 3αβαβ−+−=，化简整理可得()1cos 2αβ−=，即可写出一个合适的值. 【详解】根据题意可得当ππ,2==αβ时，可得()()1,0,0,2A B −，所以AB =当AB =()()22cos 2cos sin 2sin 3αβαβ−+−=， 整理可得()54cos cos sin sin 3αβαβ−−=，即()1cos 2αβ−=， 可得π2π3k αβ−=±+，所以αβ−的一个取值为π3.π3。
2020北京高三一模数学试题分类汇编之三角函数
05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）3513．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____． 5. A13．π13. 函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2π Ｄ．4π8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(cos ,sin )A αα，(cos(),sin())33B ππαα++.则OA OB +=u u u r u u u rA.1 B .C . 2D . 与α有关16.（本小题14分）已知△ABC ，满足a =2b =， ，判断△ABC 的面积2S >是否成立？说明理由.从①3A =π， ① cos 7B =这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.16．（本小题14分）解：选○1，△ABC 的面积2S >成立，理由如下:当3A =π时，2147cos 222c A c +-==⋅， …………… 4分所以2230c c --=，所以3c =， …………… 6分则△ABC 的面积11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=分2=>=， …………… 12分 所以2S >成立. ……………14分 选○2，△ABC 的面积2S >不成立，理由如下：当cos 7B =时，222cos 27a c b B ac +-==，…………… 4分27=整理得，230c -+=，所以c = …………… 6分因2227,437a b c =+=+=， …………… 8分 所以△ABC 是A 为直角的三角形， …………… 10分所以△ABC 的面积112222S bc ==⨯=<，…………… 12分 所以不成立. …………… 14分(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周. 若点M 的初始位置坐标为(122，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是(A))12 (B) (-12(C) ()12(D) ()-12(8) 已知三角形ABC ，那么“+AB AC AB AC uu u r uuu r uu u r uuu r>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的(A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(17)（本小题14分）已知函数ππ()sin()cos ()(f x a x x a =--+>2220)66，且满足 . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x 的方程()f x =1在区间[,0m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围.从①()f x 的最大值为1，②()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π，③()f x 的图象过点π(,0)6这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
北京市10区2020三角函数
5、（房山区 2020 届高三上学期期末考试）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB BC ， AB 3 3 ，
CD 3 ， sin DBC 3 3 ， C .
14
3
（Ⅰ）求 sin BDC 的值； （Ⅱ）求 BD ， AD 的值.
A D
B
C
6、（丰台区 2020 届高三上学期期末考试）已知函数 f (x) sin x cos x 3 cos2 x .
又函数 y sin x 的单调递增区间为[ π 2k π, π 2k π] ( k Z)．
2
2
由 2k 2x 2k ， k Z ，
2
62
得 k x k ，k Z ．
3
6
所以 f (x) 的单调递增区间为[ k, k](k Z) .
P ，且点 P 的横坐标为 3 ，则 sin( ) 的值为
5
2
（A） 3 5
（B） 3 5
（C） 4 5
（D） 4 5
9、（石景山区 2020 届高三上学期期末考试）在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c ．已知 b - c = 1 a ， 2sin B = 3sin C ，则 cos A 的值为_______．
6
6
所以△ ABC 的面积 S 1 bc sin A 1 2 2 3 1 3 .
2
2
2
.......................13 分
5、（Ⅰ）∵ sin DBC 3 3 ， sin2 DBC cos2 DBC 1, 0 DBC
14
2
∴ cos DBC 13 14
专题2 第2讲 三角函数的图象与性质(学生版)
第2讲 三角函数的图象与性质【要点提炼】考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系1．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．【热点突破】【典例】1 (1)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.11π6 C.5π3 D.2π3(2)(2020·山东师范大学附中模拟)若sin θ＝5cos(2π－θ)，则tan 2θ等于( )A ．－53 B.53 C ．－52 D.52【拓展训练】1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝7，则tan θ等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan(π＋α)等于( )A ．－1517 B.1517 C ．－817 D.817【要点提炼】考点二 三角函数的图象与【解析】式 三角函数图象的变换【热点突破】【典例】2 (1)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y ＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8等于( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2(2)设函数g(x)＝sin ωx(ω>0)向左平移π5ω个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是________． ①f(x)在(0,2π)上有且只有3个极大值点，2个极小值点；②f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增； ③ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910. 【拓展训练】2 (1)(2020·全国Ⅰ)设函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( ) A.10π9 B.7π6 C.4π3 D.3π2(2)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为( )A ．1 B.12 C.22 D.32【要点提炼】考点三 三角函数的性质函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)三角函数的周期性：f(x)＝Asin(ωx ＋φ)和f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的最小正周期为2πω；y ＝Atan(ωx ＋φ)的最小正周期为πω.(3)根据y ＝sin t 的性质研究y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的性质：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得减区间；由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴．【热点突破】【典例】3 (1)已知函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，把y ＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( ) A ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32B ．g(x)的图象关于直线x ＝π2对称 C ．g(x)的一个零点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 D ．g(x)的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12(2)设函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2) 【拓展训练】3 (1)(多选)(2020·武汉模拟)已知函数f(x)＝|cos x|－|sin|x||，下列说法正确的是( ) A ．f(x)是偶函数B ．f(x)是周期为π的函数C ．f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递减D ．f(x)的最大值为 2(2)(2020·北京海淀区模拟)已知函数f(x)＝2sin ωx ，g(x)＝2cos ωx ，其中ω>0，A ，B ，C 是这两个函数图象的交点，且不共线． ①当ω＝1时，△ABC 的面积的最小值为________；②若存在△ABC 是等腰直角三角形，则ω的最小值为________．专题训练一、单项选择题1．已知角α的终边过点P(－3,8m)，且sin α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．已知直线3x －y －1＝0的倾斜角为α，则cos α－2sin αsin α＋cos α的值为( )A ．－1110B ．－12C ．－114D ．－543．若f(x)＝sin x ＋3cos x 在[－m ，m](m>0)上是增函数，则m 的最大值为( ) A.5π6 B.2π3 C.π6 D.π34．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 25．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f ()x 1＝1，f ()x 2＝0，若||x 1－x 2min ＝12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f(x)的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16＋2k ，56＋2k ，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k π，16＋2k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋2k ，76＋2k ，k ∈Z 6．已知函数f(x)＝asin x －bcos x(a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )的图象关于x ＝π4对称，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称7．已知函数f(x)＝12cos ωx －32sin ωx ()ω>0在[0，π]内的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则ω的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.(]0，18．已知函数f(x)＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的相邻两个对称中心的距离为32，且f(1)＝－3，则函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝1x －2(－5<x<9且x ≠2)的图象所有交点的横坐标之和为( )A ．16B ．4C ．8D ．12 二、多项选择题9．(2020·新高考全国Ⅰ)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)等于( )A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xC ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x10．(2020·河北衡水中学考试)已知向量a ＝(2sin x ，－1)，b ＝(sin x ＋3cos x,1)，且函数f(x)＝a ·b ，则下列说法正确的是( )A ．若x 1，x 2是方程f(x)＝1的两根，则x 1－x 2是π的整数倍B ．当x ＝π6时，f(x)取得最大值C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3是函数f(x)的一个单调递增区间 D ．将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到一个偶函数的图象11．(2020·佛山模拟)已知函数f(x)＝sin x ＋sin πx ，下列结论正确的是( )A ．f(x)是奇函数B ．f(x)是周期函数C ．f(x)在区间(0，π)上有三个零点D ．f(x)的最大值为212．设函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]上有且仅有3个极小值点，则( )A ．f(x)在(0,2π)上有且仅有5个零点B ．f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极大值点C ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减D ．ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤73，103三、填空题13．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．14．已知函数f(x)＝3sin xcos x ＋12cos 2x ，若将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得的图象关于原点对称，则φ的最小值为________．15. (2020·北京市八一中学调研)已知函数f(x)＝1sin ωx ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.16．(2020·济南模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，|φ|<π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f(x)≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8恒成立，且f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π24上单调，则下列说法正确的是________．(填序号)①存在φ，使得f(x)是偶函数；②f(0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4；③ω是奇数；④ω的最大值为3.。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--解析几何(解析版)
圆 x2 y2 2x 8y 13 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1，则 a (
)
4
3
A.
B
C. 3
D. 2
3
4
【答案】 A
【 解析 】 由 x2 y2
2x 8y 13
0 配方 得 (x 1) 2 (y
4)2 4 ， 所以 圆 心 为 (1,4) ， 因为圆
22
x2 y 2 2x 8y 13
）
BF
1
A.
3
【答案】 D
4
B.
3
-
C. 3
c
D. 3
【解析】设 A（ XA， YA） ， B（ XB，YB） ，过点 A 分别作准线和 x 轴的垂线，垂足分别为 M，N ，过点 B 作 x 轴 的垂线，垂足于点 Q，直线 AB 与准线交于点 D，准线与 x 轴交于点 E
3
Q 直线 AB 的倾斜角为 60， MDA 30 ，即 AD 2 AM
2
所以 4 p 2 ，解得 p 2 ，
所以抛物线 C 的方程为 y2 4x .
（2020 朝阳区一模） 在 VABC 中， AB BC ，
故选： B
ABC 120 若以 A， B 为焦点的双曲线经过点 C，
B."
A.
C.
则该双曲线的离心率为（
）
【答案】 C
【解析】 设双曲线的实半轴长，半焦距分别为
a,c ，
圆方程为 （x 3 ）2 y2 2.
故选： A.
（2020 东城一 模）
若顶点在原点的抛物线经过四个点
物线的标准方程可以是 ），
（脅） ，⑵ 1）， （4, 2 ）中的 2 个点，则该
2020届北京市东城区高三高考第一次模拟(4月)数学试题(解析版)
故选：A.
【点睛】
本题考查对勾型函数的性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题.
5．已知曲线C的方程为 ，则“ ”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
,即 为票价,
当 时, ,则 为固定成本,
由图象(2)知,直线向上平移,
不变,即票价不变,
变大,则 变小,成本减小.
故①错误,②正确;
由图象(3)知,直线与 轴的交点不变,直线斜率变大,
变大,即提高票价,
不变,则 不变,成本不变.
故③正确,④错误;
故答案为:②③
【点睛】
本题考查一次函数图象的变化,以及 和 对一次函数图象的影响,是基础题.
以 为原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示
， ， .
，
.
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ， .
设直线 和平面 所成的角为 ，则
，
所以直线 和平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.
③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）
【答案】②③
【解析】根据图象可知盈利额 与观影人数 成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.
【详解】
2020北京各区一模数学试题分类汇编--应用题(学生版)
2020北京各区一模数学试题分类汇编--应用题（2020海淀一模）形如221n (n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（ ） (参考数据: lg 2≈0.3010 )A. 9B. 10C. 11D. 12（2020西城一模）在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.（2020东城一模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ,观影人数记为x ,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）（2020东城一模）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A. 10天B. 15天C. 19天D. 2天（2020东城一模）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8（2020朝阳区一模）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.（2020石景山一模）长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．（2020怀柔一模）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．（2020怀柔一模）“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈）A. 3.05B. 3.10C. 3.11D. 3.14（2020密云一模）在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.（2020顺义区一模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y,观影人数记为x,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）（2020延庆一模）某企业生产,A B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B两种产品的年产量的增长率分别为50%和lg ）( ) 20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取20.3010A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年（2020延庆一模）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.。
2022北京各区一模数学文试卷分类解析-三角函数
2022北京各区一模数学文试卷分类解析-三角函数6．（2020高考模拟文科）如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ， 105,45=∠=∠CAB ACB 后，就能够运算出A 、B 两点的距离为 （ A ） A ．m 250 B ．m 350C ．m 225D ．m 22256. （2020东城一模文科）已知2sin(45)10α-=-，且090<<α，则cos α的值为（ D ）A ．513B ． 1213C ． 35D ．453．（2020石景山一模文科）函数1sin()y x π=+-的图象（ A ） A ．关于2x π=对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于x π=对称9．（2020石景山一模文科）设向量(cos ,1),(1,3cos )a b θθ==，且b a//，则θ2cos = ．答案:31-11. （2020高考仿真文科）在△ABC 中，若b=1,c=3,6π=∠A ,则a=________,=B sin ________________. 答案：211，9. （2020朝阳一模文科）若5sin θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= . 答案：5-9. （2020东城示范校二模文） 若点)sin ,(cos ααP 在直线x y 2-=上， 则)4tan(πα+= ______________ ．答案：13-12．（2020房山一模文科）已知函数()ϕω+=x x f sin )(（ω>0,20πϕ<<）的图象如图所示，则ω=____，ϕ=___.答案：2，3π10．（2020海淀一模文科）若tan 2α，则sin2α= .答案：454． （2020门头沟一模文科）已知31)4tan(=-πα，则α2sin 等于（ C ）A ． 32B ． 31C ． 54D ． 5210. （2020门头沟一模文科）在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，7=c ，则ABC ∆的面积是 ．答案：2332．（2020密云一模文科）函数cos y x =的一个单调递增区间为（ D ） A ．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),2ππ11. （2020西城一模文科）函数22sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____． 答案：π17．（2020高考模拟文科）（本小题满分12分） 已知向量()()xωx ωb x ωx ωa cos 3,cos ,cos ,sin ==（ω＞0），函数()23-⋅=b a x f 的最小正周期为π。
北京各区数学一模试题目分类整理汇编三角函数
北京各区数学一模试题目分类整理汇编三角函数2011北京各区数学一模试题分类汇编——三角函数1. （朝阳理15）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且37b =a . 解：（Ⅰ）由已知可得2312sin4C -=-.所以27sin8C =.因为在ABC ∆中，sin 0C >， 所以14sin C =. ……………………………………………6分（Ⅱ）因为2c a =，所以114sin sin 2A C ==.因为ABC ∆是锐角三角形，所以2cos C =，52cos A =.所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+1425214=37=.由正弦定理可得：37sin sin aB A=，所以14a =. …………………………13分2. （朝阳文15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2c a =，4C π=.（Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）求cos(2)3A π-的值. 解：（Ⅰ）因为2c a =，4C π=， 由正弦定理sin sin a cA C=得：2sin 4A =. ……………………………5分（Ⅱ）因为2sin A =2c a =可知a c <，4A π<. 则214cos 1sin 4A A =-=.7sin 22sin cos 4A A A ==,23cos 22cos14A A =-=.则cos(2)3A π-=ππcos 2cos sin 2sin 33A A +=3218. ………………13分3. （丰台理15）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC 的形状解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12． ∵0<A <π，∴3A π=． …………………5分 （Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=311cos 222x x =++1sin()62x π=++，∵3A π= ∴2(0,)3B π∈ ∴5666B πππ<+<∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． 又∵3A π=， ∴3C π= ∴△ABC 为等边三角形． (13)分4. （丰台文15）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 满足b 2+c 2-a 2=bc ． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，求)(B f 的最大值．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2+c 2-a 2=bc ，由余弦定理 a 2= b 2+c 2-2bc cos A 可得cos A =12． ∵0<A <π∴3A π=． ……………………5分 （Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=311cos 222x x =++1sin()62x π=++，∵3A π= ∴2(0,)3B π∈ ∴5666B πππ<+<∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． ………………13分5. （门头沟理15）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为232a b c a b ==、、，，，1cos 2A =-．（I ） 求角B 的大小；（Ⅱ）若2()cos 2sin ()f x x c x B =++，求函数()f x 的最小正周期和单增区间． 解：（Ⅰ）3sin A =…………………………2分由sin sin a b A B = 得1sin 2B = , 6B π= ……………………5分 （Ⅱ）2c = (6)分2()cos 22sin ()6f x x x π=++=cos 2cos(2)13x x π-++ 13cos 2cos 2212x x x =-++sin(2)16x π=++ …………………………10分所以，所求函数的最小正周期为π由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以所求函数的单增区间为[,],36k k k Zππππ-+∈ ……………………………13分6. （门头沟文15）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.解：（Ⅰ）由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==及已知，得cb c b c b a )2()2(22+++= …………2分整理，得 bcc b a ++=222 …………3分有余弦定理bca cb A 2cos 222-+=，得 21cos -=A …………5分 在ABC ∆中，π<<A 0，所以 32π=A (7)分（Ⅱ）由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==及已知，得 C B C B C B A sin )sin sin 2(sin )sin sin 2(sin22+++= …………9分即CB C B A sin sin 2)sin (sin 2sin 222-+=结合32π=A 及已知sin sin 1B C +=解得 21sin sin ==C B 即CB = …………12分因此ABC ∆是一个等腰钝角三角形 …………13分7. （石景山理15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为27,,,4sin cos 2.22A B a b c C +-=且（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．8. （石景山文15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为27,,,4sin cos 2.22A B a b c C +-=且（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．9. （延庆理15）已知()sin()3f x x π=+ （Ⅰ）如果3sin ,52x x ππ=<<，求()f x 的值;（Ⅱ）如果02x π<<，设()2(2)g x f x =，求()g x 的最大值和最小值 解：（Ⅰ）∵ 3sin ,52x x ππ=<< ∴ 4cos 5x =- …………… 2分∴ ()sin cos cos sin 33f x x x ππ=+ …………………… 4分3143()5252=⨯+-⨯ …………………………… 6分343-=……………………………… 7分（Ⅱ）()2sin(2)3g x x π=+ (8)分∵ 02x π<< ， ∴ 02x π<<， ∴42333x πππ<+<……………………………… 10分 ∴ 3sin(2)123x π-≤+≤ ∴ 3()2g x ≤ (12)分∴ maxmin ()2,()3g x g x == …………………………13分10. （延庆文15）已知()sin()3f x x π=+ （Ⅰ）如果3sin ,52x x ππ=<<，求()f x 的值;（Ⅱ）如果02x π<<，设()2(2)g x f x =，求()g x 的最大值和最小值 解：（Ⅰ）∵ 3sin ,52x x ππ=<< ∴ 4cos 5x =- …………… 2分∴()sin coscos sin33f x x x ππ=+ …………………… 4分3143()5252=⨯+-⨯ …………………………… 6分343-=……………………………… 7分（Ⅱ）()2sin(2)3g x x π=+ (8)分∵ 02x π<< ， ∴ 02x π<<， ∴42333x πππ<+<……………………………… 10分 ∴ 3sin(2)13x π≤+≤ ∴ 3()2g x ≤ (12)分∴ maxmin ()2,()3g x g x == …………………………13分11. （海淀理15）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =.(Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积. 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B C B C B C++=-, (1)分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分因为180A B C =-- , ………………4分 所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=-. ………………5分 （II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A = . ……………7分因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . (8)分 所以5sin 5B =10sin 10C =. (9)分 由sin sin a cA C=得5a = (11)分 所以ABC∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分12. （海淀文15）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，已知1tan 2B =，1tan 3C =,且1c =.(Ⅰ) 求tan()B C +； (Ⅱ) 求a 的值. 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B C B C B C++=- (3)分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯. …………………6分 （II）因为180A B C=-- …………………7分 所以tan tan[180()]tan()1A B C B C =-+=-+=- …………………9分 又0180A <<，所以135A =. …………………10分 因为1tan 03C =>，且0180C <<，所以10sin 10C =， …………………11分由sin sin a cA C=，得5a =. …………………13分13. （东城理15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若25a =ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）因为2cos cos c b B a A-=， 所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅． 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅． 所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=． 在△ABC 中，sin 0C ≠．所以1cos 2A =，3A π∠=． （Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，5a =所以2220220bc bc bc +-=≥-所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=” ． 所以三角形的面积1sin 532S bc A =≤．所以三角形面积的最大值为53．14. （东城文15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．4cos 5C =，2cos c b A=．（Ⅰ）求证：A B =；（Ⅱ）若△ABC 的面积152S =，求c 的值． （Ⅰ）证明：因为2cos c b A =，由正弦定理得sin 2sin cos C B A =⋅， 所以sin()2sin cos A B B A +=⋅， sin()0A B -=，在△ABC 中，因为0πA <<，0πB <<， 所以ππA B -<-< 所以A B=． (6)分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a b =．因为4cos 5C =，所以3sin 5C =．因为△ABC 的面积152S =，所以115sin 22S ab C ==，5a b ==．由余弦定理2222cos 10c a b ab C =+-=所以10c = ……………………13分15. （西城一模理15）设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且54cos =B ,2=b .（Ⅰ）当35=a 时，求角A 的度数；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值. 解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . …………………2分因为35=a ，2=b ，由正弦定理BbA a sin sin =可得21sin =A . ………4分因为b a <，所以A 是锐角，所以o30=A . (6)分 （Ⅱ）因为ABC∆的面积ac B ac S 103sin 21==， …………………7分所以当ac 最大时，ABC ∆的面积最大. 因为Bac c a b cos 2222-+=，所以acc a 58422-+=. ………………9分因为222a c ac+≥，所以8245ac ac -≤， ………………11分所以10≤ac ，（当10a c ==时等号成立） ………………12所以ABC∆面积的最大值为3. …………………13分16. （西城一模文15）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且4cos 5B =,2=b .（Ⅰ）当o30=A 时，求a 的值；（Ⅱ）当ABC ∆的面积为3时，求c a +的值. 解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . …………………2分由正弦定理BbA a sin sin =，可得10sin 303a =. …………………4分所以35=a . ………………6分 （Ⅱ）因为ABC ∆的面积1sin 2S ac B =，53sin =B ， 所以3310ac =，10=ac . …………………8分 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=， ……………………9分得165842222-+=-+=c a ac c a ，即2022=+c a . …………………10分所以2()220a c ac +-=，2()40a c +=， ……………………12分 所以，102=+c a . …………13分17. （怀柔一模理15）在ABC ∆中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对的三边，已知222+c b a bc-=．（Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若3a =3cos C =，求c 的长．解：（Ⅰ）222+c b a bc-= ，2221cos 22b c a A bc +-==-------------------------4分π<<A 03π=∴A-----------------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）在ABC ∆中，3π=A ，3a =，3cos C =216sin 1cos 133C C ∴=-=-=------------------------------------------8分由正弦定理知：,sin sin a CA C= ∴ACa c sin sin =6326333==．-----------------------------12分∴362=c-------------------------------------------------------13分18. （怀柔一模文15） 已知51sin 0,,tan 23⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭πααβ．（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求()tan 2+αβ的值． 解：（Ⅰ）∵5sin 0,,52⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭παα∴ 2125cos 1sin 155=-=-=αα. ------------------4分∴5sin 15tan cos 2255===ααα. ------------------------6分（Ⅱ） ∵1tan 3=β, ∴22tan tan 21tan βββ=- ------------------------------8分2123113⨯=⎛⎫- ⎪⎝⎭34=.------------------------------------10分∴()tan tan 2tan 21tan tan 2++=-αβαβαβ132413124+=-⨯2=.----------------------------------13分。
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2020北京各区一模数学试题分类汇编—三角函数
（2020海淀一模）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3,2
π则点M '到直线BA '的距离为（ ）
A. 1
B. 2
C. 2
D. 12 （2020西城一模）函数()24f x sin x π⎛
⎫=+
⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________.
（2020西城一模）已知函数()sinx 12sinx
f x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）
①绕着x 轴上一点旋转180︒;
②沿x 轴正方向平移;
③以x 轴为轴作轴对称;
④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A. ①③
B. ③④
C. ②③
D. ②④
（2020东城一模）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋
转6π后经过点(-，则sin α=______________.
（2020丰台一模）将函数()sin f x x ω=（0>ω）的图象向左平移
2
π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =，下列说法错误．．的是（ ） A. ()g x 为偶函数 B. 02g π-=⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 当5ω=时，()g x 在0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点 D. 若()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，则ω的最大值为9
（2020朝阳区一模）已知函数()=)(>0)f x ωx
φω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6π=ϕ”是“()f x 的图象关于直线3x π=
对称”的（ ） A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
（2020石景山一模）.函数()cos 6f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
（0>ω）的最小正周期为π，则()f x 满足（ ） A. 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 B. 图象关于直线6x π
=对称
C. 3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
D. 当512
x π=时有最小值1-
（2020怀柔一模）函数2
2cos 1y x =-的最小正周期为（ ） A. 2π B. π C. 2π D. 4π
（2020密云一模）函数()()sin ωϕ=+f x x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）
A. 51,,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎦∈⎣
B. 512,2,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦
C. 51,,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦
D. 512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦
（2020密云一模）函数2
()cos f x x =的最小正周期是_______________，单调递增区间是__________.
（2020顺义区一模）sin 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
____.
（2020延庆一模）下列函数中最小正周期为π的函数是( )
A. y sinx =
B. 12y cos x =
C. 2y tan x =
D. y sinx =
（2020延庆一模）在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )
A. B. C. D. 25
-
（2020延庆一模）已知函数()222f x sin x sin x cos x =+-，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
____________.
（2020海淀一模）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+.
(I)求f (0)的值；
(II)从①121,2ωω==；②121,1ωω==这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[,]26
ππ-上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.
（2020顺义区一模）函数())2sin cos 02
f x x x x ωωωω=⋅+>的部分图象如图所示.
（1）求ω的值；
（2）求()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦的最大值与最小值及对应的x 的值.。